概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

概率论与数理统计
<概率论>试题
一、填空题
1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。

试用 A 、B 、C 分别表示事件
1）A 、B 、C 至少有一个发生
2）A 、B 、C 中恰有一个发生
3）A 、B 、C 不多于一个发生
2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。

则P(B )A ＝
3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α=
4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为
5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为
6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k
P X k A k ===⋅⋅⋅则
A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =⎩
⎨⎧<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________
8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________
9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为
8081
，则该射手的命中率为_________
10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是
11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<=
13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<=
14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。

15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝
16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -=
17.设X
的概率密度为2
()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）=
19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y +=
20.设12,,,,n X X X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或
～ 。

特别是，当
同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有X ～
或～ .
21.设12,,,,n X X X ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，
2
i DX σ=(1,2,)i =⋅⋅⋅ 那么211n i i X n =∑依概率收敛于 . 22.设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本，令221234()(),Y X X X X =++- 则当C = 时CY ～2(2)χ。

23.设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=
24.设X 1,X 2,…X n 为来自正态总体2(,)N μσX
的一个简单随机样本，则样本均值
1
1n
i i n =X =X ∑服从
二、选择题
1. 设A,B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是
（A ）P (A+B) = P (A); （B ）()P(A);P AB =
（C ）(|A)P(B);P B = （D ）(A)P B -=()P(A)P B -
2. 以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为
（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”
（C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。

3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。

则第二人取到黄球的概率是
（A ）1/5 （B ）2/5 （C ）3/5 （D ）4/5
4. 对于事件A ，B ，下列命题正确的是
（A ）若A ，B 互不相容，则A 与B 也互不相容。

（B ）若A ，B 相容，那么A 与B 也相容。

（C ）若A ，B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。

（D ）若A ，B 相互独立，那么A 与B 也相互独立。

5. 若()1P B A =，那么下列命题中正确的是
（A ）A B ⊂ （B ）B A ⊂
（C ）A B -=∅ （D ）()0P A B -= 6． 设X ～2(,)N μσ,那么当σ增大时，{}P X μσ-<=
A ）增大
B ）减少
C ）不变
D ）增减不定。

7．设X 的密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，且)()(x f x f -=。

那么对任意给定的a 都有
A ）0()1()a f a f x dx -=-⎰
B ） 0
1()()2a F a f x dx -=-⎰ C ）)()(a F a F -= D ） 1)(2)(-=-a F a F
8．下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是
A ）21()1F x x =+
B ） x x F arctan 121)(π
+= C ）=)(x F 1(1),020,0x e x x -⎧->⎪⎨⎪≤⎩
D ） ()()x F x f t dt -∞=⎰，其中()1f t dt +∞-∞=⎰ 9． 假设随机变量X 的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X 与-X 有相同的分布函数，则下列各式中正确的是
A ）F(x) = F(-x); B) F(x) = - F(-x);
C) f (x) = f (-x); D) f (x) = - f (-x).
10．已知随机变量X 的密度函数f(x)=x x Ae ,x 0,λλ-≥⎧⎨<⎩
(λ>0,A 为常数)，则概率P{X<+a λλ<}（a>0）的值
A ）与a 无关，随λ的增大而增大
B ）与a 无关，随λ的增大而减小
C ）与λ无关，随a 的增大而增大
D ）与λ无关，随a 的增大而减小 11．1X ,2X 独立,且分布率为 (1,2)i =,那么下列结论正确的是
A ）2
1X X = Ｂ）1}{21==X X P C ）21}{21==X X P Ｄ）以上都不正确 12．设离散型随机变量(,)X Y 的联合分布律为
且Y X ,相互独立，则
A ） 9/1,9/2==βα
B ） 9/2,9/1==βα
C ） 6/1,6/1==βα
D ） 18/1,15/8==βα
13．若X ～211(,)μσ，Y ～222
(,)μσ那么),(Y X 的联合分布为 A ） 二维正态，且0=ρ B ）二维正态，且ρ不定
C ） 未必是二维正态
D ）以上都不对
14．设X ，Y 是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为F X (x),F Y (y),则Z = max {X,Y} 的分布函数是
A ）F Z （z ）= max { F X (x),F Y (y)}; B) F Z （z ）= max { |F X (x)|,|F Y (y)|}
(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1/61/91/181/3X Y P αβ
C) F Z （z ）= F X （x ）·F Y (y) D)都不是
15．下列二无函数中， 可以作为连续型随机变量的联合概率密度。

