微积分北京大学出版社课后详解
北师大选修微积分基本定理课件
• [点评] 定积分广泛应用于实际生活中，准 确理解题意，正确列出定积分是解决此类问 题的关键．此题是根据速度求路程，同样， 求给定力所做的功也可以用定积分来解决．
• 设有一长为25cm的弹簧，假设施加100N的 力，那么弹簧伸长到30cm，求使弹簧由 25cm伸长到40 cm所做的功．
• [分析] 因为弹簧的力是一个变力，所以不 能用常规的方法求解，考虑用定积分求解．
＝(13x3＋2x－32x2)|10＋(32x2－13x3－2x)|21＝1.
在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一条切线，使之与曲线 以及x轴所围成图形的面积为 112 .试求切点A的坐标以及过切点A 的切线方程．
[解析] 如图所示，设切点A(x0，
y0)，由y′＝2x，过A点的切线方程为y－
北师大选修微积分基本定理课件
§2 微积分根本定理 第四章
1 知能目标解读 2 知能自主梳理 3 学习方法指导 4 思路方法技巧
5 探索延拓创新 6 易错辨误警示 7 课堂巩固训练 8 课后强化作业
知能目标解读
• 1．通过实例，直观理解微积分根本定理的 含义及意义．
• 2．会用微积分根本定理求函数的定积分． • 3．会用定积分求相关图形的面积、变速直
• (1)求f(x)的解析式；
• (2)求由曲线y＝f(x)与y＝3x，x＝0，x＝1， x＝2所围成的平面图形的面积．
• [解析] (1)由得：f ′(1)＝2，求得a＝1， • ∴f(x)＝x2＋2.
(2)由题意知阴影部分的面积是：
S＝1(x2＋2－3x)dx＋2(3x－x2－2)dx
0
1
线运动的路程及变力做功问题．
• 本节重点：微积分根本定理． • 本节难点：微积分根本定理的应用．
微积分课后习题答案知识讲解
习题1 —1解答1. 设 f(x,y)xyx11x，求 f ( x, y), f (, ), f (xy,),- 1 f(x, y) yx y y 解 f( x, y) xy-；f(-,-y x y )1-；f(xy,-) x 2 x y2y ;1 y 丿xyf(x,y) 2xy x 2. 设 f (x, y)In xIn y ，证明：f(xy,uv) f(x,u) f(x,v)f(y,u)f(y,v)f(xy,uv) In(xy) In(uv) (Inx In y)(1 nu Inv) Inx Inu In x Inv Iny Inu In y Inv f(x,u) f(x,v) f(y,u) f(y,v)（1）f(x, y),1 x 2 ,y 21;(2)f(x,y)\i'4x 2y .In(1 x 2 2/ y )(3)f(x, y)1 x2 a 22 y b 22z . 2; c (4) f(x, y,z)、x、y -z1 x2 2y2z3.求下列函数的定义域，并画出定义域的图形:解（1）D1,y 1{(x, y) x(2) D(x, y) 0 yx 24.求下列各极限:5.证明下列极限不存在:则 H m 3 lim^3;x 20x 0x y x 0x 2x如果动点P(x, y)沿x 2y 趋向(0,0)，贝y limy 0 x 2y(3) D2x(x,y)~ra(4) D(x, y,z)x0,y2y2y b 2I1zxyJxy(2xy1 xy 1 0 1y 2 0 (1)H xyxxyvxxy\1(1) r X y lim ; x 0 x yy 0lim 飞；0x y 2 (xy)2(1) 证明如果动点P(x,y)沿y2x 趋向(0,0)x yxynxylim 2x 0 x 2y 1 AH xy所以极限不存在。
(2)证明如果动点P(x,y)沿y x趋向(0,0)则limx 0y x 02 2x y~2~2 2 x y (x y)如果动点P(x, y)沿y 2x趋向(0,0)，则limx 0 y 2x 02 2x y~2~2 2x y (x y)"m0-^ 0x 04x x所以极限不存在。
微积分课后题答案习题详解
微积分课后题答案习题详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!n n =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=， 所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
