考研数学：必考的定理证明整理
考研数学必须弄懂的证明有哪些
考研数学必须弄懂的证明有哪些考研数学必须弄懂6个证明一、数列极限的证明数列极限的证明是数一、二的重点，特别是数二最近几年考的非常频繁，已经考过好几次大的证明题，一般大题中涉及到数列极限的证明，用到的方法是单调有界准则。
二、微分中值定理的相关证明微分中值定理的证明题历来是考研的重难点，其考试特点是综合性强，涉及到知识面广，涉及到中值的等式主要是三类定理：1.零点定理和介质定理;2.微分中值定理;包括罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题，考查频率底，所以以前两个定理为主。
3.微分中值定理积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。
在考查的时候，一般会把三类定理两两结合起来进行考查，所以要总结到现在为止，所考查的题型。
三、方程根的问题包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。
四、不等式的证明五、定积分等式和不等式的证明主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法;积分学的方法：换元法和分布积分法。
六、积分与路径无关的五个等价条件这一部分是数一的考试重点，最近几年没设计到，所以要重点关注。
考研数学搞定线性代数的诀窍一、注重理解基本概念、基本性质从历年试题看，线性代数主要考查考生对基本概念、性质的深入理解以及分析解决问题的能力，需要考生能够做到灵活地运用所学的知识，熟记一些解题方法去解决线性代数问题。
所以大家在复习过程中要准确理解线性代数的基本概念，基本性质，为了深刻记忆，同学们可以结合一些例题和练习题来训练，只要概念和方法理解准确到位，多做些相关题目，考试时碰到类似题目就一定能够轻松正确解答。
基础知识的复习主要是在基础阶段进行，也就是今年暑期之前，要特别指出的是在基础阶段的复习中，不要轻视对教材中一般习题的练习，一定要配合各章节内容做一定数量的习题，总结一般题型的解题方法与思路。
在此过程中，不要过多地去追求复杂的题，要脚踏实地、全面仔细地复习，凡是考纲上有的内容，就不要遗漏。
上海市考研数学复习资料微积分重要定理证明
上海市考研数学复习资料微积分重要定理证明微积分是数学的一个重要分支，它研究函数的变化和计算与数学模型相关的问题。
在上海市考研数学复习中，微积分占据了重要的位置。
本文将介绍微积分中的一些重要定理的证明。
一、极限定理1.1 极限的定义对于一个函数f(x)，当x无限接近于某个实数a时，如果f(x)的值无限接近于L，那么我们称L为函数f(x)在x=a处的极限，记作lim(x->a)f(x)=L。
1.2 极限的唯一性定理假设函数f(x)在x=a处的极限存在且为L，如果还有另一个数M也是函数f(x)在x=a处的极限，那么L=M。
证明：假设lim(x->a)f(x)=L，同时lim(x->a)f(x)=M。
根据极限的定义，我们可以得出以下结论：对于任意给定的正数ε1，存在对应的正数δ1，使得当0＜|x-a|＜δ1时，有|f(x)-L|＜ε1。
对于任意给定的正数ε2，存在对应的正数δ2，使得当0＜|x-a|＜δ2时，有|f(x)-M|＜ε2。
选择ε=min(ε1,ε2)，对于这个选定的ε，存在对应的正数δ=min(δ1,δ2)，使得当0＜|x-a|＜δ时，有同时满足|f(x)-L|＜ε和|f(x)-M|＜ε。
根据三角不等式，我们可以得出：|L-M|≤|f(x)-L|+|f(x)-M|＜2ε。
由于2ε>0，而L和M的差是一个常数，根据数学的基本性质，我们可以确定L和M是相等的，即L=M。
二、导数定理2.1 导数的定义对于一个函数f(x)，如果它在某个点a的邻域内有定义，并且当x 无限接近于a时，函数的增量f(x)-f(a)与x-a之比的极限存在，那么这个极限称为函数f(x)在点a处的导数，记作f'(a)或df(x)/dx(a)。
2.2 导数的和差积规则假设函数u(x)和v(x)在点x处都可导，那么(u(x)+v(x))' = u'(x) +v'(x)。
证明：根据导数的定义，可以得到下面的等式：(u(x)+v(x))' = lim(Δx->0)[(u(x+Δx)+v(x+Δx)) - (u(x)+v(x))]/Δx。
考研数学必考的定理证明整理
考研数学必考的定理证明整理在考研数学中，有一些定理是非常重要且必考的，掌握了这些定理的证明方法，可以在考试中帮助我们更好地理解和解答数学问题。
下面整理了一些考研数学中必考的定理证明，希望对大家复习有所帮助。
1.逆序数定理：逆序数是指在一个排列中，如果一个数之前有比它大的数，则称这个数是逆序的。
逆序数定理指出，对于任意的排列，其逆序数的奇偶性与该排列的逆序数的个数是相同的。
即如果逆序数的个数是偶数，则排列的逆序数是偶数；如果逆序数的个数是奇数，则排列的逆序数是奇数。
证明思路：利用归纳法进行证明，首先证明初始情况成立，然后假设逆序数的定理对于所有小于n的情况成立，再证明对于n的情况也成立。
2.幂级数：幂级数在数学中是一个重要的概念，特别是在微积分和函数论中应用广泛。
幂级数的收敛半径和收敛域是幂级数的重要性质。
幂级数的收敛半径可以通过柯西-阿达玛公式求得，而收敛域的边界上收敛性需要通过级数的边界性分析得到。
证明思路：根据幂级数的定义，首先确定幂级数的通项项、幂级数求和函数的定义域和收敛半径。
然后通过柯西-阿达玛公式计算幂级数的收敛半径。
最后通过比较判断幂级数的收敛性。
3.极值定理：极值定理也是考研中的一个重要定理，它指出一个连续函数在闭区间上必有最大值和最小值。
极值定理有两个重要的推论，即费马定理和魏尔斯特拉斯定理。
费马定理指出，如果函数在一点处取得极值，则该点处的导数为0。
魏尔斯特拉斯定理指出，一个函数在闭区间上连续，则它在该区间上必有最大值和最小值。
证明思路：根据连续函数的定义和闭区间的定义，利用极值定理的条件和结论，通过反证法进行证明。
首先假设函数在闭区间上没有取得最大值或最小值，然后通过构造序列和利用辅助函数等方法逐步推导出矛盾，从而证明极值定理成立。
以上是一些考研数学中必考的定理证明，这些定理在数学理论和应用中都有着重要的地位，掌握了它们的证明方法可以提高我们对数学知识的理解和应用能力。
在备考过程中，除了熟悉定理的证明过程，还要注意练习相关的例题和应用题，加强对定理的理解和掌握，提高解题的能力。
考研数学数学分析重要定理总结
考研数学数学分析重要定理总结一、导数与微分导数和微分是数学分析中非常重要的概念，在求解函数的极限、切线方程、最值等方面具有广泛的应用。
以下是一些常见的导数和微分的重要定理：1. 函数可导与函数连续的关系：若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处连续。
2. 可导函数的四则运算法则：若f(x)和g(x)在点x=a处可导，则(1) (f+g)(a) = f(a) + g(a)(2) (f-g)(a) = f(a) - g(a)(3) (f·g)(a) = f(a)·g(a)(4) (f/g)(a) = [f(a)/g(a)] (g(a)≠0)3. 反函数的导数：若函数y=f(x)在区间I上连续、可导，并且在某点x=a处导数不为零，则它的反函数x=g(y)在区间f(I)上也是连续、可导的，并且在对应点y=f(a)处的导数为1/f'(a)。
4. 高阶导数公式：若函数y=f(x)的导数f'(x)存在，则可以继续求导，得到f''(x)、f'''(x)等高阶导数。
5. 麦克劳林级数与泰勒级数：若函数f(x)在点x=a处的各阶导数存在，则f(x)可以展开成麦克劳林级数或泰勒级数：f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2/2! f''(a)+...二、积分与定积分积分和定积分是数学分析中研究函数面积、曲线长度、物理量等的重要工具。
以下是一些常见的积分和定积分的重要定理：1. 积分的线性性质：设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积，则对于任意常数α、β，有(1) ∫[a,b] (αf(x)+βg(x))dx = α∫[a,b] f(x)dx + β∫[a,b] g(x)dx2. 牛顿-莱布尼兹公式：若函数F(x)是f(x)的一个原函数，则对于区间[a,b]上的积分，有∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)3. 积分换元法：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数g(t)在区间[α,β]上可导且g'(t)连续，并且f(g(t))·g'(t)连续，则有∫[a,b] f(g(t))g'(t)dt = ∫[α,β] f(x)dx4. 定积分的性质：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则定积分∫[a,b] f(x)dx存在，并且具有以下性质：(1) ∫[a,b] f(x)dx = -∫[b,a] f(x)dx(2) 若函数f(x)在区间[a,b]上非负，则∫[a,b] f(x)dx ≥ 0(3) 若函数f(x)在区间[a,b]上非负且不恒为零，则∫[a,b] f(x)dx > 0三、级数与收敛性级数是数学分析中研究无穷和的重要概念，对于理解数列、函数等的性质和应用具有重要意义。
考研高等数学有哪些重要定理证明
考研高等数学有哪些重要定理证明考研高等数学有哪些重要定理证明考生们在进行考研高等数学的复习阶段时，有很多重要定理证明需要去掌握。
店铺为大家精心准备了考研高等数学定理证明的复习指导，欢迎大家前来阅读。
考研高等数学重要的定理证明高数定理证明之微分中值定理:这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。
除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。
