锐角三角函数之间的关系和特殊角
第26讲 锐角三角函数
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1.理解锐角三角函数(sin A,cos A,tan A)的概念,知道30°， 45°，60°角的锐角三角函数值；会使用计算器由已知锐角求 它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的锐角. 2.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题.
一、特殊角的三角函数值 三角函数 锐角α 30° sin α
DE 3.5 7 . BD 12.5 25
【对点训练】
5.(2012·衡阳中考)如图,菱形ABCD的周长为20 cm,且 tan ∠ABD= 4 ,则菱形ABCD的面积为_________cm2.
3
【解析】连结AC交BD于点O,则AC⊥BD. ∵菱形的周长为20 cm,
∴菱形的边长为5 cm.
算tan 15°=______.
【解析】设CD=x,因为∠A=30°,所以AC=2x,AD= 3 x,则 AB=2x,BD=2x- 3 x=(2- 3 )x,所以tan
BD （2 3）x 2 3. CD x
15°=
答案：2- 3
解直角三角形 ◆中考指数:★★★☆☆
解直角三角形的四种类型及方法：
【例2】(2012·上海中考)如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC=15，cos A= 3 ．
5
(1)求线段CD的长； (2)求sin∠DBE的值． 【思路点拨】(1)据已知→求AB→CD (2)据勾股定理→求BC→求DE→sin∠DBE
【自主解答】(1)因为∠ACB=90°，AC=15，cos A= 3 ,所以
【即时应用】
2 2 2 1 ,则cos α =____,tan α =___. 1.若α 为锐角，且sin α = 3 4 3 4 4 2.在Rt△ABC中，∠C=90°,sin A= ，则cos B=__. 5 5
7锐角三角函数
锐角三角函数一、一周知识概述1、锐角的三角函数在直角三角形中，锐角α的正弦(sinα)、余弦(cosα) 、正切(tanα)，都叫做角α的三角函数．正弦：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正弦，记作sinα，即.余弦：锐角α的邻边与斜边的比叫做角α的余弦，记作cosα．即正切：锐角α的对边与邻边的比，叫做角α的正切，记作tanα．即．2、特殊角的三角函数值（需要记忆）3、同角三角函数间的关系（1）平方关系：sin2α＋cos2α=1(2)商数关系：4、互余的两角的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．即若A＋B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1．5、求已知锐角的三角函数值法求整数度数的锐角三角函数值．在计算器的面板上涉及三角函数的键有键，当我们计算整数度数的某三角函数值时，可先按这三个键之一，然后再从高位向低位按出表示度数的整数，然后按，则屏幕上就会显示出结果．例如：计算sin44°．解：按键，再依次按键．则屏幕上显示结果为0.69465837．求非整数度数的锐角三角函数值．若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用计算器计算三角函数值时，同样先按和三个键之一，然后再依次按度键，然后按键，则屏幕上就会显示出结果．有的计算器在计算角的三角函数值时，角的单位用的是度，则必须先把度、分、秒统一为“度”．值得注意的是型号不同的计算器的用法可能不同．二、重难点知识归纳1、对锐角三角函数的理解（1）sinα和cosα都是一个整体符号，不能看成sin·α或cos·α．(2)是一个比值，没有单位，只与角的大小有关，而与三角形的大小无关．(3)sinα＋sinβ≠sin(α＋β)，sinα·sinβ≠sin(αβ)(4)sin2α表示(sinα)2，cos2α=(cosα)2(5)0＜sinα＜1，0＜cosα＜12、同名三角函数值的变化规律当角α在0°～90°间变化时，它的正切和正弦三角函数值随着角度的增大而增大；余弦三角函数值随着角度的增大而减少．3、记忆特殊角的三角函数值的方法有三种：（1）列表法，就是利用课本上的表格记忆。
【中考数学考点复习】第六节 锐角三角函数及其应用 课件(共33张PPT)
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第1题图
第六节 锐角三角函数及其应用
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改编条件：题干改变“测量点的高度”；“两个非特殊角”改为“两个 特殊角” 2．(2020 贺州)如图，小丽站在电子显示屏正前方 5 m 远的 A1 处看“防溺 水六不准”，她看显示屏顶端 B 的仰角为 60°，显示屏底端 C 的仰角为 45°，已知小丽的眼睛与地面距离 AA1＝1.6 m， 3．求电子显示屏高 BC 的值．(结果保留一位小数． 4．参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)．
第 6 题图
第六节 锐角三角函数及其应用
解：如解图，延长 BC 交 MN 于点 F， 由题意得 AD＝BE＝3.5 米，AB＝DE＝FN＝1.6 米，
在 Rt△MFE 中，∠MEF＝45°，∴MF＝EF，
在 Rt△MFB 中，∠MBF＝33°，
∴MF＝BF·tan33°＝(MF＋3.5)·tan33°，
第六节 锐角三角函数及其应用
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3. ．如图，为测量电视塔观景台 A 处的高度，某数学兴趣小组在电视塔 附近一建筑物楼顶 D 处测得塔 A 处的仰角为 45°，塔底部 B 处的俯角为 22°.已知建筑物的高 CD 约为 61 米，请计算观景台的高 AB 的值．(结果 精确到 1 米，参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)
形的边角 1. 三边关系：a2＋b2＝c2
关系
2. 两锐角关系：∠A＋∠B＝90° 3. 边角关系：sinA＝cosB＝ a ；cosA＝sinB＝ b；
tanA＝
a
c
；tanB＝
b
c
图②用
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1.仰角、俯角：如图③，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线 锐角三角 所成的锐角称为__仰__角____，当从高处观测低处的目标时，视线与水平 函数的实 线所成的锐角称为___俯__角___ 际应用 2．坡度(坡比)、坡角：如图④，坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡
锐角三角函数的增减性锐角三角函数的关系式锐角三角函数特殊公式
一、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时：1.正弦值随着角度的增大而增大；2.余弦值随着角度的增大而减小；3.正切值随着角度的增大而增大。
4.锐角三角函数值都是正值.5.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；6.正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；7.正割值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），余割值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
8.当角度在0°≤A≤90°间变化时，0≤sinA≤1, 1≥cosA≥0；当角度在0°<A0, cotA>0。
二、锐角三角函数：锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。
初中学习的锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中。
所谓锐角三角函数是指：我们初中研究的都是锐角的三角函数。
初中研究的锐角的三角函数为：正弦（sin），余弦（cos），正切（tan）。
正弦：在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；余弦：在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；正切：在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即，锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数。
三、锐角三角函数的关系式：同角三角函数基本关系式tanα·cotα=1sin2α·cos2α=1cos2α·sin2α=1sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα(sinα)2+(cosα)2=11+tanα=secα1+cotα=cscα诱导公式sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotαsin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2－α）=tanαsin（3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotαsin（2kπ+α）=sinαcos（2kπ+α）=cosαtan（2kπ+α）=tanαcot（2kπ+α）=cotα(其中k∈Z)二倍角、三倍角的正弦、余弦和正切公式Sin(2α)=2sinαcosαCos(2α)=（cosα）2－(sinα)2=2(cosα)2－1=1－2(sinα)2Tan(2α)=2tanα/(1tanα)sin(3α)=3sinα4sin3α=4sinα·sin(60°+α)sin(60°α)cos(3α)=4cos3α3cosα=4cosα·cos(60°+α)cos(60°α)tan(3α)=(3tanαtan3α)/(13tan2α)=tanαtan(π/3+α)tan(π/3α)和差化积、积化和差公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(αβ)/2]sinαsinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(αβ)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(αβ)/2] cosαcosβ=2sin[(α+β)/2]·sin[(αβ)/2] sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α－β）] sinαsinβ=[1][cos（α+β）cos（αβ）]/2 cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（αβ）]/2 sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（αβ）]/2 cosαsinβ=[sin（α+β）sin（αβ）]/2。
第01讲 锐角三角函数和特殊角的三角函数(知识解读+真题+巩固)(学生版)