微积分 北京大学出版社 第5章 定积分--答案
1
−1
∫ ( x + x )e
−1
−x
dx =
1 1 1 −x 1 0 1 1
解法 1：原式=
0
∫
1
xe dx + ∫ xe dx = 2∫ xe dx + 0 = −2∫ xde = −2 x e
−x −x −x −x −1 0 0
+ 2∫ e− x dx = −2e−1 − 2 e− x = 2 −
1 1 8（07） ∫ 3 e x dx = x 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x 2 = e2 解原式= − ∫ de = − e + ∫ e d = − e + 1 + e x x x 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
2
9（02）设 F ( x) =
x2 f ( t )dt ，其中 f ( x) 为连续函数，则 lim F ( x) = （ x →a x−a ∫ a
2
π
2
; x = 0, t = 0
π
2
π
2
1 + cos 2t ⎛1 1 ⎞2 π 原式= ∫ cos t cos tdt = ∫ dt = ⎜ t + sin 2t ⎟ = 4 2 ⎝2 4 ⎠0 0 0
(注：该题利用几何意义积分比变量替换积分简单)
+∞
π
7（00）
∫e
1
x
1 dx = + e 2− x
6.（00）
⎛1⎞ f⎜ ⎟ ⎝ x⎠
∫
0
1
2 x − x 2 dx =
高等数学上册教材答案北大
高等数学上册教材答案北大第一章：微积分基础1.1 极限与连续1.1.1 极限的定义根据微积分基础知识，极限是函数概念的核心之一。
在数学中，我们需要明确了解极限的定义。
对于函数 f(x)，当 x 趋近于某一点 a 时，如果 f(x) 的值趋近于一个常数 L，则我们称 L 为 f(x) 在 x=a 处的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
1.1.2 连续的概念与性质连续是微积分中的另一个重要概念。
对于函数 f(x)，如果在某一点a 处，该函数的极限等于 f(a)，则我们称函数在点 a 处是连续的。
连续性具有以下性质：- 连续函数的和、差、积均为连续函数；- 两个连续函数的乘积仍为连续函数；- 连续函数的复合函数仍为连续函数。
1.2 导数与微分1.2.1 导数的概念导数是微积分中的重要概念之一。
对于函数 y=f(x)，如果函数在某一点 x=a 处的极限值存在，则称该极限值为函数 y=f(x) 在 x=a 处的导数，记作 f'(a) 或 df(x)/dx。
导数的计算公式包括函数的基本运算法则、常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数等。
1.2.2 微分的概念与应用微分是导数的一种表现形式，也是微积分的重要概念之一。
对于函数 y=f(x)，如果δx 是 x 的增量，δy 是 y 的增量，则函数 y=f(x) 的微分为 dy=f'(x)dx。
微分的应用包括切线问题、极值问题、凹凸性判定等。
第二章：函数与极限2.1 函数概念与基本运算2.1.1 函数定义与表示法函数是数学中最基本的概念之一。
函数可以通过函数定义域、值域以及对应关系进行定义。
常见的函数表示法有显式函数表示法、隐式函数表示法、参数方程表示法等。
2.1.2 函数的基本运算函数的基本运算包括函数的和、差、积、商运算。
通过研究函数的基本运算，可以帮助我们理解函数之间的关系以及求解函数的性质。
2.2 极限的思想与性质2.2.1 函数的极限函数的极限是函数概念的核心之一。
2018-2019学年高中数学北师大版选修2-2讲义：第四章 §2 微积分基本定理 Word版含答
姓名，年级：时间：§2微积分基本定理已知函数f(x)＝x，F(x)＝错误!x2。
问题1:f（x）和F(x)有何关系？提示:F′(x)＝f（x)．问题2:利用定积分的几何意义求错误!x d x的值．提示：错误!x d x＝错误!。