A ）f(x,y)=cos x,0,⎧⎨⎩x ,0y 122ππ-≤≤≤≤其他
B) g(x,y)=cos x,0,⎧⎨⎩1x ,0y 222ππ-≤≤≤≤其他
C) ϕ(x,y)=cos x,0,⎧⎨⎩
0x ,0y 1π≤≤≤≤其他 D) h(x,y)=cos x,0,⎧⎨⎩10x ,0y 2π≤≤≤≤其他
16．掷一颗均匀的骰子600次，那么出现“一点”次数的均值为
A ） 50
B ） 100
C ）120
D ） 150
17． 设123,,X X X 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布，令1231()3
Y X X X =++，则
2()E Y =
A ）1.
B ）9.
C ）10.
D ）6.
18．对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =⋅，则
A ）()()()D XY D X D Y =⋅
B ）()()()D X Y D X D Y +=+
C ）X 和Y 独立
D ）X 和Y 不独立
19．设()(P Poission λX 分布)，且()(1)21E X X --=⎡⎤⎣⎦，则λ=
A ）1，
B ）2，
C ）3，
D ）0
20． 设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y 的
A ）不相关的充分条件，但不是必要条件；
B ）独立的必要条件，但不是充分条件；
C ）不相关的充分必要条件；
D ）独立的充分必要条件
21．设X ～2(,)N μσ其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 样本，则下列选项中不是
统计量的是
A ）123X X X ++
B ）123max{,,}X X X
C ）2321i i X σ=∑
D ）1X μ-
22．设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是
A ）当n 充分大时，近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ）{}(1),k k n k n P X k
C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅
C ）{}(1),k k n k n k P X C p p n
-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅ D ）{}(1),1k k n k i n
P X k C p p i n -==-≤≤ 23．若X ～()t n 那么2χ～
A ）(1,)F n
B ）(,1)F n
C ）2()n χ
D ）()t n
24．设n X X X ,,21为来自正态总体),(2σμN 简单随机样本，X 是样本均值，记
2121
)(11X X n S n i i --=∑=，2122)(1X X n S n i i -=∑=，2123)(11μ--=∑=n i i X n S ， 224
11()n
i i S X n μ==-∑，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是 A) 1/1--=n S X t μ B) 1/2--=n S X t μ C) n S X t /3μ
-= D) n S X t /4μ
-=
25．设X 1,X 2,…X n ，X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n+m 的样本，则统计量2
12
1n i i n m i i n m V n =+=+X =X ∑∑服从的分布是
A) (,)F m n B) (1,1)F n m -- C) (,)F n m D) (1,1)F m n --
三、解答题
1．10把钥匙中有3把能打开门，今任意取两把，求能打开门的概率。

2.任意将10本书放在书架上。

其中有两套书，一套3本，另一套4本。

求下列事件的概率。

1） 3本一套放在一起。

2）两套各自放在一起。

3）两套中至少有一套放在一起。

3.调查某单位得知。

购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD 的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD 占10%，购买电脑和DVD 占5％，三种电器都购买占2％。

求下列事件的概率。

1）至少购买一种电器的；
2）至多购买一种电器的；
3）三种电器都没购买的；
4．仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得正品的概率。

5．一箱产品，A ，B 两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％，2％。

现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？
6．有标号1∼n 的n 个盒子，每个盒子中都有m 个白球k 个黑球。

从第一个盒子
中取一个球放入第二个盒子，再从第二个盒子任取一球放入第三个盒子，依次继续，求从最后一个盒子取到的球是白球的概率。

7．从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布率。

（1）放回 （2）不放回
8．设随机变量X 的密度函数为()x f x Ae -= ()x -∞<<+∞,
求 (1）系数A,
(2) {01}P x ≤≤
(3) 分布函数)(x F 。

9．对球的直径作测量，设其值均匀地分布在[b a ,]。

求体积的密度函数。

10．设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，
才能使至少成功一次的概率不小于0.9。

11．公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在0.01以下来设计的，设
男子的身高2(168,7)X N ,问车门的高度应如何确定？
12． 设随机变量X 的分布函数为：F(x)=A+Barctanx,(-x ∞<<+∞).
求：（1）系数A 与B ；
（2）X 落在（-1，1）的概率；
（3）X 的分布密度。

13．把一枚均匀的硬币连抛三次，以X 表示出现正面的次数，Y 表示正、反两面次数差的绝对值 ，求),(Y X 的联合分布律与边缘分布。

14．设二维连续型随机变量),(Y X 的联合分布函数为
)3
arctan )(2arctan (),(y C x B A y x F ++= 求（1）A B C 、、的值， （2）),(Y X 的联合密度， （3） 判断X Y 、的独立性。

15．设连续型随机变量（X ，Y ）的密度函数为f(x,y)=(34)0,0,0,x y x y Ae -+>>⎧⎨⎩
其他, 求 （1）系数A ；（2）落在区域D ：{01,02}x y <≤<≤的概率。

16． 设),(Y X 的联合密度为x y x x Ay y x f ≤≤≤≤-=0,10),1(),(，
（1）求系数A ，（2）求),(Y X 的联合分布函数。

17．上题条件下：（1）求关于X 及Y 的边缘密度。

（2）X 与Y 是否相互独立？
18．在第16）题条件下，求)(x y f 和)(y x f 。

19．盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数X 的数学期望()E X 和方差()D X 。

20． 有一物品的重量为1克，2克，﹒﹒﹒，10克是等概率的，为用天平称此物品的重量准备了三组砝码 ，甲组有五个砝码分别为1，2，2，5，10克，乙组
为1，1，2，5，10克，丙组为1，2，3，4，10克，只准用一组砝码放在天平的一个称盘里称重量，问哪一组砝码称重物时所用的砝码数平均最少?
21． 公共汽车起点站于每小时的10分，30分，55分发车，该顾客不知发车时间，在每小时的任一时刻随机到达车站，求乘客候车时间的数学期望（准确到秒）。

22．设排球队A 与B 比赛，若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假设A ，B 在每场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负？
23．一袋中有n 卡片，分别记为1，2，﹒﹒﹒，n ，从中有放回地抽取出k 来，以X 表示所得之和，求(),()E X D X 。

24．设二维连续型随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为：f
(x ,y)=,0x 1,0y x 0,
k <<<<⎧⎨⎩其他 求：① 常数k ， ② ()E XY 及()D XY .
25．设供电网有10000盏电灯，夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.7，并且彼此开闭与否相互独立，试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在6800到7200之间的概率。

26．一系统是由n 个相互独立起作用的部件组成，每个部件正常工作的概率为0.9，且必须至少由 80%的部件正常工作，系统才能正常工作，问n 至少为多大时，才能使系统正常工作的概率不低于 0.95？
27．甲乙两电影院在竞争1000名观众，假设每位观众在选择时随机的，且彼此相互独立，问甲至少应设多少个座位，才能使观众因无座位而离去的概率小于1%。