第01讲锐角三角函数和特殊角的三角函数1.理解锐角正弦、余弦和正切概念的意义，并会求锐角的正弦值、余弦值和正切值；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.知识点1锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 所对的边BC 记为a，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B所对的边AC 记为b，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B bB B a∠==∠的对边的邻边．注意：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin 与∠A，cos 与∠A，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、．ACa(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0知识点2锐角三角函数的增减性（1）在0°－90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大；（2）在0°－90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小；（3）在0°－90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大.知识点2特殊角的三角函数值锐角注意：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．知识点3锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．注意：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【题型1锐角三角函数的概念】【典例1】（2022秋•西岗区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tanA的值是（）A．B．C．D．【变式1-1】（2022秋•金山区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝3，下列各式中，正确的是（）A．sinA＝B．cosA＝C．tanA＝D．cotA＝【变式1-2】（2022秋•晋江市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AC＝（）A．10B．8C．5D．4【变式1-3】（2022秋•贵池区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，下列三角函数正确的是（）A．sinB＝B．cosA＝C．tanB＝D．cosB＝【题型2锐角三角函数的增减性】【典例2】（2022秋•兴隆县期中）如果∠α为锐角，且sinα＝0.6，那么α的取值范围是（）A．0°＜α≤30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α≤90°【变式2-1】（2021秋•周村区期末）已知cosα＝，则锐角α的取值范围是（）A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°C．45°＜α＜60°D．60°＜α＜90°【变式2-2】（2022•五通桥区模拟）若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（）A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°【变式2-3】（2022春•洪泽区校级月考）比较大小：sin80°sin50°（填“＞”或“＜”）．【题型3特殊角三角函数值】【典例3】（2023•红桥区二模）tan30°的值等于（）A．B．C．1D．【变式3-1】（2022秋•云州区期末）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【变式3-2】（2023秋•莘县校级月考）在△ABC中，若cosA＝，tanB＝，这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【变式3-3】（2023•江都区模拟）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是（）A．45°B．75°C．105°D．120°【题型4同角三角函数的关系】【典例4】（2023秋•沙坪坝区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA的值为（）A．B．C．D．8【变式4-1】（2023•泉州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosA的值等于（）A．B．C．D．【变式4-2】（2022秋•渌口区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，则sinA的值为（）A．B．C．D．【变式4-3】（2022秋•石景山区校级期末）在△ABC中，∠C＝90°，，则sinA的值是（）A．B．C．D．【题型5互余两角三角函数的关系】【典例5】（2023秋•南岗区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tanB等于（）A．B．C．D．【变式5-1】（2022秋•磴口县校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为（）A．B．C．D．【变式5-2】（2023春•普陀区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝（）A．B．C．D．【变式5-3】（2022秋•太康县期末）在三角形ABC中，∠C为直角，sinA＝，则tanB的值为（）A．B．C．D．【变式5-4】（2022秋•池州期末）在Rt△ACB中，∠C＝90°，，则sinB的值为（）A．B．C．D．【题型6三角函数的计算】【典例6】（2023秋•聊城月考）计算：（1）2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°；（2）（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．【变式6-1】（2022秋•浦东新区期末）计算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+．【变式6-2】（2022秋•济南期末）计算：sin30°﹣tan30°•tan60°+cos245°．【变式6-3】（2023•虹口区一模）计算：cos245°﹣+cot230°．1．（2021•云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，则AB的长是（）A．B．C．60D．802．（2021•天津）tan30°的值等于（）A．B．C．1D．23．（2019•怀化）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（2022•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为．5．（2022•广东）sin30°＝．6．（2022•荆门）计算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝．7．（2022•金华）计算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．1．（2022秋•大名县校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么tanB的值是（）A．B．C．D．2．（2022秋•泰兴市期末）在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（）A．不变B．扩大5倍C．缩小D．不能确定3．（2023•西陵区模拟）由小正方形组成的网格如图，A，B，C三点都在格点上，则∠ABC的正切值为（）A．B．C．D．4．（2023•南岗区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinA＝，则AB的值为（）A．8B．9C．10D．125．（2022秋•阜平县期末）计算：sin60°•tan30°＝（）A．1B．C．D．26．（2023•偃师市模拟）计算sin45°的值等于（）A．B．C．D．7．（2023•西湖区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，定义：斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（）A．cscB•sinA＝1B．C．cscA•cosB＝1D．csc2A+csc2B＝18．（2022秋•清水县校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cosA＝，则tanB的值为（）A．B．C．D．9．（2022秋•蚌埠月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，∠B等于（）A．60°B．30°C．45°D．无法确定10．（2022•滨州）下列计算结果，正确的是（）A．（a2）3＝a5B．＝3C．＝2D．cos30°＝11．（2022秋•路北区校级期末）已知6cosα＝3，且α是锐角，则α＝（）A．75°B．60°C．45°D．30°12．（2022秋•内乡县期末）在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是．13．（2023•新邵县二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝．14．（2022秋•离石区期末）在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角，则△ABC是三角形．15．（2022秋•新城区期末）计算：sin45°•cos45°﹣tan60°÷cos30°．。
28.1锐角三角函数
感悟新知
知3－练
例 7 (1)已知α=45°，求2sin2α－2 2 sinα·tanα+tan2α；
(2)计算
1 4
tan2
45＋
sin
1 2 30
－3 cos2
30－
sin cos
45 45
.
解题秘方：用“代入法”求值.
感悟新知
解:(1)原式 2 sin－tan 2
2
(4)sin2A 表示sin A·sin A=(sin A)2，不能写成sin A2；cos2A 表示cos A·cos A=(cos A)2，不能写成cos A2；tan2A 表示 tan A·tan A=(tan A)2，不能写成tan A2.
感悟新知
特别提醒
知1－讲
1. 正弦、余弦、正切都是一个比值，是没有单位的数
AB 3k 3k
AB 3k 3
tan B AD 2 2k 2 2. BD k
感悟新知
知1－练
3-1. 将一副三角尺(Rt△ ABC 与Rt△BDC)按如图所示的方 式摆放在一起，连接AD， 试求∠ ADB 的正切值.
感悟新知
解：过点 A 作 AM⊥DB，交 DB 的延长线于点 M. 知1－练
3
sin A－sin B的值.
知2－练
，求
解：∵sinA＋sinB＝43，∴(sinA＋sinB)2＝196.
∴sin2A＋sin2B＋2sinA·sinB＝196.
∵∠A＋∠B＝180°－∠C＝90°，∴sinB＝cosA，
感悟新知
∴sin2A＋cos2A＋2sinA·sinB＝196， ∴1＋2sinA·sinB＝196，∴2sinA·sinB＝79， ∴sin2A＋sin2B－2sinA·sinB＝1－79＝29， ∴(sinA－sinB)2＝29，∴sinA－sinB＝± 32.
28.1 锐角三角函数 第3课时 特殊角的锐角三角函数值
∴ 2 sin2α + cos2α － 3tan (α+15°)
= 2 sin245°+cos245°－ 3tan60°
2
2
2
2 2
+
2 2
3
3
3.
2
课堂测试
1. 3 tan (α+20°)＝1，锐角 α 的度数应是 ( D)
A．40° B．30° C．20° D．10°
2
∴ ∠A＝45°，∠B＝60°， ∠C＝180°－45°－60°＝75°， ∴ △ABC 是锐角三角形．
4. 已知：| tanB－ 3 | ＋ (2 sinA－3 )2 ＝
解：∵ | tanB－ 3 | ＋ (2 sinA－ 3 )2 ＝0，
∴ tanB＝
3 ，sinA＝
3， 2
∴ ∠B＝60°，∠A＝60°.
第3课时
特殊角的锐角三角函数值
复习导入
说说锐角三角函数是如何定义的.
