几个常见函数的导数
14个求导公式
14个求导公式导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在求导过程中，我们遵循一些公式和规则，以便更方便地计算导数。
本文将介绍14个常见的求导公式，并解释其应用。
1. 常数函数的导数公式对于常数函数f(x) = c，其中c是一个实数常数，其导数为f'(x) = 0。
这是因为常数函数在任何点上的变化率都为0。
2. 幂函数的导数公式对于幂函数f(x) = x^n，其中n是一个实数常数，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
这个公式可以用来求解各种幂函数的导数。
3. 指数函数的导数公式对于指数函数f(x) = a^x，其中a是一个正实数且不等于1，其导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
这个公式可以用来求解各种指数函数的导数。
4. 对数函数的导数公式对于对数函数f(x) = log_a(x)，其中a是一个正实数且不等于1，其导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
这个公式可以用来求解各种对数函数的导数。
5. 三角函数的导数公式对于正弦函数f(x) = sin(x)，其导数为f'(x) = cos(x)。
对于余弦函数f(x) = cos(x)，其导数为f'(x) = -sin(x)。
对于正切函数f(x) = tan(x)，其导数为f'(x) = sec^2(x)。
6. 反三角函数的导数公式对于反正弦函数f(x) = arcsin(x)，其导数为f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)。
对于反余弦函数f(x) = arccos(x)，其导数为f'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)。
对于反正切函数f(x) = arctan(x)，其导数为f'(x) = 1 / (1 + x^2)。
7. 双曲函数的导数公式对于双曲正弦函数f(x) = sinh(x)，其导数为f'(x) = cosh(x)。
常见函数导数表
以下是一些常见函数的导数：
1. 常数函数：f(x)=c的导数为0。
2. 幂函数：f(x)=x^n的导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数：f(x)=a^x的导数为f'(x)=a^x*lna。
4. 对数函数：f(x)=lnx的导数为f'(x)=1/x。
5. 三角函数：
* 正弦函数：f(x)=sinx的导数为f'(x)=cosx。
* 余弦函数：f(x)=cosx的导数为f'(x)=-sinx。
* 正切函数：f(x)=tanx的导数为f'(x)=sec^2x。
6. 反三角函数：
* 反正弦函数：f(x)=arcsinx的导数为f'(x)=1/√(1-x^2)。
* 反余弦函数：f(x)=arccosx的导数为f'(x)=-1/√(1-x^2)。
* 反正切函数：f(x)=arctanx的导数为f'(x)=1/(1+x^2)。
7. 双曲函数：
* 自然双曲正弦函数：f(x)=shx的导数为f'(x)=chx。
* 自然双曲余弦函数：f(x)=chx的导数为f'(x)=shx。
8. 幂函数：对于形如f(x)=ax^n的幂函数，其导数为
f'(x)=nax^(n-1)。
9. 分式函数：对于形如f(x)=u/v的函数，其中u和v都是可导的，其导数为f'(x)=(u'v-uv')/v^2。
这只是一部分常见函数的导数，实际上还有很多其他类型的函数，这些函数的导数都需要根据具体情况进行计算。
几种常见函数的导数
§ 3.2 几种常见函数的导数课时安排1课时从容说课本节依次要讲述函数y =C (常量函数)，y =x n (n ∈Q )，y =sin x ，y =cos x 的导数公式，这些公式都是由导数的定义导出的,所以要强调导数定义在解题中的作用.(1)关于公式(x n )′=nx n -1(n ∈Q )，这个公式的证明比较复杂，教科书中只给了n ∈N *情况下的证明.实际上，这个公式对于n ∈R 都成立.在n ∈N *的情况下证明公式，一定要让学生自主去探索，特别是xx x x x x f x x f nn ∆-∆+=∆-∆+)()()(要运用二项式定理展开后再证明，化为12211)(---∆++∆⋅+n n n n n n n x C x x C x C ，当Δx →0时，其极限为11-n n x C 即nx n -1.在讲完这个公式后教师可以因势利导，让学生利用定义或这个公式求y =(x -a)n 的导数，学生一定会模仿上述方法用定义求解，这是十分可贵的.也有的学生要利用二项式定理先将(x -a)n 展开，然后求导,即利用(x n )′=nx n -1求导.y =(x -a )n =n n n n n n n n n n a C a x C a x C x C )1(222110-⋅+-+-=-- ，1112110)1()1(------++-⋅-='n n n n n n n n a C a x n C x nC y ，利用11--=k n k n nC kC 将其合并成二项式定理的形式.当然有这种解法的，应该提出表场，激励学生大胆创新，同时也要提出这要运用导数的和差运算法则，并告诉学生这是2003年高考题.(2)运用定义证明公式(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x ，要用到极限1sin lim0=→∆xx x ，根据学生的情况可以补充证明.第五课时课 题§ 3.2 几种常见函数的导数教学目标一、教学知识点1.公式1 C ′=0(C 为常数)2.公式2 (x n )′=nx n -1(n ∈Q )3.公式3 (sin x )′=cos x4.公式4 (cos x )′=-sin x5.变化率二、能力训练要求1.掌握四个公式，理解公式的证明过程.2.学会利用公式，求一些函数的导数.3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题.三、德育渗透目标1.培养学生的计算能力.2.培养学生的应用能力.3.培养学生自学的能力.教学重点四种常见函数的导数:C ′=0(C 为常数)，(x n )′=nx n -1(x ∈Q )，(sin x )′=cos x ,(cos x )′=-sin x .