第四章线性规划问题在工商管理相应理论中实际应用
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02第四章线性规划在工商管理中的
二、生产计划问题
• 例3、某公司面临一个是外包协作还是自行生产 的问题。该公司有甲、乙、丙三种产品，这三 种产品都要经过铸造、机械加工和装配三道工 序，甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦 可以自行生产，但产品丙必须由本厂铸造才能 保证质量，有关情况如表所示，公司中可利用 的总工时为：铸造8000小时，机械加工12000 小时和装配10000小时。为了获得最大利润， 甲乙丙三种产品各应生产多少件？甲、乙两种 产品的铸件有多少由本公司铸造？有多少为外 包协作？
2.8
思考！
决策变量的另一种表示方法：
根据题意，生产三种产品分别有如下几种方案：
x11
x12
x13
x14
x15
x16
甲：（A1，B1) , (A1,B2), (A1,B3), (A2,B1), (A2,B2), (A2,B3)六种方案
x21
x22
乙：（A1，B1），（A2，B1）两种方案 x31
丙：（A2，B2）一种方案
约束条件不变
设备
产品单件工时（小时/件） 设备的有 设备加工
效台时 费（元/小
甲
乙
丙 （小时） 时）
A1 5 A
A2 7 B1 6
B B2 4
B3 7
10
6000
0.05
9
12 10000
0.03
8
4000
0.06
11
7000
0.10
4000
0.05
原料费(元/件) 0.25 0.35 0.5
单价(元/件) 1.25 2
5(x1+x2+x3)+10x7≤6000
7(x4+x5+x6)+9x8+12x9 ≤10000
线性规划在工商管理中的应用
A
B C
3.1
2.1 1.2
1
2 4
现在问题归结于：采用上述五种截法各截多少根圆钢，才能配成100套轴件，且使 总下料所用圆钢根数最少？
•
设x1，x2，x3，x4，x5分别为上面 5 种方案下料的原材料根数。这样我们建 立如下的数学模型。 – 目标函数： Minz= x1 + x2 + x3 + x4 + x5 – 约束条件： s.t. x1 + x2 + ≥ 100 x1 +2x3 + x4 ≥ 200 2x2 + x3+ 2x4+ 4x5 ≥ 400 x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0
3
套裁下料问题
• • •
制造某种机床，需要A，B，C三种轴件，其规格与数量见表三,各类轴件都用 5,。5米长的同一种圆钢下料。若生产机床100太，至少要用多少根圆钢？ 首先考虑一根长5.5米的圆钢A,B C3种轴的毛坯有哪些具体的下料方式？ 表三： 表四： 轴件 规格 每台机床所 需轴件数 五 0 0 4 4.8 0.7 四 0 1 2 4.5 1 三 0 2 1 5.4 0.1 二 1 0 2 5.5 0 一 1 1 0 5.2 0.3 3.1 2.1 1.2 合计 剩余
零部件
基座 BM-1电子管 TE-1电子管 BM-1面板 TE-1面板
部件制 自制成本 造工时 1 3 2.5 1 1.5 0.50 3.75 3.30 0.60 0.75
购买成本
0.60 4.00 3.90 0.65 0.78
需求量
5000 3000 2000 3000 2000
• 解：设： x1, x2, x3, x4, x5,分别为上述5中零部件的自制数量。相应设， y1,y2,y3, y4, y5分别为各部件的外购量。设y0为加工时书，怎问题的目标函数为：
线性规划在工商管理中的应用
线性规划的定义
01
线性规划是一种优化方法，用于解决线性约束条件下的优化问题
02
线性规划的目标是找到一组决策变量，使得目标函数达到最优值
03
线性规划的约束条件包括线性不等式约束和线性等式约束
04
线性规划的决策变量可以是连续的，也可以是离散的，但目标函数必须是线性的
线性规划的适用范围
01 线性规划适用于解决线性 目标函数和线性约束条件 的优化问题
线性规划在库存管理中的应用：通过优化库存 管理，降低库存成本，提高库存周转率
线性规划在供应链管理中的应用：通过优化供 应链管理，降低供应链成本，提高供应链效率
线性规划在销售预测中的应用：通过优化销售 预测，提高销售预测准确性，降低销售风险
运输与配送优化
D
线性规划在运输与配送优化中的实际应用案例
