初中数学辅助线添加技巧：旋转

初中数学辅助线添加技巧：旋转
方法总结
1．旋转是中考压轴题中常见题型，在解这类题目时，什么时候需要构造旋转，怎么构造旋转．下面，就不同类型的旋转问题，给出构造旋转图形的解题方法：
遇中点，旋转180°，构造中心对称； 遇90°，旋90°，造垂直； 遇60°，旋60°，造等边； 遇等腰，旋等腰．
综上四点得到旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转．
2．图形旋转后我们需要证明旋转全等，而旋转全等中的难点实际上是倒角．下面给出旋转常用倒角，只要是旋转，必然存在这两个倒角之一．
如图1，若AOB COD ∠=∠，必有AOC BOD ∠=∠，反之亦然． 如图2，若A D ∠=∠，必有B C ∠=∠．
图2
图1
O
A
B
C
D
D
C
B A
O
倒角是在初中数学学习中常用的名词，其意思是通过角之间的等量关系，得到我们所需要的角度的关系的过程．
典例精析
例1．（1）如图1，边长为1的正方形ABCD ，绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB'C'D'，图中我们阴影部分的面积是（ ）
A
．1-
B
C
．1 D ．1
2
（2）正方形ABCD 在坐标系中的位置如图2所示，将正方形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°后，B 点的坐标为 ．
图2图1
D'C'
B
A
解：（1）A ；（2）（4，0）．
点拨：本例第2小问是在平面直角坐标系中考查旋转变换的作图，是数形结合的完美体现．首先要确定旋转中心是点D 而不是坐标原点O ，此处易出现错误，然后利用平面直角坐标系的特征确定正方形ABCD 绕点D 旋转90°后B'的位置，这类题型常见于正方形网格中的旋转作图．
例2．如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、DC 上的点，且∠EAF =45°，求证：EF =BE ＋DF ．
F
E
D C
B
A
证明：延长CB 到点G ，使得BG =DF ，连接AG ．
G
F E
D C
B
A
∵四边形ABCD 是正方形， ∴90,D ABG AB AD ∠=∠=︒=． ∴ADF ABG △≌△． ∴,AF AG DAF BAG =∠=∠． ∵45EAF ∠=︒， ∴45DAF BAE ∠+∠=︒．
∴45DAG BAE ∠+∠=︒，即45EAG ∠=︒． ∵AE AE =， ∴AFE AGE △≌△．
∴EF EG EB BG BE DF ==+=+．
点拨：旋转图形可将分散的条件集中到一个图形中，从而可充分利用已知条件，找到有效的解题方法．这种方法在正方形、正三角形以及其它正多边形中都有着广泛的应用．
本题是旋转一个经典模型（半角模型），其中结论较多．
例3．如图，以ABC △的边AC 、AB 为一边，分别向三角形的外侧作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接EC 交AB 于点H ，连接BG 交CE 于点M ，求证：BG ⊥CE ．
M
H G
F
E
D
C
B
A
证明：∵四边ABDE 、ACFG 是正方形， ∴,,90AE AB AC AG EAB GAC ==∠=∠=︒． ∴EAB BAC GAC BAC ∠+∠=∠+∠． ∴EAC GAB ∠=∠． ∴EAC GAB =△△． ∴AEC ABG ∠=∠．
∵90,AEC AHE AHE BHM ∠+∠=︒∠=∠， ∴90ABG BHM ∠+∠=︒． ∴90EMB ∠=︒． ∴BG CE ⊥．
点拨：本题旋转的基本模型，充分体现了利用旋转全等解题，本题是以ABC △为基本，以其两边分别向外构造正方形，构成旋转全等（其中用到了8字倒角），和其类似的还可以构造正三角形以及正五边形．
例4．如图，在等腰ABC △中，,AB AC ABC α=∠=，在四边形BDEC 中，DB =DE ，
2BDE α∠=，M 为CE 的中点，连接AM 、DM ．
M E
D
C
B A
（1）在图中画出DEM △关于点M 成中心对称的图形； （2）求证：AM DM ⊥；
（3）当α= 时，AM DM =． 解：（1）
M F
E
D
C
B A
（2）在（1）中连接AD 、AF ．
M F
E
D
C
B A
由（1）中的中心对称可知，DEM FCM △≌△， ∴,,DE FC BD DM FM DEM FCM ===∠=∠， ∵2BDE α∠=，
∴ABD ABC CBD ∠=∠+∠
360BDE DEM BCE α=+︒-∠-∠-∠
360DEM BCE α=︒--∠-∠．
∵360360ACF ACE FCM BCE FCM α∠=︒-∠-∠=︒--∠-∠， ∴ABD ACF ∠=∠． ∵AB AC =， ∴ABD ACF =△△． ∴AD AF =． ∵DM FM =， ∴AM DM ⊥． （3）45α=︒．
∵,,AB AC AD AF BAC DAF ==∠=∠， ∴ADF ABC α∠=∠=．
若AM DM =，则ADM △为等腰直角三角形，即45ADM ∠=︒， ∴45α=︒
点拨：本题中第（1）问已经作出了中心对称图形，所以利用中心对称证全等的思路很清晰．本题的难点是利用周角和四边形的内角和为的有关知识倒角．初中几何常用的倒角是平行线的三线八角、对顶角、等边对等角等．
例5．已知:在△ABC 中，BC =a ，AC =b ，以AB 为边作等边三角形ABD . 探究下列问题: （1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a =b =3，且∠ACB =60°，则CD = ；
（2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a =b =6，且∠ACB =90°，则CD = ；
（3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.
