线性代数期末考试试题及答案

A = ______
5．若 Bn×n = P−1An×n P ，B 的特征值是 1，2，3，则 A 的 特征值是 _______
⎜⎛1 0 0⎟⎞
⎜⎛1 0 0 ⎟⎞
6．设 A = ⎜0 0 1⎟ 与设 Λ = ⎜0 1 0 ⎟ 相似，则其中
⎜ ⎝
0
1
a
⎟ ⎠
⎜ ⎝
0
0
− 1⎟⎠
a = ______ ； 对 称 阵 A 的 二 次 型
可将 f 化为
标准形
f
= k1 y12
+
k
2
y
2 2
+
⋯
+
k
n
y
2 n
则 k1, k2 ,⋯, kn 全为 A 的
特征值( ) 二、 填空题（19 分）
1
（4
分）设
A
=
⎜⎜⎛ ⎝
x 7
0 y
⎟⎟⎞ ⎠
,
B
=
⎜⎜⎛ ⎝
u y
v2⎟⎟⎠⎞ ,
C
=
⎜⎜⎛ ⎝
3 x
−v4⎟⎟⎠⎞ 且 A
＋2B＝C，则 x=_____, y=______, u=_____, v=_______ 2 （6 分）若 A 为四阶方阵，且|A|＝3，A＊为 A 的伴随矩 阵，则 |－2A|＝＿＿，|A－1|＝＿＿， |A＊|＝＿＿
f = 5x12 + 5x22 + 3x32 − 2x1 x2 + 6x1 x3 − 6x2 x3 的特征值为
4，9，0，求一个正交变换，将此二次型化为标准形。 （要求写出正交变换矩阵及 f 的标准形）
⎛ −1⎞
⎛− 2⎞
⎛a⎞
⎛1⎞
六、 (12 分)设α1
⎜ =⎜
1
⎟ ⎟
，
α
2
⎜ =⎜
1
⎟ ⎟
，
α
0123
三、 （10 分）1、计算 3 0 1 2 2301
1230
⎡3 4 0 0 ⎤
2
、已知 A
=
⎢ ⎢
4
−3
0
0
⎥ ⎥
求 A−1 及
A8
⎢0 0 1 4 ⎥
⎢ ⎣
0
0
0 − 1⎥⎦
⎡2 2
四、
（10
分）设
A
=
⎢ ⎢
1
1
⎢⎣− 1 1
五、 （15 分）验证二次型
3⎤ 0⎥⎥ ，且 AB = A + B ，求 B 3⎥⎦
f (x1, x2, x3) = ________ ；它经过正交变换 X=PY 化为 标准型是 _______ ；二次型 _______ （是，不是）正 定的
三、设
向
量
组
α1T
=
(1,1,1,−1),α
T 2
=
(1,3,−1,1),α
T 3
=
(1,−1,
k
,1),α
T 4
= (1,1,1,3)
，对参数 k 的所有值求出向量组的秩及一个最大无关组 （12 分）
四、解：由 AB
=
A+
B 可得： B
=
(A −
E)−1 A
=
⎜ ⎜
2
⎟ − 4 −3⎟
⎜ ⎝
−
1
3
3
⎟ ⎠
⎜⎛ 5 −1 3 ⎟⎞ 五、解：该二次型的矩阵为： A = ⎜ −1 5 − 3⎟
⎜ ⎝
3
−3
3
⎟ ⎠
由特征方程
5−λ −1 3
C −1
=
⎜⎜⎛ ⎝
1 0
−41⎟⎟⎠⎞ ,
B = 25 、 C = −1
当 a = −4, b = −1时， β 可由α1 α 2 α3 线性表示，且表达式 不唯一。 当 a = −4, b = −1时，由 β = k1α1 + k2α 2 + k3α3 得通解为：
⎛ k1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎜
k2
⎟ ⎟
=
⎜ ⎜
−2k
−
1⎟⎟
,
k∈R
⎜⎝ k3 ⎟⎠ ⎜⎝ k ⎟⎠
故：一般表达式为： β = α1 + (2k −1)α 2 + kα3 七、证明：
1．设向量组α1,α2,α3 线性无关，且
β1 = 4α1 − 4α2 , β2 = α1 − 2α2 + α3, β3 = α2 − α3 ，