C 线性规划在运输与配送优化中的求解方法
粒子群优化算法： 模拟鸟群飞行，实 现全局优化
模拟退火算法：模 拟金属退火过程， 实现全局优化
启发式优化算法： 根据问题特点，实 现局部优化
跨学科的融合与创新
01
线性规划与其他 学科的融合：如 经济学、统计学、
计算机科学等
02
创新方法：如遗 传算法、模拟退 火算法、神经网
络等
03
应用领域：如供 应链管理、人力 资源管理、财务
某投资公司风险评估案例
背景：某投资公 司需要对其投资 项目进行风险评 估，以确定投资 策略
目标：通过线性 规划方法，评估 投资项目的风险 和收益
模型构建：建立 线性规划模型， 包括投资项目、 风险因素、收益 因素等变量
求解：通过求解 线性规划模型， 得到最优投资策 略
结果：根据求解 结果，确定投资 项目的风险和收 益，为投资决策 提供依据
线性规划在工商管理中的应用(31)幻灯片PPT
3
管理运筹学
解：设 xi 表示第i班次时开场上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数 学模型。 目标函数：Min Z= x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件： x1 + x6 ≥ 60
x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
(x11+x21+x31)≤100 (x12+x22+x32)≤100 (x13+x23+x33)≤60 通过整理，得到以下模型：
20
管理运筹学
目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x1330x21+10x22-40x31-10x33
约束条件：
s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 〔原材料1不少于50%〕
时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00
所需人数 60 70 60 50 20 30
2
管理运筹学
设司机和乘务人员分别在各时间段一开场时上班， 并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘 务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务 人员?
= -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22- 18 管理运筹学
约束条件：
从第1个表中有：
x11≥0.5(x11+x12+x13) x12≤0.25(x11+x12+x13) x21≥0.25(x21+x22+x23) x22≤0.5(x21+x22+x23)
管理运筹学
解：设 xi 表示第i班次时开场上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数 学模型。 目标函数：Min Z= x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件： x1 + x6 ≥ 60
x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
(x11+x21+x31)≤100 (x12+x22+x32)≤100 (x13+x23+x33)≤60 通过整理，得到以下模型：
20
管理运筹学
目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x1330x21+10x22-40x31-10x33
约束条件：
s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 〔原材料1不少于50%〕
时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00
所需人数 60 70 60 50 20 30
2
管理运筹学
设司机和乘务人员分别在各时间段一开场时上班， 并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘 务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务 人员?