问题3：求F(2）－F（1)的值．提示：F(2)－F（1）＝错误!×22－错误!×12＝错误!.问题4：你得出什么结论?提示：错误!f(x)d x＝F（2）－F（1)，且F′（x)＝f(x）．问题5：由错误!f(x）d x与F(2)－F（1)之间的关系,你认为导数与定积分之间有什么联系？提示：错误!f(x）d x＝F(b）－F（a），其中F′（x）＝f（x)．微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有错误!定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称F（x)是f(x)的一个原函数．在计算定积分时,常常用记号F(x）错误!来表示F（b)－F（a)，于是牛顿-莱布尼茨公式也可写作错误!f（x)d x＝F（x) 错误!＝F（b）－F（a)．微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的关系，即求定积分与求导互为逆运算，求定积分时只需找到导函数的一个原函数，就可以代入公式求出定积分．求简单函数的定积分[例1］(1) 错误! (2x＋3）d x;(2) 错误!（cos x＋e x)d x；(3）错误!错误!d x。
[思路点拨］先求被积函数的原函数,然后利用微积分基本定理求解．[精解详析] （1）∵(x2＋3x）′＝2x＋3，∴错误! (2x＋3）d x＝（x2＋3x）错误!＝1＋3＝4。
（2）∵（sin x＋e x）′＝cos x＋e x，∴错误! (cos x＋e x）d x＝(sin x＋e x）错误!＝1－e－π.(3）∵错误!′＝2x－错误!，∴错误!错误!d x＝错误!错误!＝7＋错误!＝错误!。
[一点通] 应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时,通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F(x）的导函数F′(x）＝f(x)为止（一般情况下忽略常数),然后再利用微积分基本定理求出结果．1。
微积分课后题答案习题详解
第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立. 证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=，所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
微积分北京大学出版社课后详解
2、选择适当的坐标系计算下列二重积分. （1）
∫∫ (
D
x + y )dσ ，其中 D 由坐标轴与抛物线 x + y = 1 所围.
4
解：设 x = r cos
θ , y = r sin 4 θ ， dσ = 4 cos3 θ sin 3 θ rdrdθ
y 1 0
x + y =1
2
1
x
D: 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤
1 2
x
π π π 1 34 1 34 1 34 4 2 2 θ + θ θ = + θ θ = cos sin d 1 sin 2 d ) ) π ( π ( π (1 + 2sin 2θ + sin 2θ ) dθ ∫ ∫ ∫ − − − 3 4 3 4 3 4
3π
π 1 34 1 + cos 4θ ⎛ = ∫ π 1 + 2sin 2θ + ⎜ 3 −4 ⎝ 2
1⎛ 3 1 ⎞ ⎞ 4 π ⎟ dθ = ⎜ θ + 2sin 2θ + cos 4θ ⎟ π = 3⎝ 2 2 2 ⎠ ⎠−
4
（3）
∫∫
D
1 − x2 − y 2 dxdy ，其中 D 由 x 2 + y 2 = 1, x = 0, y = 0 所围. 1 + x2 + y 2
解：D: 0 ≤ θ ≤
∫π
π
3
4
dθ ∫ cosθ
π π
3 4
π π π 1 1 1 3 3 cosθ dθ = rdr = ∫ π3 r 0 d θ = π π sec θ dθ ∫ ∫ r cos θ 4 4 4
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2
又因为
则由莱布尼茨判别法知， ∑ (−1) n
n =1
∞
1 n + 2n
2
收敛，故原级数条件收敛.