证明： β1, β2, β3 线性相关 2．若 A，B 均为 n 阶方矩，且 A 可逆，证明：BA 与 AB 相似
2000 级线性代数参考答案
一、 判断题
1．错。例如二阶方阵
3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 0 −3 −2 −1
=
=6
=6
2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 0 1 −2 −1
⎜⎛ 3 4 0 0 ⎟⎞
故：
A −1
=
⎛ ⎜⎜
B
−1
⎝
⎜ 25 25
C
−1
⎞ ⎟⎟⎠
=
⎜ ⎜ ⎜
4
25 0
3 −
25 0
0 1
⎟
0
⎟ ⎟
，
4⎟
⎜
⎟
⎝ 0 0 0 −1⎠
1、由于 AAT = E 、 BBT = E ，所以
( AB)(AB)T = ABBT AT = AAT = E
∴ AB 也是正交矩阵。
2、由于η1,η2 可由 ξ1,ξ 2 线性表示，并且
ξ1
=
η1
+η2 2
，ξ2
=
η1
−η2 2
∴ ξ1,ξ2 也可由η1,η2 线性表示
∴ 向量组ξ1,ξ2 与向量组η1,η2 等价
()
（7） 若 A2＝0，则 A＝0
()
（8） 若 ATA＝0，则 A＝0
()
2（8 分）若 A 是 m×n 矩阵，且 m≠n，则
（1） 当 A 的列向量组线性无关时，A 的行向量组也线性无
关( )
（2） 当 R(A)=n 时 ， 齐 次 线 性 方 程 组 AX ＝ 0 只 有 零 解
()
（3） 当 R(A)=n 时，非齐次线性方程组 AX＝b，有唯一解
1999 级 线 性代数 试题
一、 判断题：（共 24 分）
1 若 A，B 均为 n 阶方阵，则必有：
（1） AB＝BA
()
（2） |AB|＝|BA|
()
（3） |A+B|＝|A|＋|B|
()
（4） (AB)T = AT BT
()
（5） (A + B)2 = A2 + 2 AB + B2 ( )
（6） R（AB）＝R（BA）
-5-
⎜⎛ 1 四、已知 A⎜ 0
⎜ ⎝
1
1 1 0
1⎟⎞ 1⎟ 1⎟⎠
=
⎜⎜⎛ ⎝
1 4
2 5
3 6
⎟⎟⎞ ⎠
，求矩阵
A（10
分）
⎧ x1 + 3x2 + 2x3 = 1
五、a，b
取何值时，方程组
⎪ ⎨
x1
+
4x2
+
3x3
=
2
有唯一解，
⎪⎩2x1 + ax2 + 3x3 = b
无解，有无穷多个解；并在有无穷多个解时求其通解（14 分）
A 8 = ( B C )8 = 258
1230 1230 1230 0 1 2
11 1 1
0 1 − 2 −1
=6
= −96
00 4 0
0 0 0 −4
2、记
B
=
⎜⎜⎛ ⎝
3 4
−43⎟⎟⎠⎞
、
C
=
⎜⎜⎛ ⎝
1 0
−41⎟⎟⎠⎞
则：
B −1
=
1 25
⎜⎜⎛ ⎝
3 4
4 −3
⎟⎟⎞ ⎠
、
−1
⎛1 1 0⎞
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 3 − 3 −1⎥⎦ ⎢⎣0 0 − 4⎥⎦
基础解系 ξ1 = (1 1 0)T
⎛1⎞
单位化： p1
=
1 ξ1
ξ1
=
1
⎜⎟ ⎜1⎟
2
⎜ ⎝
0⎟⎠
当 λ2 = 9 ，解齐次方程 ( A − 9E)x = 0
⎡− 4 −1 3 ⎤ ⎡−1 − 4 − 3⎤
A
−
9
E
=
⎢ ⎢
−
1
−4
−
3⎥⎥
→
A − λE = −1 5 − λ − 3 = (4 − λ)λ(λ − 9) = 0 3 −3 3−λ
得特征值 λ1 = 4, λ2 = 9, λ3 = 0
-2-