复习引入
sin A =
∠A的对边
斜边
BC . AB
cos A =
∠A的邻边
斜边
AC . AB
tan A =
∠A的对边
∠A的邻边
AC . AB
∠B A
斜边
的
对
边
A ∠A 的邻边 C
若∠A为30°，你能立即说出它对应的三
角函数值吗？
cos A
tan A
30°
1 2 3 2 3 3
45° 60°
2
3
2
2
2
1
2
2
1
3
例1 求下列各式的值：
第9讲 锐角三角函数
第9讲锐角三角函数知识点1 锐角三角函数1.如图在△ABC中，∠C是直角，锐角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数．2.特殊角的三角函数值3.锐角三角函数值的变化规律当0°≤α≤90°时，sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小；当0°<α<90°时，tanα随α的增大而增大．【典例】例1在△ABC 中，∠C ＝90°，如果AC ＝8，BC ＝6，那么∠A 的正弦值为（ ） A ．35B ．45C ．34D ．43例2在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝2，那么AC 的长为（ ） A ．2sin α B ．2cos αC ．2tan αD ．2cot α例3计算：tan 260°−2sin30°4cos 245°+cot30°．【随堂练习】1．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，那么tan B 的值等于（ ） A ．23B ．√53C ．√52D ．2．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝α，AC ＝2，那么AB 的长等于（ ） A ．2sinαB ．2sin αC ．2cosαD ．2cos α3．计算：2sin45°+2sin60°﹣tan60°•tan45°．4．计算：tan 245°cot30°−2cos45°−2sin60°．知识点2 解直角三角形1.定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．2.基础知识在Rt △ABC 中，∠A ∠B ∠C 所对的边分别是a ，b ，c. （1）三边之间的关系：a 2+b 2=c 2 （2）锐角之间的关系：A ∠+B ∠=C ∠=90（3）边角之间的关系：sin A =a c cos A =b c tan A =ab sin B =bc cos B =ac tan B =ba（4）面积公式：S=12ab=12ch （h 为斜边上的高） 3. 解直角三角形的基本类型及其解法【典例】例1如图，在△ABC 中，BD ⊥AC ，AB ＝4，AC ＝3，∠A ＝30°．（1）求AD 的长． （2）求sin C 的值．例2如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．若∠BPC =12∠BAC ，求sin ∠BPC ．例3如图，在△ABC 中，cos B =√22，sin C =35，AC ＝10，求△ABC 的面积．【随堂练习】1．如图，在△ABC 中，tan C =35，点D 在边BC 上，AB ＝AD ，CD ＝2BD ＝4，求sin B 的值．2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12，AC ＝4√3，解这个直角三角形．3．如图，在△ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝，点D 为边AC 上一点，若∠BDC ＝45°，DC ＝6，求AD 的长．（结果保留根号）知识点3 解直角三角形的应用——坡度、坡角问题1.坡角：坡面与水平面的夹角，用字母α表示．2.坡度（坡比）：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，用字母i 表示，则i=ℎl =tan α．【典例】例1如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC ∥AD ，BE ⊥AD ，斜坡AB 长26m ，斜坡AB 的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A 不动，则坡顶B 沿BC 至少向右移 m 时，才能确保山体不滑坡．（取:i h l=hlαtan50°≈1.2）例2如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB 的坡角α＝45°，坡长AB＝6米，背水坡CD的坡度i＝1：，求背水坡的坡长CD为多少米．例3 如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB．BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为6√2米（结果保留根号）．【随堂练习】1．如图，某河堤迎水坡AB的坡比i＝tan∠CAB＝1：√3，堤高BC＝5m，则坡面AB的长是（）A．5 m B．10m C．5√3m D．8 m2.小明一家去某著名风景区旅游，准备先从山脚A走台阶步行到B，再换乘缆车到山顶C．从A到B的路线可看作是坡角为30°的斜坡AB，长度为1000米；从B到C的缆车路线可看作是线段BC，长度为2400米，其与水平线的夹角为48°，求山顶C到地面AD的距离CE 的长．（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）3．农用温棚的上半部分如图所示，迎阳坡AD 的坡度i ＝1：1.8，背阳坡AC 坡度i ＝1：0.5，棚宽CD ＝11.5米，要铅直竖立两根立柱AB 、EF ，其中BF ＝AB ．求AB 、EF 的长．知识点4 解直角三角形的应用——仰角俯角问题1.仰角和俯角 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．【典例】例1如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB 的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为50米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端A 的仰角为30°，底端B 的俯角为10°，请你根据以上数据，求出楼AB 的高度．（精确到0.1米）仰角水平线视线视线俯角（参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，＝1.41， 1.73）例2某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，河旁有一座小山，山高BC＝80m，点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶B 处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°．若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）[参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60]例3如图，永州市德雅、高峰学校老师们联合组织九年级学生外出开展数学活动，路经白石山公园时，发现工人们正在建5G信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱进行测量．已知信号柱直立在地面上，在太阳光的照射下，信号柱影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得信号柱顶端A的仰角为30°，在C处测得信号柱顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝8米，求信号柱AB的长度．（结果保留根号）【随堂练习】1．如图，小颖在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量，测得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m，在点N处测得居民楼CD的顶端D的仰角为45°，居民楼AB的顶端B的仰角为55°．已知居民楼CD的高度为16.6m，小颖的观测点N距地面1.6m．求居民楼AB的高度．（结果精确到1m）【参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43】2．某地有一座大桥（图1），某初中数学兴趣小组想测量该大桥的外拱塔的最高点D距离桥面的高度CD，他们在桥面上选取了一个测量点A测得点D的仰角为26.6°，然后他们沿AC方向移动40m到达测量点B（即AB＝40m），在B点测得点D的仰角为37°，如图2所示．求外拱塔的最高点D距离桥面的高度CD．【参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50】3．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE ＝24米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，≈1.73，sin53°≈，（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）求广告牌CD的高度．知识点5 解直角三角形的应用——方向角问题1. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角．目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．2.方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角．如下图所示，目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．【典例】例1如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且AB＝75km．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C在灯塔B的北偏西50°方向．（1）求∠ACB的度数；（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．例2 某公园中有条东西走向的小河，河宽固定，小河南岸边上有一块石墩A，北岸边上有一棵大树P，小杨利用它们测量小河的宽度，于是，他去了河边，如图．他从河的南岸石墩A处测得大树P在其北偏东30°方向，然后他沿正东方向步行80米到达点B处，此时测得大树P在其北偏西60°方向．请根据以上所测得的数据，计算小河的宽度．（结果保留根号）例3 一艘货船以30海里/小时的速度向正北航行，在A处看见灯塔C在船的北偏东30°，20分钟后货船至B处，看见灯塔C在船的北偏东60°，已知灯塔C周围7.1海里以内有暗礁，问这艘船继续航行是否能绕过暗礁？（提供数据：√2≈1.414，√3≈1.732）【随堂练习】1．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60°方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（）A ．100mB ．100√2mC ．100√3mD ．200√33m2．如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P 、Q 两点分别测定对岸一棵树T 的位置，T 在P 的正北方向，且T 在Q 的北偏西70°方向，则河宽（PT 的长）可以表示为（ ）A ．200tan70°米B ．200tan70°米C ．200sin 70°米D ．200sin70°米3．如图，MN 是公园劳动湖边一段东西走向的笔直湖岸，A ，B 是岸边两建筑物，一小艇在点C 处，与MN 的距离CE ＝60米，小艇向北偏西30°方向行驶100米到达点D ，此时，小艇上的人测量A 在小艇的南偏西60°方向，B 在南偏西30°方向，求A 、B 两建筑物之间的距离．综合运用1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，sin B=1213，则AC的长是（）A．25B．12C．5D．13 2．