= -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22- 18 管理运筹学
约束条件：
从第1个表中有：
x11≥0.5(x11+x12+x13) x12≤0.25(x11+x12+x13) x21≥0.25(x21+x22+x23) x22≤0.5(x21+x22+x23)
线性规划问题在工商管理中的应用课件
➢
对于原料1： x11，x21，x31；
➢
对于原料2： x12，x22，x32；
➢
对于原料3： x13，x23，x33；
•线性规划问题在工商管理中的应
•20
用
目标函数： 利润最大，利润 = 收入－原料支出 约束条件：规格要求 4 个；
供应量限制 3 个。
Maxz = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
➢ 目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ➢ 约束条件：s.t. x1 + x6 ≥ 60
➢
x1 + x2 ≥ 70
➢
x2 + x3 ≥ 60
➢
x3 + x4 ≥ 50
➢
x4 + x5 ≥ 20
➢
x5 + x6 ≥ 30
➢
x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
•18
用
➢ 例：某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种 的产品甲、乙、丙，数据如下表。问：该厂应如何 安排生产，使利润收入为最大？
产品名称
规格要求
单价（元/kg）
甲 原材料1 不少于50%，原材料2 不超过25%
50
乙 原材料1 不少于25%，原材料2 不超过50%
35
丙
不限
25
原材料名称
1 2 3
➢ 6x121+ 8x221≤ 4000 ( 设备 B1 ）
➢ 4x122+11x322≤7000 ( 设备 B2 ）
➢ 7x123 ≤ 4000
线性规划在工商管理中的应用
线性规划在工商管理中的应用
一、引言
线性规划是一种数学优化方法，可以帮助在给定约束条件下找到最优解，其在工商管理中有着广泛的应用。
本文将探讨线性规划在工商管理中的具体应用情况。
二、供应链管理中的线性规划应用
供应链管理是工商管理中一个重要的领域，线性规划可以帮助优化供应链中的货物流动和库存管理。
通过优化运输路线和库存水平，企业可以降低成本，提高效率。
三、生产计划中的线性规划应用
线性规划可以帮助企业制定最优生产计划，平衡生产能力和市场需求之间的关系。
通过合理安排生产资源和生产顺序，企业可以实现生产成本最小化和生产效率最大化。
四、营销策略中的线性规划应用
在制定营销策略时，线性规划可以帮助企业确定最优的销售推广方式和渠道选择，以最大化收益。
通过考虑市场需求和销售成本等因素，企业可以制定更具有效果的营销策略。
五、人力资源管理中的线性规划应用
线性规划在人力资源管理中也有着重要的应用，例如员工排班和资源分配等方面。
通过线性规划方法，企业可以合理安排员工工作时间和工作任务，以提高员工效率和满足企业需求。
六、财务管理中的线性规划应用
在财务管理中，线性规划可以帮助企业进行财务规划和资金管理。
通过优化投资组合和资金分配，企业可以实现财务风险的最小化和资金利用效率的最大化。
结论
综上所述，线性规划在工商管理中有着广泛的应用，可以帮助企业优化决策和提高经营效率。
在实际运营中，企业可以结合线性规划方法，制定更科学合理的管理策略，从而实现经济效益的最大化。
《管理运筹学》第四版 第4章 线性规划在工商管理中的应用 课后习题解析教学资料
《管理运筹学》第四版第4章线性规划在工商管理中的应用课后习题解析《管理运筹学》第四版课后习题解析第4章线性规划在工商管理中的应用1．解：为了用最少的原材料得到10台锅炉，需要混合使用14种下料方案。
设14种方案下料时得到的原材料根数分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14，如表4-1所示。
表4-1 各种下料方式min f=x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11＋x12＋x13＋x14s.t. 2x1＋x2＋x3＋x4≥80x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10≥350x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋2x12＋x13≥420x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x14≥10x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14≥0通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解为：x1=40，x2=0，x3=0，x4=0，x5=116.667，x6=0，x7=0，x8=0，x9=0，x10=0，x11=140，x12=0，x13=0，x14=3.333最优值为300。
2．解：（1）将上午11时至下午10时分成11个班次，设x i表示第i班次新上岗的临时工人数，建立如下模型。
min f=16(x1＋x 2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11)s.t．x1＋1≥9x1＋x2＋1≥9x1＋x2＋x3＋2≥9x1＋x2＋x3＋x4＋2≥3x2＋x3＋x4＋x5＋1≥3x3＋x4＋x5＋x6＋2≥3x4＋x5＋x6＋x7＋1≥6x5＋x6＋x7＋x8＋2≥12x6＋x7＋x8＋x9＋2≥12x7＋x8＋x9＋x10＋1≥7x8＋x9＋x10＋x11＋1≥7x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥0通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解如下：x1=8，x2=0，x3=1，x4=1，x5=0，x6=4，x7=0，x8=6，x9=0，x10=0，x11=0，最优值为320。