教学难点四种常见函数的导数的内容，以及证明的过程，这些公式是由导数定义导出的.教学方法建构主义式让学生自己根据导数的定义来推导公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先证n ∈N *的情况.教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用.Ⅱ.讲授新课［师］请几位同学上来用导数的定义求函数的导数.1.y =C (C 是常数)，求y ′.［学生板演］解：y =f (x )=C ，∴Δy =f (x +Δx )-f (x )=C -C =0,xy ∆∆=0. y ′=C ′=xy x ∆∆→∆0lim =0,∴y ′=0. 2.y =x n (n ∈N *),求y ′.［学生板演］解：y =f (x )=x n ,∴Δy =f (x +Δx )-f (x )=(x +Δx )n -x nn n n n n n n n n x x C x x C x x C x -∆⋅++∆+∆+=--)()(22211n n n n n n n x C x x C x x C )()(22211∆⋅++∆+∆=--12211)(---∆++∆+=∆∆n n n n n n n x C x x C x C xy ∴y ′=(x n )′1111221100)(lim lim -----→∆→∆==∆++∆+=∆∆=n n n n n n n n n n x x nx x C x C x x C x C x y . ∴y ′=nx n -1.3.y =x -n (n ∈N *),求y ′.［学生板演］解：Δy =(x +Δx )-n -x -nnn n n n n n n n n n n n n n n n n nn nn nn x x x x C x x C x C x y x x x x C x x C x C x x x x x x x x x )()()()()()()(1)(11221122211∆+∆++∆+-=∆∆∆+∆++∆+-=∆+∆+-=-∆+=----- ∴xy y x ∆∆='→∆0lim n n n n n n n n n n n n n x x x xC xx x x C x x C x C ⋅-=∆+∆++∆+-=----→∆11122110])()([lim=-nx -n -1.∴y ′=-nx -n -1.※4.y =sin x ,求y ′.(叫两位同学做)［学生板演］［生甲］解：Δy =sin(x +Δx )-sin x=sin x cos Δx +cos x sin Δx -sin x ,xx x x x x x y ∆-∆+∆=∆∆sin sin cos cos sin , ∴xy y x ∆∆='→∆0lim x x x x x xx x x x x xx x x x xxx x x x x x x x x cos 4)2(2sin )sin 2(lim sin cos lim )2sin 2(sin lim sin cos )1(cos sin lim sin sin cos cos sin lim22002000+∆⋅∆∆⋅-=∆∆+∆∆-=∆∆+-∆=∆-∆+∆=→∆→∆→∆→∆→∆ =-2sin x ·1·0+cos x =cos x .∴y ′=cos x .［生乙］Δy =sin(x +Δx )-sin x=2cos(x +2x ∆)sin 2x ∆，xx y ∆=∆∆22, ∴xy y x ∆∆='→∆0lim 22sin lim )2cos(lim 22sin )2cos(lim 2sin )2cos(2lim 0000xx x x xx x x xx x x x x x x ∆∆∆+=∆∆∆+=∆∆∆+=→∆→∆→∆→∆ =cos x .∴y ′=cos x .(如果叫两位同学上去做没有得到两种方法，老师可把另一种方法介绍一下)※5.y =cos x ,求y ′.(也叫两位同学一起做)［生甲］解：Δy =cos(x +Δx )-cos x=cos x cos Δx -sin x sin Δx -cos x ,x x x x x x x yy x x ∆-∆-∆=∆∆='→∆→∆cos sin sin cos cos lim lim00 1sin 4)2(2sin )cos 2(lim sin sin lim )2sin 2(cos lim sin sin )1(cos cos lim2200200⋅-∆⋅∆∆-=∆∆-∆∆-=∆∆--∆=→∆→∆→∆→∆x x x x x xx x x x x xxx x x x x x x =-2cos x ·1·0-sin x =-sin x ,∴y ′=-sin x .［生乙］解：x x x x x ∆-∆+→∆cos )cos(lim22sin )2sin(lim 22lim 00xx x x xx x ∆∆∆+-=∆=→∆→∆ =-sin x ,∴y ′=-sin x .［师］由4、5两道题我们可以比较一下，第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.上面的第2题和第3题中，只证明了n ∈N *的情况，实际上它对于全体实数都成立.我们把上面四种函数的导数作为四个公式，以后可以直接用.［板书］(一)公式1 C ′=0(C 是常数)公式2 (x n )′=nx n -1(n ∈R)公式3 (sin x )′=cos x公式4 (cos x )′=-sin x(二)课本例题［师］下面我们来看几个函数的导数，运用公式求:(1)(x 3)′；(2)(21x )′;(3)(x )′. ［学生板演］(1)解：(x 3)′=3x 3-1=3x 2.(2)解：3122222)()1(----=-='='x x x x. (3)解：xx x x x 212121)()(2112121==='='--. (还可以叫两个同学同做一道题，一个用极限即定义来求，一个用公式来求，比较一下)(三)变化率举例［师］我们知道在物理上求瞬时速度时，可以用求导的方法来求.知道运动方程s=s(t )，瞬时速度v =s′(t ).［板书］物体按s=s(t )作直线运动，则物体在时刻t 0的瞬时速度v 0=s′(t 0).v 0=s′(t 0)叫做位移s 在时刻t 0对时间t 的变化率.［师］我们引入了变化率的概念，函数f (x )在点x 0的导数也可以叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.很多物理量都是用变化率定义的，除了瞬时速度外，还有什么？［板书］函数y =f (x )在点x 0的导数叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.