傅里叶级数课程及习题讲解

2
当n1时，
(b a)~4__
f (x)
所以
2(b a)
2cos(2n
1)2
1)x
(a b)
n 1
(1)n
1sin nx
an
n,x(,)为所求.
是以2为周期的可积函数，证明对任何实数c,有
1f (x)cos nxdx ,n 0,1,2,|||
c 2
f (x)cos n xdx
bn
2
f (x)sin nxdx
f(x)
3把函数
-11
43
展开成傅里叶级数，并由它推出(1)
III
5
丄
11
丄
13
1
17
(3)6
解：函数f(x),
r
1II
1
57111317
x (,)作周期延拓的图象如下.
其按段光滑，故可展开为傅里叶级数. 由系数公式得
1
f(x)dx
ao
01
——dxdx
404
an
n1时,
1
—cos nxdx
4
cos nxdx 0
04
[1
2k
故f(x)
(1)
2k
1sin(2nn 12n 1
2，则4
1 1
1 -
35
于是3412
1)X,
,0) (0,
)为所求.
III
7
3，则4
1 1
57
川得
1
11
12
丄丄
1113
1 1 1
39
丄
17
15
1
21
III
1
11
III
1
13
1
17
III
1
13
1
17
III
4设函数 什么特性.
解：因为f(x)满足条件f(xf(x)
且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称f(x)在［a,b］上按段光滑.
几何解释如图.
按段光滑函数图象是由有限条
光滑曲线段组成，它至多有有限个 第一类间断点与角点.
推论 如果f(x)是以为周期的连续函数，且在x［,］上按
段光滑，则x R，
f (x)ancosnx bnsinnx
有2n 1
,］上有定义，函数
第15章
傅里叶级数
§傅里叶级数
一
一、傅里叶级数
f(x)anXn
在幕级数讨论中nl，可视为f(X)经函数系
线性表出而得•不妨称｛1，x,x2,|||,xn,||p为基，则不同的基就有不同的级数•今用三角函 数系作为基，就得到 傅里叶级数•
1三角函数系
函数列1,cosx，sinx, C0S2X, sin 2x,卅，cosnx, sinnx,川称为三角函数系.其有下面 两个重要性质.
f (x)满足条件
f(x
f(x)
，问此函数在
内的傅里叶级数具有
所以f(x2 )1
于是由系数公式得
0
f(x)
f (t )d t-
当n 1时,
2
f (x)cos nxdx
f (x)sin nxdx
f(x)
即f(x)是以2为周期的函数.
f(x)d x 0
2k 1
2k
2k 1
故当f(x)f(x)时，函数f(x)在,内的傅里叶级数的特性是a2k0,b2k0.
k 0,1,2,|||;
k 1,2川，
称为函数f(x)的傅里叶系数，而三角级数 称为f(x)的傅里叶级数，记作
2n 1
其中务,0为f(x)的傅里叶系数.
定义2如果f(x) C［a，b］，则称f(x)在［a，b］上光滑.若
x ［a,b), f(x 0), f (x 0)存在；
x (a,b］, f (x 0)，f (x 0)存在，
sin mx
cosnxd x
0；
7
1, 1
12dx
2
由于
所以三角函数系在,上具有正交性，故称为 正交系.
利用三角函数系构成的级数
称为三角级数，其中a0,a1,b1,|||,an,bn,|||为常数
2以2为周期的傅里叶级数
定义1设函数f(x)在,上可积,
ak
1
—(f (x),cos kx)
f (x)coskxdx
(1)周期性 每一个函数都是以2为周期的周期函数；
(2)正交性 任意两个不同函数的积在［,］上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零.
对于一个在［，］可积的函数系Un(x):x［a，b］,nh2，川，定义两个函数的内积b
为.Un(X),Um(X)；aUn(x) Um(X)dX
10 m n
0 m n，则称函数系Un(x):x [a,b],nhZlH为正交系.
1, sin nx
1
sin nxd x
1 cos nxdx
0；
sin mx,
sin nx；
sin mx
sin n xd x
0 i
m n m n.
cosmx,
cos nx
cosmx
cos nxdx
0
m n m n
sin mx,
cosnx
二习题解答
1在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数
(1)f(x) x, (i)x , (ii) 0 x 2；
解：(i)、f(x)=x，x (，)作周期延拓的图象如下. 其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.
由系数公式得
1 1
a0f (x)d xxdx 0
】xcosnx|
cos nxdx ( 1)n 1—
n
八n 1sin nx
1)
n
f (x)
所以
(ii)、f(x)=x,x(0,2)作周期延拓的图象如下. 其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.
由系数公式得
12
0f(x)d x
(，)为所求.
a。
2
xdx 2
1时，
12
xsin nx|
n0
2
sin n xdx
0
所以
1
——xcos nx n
f(x)
2
I0
sin nx
3-
2
cosnxd x
4
~~2n
sin nxd x
所以f(x)
cos nx
sin nx
x (0,2 )为所求.
ax
bx
(a b, a
f(x)
(3)解：函数f(x)其按段光滑，故可展开为傅里叶级数.由系数公式得
1
f(x)dx
x
•>
0,b 0)
)作周期延拓的图象如下.
ao
10
—axdx
1bxdx
0
(b a)
n£
n
所以
2xsinnx|
sin n xdx
f(x)
1)nsin nx
1)2~
n
解：
其按段光滑，故可展开为 由系数公式得
12
(ii)、f (x)= x
a0
4
当n 1时,
2
~2-
n
(x)dx
■cr
2
x
2
0
1
2
n
2
xcos nx|0
— xsinnx|n|0
,)为所求.
(0,2 )作周期延拓的图象如下.
82
cosnxd x
n
•>
(0,2 )为所求.
(ii)0 <x< 2n；
,)作周期延拓的图象如下.
(2)
解：
其按段光滑，故可展开为傅里叶级数. 由系数公式得
1
f (x) =
(i)、f(x) =
(i)
2
x
•>
n<
a0
f(x)dx
x<n
x2
dx-
3
1时，
2 .—xcos nx|n
2~2n
cos nxdxFra Baidu bibliotek
1)
f (x)sinnxd x, n 1,2,卅
证:
因为f(x)，sin nx，
1
cosnx都是以2为周期的可积函数，所以令t x2有
1c+2
f (t)cosntdtf (x)cosnxdx
c+2
从而an
1
c 2
f (x)cos nxdx
f (x)cos n xdx
同理可得
bn
1
f (x)s inn xdxf (x)s inn xdx