28．设总体X 服从正态分布，又设X 与2S 分别为样本均值和样本方差，又设
21(,)n X N μσ+，且1n X +与12,,,n X X X ⋅⋅⋅相互独立，求统计量的分布。

29．在天平上重复称量一重为α的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布2(,0.2)N α，若以n X 表示n 次称量结果的算术平均值，为使()0.10.95n P X a -<≥成立，求n 的最小值应不小于的自然数？
30．证明题设A，B是两个事件，满足)
A
P=，证明事件A，B相互独
P
B
(
)
(A
B
立。

31．证明题设随即变量X的参数为2的指数分布，证明2
=-在区间（0，
Y e-
1X
1）上服从均匀分布。

<数理统计>试题
一、填空题
1．设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2σN 的简单随机样本，2σ已知，令
∑==16
1161i i X X ，则统计量σ
-164X 服从分布为 （必须写出分布的参
数）。

2．设),(~2σμN X ，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X 中抽取的样本，则μ的矩估计值为 。

3．设]1,[~a U X ，n X X ,,1 是从总体X 中抽取的样本，求a 的矩估计为 。

4．已知2)20,8(1.0=F ，则=)8,20(9.0F 。

5．θ
ˆ和βˆ都是参数a 的无偏估计，如果有 成立 ，则称θˆ是比βˆ有效的估计。

6．设样本的频数分布为
则样本方差2s =_____________________。

7．设总体X~N （μ，σ²），X1，X2，…，Xn 为来自总体X 的样本，X 为样本均值，则D （X ）＝________________________。

8．设总体X 服从正态分布N （μ，σ²），其中μ未知，X1，X2，…，Xn 为其样
本。

若假设检验问题为1H 1H 2120≠↔σσ：＝：，则采用的检验统计量应
________________。

9．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H0成立时，样本值（x1,x2, …，
xn ）落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为_____________________。

10．设样本X1，X2，…，Xn 来自正态总体N （μ，1），假设检验问题为：
，
：＝：0H 0H 10≠↔μμ 则在H0成立的条件下，对显著水平α，拒绝域W 应为______________________。

11．设总体服从正态分布(,1)N μ，且μ未知，设1,
,n X X 为来自该总体的一个
样本，记1
1n
i
i X X n ==∑，则μ的置信水平为1α-的置信区间公式是 ；若
已知10.95α-=，则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n 至少要取__ __。

12．设n X X X ,,,21 为来自正态总体2
(,)N μσ的一个简单随机样本，其中参数μ
和2σ均未知，记11n i i X X n ==∑，22
1()n
i i Q X X ==-∑，则假设0H ：0μ=的t 检
验使用的统计量是 。

（用X 和Q 表示）
13．设总体
2
~(,)X N μσ，且μ已知、2σ未知，设123,,X X X 是来自该总体的一个样本，则21231
()3X X X σ+++，12323X X X μσ++，222123X X X μ++-，(1)
2X μ
+中是统计量的有 。

14．设总体X 的分布函数()F x ，设n X X X ,,,21 为来自该总体的一个简单随机样本，则n X X X ,,,21 的联合分布函数 。

15．设总体X 服从参数为p 的两点分布，p （01p <<）未知。

设1,
,n X X 是
来自该总体的一个样本，则2
111
1
,(),6,{},max n n
i
i
n i n i n
i i X X
X X X X pX ≤≤==--+∑∑中是统
计量的有 。

16．设总体服从正态分布(,1)N μ，且μ未知，设1,,n X X 为来自该总体的一个
样本，记1
1n
i
i X X n ==∑，则μ的置信水平为1α-的置信区间公式是 。

17．设2~(,)X X X N μσ，2
~(,)Y Y Y N μσ，且X 与Y 相互独立，设1,
,m X X 为来自
总体X 的一个样本；设1,,n Y Y 为来自总体Y 的一个样本；2X S 和2
Y S 分别是其无
偏样本方差，则22
22
//X X Y Y S S σσ服从的分布是 。

18．设()2,0.3X N μ~，容量9n =，均值5X =，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是 (查表0.025 1.96Z =）
19．设总体X ～2(,)N μσ，X 1，X 2，…，X n 为来自总体X 的样本，X 为样本均值，则D （X ）＝________________________。

20．设总体X 服从正态分布N （μ，σ²），其中μ未知，X 1，X 2，…，X n 为其样
本。

若假设检验问题为1H 1H 2120≠↔σσ：＝：，则采用的检验统计量应________________。

21．设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，μ和2σ均未知，
记11n i i X X n ==∑,2
21
()n
i i X X θ==-∑,则假设0:0H μ=的t 检验使用统计量T
＝ 。

22．设11m i i X X m ==∑和1
1n
i i Y Y n ==∑分别来自两个正态总体211(,)N μσ和222(,)N μσ的
样本均值，参数1μ，2μ未知，两正态总体相互独立，欲检验22
012:H σσ= ，应
用 检验法，其检验统计量是 。

23．设总体X ～2(,)N μσ，2,μσ为未知参数，从X 中抽取的容量为n 的样本均
值记为X ，修正样本标准差为*n S ，在显著性水平α下，检验假设0:80H μ=，
1:80H μ≠的拒绝域为 ，在显著性水平α下，检验假设22
00:H σσ=（0σ已知），2110:H σσ≠的拒绝域为 。

24．设总体X ～12(,),01,,,,n b n p p X X X <<⋅⋅⋅为其子样，n 及p 的矩估计分别是 。

25．设总体X ～[]120,,(,,,)n U X X X θ⋅⋅⋅是来自X 的样本，则θ的最大似然估计量是 。

26．设总体X ～2(,0.9)N μ，129,,,X X X ⋅⋅⋅是容量为9的简单随机样本，均值5x =，则未知参数μ的置信水平为0.95的置信区间是 。

27．测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差（微米）如下： +2，+1，-2，+3，+2，+4，-2，+5，+3，+4 则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是
28．设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本，令
221234()(),Y X X X X =++- 则当C = 时CY ～2(2)χ。

