大学物理质点力学习题课

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质点力学习题课
解（1）由动量、机械能守恒，牛顿第二定律
mv0 ( M m)v 1 1 2 2 ( M m)v ( M m) gR(1 cos ) ( M m)ud 2 2 2 ud ( M m) g cos N ( M m) R 脱离即为：N 0 mv 2 解得：cos 2 3gR( M m) 3
2
cos 必为实数，所以有： 3 2 4m 6Mm 0 即：m M 2 2 2m 4m 6Mm 此时： cos1 6m
因
2m 4m 6Mm cos 2 6m
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2
取
1
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6. 图中A为定滑轮，B为动滑轮，三个物 体的质量分别为m1,m2,m3. 求:每个物体的加速度. 求:两根绳中的张力.(假定滑轮和绳的质 量以及绳的伸长和摩擦力均可忽略.) 已知：m1=200g m2=100g m3=50g
同理
a2 1.96 m/s (下) a3 5.88 m/s 2 (上)
2
T1 m1 ( g a1 ) 1.57N T2 T1 / 2 0.784N
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mA 4(kg)
f B 34.6( N )
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2. 如图所示，已知：半径为 R的光滑球面，质量为 M的 滑块，质量为m、水平速度v0的油灰球。求：（1）它们 滑至何处（θ=？）脱离球面？（2）如欲使二者在A处就 脱离球面，则油灰球的入射速率至少为多少？
v0 m M A θ O R
m1
A T1 B m2
T2 m3
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解： 取如图坐标系，作受力分析图如上。 T1 T2 T3
m1 a m2 a2 m3
1
a3
a´ a1 m1
A T1 a B 1 T2 m3
m1g m2g a ´ m3g 运用牛顿第二定律得： y
m1 : m1 g T1 m1a1 m2 : m2 g T2 m2 a 2 m3 : T2 m3 g m3 a3 T1 2T2
cos 2 / 3时，N 0对大环有一举力 cos 2 / 3时，N 0对大环无作用力
但 ，并不等于大环一定上升，要看其受力 cos〈2 / 3
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以大环为研究对象， cos〈2 / 3受力分析如图
T 2 N cos Mg MaM
m2
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a 2 a a1
解上述方程得：
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a3 a a1
a 为m2 相对B的加速度
(m1 2m2 ) g (m1 2m2 )a1 2 a 3.92 m/s 2m2 m1m2 m1m3 4m2 m3 2 a1 g 1.96m/s (下) m1m2 m1m3 4m2 m3
m θ θ M
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m
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证明：以小环为研究对象，受力分析如图 v2 mg cos N m m R 1 mgR mv 2 mgR cos 2 N
θ θ
mg
M
可见： cos 2 / 3时，N 0对大环有一压力
2 N 3mg (cos ) 3
dv 由 a 可求： v v0 a dt S S 0 vdt dt
角量与线量的关系：
d d 2 dt dt dr R d

2
v R a R an R
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2
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2、动力学 （1）牛顿运动定律 自然坐标系
时，
守恒定律：当
则有 E
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E0 C
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1.如图，CO绳与竖直方向成30o角度，O为一定滑轮， 物体A与B用跨过定滑轮的细绳相连，处于平衡状态。 已知B的质量为10kg，地面对B的支持为80N，若不考 虑滑轮的大小。 求：(1) 物体A的质量； (2) 物体B与地面的摩擦力； (3) 绳CO的拉力。 C
30o
O
A B
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解： TA Tc 30
0
T
B
N B
A
mAg TA

B T
B
f
B
mbg
A : m A g TA 0
B: f B TB sin 0 N B TB cos mB g 0
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(1)
(2) (3)
(1)
(2)
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1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 mv x mv y MV mv ' mv x 2 2 2 2 2
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解（1）（2）式可得
（3）机械能守恒：
2m 2 gh V M mwk.baidu.com
1 1 2 1 2 MV ky0 Mgy max k ( y0 ymax ) 2 2 2 2
v 2( M m) M
M B
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(2)当m到达B点时M以V运动,可看成惯性系,以M为参照 系
v N mg m R
2
3M 2m N mg M
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4. 如图所示，将一块质量为M的平板PQ放在倔强系数 为k的轻弹簧上，现有一质量为m的小球放在光滑的桌 面上，桌面与平板PQ的高度差为h，现给小球一个水 平初速v0，使小球落到平板上与平板发生完全弹性碰 撞，求弹簧的最大压缩量是多少？ m v0
A
m
M
B
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解:(1)设m在B点时相对M的速度为v，M对地的速度为 V，对m,M系统水平方向动量守恒，对m,M,地系统机 械能守恒.
m(v V ) MV 0
1 1 2 m(v V ) MV 2 mgR 2 2 A m 2 Rg V m M ( M m)
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2 2 0
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（2）若在A处脱离，则有：
mv0 ( M m )u A u ( M m) g N ( M m) R N 0 ( M m ) Rg v0 m
2 A
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3. 质量为 M，半径为R的1/4圆周 的光滑弧形滑块，静止于光滑桌 面上，今有质量为m 的物体由弧 的上端A点由静止滑下，试求: 当 m 滑到最低点 B 时， (1)m 相对于 M的速度v及M 相对于地的速度V； (2)M 对m 的作用力N。
M
P
Q
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解：物理过程
1.m作平抛运动 2.m、M作完全弹性碰撞 3.M作减速运动
（1）小球刚要与PQ碰撞时的速度为： m
v0
M
vx v0
v y 2 gh
P
（2）m、M在碰撞过程中， 满足动量和动能守恒
Q
即：mvy MV mv'
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C : TC cos 30 TB cos TA 0
o
(4) (5)
TC sin 30 TB sin 0
0
TA TB
联立（4）（5）（6）得
(6) 0 60
f B tg (mB g N B )
T C 69.3( N )
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大环上升的瞬间有： N´ T N´
T 0
aM 0
2 N cos Mg 2 N | N | 3mg ( cos ) 3 2 6m cos 4m cos M 0
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mg
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2m 4m 6Mm cos 6m
F外 0

F dt
守恒定律：当
P P0 C
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时，则有
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（2）力的空间累积
变力的功： 动能定理： 功能原理：
W

b
a
b F dS F cosdS

a
W Ek Ek 0
W外 W非保守内力 E E 其中：E Ek E P W外 W非保守内力 0
质点力学习题课 一、内容小结
1、运动学
r xi yj zk r r2 r1
dr v dt d r a 2 dt
2
2
v dv a an a n dt
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Mg 且有：y0 k
ymax
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2m 2Mgh M m k
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5. 已知：大环质量M，两个质量均为m的均匀小环， 无摩擦，系统开始静止。若两个小环同时从大环顶部 由静止开始向两边滑下，试证：若 m≥3M/2, 则在两 个小环下滑至某一位置时大环会升起，并求出大环开 始上升时小环下滑的角度θ。
F ma
直角坐标系
dv F ma m dt Fn ma n m
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Fx ma x Fy ma y Fz ma z
v
2

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（2）力的时间累积
动
量： P mv
冲
量：I
动量定理：
I P P0