D C
B
A
A B C
D
A
B
C
D
图1 图2 图3
（1
）
（2
）
（3）以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，则点B落在点A，点C落在点E.联结AE,CE，∴CD=ED，∠CDE=60°，AE=CB=a，
∴△CDE为等边三角形，
∴CE=CD.
当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CE<AE＋AC=a＋b；
当点E、A、C在一条直线上时，CD有最大值，CD=CE=a＋b；
此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°，
∴∠ACB=120°，
因此当∠ACB=120°时，CD有最大值是a＋b．
例6．已知∠MAN，AC平分∠MAN．
（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB＋AD=AC；
（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC＋∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在图3中：①∠MAN=60°，∠ABC＋∠ADC=180°，则AB＋AD= AC；
②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC＋∠ADC=180°，则AB＋AD= AC（用含α的三角函数表示），并给出证明．
A
B
C
D
M
N A
B C
D M N
N M 图3
图2
图1
D C
B
A
解：（1）=
证明：∵AC 平分∠MAN ，∠MAN =120°， ∴∠CAB =∠CAD =60°， ∵∠ABC =∠ADC =90°， ∴∠ACB =∠ACD =30°， ∴1
2
AB AD AC ==
， ∴AB ＋AD =A C ． （2）成立．
证法一：如图，过点C 分别作AM ，AN 的垂线，垂足分别为E ，F ，
A
B
C
D M N F E
∵AC 平分∠MAN ， ∴CE =CF ，
∵∠ABC ＋∠ADC =180°，∠ADC ＋∠CDE =180°， ∴∠CDE =∠ABC ， ∵∠CED =∠CFB =90°， ∴△CED ≌△CFB ， ∴ED =FB ，
∴AB ＋AD =AF ＋BF ＋AE －ED =AF ＋AE ，由（1）知AF ＋AE =AC ， ∴AB ＋AD =AC ，
证法二：如图，在AN 上截取AG =AC ，连接CG ，
A
B C
D M N
G
∵∠CAB =60°，AG =AC ，∴∠AGC =60°，CG =AC =AG ， ∵∠ABC ＋∠ADC =180°，∠ABC ＋∠CBG =180°， ∴∠CBG =∠ADC ， ∴△CBG ≌△CDA ， ∴BG =AD ，
∴AB ＋AD =AB ＋BG =AG =AC ；
（3）①证明：由（2）知，ED =BF ，AE =AF ，
A
B
C D M N F
E
在Rt △AFC 中，cos AF
CAF AC
∠=， 即cos
2
AF
AC
α
=
， ∴cos
2
AF AC α
=，
∴AB ＋AD =AF ＋BF ＋AE －ED =AF ＋AE =2AF 2cos 2
AC α
=．
把
α=60°，代入得AB AD +=． ②2cos
2
α
点拨：在第（2）小题中，由题意可知，60BCD ∠=︒，有60°角就可把有关图形旋转60°，所以我们作,CE AM CF AN ⊥⊥的实质，就是将CBF △以顶点C 为旋转中心顺时针旋转了60°，从而构造了全等三角形，使此题有了解题思路．
例7．如图1，O 为正方形ABCD 的中心，分别延长OA 、OD 到点F 、E ，使OF ＝2OA ，OE ＝2OD ，连接EF ．将△EOF 绕点O 逆时针旋转α角得到△E 1OF 1(如图2)．
（1）探究AE 1与BF 1的数量关系，并给予证明； （2）当α＝30°时，求证：△AOE 1为直角三角形．
A
B C
D
E 1
F 1
O F
E 图2
图1
O D
C B
A
解：（1）AE 1=BF 1．
证明：∵O 为正方形ABCD 的中心， ∴OA =OD ，
∵OF =2OA ，OE =2OD ， ∴OE =OF ，
∵将△EOF 绕点O 逆时针旋转α角得到△E 1OF 1 ∴OE 1=OF 1，
∵∠F 1OB =∠E 1OA ，OA =OB ， ∴△E 1AO ≌△F 1BO ， ∴AE 1=BF 1；
（2）证明：取OE 1中点G ，连接AG ，
A
B
C
D
E 1
F 1
O G
∵∠AOD =90°，α=30°， ∴∠E 1OA =90°－α=60°， ∵OE 1=2OA ， ∴OA =OG ，
∴∠E 1OA =∠AGO =∠OAG =60°，
∴AG =GE 1，
∴∠GAE 1=∠GE 1A =30°， ∴∠E 1AO =90°，
∴△AOE 1为直角三角形．
例8．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =AB =CD =2，∠C =60°，M 是BC 的中点．
D'
C'M
F
E D
C
B
A
（1）求证：△MDC 是等边三角形；
（2）将△MDC 绕点M 旋转，当MD (即MD')与AB 交于一点E ，MC 即MC')同时与AD 交于一点F 时，点E ，F 和点A 构成△AEF ．试探究△AEF 的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF 周长的最小值．
解：（1）证明：过点D 作DP ⊥BC ,于点P ，过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，
P
Q D'
C'M F
E D
C
B
A
∵∠C =∠B =60°
∴1
