含有三角模糊数的模糊线性规划问题的求解方法
三角模糊数的犹豫模糊多属性决策方法
摘要：犹豫模糊数是一种常用的模糊数，它将模糊数中模糊的程度量化为悔恨度，并且可以描述决策者的不确定性和矛盾情况。
本文介绍了三角模糊数的定义和特性，并详细阐述了三角模糊数在多属性决策中的应用。
同时，本文还探讨了犹豫模糊数在多属性决策中的应用，并介绍了基于犹豫模糊数的决策方法。
最后，本文还对该方法的优点与不足进行了分析与总结。
关键词：三角模糊数；犹豫模糊数；多属性决策；决策方法一、绪论多属性决策是一种涉及到多个因素的决策方法，既要关注每一个因素的权重，也要注意它们之间的联系和影响。
在实际应用中，很多决策问题都是模糊不确定的，因此需要用到模糊数进行描述。
犹豫模糊数是一种常用的模糊数，它不仅考虑了每个因素的模糊程度，还量化了决策者的犹豫程度，能够更贴近实际应用中的情况。
本文将介绍三角模糊数的定义与特性，以及犹豫模糊数在多属性决策中的应用和决策方法。
二、三角模糊数的定义与特性三角模糊数是一种常用的模糊数，它是指在[,]上所有值等可能的模糊数，记为(,,)。
三角模糊数可以用于表示模糊化的决策信息，其中̃，̃和̃表示决策信息的下限、中心值和上限。
三角模糊数通过组合下限、中心值和上限来描述决策者对一个变量的模糊程度。
三角模糊数的特性有以下几个方面：( 1)非负性：三角模糊数的下限、中心值和上限都应该是非负数，即̃,,̃≥0。
( 2)归一性：三角模糊数的下限、中心值和上限之和应该等于1，即̃++=1。
( 3)具有对称性：对于任意的三角模糊数(,,)，其对称三角模糊数为(,,)。
三角模糊数的定义与特性为犹豫模糊数的研究提供了基础，犹豫模糊数可以视为是三角模糊数的扩展。
接下来将介绍犹豫模糊数在多属性决策中的应用。
三、犹豫模糊数在多属性决策中的应用犹豫模糊数是一种将模糊程度和犹豫程度两者结合起来的模糊数。
它可以用于描述决策者的不确定性和矛盾情况，更贴近实际应用中的情况。
在多属性决策中，犹豫模糊数可以用于对决策变量进行建模，例如对于风险评估问题，可以使用犹豫模糊数对不同方案的风险程度进行度量。
对方案有偏好的三角模糊数型多属性决策方法
ｔｅ ｓ ｂｉ ｅ ｂｅｔ ｅｌ ｅｒ ｒｇａ ｍ ｎ ｏ ｅ， ｎ ａｃｌｔ ｅｇｔ ｅｔ ｆ ｔ ｂ ｔ ｙｕｉｇｔｅＬｎ ｈ ｎｅｔ ｌ ｈｓｏｊ ｉ ｎａ ｏｒｍ ｉｇｍ ｄｌ ａｄｃｌ ａ ｓ ｉ ｃｏ ｏ ｔ ｕｅ ｂ ｓ ｉ— ａ ｓ ｃｖ ｉ ｐ ｕ ｅ ｗ ｈ ｖ ｒ ａｒ ｉ ｓ ｎ ｈ
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Ｏ 引言
三角模糊数型模糊多属性群决策方法
三角模糊数型模糊多属性群决策方法顾翠伶;梁艳艳;张茜【摘要】针对决策属性值为三角模糊数的模糊多属性群决策问题,给出一种新的解决方案.将专家群体的语言值模糊权重信息转化为三角模糊数形式,利用三角模糊数的模,求出决策群体中专家的权重.综合考虑方案的熵与散度面积,融合方案与正、负理想解的贴近度,构造一种新的综合评价指标,进而对方案进行排序择优.数值例子验证该方法的可行性与有效性.【期刊名称】《周口师范学院学报》【年(卷),期】2015(032)005【总页数】6页(P36-41)【关键词】三角模糊数;散度;贴近度;模糊熵;模糊多属性决策【作者】顾翠伶;梁艳艳;张茜【作者单位】周口师范学院数学与统计学院,河南周口466001;周口师范学院数学与统计学院,河南周口466001;周口师范学院数学与统计学院,河南周口466001【正文语种】中文【中图分类】C934多属性决策问题的实质是利用已有的决策信息通过一定的方式对一组有限个备选方案进行排序并择优.多属性决策是现代决策科学的核心内容之一，它广泛应用于社会、经济、管理等多个领域中.群决策可以弥补单个决策者知识结构和经验水平的局限性，在管理决策中能更好地处理决策问题，提升决策质量，近年来，已有大量关于模糊多属性（群）决策分析方法的研究［1－9］.其中文献［1］针对只有部分属性权重信息且属性值以区间数形式给出的不确定多属性决策问题，提出一种逼近理想关联度的决策分析方法.文献［3］针对方案的属性评估信息和属性权重是模糊语言形式的多属性群决策问题，将语言信息转化为三角模糊数，利用三角模糊数的性质，构造集结决策者权威性和意见一致性的组合一致性指标，并给出一种模糊多属性群决策算法.曾三云［6］针对属性值为模糊变量，属性权重完全未知但已知方案优先序的模糊多属性决策问题给出新的决策方法.该方法通过建立一个线性目标规划模型来确定属性的权重，再基于简单加权平均法则来计算各方案的模糊综合属性值，然后根据比较模糊变量大小的期望值方法对方案进行排序.胡丽芳［9］对模糊群体多属性决策问题，依据一般的灰色关联分析方法的基本思路，将灰色关联度和欧氏距离结合，构造平均相似度对方案进行评价，提出一种新的灰色多属性决策方法.在决策过程中，由于决策时间、专家知识结构等的限制，决策专家对于方案或者属性的认识的不深刻等，这样就要求给决策专家一个权重以区别专家的重要性.笔者给出一种确定专家权重的方法，将语言值模糊信息化为三角模糊数形式，利用三角模糊数的模，将决策群体中每个专家的权重精确化.熵度量方案的模糊性，方案的熵越大，模糊性越强，方案就越劣.方案的散度面积越大，可行域也越大，方案越优.贴近度度量两个模糊数之间的贴近程度，贴近度越大，说明两个模糊数越接近.决策方案与正理想方案的贴近度越大，与负理想方案的贴近度越小，方案越优.本文融合模糊熵、散度面积以及方案与正、负理想方案之间的海明贴近度，给出排序方案的综合指标值，该综合指标值越大，方案越优.最后给出一个具体的算例分析，验证该方法的合理性和有效性.1 预备知识定义1［10］一个模糊数A定义为fA：R→I＝［0，ω］的模糊集，满足（1）fA是上半连续的；（2）存在一个区间［a，d］，当x∉［a，d］时，有fA（x）＝0；（3）存在实数b，c满足a≤b≤c≤d ，fA（x）在［a，b］单调递增；fA（x）在［c，d］上单调递减；fA（x）＝1在［b，c］上.即隶属函数可以表示为：其中ω为实数，且是模糊数A 的左右隶属函数.定义2［11］一个模糊数A的参数形式为分别为的反函数（0≤r≤1）.且（r）与（r）满足下列要求：（1）（r）有界单调递增的右连续函数；（2）（r）有界单调递减的左连续函数；（3）（r）≤0≤r≤1.定义3 称为模糊数A的权重面积，且有S（A）越大越好.这里将此权重面积作为模糊数散度的一个衡量指标.可见模糊数的权重面积越大，散度越大，可行域也就越大.对一组模糊数｛A1，A2，…，An｝，定义则s（Ai）越大，模糊数越优.定义4［12］假设A为连续模糊变量，则其熵定义为模糊变量的熵值越大，模糊性就越强，模糊变量就越劣.对于一组模糊变量｛A1，A2，…，An｝，定义e（Ai）越大，模糊变量越劣.