29．设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差= 30．设X 1,X 2,…X n 为来自正态总体2(,)N μσX
的一个简单随机样本，则样本均
值1
1n
i i n =X =X ∑服从
二、选择题
1.1621,,,X X X 是来自总体），10(N ~X 的一部分样本，设：
216292821X X Y X X Z ++=++= ，则
Y
Z
~（ ） )(A )1,0(N )(B )16(t )(C )16(2χ )(D )8,8(F
2.已知n X X X ,,,21 是来自总体的样本，则下列是统计量的是（ ）
X X A +)( +A ∑=-n i i X n B 12
11)( a X C +)( +10 13
1)(X a X D ++5 3.设81,,X X 和101,,Y Y 分别来自两个相互独立的正态总体)2,1(2-N 和)
5,2(N
的样本, 21S 和22S 分别是其样本方差，则下列服从)9,7(F 的统计量是( )
)(A 222152S S )(B 222
145S S )(C 2
22154S S )(D 22
2125S S 4.设总体),(~2
σμN X ，n X X ,,1 为抽取样本，则∑=-n
i i X X n 1
2)(1是（ ）
)(A μ的无偏估计 )(B 2σ的无偏估计 )(C μ的矩估计 )(D 2σ的矩估计
5、设n X X ,,1 是来自总体X 的样本，且μ=EX ，则下列是μ的无偏估计的是（ ）
)(A ∑-=111n i i X n )(B ∑=-n i i X n 111 )(C ∑=n
i i X n 21 )(D ∑-=-11
11n i i X n 6．设n X X X ,,,21 为来自正态总体
2
(,)N μσ的一个样本，若进行假设检验，当__ __
时，一般采用统计量
X t =
(A)220μσσ未知，检验＝ (B)22
0μσσ已知，检验＝ (C)20σμμ未知，检验＝ (D)2
0σμμ已知，检验＝
7．在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为i
m 的
样本，则下列说确的是___ __
(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验
(C)方差分析中
2
11.()i
m r e ij i i j S y y ===-∑∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异
(D)方差分析中
2
.1
()r
A i i i S m y y ==-∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异
8．在一次假设检验中，下列说确的是______ (A)既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误
(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误 (C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都不变
(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误
9．对总体
2
~(,)X N μσ的均值μ和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，意义是指这个区间
(A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值 (C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含μ的值 10．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） (A)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 (B)在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 (C)在H 00成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 (D)在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 11. 设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最
大似然估计为
（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）2
1
1n i i X n =∑ （D ）2X
12.X 服从正态分布，1-=EX ，2
5EX =，),,(1n X X 是来自总体X 的一个样
本，则
∑==n
i i
n
X X 1
1
服从的分布为___ 。

(A)N (1-,5/n) (B)N (1-,4/n) (C)N (1-/n,5/n) (D)N (1-/n,4/n)
13．设n X X X ,,,21 为来自正态总体
2
(,)N μσ的一个样本，若进行假设检验，当___ __
时，一般采用统计量
X U =
(A)220μσσ未知，检验＝ (B)22
0μσσ已知，检验＝ (C)20σμμ未知，检验＝ (D)20σμμ已知，检验＝
14．在单因子方差分析中，设因子A 有r 个水平，每个水平测得一个容量为i m 的样本，则下列说确的是____ _
(A)方差分析的目的是检验方差是否相等
(B)方差分析中的假设检验是双边检验
(C) 方差分析中
2
11.()i
m r e ij i i j S y y ===-∑∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异
(D) 方差分析中
2
.1
()r
A i i i S m y y ==-∑包含了随机误差外,还包含效应间的差异
15．在一次假设检验中，下列说确的是___ ____ (A)第一类错误和第二类错误同时都要犯
(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误
(C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都要变小
(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误
16．设ˆθ是未知参数θ的一个估计量，若ˆE θθ≠，则ˆ
θ是θ的___ _____
(A)极大似然估计 (B)矩法估计 (C)相合估计 (D)有偏估计 17．设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值（x 1,x 2, …，
x n ）落入W 的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为__________。