费马引理的条件有两个：1.f'(x0)存在2.f(x0)为f(x)的极值，结论为f'(x0)=0。
考虑函数在一点的导数，用什么方法?自然想到导数定义。
我们可以按照导数定义写出f'(x0)的极限形式。
往下如何推理?关键要看第二个条件怎么用。
“f(x0)为f(x)的极值”翻译成数学语言即f(x)-f(x0)<0(或>0)，对x0的某去心邻域成立。
结合导数定义式中函数部分表达式，不难想到考虑函数部分的正负号。
若能得出函数部分的符号，如何得到极限值的符号呢?极限的保号性是个桥梁。
费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。
那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。
若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。
该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。
条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导”和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得函数在该点的导数为0。
该定理的证明不好理解，需认真体会：条件怎么用?如何和结论建立联系?当然，我们现在讨论该定理的证明是“马后炮”式的：已经有了证明过程，我们看看怎么去理解掌握。
如果在罗尔生活的时代，证出该定理，那可是十足的创新，是要流芳百世的。
闲言少叙，言归正传。
既然我们讨论费马引理的作用是要引出罗尔定理，那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理。
我们对比这两个定理的结论，不难发现是一致的：都是函数在一点的导数为0。
话说到这，可能有同学要说：罗尔定理的证明并不难呀，由费马引理得结论不就行了。
考研数学复习-关于等式与不等式的基本证明
关于等式与不等式的基本证明一、考试内容（一）介值定理介值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，且()()f a f b ≠，对于(),()f a f b 之间的任一个数C ，),(b a ∈∃ξ，使()f C ξ=．（,a b ξ≠） 介值定理推论1（零点定理）：若)(x f 在],[b a 上连续，且()()0f a f b <， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠） 介值定理推论2（零点定理）：若)(x f 在(,)a b 内连续，且()()0f a f b +-<， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠） 介值定理推论3（零点定理）：若)(x f 在(,)-∞+∞内连续，且lim ()lim ()0x x f x f x →-∞→+∞<，则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ=．（,a b ξ≠）介值定理推论4：若)(x f 在],[b a 上连续， m in ()f x m =，m ax ()f x M =，且M m ≠， 对于,m M 之间的任一个数C ，则),(b a ∈∃ξ，使()f C ξ=．（ξ可能取到a 或b ） （二）代數基本定理：任何一個非零的一元n 次实系数多項式，都至多有n 個实数零点．（三）积分中值定理定积分中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，则(,)a b ξ∃∈，使()()()b af x dx f b a ξ=-⎰．定积分中值定理推论1：设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，且()g x 在],[b a 上不变号， 则(,)a b ξ∃∈，使⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ．对于定积分中值定理及其推论1，ξ可能取到a 或b ．（四）微分中值定理罗尔中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且()()f a f b =， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ'=．罗尔中值定理的推广形式1：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)(x f 有2n ≥个不同的零点，则'()f x 在),(b a 内至少存在1n -个不同的零点． 罗尔中值定理的推广形式2：若)(x f 在),(b a 内可导，且()()f a A f b +-==， 则),(b a ∈∃ξ，使()0f ξ'=．罗尔中值定理的推广形式3：若)(x f 在[,)a +∞内连续，在(,)a +∞内可导， 且lim ()()x f x f a →+∞=，则(,)a ξ∃∈+∞，使()0f ξ'=．罗尔中值定理的推广形式4：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且'()0f x ≠，则)(x f 在),(b a 内为单调函数．拉格朗日中值定理：若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导， 则),(b a ∈∃ξ，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-． （五）不等式定理凹凸性不等式定理：若()()0,f x ''<>则()()()()22f x f y x y f ++≤≥．积分不等式定理：若()()f x g x ≥，则()()b b aaf x dxg x dx ≥⎰⎰（a b <），但反之不然． 积分估值定理：若()f x 在[,]a b （a b <）上连续，则min max ()()()()()b af x b a f x dx f x b a -≤≤-⎰．积分绝对值不等式定理：()()b baaf x dx f x dx ≤⎰⎰（a b <）． 二、典型例题题型一 恒等式证明主要方法：求导法、换元法、反证法 例1、求证：（1）()0()()()(),f x a T T af x f x T f x dx f x dx +=+=⎰⎰可积（2）()0()()()()f x nT T f x f x T f x dxn f x dx=+=⎰⎰可积．提示：（1）令0()()(),a T T aF a f x dx f x dx +=-⎰⎰a R∈用求导法，这比用换元法方便（2）令0()()()nT T G n f x dx n f x dx=-⎰⎰，用求导法错误，因n Z ∈,用换元法方便111(1)0()()()()()n n n x kT u nT k T T T T kTk k k f x dx f x dxf kT u du f x dx n f x dx---=++=====+==∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰．例2、设)(x f 在],[b a 上连续，且0)(≥x f ，若0)(=⎰badx x f ，则在],[b a 上，0)(=x f ．证明：用反证法，假设0)(),,(00>∈x f b a x ，则),(),(00b a x x ⊂+-∃δδ)0(>δ0)(>x f ，则⎰⎰+-∈>=≥+-ba x x x x f dx x f dx x f ),(,0)(2)()(0000δδζξδδδ积分中值定理.这与0)(=⎰badx x f 矛盾，故原式得证．题型二 方程根的存在性与中值问题主要方法：介值定理、微积分中值定理、反证法 （1）)(x f 在],[b a 或),(b a 上连续，则()f x ⎧⎨⎩直接对使用介值定理利用原函数构造辅助函数，用中值定理解决例1、设)(x f 在],[b a 上连续，且0,,><<<q p b d c a ，求证：方程)()()()(d qf c pf x f q p +=+在),(d a 内至少有一根． 提示：取)()()()()(d qf c pf x f q p x F --+=在],[d c 上用零点Th ． 例2、设)(x f 在),(+∞-∞上连续，且0)(lim=∞→xx f x ，求证：),(+∞-∞∈∃ξ使0)(=+ξξf ．证明：设x x f x F +=)()(，则)(x F 在),(+∞-∞上连续，+∞=+=+∞→+∞→])(1[lim )(lim xx f x x F x x ，01>∃x ，使0)(1>x F同理，由,)(lim -∞=-∞→x f x ∴02<∃x ，使0)(2<x F故，)(x F 在],[21x x 上满足零点定理，因而，原题得证．例3、)(x f 在],[b a 上连续，0],,[>∈i i t b a x ),,2,1(n i =，且11=∑=ni i t ，求证：],[b a ∈∃ξ使∑==ni i ix f tf 1)()(ξ．（此为1{()}ni f x 的加权平均值）提示： ()m f x M ≤≤， 有∑∑∑====≤≤=ni ni ini i iiMMtx f tmtm 111)(．事实上，对于定积分中值定理的证明同上，111()b b b aaam m dx f x dx M dx Mb ab ab a=≤≤=---⎰⎰⎰则(,)a b ξ∃∈，使1()()b af f x dxb aξ=-⎰．（此为()f x 在],[b a 上的平均值）例4、设k a 是满足012)1(1=--∑=nk k kk a 的实数，求证：∑==-nk k x k a 10)12cos(在)2,0(π内至少有一实根．