第4章 线性规划在工商管理中的应用
35
25 单价（元/kg） 65 25 35
解：设 xij 表示第 i 种(甲、乙、丙)产品中原料j 的 含量。这样我们建立数学模型时，要考虑： 对于甲: x11 , x12 , x13； x12≤0.25(x11+x12+x13) 22 x11≥0.5(x11+x12+x13) ,
马飞雄 / GDUFS
铸造工时(小时/件) 机加工工时(小时/件) 装配工时(小时/件) 自产铸件成本(元/件) 外协铸件成本(元/件) 机加工成本(元/件) 装配成本(元/件) 产品售价(元/件)
甲 5 6 3 3 5 2 3 23
乙 10 4 2 5 6 1 2 18
丙 7 8 2 4 -3 2 16
3
25 单价 每天最多供应量 (元/kg) 100 65 100 25 60 35 21 马飞雄 / GDUFS
产品名称 甲
乙
丙 原材料名称 1 2 3
规格要求 原材料1不少于50% 原材料2不超过25% 原材料1不少于25% 原材料2不超过50% 不限 每天最多供应量 100 100 60
单价（元/kg） 50
丙产品的单位利润为： 16 －（4+3+2）= 7 元/件 可得到xi（i=1, 2, 3, 4, 5）的单位利润分别为15, 10, 7, 13, 9（元）。 10
马飞雄 / GDUFS
铸造工时(小时 /件)/件) 铸造工时 (小时 机加工工时(小时 /件) /件) 机加工工时 (小时 装配工时(小时 /件)/件) 装配工时 (小时 自产铸件成本(元/件) 自产铸件成本 (元/件) 外协铸件成本(元/件) 外协铸件成本(元/件) 机加工成本(元/件) 机加工成本 ( 元 /件 ) 装配成本(元/件) 装配成本 (/元 产品售价(元 件)/件) 产品售价(元/件)
第4章线性规划在工商管理中应用
x1,x2,x3,x4,x5 ≥ 0
第4章线性规划在工商管理中应用
§2 生产计划的问题
例4．永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过A、 B两道工序加工。设有两种规格的设备A1、A2能完成 A 工 序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成 B 工序。Ⅰ可在 A、B的任何规格的设备上加工；Ⅱ 可在任意规格的A设 备上加工，但对B工序，只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在 A2与B2设备上加工。数据如表。问：为使该厂获得最大利 润，应如何制定产品加工方案？
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥ 0
第4章线性规划在工商管理中应用
§2 生产计划的问题
例3．某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该 公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和 装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可 以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如 表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生 产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外 包协作各应多少件？
产品甲铸造外协，其余自制的利润 =23-(5+2+3)=13
产品乙全部自制的利润
=18-(5+1+2)=10
产品乙铸造外协，其余自制的利润 =18-(6+1+2)=9
产品丙的利润
=16-(4+3+2)=7
可得到 xi （i = 1,2,3,4,5） 的利润分别为 15、10、7、13、9 元。
第4章线性规划在工商管理中应用
-0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料2不超过25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料2不超过50%）
第4章线性规划在工商管理中应用
§2 生产计划的问题
例4．永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过A、 B两道工序加工。设有两种规格的设备A1、A2能完成 A 工 序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成 B 工序。Ⅰ可在 A、B的任何规格的设备上加工；Ⅱ 可在任意规格的A设 备上加工，但对B工序，只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在 A2与B2设备上加工。数据如表。问：为使该厂获得最大利 润，应如何制定产品加工方案？
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥ 0
第4章线性规划在工商管理中应用
§2 生产计划的问题
例3．某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该 公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和 装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可 以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如 表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生 产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外 包协作各应多少件？