定义5［13］令A、B和C为论域X 中的模糊集合，若映射σ：F（X）×F（X）→ ［0，1］具有性质：（1）σ（1，1）＝1；（2）σ（A，B）＝σ（B，A）；（3）由A⊇B⊇C或A ⊆B⊆C可得σ（A，B）≥σ（A，C），则称σ（A，B）为A与B的贴近度.贴近度的性质（1）说明两个相同的模糊集合的贴近度最大，性质（2）要求贴近度具有对称性，而性质（3）描述了两个接近的模糊集合的贴近度也较大.定义6［13］海明贴近度：2 模糊多属性决策方法与经典多属性决策相类似，模糊多属性决策基本模型可以描述为：给定一个方案集A＝｛A1，A2，…，Am｝，和相应于每个方案的属性集C＝｛C1，C2，…，Cn｝，以及说明每种属性相对重要程度的权集ω＝｛ω1，ω2，…，ωn｝，决策专家群体为Z＝｛Z1，Z2，…，Zl｝.其中，关于属性指标和权值大小的表示方式可以是数字的，也可以是语言的；涉及的数据结构可以是精确的，也可以是语言的；涉及的数据结构可以是精确的，也可以是不精确的.而所有语言的或不精确的属性指标，权值大小和数据结构等都被相应地表示成决策空间中的模糊子集或模糊数. Step1 决策矩阵标准化假设每个专家Zk对方案的评价矩阵由于不同的评价属性通常具有不同的物理量纲和量纲单位，且不同的量纲和量纲单位会带来不可公度性，因此在决策之前应将属性进行无量纲和规范化处理［9］.设S＋为效益型指标，S－为成本型指标，可以按照下列公式将属性决策矩阵Qk转化为规范化矩阵Rk所以有Step2 求群体决策矩阵在专家组成的团队里，有些专家的意见很重要，而另外一些专家的意见相对来说不是那么重要，这样就要求给各专家一个权重.每个专家的意见我们以语言形式给出，将语言形式转化为三角模糊数，对应表如下：表1 语言评估标度与三角模糊数语言值三角模糊数形式特别重要（0.8，0.9，1）很重要（0.6，0.7，0.8）一般重要（0.4，0.5，0.6）不太重要（0.2，0.3，0.4）不重要（0，0.1，0.2）若有l个专家，每个专家的权重以模糊语言值的形式给出，根据模糊语言值与模糊数的对应表（表1），则专家模糊权重信息值.将模糊权重去模糊化，得到专家的精确权重.定义第k个专家对应的精确权重为其中为三角模糊数的模.越大，说明第k个专家做决策时其意见也就越重要.求出每个专家的权重，根据各个专家对不同方案关于属性值的决策矩阵，得到群体决策矩阵其中Step3 确定正理想方案和负理想方案求专家群体决策矩阵的正、负理想方案.正理想方案：其中负理想方案：其中Step 4 求方案与正、负理想方案间的贴近度根据公式（5）可以求得各个方案属性值与正、负理想方案属性值之间的海明贴近度与从而第i个方案与正理想方案的贴近度为αj为第j个属性的权重值，并且第i个方案与负正理想方案的贴近度.因为方案与正理想方案的贴近度越大，同时方案与负理想方案的贴近度越小，方案越优.所以综合方案与正、负理想方案之间的贴近度信息，给出如下的指标：其中ρ为决策者群体偏好，代表决策专家对正负理想方案的偏好程度.φi越大，方案越优.Step5 计算各个方案的模糊熵与散度指标根据属性权重信息及专家群体决策矩阵可以得到每个方案的综合评价值：其中根据公式（1）、（3）得第i个方案的散度值S（gi）、熵值E（gi），根据公式（2）、（4）求得各个s（gi）与e（gi）.Step6 求各个方案的综合排序指标值结合方案的熵信息、散度指标以及各方案与正、负理想方案之间的贴近度，得到每个方案的综合排序指标φi越大，方案越优.3 实例分析某生产公司进行新厂址选址，有四种可供选择的方案X1，X2，X3，X4，属性指标值有三个ζ1，ζ2，ζ3，假设三个指标均为效益型指标.专家群组为Z1，Z2，Z3，每个专家关于决策方案的属性评价值由三角模糊数给出.确定模糊决策矩阵：将模糊决策矩阵标准化：三位专家Z1，Z2，Z3分别为特别重要，很重要，一般重要，根据表1，三位决策专家的模糊权重用三角模糊数表示为：由公式（6）则三位专家的权重为：结合专家的权重，求出群体决策矩阵：求正负理想方案：确定各个方案与正负理想方案的贴近度，假设这里三个属性指标的权重分别为0.43，0.36，0.21.根据公式（7）可以求得根据三个属性的权重值与专家群体决策矩阵可以得到每个方案的评价值：G ＝［g1，g2，g3，g4］T ＝［（0.14，0.29，0.63）（0.16，0.30，0.69）（0.15，0.31，0.67）（0.13，0.31，0.72）］T.根据公式（1）、（2）、（3）、（4）计算得到利用公式（8）得到每个方案的综合评价值φ1 ＝0.780 2，φ2 ＝0.778 0，φ3 ＝0.769 3，φ4 ＝0.759 2，因而最优的方案为X1.4 总结笔者针对决策信息、属性权重为三角模糊数的模糊多属性群决策问题，利用方案与正、负理想方案之间的贴近度，融合方案的熵值信息、散度信息，提出一种新的排序方案的综合指标；同时，依据语言评价信息，将专家的语言权重信息转化为三角模糊数形式.给出一种新的解决模糊多属性群决策问题的方法.实例分析，验证了所述方法的合理与有效性，但是对于模糊多属性决策问题仍存在需要深入研究的问题，比如各种求解模糊多属性决策方法的比较等问题.参考文献：［1］冯向前，魏翠萍，李宗植.基于理想关联度的不确定多属性决策方法［J］.运筹与管理，2007，16（2）：24－29.［2］周晓光，张强.基于 Vague集的群决策方法研究［J］.数学的实践与认识，2007，37（19）：12－18.［3］陈晓红，阳曦.一种基于三角模糊数的多属性群决策方法［J］.系统工程与电子技术，2008，30（2）：278－288.［4］戴厚平.基于模糊数直觉模糊集的多属性决策方法［J］.模糊系统与数学，2013，27（2）：149－154.［5］郭欣.基于改进的信息熵为权重的模糊多属性决策［J］.中国科教创新导刊，2013，26：22－24.［6］曾三云.带有方案优先序的模糊多属性决策方法［J］.模糊系统与数学，2013，27（1）：132－136.［7］何霞，刘卫锋.一种有方案偏好的直觉模糊多属性决策方法［J］.运筹与管理，2013，22（1）：36－40.［8］彭展声，农秀丽.模糊多属性决策的最小偏差法［J］.统计与决策，2009，6：156－157.［9］胡丽芳，关欣，何友.一种新的灰色多属性决策方法［J］.控制与决策，2012，27（6）：895－898.［10］Abbasbandy S，Asady B.Ranking of fuzzy numbers by sign distance ［J］.Information Sciences，2006，16：2045－2416.［11］Ma M，Friedman M，AKandel.A new fuzzy arithmetic［J］.Fuzzy Set and Systems，1999，108：83－90.［12］Liu B D.Uncertainty theory：an introduction to its axiomatic foundations［M］.Berlin：Springer，2004.［13］蒋泽军.模糊数学教程［M］.北京：国防工业出版社，2010.。