当 λ1 = 4 ，解齐次方程 ( A − 4E)x = 0
⎡ 1 −1 3 ⎤ ⎡1 −1 3 ⎤
A − 4E = ⎢⎢−1 1 − 3⎥⎥ → ⎢⎢0 0
⎛0 0 1⎞
⎜ 1．设 A = ⎜0
2
⎟ 0⎟ ，则
A
=
_____ ； A−1
=
_____
⎜⎝3 0 0Hale Waihona Puke Baidu⎠
2． A ≠ 0 ，且 AB=C，则 B = ____ ；又若 C=O，则 B = ____
3．齐次线性方程组 Am×n X n×1 = 0 有非零解的充分必要 条件是 _______
4．若方阵 A 满足 AT A = E ，则称 A 为 _______ ；此时
⎡1 0 2⎤ 3 （3 分）方阵 A = ⎢⎢0 3 0⎥⎥ 的特征值为＿＿，＿＿，＿
⎢⎣2 0 4⎥⎦
＿
4 （4 分）已知四元非线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 3，
η1,η2 ,η3 是它的三个解向量，且
η1 = (1,2,3,4)T , η2 + η3 = (2,3,4,5)T ，则对应齐次方程组 AX＝0 的基础解系是＿＿＿＿ ，AX＝b 的通解是＿＿＿ 5 二 次 型 f = x12 + 2x22 + x32 + 2x1x2 − 2x1x3 − 2x2x3 所 对 应 的 矩阵是＿＿
0
2 −1⎥⎥
⎢⎣ 3 − 3 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦
基础解系 ξ3 = (−1 1 2)T
显然，该向量组两两正交，单位化得：
⎛ −1⎞
1
1⎜ ⎟
p3 = ξ3 ξ3 =
⎜1⎟
6
⎜ ⎝
2
⎟ ⎠
⎡1
⎢2
记
P
=
( p1,
p2 ,
p3
)
=
⎢ ⎢
1
2
⎢
⎢⎣ 0
1 3
−1 3
1 3
−1 ⎤
6⎥
1
6
⎥ ⎥
⎜⎛0 1 1⎟⎞ 六、设 A = ⎜1 0 1⎟ ，
⎜⎝ 1
1
0
⎟ ⎠
1.求正交阵 P,使得 P−1AP = Λ 为对角阵;
2. 设 f (x) = x3 + 2x2 + 3 , 利 用 A 与 Λ 相 似 , 求 出 矩 阵
f ( A) = A3 + 2 A2 + 3E ;
3. 求矩阵 f ( A) = A3 + 2A2 + 3E 的特征值 （共 16 分） 七、证明题（10 分）
般表达式 七、 （10 分）证明题
1 若 A，B 均为 n 阶正交矩阵，试证明 AB 也是正交矩 阵。
2 若 ξ1和 ξ2 是齐次线性方程组 AX=0 的基础解系，
η1 = ξ1 + ξ 2 ，η2 = ξ1 − ξ 2 ,试证明η1 , η2 也是 AX=0
的基础解系。 1999 级 线性代 数 参考 答案
⎢⎣ 4 5 10 b⎥⎦
⎢⎣0 1 2 b⎥⎦
⎡1 1 2 0 ⎤
⎯r⎯3+⎯r2→⎢⎢0 −1 a+2
1
⎥ ⎥
⎢⎣0 0 a+4 b+1⎥⎦
所以：当 a ≠ −4 时， β 可由α1 α 2 α3 线性表示，且表达 式唯一；
当 a = −4, b ≠ −1时， β 不可由α1 α 2 α3 线性表示；
3
⎜ =⎜
2
⎟ ⎟
，
β
⎜⎟ = ⎜0⎟
⎜ ⎝
4
⎟ ⎠
⎜ ⎝
5
⎟ ⎠
⎜⎝10
⎟ ⎠
⎜ ⎝
b ⎟⎠
试问当 a，b 满足什么条件时，
（1） β 可由 α1,α2 ,α3 线性表示，且表示式唯一；
（2） β 不可由 α1,α2 ,α3 线性表示
（3） β 可由 α1,α2 ,α3 线性表示，但表示式不唯一写出一
，
2
⎥ 6 ⎥⎦
于是正交变换为： X = PY
，且有
f
= 4 y12
+
9
y
2 2
.