提示：令1'()cos(21)nk k F x a k x==-∑，构造∑=--=nk kk x k a x F 112)12sin()(在]2,0[π上用罗尔．例5、设)(x f y =为]1,0[上的任一连续函数，且⎰⎰=11)()(dx x xf dx x f求证：0)1)((=-x x f 在)1,0(内至少有一根． 提示：令'()()(1)F x f x x =-，构造⎰-=1)1)(()(xdt t t f x F 在]1,0[上用罗尔定理．例6、设)(x f y =为]0,1[-上的任一连续函数，记)(x f 在]0,1[-上的平均值为A ， 求证：)0,1(-∈∃ξ，使A f dt t f e =+⎰-])()([1ξξξ．提示：令1'()[()()]x x F x e f t dt f x A -=+-⎰，构造1()()xx F x e f t dt Ax -=-⎰，用罗尔定理．（2）)(x f 在],[b a 或),(b a 上可导，则⎩⎨⎧数，用中值定理解决利用原函数构造辅助函使用中值定理直接对)(x f 例1、设)(x f 在1[,2]2连续，在1(,2)2上可导，且 )2()(2121f dx x f =⎰ ，试证：)2,0(∈∃ξ ，使'()0f ξ=．提示：由积分中值定理知，1121(2)2()(),(,1)2f f x dx f ηη==∈⎰，用罗尔定理．例2、设)(),(x g x f 在],[b a 连续，在],[b a 上可导，且对于),(b a x ∈有0)(≠'x g 试证：),(b a ∈∃ξ，使)()()()()()(ξξξξg b g a f f g f --='' ．提示：令'()'()()()'()'()()()'()F x f x g x f x g x f x g b f a g x =+--，构造函数()()()()()()()F x f x g x f x g b f a g x =--在],[b a 上用罗尔Th ． 例3、设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上可导求证：),(b a ∈∃，使11[()()]()()nnn banf f A b a f a f b ξξξξ-'+==-．提示：（1）令1'()()()n n F x nx f x x f x -'=+，构造)()(x f x x F n =在],[b a 上使用Lagrange（2）令1'()()()n n F x nx f x x f x A -'=+-，构造()()nF x x f x Ax =-在],[b a 上使用罗尔．例5、设)(),(x g x f 于[]10,连续，()10,内可导，对),(b a x ∈恒有)()()()(x g x f x g x f '≠'， 求证：若)(),(x g x f 在),(b a 内有两个零点，则介于其之间，)(x g 至少有一个零点． 提示：用反证法，假设0)()(21==x f x f ，且0)(≠x g ，],[21x x x ∈ 构造)()()(x g x f x F =，则0)(='ξF ，与条件矛盾．例4、设)(x f 在[]b a ,上一阶可导， ()0f a =，'()0f a >， 证明：（1）存在),(b a ∈ξ，使0)(=ξf ；（2）存在),(b a ∈η，使'()()f f ηη=． 提示：（1）由保序性，()1,x a a δ∃∈+，使得()10f x >，由零点定理知（1）． （2）注意到（1）及题设条件，知函数()f x 在[],a b 上存在两个零点,a ξ， 于是()()x F x e f x -=在(),a b 上有两个零点，由Rolle 定理，易证（2）． 题型三 非积分不等式 主要方法(1) 构造函数)(x f ，确定其单调性，求出端点的函数值或极限值，作比较即可.(2) 利用函数的凹凸性.(3) 利用函数的极值和最值----构造函数，比较值为极值或最值. (4) 利用中值法证明不等式. 例1、设)1,0(∈x ，求证：(i) 22)1(ln )1(x x x <++； (ii) 211)1ln(112ln 1<-+<-x x ．提示：(i)令()ln(1)1x f x x x=+-+或22()(1)ln (1)g x x x x =++-(ii) 令11()ln(1)h x x x=-+，则22()'()0(1)ln (1)g x h x x x x =<++，有(1)()(0)h h x h +<<．例2、比较e e ππ与的大小．提示：x e >，比较x e e x 与的大小，取对数构造()ln f x x e x =-，易证e e ππ>． 例3、设)(),(x g x f 二阶可导，当0>x 时，)()(x g x f ''>''，且)0()0(g f =，)0()0(g f '='，求证：)()(0x g x f x >>时，． 提示：令)()()(x g x f x F -=，需两次求导．例4、当0,0>>y x 时，求证：2ln )(ln ln y x y x y y x x ++≥+．提示：令)2(2)()(0)(,ln )(y x f y f x f t f t t t f +≥+⇒>''=．例5、0,0,0>>>>αβy x ，求证：βββααα11)()(y x y x +>+．提示：其等价于11ln[1())]ln(1())yyxxαββα+>+，令1()ln(1)t f x a t =+，0>a ．若1a =，原命题成立，现证明()f t 在0,1t a >≠时单调递减22ln (1)ln(1)()'()(1)(1)t t tttta a a a g t f t t a t a -++==++，'()ln [ln ln(1)]t t t g t a a a a =-+1a >时，'()0g t <，则()(0)0gt g <<；01a <<时，'()0g t >，则()l i m ()0t gt gt →+∞<=．例6、设1,10>≤≤p x ，求证：1)1(211≤-+≤-ppp x x.提示：令p p x x t f )1()(-+=，求其在]1,0[的最值． 例7、设)(x f 在(1,1)-内有0)(<''x f ，且2sincos )(lim2=-→xx x f x ，求证：()1f x ≤．证明：易知,1)0(=f 2200()cos sin cos 1(0)lim lim 0sin x x f x x x f x x x→→--'=⋅+= 令 1)()(-=x f x F ，求其最大值，因0)()(,0)0(,0)0(<''=''='=x f x F F F ，则易证．例8、若x y <<0及1>p ，求证：)()(11y x px y x y x py p p p p -<-<---． 提示：令()p f t t =，在],[y x 上对)(t f 应用拉氏定理．例9、在],0[a 上，()f x M ''≤，且)(x f 在),0(a 内取最大值，求证：Ma a f f ≤'+')()0(．证明：设,0)],([max )(0a c x f c f ax <<=≤≤则0)(='c f在],[],,0[a c c 对)(x f '分别应用拉氏定理，则易证． 题型四 积分不等式 主要方法（1）应用定积分的不等式性质(如比较定理，估值定理及函数绝对值积分不等式 （2）函数的单调性（构造辅助函数） 积分中值定理（3）微分中值定理（被积函数具有可导条件） 常伴于其中 例1、设0>p ，求证：1111<+<+⎰pxdx p p .提示：1111<+<-pp xx ，用积分不等式性质.例2、求证：22sin 0x dx π>⎰.提示：22222sin sin sin sin sin 2sin ()()x tt t t t t x dx dt dt dt dt ttttt πππππππ===+=-+⎰⎰⎰⎰⎰.例3、已知)(x f 满足：对212121)()(],,[,x x x f x f b a x x -≤-∈∀ 求证：2)(21)()()(a b a f a b dx x f ba-≤--⎰.证明：左[()()]b af x f a dx =-⎰2)(21)()()(a b dx a x dx a f x f baba-=-≤-≤⎰⎰.例4、设'()f x 在[0,2]π上连续且大于零，求证：202()sin [(2)(0)]f x nxdx f f nππ≤-⎰.提示：22011()sin [(2)(0)]'()cos f x nxdx f f f x nxdxnnπππ=--+⎰⎰分部积分，则220112()sin [(2)(0)]'()cos [(2)(0)]f x nxdx f f f x nx dx f f nnnππππ≤-+≤-⎰⎰.例5、设)(x f 在],[b a 上连续且严格单增，求证：⎰⎰<+babadx x xf dx x f b a )(2)()(.证明：令],[,)(2)()()(b a x dt t tf dt t f x a x F xax a∈-+=⎰⎰则0)]()([)()()()(<-=+-='⎰⎰xaxadt x f t f dt t f x f x a x F∴ ba >，总有0)()(=<a Fb F ，原不等式成立.例6、设(),()f x g x 在]1,0[上有连续的导数，且(0)0,f ='()0,'()0f x g x ≥≥ 求证：对[0,1]a ∈，1'()()()'()()(1)af xg x dx f x g x dx f a g +≥⎰⎰.提示：令1()'()()()'()()(1)aF a f x g x dx f x g x dx f a g =+-⎰⎰'()'()()'()(1)0F a f a g a f a g =-≤，于是，()F a 在[0,1]a ∈时单调递减则()(1)0F a F ≥=，得证．例7、设'()f x 在]1,0[上连续， 01(0)(1)0,max '()x f f M f x ≤≤===，求证：10()4M f x dx ≤⎰.