(A) 0.1 (B) 0.15 (C) 0.2 (D) 0.25
18.在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用
（A ）t 检验法 （B ）u 检验法 （C ）F 检验法 （D ）2
χ检验法 19.在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有 （A ）样本值与样本容量 （B ）显著性水平α （C ）检验统计量 （D ）A,B,C 同时成立
20.对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在显著水平0.05下接受
00:H μμ=，那么在显著水平0.01下，下列结论中正确的是
（A ）必须接受0H （B ）可能接受，也可能拒绝0H （C ）必拒绝0H （D ）不接受，也不拒绝0H
21.设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个简单样本，则2()E X 的矩估计是
（A ）2
21
11()1n i i S X X n ==--∑（B ）2
221
1()n i i S X X n ==-∑
（C ）221S X + （D ）2
22S X +
22.总体X ～2(,)N μσ，2σ已知，n ≥ 时，才能使总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间长不大于L
（A ）152σ/2L （B ）15.36642σ/2L （C ）162σ/2L （D ）16 23.设12,,,n X X X ⋅⋅⋅为总体X 的一个随机样本，2(),()E X D X μσ==，
1
2
211
()n i i i C X X θ-+==-∑为 2σ的无偏估计，C ＝
（A ）1/n （B ）1/1n - （C ） 1/2(1)n - （D ） 1/2n - 24.设总体X 服从正态分布()212,,,,,n N X X X μσ是来自X 的样本，则2σ的最
大似然估计为
（A ）()211n i i X X n =-∑ （B ）()2111n i i X X n =--∑ （C ）2
1
1n i i X n =∑ （D ）2X
25.设X ～(1,)p β 12,,,,,n X X X ⋅⋅⋅是来自X 的样本，那么下列选项中不正确的是
(A)当n 充分大时，近似有X ～(1),p p N p n -⎛⎫
⎪⎝⎭
(B){}(1),k k
n k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅
(C ）{}(1),k k n k n k P X C p p n
-==-0,1,2,,k n =⋅⋅⋅
(D ）{}(1),1k k
n k i n
P X k C p p i n -==-≤≤ 26.若X ～()t n 那么2χ～
(A ）(1,)F n (B ）(,1)F n (C ）2
()n χ (D ）()t n
27.设n X X X ,,21为来自正态总体),(2σμN 简单随机样本，X 是样本均值，记
2121
)(11X X n S n i i --=∑=，2122)(1X X n S n i i -=∑=，21
2
3)(11μ--=∑=n i i X n S ， 224
1
1()n
i i S X n μ==-∑，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是
(A) 1/1--=
n S X t μ (B) 1
/2--=
n S X t μ (C) n
S X t /3μ-=
(D)
n
S X t /4μ-=
28.设X 1,X 2,…X n ，X n+1, …,X n+m 是来自正态总体2(0,)N σ的容量为n+m 的样本，则
统计量212
1n
i i n m i i n m V n =+=+X =X ∑∑服从的分布是
(A) (,)F m n (B) (1,1)F n m -- (C) (,)F n m (D)
(1,1)F m n --
29．设 ()2~,X N μσ，其中μ已知,2σ未知,1234,,,X X X X 为其样本， 下列各项不是统计量的是＿＿＿＿
(Ａ)4
1
14i i X X ==∑ (Ｂ)142X X μ+-
(Ｃ)4
2
211
()i i K X X σ==-∑ (Ｄ)4
2
1
1()3i i S X X ==-∑
30. 设 ()2~,N ξμσ，其中μ已知，2σ未知，123,,X X X 为其样本， 下列各项
不是
统计量的是（ ）
(A)2221232
1()X X X σ
++ (Ｂ)13X μ+
(Ｃ)123max(,,)X X X (D)123
1()3
X X X ++
三、计算题
1.已知某随机变量X 服从参数为λ的指数分布，设n X X X ,,,21 是子样观察值，求λ的极大似然估计和矩估计。

（10分）
2.某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1 已知原来直径服从)06.0,(N μ，求：该天生产的滚珠直径的置信区间。

给定（05.0=α，645.105.0=Z ，96.1025.0=Z ）（8分）
3.某包装机包装物品重量服从正态分布)4,(2μN 。

现在随机抽取16个包装袋，算得平均包装袋重为900=x ，样本均方差为22=S ，试检查今天包装机所包物品
重量的方差是否有变化？（05.0=α）（488.2715262.6)15(2
025
.02975.0==）（，χχ）（8分）
4.设某随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧+=0)1()(λλx x f 其他1
0<<x 求λ的极大似然估
计。

（6分）
5.某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为04.02=σ，从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，试对05.0=α求出滚珠的平均直径的区间估计。

（8分）
)96.1,645
.1(025.005.0==Z Z
6.某种动物的体重服从正态分布)9,(μN ，今抽取9个动物考察，测得平均体重为3.51公斤，问：能否认为该动物的体重平均值为52公斤。

（05.0=α）（8分）（96.1645
.1025.005.0==Z Z ）
7.设总体X 的密度函数为：⎩
⎨⎧+=0)1()(a
x a x f 其他10<<x ， 设n X X ,,1 是
X 的样本，求a 的矩估计量和极大似然估计。

（10分） 8.某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12个子样
算得2.0=S ，求σ的置信区间（1.0=α，68.19)11(2
2
=αχ，57.4)11(22
1=-αχ）
（8分）
9．某大学从来自A ，B 两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高（单
位：cm ）后算得x ＝175.9，y ＝172.0；1.9s 3.11s 222
1==，。

假设两市新生
身高分别服从正态分布X-N(μ1，σ2)，Y-N （μ2，σ2）其中σ2未知。

试求μ1－μ2的置信度为0.95的置信区间。

（t 0.025(9)=2.2622,t 0.025(11)=2.2010） 10．（10分）某出租车公司欲了解：从金沙车站到火车北站乘租车的时间。

随机地抽查了9辆出租车，记录其从金沙车站到火车北站的时间，算得20x =（分
钟），无偏方差的标准差3s =。

若假设此样本来自正态总体2(,)N μσ，其中
2
,μσ均未知，试求σ的置信水平为0.95的置信下限。

11．（10分）设总体服从正态分布
2
(,)N μσ，且μ与2σ都未知，设1,,n X X 为
来自总体的一个样本，其观测值为1,,n x x ，设11n i i X X n ==∑，2
2
1
1()n n i i S X X n ==-∑。

求μ和σ的极大似然估计量。

12．（8分）掷一骰子120次，得到数据如下表
若我们使用χ检验，则x 取哪些整数值时，此骰子是均匀的的假设在显著性水平0.05α=下被接受？
13.（14分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从
2
~(,)X N μσ正态分布， 规定每袋标准重量为1μ=kg,方差22
0.02σ≤。

某天开工后，为检验其机器工作
是否正常，从装好的食盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单位：kg ）为：0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数
据为：均值为0.998x =，无偏标准差为0.032s =，
2
1
()
0.008192
n
i
i x x =-=∑。