三角模糊数的计算规则
三角模糊数的计算规则摘要：I.三角模糊数的概念- 模糊数的定义- 三角模糊数的隶属函数II.三角模糊数的计算规则- 三角模糊数的加法- 三角模糊数的减法- 三角模糊数的乘法- 三角模糊数的除法III.三角模糊数的应用- 质量管理- 风险管理正文：I.三角模糊数的概念模糊数是一种用来表示不确定性的数学概念，它用来处理那些不能用传统数学方法处理的问题。
在模糊数中，一个数可以被赋予多个值，这些值用隶属度来表示。
模糊数分为很多种，其中一种就是三角模糊数。
三角模糊数是指隶属度函数呈三角形分布的模糊数。
它的取值范围在0到1之间，0表示某个数值完全不隶属于该模糊数，1表示该数值完全隶属于该模糊数。
三角模糊数的隶属函数呈三角形分布，因此而得名。
II.三角模糊数的计算规则三角模糊数的计算规则包括加法、减法、乘法和除法。
1.三角模糊数的加法两个三角模糊数的加法可以通过将它们的隶属度函数相加以得到新的隶属度函数。
具体来说，如果模糊数A的隶属度函数为A(x)，模糊数B的隶属度函数为B(x)，则它们的和模糊数C的隶属度函数为C(x) = A(x) + B(x)。
2.三角模糊数的减法两个三角模糊数的减法可以通过将减数B的隶属度函数取相反数后与被减数A的隶属度函数相加以得到新的隶属度函数。
具体来说，如果模糊数A的隶属度函数为A(x)，模糊数B的隶属度函数为B(x)，则它们的差模糊数C的隶属度函数为C(x) = A(x) - B(x)。
3.三角模糊数的乘法两个三角模糊数的乘法可以通过将它们的隶属度函数相乘以得到新的隶属度函数。
具体来说，如果模糊数A的隶属度函数为A(x)，模糊数B的隶属度函数为B(x)，则它们的积模糊数C的隶属度函数为C(x) = A(x) * B(x)。
4.三角模糊数的除法两个三角模糊数的除法可以通过将除数的隶属度函数取倒数后与被除数的隶属度函数相乘以得到新的隶属度函数。
具体来说，如果模糊数A的隶属度函数为A(x)，模糊数B的隶属度函数为B(x)，则它们的商模糊数C的隶属度函数为C(x) = A(x) * B(x)。
模糊数学5-模糊线性规划
具体形式
例1. 解模糊线性规划
m a x s x1 4 x 2 6 x 3 x1 x 2 x 3 8 ~ x1 6 x 2 x 3 6 ~ s .t . x 1 -3 x 2 -x 3 4 ~ x 1 ,x 2 , x 3 0
对应的约束条件伸 缩指标分别取 d1=2,d2=1,d3=0.5
解：首先求解普通线性规划（1）
m a x s x1 4 x 2 6 x 3 x1 x 2 x 3 8 x1 6 x 2 x 3 6 s .t . x 1 -3 x 2 -x 3 4 x ,x , x 0 1 2 3
1'
MATLAB程序如下 f1=[-1,4,-6]; A1=[1,1,1;-1,6,-1];b1=[8;-6]; Aeq1=[1,-3,-1];beq1=[-4];lb1=[0,0,0]; [x1,z1]=linprog(f1,A1,b1,Aeq1,beq1,lb1); 结果：x1=2,x2=0,x3=6, 最优值为：38
1 2 3
2 x1 2 x 2 x 3 1 2 x1 0 , x 2 0 , x 3 5
lb=[0,0,-inf];ub=[inf,inf,5];
[x,z]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
例2. 求解规划
解：转化为 min z = -2x1-3x2+5x3 s.t. x1+x2+x3=7 -2x1+5x2-x3 -10 x1,x2,x3 0
max z = 2x1+3x2-5x3
s.t. x1+x2+x3=7
2x1-5x2+x3 10
三角模糊数的计算规则
三角模糊数的计算规则三角模糊数是一种常用的模糊数学工具，它是指在一个三角形的取值域中，通过三个参数来描述一个模糊数。
这三个参数分别是左侧参数a、中心参数b和右侧参数c，它们分别代表了模糊数在左侧、中心和右侧的取值程度。
三角模糊数的计算规则包括模糊数的加法、减法、乘法和除法。
我们来看看三角模糊数的加法规则。
假设有两个三角模糊数A和B，它们的参数分别为a1、b1、c1和a2、b2、c2。
那么A和B的加法结果可以通过以下方式计算：1. 左侧参数的计算：将A和B的左侧参数相加，得到新的左侧参数a = a1 + a2；2. 中心参数的计算：将A和B的中心参数相加，得到新的中心参数b = b1 + b2；3. 右侧参数的计算：将A和B的右侧参数相加，得到新的右侧参数c = c1 + c2。
这样，我们就可以得到A和B的加法结果，即新的三角模糊数C(a, b, c)。
接下来，我们来看看三角模糊数的减法规则。
假设有两个三角模糊数A和B，它们的参数分别为a1、b1、c1和a2、b2、c2。
那么A和B的减法结果可以通过以下方式计算：1. 左侧参数的计算：将A的左侧参数减去B的右侧参数，得到新的左侧参数a = a1 - c2；2. 中心参数的计算：将A的中心参数减去B的中心参数，得到新的中心参数b = b1 - b2；3. 右侧参数的计算：将A的右侧参数减去B的左侧参数，得到新的右侧参数c = c1 - a2。
这样，我们就可以得到A和B的减法结果，即新的三角模糊数C(a, b, c)。
接下来，我们来看看三角模糊数的乘法规则。
假设有两个三角模糊数A和B，它们的参数分别为a1、b1、c1和a2、b2、c2。
那么A和B的乘法结果可以通过以下方式计算：1. 左侧参数的计算：将A的左侧参数乘以B的左侧参数，得到新的左侧参数a = a1 * a2；2. 中心参数的计算：将A的中心参数乘以B的中心参数，得到新的中心参数b = b1 * b2；3. 右侧参数的计算：将A的右侧参数乘以B的右侧参数，得到新的右侧参数c = c1 * c2。
三角模糊数的计算规则
三角模糊数的计算规则
一、定义：
三角模糊数是一种数量的概念，它受到三个变量的影响，称为“角”。
三角模糊数是指对三个角（α、β、γ）的比率<alpha:beta:gamma>，由
三角化求得的概念，其计算规则可用数学形式表达为：f(α, β, γ) = （α + β + γ）/3、三角模糊数是一种特殊的模糊数，它将三个变量（角）综合到一起，使模糊性增强，可以表达更复杂的概念。
二、计算方法：
1、理解三角模糊数的概念。
三角模糊数是根据三个角（α、β、γ）的比率<alpha:beta:gamma>来决定的，它由三角化的过程中求出的概念，
通俗地讲就是把变量α、β、γ的值放到三角形上，考虑它们之间的比例，从而求出一个抽象的模糊数。
2、计算三角模糊数的具体步骤。
首先，将变量α、β、γ的值放到