计算：（1）2sin30°一3tan45°•sin45°+4cos60°；（2）sin45°cos30°−tan60°+cos45°•sin60°．3．如图，某建筑AB与山坡CD的剖面在同一平面内，在距此建筑AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝50m，在坡顶D点处测得建筑楼顶A点的仰角为30°，求此建筑AB的高度．（结果用无理数表示）4．设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若b＝6，c＝10，求sin A、cos A和tan A．5．如图所示，某水库大坝的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，坝顶宽AD＝2.5米，坝高AE＝DF＝4米，背水坡AB的坡度是1：1，迎水坡CD的坡度是1：1.5，求坝底宽BC．6．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2，使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA＝OB＝36cm，O'C⊥AC于点C，O′C＝18cm．（1）求∠CAO′的度数．（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（3）如图4，垫入热架后，要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？7．近日，市委、市政府公布了第七批重庆市爱国主义教育基地名单，重庆市育才中学创办的陶行知纪念馆位列其中，如图，为了测量陶行知纪念馆AB的高度，小李在点C处放置了高度为1.5米的测角仪CD，测得纪念馆顶端A点的仰角∠ADE＝51°，然后他沿着坡度i＝1：2.4的斜坡CF走了6.5米到达点F，再沿水平方向走4米就到达了纪念馆底端点B．（结果精确到0.1，参考数据：sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23）（1）求点D到纪念馆AB的水平距离；（2）求纪念馆AB的高度约为多少米？8.如图，小岛C和D都在码头O的正北方向上，它们之间距离为6.4km，一艘渔船自西向东匀速航行，行驶到位于码头O的正西方向A处时，测得∠CAO＝26.5°，渔船速度为28km/h，经过0.2h，渔船行驶到了B处，测得∠DBO＝49°．（1）直接写出：在小岛C看点A俯角大小是；点B在小岛D什么方位？；（2）求渔船在B处时距离码头O有多远？（结果精确到0.1km）（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，sin49°≈0.75，cos49≈0.66，tan49°≈1.15）。
第2节 特殊角三角函数值及锐角三角函数性质
第2节 特殊角三角函数值及锐角三角函数性质※知识要点1．，的增大而 ， c osα 随着α 的增大而 ；(4)商数关系： ； (5)平方关系： ； ※题型讲练【例1】已知如图，△ABC 是等腰三角形，AB =AC ，CD ⊥AB ，若顶角∠A ＝45°． (1)求∠BCD 的度数； (2)利用图像求tan 22.5°的值． 变式训练1：1．试设计图形求75°角的三角函数值． 【例2】计算下列各式的值：(1) tan 30°－sin 60°·sin 30° (2) 2sin 60°－cos 30°·tan 45° (3)变式训练2：1．计算：2－1－3tan 30°＋(2－1)0＋12＋cos 60°2．在△ABC 中，|tanA －1|＋(cosB － )2＝0，BC =4cm ， (1)求∠C 的度数； (2)求AC 和AB 的长． 【例3】计算下列各题： (1)sin 35°cos 55°十cos 35°sin 55° (2)sin 18°+tan 53°tan 37°－tan 45°cos 72° 变式训练3：1．若sin (90°－α)=0.618，则cos α= ；2．若12 < cosα <32，则锐角α的取值范围是 ；3．将下列三角函数用“>”连接起来： (1)sin 42°、cos 42°、sin 64°、cos 50°； (2)sin 53°、cos 53°、tan 53°、tan 62°；【例4】已知锐角α满足tanα=2，求下列各式的值：(1) (2)变式训练4：1．已知α为锐角，且sinα－cosα= ，求sinαcosα的值．2．已知锐角α满足sinα=1－m ，cosα=2m ，求m 的值．※课后练习1．|－cos 30°|的相反数是( )A ．12B ．－22C ．－32 D ． 32．计算2sin 60°－cos 30°·tan 45°的结果为( ) A ． 3 B ．32 C ．－32D ．0 3．如果△ABC 中，sin A ＝cos B ＝22，下列说法正确是( ) A ．△ABC 是直角三角形 B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．△ABC 是锐角三角形 4．如图所示，在数轴上点A 所表示的数x 的范围是( ) A ．32sin 30°<x <sin 60° B ．cos 30°<x <32cos 45°C ． 32tan 30°<x <tan 45°D ．32tan 45°<x <tan 60°5．在△ABC 中，若∠A 、∠B 满足|cosA －12|＋(1－tanB )2＝0，则∠C 的度数是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．105° 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝60°，下列说法错误的是( ) A ．sinA =cosB B ．tanA ·tanB =1 C ．cosB =tanA ·sinA D ．cosA =tanB ·cosB7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______， sinA ＝_________，cosA ＝_________，tanA ＝_________， sinB ＝_________，cosB ＝_________，tanB ＝_________． 8．比较下列各组数的大小：(1)sin 26° cos 26°； (2)cos 74° tan 50°． 9．当锐角α满足下列条件时，分别求角α的取值范围： (1)若cosα＜12，则角α 的取值范围是 ；(2)若sin α＜12，则角α 的取值范围是 ；(3)若1＜tan α＜3，则角α 的取值范围是 ． 10．计算下列各题： (1)2cos 30°－tan 45°－－2(2)|－2|＋2sin 30°－(－3)2＋(tan 45°)－1 11．计算下列各题：(1)tan 36°tan 54°－cos 72°+sin 18°(2)46sin 46tan ·sin4480cos 10sin 2- 12．已知：如图 ，在△ABC 中，BC ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝45°， 求BC 边上的高AD 的长．13．已知锐角α满足sinα=4m ，cosα=1－2m ，求tanα 的值． 14．经查，三角函数公式：sin (α＋β)＝sin αcos β+cos αsin β； 请利用公式计算sin 75°的值．15．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，延长CA 至D 点，使AD ＝AB ．求：(1)∠D 及∠DBC ； (2)tanD 及tan ∠DBC ； (3)请用类似的方法求tan 22.5°．ααααcos sin 2cos 2sin -+αααααcos sin sin 2cos sin 222+-51( )。
锐角三角函数的解题技巧
(1)平方关系：sin2α＋cos2α=1
(2)商数关系：
（三）两角的关系
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1．
答案：D
分析：
(1)要求sinα与cosα的关系的值，而已知tanα的值，故可通过 来求值．
(2)已知tanα的值，也可通过 ，把要求的式子的分子，分母同时除以cos2α转化成关于tanα的关系，这样便可求出结论．
点评：在进行三角函数有关计算时，常利用有关公式进行变换．
2、化简计算
例3、计算
分析：
这是一组有关特殊角三角函数值的计算题，计算中最关键是将它们先化成具体的数值，同时还要应用其它一些知识帮助求值，如(1)注意分母有理化，(2)应掌握整数指数幂的意义．
(5)0＜sinA＜1，0＜cosA＜1
2、同名三角函数值的变化规律
当角α在0°～90°间变化时，它的正切和正弦三角函数值随着角度的增大而增大；余弦三角函数值随着角度的增大而减少．
三、解题方法技巧点拨
1、求锐角三角函数的值
例1、(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，若 ，求cosB，tanB的值．
分析：本题主要考查锐角三角函数的定义，结合图形求解可化繁为简，迅速得解．
5、求线段长与面积
例6、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求BC的长．
分析：
题中有30°，45°特殊角，想把它们放到直角三角形中，利用三角函数来解题．
点评：
（1）在作高线构造直角三角形时，一般不过特殊角的顶点作垂线，这样便于利用特殊角解题．
初中锐角三角函数知识点总结
锐角三角函数及其应用XX 第六中学高启鹏一、锐角三角函数中考考点归纳考点一、锐角三角函数1、锐角三角函数的定义如图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 为△ABC 中的一锐角，则有 ∠A的正弦：斜边的对边A A ∠=sin c a=∠A 的余弦：斜边的邻边A A ∠=cos cb=∠A的正切：的邻边的对边A tan ∠∠=A A ba =2、特殊角的三角函数值（1）图表记忆法（2）规律记忆法：30°、45°、60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1、2、3；30°、45°、60°角余弦值恰好是60°、45°、30°角的正弦值。
对边b a c（3）口诀记忆法口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦比二，切比三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦比二、切比三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉．如tan60°=273=，tan45°=91=．这种方法有趣、简单、易记．考点二、解直角三角形1、由直角三角形中的已知元素求出其他未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的类型和解法如下表：考点三、锐角三角函数的实际应用（高频考点）仰角、俯角、坡度（坡比）、坡角、方向角仰角、俯角在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。