（3） ∑ 解
sin nα ； n2 n =1
∞ ∞ ∞ sin nα 1 1 ，而 收敛，故 ≤ u n 收敛，即原级数绝对收敛. ∑ ∑ 2 n2 n2 n =1 n n =1
由于 un =
∞
（4） ∑ (−1) n −1 tan
n =1
π
2n
；
解
由于 un = tan
∞
π
2n
∼
π
2n
，而 ∑
n =1
∞
π
2n
收敛，故 ∑ u n 收敛，即原级源自绝对收敛.n =1∞
（5） ∑ (−1) n
n =1
1 ； ln( n + 1)
∞ ∞ 1 1 1 ，而 ∑ 发散，故 ∑ u n 发散， > ln(n + 1) n + 1 n =1 n + 1 n =1
则由莱布尼茨判别法知，级数发散. ∞ ∞ n n +1 法 3 ∑ (−1) n ln = ∑ ( −1) n −1 ln n + 1 n =1 n n =1 由于 un = ln
n +1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1 = ln ⎜ 1 + ⎟ ，∵ n → ∞, ln ⎜ 1 + ⎟ ∼ ， n ⎝ n⎠ n ⎝ n⎠
n =1 ∞
n ； （本题有争议，删掉） n +1
1
解法 1 由于 un = ln
n 1 ⎞ 1 ⎞ 1 ⎛ ⎛ ， = ln ⎜ 1 − ⎟ ，∵ n → ∞, ln ⎜ 1 − ⎟∼− n +1 n +1 ⎝ n +1⎠ ⎝ n +1⎠
课堂新坐标高中数学北师大版选修学案微积分基本定理含解析
§2 微积分基本定理1.了解微积分基本定理的含义.(难点)2.会利用微积分基本定理求函数的定积分.(重点)[基础·初探]教材整理 微积分基本定理 阅读教材P 82～P 84，完成下列问题. 1.微积分基本定理如果连续函数f (x )是函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x )，则有⎠⎛a b f (x )dx ＝F (b )－F (a ).2.定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则(1) 图4-2-1(1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图4-2-1(1)，则⎠⎛a b f (x )dx ＝S 上.(2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图4-2-1(2)，则⎠⎛ab f (x )dx ＝－S 下.(2) (3)图4-2-1(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图4-2-1(3)，则⎠⎛a bf (x )dx ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛ab f (x )dx ＝0.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数.( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数.( )【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ 2.⎠⎛02π(－sin x )dx 等于( ) A.0 B.2 C.－2D.4【解析】 ⎠⎛02π(－sin x )dx ＝cos x ⎪⎪⎪2π0＝cos 2π－cos 0＝0.【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)dx ；(2)⎠⎛－π0(cos x －e x )dx ； (3)⎠⎛122x 2＋x ＋1x dx ；(4) ⎠⎛0π2 sin 2x 2dx . 【思路探究】 (1)、(2)先求被积函数的一个原函数F (x )，然后利用微积分基本定理求解；(3)、(4)则需先对被积函数变形，再利用微积分基本定理求解.【自主解答】 (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)dx＝⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛122xdx ＋⎠⎛123dx ＝x 33⎪⎪⎪21＋x 2⎪⎪⎪21＋3x ⎪⎪⎪21＝253.(2)⎠⎛－π0(cos x －e x )dx ＝⎠⎛－π0cos xdx －⎠⎛－π0e x dx ＝sin x ⎪⎪⎪0－π－e x ⎪⎪⎪0－π＝1e π－1.(3)2x 2＋x ＋1x ＝2x ＋1＋1x ，而(x 2＋x ＋ln x )′＝2x ＋1＋1x .∴⎠⎛122x 2＋x ＋1x dx ＝(x 2＋x ＋ln x )⎪⎪⎪21＝4＋ln 2. (4)原式＝⎠⎛0π2 12(1－cos x )dx ＝12⎠⎛0π2 (1－cos x )dx ＝12⎠⎛0π21dx －12⎠⎛0π2cos xdx ＝x 2⎪⎪⎪π20－sinx 2⎪⎪⎪π20＝π－24.求简单的定积分应注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限.[再练一题]1.⎠⎛12x －1x 2dx ＝________. 【解析】 ⎠⎛12x －1x 2dx ＝⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ⎪⎪⎪20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋12－(ln 1＋1)＝ln 2－12. 【答案】 ln 2－12(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )dx ；(2)⎠⎛02|x 2－1|dx . 【精彩点拨】 (1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2，4]三段求定积分，再求和.(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分. 