微积分公式汇总

F ( x ) 2 f ( x ) 0,
x
F ( x ) 在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,
F (1) 1 0 f ( t )dt 0 [1 f ( t )]dt 0,
1
1
所以 F ( x ) 0 即原方程在[0，1]上只有一个解.
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二、积分上限的函数及其导数
定理1. 若
x a
则变上限函数
( x) f (t ) d t
y
( x )
证: x , x h [a , b] , 则有 x xh b x o a x ( x h) ( x ) 1 x h f (t ) d t f (t ) d t a h h a 1 xh f (t ) d t f ( ) ( x x h) h x
( x) lim
( x h) ( x ) lim f ( ) f ( x) h 0 h 0 h
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注:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 同时为
通过原函数计算定积分开辟了道路 .
2) 变限积分求导:
d ( x) f (t ) d t f [ ( x)] ( x) dx a ( x) d ( x) d a f (t ) d t f (t ) d t f (t ) d t a dx ( x) dx ( x)
x a
b
由F(a)(a)C及(a)0, 得CF(a), F(x)(x)F(a).
由F(b)(b)F(a), 得(b)F(b)F(a), 即
a f (x)dx F (b) F (a)
b
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例4. 计算
3 dx arctan x 解: arctan 3 arctan( 1 ) 2 1 1 x 1 7 ( ) 3 4 12 例5. 计算正弦曲线
x x
x
x

f (x)0 (x t) f (t)dt (0 f (t)dt)2
x
x

按假设 当0tx时f (t)>0 (xt)f (t)>0 所以
0 f (t)dt 0 0 (x t) f (t)dt 0
从而F (x)>0(x>0) 因此F(x)在(0 )内为单调增加函数
S (T2 ) S (T1) 及 T v(t)dt
1
T2
即
即
T v(t)dt S (T2) S (T1)
1
T2
上式表明, 速度函数v(t)在区间[T1, T2]上的定积分等 于v(t)的原函数S(t)在区间[T1, T2]上的增量. 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？
3
的面积 . 解: A sin x dx
0

y
y sin x
cos x

0
[1 1] 2 o
x
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例6 解
2 max{ x , x }dx. 求 2
2
y
由图形可知
f ( x ) max{ x , x 2 }
y x2
y x
b
2. 变限积分求导公式
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练习题
设 f ( x ) 在[0,1]上连续，且 f ( x ) 1.证明
2 x 0 f ( t )dt 1在[0,1]上只有一个解.
x
证 令 F ( x ) 2 x 0 f (t )dt 1,
f ( x ) 1,
c ≠0 , 故 a 1. 又由
～
1. c ,得 2
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例3 设f(x)在[0, )内连续且f(x)>0 证明函数
tf (t)dt 0 F (x) x 0 f (t)dt
x
在(0 )内为单调增加函数 证明 因为
x
F (x)
xf (x)0 f (t)dt f (x)0 tf (t)dt (0 f (t)dt)2
22 22
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内容小结
1. 微积分基本公式
设 f ( x) C [a, b] , 且 F ( x) f ( x) , 则有
a f ( x) d x f ( )(b a) F ( )(b a) F (b) F (a)
积分中值定理 微分中值定理 牛顿 – 莱布尼兹公式
f [ ( x)] ( x) f [ ( x)] ( x)
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例1. 求 解: 原式 lim e
x 0 cos2 x
( sin x) 1 2e 2x
例2. 确定常数 a , b , c 的值, 使
解: 原式 =
b 0.
2
x2 2 x 0 x 0 x 1 , x2 1 x 2
0 2 1
o
1
2
Fra Baidu bibliotek
x
原式 x dx xdx
2 0
2
1
11 x dx . 2
2
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例7 汽车以每小时36km速度行驶, 到某处需要减 速停车.设汽车以等加速度a5m/s2刹车. 问从开始 刹车到停车, 汽车走了多少距离？ 解 汽车刹车时的初速度为 v0 36km/h 361000 m/s 10m/s 3600 刹车后 t 时刻汽车的速度为 v(t)v0at105t. 当汽车停止时, 有 v(t)105t 0, t2(s).
于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为
1 1 22 22 [ 10 [ 10 t t 5 5 t t ]] 10 10(( m m )) ss 0 v v ( ( t t ) ) dt dt ( 10 ( 10 5 5 t t ) ) dt dt 00 0 0 0 2 2
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第二节
一、引例
微积分基本公式
二、积分上限的函数及其导数
三、牛顿—莱布尼茨公式
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一、引例
设物体从某定点开始作直线运动, 在t时刻物体所经 过的路程为S(t), 速度为vv(t)S(t)(v(t)0), 则在时间间隔 [T1, T2]内物体所经过的路程S可表示为
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三、牛顿—莱布尼茨公式
定理3(牛顿莱布尼茨公式) 若 F(x) 是连续函数 f(x) 在区间 [a, b]上的一个原函数 ,
则
证明
因为F(x)和(x)都是f(x)的原函数 所以存在常数C 使 F(x)(x)C.
a f (x)dx F (b) F (a) 由于 ( x) f (t )dt 也是f(x)的原函数
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作业：p-243 习题5-2
3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (7) , (10) ,(11) ;
9 (2) ; 12