坡度（坡比）、坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度（坡比），用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫坡角，方向角指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的锐角叫做方向角．注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南方向指南偏西45°方向．我们一般画图的方位为上北下南，左西右东．二、锐角三角函数常见考法（一）、锐角三角函数以选择题的形式出现.例1、（2016•XX）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为（）A．B．C．D．2【考点】抛物线与x轴的交点；锐角三角函数的定义．【解析】先求出A、B、C坐标，作CD⊥AB于D，根据tan∠ACD=即可计算．lhi==αtan【解答】解：令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，不妨设A（﹣3，0），B（1，0），∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴顶点C（﹣1，4），如图所示，作CD⊥AB于D．在RT△ACD中，tan∠CAD===2，故答案为D．（二）、锐角三角函数以填空题的形式出现.例2、（2016•XX）请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A．一个多边形的一个外角为45°，则这个正多边形的边数是8．B．运用科学计算器计算：3sin73°52′≈11.9．（结果精确到0.1）【考点】计算器—三角函数；近似数和有效数字；计算器—数的开方；多边形内角与外角．【解析】（1）根据多边形内角和为360°进行计算即可；（2）先分别求得3和sin73°52′的近似值，再相乘求得计算结果．【解答】解：（1）∵正多边形的外角和为360°∴这个正多边形的边数为：360°÷45°=8（2）3sin73°52′≈12.369×0.961≈11.9故答案为：8，11.9例3、（2015•XX）如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为27.8°（用科学计算器计算，结果精确到0.1°）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【解析】直接利用坡度的定义求得坡角的度数即可．【解答】解：∵tan∠A==≈0.5283，∴∠A=27.8°，故答案为：27.8°．【点评】本题考查了坡度坡角的知识，解题时注意坡角的正切值等于铅直高度与水平宽度的比值，难度不大．例4、(2014•XX)用科学计算器计算：+3tan56°≈10.02（结果精确到0.01）【考点】计算器—三角函数；计算器—数的开方．【分析】先用计算器求出′、tan56°的值，再计算加减运算．【解答】解：≈5.5678，tan56°≈1.4826，则+3tan56°≈5.5678+3×1.4826≈10.02故答案是：10.02．【点评】本题考查了计算器的使用，要注意此题是精确到0.01．例5、(2014•XX)如图，在正方形ABCD中，AD=1，将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A′BD′，此时A′D′与CD交于点E，则DE的长度为2﹣．【考点】旋转的性质【分析】利用正方形和旋转的性质得出A′D=A′E，进而利用勾股定理得出BD的长，进而利用锐角三角函数关系得出DE的长即可．【解答】解：由题意可得出：∠BDC=45°，∠DA′E=90°，∴∠DEA′=45°，∴A′D=A′E，∵在正方形ABCD中，AD=1，∴AB=A′B=1，∴BD=，∴A′D=﹣1，∴在Rt△DA′E中，DE==2﹣．故答案为：2﹣．【点评】此题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，得出A′D的长是解题关键．（三）、锐角三角函数定义以解答题的形式出现例6、（12分）（2015•XX）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为24；（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC 的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．【考点】四边形综合题．.【专题】综合题．【解析】（1）如图①，过A作AE⊥BC，可得出四边形AECF为矩形，得到EC=AD，BE=BC﹣EC，在直角三角形ABE中，求出AE的长，即为三角形BMC 的高，求出三角形BMC面积即可；（2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B 交AD于点N′，连接′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+′，可得出△BNC 周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+′+BC=BC′+BC，求出即可；（3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，作BC的中垂线PQ 交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，根据AD与BC平行，得到圆O 与AD相切，根据PQ=DC，判断得到PQ大于BQ，可得出圆心O在BC上方，在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，可得∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，即∠BPC最小，cos∠BPC的值最小，连接OB，求出即可．【解答】解：（1）如图①，过A作AE⊥BC，∴四边形AECD为矩形，∴EC=AD=8，BE=BC﹣EC=12﹣8=4，在Rt△ABE中，∠ABE=60°，BE=4，∴AB=2BE=8，AE==4，则S △BMC=BC•AE=24；故答案为：24；（2）如图②，作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B 交AD于点N′，连接′，则BN+NC=BN+NC′≥BC′=BN′+′，∴△BNC周长的最小值为△BN′C的周长=BN′+′+BC=BC′+BC，∵AD∥BC，AE⊥BC，∠ABC=60°，∴过点A作AE⊥BC，则CE=AD=8，∴BE=4，AE=BE•tan60°=4，∴CC′=2CD=2AE=8，∵BC=12，∴BC′==4，∴△BNC周长的最小值为4+12；（3）如图③所示，存在点P，使得cos∠BPC的值最小，作BC的中垂线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP，CP，作△BPC的外接圆O，圆O与直线PQ交于点N，则PB=PC，圆心O在PN上，∵AD∥BC，∴圆O与AD相切于点P，∵PQ=DC=4＞6，∴PQ＞BQ，∴∠BPC＜90°，圆心O在弦BC的上方，在AD上任取一点P′，连接P′B，P′C，P′B交圆O于点M，连接MC，∴∠BPC=∠BMC≥∠BP′C，∴∠BPC最大，cos∠BPC的值最小，连接OB，则∠BON=2∠BPN=∠BPC，∵OB=OP=4﹣OQ，在Rt△BOQ中，根据勾股定理得：OQ2+62=（4﹣OQ）2，解得：OQ=，∴OB=，∴cos∠BPC=cos∠BOQ==，则此时cos∠BPC的值为．【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：勾股定理，矩形的判定与性质，对称的性质，圆的切线的判定与性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．例7、（10分）(2014年XX省)已知抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x 轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质．菁优网所有【分析】（1）直接把A（﹣3，0）和B（0，3）两点代入抛物线y=﹣x2+bx+c，求出b，c的值即可；（2）根据（1）中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；（3）根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示．需要分类讨论．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，∴，解得，故此抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵由（1）知抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，∴当x=﹣=﹣=﹣1时，y=4，xKb 1.C om∴M（﹣1，4）．（3）由题意，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′，∴MN∥M′N′且MN=M′N′．∴MN•NN′=16，∴NN′=4．i）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNN′M′时，将抛物线C 向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′；ii）当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNM′N′时，将抛物线C 先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C′．∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′．【点评】本题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点．第（3）问需要分类讨论，避免漏解．例8、（12分）(2014•XX)问题探究（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；问题解决（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．【考点】圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的判定与性质；直线与圆的位置关系；特殊角的三角函数值．菁优网所有【专题】压轴题；存在型．【分析】（1）由于△PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可解决问题．（2）以EF为直径作⊙O，易证⊙O与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长．（3）要满足∠AMB=60°，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长．【解答】解：（1）①作AD的垂直平分线交B C于点P，如图①，则PA=PD．∴△PAD是等腰三角形．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠C=90°．∵PA=PD，AB=DC，∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．∴BP=CP．∵BC=4，∴BP=CP=2．②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P′，如图①，．则DA=DP′．∴△P′AD是等腰三角形．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC，∠C=90°．∵AB=3，BC=4，∴DC=3，DP′=4．∴CP′==．∴BP′=4﹣．③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P″，如图①，则AD=AP″．∴△P″AD是等腰三角形．同理可得：BP″=．综上所述：在等腰三角形△ADP中，若PA=PD，则BP=2；若DP=DA，则BP=4﹣；若AP=AD，则BP=．（2）∵E、F分别为边AB、AC的中点，∴EF∥BC，EF=BC．∵BC=12，∴EF=6．以EF为直径作⊙O，过点O作OQ⊥BC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图②．∵AD⊥BC，AD=6，∴EF与BC之间的距离为3．∴OQ=3∴OQ=OE=3．∴⊙O与BC相切，切点为Q．∵EF为⊙O的直径，∴∠EQF=90°．过点E作EG⊥BC，垂足为G，如图②．∵EG⊥BC，OQ⊥BC，∴EG∥OQ．∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90°，OE=OQ，∴四边形OEGQ是正方形．∴GQ=EO=3，EG=OQ=3．∵∠B=60°，∠EGB=90°，EG=3，∴BG=．∴BQ=GQ+BG=3+．∴当∠EQF=90°时，BQ的长为3+．（3）在线段CD上存在点M，使∠AMB=60°．理由如下：以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG，作GP⊥AB，垂足为P，作AK⊥BG，垂足为K．设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，过点O作OH⊥CD，垂足为H，如图③．则⊙O是△ABG的外接圆，∵△ABG是等边三角形，GP⊥AB，∴AP=PB=AB．∵AB=270，∴AP=135．∵ED=285，∴OH=285﹣135=150．∵△ABG是等边三角形，AK⊥BG，∴∠BAK=∠GAK=30°．