三角形上，求出三角形任意两条边的长度，即求出α、β、γ三个角的
夹角θ；其次，需要计算三角形面积S，可以利用海伦公式求出S的具体值；最后，根据三角模糊数的计算公式：f(α,β,γ)=S/3，求出具体的
三角模糊数值。
三、实例：
例题一：求α=2，β=4，γ=6的三角模糊数。
解：
根据海伦公式求出S=4.6
根据三角模糊数的计算公式：f(α,β,γ)=S/3
所以三角模糊数的值为：f(α,β,γ)=4.6/3=1.53。
目标带有模糊系数的线性规划的一种新解法
将 目标 带 有模糊 系数 的 线性规 划转 化 为 １个有 ３个 目标 的线性 规 划 问题 ， 用 多 目标 规 划 的逐 利 步 宽容 算 法 间接 地 解决这 类 问题 。通过 实例 对 算法进 行 了验证 ， 明 了此 方 法的有 效性 。 证 关 键 词 ： 数 ； 目标 线性规 划 ； 步 宽容 算 法 — 多 逐 文献 标识 码 ： Ａ 文章编 号 ：６ ４— ４ ５ ２ １ ） ８— ０ ７— ３ １７ ８ ２ （ ０ ０ ０ ０ ９ ０
线 性规 划 的一 种 解 法 。此 方 法 思 路 清 晰 ， 法 简 算
其具有较强的实用性 ， 一直是 国内外 学者研究 的
重点 。但 目前 国 内外众 多 学 者 主要 偏 重 于研 究 约
单 ， 于求解 。 易
收 稿 日期 ：００— ２—１ ２１ ０ １ 基金项 目： 陕西省教育厅专项科研基金资助项 目（ ３ｋ６ ） 西安建 筑科 技大学基础研究基金资助项 目（２ Ｒ １ ０ ｊ０ ５ ； ０Ｂ ０ ） 作 者简 介 ： 徐裕生 （９ ０ ） 男 ， １５一 ， 安徽怀远人 ， 教授 ， 主要从事最优 化理论与算法研究 。
第２ ４卷 第 ８期
Ｖｏ． ４ １２
Ｎｏ ８ ．
重 庆 理 工 大 学 学 报 （ 然科 学） 自
Ｊｕｎｌ ｆ ｈｎｑｎ ｎ ｅｓｙｏ Ｔ ｃｎｌｇ（ ａ ｒｌ ｃｅｃ ） ｏｒａ ｏ ｏ ｇｉｇＵ ｉ ｒｉ ｆ ｅｈｏｏｙ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｅ Ｃ ｖ ｔ ｕ ｎ
２１ ０ ０年ｘ Ｌ：ｃ ａ ｆ ｘ
１ 模型及相关概念和性质
目标 带有模 糊 系数 的线性 规划 ：
ｍａ Ｚ ＝ ｃ ｘ
ａ Ａ ＝ｃ ｒｎ ｉ
极小 化式 （ ） 如下 的线 性规划 问题 ： １为
具有三角模糊数的线性规划的一种方法
具有三角模糊数的线性规划的一种方法这种方法是利用了模糊数学隶属度的概念，我们选取一种计算方法，在该方法下，可以根据精度要求将计算过程细化，即可以分成多个计算区间，这个区间分的越细，我们所用来比较隶属度的样本就越多，从而可以更精确的找出隶属度最大的那个区间，那么在该区间上计算出来的结果就应该是我们想要的结果。
上面所说的隶属度是描述了我们所分区间的到的样本结果是否从属与理想结论的程度，同下面的方法中用距离来刻画是相似的。
记所用三角模糊数形式为0(,,)mpc c c c =设模糊线性规划中带有三角模糊数的目标函数有如下形式：123111()nnnpm i i i i i i f x w c x w c x w c x ====++∑∑∑上式中：w 1+2w +3w =1,0c --------消极量，m c --------可能量，p c -------乐观量，x Q ∈.设001231212(1)p m p mi i i i i i i f wc w c w c wc w c w w c =++=++--根据三角模糊数的性质可以知道001212(1)p m i i i i c wc w c w w c ≤++-- （1）由（1）可以推出 012()/()1p m m i i i i w w c c c c ≤--+ 我们作如下相应记法：102,m p m i i i i i i c c P c c P =-=-那么可以得到：21211i iP w w ≤+P （2）同样 01212(1)pm p i i i i w c w c w w c c ++--≤ （3） 由（3）可以推出2211(1)ii w P w P -≥作如下相应记法：()()22222122111122222212211112(1)(1)(1)max(,,....,)4min(1,1,...,1)5n n n n w P w P w P n P P P w P w P w Pm P P P ---==+++可以得到 1n w m ≤≤ （6）对于1w 是否存在，我们需要做一些限定，我们假定下面的条件成立，即：22222222212122221111111122(1)(1)(1),1,1...,1n n n n w P w P w P w P w P w P P P P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+++≠∅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（7） 因此若201w ≤≤，那么显然（7）是成立的。
三角模糊数优质课件ppt
可靠性与系统工程学院
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为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
三、三角模糊数运算规则
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二、三角模糊数 数学定义
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四、评价语言集及其对应的三角模糊数
TFN(fuzzy triangular numbers）
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五、Fuzzy 权数的计算方法
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1.3 三角模糊数及其应用1
小结
总之，建立的综合评价体系在指标属性为三角模糊数的情况下，不但很好地检验了 专家的偏序关系前后判断的一致性，而且最后得到了较满意的评价值的期望值，为决策 者提供了有效的决策依据。 目前存在一个关键问题，如果建立的矩阵一致性较差，无论在有效的处理方法，得 到的评判结果的准确性和可信度也是较低的。因此，再好的方法也无法弥补最初决策者 建立判断矩阵时思维的一致性偏离。基于此，在提高准确性同时为了方便决策过程，无 论方法一还是方法二，专家有必要按照下列有序传递理论进行判断矩阵的建立和修改。 根据互反判断矩阵理论，要使决策者前后判断信息满足一致性要求，在建立互反判
~
表 1-3-2 三位专家建立的三角模糊数互补判断矩阵