产品甲铸造外协，其余自制的利润 =23-(5+2+3)=13
产品乙全部自制的利润
=18-(5+1+2)=10
产品乙铸造外协，其余自制的利润 =18-(6+1+2)=9
产品丙的利润
=16-(4+3+2)=7
可得到 xi （i = 1,2,3,4,5） 的利润分别为 15、10、7、13、9 元。
第4章线性规划在工商管理中应用
-0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料2不超过25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料2不超过50%）
运筹学第4章 线性规划在工商管理中的应用
x1 x4 x5 x6 x7
x1 x4 x5 x6 x7 300
2014年1月1日星期三
星 期 一 二 三 四
需要 人数 300 300 350 400
星 期 五 六 日
需要 人数 480 600 550
4
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
300+50+50+80+420 ＝900
3
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 4
【解】 设 xj (j=1，2，…，7)为休息2天后星期一到星期日开始 上班 的营业员 营业员人数
Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
星期一上班营业员人数
乙、丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式 1.5y1+y2+0.7y3≤4 也就是有10种下料方式，如表1.3所示。
方案 规格
表示，
求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样的非负整数解共有10组，
1
2 1
2
2 0
3
1 2
4
1 1
5
1 0
6
0 4
7
0 3
8
0 2
9
0 1
运筹学
管理决策问题
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
Page 2
【例1】人力资源分配的问题：某商场决定：营业员每周连续工 作5天后连续休息2天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营 业员如表1.1所示。
表1.1 营业员需要量统计表
星期 一 二 三 四
线性规划问题在工商管理中的应用
…
am am2 … amn bm pm v11 v2 … vn
生产计划例题
STEP1
STEP2
STEP3
STEP4
例：明兴公司生产甲、 乙、丙三种产品，都 需要经过铸造、机加 工和装配三个车间。
乙两种产品的铸件可 以外包协作，亦可以 自行生产，但产品丙 必须本厂铸造才能保 证质量。
数据如下页表。
问：公司为了获得最 大利润，甲、乙、丙 三种产品各生产多少 件？甲、乙两种产品 的铸造中，由本公司 铸造和由外包协作各 应多少件？
➢
xij≥0 ,i = 1,2,3; j = 1,2,3
五、投资问题
从投资项目中选取方案，使投资回报最大。
01
例：某部门现有资金 200万元，今后五年 内考虑给以下的项目 投资。已知：
03
项目B：从第一年到第 四年每年年初都可投 资，次年末能收回本 利125%，但规定每年 最大投资额不能超过 30万元；
➢
x5 + x6 ≥ 30
➢
x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
二、生产计划问题
合理利用人力、物力、财力等有限资源，使获利最大。
生产计划数据表
产品 资源
1
2
…
m 产值
资源 资源 1 2 … n 数量 单价
a11 a12 … a1n b1 p1
a21 a22 … a2n b2 p2
…
…
…
…
…
3）目标函数及模型：
a)
Max z=1.1x51+1.25x42+1.4x33+1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200
x21 + x22+ x24 = 1.1x11 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22 x51 = 1.1x41+ 1.25x32 xi2 ≤ 30 ( i =1、2、3、4 )， x33 ≤ 80，x24 ≤ 100 xij≥0(i=1,2,3,4,5；j=1,2,3,4）
管理运筹学4线性规划在工商管理中的应用
管理运筹学4线性规划在工商管理 中的应用
contents
目录
• 线性规划的概述 • 线性规划在工商管理中的应用 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的案例分析
01 线性规划的概述
线性规划的定义
线性规划是运筹学的一个重要分支， 它通过建立数学模型，求解线性目标 函数在一定约束条件下的最优解。
线性规划广泛应用于生产计划、物资 管理、运输优化、金融投资等领域。
线性规划在生产计划中应用广泛，通过合理安排生产任务和资源，降低生产成 本，提高生产效率。例如，某制造企业使用线性规划模型优化其生产线上的任 务分配，以最小化生产成本并最大化产量。
资源分配优化案例
总结词
资源分配优化
详细描述
线性规划可以帮助企业合理分配资源，实现资源利用的最大化。例如，某航空公 司使用线性规划模型优化其航班和机组人员的调度，以最小化运营成本并最大化 航班收益。
资金分配
线性规划可以用于资金分配，根据不同项目的投资回报率和风险， 合理分配资金，实现投资效益的最大化。
运输问题
1 2 3
货物运输