∴OP=AP•tan30°=135×=45．∴OA=2OP=90．∴OH＜OA．∴⊙O与CD相交，设交点为M，连接MA、MB，如图③．∴∠AMB=∠AGB=60°，OM=OA=90．．∵OH⊥CD，OH=150，OM=90，∴HM===30．∵AE=400，OP=45，∴DH=400﹣45．若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=400﹣45+30．∵400﹣45+30＞340，∴DM＞CD．∴点M不在线段CD上，应舍去．若点M在点H的右边，则DM=DH﹣HM=400﹣45﹣30．∵400﹣45﹣30＜340，∴DM＜CD．∴点M在线段CD上．综上所述：在线段CD上存在唯一的点M，使∠AMB=60°，此时DM的长为（400﹣45﹣30）米．X|k | B| 1 . c |O |m【点评】本题考查了垂直平分线的性质、矩形的性质、等边三角形的性质、正方形的判定与性质、直线与圆的位置关系、圆周角定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，考查了操作、探究等能力，综合性非常强．而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的关键．三、三角函数易错点解析三角函数是初中数学的重要内容，三角函数是学生在初中阶段第一次接触角函数，这部分知识的学习对于学生来说有一定的难度，下面就三角函数教学中容易出现的几种“错误”进行分析： 1．对应关系混淆【1】如图9，先进村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为a 米，那么这两树在坡面上的距离AB 为（） A. a a cos 米B. αcos a米 C. a a sin 米D.αsin a米 解析：分别过点B ，A 作平行水平面的直线和垂直于水平面的直线相交于点C 。
《锐角三角函数》 知识清单
《锐角三角函数》知识清单一、锐角三角函数的定义在直角三角形中，锐角的正弦、余弦和正切统称为锐角三角函数。
1、正弦（sin）对于锐角 A，它的对边与斜边的比值叫做角 A 的正弦，记作 sinA。
即：sinA ＝角 A 的对边／斜边。
例如，在一个直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A 为锐角，其对边为 a，斜边为 c，则 sinA ＝ a ／ c 。
2、余弦（cos）角 A 的邻边与斜边的比值叫做角 A 的余弦，记作 cosA。
即：cosA ＝角 A 的邻边／斜边。
在上述直角三角形 ABC 中，∠A 的邻边为 b，则 cosA ＝ b ／ c 。
3、正切（tan）角 A 的对边与邻边的比值叫做角 A 的正切，记作 tanA。
即：tanA ＝角 A 的对边／角 A 的邻边。
对于直角三角形 ABC ，tanA ＝ a ／ b 。
二、特殊锐角的三角函数值1、 30°角sin30°＝ 1/2 ，cos30°＝√3/2 ，tan30°＝√3/3 。
2、 45°角sin45°＝√2/2 ，cos45°＝√2/2 ，tan45°＝ 1 。
3、 60°角sin60°＝√3/2 ，cos60°＝ 1/2 ，tan60°＝√3 。
这些特殊角的三角函数值需要牢记，在解题中经常会用到。
三、锐角三角函数的关系1、平方关系sin²A ＋ cos²A ＝ 1 。
这意味着，对于一个锐角 A，其正弦的平方加上余弦的平方等于 1 。
2、商数关系tanA ＝ sinA ／ cosA 。
即正切等于正弦除以余弦。
四、锐角三角函数的应用锐角三角函数在解决实际问题中有广泛的应用，比如：1、测量问题在测量物体的高度、距离等时，可以通过构建直角三角形，利用锐角三角函数来计算。
例如，要测量一座塔的高度，可以在塔的附近选择一个测量点，测量出测量点到塔底部的距离，以及在测量点观测塔顶的仰角，然后通过正切函数计算出塔的高度。
专题06锐角三角函数重难点突破解析版
专题06 锐角三角函数重点锐角三角函数的概念，特殊角的三角函数值，利用计算器求锐角三角函数值难点锐角三角函数之间的关系易错混淆特殊角的三角函数值一、锐角三角函数概念熟记锐角三角函数的概念，可以简记为“正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻”.【例1】如图，点A 为a Ð边上的任意一点，作AC BC ^于点C ，CD AB ^于点D ，下列用线段比表示出sin a 的值，正确的是（ ）A ．BDBC B ．ADAC C ．ADDC D ．CDAC【答案】B【详解】AC BC ^Q ，CD AB ^，90BAC BAC ACD a \Ð+=Ð+Ð=°，ACD a \Ð=，sin AC CD AD AB BC ACa \===；故正确的是B 选项；故选：B ．【例2】已知在Rt ABC △中，90C Ð=°，sin A tan B 的值等于（ ）A B ．2C D ．12【答案】D【详解】解：∵sin BC A AB==，∴可设5BC AB ==，则AC ==∴1tan 2AC B BC ===，故选：D ．二、锐角三角函数之间的关系同一锐角的三角函数之间的关系：（1）22sin cos 1A A +=;（2）sin tan cos A A A=.【例1】已知a 为锐角，且5sin 13a =，那么a 的正切值为（ ）A ．512B ．125C ．513D ．1213【答案】A【详解】∵5sin 13a =，a 为锐角，∴12cos 13a ==，∴sin 5tan cos 12a a a ==．故选：A ．【例2】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝23，则cos A ＝（ ）A B C D 【答案】C【详解】解：由题意得：sin 2A +cos 2A ＝1，∴245cos 199A =-=，∴cos A =，故选C ．三、30°，45°，60°角的三角函数值及有关计算熟记特殊角的锐角三角函数值是进行锐角三角函数计算的关键.【例1】在Rt ABC △中，90C Ð=°，60A Ð=°，则cos A 的值为（ ）．A ．12B C D 【答案】A【详解】解：Rt ABC △中，90C Ð=°，60A Ð=°，∴1cos cos 602A =°=,故选：A【例2】如图，在一块直角三角板ABC 中，30A Ð=°，则sin A 的值是（ ）A B ．12C D 【答案】B【详解】解：∵30A Ð=°，∴1sin sin 302A =°=．故选：B ．四、利用计算器求锐角三角函数值或锐角化简形如的式子时，先转化为|a|的形式，再根据a 的符号去绝对值．【例1】若用我们数学课本上采用的科学计算器计算tan 3512¢°，按键顺序正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】解：科学计算器计算tan 3512¢°，按键顺序是故选：D ．【例2】用我们数学课本上采用的科学计算器求cos85¢°的值，按键顺序正确的是（ ）．A ．B ．C ．D ．【详解】解：采用科学计算器计算cos85¢°，按键顺序正确的是B 选项中的顺序．故选：B ．五、对概念本质理解不透锐角三角函数值的本质是一个比值，它的大小只与锐角A 的大小（即度数）有关，与所在的直角三角形的边的长度无关，即只要锐角A 确定，其三角函数值也随之确定.【例1】在Rt ABC △中，如果各边长度都扩大为原来的3倍，则锐角A Ð的余弦值A ．扩大为原来的3倍B ．没有变化C ．缩小为原来的13 D ．不能确定【错解】A【错因分析】误认为直角三角形各边的长度都扩大为原来的3倍，则∠A 的正弦值也扩大为原来的3倍.【解析】设原来三角形的各边分别为a ，b ，c ，则cos A =b c，若把各边扩大为原来的3倍，则各边为3a ，3b ，3c ，那么cos A =33b c =b c，所以余弦值不变．故选B ．【正解】B一、单选题1．如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，点D 是AB 的中点，DE AB ^交AC 于点E ，DE CE ==AB 的长为（ ）A ．3B ．C ．6D ．【详解】解：连接BE ，∵D 是AB 的中点，∴BD=AD=12AB∵∠C=∠BDE=90°，在Rt △BCE 和Rt △BDE 中，∵DE=CE BE=BE ìíî，∴△BCD ≌△BDE ，∴BC=BD=12AB ．∴∠A=30°．∴∴AD=3，∴AB=2AD=6．故选C ．2．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上位于直径AB 两侧的点，连接AC ，AD ，BD ，CD ，若⊙O 的半径是13，BD ＝24，则sin ∠ACD 的值是（ ）A ．1213B ．125C ．512D ．513【答案】D【详解】∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∵⊙O 的半径是13，∴AB ＝2×13＝26，由勾股定理得：AD ＝10，∴sin ∠B ＝1052613AD AB ==∵∠ACD ＝∠B ，∴sin ∠ACD ＝sin ∠B ＝513，故选D ．3．如图，点P 在第二象限，OP 与x 轴负半轴的夹角是a ，且35,cos 5OP a ==，则P 点的坐标为（）A ．()3,4B ．()3,4-C ．()4,3-D ．()3,5-【答案】B 【详解】过点P 作PA ⊥x 轴于A ，∵35,cos 5OP a ==，∴3cos 535OA OP a =×=´=，∴PA ==4，∵点P 在第二象限，∴点P 的坐标是（-3,4）故选：B.4．如图，AB 是⊙O 的直径，直线DE 与⊙O 相切于点C ，过A ，B 分别作AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，垂足为点D ，E ，连接AC ，BC ，若AD CE ＝3，则 AC 的长为（ ）A B C D 【答案】D【详解】解：连接OC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠DAC +∠ACD ＝90°，∴∠DAC ＝∠ECB ，∵∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴△ADC ∽△CEB ，∴ACADBC CE =，即AC BC =∵tan ∠ABC ＝AC BC =∴∠ABC ＝30°，∴AB ＝2AC ，∠AOC ＝60°，∵直线DE 与⊙O 相切于点C ，∴∠ACD ＝∠ABC ＝30°，∴AC ＝2AD ＝∴AB ＝∴⊙O 的半径为∴ AC ，故选：D ．5．如图，地面上点A 和点B 之间有一堵墙MN （墙的厚度忽略不计），在墙左侧的小明想测量墙角点M 到点B 的距离．于是他从点A 出发沿着坡度为i =1：0.75的斜坡AC 走10米到点C ，再沿水平方向走4米到点D ，最后向上爬6米到达瞭望塔DE 的顶端点E ，测得点B 的俯角为40°．已知AM=8米，则BM 大约为（ ）米．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）A ．8.6B ．10.7C ．15.4D ．16.7【答案】B 【详解】如图，过E 点作DF ⊥AB 于F 点，过C 点作CG ⊥AB 于G 点，∵AC=10，坡比为i =1：0.75，∴CG=8，AG=6，∴EF=ED+DF=6+8=14，又∠B=40°，∴BF=tan40EF °=140.84=16.7，又GM=AM-AG=2，∴AF=AM-FG-GM=2，∴BM=AB-AM=16.7+2-8=10.7，故选B.6．如图，面积为24的▱ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，过点D 作DE ⊥BD 交BC 的延长线于点E ，DE ＝6，则sin ∠DCE 的值为（ ）A．2425B．45C．34D．1225【答案】A【详解】解：连接AC，过点D作DF⊥BE于点E，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵Y ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ADB＝∠ABD，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD，∵DE⊥BD，∴OC∥ED，∵DE＝6，∴OC＝13 2DE=，∴AC=6，∵Y ABCD的面积为24，∴1242BD AC·=，∴BD＝8，∴BC CD==5，设CF＝x，则BF＝5+x，由BD2﹣BF2＝DC2﹣CF2可得：82﹣（5+x）2＝52﹣x2，解得x＝75，∴DF＝245，∴sin ∠DCE ＝24245525DF DC ==．