表 1-3-3 评价指标的综合三角模糊数互补判断矩阵
表 1-3-4 评价指标的权重
表 1-3-5 是通过式（1-3-8）对五位专家打分信息的集结。其中，专家的权威性同样
不妨认为没有区别， 因此也取等权重： ws＝1/5 （s =1， 2， 3， 4， 5） ， 然后根据式（1-3-16） 对专家打分信息集结，得到关于每位评价对象的最终的三角模糊数总评分值如表 1-3-6 所示；最后根据式（1-3-17）计算反映考评对象总体评价水平期望值（如表 1-3-7 所示） 。
，
L M U aii aii aii 0 .5
，
L M U ~ 0 aij aij aij ， i, j N ，则称矩阵 A 是三角模糊数互补判断矩阵。
若由多位专家根据评价目的和评价指标的相关资料， 建立关于评价指标间相对重要 度的三角模糊数互补判断矩阵，然后用由专家权威性而设定的权重对其进行集结，得到 关于评价指标的综合三角模糊数互补判断矩阵元素：
第 1 章 抽样调查数据处理方法及其应用
模糊数学5-模糊线性规划
2 x1 2 x 2 x 3 1 2 x1 0 , x 2 0 , x 3 5
lb=[0,0,-inf];ub=[inf,inf,5];
[x,z]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Optimization terminated.
x = 4.6667 0.0000 0.6667 z =-8.6667
乙
1.4 0.6 0.8 8
丙
1.5 0.8 0.8 10
丁
单位时段可 供使用或必 须使用时数
2100
1000 1300
解：设甲、乙、丙、丁四种产品的产量分别为x1,x2,x3,x4 maxf=12x1+15x2+8x3+10x4
x 1 1 . 2x 2 1 . 4x 3 1 . 5x 4 2100 0 . 5x 1 0 . 6x 2 0 . 6x 3 0 . 8x 4 1000 s.t. 0 . 7x 1 0 . 7x 2 0 . 8x 3 0 . 8x 4 1300 x1 , x 2 , x 3 , x 4 0
最后添加新的变量 ，求解普通线性规划（3）
m ax g s -d 0 z 1 x x2 x3 d 1 1 0 1 x1 6 x 2 x 3 d 2 5 s .t . x 1 -3 x 2 -x 3 + d 3 -3 .5 x -3 x -x d 4 .5 1 2 3 3 x 1 ,x 2 , x 3 , 0
求解目标函数z1的Matlab程序如下：
Z1=[1,2,-1]; A=[1,3,2;-1,-4,1]; b=[10;-6]; lb=[0,0,0]; [x,z1]=linprog(Z1,A,b,[],[],lb)
基于三角模糊数的多目标群决策方法
中， Ｓ ，： …， 是 ｍ个备选 方案 ， 设 Ｓ ， Ｓ 每个对象都有
ｎ 个属性 ｅ ， ！… ， 表示第 ｉ 。ｅ ， ｅ ， 个备选方案 Ｓ 相 对于第 个属性 ｅ 的评 价值 ， ， 用评 价矩阵 的形 式表 示方 案集与属性之间的关 系即为 ：
ｒ ・
２
＝
主观。Ｐ Ｏ Ｅ Ｈ Ｅ法 与 Ｔ Ｐ Ｉ Ｒ Ｍ ＴＥ ＯＳ Ｓ法相似 ， 的关 键 它
式中 ： ≤ｍ≤／ 则称 为三角模糊数 。 ｚ ２ ， 三角模糊数
可用一个 三元组 （， ｎ 来表示 ， 中 ｍ为模糊 数 ｚ ｍ， ） 其 中值 ，和 ｎ Ｚ 分别 为模糊数 的左值和右值 。 ｚ ｎ— ｍ— 和 ｍ分别代表三角模糊数 的左跨距和右跨距 。
研 究 与 应 用
化 自 化 仪 ２０ ３ １ ： ～７ 工 动 及 表，０ ，７ １７ ７ １ （ ）３
Ｃｏ ｒ ｌａ ｄ Ｉ ｓｒ ｍｅ ｔ ｎ Ｃｈ ｍｉａ ｎ ｕ ｔ ｎｔｏ ｎ ｎ ｔｕ ｎ ｓ ｉ ｅ ｃ ｌＩ ｄ ｓ￣
基 于三 角模 糊数 的多 目标 群 决 策方 法
总体是 两个不 同的程度 ， 可是模糊数 中值相差很小 ，
以微小 的差距决定评价 目标的程度 就会存在较大的
争 议性 。
定义 ４ 模糊矩 阵 ， 阵 中各 量为模糊 数的矩 矩 阵为模糊矩 阵。在具有 多个 属性 的模 糊 决策 问题
在实 际的多 目标综 合评 价中 ， 由于 评价者对 评
性 。采 用非 连 续 方 法 设 定 评 定 范 围 而 确 定评 价 程 度 ， 并提 出一种 三 角模 糊 数 重 心 法 对 模 糊 数排 序 ， 最后 通过 实例 验证其有效性。
关键词 ： 多 目标群 决策 ； 模糊评价 ； 三角模糊数 ； 序 排
模糊规划中模糊量的几种处理方法
模糊规划中模糊量的几种处理方法第27卷第4期湖北师范学院学报Journal of Hubei Nor mal UniversityVol127No14, 模糊规划中模糊量的几种处理方法刘云芬摘要:随着模糊环境下的规划问题在日常生活中的广泛应用, 模糊规划问题显得日趋重要。
对处理模糊规划问题中模糊量的现有的方法作了一个总结和分类, 最后对这些处理方法作了一个简单的比较分析。
关键词:模糊量; 模糊规划; 模糊测度中图分类号:O159文献标识码:A文章编号:100922714 04xx2203。
如何简洁键问题, , , 对于其中模糊1经典规划模型的一般形式[1]为:max fs 、 t 、g j ≤0, j =1,2, …, p在经典规划问题中, 目标函数和约束函数均是确定的, 但是在实际问题中有很多情况, 人们采集到的数据并不都是清晰的。
模糊现象在日常生活中比较常见, 如果目标函数或约束集合中含有模糊数据, 我们有必要在经典规划模型中引入模糊量, 于是得到下面的模糊规划模型的一般形式:)max f)≤0, j =1,2, …, p s 、 t 、 g j 中, 由于目标函数和约束集合中模糊量的存在, 我们不可能用处理经典规划问题的方法来求解, 必须首先对其中的模糊量作一个处理, 下面将给出几种处理模糊量的方法。
2、1 序函数法借用一个排序函数, 将模糊量映射到一个全序集 , 直接利用模糊量在全序集中的像来代替模型中的模糊量。
具体的转化方法描述为:)=x ′设F 为论域上的所有模糊集, X 为全序集, I:F →X , I 转化为:收稿日期:xx22作者简介:刘云芬女, 湖北鄂州人, 硕士, 助教, 研究方向为智能计算与不确定信息处理1～)]max f[x, I ]≤0, j =1,2, …, p～即是下面的模型:)max f ≤0, j =1,2, …, p g j其中x 为实变量, x ′为ξ在全序集中的像, 为一个确定的量。
对方案有偏好的三角模糊数型多属性决策方法