问(1)在显著性水平0.05α=下，这天生产的食盐的平均净重是否和规定的标准有显著差异？
(2) 在显著性水平0.05α=下，这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准？
(3)你觉得该天包装机工作是否正常？ 14．（8分）设总体X 有概率分布
现在观察到一个容量为3的样本,11x =,22x =,31x =。

求θ的极大似然估计值? 15．（12分）对某种产品进行一项腐蚀加工试验，得到腐蚀时间X （秒）和 腐蚀深度Y （毫米）的数据见下表：
X 5 5 10 20 30 40 50 60 65 90 120 Y 4 6 8 13 16 17 19 25 25 29 46
假设Y 与X 之间符合一元线回归模型01Y X ββε=++
（1）试建立线性回归方程。

（2）在显著性水平0.01α=下，检验01:0H β=
16. (7分）设有三台机器制造同一种产品，今比较三台机器生产能力，记录其五天的日产量
17.（10分）设总体X 在),0(θ)0(>θ上服从均匀分布，n X X ,,1 为其一个
样本，设}
,,max{1)(n n X X X =
(1))(n X 的概率密度函数()n p x (2)求()[]n E X
18.（7分）机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从2
~(,)X N μσ正态分布，规定每袋标准重量为1μ=kg,方差22
0.02σ≤。

某天开工后，为检验其机器工作是否
正常，从装好的食盐中随机抽取抽取9袋，测得净重（单位：kg ）为：0.994,1.014,1.02,0.95,1.03,0.968,0.976,1.048,0.982算得上述样本相关数据为：均值为0.998x =，无偏标准差为0.032s =，在显著性水平0.05α=下，这天生产的食盐的净重的方差是否符合规定的标准？
19.（10分）设总体X 服从正态分布
2
(,)N μσ，1,,n X X 是来自该总体的一个
样本，记1
1(11)
k
k i i X X k n k ==≤≤-∑，求统计量1k k X X +-的分布。

20．某大学从来自A ，B 两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高
（单位：cm ）后算得x ＝175.9，y ＝172.0；1.9s 3.11s 222
1==，。

假设两市新生
身高分别服从正态分布X-N(μ1，σ2)，Y-N （μ2，σ2）其中σ2未知。

试求μ1－μ2的置信度为0.95的置信区间。

（t 0.025(9)=2.2622,t 0.025(11)=2.2010）
<概率论>试题参考答案
一、填空题
1． （1） C B A （2） C B A C B A C B A
（3） B A C A C B 或 C B A C B A C B A C B A
2． 0.7， 3．3/7 ， 4．4/7! = 1/1260 ， 5．0.75， 6． 1/5， 7．1=a ，=b 1/2， 8．0.2， 9．2/3， 10．4/5， 11．5/7， 12．F(b,c)-F(a,c)， 13．F (a,b)， 14．1/2， 15．1.16， 16．7.4， 17．1/2， 18．46， 19．85 20．2
2
(,
),(0,1),(,
),(0,1)N N N N n
n
σσμμ； 21．22μσ+， 22，
1/8 ， 23．X =7，S 2
=2 ， 24．2N ,n σμ⎛⎫
⎪⎝
⎭，
二、选择题
1．A 2．D 3．B 4．D 5．D 6．C 7．B 8．B 9．C 10 ．C 11．C 12．A 13．C 14．C 1 5．B 16．B 17．C 18．B 19．A 20 ．C
21．C 22．B 23．A 24．B 25．C 三、解答题 1. 8/15 ；
2. （1）1/15， （2）1/210， （3）2/21;
3. （1） 0.28, （2）0.83, （3） 0.72;
4. 0.92;
5. 取出产品是B 厂生产的可能性大。

6. m/(m+k);
7.（1）
1
{}(3/13)(10/13)k P X K -== （2
8. （1）A ＝1/2 ， （2）11(1)2e -- ， （3）1,02
()11,0
2
x
x e x F x e x ⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩
9. 1/32/3
330()161()(),()36
6f x x x a b b a π
ππ-⎧
⎪
=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥
-⎣⎦⎩其他
， 10. 4≥n
11. 提示：99.0}{01.0}{≥<≤≥h x P h x P 或，利用后式求得31.184=h （查表
(2.33)0.9901φ=） 12. ○1A=1/2，B=1
π
； ○2 1/2； ○3 f (x)=1/[π(1+x 2)] 13.
14. （1）2
1
,,2
2
A B C π==
=
；（2） 2226
(,)(4)(9)
f x y x y π=
++；（3） 独
立 ；
15. (1) 12; (2) (1-e -3)(1-e -8)
16. （1）24A =
（2）4322432
34000
3812(/2)010(,)3861014301111
x y y y x x y x y x F x y y y y x y x x x x y x y <<⎧
⎪-+-≤<≤<⎪⎪
=++≥≤<⎨⎪-≤<≤⎪
≥≥⎪⎩
或 17. （1）212(1),01()0,x x x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩其他 ； 212(1),01
()0,y y y y f y ⎧-≤≤=⎨⎩其他
（2）不独立
j P
i
P
1/8
18. 22,0,01
()0,
Y X y
y x x f y x x ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其他 ；
2
2(1)
,1,01
(1)
()0,X Y x y x y y f x y -⎧≤<<<⎪-=⎨⎪⎩其他
19. 12
24(),()7
49
E X D X =
=
20. 丙组 21. 10分25秒 22. 平均需赛6场
23. 2(1)(1)
(),()212
k n k n E X D X +-== ; 24. k = 2, E(XY)=1/4, D(XY)=7/144 25. 0.9475 26. 0.9842 27. 537 28. (1)t n - 29. 16
30. 提示：利用条件概率可证得。