【自主解答】 (1)⎠⎛04f (x )dx ＝⎠⎜⎛0π2sin xdx ＋⎠⎜⎛π221dx ＋⎠⎛24(x －1)dx ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪π20＋x ⎪⎪⎪⎪2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪42＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|dx ＝⎠⎛01(1－x 2)dx ＋⎠⎛12(x 2－1)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝2.1.本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解.2.分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行.3.带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解.[再练一题]2.计算定积分：⎠⎛－33(|2x ＋3|＋|3－2x |)dx .【解】 设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |，x ∈[－3，3]，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，32<x ≤3.所以⎠⎛－33(|2x ＋3|＋|3－2x |)dx ＝⎠⎜⎛-3-32(－4x )dx ＋⎠⎜⎜⎛-32326 dx ＋⎠⎜⎛3234x dx ＝－2x 2⎪⎪⎪⎪-32-3＋6x ⎪⎪⎪⎪32-32＋2x 2⎪⎪⎪⎪332＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫94－9＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫9－94＝45. [探究共研型]探究1 【提示】 不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值. 探究2 如何求对称区间上的定积分？【提示】 在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便.(1)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f （x ）dx ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值；(2)已知f (x )是一次函数，其图像过点(3，4)，且⎠⎛01f （x ）dx ＝1，求f (x )的解析式.【精彩点拨】 (1)先利用微积分基本定理求出定积分⎠⎛01f （x ）dx ，然后列出关于x 0的方程，求出x 0的值.(2)设出f (x )的解析式，再根据已知条件列方程组求解. 【自主解答】 (1)因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)， 且⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋cx ′＝ax 2＋c ， 所以⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(ax 2＋c )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋cx |10＝a 3＋c ＝ax 20＋c ，解得x 0＝33或x 0＝－33(舍去). (2)依题意设一次函数f (x )的解析式为 f (x )＝kx ＋b (k ≠0).∵函数图像过点(3，4)，∴3k ＋b ＝4.①∵⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(kx ＋b )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2＋bx |10＝k2＋b ，∴k2＋b ＝1.②由①②得，k ＝65，b ＝25， ∴f (x )＝65x ＋25.1.含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提.2.计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念.[再练一题]3.已知⎠⎛0k (2x －3x 2)dx ＝0，则k 等于( )【导学号：94210072】A.0B.1C.0或1D.以上都不对【解析】 ∵⎠⎛0k (2x －3x 2)dx ＝(x 2－x 3)|k＝k 2－k 3， ∴k 2－k 3＝0，解得k ＝1或k ＝0(舍去)，故选B . 【答案】 B[构建·体系]微积分基本定理—⎪⎪⎪⎪—定理—定积分的计算—定积分的几何意义1.下列定积分的值等于1的是( ) A.⎠⎛01xdx B.⎠⎛01(x ＋1)dx C.⎠⎛011dx D.⎠⎛0112dx 【解析】 选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01xdx ＝x 22⎪⎪⎪10＝12；选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ⎪⎪⎪10＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011dx ＝x ⎪⎪⎪10＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112dx ＝12x ⎪⎪⎪10＝12.【答案】 C2. ⎠⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )dx 的值是( ) A.0 B.π4 C.2D.4【解析】 ⎠⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )dx ＝⎠⎜⎛-π2π2sin xdx ＋⎠⎜⎛-π2π2cos xdx ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪π2-π2＋sin x ⎪⎪⎪⎪π2-π2＝2. 【答案】 C3.计算⎠⎛01x 2dx ＝________.【导学号：94210073】【解析】 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3′＝x 2，所以⎠⎛01x 2dx ＝13x 3⎪⎪⎪10＝13.【答案】 134.