对方案有偏好的三角模糊数型多属性决策方法张静【摘要】针对权重信息不完全,决策者对方案有偏好的三角模糊型多属性决策问题提出了一种新方法.该方法是首先对三角模糊数求截集,将三角模糊数转化为区间数并引入偏差函数,然后建立目标线性规划模型并利用Lingo软件求出属性权重向量,进而对截集下的方案进行排序.【期刊名称】《淮阴工学院学报》【年(卷),期】2010(019)003【总页数】4页(P24-27)【关键词】三角模糊数;权重;偏好;截集;多属性决策【作者】张静【作者单位】西北师范大学,数学与信息科学学院,兰州,730070;陇南师范高等专科学校,数学系,甘肃,成县,742500【正文语种】中文【中图分类】C9340 引言多属性决策是决策理论研究的重要内容，多属性决策问题的研究吸引了国内外很多决策理论专家的兴趣，而且目前它已被广泛应用于投资决策、项目评估、方案评选、人才选拔等诸多领域。
由于人们对客观事物认识的主观性、不确定性与模糊性，在实际的决策中经常会出现决策信息的模糊性和不确定性。
到目前为止，对指标权重信息完全确知或完全不知的多属性决策问题研究已进行了很多研究，对已知部分权重信息且对方案有偏好的多属性决策人们做过一些研究。
本文针对三角模糊数型多属性决策问题，在α截集下引入偏差函数，通过构造目标规划模型求解属性的权重向量，进而求得α截集下方案的排序向量。
其次，将不同α截集下的排序向量进行集结，得出方案的综合排序向量。
最后根据综合排序向量分量的大小，对方案进行排序择优。
该方法充分考虑了主观偏好和客观偏好之间的差异，得出的决策结果具有较好的合理性。
1 预备知识定义1 若a=［aL，aU］，则称a为一个区间数。
特别地，若aL=aU，则a退化为实数。
定义2 设 a= ［aL，aU］，b= ［bL，bU］为两个区间数，则称定义3 设是定在实数域R上的模糊集合，称为三角模糊数，若的隶属函数为简记为=(l，a，u)，称a为的中心，l与u为的左右展度。
三角模糊数去模糊化 matlab 操作流程
三角模糊数去模糊化 matlab 操作流程概述三角模糊数是模糊数的一种常见形式，它由三个实数构成，表示了一个模糊区间。
在实际的数据处理中，我们经常需要对模糊数进行去模糊化处理，以获得更精确的结果。
在本文中，我们将重点讨论三角模糊数的去模糊化 matlab 操作流程，并从简入深，为您全面解读这一主题。
1. 了解三角模糊数让我们来了解一下三角模糊数的基本概念。
三角模糊数由三个实数 (a, b, c) 构成，表示了一个模糊区间 [a, b, c]。
其中，a 表示模糊区间的左端点，b 表示模糊区间的顶点，c 表示模糊区间的右端点。
三角模糊数常用于模糊推理、模糊控制等领域。
2. 三角模糊数去模糊化原理在实际应用中，我们经常需要将三角模糊数转化为确定的实数。
这就涉及到了去模糊化的问题。
常见的去模糊化方法包括平均法、最大法、最小法等。
在 matlab 中，我们可以通过一定的操作流程来实现三角模糊数的去模糊化。
3. Matlab 操作流程3.1 准备工作在进行三角模糊数去模糊化之前，我们首先需要准备工作，包括导入 matlab 工具箱、准备模糊数数据等。
3.2 编写去模糊化函数接下来，我们可以编写一个去模糊化函数，以实现对三角模糊数的处理。
在函数中，我们可以采用平均法、最大法或最小法等方法，根据实际情况选择合适的去模糊化策略。
function result = defuzzification(triangleNumber)% 使用平均法进行去模糊化result = (triangleNumber(1) + triangleNumber(2) + triangl eNumber(3)) / 3;end3.3 调用去模糊化函数我们可以通过调用去模糊化函数，对三角模糊数进行处理，得到确定的实数结果。
triangleNumber = [1, 3, 5]; % 以 [1, 3, 5] 为例result = defuzzification(triangleNumber);disp(result); % 输出结果4. 个人观点和理解三角模糊数的去模糊化在实际应用中具有重要意义，它能够提高数据处理的精确度和可靠性。
谢季坚《模糊数学》P275例3解模糊线性规划问题
P275例3解模糊线性规划问题：123max 46;s x x x =-+1231231231238,66,34,,,0.x x x x x x x x x x x x ++≤⎧⎪-+≥⎪⎨--=-⎪⎪≥⎩ 对应约束条件的伸缩指标分别取1232,1,0.5.d d d ===解 第一步，解普通线性规划问题①；123max 46;s x x x =-+①1231231231238,66,34,,,0.x x x x x x x x x x x x ++≤⎧⎪-+≥⎪⎨--=-⎪⎪≥⎩运行LINDO6.1,输入maxx1-4x2+6x3st2)x1+x2+x3<83)x1-6x2+x3>64)x1-3x2-x3=-4end将文件存储并命名后，选择菜单“Solve ”并对提示“DO RANGE （SENSITIVITY ）ANALYSIS?”（灵敏性分析）回答“是”，即可得到如下输出：LP OPTIMUM FOUND A T STEP 2OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 38.00000V ARIABLE V ALUE REDUCED COSTX1 2.000000 0.000000X2 0.000000 15.000000X3 6.000000 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 3.5000003) 2.000000 0.0000004) 0.000000 -2.500000NO. ITERA TIONS= 2RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESV ARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF INCREASE DECREASEX1 1.000000 15.000000 7.000000X2 -4.000000 15.000000 INFINITYX3 6.000000 INFINITY 7.000000RIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE2 8.000000 INFINITY 2.0000003 6.000000 2.000000 INFINITY4 -4.000000 12.000000 4.000000第二步，解普通线性规划问题②：123m a x 46;s x x x =-+ ②1231231231231238210,6615,340.5 3.5,340.5 4.5,,,0.x x x x x x x x x x x x x x x ++≤+=⎧⎪-+≥-=⎪⎪--≤-+=-⎨⎪--≥--=-⎪⎪≥⎩在LINDO6.1中,输入maxx1-4x2+6x3st2)x1+x2+x3<103)x1-6x2+x3>54)x1-3x2-x3<-3.55)x1-3x2-x3>-4.5end将文件存储并命名后，选择菜单“Solve ”并对提示“DO RANGE （SENSITIVITY ）ANALYSIS?”