证明：⎰⎰⎰-+-≤121211)1()()0()()(dxf x f dx f x f dx x f⎰⎰-'+'=1212211)1()()(dx x f xdx f ξξMdx x xdx M 41])1([121210=-+≤⎰⎰.三、课后练习1、证明：当1<x ，总有4arctan 11arctan π=--+x xx ．2、求证：⎰⎰⎰++=+101)(ln )()1(ln)(ln dt t f dt t f t f dt t x f x．3、()f x 是周期为2的连续函数， （1）证明对任意实数都有()()22t tf x dx f x dx +=⎰⎰（2）证明()()()202x t tg x f t f s ds dt+⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰是周期为2的周期函数．4、设)(x f 在],[b a 上连续，且()()f a f b =， 求证：方程()()2b a f x f x -=+在(,)a b 内至少有一根．5、设)(x f 在R 上连续，且(())f f x x =，则存在一点R ξ∈，使()f ξξ=．6、设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，且0)(>x g ， 求证：),(b a ∈∃ξ，使⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ．7、)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且⎰=-bab f dx x f ab )()(1求证：在),(b a 至少存在一点ξ，使0)(='ξf ．8、)(x f 于],[b a 连续，),(b a 可导，求证：),(b a ∈∃ξ，使)()()()(ξξξf f ab a af b bf '+=--．9、)(x f 在]1,0[上可微，且⎰=21)(2)1(dx x xf f ：试证：)1,0(∈∃ξ，使0)()(='+ξξξf f ．10、设)(x f 在[]2,1上连续，在)2,1(上可微，且21)1(=f ，2)2(=f ，则存在一点()2,1∈ξ使0)()(2='-ξξξf f ．11、设)(x f 在[]1,0上可微，⎰-=k x dx x f xe k f 11)()1(，)1(>k ，证明存在一点()1,0∈ξ，使得)(11)(ξξξf f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=' 12、函数)(x f 可导，则)(x f 的两个零点之间必有函数)()(/x f x f -的一个零点． 13、设)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 上可微，且0)()(==b f a f ，则存在一点()b a ,∈ξ使0)()(2='+ξξλξf f ． 14、设函数)(x f 在],0[+∞上可导，2)0(π=f ，且xx f 1arctan)(0≤≤，证明存在),0(+∞∈ξ，使1)()1(/2-=+ξξf ．15、设)(x f 在),(b a 上具有二阶导数，且0)()(,0)()(>''==b f a f b f a f 证明：(,)a b η∃∈，使0)(=''ηf ．16、设)(x f 于]1,0[连续，)1,0(可导，且1)1()0(==f f ，1)21(=f ，求证：（i ）)1,21(∈∃η，使ηη=)(f ，（ii ）对任意实数λ，),0(ηξ∈∃，使1])([)(=--'ξξλξf f ． 17、当0>x 时，求证：1ln(1)1xe x x->++.18、当0x >时，求证：1arctan 2x x π+>.19、当π<<x 0时，求证：πxx >2sin .20、当0>x 时，证明：2111)1(x xex ++<+.21、当 0a b <<时，求证:2()lnb b a ab a->+ .22、当0>x 时，试证：22)1(ln )1(-≥-x x x . 23、已知q p ,是大于1的常数，且111=+qp 求证：对0>∀x ，有x qxp p≥+11.24、求证：1212-+≥n n n ),1(为自然数n n ≥.25、对于1,1≥>n a ，求证：21111211ln )1(na aa a n a n n n n <-<+++.26、设b a <<0，求证：abab a b ba a 1ln ln 222<--<+.27、证明:当0,sin 2cos sin 2cos a b b b b b a a a a πππ<<<++>++时.28、设)(x f 处处可导，则（D ）A -∞='-∞=-∞→+∞→)(lim ,)(limx f x f x x 则 B -∞=-∞='-∞→-∞→)(lim ,)(lim x f x f x x 则C +∞='+∞=+∞→+∞→)(lim ,)(lim x f x f x x 则 D +∞=+∞='+∞→+∞→)(lim ,)(lim x f x f x x 则29、设在]1,0[上，0)(>''x f 则)0()1(),1(),0(f f f f -''或)1()0(f f -的大小顺序是 )0()0()1()1(f f f f '>->'.30、设)(),(x g x f 正值且可导， 0)()()()(<'-'x g x f x g x f ，则当b x a <<时，有（A ）A )()()()(x g b f b g x f >B )()()()(x g a f a g x f >C )()()()(b g b f x g x f >D )()()()(a g a f x g x f > 31、设1)(lim=→xx f x ，且0)(>''x f ，求证：x x f ≥)(.32、求证：14401ln(12)11dx x+<<+⎰.33、设)(x f 在]1,0[上连续且递减，求证：当10<<λ时，⎰⎰≥1)()(dx x f dx x f λλ..34、设40tan nn I xdxπ=⎰，2n ≥，求证：112(1)2(1)n I n n <<+-.35、设)(x f 在]1,0[上可积，且当01x y ≤<≤时，()()arctan arctan f x f y x y -≤-，又(0)1f =，求证：101()ln 22f x dx ≤⎰.36、设)(x f '在],0[a 上连续，且0)0(=f ，求证：20()max ()2a x aaf x dx f x ≤≤'≤⎰.。
考研数学公式及定理整理
考研数学公式及定理整理数学，作为一门严谨而又广泛应用的学科，不可避免地涉及到大量的公式和定理。
对于考研数学而言，掌握相关公式和定理的整理是非常重要的，不仅可以帮助考生快速复习和解题，还能提高解题的效率和准确性。
本文将对考研数学常见的公式和定理进行整理和总结，希望对考生复习备考有所帮助。
1. 高等数学(1) 微积分微积分是数学的基础和核心，包括导数和积分。
重点公式如下：- 导数相关公式：求导法则、基本初等函数求导、复合函数求导、隐函数求导等。
- 积分相关公式：不定积分法则、定积分的基本性质、换元积分法、分部积分法等。
(2) 无穷级数无穷级数是微积分中的重要内容，常见的公式和定理有：- 常数项级数求和公式：算术级数、几何级数。
- 幂级数展开：泰勒级数展开、麦克劳林级数展开。
- 收敛性与发散性判断：比较判别法、根值判别法、狄利克雷判别法等。
(3) 偏微分方程偏微分方程是高等数学中的一个重要分支，常见的公式和定理包括：- 一阶偏导数方程：线性一阶偏微分方程、齐次线性一阶偏微分方程、非齐次线性一阶偏微分方程等。
- 二阶偏导数方程：线性二阶偏微分方程的分类、常系数线性二阶偏微分方程等。
2. 线性代数线性代数是数学中的一个重要分支，涉及到矩阵和线性方程组的理论和应用，常见的公式和定理有：- 行列式相关公式：二阶和三阶行列式、行列式的性质与计算、克拉默法则等。
- 矩阵相关公式：矩阵的性质与运算、线性方程组的解法、特征值和特征向量等。
3. 概率论与数理统计概率论与数理统计是数学中与实际问题联系最紧密的分支，常见的公式和定理包括：- 概率相关公式：概率基本公式、条件概率与贝叶斯公式、全概率公式、期望和方差等。
- 统计学相关公式：抽样分布定理、参数估计与假设检验、相关系数与回归分析等。
以上只是对考研数学常用公式和定理的简要整理，希望可以为考生提供一些复习的参考和方向。
在备考过程中，考生还需结合习题训练和理解概念来进一步掌握数学知识。
上海市考研数学复习资料数学分析重点定理证明
上海市考研数学复习资料数学分析重点定理证明上海市考研数学复习资料数学分析重点定理的证明一、极限与连续极限和连续是数学分析中非常重要的概念，它们是数学分析基础理论的支撑。
下面将介绍一些数学分析中的重点定理，并给出证明。
1. 极限的重要定理之泰勒展开定理泰勒展开定理是数学分析中的一项重要定理，它对于研究函数的性质和计算函数的值都有很大的帮助。
下面给出定理的证明：定理：设函数f(x)在点x=a处n阶可导，那么函数f(x)在x=a处的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中Rn(x)是拉格朗日余项，满足| Rn(x) | <= M |x-a|^(n+1)/(n+1)!，其中M为常数。
证明：我们可以利用泰勒公式对函数f(x)在点x=a处进行展开。
首先，我们对函数f(x)在点x=a处进行n阶的泰勒展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)其中Rn(x)为拉格朗日余项。
由于函数f(x)在点x=a处n阶可导，因此可以得到f(a)、f'(a)、f''(a)、...、f^n(a)的具体值。
我们将Rn(x)的具体表达式进行展开，并根据泰勒公式的表达式得到其表示形式。
经过简化后，我们可以得到：| Rn(x) | <= M |x-a|^(n+1)/(n+1)!其中M为常数。
因此，函数f(x)在点x=a处的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)定理得证。
