可靠性数学

文老师： 题1：最优化

例 1 运输问题

设有m 个水泥厂A1,A2, …, Am,年产量各为a1, a2, …,am 吨.有k 个城市B1,B2…, Bk 用这些水泥厂生产的水泥,年需求量b1,b2, …,bk 吨.再设由Ai 到Bj 每吨水泥的运价为cij 元.假设产销是平衡的,即:

∑∑===k

j

j m i i b a 1

1

试设计一个调运方案,在满足需要的同时使总运费最省。

解：设Ai →Bj 的水泥量为xij,已知Ai →Bj 单价为cij,单位为元,则总运费为

:

数学模型:

1111

121201212min ..

(,,,)

(,,,)(,,,,,,,)

k

m ij ij j i k ij i j m

ij j i ij c x s t x a i m x b j k x i m j k ====∑∑==∑==∑≥==L L L L

注:平衡条件

∑∑===k

j j

m

i i b

a 1

1

作为已知条件并不出现在约束条件中。

例2 生产计划问题

设某工厂有m 种资源B 1,B 2, …,B m ,数量分别为: b 1,b 2, …, b m ,用这些资源产n 种产品A 1,A 2, …, A n .每生产一个单位的A j 产品需要消耗资源B i 的量为a ij ,根据合同规定,产品A j 的量不少于d j .再设A j 的单价为c j . 问如何安排生产计划,才能既完成合同,又使该厂总收入最多? 数学模型

11

1212max ..

(,,,)(,,,)

n

j j

j n

ij j i j j j c x s t a x b i m x d j n ==∑≤=∑≥=L L

例 3 指派问题

设有四项任务B 1,B 2,B 3,B 4派四个人A 1,A 2, A 3,A 4去完成.每个人都可以承担四项任务中的任何一项,但所消耗的资金不同.设A i 完成B j 所需资金为c ij . 如何分配任务,使总支出最少? 设变量

则总支出可表示为:

4

4

1

1ij ij

j i S c x ===∑∑

数学模型:

例4 0-1背包问题

设有一个容积为 b 的背包，n 个体积分别为，价值分别为

的物品，如

何以最大的价值装包? 用数学模型表示为

其中目标(1.3)欲使包内所装物品的价值最大；

(1.4)为包的能力限制；

(1.5)表示xi 为二进制变量，xi=1表示装第i 个物品，xi=0表示不装． 4

ij j 1

s.t.

x 1,i 1,2,3,4

===∑4

ij i 1

x 1,j 1,2,3,4

===∑4

4

ij ij

j 1

i 1min

S c x ===∑∑ij x {0,1},i,j 1,2,3,4

∈=指派A i 完成b j

不指派A i 完成b j

最优化问题的一般形式为:

P: (1.1)(目标函数)

(1.2)(等式约束)

(1.3)(不等式约束)

其中x 是n 维向量.

在实际应用中,可以将求最大值的目标函数取相反数后统一成公式中求最小值的形式.

我们总是讨论

题二：黄金分割法算法 给定a ,b (a 0,

step 1 令x 2=a +0.618(b -a ), f 2=f (x 2); step 2 令x 1=a +0.382(b -a ), f 1=f (x 1);

step 3 若|b – a |< e , 则 x *=(a +b )/2,Stop. step 4 若f 1

若f 1>f 2, 则a =x 2,x 1=x 2,f 1=f 2,转step 5; step 5 令x 2=a +0.618(b – a )，f 2=f (x 2),转step3.

例1.4.1 用黄金分割法求函数f(x)=x 2-x+2在区间[-1,3]上的极小值，要求区间长度不大于原始区间长的0.08。

用0.618法求解例1.4.1的数据表 迭代次数 [a ,b ] x 1 x 2

f 1

f 2

|b -a |

0 [-1,3] 0.528

1.472 1.751

2.695 否

1 [-1,1.472]

-0.056 0.528 2.059 1.751 否

2 [-0.056,1.472] 0.528 0.888 1.751 1.901 否

3 [-0.056,0.888] 0.305 0.528 1.788 1.751 否

4 [0.305,0.888] 0.528 0.66

5 1.751 1.777 否 5 [0.305,0.665] 0.443 0.528 1.753 1.751 否 6

[0.443,0.665]

0.528

0.580 1.751 1.757 是

最优解x *=(0.443+0.665)/2=0.554

题三：随机过程的一般概念 • 设(Ω,F,P )为概率空间，T 是参数集。若对任意t ∈T ，有随机变量X (t ,e )与之对应，则称随机变量族{X (t ,e )，t ∈T }是(Ω,F,P )上的随机过程，简记为{X (t )，t ∈T }或{X t ，t ∈T }。 • X (t )的所有可能的取值的集合称为状态空间或相空间，记为I 。 样本：对于固定的

)(,t x T t t ∈=称为一个事件（或样本）

。