［生］例如角速度、电流等.［师］它们是分别对哪些量的变化率呢？［生］角速度是角度(作为时间的函数)对时间的变化率；电流是电量(作为时间的函数)对时间的变化率.［师］下面来看两道例题.［例1］已知物质所吸收的热量Q =Q (T )(热量Q 的单位是J ，绝对温度T 的单位是K)，求热量对温度的变化率C (即热容量).［学生分析］由变化率的含义，热量是温度的函数，所以热量对温度的变化率就是热量函数Q (T )对T 求导.解：C =Q ′(T ),即热容量为Q ′(T )J/K.［师］单位质量物质的热容量叫做比热容，那么上例中，如果物质的质量是v kg,那么比热容怎么表示？［生］比热容是v1Q ′(T ) J/(kg·K).图3-9［例2］如图3-9，质点P 在半径为10 cm 的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1 rad/s ，设A 为起始点，求时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度.［学生分析］要求时刻t 时M 点的速度，首先要求出在y 轴的运动方程，是关于t 的函数，再对t 求导，就能得到M 点的速度了.解：时刻t 时，∵角速度为1 rad/s,∴∠POA=1·t =t rad.∴∠MPO =∠POA =t rad.∴OM =OP ·sin ∠MPO =10·sin t .∴点M 的运动方程为y =10sin t .∴v =y ′=(10sin t )′=10cos t ，即时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度为10cos t cm/s.［师］我们学习了有关导数的知识，对于一些物理问题，就可以利用导数知识轻而易举地解决了.求导时，系数可提出来.Ⅲ.课堂练习1.(口答)求下列函数的导数.(1)y =x 5;(2)y =x 6;(3)x =sin t ;(4)u =cos φ. ［生］(1)y ′=(x 5)′=5x 4.［生］(2)y ′=(x 6)′=6x 5.［生］(3)x ′=(sin t )′=cos t .［生］(4)u ′=(cos φ)′=-sin φ.2.求下列函数的导数.(1)31xy =;(2)3x y =. (1)解：y ′=(31x )′=(x -3)′=-3x -3-1=-3x -4. (2)解：321313133131)()(--==''='x x x x y . 3.质点的运动方程是s=t 3(s 单位：m ,t 单位：s),求质点在t =3时的速度.解：v =s′=(t 3)′=3t 3-1=3t 2,当t =3时，v =3×32=27(m/s),∴质点在t =3时的速度为27 m/s.4.物体自由落体的运动方程是s =s (t )=221gt (s 单位：m ,t 单位：s,g =9.8 m/s 2),求t =3时的速度.解：gt t g gt t s v =⋅==='=-122221)21()(, 当t =3时，v =g·3=9.8×3=29.4(m/s),∴t =3时的速度为29.4 m/s.［师］该题也用到求导时系数可提出来,根据［Cf (x )］′=Cf ′(x )(C 是常数).这由极限的知识可以证得.xx f x x f C x x Cf x x Cf x Cf x x ∆-∆+=∆-∆+='→∆→∆)()(lim )()(lim ])([00=Cf ′(x ). 5.求曲线y =x 4在点P (2，16)处的切线方程.解：y ′=(x 4)′=4x 4-1=4x 3.∴y ′|x =2=4×23=32.∴点P (2，16)处的切线方程为y -16=32(x -2),即32x -y -48=0.Ⅳ.课时小结［学生总结］这节课主要学习了四个公式(①C ′=0(C 是常数)，②(x n )′=nx n -1(n ∈R),③(sin x )′=cos x ,④(cos x )′=-sin x )以及变化率的概念:v 0=s ′(t 0)叫做位移s 在时刻t 0对时间t 的变化率，函数y =f (x )在点x 0的导数f ′(x 0)叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.Ⅴ.课后作业(一)课本P 116习题3.2 2，4，5.(二)1.预习内容：课本P 118~119和(或差)、积的导数.2.预习提纲：(1)和(或差)的导数公式、证明过程.(2)积的导数 公式、证明过程.(3)预习例1、例2、例3，如何运用法则1、法则2.板书设计§ 3.2 几种常见函数的导数公式1C ′=0(C 为常数)公式2(x n )′=nx n -1(n ∈R)公式3(sin x )′=cos x公式4(cos x )′=-sin xv 0=s ′(t 0)是位移s 在t 0对时间t 的变化率.函数y =f (x )在点x 0的导数叫做函数f (x )在点x 0对自变量x 的变化率.1.y =C (C 是常数),求y ′.2.y =x n (n ∈N *),求y ′.3.y =x -n (n ∈N *),求y ′.4.y =sin x ,求y ′.(两种方法)5.y =cos x ,求y ′.(两种方法) 课本例题(1)(x 3)′;(2)(21x)′;(3)(x )′. 例1.已知物质所吸收的热量Q =Q (T )(Q 单位:J ，T 单位:K)，求热量对温度的变化率C (热容量).例2.质点P 在半径为10 cm 的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1 rad/s ，设A 为起始点，求时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度.课堂练习1.(口答)(1)(x 5)′;(2)(x 6)′;(3)(sin t )′；(4)(cos φ)′.2.(1) )1(3'x;(2)(3x )′. 3.质点运动方程是s=t 3，求t =3时的速度.4.221gt s =,求t =3时的速度. 5.求曲线y =x 4在P (2，16)处的切线方程.课后作业。
1.2几个常用函数的导数(高中数学人教A版选修2-2)
变式训练
1.求下列函数的导数 : (1)y＝ sinx－2x2; (2)y＝ cosx· lnx; ex (3)y＝ . sinx
解 :(1)y′＝ (sinx－2x2)′ ＝ (sinx)′－ (2x2)′ ＝ cosx－ 4x. (2)y′＝ (cosx· lnx)′ ＝ (cosx)′·lnx＋ cosx· (lnx)′ cosx ＝－ sinx· lnx＋ . x