故选：A ．二、填空题7．将BAC Ð放置在55´的正方形网格中，顶点A 、B 、C 在格点上．则sin BAC Ð的值为______．【详解】解：如图所示：连接BC ，AB BC =Q ，AC =222AB BC AC \+=，90ABC \Ð=°，45BAC ACB Ð\Ð==°，sin BAC \Ð=．．．8．如图，边长为1的小正方形网格中，点,,,,A B C D E 均在格点上，半径为2的A e 与BC 交于点F ，则tan DEF Ð=____________．【答案】12【详解】解：∵ DFDF =，∴DEF DBF Ð=Ð，∴在Rt BCD △中，∴21tan tan 42DC DEF DBC BD Ð=Ð===．故答案为：12三、解答题9．计算：（1）2cos 230°﹣2sin60°•cos45°；（2【答案】（1）32（2）【详解】解：（1）原式＝2×）2﹣＝32（2＝2）＝1﹣10．如图，A ，B ，C 是半径为2的O e 上三个点，AB 为直径，BAC Ð的平分线交O e 于点D ，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ，延长ED 交AB 的延长线于点F ．（1）求证：EF 是O e的切线；（2）若DF =tan EAD Ð的值．【答案】（1）见解析；（2【详解】解：（1）证明：连接OD ，∵OD OA =，∴ODA OAD Ð=Ð，∵AD 是BAC Ð的平分线，∴EAD OAD Ð=Ð，∴ODA EAD Ð=Ð，∴//OD AE ，∵EF AE ^，∴EF OD ^，∵OD 是O e 的半径，∴EF 是O e 的切线．（2）解：∵Rt FOD △中，2OD OA ==，DF =∴根据勾股定理得6OF ==，∵//OD AE ，∴FOD FAE ∽△△，∴FO OD FA AE =即628AE ==∴AE =∴DE∴在Rt ADE △中，8tan 3DE EAD AE Ð===．一、单选题1．关于x 的一元二次方程2sin 0x a +=有两个相等的实数根，则锐角a 等于（ ）A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B【详解】解：由题意可得：24sin 0a D =-=，解得1sin 2a =，可得30a =°，故选：B 2．如图，在边长为1的正方形网格中，连结格点A ，B 和C ，D ，AB 与CD 相交于点E ，则tan AEC Ð的值为（ ）A ．12B ．13C ．34D ．1【答案】A 【详解】解：连接格点FD FC 、，如图所示：则四边形ABDF 是平行四边形，AFC △和CGD △都是等腰直角三角形，∴AB FD ∥，45ACF DCG Ð=Ð=°，FC ==，CD ==，∴180180454590AEC FDC FCD DCG Ð=ÐÐ=-Ð=°-°-°=°，，∴tan tan AEC FDC Ð=Ð=12FC CD ==，故选：A ．3．如图，在菱形ABCD 中，60ABC Ð=°，E 是BC 上一点，连接AE ，将ABE V 沿AE 翻折，使点B 落在点F 处，连接BF DF 、．若BF =，则tan CDF Ð的值为（ ）ABC．2D．2【答案】D【详解】解：设AF 与CD 的交点为M ，设==AB AD a，则BF =由菱形的性质可得，120BAD Ð=°，60ABC ADC Ð=Ð=°由折叠的性质可得，AF AB a ==，则22222AB AF a BF +==，∴ABF △为等腰直角三角形，90BAF Ð=°，∴30DAF Ð=°，即90AMD Ð=°，在Rt ADM △中，30DAF Ð=°，∴12=DM a ，AM MF AF AM =-=tan 2MF CDF DM Ð===故选：D4．在ABC V 中，B Ð，C Ð都是锐角，tan 1B =，cos C =，则对ABC V 的形状最确切的判断是（ ）A ．锐角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形【答案】B【详解】解：由tan 1B =，cos C =45BÐ=°，45C Ð=°．90A \Ð=°．则对ABC V 形状的判断最确切的是等腰直角三角形．故选：B ．5．如图，已知直线l ：y x =，过点()0,1A 作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点1A ；过点1A 作y 轴的垂线交直线l 于点1B ，过点1B 作直线l 的垂线交y 轴于点2A ；L ；按此作法继续下去，则点2016A 的坐标为（ ）A ．()02016，B ．()04032，C ．()201604，D ．()201602，【答案】C【详解】∵直线l 的解析式为y =，设直线l 与x 轴的夹角为a ，∴tan a =，即30a =°，∴直线l 与x 轴的夹角为30°，∵AB x ∥轴，∴30ABO Ð=°，60AOB Ð=°∵1OA =，AB y ^轴，∴90OAB Ð=°∴22OB OA ==，∵1A B l ^，且60AOB Ð=°∴130BA O Ð=°，∴124A O OB ==，∴()104A ，，∵11A B y^∴11A B x ∥轴，∴1130A B O Ð=°，∴1128OB OA ==∵1290OB A Ð=°，且60AOB Ð=°，∴2130A B O Ð=°∴21216A O OB ==∴()2016A ，，∴()0,4n n A ∴点2016A 的坐标为()201604，．故选：C ．6．如图，正方形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，点F 是CD 上一点，OE OF ^交BC 于点E ，连接,AE BF 交于点P ，连接OP ．则下列结论：①AE BF ^；②OAP EAC △∽△；③四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的14；④AP BP -=；⑤若:2:3BE CE =，则4tan 7CAE Ð=．其中正确的结论有（ ）个．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【详解】解：在正方形ABCD 中，AB BC CD ==，AC BD ^，45ABD DBC ACD °Ð=Ð=Ð=，∴90BOE EOC Ð+Ð=°，∵OE OF ^，∴90FOC EOC Ð+Ð=°，∴FOC BOE Ð=Ð，又∵OB OC =，∴()ASA BOE COF V V ≌∴BE CF =，又∵AB BC =，90ABC BCF Ð=Ð=°，∴()SAS ABE BCF ≌△△，∴BAE CBF Ð=Ð，∵90ABP CBF Ð+Ð=°，∴90ABP BAP Ð+Ð=°，即AE BF ^，故①正确；∵90APB AOB Ð=Ð=°，∴点A O P B 、、、四点共圆，∴45APO ABO Ð=Ð=°，∴45APO ACE Ð=Ð=°，又∵OAP EAC Ð=Ð，∴OAP EAC △∽△，故②正确；在正方形ABCD 中，OA OB OC OD ===，90AOB BOC COD DOA Ð=Ð=Ð=Ð=°，∴OAB OBC OCD ODA V V V V ≌≌≌，∴14OBC ABCD S S =V 正方形，即14OBE OCE ABCD S S S +=V V 正方形，∵BOE COF V V ≌，∴BOE COF S S =V V ，∴14OBE OCE ABCDOECF S S S S =+=四边形V V 正方形，则四边形OECF 的面积是正方形ABCD 面积的14，故③正确；过点O 作OH OP ⊥，交AE 于点H ，如下图：∵45OH APO OP =°Ð，⊥，∴OH OP ==，即HP =，∴OH OP ⊥，∴90POB HOB Ð+Ð=°，∵90AOH BOH Ð+Ð=°，∴AOH BOP Ð=Ð，∵OBP OBC CBF Ð=Ð-Ð，OAH OAB BAE Ð=Ð-Ð，∴OAH OBP Ð=Ð，又∵OA OB =，∴()ASA OAH OBP V V ≌，∴AH BP =∴AP BP AP AH HP -=-==，故④正确；由:2:3BE CE =，设2BE x =，则3CE x =5AB BC x ==，AE ==，AC =，过点E 作EG AC ^，如下图：∵45ACB Ð=°，∴EG CG x ===，∴AG AC CG x =-，在Rt AEG △中，3tan 7E A G CAE G Ð===，故⑤错误；综上，正确的个数为4，故选：C二、填空题7．计算：0212)()3p --+--°=______．【答案】92-【详解】原式219=+-32192=+-+92=-．故答案为：92-．8．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD Ð，交BC 于点E ，BF 平分ABC Ð，交AD 于点F ，AE 与BF 交于点P ，连接EF ，PD ．若4AB =，6AD =，60ABC Ð=°，则tan ADP Ð的值为________．【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，AD BC \∥，AFB FBE \Ð=Ð，ABF FBE Ð=ÐQ ，ABF AFB \Ð=Ð，AB AF \=，同理AB BE =，\四边形ABEF 是菱形；AE BF \^，60ABC Ð=°Q ，30ABF \Ð=°，60BAP FAP Ð=Ð=°，4AB =Q ，2AP \=，如图，过点P 作PM AD ^于M ，PM \=1AM =，6AD =Q ，5DM \=，在R t PMF V 中，tan MP ADP DM Ð==．三、解答题9．计算：(1)cos453tan302sin60°+°-°；4cos 60tan 60tan 45°°-°．【答案】(2)2-【详解】（1）解：cos453tan302sin60°+°-°32（24cos 60tan 60tan 45°°-°==)11=--2=-10．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 为线段AC 上一点，联结BM ，在ABM Ð内部作射线BP 分别与线段AO 、线段AD 交于点N （不与点A 、点D 重合）、点P 且MBN DBC =∠∠．(1)当1CM =时，求APB Ð的正切值；(2)射线BP 交射线CD 与点Q ，若BDQ BMC ∽△△，求CM 的长；(3)设线段CM x =，BN y MN =，写出y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．【答案】(1)1211(2)75(3)1605y x ö÷ø＜＜【详解】（1）解：∵MBN DBC =∠∠，∴PBD MBC =∠∠，∵四边形ABCD 为矩形，∴BCM DAC BDP Ð=Ð=Ð，∴BPD BMC ∽V V ，∴PD BDMC BC =，∴BDPD MC BC =´，∵3AB =，4BC =，∴5AC BD ===，∵1MC =，∴54PD =，∴312tan 51144AB AB APB AP AD PD Ð====--；（2）如图，∵BMC BDQ ∽V V ，3AB =，4BC =，∴Q BCM Ð=Ð，CM BCDQ BQ =，∴3tan tan 4ABBC BCM Q BC QC Ð==Ð==，∴163QC =，∴73DQ QC DC =-=，∵222256169BQ QC BC =+=+，∴203BQ =，∵CM BC DQ BQ=，∴47720353BC CM DQ BQ=´=´=；（3）如图，过点M 作ME BC ^于E ，即有90MEC ABC Ð=Ð=°，又∵ACB MCE Ð=Ð，∴ACB MCE ∽V V ，∴MC ME CE AC AB BC ==，∴534x ME CE ==，∴35ME x =，45CE x =，∴445BE x =-，∴BM ==，∵PBM DBC ACB Ð=Ð=Ð，BNM CNB Ð=Ð，∴BNM CNB ∽V V ，∴BN BC MN BM ==∴y =，当P 点与D 点重合时，MBN Ð与DBC Ð重合，此时M 点与C 点重合，即有：0x CM ==，当P 点与A 点重合时，此时A 、N 、P 三点重合，BM 的延长线交AD 于G点，如图，∵MBN DBC =∠∠，又∵tan AG MBN AB =∠，tan DC AB DBC BC BC ==∠，∴334AG =，∴94AG =，∵在矩形ABCD 中，AD BC ∥，∴AG AM AC CM BC CM CM -==，∵5AC =，∴165CM =，∵点P 不与点A 、点D 重合，∴1605x ＜＜，综上所述，1605y x ö=÷ø＜＜．。
锐角三角函数
∠∂的邻边 cos ∂ = 斜边 ∠∂的对边 tan ∂ = ∠∂的邻边
∂ 表示.