31. 提示：参数为2的指数函数的密度函数为
220
()00x
e x
f x x -⎧>=⎨
≤⎩ ，
利用21x
Y e
-=-的反函数⎪⎩
⎪⎨⎧--=0)
1ln(2
1y x 即可证得。

<数理统计>试题参考答案
一、填空题
1．)1,0(N ， 2．∑=n i i X n 1
1=1.71， 3．121-∑=n
i i x n ， 4．0.5， 5．)ˆ()ˆ(β<θ
D D
6．2 ， 7．n 2σ， 8．(n-1)s 2
或∑=n 1i 2i )x -(x ， 9．0.15 ， 10．⎭⎬⎫⎩
⎨⎧>2u |u |σ，
其中n x u =
11．
2
1X u α
-±,
385； 12．
X t =
13． 222123X X X μ++-， (1)2X μ+ ； 14．
1(,,)n F x x 为1()n
i i F x =∏，
15．
2
11
1
,(),6,{}
max n n
i
i
n i i n
i i X X
X X X ≤≤==--∑∑
； 16．
2
11
X u α
-±，
17．
(,)F m n ， 18．(4.808，5.196)， 19．n 2σ， 20．(n-1)s 2或∑=n 1
i 2i )x -(x ， 21．
T =
， 22．F ，2
1
2
1
(1)()(1)()m
i i n
i i n X X F m Y Y ==--=--∑∑ ， 23
．
__
22
2211
22100222()()(1),(1)(1)n n i i i i n x x x x t n n n αααχχσσ==-⎧⎫⎧⎫--⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪≥->-⋃<-⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎭
⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭
∑∑， 24．2
,1X S n p p X
∧
∧==- ， 25．12max{,,,}n X X X θ=⋅⋅⋅ ，
26．[4.412,5.588]， 27．2 ， 28．1/8 ， 29．X =7，
S 2
=2， 30．2N ,n σμ⎛⎫
⎪⎝
⎭ 二、选择题
1．D 2．B 3．B 4．D 5．D 6．C 7．D 8．A 9．D 10．C 11．A 12．B 13．D 14．D 15．C 16．D 17．B 18．B 19．D 20．A
21．D 22．B 23．C 24．A 25．B 26．A 27．B 28．C 29．C 30．A 三、计算题 1．（10分）
解：设n X X X ,,,21 是子样观察值 极大似然估计： ∑⋅===-=-∏n
i i
i
x n
n
i x e
e
L 1
1)(λ
λλλλ
∑=-⋅=n
i i n n x l n L l 1
)(λλλ
0)(1
=-=∂∂∑=n
i i n x n L l λλλ x
1=
λ 矩估计：
λ
=
⋅λ⋅=⎰+∞
λ-1)(0
dx e x X E x 样本的一阶原点矩为：∑==n
i i X n X 1
1
所以有：X
X X EX 1ˆ1=λ
⇒=λ⇒= 2．（8分）
解：这是方差已知，均值的区间估计，所以有： 置信区间为：],[2
2αασ+σ-
Z n X Z n X 由题得：95.14)1.152.158.149.141.156.14(6
1
=+++++=X
696
.105
.0025.0===αn Z
代入即得：]96.16
06
.095.14,96.1606.095.14[⨯-⨯-
所以为：]146.15,754.14[ 3．（8分） 解：统计量为：
)1(~)1(22
2
--n X S n σ
0H ：22024==σσ，1H ：2
02σσ≠
16=n ，22=S ，224=σ代入统计量得
875.116
2
15=⨯ 262.6)15(875.12
975.0=<χ
所以0H 不成立，即其方差有变化。

4．（6分）
解：极大似然估计：
λλ
λλλ)()1()1(),,(1
1
1∏∏==+=+=n
i i n
n
i i n X X X X L ；
∏=++=n
i i X n L 1
ln )1ln(ln λλ
0ln 1ln 1
=++=∑=n
i i X n
d L d λλ 得 ∑∑==+-=n
i i
n
i i
X
X n 1
1
ln ln ˆλ
5．（8分）
解： 这是方差已知均值的区间估计，所以区间为：
],[2
2αασ
+σ-
Z n x Z n x 由题意得：
905
.004
.015
2==α=σ=n x 代入计算可得
]96.19
2.015,96.192.015[⨯+⨯-
化间得：]131.15,869.14[ 6．（8分）
解：52:00==μμH ，01:μμ≠H
7.09
3
52
3.51-=-=
-n
x σ
μ
96.12
=αμ
96.17.0|7.0|025.0=μ<=-
所以接受0H ，即可以认为该动物的体重平均值为52。

7．（10分） 解： 矩估计为：
21
012
1)1()(21
++=
++=
+⋅=+⎰a a x a a dx x a x X E a a 样本的一阶原点矩为：∑==n
i i x n X 1
1
所以有：
X
X a X a a --=⇒=++11
2ˆ21
极大似然估计：
∏∏==⋅+=+=n
i i a n
i n
i a
n x a x a x x x f 1
1
21)1(])1[(),,,(
两边取对数：∑=++=n
i i n x a a n x x f 1
1)ln()1ln(),,(ln
两边对a 求偏导数：
=∂∂a f
ln ∑=++n
i i x a n 1
)ln(1=0 所以有：∑=--=n
i i
x n
a
1
)
ln(1ˆ
8．（8分）
解：由2
2
2
2
22
1)1(α
α
χσχ
≤-≤
-
S n 得 22
2
2
)1(α
χσS n -≥
，22
12
2
)1(α
χ
σ-
-≤
S n
所以σ的置信区间为：[)11()1(22
2αχS n -，)
11()1(2
2
12
αχ--S n ] 将12=n ，2.0=S 代入得 [15.0，31.0]
9．解：这是两正态总体均值差的区间估计问题。