(6)y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x [ 点评 ] 法则可简单叙述成：复合函数对自变量的导数，
等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变
量的导数．
2．复合函数求导
对于复合函数的求导法则，需注意以下几点： (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当 选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要 特别注意的是中间变量的系数．如 (sin 2x)′≠cos 2x. 2x)′ ＝ 2cos 2x ，而 (sin
语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两 个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘上第二个函数，加上第一个函 数乘上第二个函数的导数
两个函数的商的导数，等于分子的导数
乘上分母减去分子乘上分母的导数，再 除以分母的平方
2.复合函数的求导法则
复合函数
的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通 过变量u，y可以表示成 x的函数 ，那么称这个函 数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x)).
x 2
x
（5） y ln(4 x)
[例 1] 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合成的． ①y＝a
最常见的导数公式
最常见的导数公式在微积分中，导数是描述函数变化率的重要概念。
各种函数的导数具有一些常见的形式，掌握这些导数公式是解题的关键。
在本文中，我们将介绍一些最常见的导数公式，帮助读者更好地理解导数的计算方法。
1. 常数函数的导数对于常数函数f(f)=f，其中f为常数，其导数为0，即$$ \\frac{d}{dx}C = 0 $$这是因为常数函数的图像是一条水平线，在任意点的斜率都为0。
2. 幂函数的导数对于幂函数f(f)=f f，其中f为常数，其导数为$n \\cdot x^{n-1}$，即$$ \\frac{d}{dx}x^n = n \\cdot x^{n-1} $$这条公式可以用幂函数的导数定义以及幂函数的微分性质推导得出。
3. 指数函数的导数对于自然指数函数f(f)=f f，其导数仍然是f f，即$$ \\frac{d}{dx}e^x = e^x $$指数函数f f的导数与自身相等，这是指数函数在微积分中的一个重要性质。
4. 对数函数的导数对数函数的导数也有一些常见的形式。
对于自然对数函数$f(x) = \\ln x$，其导数为$\\frac{1}{x}$，即$$ \\frac{d}{dx}\\ln x = \\frac{1}{x} $$对数函数的导数经常在解决与指数函数相关的问题时使用。
5. 三角函数的导数三角函数在微积分中也经常出现，它们的导数具有一定的规律。
以下是一些常见三角函数的导数公式：•正弦函数$f(x) = \\sin x$的导数为$\\cos x$，即$\\frac{d}{dx}\\sin x = \\cos x$•余弦函数$f(x) = \\cos x$的导数为$-\\sin x$，即$\\frac{d}{dx}\\cos x = -\\sin x$•正切函数$f(x) = \\tan x$的导数为$\\sec^2 x$，即$\\frac{d}{dx}\\tan x = \\sec^2 x$•余切函数$f(x) = \\cot x$的导数为$-\\csc^2 x$，即$\\frac{d}{dx}\\cot x = -\\csc^2 x$三角函数的导数公式在解决三角函数相关问题时非常有用。
函数求导公式大全
函数求导公式大全本文为大家详细介绍了函数求导的相关公式，包括常见的初等函数求导公式、复合函数求导公式、参数函数求导公式、隐函数求导公式以及高阶导数的求法等内容，共计超过1200字。
希望能够帮助大家更好地理解和掌握函数求导的知识。
一、常见初等函数求导公式1.常数函数求导公式：对于常数c，f(x)=c的导数为f'(x)=0。
2. 幂函数求导公式：对于f(x)=x^n（n为常数），f'(x)=nx^(n-1)。
3.指数函数求导公式：对于f(x)=e^x，f'(x)=e^x。
4. 对数函数求导公式：对于f(x)=ln(x)，f'(x)=1/x。
5. 三角函数求导公式：（1）对于f(x)=sin(x)，f'(x)=cos(x)；（2）对于f(x)=cos(x)，f'(x)=-sin(x)；（3）对于f(x)=tan(x)，f'(x)=sec^2(x)；（4）对于f(x)=cot(x)，f'(x)=-csc^2(x)；（5）对于f(x)=sec(x)，f'(x)=sec(x)tan(x)；（6）对于f(x)=csc(x)，f'(x)=-csc(x)cot(x)。
二、复合函数求导公式1.一阶复合函数求导公式：若y=f(g(x))，则y'=f'(g(x))·g'(x)。
2.高阶复合函数求导公式：若y=f(g(x))，则y''=f''(g(x))·[g'(x)]^2+f'(g(x))·g''(x)。
三、参数函数求导公式1. 参数函数导数：设x=f(t)，y=g(t)，则y对x求导等于y对t求导除以x对t求导的商，即dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。
2. 参数方程的导数：设x=f(t)，y=g(t)，则dy/dx=dy/dt·dt/dx=dy/dt/(dx/dt)。
1.2.1 几个常用函数的导数
导函数 f′(x)＝_0____ f′(x)＝_α_x_α－__1 f′(x)＝_c_o_s_x_ f′(x) ＝－__s_in__x
答案
f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax
f(x)＝ln x
f′(x)＝_a_xl_n_a_(a>0，且a≠1)
f′(x)＝__e_x__ 1
f′(x)＝_x_ln__a_(a>0，且a≠1)
(2)函数 f(x)＝1x导数的几何意义是什么？ 答案 反比例函数 f(x)＝1x：导数 y′＝－x12， 几何意义为函数 y＝1x的图象上某点处切线的斜率为－x12.