2
CP BQ AB ==
，CP +BQ =AB 又∵ADPQ 是矩形，AD =PQ ，故BC =2AD ， 由已知，点M 是BC 的中点， BM =CM =AD =AB =CD ，
即△MDC 中，CM =CD ，∠C =60°，故△MDC 是等边三角形． （2）解：△AEF 的周长存在最小值，理由如下：
连接AM ，由（1）平行四边形ABMD 是菱形，△MAB ，△MAD 和△MC'D'是等边三角
形，
∠BMA =∠BME +∠AME =60°，∠EMF =∠AMF +∠AME =60°， ∴∠BME =∠AMF ）．
在△BME 与△AMF 中，BM =AM , ∠EBM =∠FAM =60°， ∴△BME ≌△AMF (ASA )．
∴BE =AF , ME =MF ,AE +AF =AE +BE =AB ，
∵∠EMF =∠DMC =60°，故△EMF 是等边三角形，EF =MF ． ∵MF 的最小值为点M 到AD
EF
AEF 的周长=AE +AF +EF =AB +EF ， △AEF
的周长的最小值为2． 跟踪训练
1．如图，在△ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=︒，点D 是BC 上的任意一点，探究：22BD CD +与2AD 的关系，并证明你的结论．
C
B
A
2．如图，P 是等边△ABC 内一点，若AP =3，PB =4，PC =5，求APB ∠的度数．
P
C
B
A
3．如图1，在ABCD □中，AE BC ⊥于点E ，E 恰为BC 的中点，tan 2B =．
（1）求证：AD AE =；
（2）如图2，点P 在线段BE 上，作EF DP ⊥于点F ，连结AF ．
求证：DF EF -=；
（3）请你在图3中画图探究：当P 为线段EC 上任意一点（P 不与点E 重合）时，作EF 垂直直线DP ，垂足为点F ，连结AF ．线段DF 、EF 与AF 之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．
图1
E
D
C
B
A
图2
P
F A
B
C
D
E
图3
A
B
C
D
E
4．请阅读下列材料：
已知：如图（1）在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若∠DAE =45°．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE ′，连接E ′D ，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； （2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
（3）已知：如图（3），等边三角形ABC 中，点D 、E 在边AB 上，且∠DCE =30°，请你找出一个条件，使线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．
图3
图2
图1
C
E A
D
B
C
E A
D B
E
D
C
B
A
5．请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及
PG
PC
的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到
解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及
PG
PC
的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出
PG
PC
的值（用含α的式子表示）．
6．在Rt △ABC 中，AB =BC ，在Rt △ADE 中，AD =DE ，连接EC ，取EC 的中点M ，连接DM 和BM ．
（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1，探索BM 、DM 的关系并给予证明；
（2）如果将图1中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
D
C
G P
A
B E
F
图2
D
A
B E
F C
P
G
图1
图2
图1
A
E
B
M
D C
M
E
D
B C
A
7．已知正方形ABCD 和等腰Rt △BEF ，EF =BE ，∠BEF =90°，按图1旋转，使点F 在BC 上，取DF 中点G ，连接EG 、CG ．
（1）探索EG 、CG 的关系，并说明理由；
（2）将图1中△BEF 绕点B 顺时针旋转45°得图2，连接DF ，取DF 的中点G ．问（1）中的结论是否成立？并说明理由．
（3）将图1中△BEF 绕点B 转动任意度数（旋转角在0到90°之间）得图3，连接DF ，取DF 的中点G ，问（1）中的结论是否成立，请说明理由．
图3B
F D
C G
E
A
B
F
D
C
G
E A
G F
图2
图1
E D
B
C
A
中考前瞻
将正方形ABCD 绕中心O 顺时针旋转角α得到正方形1111A B C D ，如图1所示． （1）当45α=︒时，如图2，若线段OA 与边11A D 的交点为E ，线段1OA 与AB 的交点为F ，可得下列结论成立①EOP FOP △≌△，②1PA PA =，试选择一个证明；
（2）当090α︒<<︒时，第（1）小题的结论1PA PA =还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）在旋转过程，记正方形1111A B C D 与AB 边交于P 、Q 两点，探究POQ ∠的度数是
否发生变化？如果变化，请描述它与α之间的关系；如果不变，请直接写出POQ 的度数．
P
Q P
D 1A
A 1B
B 1C
C 1D
D 1
C 1
B 1
A 1
F E F
图2
图1
E
D
B
C
A。