2. 连续函数的重要定理之介值定理介值定理是连续函数的一个重要性质，它可以帮助我们研究函数在某个区间上的性质。
考研数学中的常见定理整理
考研数学中的常见定理整理数学作为一门精密的科学，广泛应用于各个领域。
在考研数学中，常见的定理扮演着至关重要的角色，因为它们是建立数学体系的基石。
本文将整理一些考研数学中常见的定理，帮助考生更好地掌握和应用这些定理。
1. 极限相关定理1.1 Cauchy极限定理若对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n > N时，满足|an - a| < ε，其中an为数列，a为实数常数，则称a为该数列的极限。
1.2 Heine定理若函数f(x)在点x0的某个领域内有定义，且对于任何一个收敛到x0的数列{x_n}，都有f(x_n)收敛到A，则称A为f(x)在x0处的极限。
2. 微分与积分相关定理2.1 导数定义定理若函数f(x)在点x0处有定义，则函数f(x)在x0处可导的充要条件是极限：lim (h→0) [f(x0 + h) - f(x0)] / h存在。
2.2 四则运算法则若函数f(x)和g(x)在点x0处可导，则下列定理成立：(a) (f(x) ± g(x))’ = f’(x) ± g’(x)(b) (c f(x))’ = cf’(x)，其中c为常数。
2.3 积分定义定理若函数f(x)在区间[a, b]上有定义，且在[a, b]上可积分，则函数F(x) = ∫[a, x] f(t) dt在[a, b]上连续，并且在[a, b]上满足F’(x) = f(x)。
3. 矩阵和行列式相关定理3.1 矩阵的转置和逆矩阵定理(a) (A^T)^T = A(b) (AB)^T = B^T A^T(c) (A^T)^-1 = (A^-1)^T(d) (AB)^-1 = B^-1 A^-13.2 行列式的性质定理(a) 互换行列式的两行，行列式的值不变。
(b) 以某一行的元素乘以一个数k，再加到另一行对应元素上，行列式的值不变。
(c) 有两行完全相同或成比例，则行列式的值为0。
(d) 行列式的转置等于行列式本身。
天津市考研数学复习资料高等数学重要定理整理
天津市考研数学复习资料高等数学重要定理整理在天津市考研数学复习中，高等数学是一门重要的学科，涵盖了各种重要定理。
为了帮助考生更好地复习，本文将对高等数学的一些重要定理进行整理和梳理。
1. 极限定理(1) 函数极限的四则运算性质：两个函数极限之和的极限等于两个函数各自的极限之和，两个函数极限的差的极限等于两个函数各自的极限之差，两个函数极限的积的极限等于两个函数各自的极限之积，两个函数极限的商的极限等于两个函数各自的极限之商（前提是除数不为零）。
(2) 夹逼定理：如果一个函数被两个有限的函数夹住，而这两个函数的极限值相等，那么被夹住的函数也存在极限，并且极限等于这两个函数的极限值。
(3) 单调有界准则：单调递增有上界的数列必定存在极限，单调递减有下界的数列必定存在极限。
(4) 柯西收敛原理：一个数列收敛的充要条件是它是柯西数列。
2. 导数和微分(1) 极限定义：导数的极限定义是函数在某点的切线斜率的极限。
(2) 导函数的四则运算：导函数具有四则运算的性质。
(3) 高阶导数：对于一个可导函数，可以计算其高阶导数。
(4) 微分的定义：微分是函数在某点的变化量与自变量的增量之比。
3. 积分(1) 定积分的定义：定积分是函数曲线与x轴之间的面积。
(2) 定积分的性质：定积分具有线性性质、积分中值定理、换元积分法等性质。
(3) 牛顿-莱布尼茨公式：定积分与不定积分之间有牛顿-莱布尼茨公式的关系。
4. 级数(1) 等比数列求和：等比数列求和公式是一个重要的级数求和公式。
(2) 收敛级数：收敛级数的定义是其部分和数列存在极限。
(3) 收敛级数的性质：收敛级数具有线性性质和比较判别法等性质。
(4) 幂级数：幂级数是一个重要的级数形式，可以展开为函数。
5. 偏导数和多元函数的极值(1) 偏导数的定义：多元函数对于某一个自变量求导时，将其他自变量视为常数进行求导。
(2) 偏导数的计算：可以利用偏导数的定义和求导法则计算偏导数。
上海市考研数学复习数学分析重要定理总结
上海市考研数学复习数学分析重要定理总结数学分析是考研数学科目中的重中之重，对于考生而言，熟练掌握数学分析中的重要定理是取得优异成绩的关键。
在上海市考研数学复习过程中，我们需要重点关注并深入理解数学分析的重要定理，下面将对几个重要的定理进行总结，并给出相应的证明和应用。
一、连续函数的基本性质1. 连续函数的局部性：若函数f(x)在点x0处连续，则在x0的某个邻域内f(x)也连续。
证明：设f(x)在点x0处连续，即对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-f(x0)|<ε。
假设x1在x0的邻域内，即|x1-x0|<δ，则有|f(x1)-f(x0)|<ε，所以在x0的某个邻域内，f(x)也连续。
应用：利用连续函数的局部性可以判断函数在某个点的连续性，从而求解极限问题。
2. 闭区间上连续函数的最值定理：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则存在x∈[a, b]，使得f(x)在[a, b]上达到最大值和最小值。
证明：考虑函数g(x)=f(x)-f(a)，其中a∈[a, b]。
由于g(x)在[a, b]上连续，且g(x)在区间两端点处的值符号相反，根据零点定理可知，存在x∈[a, b]，使得g(x)=0，即f(x)=f(a)，即在闭区间上，f(x)达到最大值和最小值。
应用：闭区间上连续函数的最值定理常用于优化问题的求解。
二、一致收敛和级数1. 收敛级数的一个重要性质：若级数∑an在点x处一致收敛，则在点x处可逐项求极限。
证明：设级数∑an在点x处一致收敛，对于给定的ε>0，存在N，使得当n>N时，对于任意x，|Sn(x)-S(x)|<ε。
由级数∑an的收敛性，知该级数存在和函数S(x)，即对于任意x，存在Sn(x)收敛于S(x)。
由一致收敛性可知，当n>N时，|Sn(x)-S(x)|<ε，即Sn(x)在点x处可逐项求极限。
考研数学定理公式汇总
考研数学定理公式汇总考研数学是考生们备考中必不可少的一科，其中要掌握的定理和公式也是非常重要的内容。
下面将为大家总结一些考研数学中常见的定理和公式，帮助大家更好地备考。
1.极限与连续部分：（1）极限的四则运算：-两个函数的和、差的极限等于函数分别取极限再求和、差；-两个函数的积的极限等于函数分别取极限再求积；-两个函数的商的极限等于函数分别取极限再求商，其中除数不能为0；-常数与函数的极限等于常数与函数分别取极限再求和。
（2）函数的连续性：-如果函数在特定点连续，那么在该点的左右极限存在；-如果函数在特定点的左右极限都存在且相等，那么函数在该点连续；-复合函数的连续性：如果两个函数都在特定点连续，那么它们的复合函数在该点也连续。
2.导数与微分部分：（1）导数的四则运算：-两个函数的和、差的导数等于函数分别求导再求和、差；-两个函数的积的导数等于函数分别求导再求积再求和、差；-两个函数的商的导数等于函数分别求导再求商再求和、差，其中除数不能为0；-常数与函数的导数等于常数与函数求导再求和。
（2）常用的导数公式：-幂函数的导数公式：(x^n)'=n*x^(n-1)，其中n为常数；-指数函数的导数公式：(e^x)'=e^x；- 对数函数的导数公式：(ln x)' = 1/x；- 三角函数的导数公式：(sin x)' = cos x，(cos x)' = -sin x，(tan x)' = sec^2 x，(cot x)' = -csc^2 x。
3.积分部分：（1）常用的积分公式：- 幂函数的积分公式：∫x^n dx = 1/(n+1)*x^(n+1)，其中n不等于-1；- 指数函数的积分公式：∫e^x dx = e^x；- 对数函数的积分公式：∫1/x dx = ln，x；- 三角函数的积分公式：∫sin x dx = -cos x，∫cos x dx = sin x，∫sec^2 x dx = tan x，∫csc^2 x dx = -cot x。
考研数学中的常见定理与公式总结
考研数学中的常见定理与公式总结数学在考研中占据着重要的地位，它是考生们必须要掌握的一门科目。
在数学的学习过程中，各种定理与公式是考生们必不可少的基础知识。
下面将对考研数学中的常见定理与公式进行总结与归纳，帮助考生们更好地备考。
1. 极限定理极限定理是解决极限问题时的重要工具，也是基本的数学定理之一。
主要包括以下几个常见的定理：1.1 保号性定理若函数f(x)在点x=a的某个邻域内，对于任意一个正数ε，都存在正数δ，使得当0 < |x-a| < δ时，有 |f(x)-f(a)| < ε 。
则称函数f(x)在点x=a处具有保号性。
1.2 夹逼准则设函数f(x)，g(x)，h(x)满足当x在某一去心邻域内时，有f(x)≤g(x)≤h(x)，且limₓₐ f(x)=limₓₐ h(x)=L，则必有limₓₐ g(x)=L。