答案
知识点二 基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝x8；
解 y′＝8x7；
(2)y＝12x；
解 y′＝12xln 12＝－12xln 2；
(3)y＝x x；
解
∵y＝x
3
x＝x 2
，∴y′＝32
1
x2 ；
(4)y＝log1 x.
3
解 y′＝ 1 1＝－xln1 3. xln 3
解析答案
题型二 利用导数公式求曲线的切线方程
解
y′＝cos
π4′＝0；
(4)y＝22x.
解 y′＝(22x)′＝(4x)′＝4x·ln 4.
反思与感悟
解析答案
反思与感悟
求简单函数的导函数的基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所 给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.
几个常用函数的导数 课件
几个常用函数的导数
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1．你会用导数的定义求①f(x)＝c ②f(x)＝x(c为常数)的
导数吗？你能用导数的物理意义和几何意义解释上述结论吗？
2．依据导数的定义求y＝x2，y＝
1 x
，y＝
x ，y＝x3的导
数，观察分析得到的结果，你发现了什么？
原函数
导函数
f(x)＝x2
f ′(x)＝2x
②设曲线y＝
1 x
过点P(1,0)的切线与曲线相切于点A(x0，
x10)，则切线的斜率k＝－x102， ∴切线方程为y－x10＝－x120(x－x0)， ∵点P(1,0)在切线上，
∴－x10＝－x102(1－x0)，解得x0＝12.
故所求的切线方程为4x＋y－4＝0. [方法规律总结] 符合常用函数特点的函数求导数可依据
[正解] (1)易知P点在曲线y＝x3上，当P点为切点时，由 上面解法知切线方程为12x－y－16＝0.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切 线的斜率为k＝3x20.
∵A在曲线上，∴y0＝x30，∴xx300－－82＝3x20，
∴x30－3x20＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， ∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3， 此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和 3x－y＋2＝0. [警示] 求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲 线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．
牛刀小试
1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2
各种函数求导
各种函数求导一、导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，可以理解为函数在该点处的斜率，用符号f'(x)表示。
导数的定义公式为：f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h其中，h表示自变量x的增量。
二、常见函数求导法则1. 常数函数常数函数的导数为0，即f'(x) = 0。
2. 幂函数幂函数y = x^n（n为任意实数）的导数为：y' = nx^(n-1)例如，y = x^2，则y' = 2x；y = x^3，则y' = 3x^2。
3. 指数函数指数函数y = a^x（a>0且a≠1）的导数为：y' = a^x * ln(a)其中ln(a)表示以e为底的对数。
例如，y = e^x，则y' = e^x；y = 2^x，则y' = 2^x * ln(2)。
4. 对数函数对数函数y = log_a(x)（a>0且a≠1）的导数为：y' = 1/(ln(a)*x)例如，y = log_e(x)，则y' = 1/x； y=log_2(x)，则 y'=1/(ln(2)*x)。
5. 三角函数正弦函数、余弦函数和正切函数及其反三角函数的求导公式如下：sin(x)' = cos(x)cos(x)' = -sin(x)tan(x)' = sec^2(x)cot(x)' = -csc^2(x)arcsin(x)' = 1/√(1-x^2)arccos(x)' = -1/√(1-x^2)arctan(x)' = 1/(1+x^2)arccot(x)' = -1/(1+x^2)其中，sec和csc分别表示余割和正割函数。
6. 复合函数复合函数的求导需要使用链式法则，即：若y=f(u)，u=g(x)，则y'=(dy/du)*(du/dx)=f'(u)*g'(x)。
16个基本导数公式表
以下是常见的16个基本导数公式：$ \frac{d}{dx}(c) = 0 $：常数函数的导数为0。
$ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} $：幂函数的导数等于指数乘以底数的指数减1。
$ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x $：正弦函数的导数是余弦函数。
$ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x $：余弦函数的导数是负正弦函数。
$ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x $：正切函数的导数是它的平方的倒数。
$ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} $：自然对数函数的导数是它的倒数。
$ \frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} $：常用对数函数的导数是它的倒数和自然对数a 的比率。
$ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x $：指数函数的导数等于它本身。
$ \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a $：以a 为底的幂函数的导数等于函数值和底数的自然对数的乘积。
