时间序列分析与预测心得报告

時間序列分析與預測心得報告

所謂時間序列分析(Time Series Analysis)，乃探討一串按時序列間的關係，並籍由此關係前瞻至未來。時間序列分析模式是計量經濟模式的一般化，可分為狹義及廣義。狹義的時間序列分析是Box and Jankins在1961年所提出的ARIMA模式和後人延伸的ARIMA相關系統；廣義的時間序列除了ARIMA及其相關體系外，還包括趨勢預測、時間序列分解、譜系分析及狀況空間分析等模式。其中，ARIMA轉移函數為高度一般化的模式，其特例簡化為自我迴歸模式及多項式遞延落差模式；而向量ARIMA模式更可簡化為聯立方程式模式。ARIMA、ARIMA轉移函數及向量ARIMA構成了ARIMA系統。

事實上，除了ARIMA模式外，尚有其他可用以預測外生變數之統計模式，但每種模式皆適用於不同的研究特性，如表4.1-1所示。表中，依模式誤差、變數性質、資料特性，可產生六種不同情況的組合，每一組合的預測，均有適當的統計模式可用。

預測模式之適用場合

資料特性

模式特性變數特性連續性季節性

非隨機性外生變數趨勢預測時間序列分解

隨機性外生變數ARIMA SARIMA

內生變數ARIMAT SARIMAT

模式依特性可分為非隨機模式和隨機模式。非隨機模式(Non-stochastic Model)的誤差項背後無隨機過程的假定，亦即時間序列不是由隨機過程產生。典型的非隨機模式為趨勢預測模式。這種模式非常單純，僅用一個數學函數，配適在所觀察到的時間序列上，再用函數的特性，產生未來的預測。趨勢預測模式有誤差項，假定遵循NID(0, 2)。

非隨機模式的特例為確定性模式(Deterministic Model)，模式中無誤差項，純為數學結構，不是統計推理的應用，沒有假說檢定，也沒有常態分配的觀念存在。典型的確定性模式，就是時間序列分解模式。這種模式用數學的方式，將時間序列分解成長期趨勢、循環變動、季節變動、不規則變動。預測時，捨棄不規則變動，將其他三個因子分別預測至未來，再組合起來即得。

另一類模式是隨機模式(Stochastic Model)，假定所觀察到的時間序列是一個隨機樣本，共有T個觀察值，抽取自我一個隨機過程（Stochastic Process）。隨機模式中，時間序列是樣本，而隨機過程是母體。ARIMA體系內的所有模式，包括ARIMA、ARIMAT、SARIMA、SARIMAT，均屬隨機模式。

變數依特性可分為外生變數與內生變數。外生變數（Exogenous Variable）不受其他變數影響，內生變數（Endogenous Variable）是會受其他變數的影響。奱數之外生性或內生性，不是與生具來的本質，而要視在研究架構中所扮演的角色。例如，行銷研究中，單位需求受國民所得的影響，國民所得為外生變數；而在經濟研究中，國民所得受消費、投資、政府支出的影響，故國民所得為內生變數。同樣是國民所得，在兩個研究領域中所扮演的角色，郤截然不同。不過，這兩個研究郤彼此相關，行銷研究預測市場需求時，要先預測經濟環境，而經濟環境的預測，是由經濟研究完成的。

資料依特性可分為連續性資料（Consecutive Data）與季節性資料（Seasonal Data），連續性資料不會定期循環，季節性資料則會定期循環。年資料因不會產生定期循環，大多為連續性資料。而季資料、月資料，是否為季節性資料，就要視是否會產生定期循環而異了。例如，可樂銷售量月資料，會產生夏天高、冬天低的定期循環，屬季節性資料；而利率月資料，不會有定期循環的情況產生，屬連續性資料。

ARIMA有狹義與廣義之分。狹義指ARIMA模式。而廣義則指ARIMA體系，包括四個模式，分別為ARIMA模式、ARIMAT模式、SARIMA模式、SARIMAT模式。僅提ARIMA，未特別指明是哪一個模式的話，基本上，視為廣義的ARIMA，泛指四個模式中的一個。茲以每人牛奶用量預測為例，說明ARIMA體系的應用。長期預測適合以年資料為基礎，如以過30年資料預測未來5年，解釋變數為國民所得，早期所得低時，消費者喝不起牛奶，量會較少。短期預測適合以月資料為基礎，如以過去36個月資料預測未來3個月，解釋變數則為月均溫，天氣熱時，每人用量會較多。

ARIMA與AIRMAT適用於以年資料產生長期預測。ARIMA模式適用於外生變數、連續性資料之預測，可用以預測國民所得。ARIMAT為ARIMA轉移函數（Transfer Function），適用於內生變數、連續性資料之預測，可用以估計每人用量與國民所得之轉移函數，並將國民所得預測代入轉移函數，產生每人用量預測。

SARIMA與SAIRMAT適用於以月資料產生短期預測。SARIMA模式為季節性ARIMA （Seasonal ARIMA）模式，適用於外生變數、季節性資料之預測，可用以預測月均溫。SARIMAT為季節性ARIMA轉移函數（Seasonal ARIMA Transfer Function）模式，適用於內生變數、季節性資料之預測，可用以估計每人用量與月均溫之轉移函數，並將月均溫預測代入轉移函數，產生每人用量預測。

模型設定與估計:

ARIMA (p,d,q)模式，如下所示：

()[]()t q q 221t d p p 221e B B B 1Y B B B 1θ--θ-θ-=μ-∇φ--φ-φ-

ARIMA(p,d,q)模式可改寫為：

()()

t q q 221t p p 221e B B B 1y B B B 1θ--θ-θ-=φ--φ-φ- ⇒ ()t t e B y )B (θ=φ d 之辨認

d 是序列之差分階數，通常可藉由序列之趨勢圖加以判定，若趨勢為水平，則設定d=0；若趨勢為直線，則不論是直線上升或直線下降，皆設定d=1；若趨勢為二次式，皆設定d=2。

在辨認d 值之後，應對原始序列進行差分d 階之工作。將差分後之序列(∇dYt)減去差分後之均值(μ)，即產生一差分後之新序列yt ，亦即yt=∇dYt-μ。差分之目的，就是在使新序列yt 滿足定態之要求。

(p,q)之辨認

模式設定之第二個步驟是(p,q)之辨認，依據準則是ACF 、PACF 等二圖之型式，在辨認(p,q)時，應先檢驗模式是否為單純AR(p)或單純MA(q)模式，若二者皆不是，便可判定模式為ARMA(p,q)。

(p,q)辨認準則

相關函數 模式

ACF IACF PACF AR(p)

尾部收斂 p 階後切斷 p 階後切

斷 MA(q) q 階後切斷 尾部收斂

尾部收斂 ARMA(p,q) 尾部收斂 尾部收斂 尾部收斂 下圖，由於ACF 為尾部收斂， PACF 皆在一階後切斷，故可辨認出模式為AR(1)。