1.3 极限的四则运算法则设函数f(x)和g(x)在点x=a的某个去心邻域内有极限limₓₐ f(x)=A，limₓₐ g(x)=B，则有以下运算法则：(1) limₓₐ [f(x)+g(x)]=A+B(2) limₓₐ [f(x)-g(x)]=A-B(3) limₓₐ [f(x)g(x)]=AB(4) limₓₐ [f(x)/g(x)]=A/B (B≠0)2. 线性代数的基本定理与公式线性代数在考研数学中也有重要地位，以下是一些常用的定理与公式：2.1 行列式的性质(1) 行列互换，行列式变号(2) 若行列有两行（两列）相等，则行列式为0(3) 行列交换，行列式变号(4) 列行式换位，行列式不变(5) 行与行的倍数的和的行列式，等于各行分别乘以这个数的行列式之和2.2 矩阵的运算(1) 矩阵的加法和减法：若A=(a_ij)，B=(b_ij)为m×n矩阵，则有A±B=(a_ij±b_ij)(2) 矩阵的数乘：若A为m×n矩阵，k为常数，则有 kA=(ka_ij)(3) 矩阵的乘法：若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则有AB=(c_ij)，其中c_ij=a_i1*b_1j+...+a_in*b_nj3. 微积分中的重要定理与公式微积分是考研数学中的核心内容，在微积分中有很多重要的定理与公式需要掌握，以下仅列举部分：3.1 导数的基本公式(1) (cf(x))'=cf'(x) （常数c为常数函数）(2) (f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)(3) (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(4) (f(x)/g(x))'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g(x)²（g(x)≠0）(5) (g(f(x)))'=g'(f(x))*f'(x)3.2 不定积分的基本公式(1) ∫kdx=kx+C (k为常数)(2) ∫xn dx=(1/(n+1))x^(n+1)+C (n≠-1)(3) ∫sinxdx=-cosx+C(4) ∫cosxdx=sinx+C(5) ∫1/x dx=ln|x|+C (x≠0)综上所述，以上仅是考研数学中常见定理与公式的部分总结。
考研数学高数定理证明的知识点
考研数学高数定理证明的知识点数学高等数学（高数）是考研数学中的一个重要部分，其中涉及了许多重要的定理及其证明。
以下是一些常见的高数定理及其证明的知识点：1.邻域性原理：如果一个函数在一些点的一些邻域内恒大于（或小于）另一个函数，而两个函数在该点处相等，则这两个函数在该邻域内恒大于（或小于）。
证明：假设函数f(x)和g(x)在点x0处连续且f(x)>g(x)，且f(x0)=g(x0)。
因为f(x)和g(x)在x0处连续，所以存在一个邻域N(x0)使得f(x)>g(x)在该邻域内成立。
因此，f(x)>g(x)在N(x0)内恒成立。
2.极限的一致性：如果两个函数在一个有限闭区间内的一致性极限或一致性趋于无穷大的极限都存在，则它们的差的（绝对值的）极限是0。
证明：假设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]内一致趋于函数h(x)和0，即对任意的ε>0，存在N，当n>N时，有，f(x)-h(x)，<ε以及，g(x)-0，<ε成立。
由于，h(x)，≤，f(x)-h(x)，+，g(x)-0，所以当n>N时，有，h(x)，≤2ε成立。
因此，极限，h(x)，=0。
3.导数的基本性质：导数具有线性性、乘积法则、商法则和链式法则等基本性质。
证明：以线性性为例，假设函数f(x)和g(x)在点x0处可导。
根据导数的定义，有lim_(x→x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)=lim_(x→x0) (g(x)-g(x0))/(x-x0)=f'(x0)和g'(x0)。
我们可以得到lim_(x→x0) (f(x)+g(x)-[f(x0)+g(x0)])/(x-x0)=lim_(x→x0)[(f(x)-f(x0))/(x-x0)+(g(x)-g(x0))/(x-x0)]=f'(x0)+g'(x0)。
因此，函数f(x)+g(x)在点x0处可导，且(f+g)'(x0)=f'(x0)+g'(x0)。
2024年考研数学高等数学部分重要基本定理证明
数学高等数学部分重要基本定理证明（数学一）本文将对2024年考研数学高等数学部分的几个重要基本定理进行证明，包括连续函数的一致连续性、可导函数的连续性、可导函数的增量有界性以及闭区间上函数的连续性。
首先，我们来证明连续函数的一致连续性。
定义函数f(x)在区间[a,b]上连续，则对于任意ε>0，存在对应的δ>0，当，x1-x2，<δ时，有，f(x1)-f(x2)，<ε成立。
要证明函数的一致连续性，即要证明对于任意ε>0，不论取如何小的δ，总存在对应的x1和x2，使得，f(x1)-f(x2)，≥ε成立。
反证法：假设对于一些ε>0，不论取多小的δ，总存在对应的x1和x2，使得，f(x1)-f(x2)，≥ε成立。
则对于这个ε>0，无论如何选择δ，总可以找到这样的x1和x2，使得，f(x1)-f(x2)，≥ε成立。
由连续函数的定义可知，当，x1-x2，足够小时，有，f(x1)-f(x2)，<ε成立。
这与我们的假设矛盾。
综上所述，连续函数的一致连续性成立。
接下来证明可导函数的连续性。
定义函数f(x)在区间[a,b]上可导，则对于任意x∈(a,b)，f(x)在x处连续。
要证明函数的连续性，即对于任意ε>0，存在对应的δ>0，当，x-x0，<δ时，有，f(x)-f(x0)，<ε成立。
根据可导函数的定义可知，当x足够接近x0时，有，f(x)-f(x0)，<ε'成立，其中ε'是一个任意小的正实数。
取ε'=ε/2，则对于ε>0，存在对应的δ>0，当，x-x0，<δ时，有，f(x)-f(x0)，<ε'=ε/2成立。
又由于f(x0)-f(x0)=0<ε/2成立，所以有，f(x)-f(x0)，≤，f(x)-f(x0)，+，f(x0)-f(x0)，<ε/2+ε/2=ε成立。
综上所述，可导函数的连续性成立。
考研数学定理公式
考研数学定理公式
考研数学中有很多重要的定理和公式，以下是一些主要的：
1. 极限定理：包括数列极限的定理和函数极限的定理。
数列极限的定理包括收敛数列的性质，如唯一性、有界性、保序性等；函数极限的定理包括函数极限的唯一性、四则运算、复合函数极限等。
2. 导数与微分定理：导数的定义、导数的几何意义、可微的条件、高阶导数的定义、高阶导数的求法、泰勒公式等。
3. 积分定理：包括定积分的定义与性质、不定积分的定义与性质、微积分基本定理、分部积分法、换元积分法等。
4. 多元函数微分学定理：包括多元函数的极限与连续性、多元函数的偏导数与全微分、多元函数的极值等。
5. 级数定理：包括正项级数的收敛性定理、交错级数的莱布尼茨准则、幂级数的收敛半径与收敛域等。
6. 方程与不等式定理：包括一元一次方程的解法、一元二次方程的解法、一元高次方程的解法、二元一次方程组的解法等。
7. 概率论与数理统计定理：包括随机事件的概率、随机变量的期望与方差、大数定律与中心极限定理等。
8. 线性代数定理：包括行列式的性质与计算方法、矩阵的运算与逆矩阵的求法、向量组的线性相关性、线性方程组的解法等。
9. 空间解析几何定理：包括向量的数量积与向量积的运算、向量的混合积的运算等。
这些定理和公式是考研数学中的重要知识点，需要熟练掌握并能够灵活运用。
考研数学重要定理性质及公式证明总结
考研数学重要定理、性质及公式证明总结1. 证明一元函数可微、可导及连续的关系 :（1） 函数y = f ( x )在点x 0处可微的充分必要条件是函数y = f ( x )在点x 0处可导,且当函数y = f (x )在点x 0处可微时,有dy = f '( x 0 ) ∆x = f '( x 0 ) d x ； （2） 如果函数y = f ( x )在点x 0处可导,则函数函数y = f ( x )在点x 0处必连续,反之不一定.证明:（1）参看同济教材七版上册111页； （2）参看同济教材七版上册82页.2. 证明费马定理 :设函数f ( x )在x = x 0处可导且取极值,则f '( x 0 ) =0. 证明:参看同济教材七版上册125页.3. 证明罗尔定理 :设f ( x )在[a , b ]上连续,在(a , b )内可导,且f (a ) = 证明:参看同济教材七版上册126页.4. 证明柯西中值定理 :f (b ),则至少存在一点ξ ∈(a ,b ), 使得f '(ξ ) =0. 设f ( x )、g ( x )在[a , b ]上连续, (a , b )内可导, 且g '( x ) ≠ 0,则∃ξ ∈(a , b ),使得f (b ) - f (a ) = f '(ξ ).证明:参看同济教材七版上册130页.5. 证明洛必达法则:设f ( x ), g ( x )在点x 0的某去心邻域内可导,且g '( x ) ≠ 0, 又满足:f '( x )f ( x )g (b ) - g (a )f '( x )g '(ξ )（1）lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0（, 2）极限lim 存在或为∞;则lim = lim .x →x 0 x → x 0 x →x 0 g '( x ) x →x 0 g ( x ) x → x 0 g '( x ) 证明:参看同济教材七版上册133页.6. 证明函数单调性的充分判别法 :设f ( x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导,且f '( x ) > 0 (< 0), 则f ( x )在[a , b ]上单调增加（单调减少）. 证明:参看同济教材七版上册144页.7. 证明曲线凹凸性的充分判别法 :设f ( x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内二阶可导,且f ''( x ) > 0 (< 0), 则f ( x )在[a , b ]上的图形是凹的（凸的）. 证明:参看同济教材七版上册148页.8. 证明极值点的充分条件 :设f (x )在x = x 0处二阶可导, f '( x 0 ) = 0, 若f '( x 0 ) > （0 证明:参看同济教材七版上册155页.< 0）,则x = x 0是极小（大）值点.a∆ → a 9. 证明拐点的必要条件及充分条件 :（1）设f ( x )在x = x 0处二阶可导,且点( x 0 , f ( x 0 ))是曲线f (x )的拐点,则f ''( x 0 ) = 0； （2）设f (x )在x = x 0处三阶可导, f ''( x 0 ) = 0, 若f ''( x 0 ) ≠ 0, 则点(x 0 , f ( x 0 ))是曲线f (x )的拐点. 