线性规划可以用于优化货物运输方案，根据货物 的目的地、运输成本和运输时间，选择最佳的运 输方式和路线。
人员运输
线性规划可以用于优化人员运输方案，根据人员 的出行需求、运输成本和时间，选择最佳的交通 工具和路线。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
生产成本控制
线性规划可以用于控制生产成本， 通过优化生产过程中的资源消耗 和成本投入，实现生产成本的最
小化。
资源分配问题
人力分配
线性规划可以用于合理分配人力资源，根据不同任务的需求和人 员的技能，优化人员配置，提高工作效率。
contents
目录
• 线性规划的概述 • 线性规划在工商管理中的应用 • 线性规划的求解方法 • 线性规划的案例分析
01 线性规划的概述
线性规划的定义
线性规划是运筹学的一个重要分支， 它通过建立数学模型，求解线性目标 函数在一定约束条件下的最优解。
线性规划广泛应用于生产计划、物资 管理、运输优化、金融投资等领域。
线性规划在生产计划中应用广泛，通过合理安排生产任务和资源，降低生产成 本，提高生产效率。例如，某制造企业使用线性规划模型优化其生产线上的任 务分配，以最小化生产成本并最大化产量。
资源分配优化案例
总结词
资源分配优化
详细描述
线性规划可以帮助企业合理分配资源，实现资源利用的最大化。例如，某航空公 司使用线性规划模型优化其航班和机组人员的调度，以最小化运营成本并最大化 航班收益。
资金分配
线性规划可以用于资金分配，根据不同项目的投资回报率和风险， 合理分配资金，实现投资效益的最大化。
运输问题
1 2 3
货物运输
线性规划可以用于优化货物运输方案，根据货物 的目的地、运输成本和运输时间，选择最佳的运 输方式和路线。
人员运输
线性规划可以用于优化人员运输方案，根据人员 的出行需求、运输成本和时间，选择最佳的交通 工具和路线。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
生产成本控制
线性规划可以用于控制生产成本， 通过优化生产过程中的资源消耗 和成本投入，实现生产成本的最
小化。
资源分配问题
人力分配
线性规划可以用于合理分配人力资源，根据不同任务的需求和人 员的技能，优化人员配置，提高工作效率。
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➢ 数据如下页表。 ➢ 问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品
各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公 司铸造和由外包协作各应多少件？
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
甲 乙 丙 资源限制
铸造工时(小时/件) 5 10 7
8000
机加工工时(小时/件) 6 4 8
12000
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
三、套裁下料问题
➢ 如何下料使用材最少。
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
数据表
下料 零件 方式 1 2 … n 需求量 毛坯
A1
a11 a12 … a1n
装配工时(小时/件) 3 2 2
10000
自产铸件成本(元/件) 3 5 4
外协铸件成本(元/件) 5 6 --
机加工成本(元/件) 2 1 3
装配成本(元/件)
322
产品售价(元/件)
23 18 16
解：设 x1 ,x2 ,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲 、乙、丙三种产品的件数，x4, x5 分别为由外协铸造再 由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。
➢ Max 0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x3120.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123
➢ s.t
➢ 5x111+10x211≤6000 （ 设备 A1 ）
➢ 7x112+9x212+12x312≤10000（ 设备 A2 ）
满负荷时的 设备费用
300 321 250 783 200
解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。
利润 = [（销售单价－原料单价）× 产品件数]之和－(每台时 的设备费用×设备实际第四使章线用性的规划总问题台在工时商数管理)相之和。
应理论中实际应用
➢ 建立数学模型:
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
二、生产计划问题
➢ 合理利用人力、物力、财力等有限资源， 使获利最大。
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
生产计划数据表
产品
资源 资源
资源
1 2 … n 数量 单价
1 2 … m 产值
a11 a12 … a1n
b1
p1
a21 a22 … a2n
第四章 线性规划问题的
应用
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
一、人力资源分配的问题
➢ 用最少的劳动力来满足工作的需要。
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
➢ 例：某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司
机和乘务人员数如下：
班次 1 2 3 4 5 6
时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00
b2
p2
…… … … … …