已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)dx ≤4，则实数k 的取值范围为________.【解析】 ⎠⎛12(kx ＋1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪21＝(2k ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，25.已知f (x )＝ax ＋b ，且⎠⎛－11f 2(x )dx ＝1，求f (a )的取值范围.【解】 由f (x )＝ax ＋b ，⎠⎛－11f 2(x )dx ＝1，得2a 2＋6b 2＝3，2a 2＝3－6b 2≥0， 所以－22≤b ≤22，所以f (a )＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋32 ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b －162＋1912， 所以－22≤f (a )≤1912.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)学业分层测评(十六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1.⎠⎛241x d x 等于( ) A.－2ln 2 B.2ln 2 C.－ln 2D.ln 2【解析】 ⎠⎛241x d x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2.【答案】 D2.设a ＝⎠⎛01x 13d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a【解析】 ∵a ＝⎠⎛01x 13d x ＝x 4343⎪⎪⎪10＝34，b ＝⎠⎛01x 2d x ＝x 33⎪⎪⎪10＝13，c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 44⎪⎪⎪10＝14，∴a >b >c . 【答案】 A3.(2016·东莞高二检测)已知⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝k ，则实数k ＝( )A.2B.－2C.1D.－1【解析】 ⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪10＝12k ＋1＝k ，∴k ＝2.【答案】 A4.已知f (x )＝2－|x |，则⎠⎛－12f (x )d x ＝( ) A.3 B.4 C.72D.92【解析】 因为f (x )＝2－|x |＝⎩⎨⎧2＋x ，x ≤0，2－x ，x ≥0，所以⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－10(2＋x )d x ＋⎠⎛02(2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 22⎪⎪⎪0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 22⎪⎪⎪20＝32＋2＝72. 【答案】 C5.设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，0≤x ＜1，2－x ，1＜x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.23B.34C.45D.56【解析】 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋12＝56. 【答案】 D 二、填空题6.(2015·长沙高二检测)若f (x )＝sin x ＋cos x ， 则⎠⎜⎛-π2π2f (x )d x ＝________. 【解析】 因为f (x )＝sin x ＋cos x ，所以f (x )的一个原函数F (x )＝sin x －cos x ， 则⎠⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2－cos π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2. 【答案】 27.(2016·长沙高二检测)f (x )＝sin x ＋cos x ，则⎠⎜⎛-π2π2f (x )d x ＝__________. 【解析】⎠⎜⎛-π2π2f (x )d x ＝⎠⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π2-π2＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝sin π2＋sin π2＝1＋1＝2. 【答案】 28.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝__________.【导学号：94210074】【解析】 因为f (1)＝lg 1＝0，且⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3－03＝a 3， 所以f (0)＝0＋a 3＝1，所以a ＝1. 【答案】 1 三、解答题9.已知f (x )＝⎠⎛－a x (12t ＋4a )d t ，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值.【解】 因为f (x )＝⎠⎛－a x (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )⎪⎪⎪x－a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2， F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )⎪⎪⎪10＝2＋2a ＋a 2＝(a ＋1)2＋1≥1.∴当a ＝－1时，F (a )有最小值1.10.设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，f (1)＝4，f ′(1)＝1，⎠⎛01f (x )d x ＝196，求f (x ).