证明:（1）设f ''( x 0 )∃ ⇒ f ( x )在x = x 0的某邻域可导,因( x 0 , f ( x 0 ))是曲线的拐点 ⇒ f ( x )在x = x 0的两侧凹凸性相反⇒ f '( x )在x = x 0的两侧单调性相反,又f '( x )在x = x 0连续 ⇒ x = x 0是f '( x )的极值点,对f '( x )使用费马定理, 得f ''( x 0 ) = 0.（2）f ''( x ) = lim f '( x ) - f '( x 0 ) = lim f '( x ) > 0或< 0 ⇒ f '( x )在x = x 两侧异号 0x → x 0 x - x x →x 0 x - x0 0 0⇒ ( x 0 , f ( x 0 ))是曲线f (x )的拐点.10. 证明积分中值定理 :设f ( x )在[a , b ]上连续,则至少存在一点ξ ∈(a , b ), 使得⎰b f ( x )dx =f (ξ )(b - a ). 证明:参看同济教材七版上册242页例6.11. 证明变限积分函数的连续性 :设f ( x )在[a , b ]上可积,则对∀x 0 ∈[a , b ], 有F ( x ) = xf (t )dt 在[a ,b ]上连续.证明:因f ( x )在[a , b ]上可积, 故f ( x )在[a , b ]上有界,则可设 f ( x ) ≤ M （x ∈[a , b ]）.x +∆xx +∆x 又∀x , x + ∆x ∈[a , b ], 有 ∆F = F ( x + ∆x ) - F ( x ) = ⎰xf (t ) d t - ⎰x f (t )dt = ⎰xf (t )dtx +∆x x +∆x≤ ⎰xf (t ) d t ≤ ⎰xMdt = M ∆x ,因此,当x , x + ∆x ∈[a ,b ]时,lim ∆F = 0,即F ( x )在[a , b ]上连续.x 012. 证明牛顿 — 莱布尼茨公式:设F ( x )是连续函数f ( x )在区间[a , b ]上的一个原函数,则⎰bf ( x )dx = F (b ) - F (a ). 证明:参看同济教材七版上册240页.13. 证明二元函数可微的必要条件 :设z = f ( x , y )在点( x , y )处可微,则z = f ( x , y )在点( x , y )处可导,且z = f ( x , y )在点( x , y )处的 全微分dz = ∂z dx + ∂zdy .∂x ∂y证明: 参看同济教材七版下册73页.14. 证明二元函数可微的充分条件 :设z = f (x , y )的两个偏导数∂z , ∂z在点( x , y )处都连续,则z = f ( x , y )在点( x , y )处可微. ∂x ∂y证明: 参看同济教材七版下册74页.⎰x⎰L Pdx + Qdy = ⎪ ∑ ∞15. 证明比值判别法（数一数三）:⎧⎪⎪ρ < 1 ⇒ ∑ n =1u n 收敛 ∞ u n +1 ⎪ ∞设∑u n 为正项级数, 设ρ = lim ,则⎨ ρ > 1 ⇒ ∑u n 发散n =1 n →∞ u n⎪⎪ρ = 1 ⇒ ∞ n =1u n 可能收敛也可能发散 ⎩证明: 参看同济教材七版下册262页.16.证明阿贝尔定理（数一数三）:∞n =1 如果级数∑ a x n 当x = x ( x ≠ 0)时收敛,那么满足 x < x 的一切x 都使该幂级数绝对收敛;nn =0 ∞反之,如果级数∑ a x n 当x = x 时发散,那么满足 x > x 的一切x 都使该幂级数发散.nn =0证明: 参看同济教材七版下册274页.17. 证明格林公式（数一）:设区域D 由分段光滑的闭曲线L 围成,函数P ( x , y )及Q ( x , y )在D 上具有一阶连续偏导数,则 ⎛ ∂Q - ∂P ⎫⎰⎰ ∂x ∂y ⎪dxdy . D ⎝ ⎭证明: 参看同济教材七版下册205页.18. 证明曲线积分与路径无关问题（数一）:我们已知:设P ( x , y ), Q ( x , y )在区域D 上连续,则曲线积分⎰LPdx + Qdy 在D 内与路径无关⇔ 对区域D 内∀ 分段光滑闭曲线C , 有⎰CPdx + Qdy = 0.证明: 设区域D 是一个单连通区域,函数P ( x , y ), Q ( x , y )在D 上具有一阶连续偏导数,则曲线积分⎰ Pdx + Qdy 在D 内与路径无关 ⇔ ∂Q = ∂P(( x , y )∈ D ).L证明: 参看同济教材七版下册209页.∂x ∂y 证明: 设区域D 是一个单连通区域,函数P ( x , y ), Q ( x , y )在D 上具有一阶连续偏导数,则Pdx + Qdy 在D 内是某一函数u ( x , y )的全微分⇔ ∂Q = ∂P(( x , y )∈ D ).∂x ∂y （这里的u ( x , y )也称为Pdx + Q dy 的一个原函数） 证明: 参看同济教材七版下册211页.。
考研数学高数必考定理
考研数学高数必考定理考研数学高数必考定理一、导数与微分1、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该点处连续;函数f(x)在点x0处连续≠>在该点可导。
即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。
2、导数存在的充分必要条件函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限lim(h→-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右极限lim(h→+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左导数f-′(x0)右导数f+′(x0)存在相等。
3、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导;函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。
4、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。
二、函数与极限1、函数的极限定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。
一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。
如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
上海市考研数学复习资料高等数学重要定理总结
上海市考研数学复习资料高等数学重要定理总结高等数学是考研数学中的一门重要课程，它的理论基础是一系列的重要定理。
这些定理在考研数学中起着至关重要的作用，对于学生来说，熟练掌握和理解这些定理是顺利通过考试的关键。
本文将对上海市考研数学复习资料中的高等数学重要定理进行总结和归纳，以帮助考生更好地准备考试。
一、微分学的重要定理1. 导数的四则运算定理：导数具有四则运算的性质，即导数可以进行加减乘除运算。
2. 高阶导数的计算：通过迭代运算，可以计算出任意阶的导数。
3. 高阶导数的求导法则：使用高阶导数的求导法则可以简化复杂函数的求导过程。
4. 极值点的判定定理：通过一阶导数和二阶导数的符号变化可以判断函数的极值点。
二、积分学的重要定理1. 不定积分的线性性质：不定积分具有线性运算的性质，即可以对各项进行分别积分后再相加。
2. 定积分的基本性质：定积分具有加法性、线性性和区间可加性等基本性质。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：利用这一定理，可以将定积分转化为不定积分进行计算。
4. 变量替换法则：通过进行变量替换，可以简化积分运算过程。
三、级数的重要定理1. 收敛级数的性质：收敛级数具有有限项相加的性质，可以进行线性运算。
2. 收敛级数的比较判别法：通过与已知级数进行比较，可以判断待定级数的敛散性。
3. 收敛级数的比值判别法：通过求级数项之比的极限，可以判断级数的敛散性。
4. 绝对收敛级数的性质：绝对收敛级数具有交换律和向量空间的性质。
四、微分方程的重要定理1. 解微分方程的存在唯一性定理：对于给定的初值问题，存在唯一的解函数。
2. 线性微分方程的叠加原理：线性微分方程的解具有叠加性质，可以通过对各个解的线性组合得到新的解。
3. 齐次线性微分方程的解结构：齐次线性微分方程的解可以通过特征方程的根的不同情况分类讨论。
五、向量与空间的重要定理1. 向量的线性相关性定理：多个向量线性相关的充要条件是它们能通过线性组合得到零向量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
考研数学的定理证明是一直考生普遍感觉不太有把握的内容，而2016 年考研数学真题释放出一个明确信号——考生需重视教材中重要定理的证明。
下面跨考教育为考生梳理一下教材中那些要求会证的重要定理。
一、求导公式的证明2015 年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。
几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的较为陌生。
实际上，从授课的角度，这种在2015 年前从未考过的基本公式的证明，一般只会在基础阶段讲到。
如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。
这里给2017 考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。
当然，该公式的证明并不难。
先考虑f(x)*g(x) 在点x0 处的导数。
函数在一点的导数自然用导数定义考察，可以按照导数定义写出一个极限式子。