am1 am2 … amn bm
pm
v1 v2 … vn
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
生产计划例题
➢ 例：明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经 过铸造、机加工和装配三个车间。
➢ 甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行 生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。
➢ 目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ➢ 约束条件：s.t. x1 + x6 ≥ 60
➢
x1 + x2 ≥ 70
➢
x2 + x3 ≥ 60
➢
x3 + x4 ≥ 50
➢
x4 + x5 ≥ 20
➢
x5 + x6 ≥ 30
➢
x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
22： —— 2：00 2：00 —— 6：00
所需人数 60 70 60 50 20 30
➢设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班， 并连续工作8h，问该公交线路怎样安排司机和乘务人 员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
➢ 解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务 人员数,这样我们建立如下的数学模型。
➢ 6x121+ 8x221≤ 4000 ( 设备 B1 ）
➢ 4x122+11x322≤7000 ( 设备 B2 ）
➢ 7x123 ≤ 4000
（ 设备 B3 ）
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
➢ x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 ➢ (Ⅰ产品在A、B工序加工的数量相等） ➢ x211+ x212- x221 = 0 ➢ (Ⅱ产品在A、B工序加工的数量相等） ➢ x312 - x322 = 0 ➢ (Ⅲ产品在A、B工序加工的数量相等） ➢ xijk≥0, i=1,2,3; j=1,2; k=1,2,3
➢
6x1+4x2+8x3+6x4+4x5 ≤12000
➢
3x1+2x2+2x3+3x4+2x5 ≤ 10000
➢
x1,x2,x3第,x四4章,线x性5规≥划问0题在工商管理相
应理论中实际应用
➢ 例：永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品， 均要经过 A、B 两道工序加工。假设有两种 规格的设备A1、A2能完成 A 工序；有三种规 格的设备B1、 B2 、B3能完成 B 工序。Ⅰ可 在 A、B的任何规格的设备上加工；Ⅱ 可在 任意规格的A设备上加工，但对B工序,只能 在B1设备上加工；Ⅲ 只能在A2与B2设备上加 工；数据如下页表。
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
➢ 求xi 的利润：利润=售价－各成本之和 ➢ 可得到xi（i=1,2,3,4,5）的利润分别为15、
10、7、13、9元。
➢ 这样我们建立如下数学模型：
➢ 目标函数： Max 15x1+10x2+7x3+13x4+9x5 ➢ 约束条件：
➢ s.t. 5x1+10x2+7x3 ≤ 8000
➢ 问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产
品加工方案？
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
设备
A1 A2 B1 B2 B3 原料（元/件） 售价（元/件）
产品单件工时
ⅠⅡ
Ⅲ
5
10
7
9
12
6
8
4
11
7 0.25 0.35 0.50
1.25 2.00 2.80
设备的 有效台时
6000 10000 4000 7000 4000
各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公 司铸造和由外包协作各应多少件？
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
甲 乙 丙 资源限制
铸造工时(小时/件) 5 10 7
8000
机加工工时(小时/件) 6 4 8
12000
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
三、套裁下料问题
➢ 如何下料使用材最少。
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
数据表
下料 零件 方式 1 2 … n 需求量 毛坯
A1
a11 a12 … a1n
装配工时(小时/件) 3 2 2
10000
自产铸件成本(元/件) 3 5 4
外协铸件成本(元/件) 5 6 --
机加工成本(元/件) 2 1 3
装配成本(元/件)
322
产品售价(元/件)
23 18 16
解：设 x1 ,x2 ,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲 、乙、丙三种产品的件数，x4, x5 分别为由外协铸造再 由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。
➢ Max 0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x3120.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123
➢ s.t