A
∂
B
C
把 sin ∂、 ∂、 ∂叫锐角∂的三角函数 cos tan
2.特殊角的三角函数值
α sinα cosα tanα
C B
14.在Rt △ ABC中, ∠ C=900,下列式子不一定成立的是 A.sinA=cosB B.cosA=sinB A+ B C C. sin D.cosA=cosB = sin 2 2 15.下列说法中,正确的是( ) A.若a为锐角,则0<sina<1 B.已知tana= 3 ,则锐角a=300 C.tan300+tan450=tan(300+450) D.在Rt △ ABC中, ∠ C=900,则BC=ACtanA
3 8.已知关于x的方程, x − x tan ∂ + = 0 4 有两个相等的实数根,
2
则锐角为
.
9.已知∠ A为锐角,则sinA+cosA值一定 A.大于1 B. 小于1 C.等于1 D.无法确定
10.已知△ ABC的三边长分别为9,40,41,则其 最小锐角的正弦值为 . 11.已知一个直角三角形的两边分别为3和4, 则其最小锐角的正切值为 . 12.已知00<A<450,,则sinA,cosA,tanA大小关系 为 . 13.在△ ABC中, ∠ C=900,CD⊥AB于D, 如图,AC=3,AB=5 A D 则tan ∠ BCD= .
5.计算：sin210+sin220+sin230+---+sin2880+sin2890
锐角三角函数特殊角
锐角三角函数特殊角导言三角函数是数学中一门重要的分支，它们在几何、物理、工程等领域发挥着重要作用。
在三角函数中，有一类特殊的角度被称为锐角。
本文将详细介绍锐角三角函数的特殊角，包括定义、性质以及相关应用。
一、锐角三角函数的定义锐角指的是角度大小在0°和90°之间的角。
在三角函数中，主要涉及的三个函数是正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
它们的定义如下：•正弦函数（sin）：在锐角ABC中，∠ABC的顶点位于单位圆的圆心O上，点A位于单位圆上，点C位于x轴上。
正弦函数sinA的值等于A点在单位圆上的y坐标值，即sinA=y。
•余弦函数（cos）：在锐角ABC中，∠ABC的顶点位于单位圆的圆心O上，点A位于单位圆上，点C位于x轴上。
余弦函数cosA的值等于A点在单位圆上的x坐标值，即cosA=x。
•正切函数（tan）：在锐角ABC中，∠ABC的顶点位于单位圆的圆心O上，点A位于单位圆上，点C位于x轴上。
正切函数tanA的值等于A点在单位圆上的y坐标值除以A点在单位圆上的x坐标值，即tanA=y/x。
二、锐角三角函数特殊角的定义在锐角三角函数中，存在一些特殊角，它们的值可以用简单的形式表示。
这些特殊角包括以下几个：1.0°：对应的三角函数值为sin0°=0，cos0°=1，tan0°=0。
2.30°：对应的三角函数值为sin30°=1/2，cos30°=√3/2，tan30°=√3/3。
3.45°：对应的三角函数值为sin45°=√2/2，cos45°=√2/2，tan45°=1。
4.60°：对应的三角函数值为sin60°=√3/2，cos60°=1/2，tan60°=√3。
5.90°：对应的三角函数值为sin90°=1，cos90°=0（定义无意义），tan90°=无穷（定义无意义）。
锐角三角函数
方法总结： 根据锐角三角函数的定义，代入边的长度求出三 角函数值，若没有图形，最好用数形结合的思想画出 图形帮助分析求解.
考点二 特殊角的三角函数值 1 例 2(2014· 凉山州)在△ABC 中，若 cos A－2 ＋ (1－tan B) ＝0，则∠C 的度数是( A．45° B．60° C．75°
解析：设点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处，连接 DE. 如图，根据题意，可得∠ABD＝∠CBD，∴DE＝CD＝ 5 cm. ∵AC＝12 cm，∴AD＝7 cm. 在 Rt△AED 中， DE 5 sin A＝ ＝ . AD 7
5 答案： 7
4．若 1－ 2cos α＝ 0，则锐角α＝ 45°. 2 解析：∵1－ 2cos α ＝0，∴cos α ＝ . ∴α＝45°. 2
9．在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若 AB ＝4，sin A 3 ＝ ，则斜边上的高等于 ( 5 64 A. 25 16 B. 5 ) 48 C. 25 12 D. 5
解析：根据题意画出图形，如图所示，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，在 Rt△ABC 中，AB 3 12 ＝4，sin A＝ ，∴BC＝AB· sin A＝ ，根 5 5 据 勾 股 定 理 ， 得 AC ＝ AB －BC ＝ AC· BC 48 16 1 1 .∵S△ABC＝ AC· BC＝ AB· CD， ∴CD＝ ＝ . AB 5 2 2 25 故选 C. 答案： C
考点二 特殊角 α 三角函数 sin α cos α tan α
特殊角的三角函数值 30° 1 2 3 2 3 3 45° 2 2 2 2 1 60° 3 2 1 2
3
温馨提示： 1.30° ，45° ，60° 角的正弦值的分母都是 2，分子从 小到大分别是 1， 2， 3，随着角度的增大，正弦值 逐渐增大；30° ，45° ，60° 角的余弦值的分母也都是 2， 而分子从大到小分别是 3， 2，1，余弦值随角度的 增大而减小. 2.30° ，60° 角的正切值互为倒数，都和 3有关，45° 角的正切值是 1， 随着角度的增大， 正切值也在逐渐增大.
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课题：锐角三角函数之间的关系和特殊角
学习目标：
1、熟练掌握正弦和余弦、正切的关系和互化.
2、了解同一锐角三角函数间的平方关系、商数关系
3、掌握30度、45度、60度的三角函数值，能够用它们进行计算。
自主学习
一.正弦和余弦的关系
1.任意锐角的正弦值都等于它的余角的 值.cos sin =α
2.任意锐角的余弦值都等于它的余角的 值.sin cos =α
二..平方关系：1.推导：=+αα22cos sin 1
2、已知α为锐角，且5
3sin =
α，则αcos = . 3、已知α为锐角，且13
12cos =α，则=αsin . 三.商数关系：1.推导：αα
αtan cos sin = 2、已知α为锐角，且5
3sin =α，那么=αtan . 3、已知α为锐角，且13
5cos =α，那么=αtan . 4、已知α为锐角，且2tan =α，则ααααcos sin cos sin -+= . 四、特殊角：根据直角三角形边角关系把108页表格填写完整。
合作再探
一、填空（正弦和余弦、正切和余切互化）
①sin48°= . ②cos63°= .sin54°= . ○
4cos72°= . 2. 已知α为锐角，且sin α=
5
4,那么cos α= . 3. 已知α为锐角，且cos α=13
12,则tan α= . 4. 已知α为锐角，且tan α=3,则ααααcos sin cos sin +-= . 5、 若sinA=cos 245°,则∠A= 。
6、 △ABC 中，有01sin 22
3cos =-+-B A ,那么∠C= 。
7、若∠A=60°，则化简=-2)sin 1(A .
8、Rt ∆ABC 中，∠C=︒90，∠A ∶∠B=1∶2，则sinA 的值
9、∠A 为锐角，且sinA=
2
3 ，则cos A= 10、若1)10tan(30=+α，则锐角α的度数是 二、计算
(1)tan30°sin60°＋cos 230°－sin 245°tan45 （2）2cos60°＋2sin30°＋4tan45°
（4）sin 021+sin 022+…+sin 0288+sin 0
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探索题： 1、△ABC 中，∠ACB ＝900，CD 是AB 边上的高，则CB
CD 等于（ ） A 、cotA B 、tanA C 、cosA D 、sinA
2、如图，两条宽度都是1的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
A 、αsin 1
B 、α
cos 1 C 、αsin D 、1
cos 601(3) 1sin 60tan 30++。