（灵敏性分析）回答“是”，即可得到如下输出：LP OPTIMUM FOUND A T STEP 3OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 46.25000V ARIABLE V ALUE REDUCED COSTX1 2.750000 0.000000X2 0.000000 15.000000X3 7.250000 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 3.5000003) 5.000000 0.0000004) 1.000000 0.0000005) 0.000000 -2.500000NO. ITERA TIONS= 3RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESV ARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF INCREASE DECREASEX1 1.000000 5.000000 7.000000X2 -4.000000 15.000000 INFINITYX3 6.000000 INFINITY 5.000000RIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE2 10.000000 INFINITY 5.0000003 5.000000 5.000000 INFINITY4 -3.500000 INFINITY 1.0000005 -4.500000 1.000000 5.500000在LINDO6.1中，用x4表示 ，输入maxx4st2)x1-4x2+6x3-8.25x4>383)x1+x2+x3+2x4<104)x1-6x2+x3-x4>55)x1-3x2-x3+0.5x4<-3.56)x1-3x2-x3-0.5x4>-4.5end将文件存储并命名后，选择菜单“Solve”并对提示“DO RANGE（SENSITIVITY）ANALYSIS?”（灵敏性分析）回答“是”，即可得到如下输出：LP OPTIMUM FOUND A T STEP 4OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 0.5000000V ARIABLE V ALUE REDUCED COSTX4 0.500000 0.000000X1 2.375000 0.000000X2 0.000000 0.909091X3 6.625000 0.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 -0.0606063) 0.000000 0.2121214) 3.500000 0.0000005) 0.500000 0.0000006) 0.000000 -0.151515NO. ITERA TIONS= 4RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESV ARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF INCREASE DECREASE X4 1.000000 INFINITY 1.000000X1 0.000000 0.246914 0.622222X2 0.000000 0.909091 INFINITYX3 0.000000 0.800000 0.487805RIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE2 38.000000 8.250000 8.2500003 10.000000 2.357143 2.3571434 5.000000 3.500000 INFINITY5 -3.500000 INFINITY0.5000006 -4.500000 0.589286 3.870370。
三角模糊数及其应用
者偏好一致性也在一定程度内。 （10）三角模糊数互补判断矩阵 A~ (a~ij )nn 的一致性判断指标[11][12]：
其中，wi
是根据和积法处理模糊互反判断矩阵
(
E (a~ij E (a~ ji
) )
)
nn
得到。
（1-3-11）
一致性判断系数：CR CI / RI
（1-3-12）
其中， RI 是平均随机一致性指标，来修正 CI ，可查表所得。若 CR<0.1，可认为三角
根据互反判断矩阵理论，要使决策者前后判断信息满足一致性要求，在建立互反判
断矩阵 A (aij )nn 时首先满足式（1-3-18）和式（1-3-19）。
k
，
aik a(im)k
1
或 1
（1-3-18）
k
akj ， ak( jm)
1
或 1
（1-3-19）
根据互补判断矩阵理论，要使决策者前后判断信息满足一致性要求，在建立互补判
（1-3-17）
根据其值大小排序辅助决策。
实例分析
某高校要从四位候选中层管理干部中选出一位干部进入高层管理层工作，需要对其 进行综合评价排序，然后辅助决策。现由专家和负责部门有关人员组成评价小组进行考 核评定。其中三位专家负责建立评价指标矩阵，五位负责按评价指标“德、能、勤、绩” （考评对象的廉政情况通常单独考虑，尤其在高校这种非营利性组织中通常作为一个重 要的干部评价和考核因素）等四个方面确定关于评价对象表现的评分矩阵。具体评价过 程如下：
2，…，K；a~ikj [aikjL , aikjM , aikjU ] 是第 k 个专家给出的关于第 i 指标相对于第 j 指标重要
度的三角模糊数表示。
三角模糊数的计算规则
三角模糊数的计算规则摘要：一、引言二、三角模糊数的概念及运算规则1.三角模糊数的概念2.三角模糊数的运算规则三、三角模糊数的规范化四、三角模糊数的应用1.多决策性问题2.质量管理和风险管理五、总结正文：一、引言随着科学技术的不断发展，模糊数学作为一种处理不确定性和模糊性的数学工具，已经在多个领域得到了广泛应用。
其中，三角模糊数作为模糊数学的一个重要概念，其在实际应用中具有较高的理论价值和实用价值。
本文将从三角模糊数的计算规则出发，详细介绍其概念、运算规则以及应用领域。
二、三角模糊数的概念及运算规则1.三角模糊数的概念三角模糊数是一种特殊的模糊数，其定义为：设s 和u 分别为模糊数的下限和上限，m 为可能性最大的值，那么模糊数用(s、m、u) 表示。
其隶属函数为：(x) = x / (m - s) - s / (m - s) ，x ∈[s, m](x) = 0，x ∈[m, u]2.三角模糊数的运算规则三角模糊数的运算规则包括加法、减法、乘法、除法以及数乘等。