➢ 5x111+10x211≤6000 （ 设备 A1 ）
➢ 7x112+9x212+12x312≤10000（ 设备 A2 ）
满负荷时的 设备费用
300 321 250 783 200
解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。
利润 = [（销售单价－原料单价）× 产品件数]之和－(每台时 的设备费用×设备实际第四使章线用性的规划总问题台在工时商数管理)相之和。
应理论中实际应用
➢ 建立数学模型:
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
二、生产计划问题
➢ 合理利用人力、物力、财力等有限资源， 使获利最大。
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
生产计划数据表
产品
资源 资源
资源
1 2 … n 数量 单价
1 2 … m 产值
a11 a12 … a1n
b1
p1
a21 a22 … a2n
第四章 线性规划问题的
应用
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
一、人力资源分配的问题
➢ 用最少的劳动力来满足工作的需要。
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
➢ 例：某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司
机和乘务人员数如下：
班次 1 2 3 4 5 6
时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00
b2
p2
…… … … … …
am1 am2 … amn bm
pm
v1 v2 … vn
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
生产计划例题
➢ 例：明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经 过铸造、机加工和装配三个车间。
➢ 甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行 生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。
➢ 目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ➢ 约束条件：s.t. x1 + x6 ≥ 60
➢
x1 + x2 ≥ 70
➢
x2 + x3 ≥ 60
➢
x3 + x4 ≥ 50
➢
x4 + x5 ≥ 20
➢
x5 + x6 ≥ 30
➢
x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
22： —— 2：00 2：00 —— 6：00
所需人数 60 70 60 50 20 30
➢设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班， 并连续工作8h，问该公交线路怎样安排司机和乘务人 员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
➢ 解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务 人员数,这样我们建立如下的数学模型。
➢ 6x121+ 8x221≤ 4000 ( 设备 B1 ）
➢ 4x122+11x322≤7000 ( 设备 B2 ）
➢ 7x123 ≤ 4000
（ 设备 B3 ）
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
➢ x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 ➢ (Ⅰ产品在A、B工序加工的数量相等） ➢ x211+ x212- x221 = 0 ➢ (Ⅱ产品在A、B工序加工的数量相等） ➢ x312 - x322 = 0 ➢ (Ⅲ产品在A、B工序加工的数量相等） ➢ xijk≥0, i=1,2,3; j=1,2; k=1,2,3
➢
6x1+4x2+8x3+6x4+4x5 ≤12000
➢
3x1+2x2+2x3+3x4+2x5 ≤ 10000
➢
x1,x2,x3第,x四4章,线x性5规≥划问0题在工商管理相
应理论中实际应用
➢ 例：永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品， 均要经过 A、B 两道工序加工。假设有两种 规格的设备A1、A2能完成 A 工序；有三种规 格的设备B1、 B2 、B3能完成 B 工序。Ⅰ可 在 A、B的任何规格的设备上加工；Ⅱ 可在 任意规格的A设备上加工，但对B工序,只能 在B1设备上加工；Ⅲ 只能在A2与B2设备上加 工；数据如下页表。
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
➢ 求xi 的利润：利润=售价－各成本之和 ➢ 可得到xi（i=1,2,3,4,5）的利润分别为15、
10、7、13、9元。
➢ 这样我们建立如下数学模型：
➢ 目标函数： Max 15x1+10x2+7x3+13x4+9x5 ➢ 约束条件：
➢ s.t. 5x1+10x2+7x3 ≤ 8000
➢ 问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产
品加工方案？
第四章线性规划问题在工商管理相 应理论中实际应用
设备
A1 A2 B1 B2 B3 原料（元/件） 售价（元/件）
产品单件工时
ⅠⅡ
Ⅲ
5
10
7
9
12
6
8
4
11
7 0.25 0.35 0.50
1.25 2.00 2.80
设备的 有效台时
6000 10000 4000 7000 4000