$ \frac{d}{dx}(\sin^{-1}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $：反正弦函数的导数等于1除以根号下一减去x 的平方。
$ \frac{d}{dx}(\cos^{-1}x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $：反余弦函数的导数等于负1除以根号下一减去x 的平方。
$ \frac{d}{dx}(\tan^{-1}x) = \frac{1}{1+x^2} $：反正切函数的导数等于1除以1加上x 的平方。
$ \frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x $：双曲正弦函数的导数等于双曲余弦函数。
$ \frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x $：双曲余弦函数的导数等于双曲正弦函数。
16个基本导数公式详解
16个基本导数公式详解在微积分中，导数是一个基本的概念。
它描述了函数在给定点的变化率。
了解导数的基本公式对于求解微积分问题是至关重要的。
在本文中，我们将详细讨论16个基本导数公式，每个公式都将包含定义、求导法则和常见的具体例子。
1.常数函数的导数：定义：如果函数$f(x)$是一个常数，则$f'(x)=0$。
求导法则：常数的导数是0。
例如：对于函数$f(x)=5$，它的导数$f'(x)=0$。
2.幂函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=x^n$，其中 $n$ 是一个正整数，则$f'(x)=nx^{n-1}$。
求导法则：对于幂函数，使用幂函数的指数作为系数，然后将指数减1例如：对于函数$f(x)=x^2$，它的导数$f'(x)=2x$。
3.指数函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=a^x$，其中 $a$ 是一个正常数且 $a \neq 1$，则 $f'(x)=a^x \ln(a)$。
求导法则：对于指数函数，使用指数和常数的乘积，并且乘以自然对数的底数。
例如：对于函数 $f(x)=2^x$，它的导数 $f'(x)=2^x \ln(2)$。
4.对数函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\log_a(x)$，其中 $a$ 是一个正常数且 $a\neq 1$，则 $f'(x)=\frac{1}{x \ln(a)}$。
求导法则：对于对数函数，使用1除以输入的自变量乘以自然对数的底数。
例如：对于函数 $f(x)=\log_2(x)$，它的导数 $f'(x)=\frac{1}{x\ln(2)}$。
5.正弦函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\sin(x)$，则 $f'(x)=\cos(x)$。
求导法则：正弦函数的导数是余弦函数。
例如：对于函数 $f(x)=\sin(2x)$，它的导数 $f'(x)=2\cos(2x)$。
6.余弦函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\cos(x)$，则 $f'(x)=-\sin(x)$。
导数的计算
导数的计算一、导数的概念1、y=f(x)在x=x0处的导数．2、y=f(x)的导(函)数．二、常见的函数的导数1、y=f(x)=c（c为常数）2、y=f(x)=x3、y=f(x)=x24、y=f(x)=5、三、基本初等函数的求导公式1、若f(x)=c(c为常数)，则f′(x)=0；2、若f(x)=xα(α∈Q*)，则f′(x)=αxα－1；3、若f(x)=sinx，则f′(x)=cosx；4、若f(x)=cosx，则f′(x)=－sinx；5、若f(x)=a x(a>0且a≠1)，则f′(x)=a x lna；6、若f(x)=e x，则f′(x)=e x；7、若f(x)=log a x(a>0且a≠1)，则f′(x)=；8、若f(x)=lnx，则f′(x)=．例1、假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（元）与时间t（年）有如下函数关系：p(t)=p0(1＋5%)t，其中p0为t=0时的物价．假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：当p0=1时，p(t)=1.05t．∴p′(t)=1.05t ln1.05，∴p′(10)=1.0510ln1.05≈0.08（元/年）．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．四、导数的运算法则1、[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)；2、[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)＋f(x) g′(x)；3、．推论：[cf(x)] ′=cf′(x)（c为常数）练习：1、已知函数f(x)=ax3＋9x2＋6x－7，若f′(－1)=4，则a=___________．答案：2、已知物体的运动方程是S=－2t2－12t(t表示时间，单位：秒，S表示位移，单位：米)，则瞬时速度为0的时刻是___________秒．答案：6五、复合函数的求导法则1、复合函数的定义：一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u，y可以表示为x的函数，那么称这个函数为y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x))．2、复合函数y=f(g(x))的导数：设y=f(u)，u=g(x)，则y x′=y u′·u x′或y x′=f′(g(x))·g′(x)．例2、求下列复合函数的导数．(1)y=(2x＋3)2；(2)y=e－0.05x＋1；(3)y=sin(πx＋)(π，为常数)．解：（1）．法二：函数y=(2x＋3)2可以看作函数y=u2和u=2x＋3的复合函数，∴y x′=y u′·u x′=2u·2=4u=4(2x＋3)=8x＋12．