⎡−1 − 2 a 1⎤
六、解： (α1
α2
α3
β
)
=
⎢ ⎢
1
1
2 0⎥⎥
⎢⎣ 4 5 10 b⎥⎦
-3-
⎡ 1 1 2 0⎤ r2+r1 ⎡1 1 2 0⎤
⎯⎯r2↔⎯r3→⎢⎢−1 − 2 a 1⎥⎥ ⎯⎯r3−⎯4r1→⎢⎢0 −1 a + 2 1⎥⎥
向量组 4．齐次线性方程组 AX = 0 若有两个不同的解，它就有
无穷多个解 5．方阵 A 可逆的充分必要条件是 A 的特征值不全为零
6．对称矩阵 A 正定的充分必要条件是 A > 0
7．若方阵 A 与 B 相似，则 Am 与 Bm 也相似，其中 m 为
正整数. 二、填空题（每小题 2 分，共 24 分）
∴ η1,η2 也是 AX = 0 的基础解系
2000 级线性代数试卷 一、判断题（每小题 2 分，共 14 分）
1．设方阵 A 满足 AA=A，则必有 A=O 或 A=E
-4-
2．设 A，B 是不可逆的同阶方阵，则 A = B
3．向量组 α1T
=
(2,6),α
T 2
=
(1,5),α
T 3
= (3,1) 是线性相关的
一、1、×√×××××√ 2、×√×√ 3、√√××
二、1、-5，-6，4，-2
2、48， 1 ，27 3
3、3，0，5
⎛0⎞
⎜⎟
4、η
=
⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝
1⎟
2 3
⎟ ⎟⎟ ⎠
，
kη
+ η1
-1-
⎜⎛ 1 1 −1⎟⎞ 5、 ⎜ 1 2 −1⎟
⎜ ⎝
−
1
−1
1
⎟ ⎠
三、解：1、
0123 6666 1111 1 1 1 1
A
=
⎛ ⎜ ⎝
1 0
0 0
⎞ ⎟ ⎠
，
A
≠
O
且
A
≠
E
，但
AA = A 2．正确。因为方阵可逆的充分必要条件是它的行列式不
等于零，那么不可逆的充分必要条件是其行列式等于
()
（4） 当 R(A)=m 时，非齐次线性方程组 AX＝b，有无穷多
解()
3（8 分）若 A 是实对称矩阵，则
（1） A 的特征值全为实数
()
（2） A 为 正 定 矩 阵 的 充 要 条 件 是 A 的 特 征 值 全 为 正
()
（3） 若|A|＞0，则 A 为正定的 ( )
（4） 在二次型 f＝XTAX 中，若经实满秩线性变换 X＝CY，
⎢ ⎢
0
1
1
⎥ ⎥
⎢⎣ 3 − 3 − 6⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦
基础解系 ξ2 = (1 −1 1)T
⎛1⎞
单位化： p2 =
1 ξ2
ξ2 =
1
⎜⎟ ⎜ −1⎟
3
⎜ ⎝
1
⎟ ⎠
当 λ3 = 0 ，解齐次方程 Ax = 0
⎡ 5 −1 3 ⎤ ⎡−1 5 − 3⎤
A = ⎢⎢−1
5
−
3⎥⎥
→
⎢ ⎢