《数理方程》学习资料：5.3 傅里叶变换的应用

] dτ
−1
[e
− α2 a2 t
∫ ]+
0
t
F −1 [F (α, τ )] ∗ F −1 [e−α
2 a2 (t−τ )
2 a2 (t−τ )
]dτ
=ϕ(x) ∗ F −1 [e−α
2 a2 t
∫ ]+
0
t
f (x, τ ) ∗ F −1 [e−α
]dτ.
30
第五章 傅里叶变换方法 又
F −1 (e−α
−α2 a2 t
∫ +
0
t
F (α, τ )e−α
2 a2 (t−τ )
dτ
对上式两端关于α作傅里叶逆变换, 并利用卷积定理, 有
u(x, t) =F =F
−1
[u(α, t)] = F [Φ(α)] ∗ F
−1
−1
[Φ(α)e
−α2 a2 t
]+F
−1
[∫
0
t
F (α, τ )e
−α2 a2 (t−τ )
(iα)2 Y (α) − i d Y (α ) = 0 dα
即
d Y (α) − (iα2 + α)Y (α) = 0 dα
解之, 得
Y (α) = cei
2 α3 +α 3 2
. ∫
对上式两端作傅里叶逆变换, 有
y (x) = F §5.3.2
−1
c [Y (α)] = 2π
∫
+∞
e
−∞
i( α +α ) iαx 3 2

0,
x2 1 √ e− 4a2 t , t > 0, 2a πt
t ≤ 0. ∫ t∫
0
则有
∫ u(x, t) =
−∞ +∞
G(x − ξ, t)ϕ(ξ )dξ + ∫
0 t
+∞
−∞
G(x − ξ, t − τ )f (ξ, τ )dξ dτ
=ϕ(x) ∗ G(x, t) +
f (ξ, τ ) ∗ G(x, t − τ )dτ
(5.3.2)
注5.3.1. 这里我们用到了如下结论:
dy + P (t)y = Q(t), dt y ( t0 ) = y 0 . [
P (s)ds
的解为
y (t) = e
−
∫t
t0
∫ y0 +
t
∫τ
]
P (s)ds
Q(τ )e
t0
t0
dτ .
注5.3.2. 1) 若记
G(x, t) =
§5.3 傅里叶变换的应用
29
§5.3
§5.3.1
傅里叶变换的应用
求解常微分方程
例5.3.1. 用傅里叶变换法解常微分方程
y ′′ (x) + y ′ (x) − xy (x) = 0.
解. 记F [y (x)] = Y (α). 对方程两端作傅里叶变换, 利用线性性质、微分性质和乘多项式性 质, 有
类似地可用n维傅里叶变换求出其解的表达式. 以三维问题为例, 我们有
∫∫∫ u(x, y, z, t) = G(x − ξ, y − η, z − ζ, t)ϕ(ξ, η, ζ )dξ dη dζ ∫ ∫∫∫ + dτ G(x − ξ, y − η, z − ζ, t − τ )ϕ(ξ, η, ζ )dξ dη dζ 0 R3 ∫ t =ϕ(x, y, z ) ∗ G(x, y, z, t) + f (x, y, z, τ ) ∗ G(x, y, z, t − τ )dτ,
§5.3 傅里叶变换的应用
31
对于高维热传导方程的初值问题
ut = a2 ∆u + f (x1 , x2 , · · · , xn , t),
x ∈ Rn , t > 0,
u(x , x , · · · , x , 0) = ϕ(x , x , · · · , x ), x ∈ Rn . 1 2 n 1 2 n
Ut (α, t) = a2 (iα)2 U (α, t) + F (α, t) = −α2 a2 U (α, t) + F (α, t), t > 0, U (α, 0) = Φ(α).
则偏微分方程的初值问题, 转化为了关于t的ODE 的初值问题(把α看作参数) 解得
U (α, t) = Φ(α)e
称G(x, t)为热核, 或问题(5.3.1)的解核, 或一维热传导方程初值问题的基本解. 2) 由此例可见, 用傅里叶变换求解定解问题时不必像行波法或分离变量法那样分齐次 和wk.baidu.com齐次方程, 都是按同样的步骤进行. 以上求得的仅是形式解, 通过分析论证, 我们有下面的定理. 定理5.3.1. 设ϕ(x)在(−∞, +∞)上连续且有界, f (x, t)在(−∞, +∞) × [0, +∞)上连续且有界, 则由(5.3.2)表示的函数u(x, t)确是问题(5.3.1)的有界古典解. 从例5.3.2可归纳出傅里叶变换方法解解定解问题的主要步骤: (i) 选用P DE 中适当的(比如在整个数轴上变化的) 自变量作积分变量, 把泛定方程和 定解条件作傅里叶变换, 利用微分性质F [f (n) (x)] = (iα)n F [f (x)], 就能得到关于未知函数的 像函数的ODE 的定解问题. (ii) 解ODE的定解问题, 求得解的像函数. (iii) 对像函数作逆变换(常可以查傅里叶变换表) , 得原定解问题的解.
2 a2 t
)=
x2 1 √ e− 4a2 t 2a πt
因此, 有
( ) ) ∫ t x2 x2 1 1 − √ e− 4a2 t + √ u(x, t) =ϕ(x) ∗ f (x, τ ) ∗ e 4a2 (t−τ ) dτ 2a πt 2 a π ( t − τ ) 0 ∫ +∞ ∫ t ∫ +∞ 2 (x−ξ)2 ( x − ξ ) f (ξ, τ ) 1 − 2 − 2 4 √ e 4a t ϕ(ξ )dξ + e a (t−τ ) dξ dτ = √ 2a πt −∞ 0 −∞ 2a π (t − τ ) (
3
2
e
c dα = 2π
+∞
ei(
2 α3 +α +αx) 3 2
dα.
−∞
求热传导方程的初值问题
ut = a2 uxx + f (x, t), u(x, 0) = ϕ(x),
例5.3.2. 求解初值问题
− ∞ < x < + ∞, t > 0 , − ∞ < x < + ∞.
(5.3.1)
解. 对u(x, t), f (x, t)和ϕ(x)关于x进行傅里叶变换, 记F [u(x, t)] = U (α, t), F [f (x, t)] = F (α, t), F [ϕ(x)] = Φ(α). 在泛定方程和定解条件两端关于x作傅里叶变换, 利用线性性质和微分性 质, 有(这里假设当|x| → +∞时, u, ux → 0)