需要注意的是，两个三角模糊数的减法和除法运算需要进行规范化处理。
三、三角模糊数的规范化为了保证三角模糊数的运算结果符合实际情况，需要对其进行规范化处理。
规范化的方法主要有两种：一种是将三角模糊数转化为标准模糊数，另一种是将其转化为梯形模糊数。
四、三角模糊数的应用1.多决策性问题三角模糊数主要应用于多决策性问题，如各个因子的权重值求解以及排序问题等。
2.质量管理和风险管理三角模糊数在质量管理和风险管理领域具有较高的应用价值。
它可以用于评估产品的质量，判断风险事件的可能性等。
五、总结三角模糊数作为一种重要的模糊数，其在理论研究和实际应用中均具有较高的价值。
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第２ ７卷第 ４期 ， ２ ０ １ ３年 １ ２月
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ， ｆ Ｈｅ ｂ ｅ ｉ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ＆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ Ｖｏ １ ． ２ ７ Ｎ ｏ ． ４ Ｄｅ ｃ ．２ ０ １ ３
三 角模糊 数 的排序 ：
定理 ２ ［ 设三角模糊数 ＝（ ０ ， 口 。 ， ｆ ｔ ） ， ＝（ ｂ ， ０ 。 ， ｂ ） ， 则
（ １ ）口 ￡ ＋ ２ 口 ｃ ＋ａ Ｒ ≥６ Ｌ ＋ ２ ６ ｃ ＋ｂ Ｒ ＞甘 ≥
（ ２ ）ａ ＋ ２ 口 ＋ａ Ｒ ≤６ ＋ ２ ６ ｃ ＋ｂ Ｒ ＞铮 ≤ｂ ｏ
ｌ一
（ ３ ）
ｏ ． 高 ＞ ＋
其中 （ ｉ ＝ １ ， ２ ， …， ｍ ） 为事先给定的非负模糊弹性指标 。
步骤 ２ ： 将 目标 函数 明确化
由定理 ２ 可得 目 标 函数 的等价形式为
ｍ ａｘ ＝
寺 （ ， ＋ ２ ＋ 磊 ）
（ ４ ）
为了求得 目 标 函数 的最优解 ， 还应给出 的取值范围， 将目 标值模糊化 ， 取Ｚ ０ ＜ ＝ ＜ Ｚ Ｏ ＋ ｄ ｏ ， 取 ⅣＥ Ｆ
关键词 ： 三角模糊数 ； 模糊线性 规划 ； 模糊约束
中图分类号 ： ０ １ ５ ９ ； ０ ２ ２ １ ． １
最优化问题是考虑在某些“ 约束条件” 之下求某个“ 目标函数” 的最大或最小值问题。在经典规划 问题中， 目 标 函数和约束条件都是明确的。然而在许多实际问题中， 无论是 目标函数还是约束条件在某 种条件下都可能具有某种程度上 的模糊性 。朱章遐等…和李孝忠等＿ ２ 以三角模糊数为基础研究 了具
具体 的算例 。
１ 预 备知 识
，
．
定义 １ ’ 设 ∈ Ｒ ） ， 若 的隶属度函数满足
口 ≤ ≤ 口Ｇ
Ｃ
Ｕ 一
， Ｌ ’
¨ （ ）＝ Fra bibliotekＲ ＿ 二 睾， Ｃ ’ 口 ” 。 ＜ 、 ≤ 口
¨ 一 ¨
０ ， 其 他
称 为 Ｒ上的三角模糊数 ， 简记为 ＝ （ ｏ ， １ ７ ， 。 ， ｎ ） 。
Ｄ Ｏ／ ： １ ０． ３ ９ ６ ９ ／ Ｊ ． Ｉ Ｓ Ｓ Ｎ． １ ６ ７ ２ ． ７ ９ ８ ３ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ４ ． ０ ０ ７
含 有 三 角 模 糊 数 的模 糊 线 性 规 划 问题 的 求 解 方 法
付云鹏 ， 郭云峰 ， 祝 国君
（ １辽 宁大学信 息学院 ， 辽宁 沈 阳， １ １ ０ ０ ３ ６ ； ２沈 阳大学经济学院 ）
有模糊变量和模糊系数的线性规划模型。张叶芳等 和闫立梅 研究 了系数为梯形模糊数的线性规 划问题。高淑萍等 ５ 将约束条件中含有三角模糊数的线性规划问题转化为传统的线性规划问题来求
解 。赵海 坤等 在提 出一 种新 的模 糊数 排 序 准则 的基 础上 研 究 了 目标 函数 和 约 束条 件 中都含 有 三 角 模糊 数 的线性 规划 问 题 ， 并 进 行 了求 解 。李 孝 忠 讨 论 了变 量 模 糊 的 广义 模 糊 线 性 规 划 问 题 。闫 立
ｍ ａｘ
ｓ ． ｔ ． Ｘ ｘ≤ 。 ≥０
（ ２ ）
为带有 “ 伸 缩性 ” 的模糊 线 性规划 问题 ， 简 称为 模糊 线 性规 划 问题 。其 中“ ” 表示 某 种 弹性 约束 ， 可 理 解 为 近 似小 于等于 ” 。
面给 出问题 （ ２ ） 的求 解 步骤 。
步骤 ｌ ： 将 模糊 约束 化 为 明确 约束
令 Ｘ＝｛ 戈ｌ ∈ Ｒ ， ｘ ＞ － Ｏ ｝ ， 将 ｍ个“ ” 约束改成 ｍ个模糊集 Ｍｉ ∈ Ｆ （ Ｘ ） ， （ ｉ ＝ ｌ ， ２ ， …， ｍ ） ，
（ ｎ 口 ）
１ ． ＿ 『 耋 ≤ 砉 － ≤ ， ＜ 耋 ≤ ＋ ， （ ＝ １ ， ２ ， … ， ｍ ） ｄ ｉ
梅＿ ８ 在总结一系列模糊规划和经典规问题 的基础上 ， 给出了系数为梯形模糊数的可能性线性规划的求 解方法。笔者在上述工作的基础上 ， 给出一种新的模糊规划问题 ， 该问题不仅含有模糊系数和模糊约束
条件 ， 并且约束条件还带有“ 伸缩性” 的模糊线性规划问题 ， 然后讨论该 问题的求解方法 ； 最后给出一个
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ９ — ２ ４ ；修改稿收到 日期 ： ２ ０ ｔ ３ — １ ０ — ０ ７
河北科技师范学院学报
２ ７卷
２ 系数 和 约 束 条 件 中带 有 三 角模 糊 数 的模 糊 线性 规 划 问题
定义 ２ 设 ＝（ ， ， …， ） ， ＝（ ） … ， ， （ ｉ ＝１ ， ２ ， …， 凡 ； ． 『 ＝１ ， ２ ， …， ｍ） 为三 角模 糊 常 数， （ ｉ ＝１ ， ２ ， …， ｎ ） 为清 晰数 ， 则称 下列 问题
三角模糊数的运算规则 ：
定理 １ 设三角模糊数 ＝（ ｏ ， 。 。 ， 口 ） ， ＝（ ｂ ， ６ ＿ 。 ， ｂ Ｒ ） ， ｋ 为正实数 ， 则有
＋ ＝ （ 口 Ｌ ＋ ６ ￡ ， 口 ｃ ＋ ｂ ｃ ， 口 ＋ ｂ Ｒ ） ； ｋ・ ＝ （ ｋ ａ ￡ ， ｋ ａ ｃ ， ｋ ａ Ｒ ） 。
摘要 ： 提 出了一种含有三角模糊数 的模糊线性规划 问题 ， 给 出了该 问题 的求解 方法 ， 最 后应 用一个具体 的实
例来说 明该方法 的实 际应用 。 ， 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ２ － ７ ９ ８ ３ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ － ０ ０ ３ ７ ． ０ ４