2 线性系统的可控性

Ax bu x
其状态可控性定义如下： 在有限时间间隔t∈[t0 ,tf]内，存在无约束的分段 连续控制函数u(t)，能使系统从任意初态x(t0)转移 至任意终态x(tf)，则称该系统是状态完全可控的， 简称是可控的。
式（5）状态方程的解为
x(t f ) (t f t 0 ) x(t 0 ) (t f )bu( )d
7-2 线性系统的可控性与可观测性
一．概念
经典控制理论中用传递函数描述系统输入 —输出特性，输 出量即被控量，只要系统稳定，输出量便可以受控；且输 出量总是可测量的，故不需提出可控及可观测的概念。 现代控制理论用状态方程和输出方程来描述系统，揭示系 统内部状态的变化规律，状态是被控量，输出量只是状态 的线性组合，于是存在“能否找到使任意初态转移到任意 终态的控制量”的问题即可控性问题。并非所有状态都受 输入量的控制；有时只存在这样的控制，它使任意初态转 移到某些确定的终态，而不是任意的终态。同时存在“能 否由输出量的测量值来确定线性组合起来的各状态分量” 的问题，即可观测性问题。并非所有状态分量都可测量， 也并非所有状态分量都可由输出量的测量值来确定。
例2
（a）显见x1受u控制，但x2与u 无关，故系统不可控。输出量 y=x1 ，但 x1 是受 x2 影响的， y能 间接获得 x2 的信息，故系统是 可观测的。 （ b ） x1 、 x2 均受 u 的控制，故 系统可控，但 y与 x2无关，故系 统不可观测的。 （ c ） x1 、 x2 均受 u 的控制，且 在 y中均能观测到 x1 、 x2 ，故系 统可控可观测的。
可控性、可观测性概念，是用状态空间描述系统引申出来的 概念。于1960年卡尔曼首先提出，在现代的分析综合中占有 很重要的地位，也是许多最优控制、最优估计问题的解的存 在条件（但并非所有的都需要可控且可观测）。像稳定性一 样，可控性、可观测性也是系统固有的重要结构特性。 例1 一个桥式电路， iL , uc 作为 状态变量， 为输入，
此式称为凯莱—哈密顿定理。
推论1 矩阵A的k（ k n ）次幂，可表为A的 n 1 (n-1)阶多项式 Ak m Am m 0 即
A n1 A
n
n1
n 2 A
n 2
1 A 0 I
则
An1 AAn n1 An n2 An1 1 A2 0 A
n1 (n1 An1 1 A 0 I ) n2 An1 1 A2 0 A
2 n 1 n2 2 ( n ) A ( ) A ( a ) A 1 n2 n 1 n 2 n 3 n 1 2 1
令
um m ( )u( )d
0
tf
m 0,1, , n 1
则
x(0) A bum
m m 0
n 1
b

u0 u 1 n 1 Ab A b （7） u n 1

记
（ 8） 为单输入线性定常连续系统可控性矩阵， 为（ n n ）矩阵。 据解的存在定理，其状态可控的充分必要条件是 rankS n （9）
u
y为输出，即
y uc
。
（1）当非平衡时，即 R1 R4 R2 R3
时，
u 将控制两个状态变量的变化，且可通过选择， u 使任 意初态转移到任意终态，因此是可控的。由于测量到的 输出量即 uc ,且uc 与 i L 有确定的关系，即
uc含有i L
的信息，因而是可观测的。
（2）当平衡时，即 R1 R4 R2 R3时，u只能控制iL的变化， 不能控制uc，这时uc≡0，从而也不能由输出测量结果确 定iL，因而uc是不可控的，ic不可观测。 系统中只要有一个状态变量不可控或不可观测，便称该系统 不完全可控或不完全可观测，简称该系统不可控或不可观测。
可控性分为状态可控性和输出可控性，若不特别指明，便泛指
状态可控性。状态可控性只与状态方程有关。
1． 连续系统的状态可控性 （1）凯莱—哈密顿定理
设n阶矩阵A的特征多项式为
f () I A n an1n1 a1 a0
则A满足其特征方程，即
f ( A) An an1 An1 a1 A a0 I 0
t0
tf
e
A(t f t0 )
x(t 0 ) e
t0
tf
A( t f )
bu( )d
（ 6）
为导出可控性判据，仍可不失一般性地假定 t 0 0 及 x(t f ) 0 ，于是有
e
At f
x(0) e
0
tf
A( t f )
bu( )d 0
解得
x(0) e
0
tf
A
Fra Baidu bibliotekbu( )d
m
利用凯莱—哈密顿定理的推论
e
有
A
m ( ) A
m 0
n 1
x(0)
n 1
t f n 1
0
m 0
m

m
tf
( ) A bu( )d
m
A b m ( )u( )d 0 m 0
( n11 0 ) A n1 0 I
故上式推论成立。式中 m 与A阵的元素有关。
推论2 矩阵指数eAt可表为A的(n-1)阶多项式 （ 4） （2）单输入线性定常连续系统的可控性 设状态方程为 （ 5）
m 0
e At m (t ) Am
n 1
例3
当 R1 R2 u只能使 而不能将 由于 ，C1 C2
且初始状态 x1 (t 0 ) x2 (t 0 ) 时，
x1 (t ) x2 (t )
， 与 分别转移 故可观测。
x1 (t ) x 2 (t ) 到不同的数值，这也称为不可控。
y x1 x2
二．线性定常系统的可控性