由题设知，
2
-n n 1)s -(n 1)s -(n s .05.01
.9s 3.11s 172y 9.175x 6,n 5,n 2122
22
11w 222
121++=
=======α，，，， (2分)
=3.1746,
（4分）
选取t 0.025(9)=2.2622,
则21μμ－置信度为0.95的置信区间为： ⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+++++21w 212
21w
212
n 1n 12)s -n (n t y -x ,n 1n 12)s -n (n t -y -x αα (8分) ＝[-0.4484,8.2484].
(10分)
注：置信区间写为开区间者不扣分。

10． 解：由于μ未知，故采用
2
2
22
(1)~(1)
n S n χχσ
-=
-作枢轴量 （2分）
要求()1L P σσα≥=- （2分）
这等价于要求
22
()1L P σσα≥=-， 也即
2
2
2
2
(1)(1)()1L
n S n S P α
σσ--≤
=- （2分）
而
2
212
(1)(
(1))1n S P n αχα
σ--≤-=- （2分）
所以
2
212(1)(1)L
n S n α
χ
σ--=-，故
2
22
1(1)(1)L
n S n ασχ--=- （1分） 故σ的置信水平为1α-
的置信下限为
L σ=
由于这里9n =，0.05α=，2
0.95(8)15.507χ=
所以由样本算得ˆ 2.155L σ
= （1分） 即σ的置信水平为0.95的置信下限为2.155。

11． 解：写出似然函数
2
2
1
2
2
2
()()2
222(,)(2)n
i i i n x x n
i L e
μμσσμσπσ=----
-=∑== （4分）
取对数
2
2
2
2
2
1
1ln (,)ln(2)()
2n
n
i
i L x μσπσμσ==--
-∑ （2分）
求偏导数，得似然方程
2
21231ln 1()0ln 1()0n i i n
i i L x L n x μμσμσ
σσ==∂⎧=-=⎪∂⎪
⎨∂⎪=-+-=⎪∂⎩∑∑ （3分）
解似然方程得：ˆX μ=
，ˆσ= （1分）
12．解：设第i 点出现的概率为i p ，1,
,6i =
101266:H p p p ==
==，
1126:,,,H p p p 中至少有一个不等于1
6 (1分)
采用统计量 2
2
1()r
i i i i n np np χ=-=∑
(1分) 在本题中，6r =，0.05α=，20.95
(5)11.07χ
= (1分)
所以拒绝域为2
{11.107}W χ=≥ (1分) 算实际的2χ值，由于1
612020i np =⨯=，所以
22222
6
2
1()(20)4(2020)(20)(20)2010i i i i n np x x x np χ=--+-+--===
∑ (1分)
所以由题意得2
(20)011.107
10x -≤<时被原假设被接受
即9.4630.54x <<，故x 取[10,30]之间的整数时， (2分) 此骰子是均匀的的假设在显著性水平0.05α=下被接受。

(1分)
13
. 解：“这几天包装是否正常”，即需要对这天包装的每袋食盐净重的期望与方差分别作假设检验
(1)（检验均值，总共6分）0:1H μ=，1:1H μ≠ 选统计量，并确定其分布
~(1)X t t n =
-
确定否定域
2
1{||}{|| 2.306}
W t t t α-=≥=≥
统计量的观测值为0.1875x t =
=
因为
2
1||0.1875 2.306t t α
-=<=，所以接受0:1H μ=。

(2)（检验方差，总共6分）
220:0.02H σ≤，220:0.02H σ>
选统计量
2
222
1
1
()~(1)
0.02n
i
i X
X n χχ==--∑
确定否定域
2221{(1)}{15.5}W n αχχχ-=≥-=≥ 统计量的观测值为22
2
22
1180.032()20.480.020.02n i i x x χ=⨯=-==∑
因为22120.4815.5(1)n αχχ-=>=-，所以拒绝22
0:0.02H σ≤
(3)（2分）结论：综合(1)与(2)可以认为，该天包装机工作是不正常的。

14．解：此时的似然函数为
123123()(1,2,1)(1)(2)(1)L P X X X P X P X P X θ======== （2分）
即 225
()2(1)2(1)L θθθθθθθ=⨯-⨯=- （2分）
ln ()ln 25ln ln(1)L θθθ=++- （1分）
ln ()51
1d L d θθ
θθ=-
- （1分） 令 ln ()0d L d θθ= （1分）
得θ的极大似然估计值
5
ˆ6θ=
.（1分）
15．解：(1)解：根据公式可得
01ˆˆ
Y X ββ=+
其中 011ˆˆˆXY XX l l
Y X βββ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ （2分）
2
2
2
22
11111()()n n n
n
XX
i
i i
i i i i i l X nX X X X X n =====-=-=-∑∑∑∑ （1分）
111111()()()()
n
n
n
n
n
XY
i i i i i i i i i i i i i l X Y nXY X X Y Y X Y X Y n ======-=--=-∑∑∑∑∑（1分）
用上述公式求得0
1ˆ 4.375ˆ0.323ββ⎧=⎪⎨
=⎪⎩ （2分）
即得线性回方程为ˆ 4.3750.323Y
X =+ (2)11
2
1()1464.531
T i i S y y ==-=∑，
11
21
ˆ()1418.8744R i i S y
y ==-=∑
45.6565E T R S S S =-= （1分）
检验假设0111:0,:0H H ββ=≠ （1分）
0H 的检验统计量为1(1,2)
/(2)
R
E S
F F n S n α-=
-- （1分）
H 的临界值
10.01(1,2)(1,9)10.6
F n F α--==（1分）
由前面的计算可知
1279.67910.6(1,2)
/(2)R
E S
F F n S n α-=
=>=--（1分）。