(2)y=e－0.05x＋1可以看作函数y=e u和u=－0.05x＋1的复合函数，∴y x′=y u′·u x′=e u·(－0.05)=－0.05e u=－0.05e－0.05x＋1．(3)y=sin(πx＋)可以看作函数y=sinu和u=πx＋的复合函数，∴y x′=y u′·u x′=(cosu)·π=πcosu=πcos(πx＋)．一、选择题1、曲线在点(1，)处切线的倾斜角为（）A．1 B．C．D．2、下列结论不正确的是（）A．若y=3，则y′=0B．若，则C．若，则D．若y=3x，则y′|x=1=33、已知函数f(x)=x3的切线的斜率等于1，则切线有（）A．1条B．2条C．3条D．不确定4、若对任意x属于R，f′(x)=4x3，f(1)=－1，则f(x)是（）A．f(x)=x4B．f(x)=x4－2C．f(x)=4x3－5 D．f(x)=x4＋25、函数y=lgx在x=1处的切线方程为（）A．y=lge(x－1) B．y=(ln10)(x－1)C．y=x D．y=06、函数(a>0且a≠1)的导数为（）A．B．－a－x lnaC．a－x lna D．7、函数(x>0)的导数是（）A． B．C． D．8、函数y=x－(2x－1)2的导数是（）A．3－4x B．3＋4xC．5＋8x D．5－8x9、垂直于直线2x－6y＋1=0，且与曲线y=x3＋3x2－1相切的直线方程是（）A．3x＋y＋2=0 B．3x－y＋2=0C．3x＋y－2=0 D．3x－y－2=010、已知函数f(x)在x=1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为（）A．f(x)=(x－1)3＋3(x－1) B．f(x)=2(x－1)C．f(x)=2(x－1)2D．f(x)=x－1二、填空题11、求下列函数的导数：(1)y=x300π；(2)；(3)y=log3x．11、解：(1)y′=300πx300π－1；(2)y′=－()x ln2；(3)．12、求下列函数的导数：(1)f(x)=(x3＋1)(2x2＋8x－5)；(2)f(x)=xtanx－；(3)．12、解：(1)∵f′(x)=(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′，∴f′(x)=10x4＋32x3－15x2＋4x＋8．13、已知曲线C：y=x3－3x2＋2x，直线l：y=kx，且l与C切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标．。
常见导函数
常见导函数导函数，也称导数，是微积分学中的概念，它是一种描述函数变化率的工具。
在现代数学中，导函数有着非常广泛的应用，它不仅可以用于求解函数的最大值、最小值、单调性等问题，还可以用于解决微积分、概率论、物理学等领域的问题。
在本文中，我们将介绍一些常见的导函数，并讲解它们的应用。
常数函数的导函数常数函数是导函数的最简单例子，它的导数为零。
也就是说，如果$f(x)=c$，其中$c$是常数，那么$f'(x)=0$。
这是因为常数函数的图像是一条横线，它的斜率为零，所以它的导数也为零。
一次函数的导函数一次函数是指形如$f(x)=ax+b$的函数，其中$a$和$b$都是常数。
一次函数的导函数为它的斜率，即$f'(x)=a$。
这是因为一次函数的图像是一条直线，它的斜率就是函数的导数。
二次函数的导函数二次函数是指形如$f(x)=ax^2+bx+c$的函数，其中$a$、$b$和$c$都是常数。
二次函数的导函数为$f'(x)=2ax+b$。
这是因为二次函数的图像是一个抛物线，它每个点的斜率都可以用导数表示。
指数和对数函数的导函数指数和对数函数也是常见的函数类型，在微积分中，这两种函数有着重要的应用。
指数函数$y=a^x$的导函数为$f'(x)=\ln a\cdot a^x$，其中$\ln$表示自然对数。
对数函数$y=\log_a x$的导函数为$f'(x)=1/(x\ln a)$。
这两个函数的导数与它们的底数相关，因此它们也被称为底数为$a$的指数函数和对数函数。
三角函数的导函数三角函数是指正弦函数、余弦函数、正切函数等。
这些函数在微积分中也有着很重要的应用。
正弦函数的导数为$f'(x)=\cos x$，余弦函数的导数为$f'(x)=-\sin x$，正切函数的导数为$f'(x)=\sec^2 x$。
这些函数的导数具有周期性和周期性的性质。
其他常见函数的导函数除了上述函数类型外，还有许多其他常见的函数类型，它们的导函数也有着特殊的性质。
导数公式大全
导数公式大全1、原函数：y=c(c为常数)导数：y'=02、原函数：y=x^n导数：y'=nx^(n-1)3、原函数：y=tanx导数：y'=1/cos^2x4、原函数：y=cotx导数：y'=-1/sin^2x5、原函数：y=sinx导数：y'=cosx6、原函数：y=cosx导数：y'=-sinx7、原函数：y=a^x导数：y'=a^xlna8、原函数：y=e^x导数：y'=e^x9、原函数：y=logax导数：y'=logae/x10、原函数：y=lnx导数：y'=1/xy=f(x)=c (c为常数),则f'(x)=0f(x)=x^n (n不等于0) f'(x)=nx^(n-1) (x^n表示x的n次方)f(x)=sinx f'(x)=cosxf(x)=cosx f'(x)=-sinxf(x)=tanx f'(x)=sec^2xf(x)=a^x f'(x)=a^xlna(a>0且a不等于1,x>0)f(x)=e^x f'(x)=e^xf(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>0且a不等于1,x>0)f(x)=lnx f'(x)=1/x (x>0)f(x)=tanx f'(x)=1/cos^2 xf(x)=cotx f'(x)=- 1/sin^2 xf(x)=acrsin(x) f'(x)=1/√(1-x^2)f(x)=acrcos(x) f'(x)=-1/√(1-x^2)f(x)=acrtan(x) f'(x)=-1/(1+x^2)导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df/dx(x0)。
导数计算公式和法则
导数计算公式和法则导数是微积分中的一个重要概念，表示函数在某一点处的变化率。