该极限为“0分之0”型，但不能用洛必达法则，因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的，不能用!) 。
利用数学上常用的拼凑之法，加一项，减一项。
这个“无中生有”的项要和前后都有联系，便于提公因子。
之后分子的四项两两配对，除以分母后考虑极限，不难得出结果。
再由x0 的任意性，便得到了f(x)*g(x) 在任意点的导数公式。
类似可考虑f(x)+g(x) ，f(x)-g(x) ，f(x)/g(x) 的导数公式的证明。
二、微分中值定理的证明这一部分内容比较丰富，包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。
除泰勒中值定理外，其它定理要求会证。
费马引理的条件有两个：1.f(xO)存在2. f(xO)为f(x)的极值，结论为f(xO)=O。
考虑函数在一点的导数，用什么方法？自然想到导数定义。
我们可以按照导数定义写出f(xO)的极限形式。
往下如何推理？关键要看第二个条件怎么用。
“f(x0为f(x)的极值”翻译成数学语言即f(x)-f(x0)<0( 或>0) ，对x0 的某去心邻域成立。
结合导数定义式中函数部分表达式，不难想到考虑函数部分的正负号。
若能得出函数部分的符号，如何得到极限值的符号呢?极限的保号性是个桥梁。
费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。
那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。
若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的，那罗尔定理当之无愧。
该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。
条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导”和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值)，使得函数在该点的导数为0。
该定理的证明不好理解，需认真体会：条件怎么用?如何和结论建立联系?当然，我们现在讨论该定理的证明是“马后炮”式的：已经有了证明过程，我们看看怎么去理解掌握。
如果在罗尔生活的时代，证出该定理，那可是十足的创新，是要流芳百世的。
闲言少叙，言归正传。
既然我们讨论费马引理的作用是要引出罗尔定理，那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理。
我们对比这两个定理的结论，不难发现是一致的：都是函数在一点的导数为0。
话说到这，可能有同学要说：罗尔定理的证明并不难呀，由费马引理得结论不就行了。
大方向对，但过程没这么简单。
起码要说清一点：费马引理的条件是否满足，为什么满足?前面提过费马引理的条件有两个——“可导”和“取极值”，“可导”不难判断是成立的，那么“取极值”呢?似乎不能由条件直接得到。
那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系。
注意到罗尔定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。
我们知道闭区间上的连续函数有很好的性质，哪条性质和极值有联系呢?不难想到最值定理。
那么最值和极值是什么关系?这个点需要想清楚，因为直接影响下面推理的走向。
结论是：若最值取在区间内部，则最值为极值;若最值均取在区间端点，则最值不为极值。
那么接下来，分两种情况讨论即可：若最值取在区间内部，此种情况下费马引理条件完全成立，不难得出结论;若最值均取在区间端点，注意到已知条件第三条告诉我们端点函数值相等，由此推出函数在整个闭区间上的最大值和最小值相等，这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数，那在开区间上任取一点都能使结论成立。
拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。
掌握这两个定理的证明有一箭双雕的效果：真题中直接考过拉格朗日定理的证明，若再考这些原定理，那自然驾轻就熟;此外，这两个的定理的证明过程中体现出来的基本思路，适用于证其它结论。
以拉格朗日定理的证明为例，既然用罗尔定理证，那我们对比一下两个定理的结论。
罗尔定理的结论等号右侧为零。
我们可以考虑在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形，变成罗尔定理结论的形式，移项即可。
接下来，要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗尔定理的结果。
这就是构造辅助函数的过程——看等号左侧的式子是哪个函数求导后，把x 换成中值的结果。
这个过程有点像犯罪现场调查：根据这个犯罪现场，反推嫌疑人是谁。
当然，构造辅助函数远比破案要简单，简单的题目直接观察；复杂一些的，可以把中值换成X,再对得到的函数求不定积分。
考研数学的定理证明是一直考生普遍感觉不太有把握的内容,而2016 年考研数学真题释放出一个明确信号——考生需重视教材中重要定理的证明。
下面跨考教育为考生梳理一下教材中那些要求会证的重要定理。
三、微积分基本定理的证明该部分包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。
变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续,结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉, 并用积分上限替换被积函数的自变量。
注意该求导公式对闭区间成立，而闭区间上的导数要区别对待：对应开区间上每一点的导数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。
花开两朵，各表一枝。
我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点x处的导数。
一点的导数仍用导数定义考虑。
至于导数定义这个极限式如何化简，笔者就不能剥夺读者思考的权利了。
单侧导数类似考虑。
“牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。
它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。
”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。
而多数考生能熟练运用该公式计算定积分。
不过，提起该公式的证明，熟悉的考生并不多。
该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f(x)在闭区间连续，该公式的另一个条件是F(x)为f(x)在闭区间上的一个原函数，结论是f(x)在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。
该公式的证明要用到变限积分求导定理。
若该公式的条件成立，则不难判断变限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导定理的结论成立。
注意到该公式的另一个条件提到了原函数，那么我们把变限积分求导定理的结论用原函数的语言描述一下，即f(x)对应的变上限积分函数为f(x)在闭区间上的另一个原函数。
根据原函数的概念，我们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数，所以F(x)等于f(x)的变上限积分函数加某个常数C。
万事俱备，只差写一下。
将该公式右侧的表达式结合推出的等式变形，不难得出结论。
四、积分中值定理该定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上连续，结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面，并把积分变量x 换成中值。
如何证明?可能有同学想到用微分中值定理，理由是微分相关定理的结论中含有中值。
可以按照此思路往下分析，不过更易理解的思路是考虑连续相关定理(介值定理和零点存在定理)，理由更充分些：上述两个连续相关定理的结论中不但含有中值而且不含导数，而待证的积分中值定理的结论也是含有中值但不含导数。
若我们选择了用连续相关定理去证，那么到底选择哪个定理呢?这里有个小的技巧——看中值是位于闭区间还是开区间。
介值定理和零点存在定理的结论中的中值分别位于闭区间和开区间，而待证的积分中值定理的结论中的中值位于闭区间。
那么何去何从，已经不言自明了。
若顺利选中了介值定理，那么往下如何推理呢?我们可以对比一下介值定理和积分中值定理的结论：介值定理的结论的等式一边为某点处的函数值，而等号另一边为常数A。
我们自然想到把积分中值定理的结论朝以上的形式变形。
等式两边同时除以区间长度，就能达到我们的要求。
当然，变形后等号一侧含有积分的式子的长相还是挺有迷惑性的，要透过现象看本质，看清楚定积分的值是一个数，进而定积分除以区间长度后仍为一个数。
这个数就相当于介值定理结论中的A。
接下来如何推理，这就考察各位对介值定理的熟悉程度了。
该定理条件有二：1.函数在闭区间连续，2.实数A 位于函数在闭区间上的最大值和最小值之间，结论是该实数能被取到（即A 为闭区间上某点的函数值）。
再看若积分中值定理的条件成立否能推出介值定理的条件成立。
函数的连续性不难判断，仅需说明定积分除以区间长度这个实数位于函数的最大值和最小值之间即可。
而要考察一个定积分的值的范围，不难想到比较定理（或估值定理）。
定理证明确属难点，但几乎没有考生敢于不去复习这部分，因为一旦考出来就是大题，且在没复习的情况下当场做出的可能性很小。
在此提醒2017 的考研学子，掌握好以上梳理的重要定理的证明，是通往高分的必经之路。