导数的计算公式和法则如下：1. 基本导数公式：(1) 若y=f(x)，则y的导数为f(x)在x点处的导数，即f'(x)。
(2) 若y=u/v，其中u、v为两个可导函数，v(x)不为0，则y的导数为：y'=(u'v-uv')/v²2. 常见函数的导数：(1) 常函数y=C的导数为0，即y'=0。
(2) 幂函数y=xⁿ的导数为y'=nxⁿ⁻¹。
(3) 正弦函数y=sin(x)的导数为y'=cos(x)。
(4) 余弦函数y=cos(x)的导数为y'=-sin(x)。
(5) 指数函数y=aˣ的导数为y'=aˣln a。
(6) 对数函数y=logₐx的导数为y'=1/(xln a)。
3. 基本导数法则：(1) 常数因子法则：若y=Cf(x)，其中C为常数，则y'等于f(x)的导数乘以常数C，即y'=Cf'(x)。
(2) 常数和法则：若y=f(x)±g(x)，则y'等于f(x)的导数和g(x)的导数的和（减法同理），即y'=f'(x)±g'(x)。
(3) 乘法法则：若y=f(x)g(x)，则y'等于f(x)的导数乘以g(x)加上g(x)的导数乘以f(x)，即y'=f'(x)g(x)+g'(x)f(x)。
(4) 除法法则：若y=f(x)/g(x)，其中g(x)不为0，则y'等于f(x)的导数乘以g(x)减去f(x)乘以g(x)的导数除以g(x)的平方，即y'=[f'(x)g(x)-g'(x)f(x)]/g²(x)。
(5) 复合函数法则：若y=f(u)，u=g(x)，则y'等于f(u)对u的导数乘以u对x的导数，即y'=f'(u)g'(x)。
几个常用函数的导数精品课件
5x0＝2，解得
x0＝2156.∴y0＝245，
∴所求切线方程为 y－245＝2(x－2156)，
即 2x－y＋285＝0，即 16x－8y＋25＝0.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练2 试求过点P(2，－1)，且与曲线y＝x2相切的直线的方程.
解析答案
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1.函数 f(x)＝ x，则 f′(3)等于( A )
函数 导数
物理意义
若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解
y＝c y′＝0 释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止
状态
若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解 y＝x y′＝1
释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动
函数图象上点(x，y)处切线的斜率为2x，当y＝x2表
y＝x2 y′＝2x 示路程关于时间的函数时，y′＝2x表示物体作变
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3A. 6ຫໍສະໝຸດ B.01 C.2 x
3 D. 2
解析 ∵根据导数的定义可求得 f′(x)＝21 x，
∴f′(3)＝2 1 3＝
3 6.
1 234
解析答案
1 234
2.曲线y＝x3在点P处切线的斜率为k，当k＝3时，P点坐标为( B )
A.(－2，－8) B.(－1，－1)或(1,1)
C.(2,8)
D.(－12，－18)
第三章 §3.2 导数的计算
3.2.1 几个常用函数的导数
学习目标
1.能根据定义求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝ x的导数. 2.掌握并能运用这几个常用函数的导数公式.
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§1.2.1几个常见函数的导数
【学情分析】：
本节重要是介绍求导数的方法.根据导数定义求导数是最基本的方法.但是,由于最终总会归结为求极
限,而本章并没有介绍极限知识,因此,
教科书只是采用这种方法计算21
,,,,
y c y x y x y y
x
=====这五个常见函数的导数.学生只要会用导数公式和求简单函数的导数即可.
【教学目标】：
（1）用导数定义,
求函数2
1
,,,,
y c y x y x y y
x
=====.
（2）能用基本初等函数的导数公式和导数运算法则求简单函数的导数.
（3）理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题，培养学生的应用意识. 【教学重点】：
能用导数定义,
求函数21
,,,,
y c y x y x y y
x
=====. 【教学难点】：
能用基本初等函数的导数公式和导数加减运算法则求简单函数的导数.
3
(4)(0)
y x x =>
练习与测试： A ．基础题.
1．求下列函数的导数：
（1）12
y x = （2）y = （3）41
y x
=
（4）y = 答案：（1）'11
12y x = （2）'
y =
（3）'
5
4y x -=-
（4）2'
5
35
y x -=
2．已知函数2
()f x x =，则'
(3)f =（ ） （A ）0 （B ）2x （C ）6 （D ）9 答案：C
3．已知函数1()f x x =，则'
(2)f -=（ ） （A ）4 （B ）14 （C ）4- （D ）1
4
-
答案：D
4．已知函数3
()f x x =的切线的斜率等于3，则其切线方程有（ ） （A ）1条 （B ）2条 （C ）多余2条 （D ）不存在 答案：B
B ．难题
1．已知(1,1),(2,4)P Q -是曲线2
y x =上两点，求与直线PQ 平行的曲线2
y x =的切线方程．
'(1,1),(2,4)121
11,24
11424410PQ P Q k y x x y y x x y -∴=====-
=---=解：令得所以曲线的切线方程为：即
2．设曲线3
y x =过点3
(,)a a 的切线与直线,0x a y ==所围成的三角形面积为
1
3
，求a . 3'2
332233
3()|3(,)3()320
2
0,;,3
12
()1
231
x a k x a a a y a a x a a x a y y x a x a y a S a a a a ===∴-=---======-=∴=±解：过点的切线方程为即令得得。