【解】 因为f (1)＝4，所以a ＋b ＋c ＝4，① f ′(x )＝2ax ＋b ，因为f ′(1)＝1，所以2a ＋b ＝1，② ⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪1＝13a ＋12b ＋c ＝196，③由①②③可得a ＝－1，b ＝3，c ＝2. 所以f (x )＝－x 2＋3x ＋2.[能力提升]1.已知等比数列{}a n ，且a 4＋a 8＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( )A.π2B.4C.πD.－9π【解析】 ⎠⎛024－x 2d x 表示以原点为圆心，半径r ＝2在第一象限的面积，因此⎠⎛024－x 2d x ＝π，a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6·a 2＋2a 6·a 6＋a 6·a 10＝a 24＋2a 4·a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝π2，故选A .【答案】 A2.如图4-2-2所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为()图4-2-2A.14 B.15 C.16D.17【解析】 因为S 正方形＝1，S 阴影＝⎠⎛01(x －x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪10＝23－12＝16，所以点P 恰好取自阴影部分的概率为161＝16. 【答案】 C3.计算：⎠⎛－22(2|x |＋1)d x ＝__________.【解析】 ⎠⎛－22(2|x |＋1)d x ＝⎠⎛－20(－2x ＋1)d x ＋⎠⎛02(2x ＋1)d x ＝(－x 2＋x )|0－2＋(x 2＋x )|20 ＝－(－4－2)＋(4＋2)＝12. 【答案】 124.定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，x ，y ∈(0，＋∞).令函数f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9))的图像为曲线C 1，曲线C 1与y 轴交于点A (0，m )，过坐标原点O 作曲线C 1的切线，切点为B (n ，t )(n >0)，设曲线C 1在点A ，B 之间的曲线段与OA ，OB 所围成图形的面积为S ，求S 的值.【解】 ∵F (x ，y )＝(1＋x )y ， ∴f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9)) ＝2log 2(x 2－4x ＋9)＝x 2－4x ＋9，故A (0，9)，f ′(x )＝2x －4. 又∵过O 作C 1的切线， 切点为B (n ，t )(n >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝n 2－4n ＋9，t n＝2n －4，解得B (3，6).∴S ＝⎠⎛03(x 2－4x ＋9－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－3x 2＋9x ⎪⎪⎪30＝9.。
微积分北京大学出版社课后详解
解
∞ 1 ⎞ 1 1 ⎛ 由于 n → ∞, ln ⎜ 1 + 2 ⎟ ∼ 2 ，而 ∑ 2 收敛，∴ 原级数收敛. ⎝ n ⎠ n n =1 n
（6） ∑
ln n ； 2 n =1 n
1 n 1 2 n
∞ 1 2 0 ，其中 ∑ 3 收敛，∴ 级数收敛. n n =1 2 n
∞
ln n 2 ln n 解 ∵ lim n = lim 1 = lim n →∞ 1 n →∞ n →∞ n2 3 n2
∞
（2） ∑
n =1
1 ； n(n + 2)
1 ∞ n( n + 2) 1 = 1 ，其中 ∑ 发散，∴ 级数发散. 1 n =1 n n
解
lim
n →∞
（3） ∑ 2n sin
n =1
∞
π
3n
；
∞ 2n ⎛2⎞ 解 由于 n → ∞,sin n ∼ n ，故 2 sin n ∼ n π ，而 ∑ π ⎜ ⎟ 收敛，∴ 级数收敛. 3 3 3 3 ⎝3⎠ n =1 n ∞ 3 ⋅ n! （4） ∑ n ； n n =1
u 1 1 1 1 1 = < 1， ∼ n ，则 lim n +1 = lim ( n + 1) sin n +1 ⋅ n n →∞ u n →∞ 1 3 3 3 n n sin n 3 3
（4） ∑ n tan
n =1
∞
π
2n
；
解
由于 n → ∞, tan
π
2
n
∼
π
2
n
，则 lim
un +1 π 1 1 = lim ( n + 1) tan n +1 ⋅ = <1， n →∞ u n →∞ π 2 n n tan n 2 2
微积分北京大学出版社课后详解
（2）
∫∫ ( x + 2 y)dσ ，其中 D 由直线 x = 0, y = 0, x + y = 1 所围.
D
解：D: 0 ≤ x ≤ 1 , 原式=
0 ≤ y ≤ 1− x
1 1− x 0
y
1 1 (1 − x)dx 2 ∫0
∫
1 0
dx ∫
1− x 0
( x + 2 y )dy = ∫ ( xy + y 2 ) 0 dx =
y
ln 2 ≤ y ≤ ln 3
ln3 ln2
解：D: 2 ≤ x ≤ 4 , 原式=
1n3
ln3 ln2
∫
dy ∫ ye xy dx = ∫
2 2 y ln 3
4
e xy dy = ∫
2
4
(e
4y
− e 2 y ) dy
1n2
o
=
1 1 1 1 e − e = ( e 4ln 3 − e 4ln 2 ) − ( e 2ln 3 − e 2ln 2 ) ln 2 ln 2 4 2 4 2 1 4 1 55 3 = 13 = ( 3 − 24 ) − ( 32 − 22 ) = 4 4 2 4
1
x+ y=1
0 ≤ x ≤1,
原式=
0
-1
−x − y = 1
− e−1 ) dx + ∫ ( e − e2 x −1 ) dx
1 0
o
∫
0 −1
dx ∫
1+ x
1+ x
−1− x
e x + y dy + ∫ dx ∫
1 1− x x −1 0
微积分北京大学出版社课后详解
)
∞ ⎞ (2n)!⎛ 1 ⎜− 1 ⎟ 当 x = − 时，级数为 ∑ ⎟ 2 ⎜ ⎟ ⎜ 2⎠ 2 n=1 ( n !) ⎝
2 n−1
2n 2 n−1 ∞ 4π n ( 2n) e−2n (1 + o (1) ) ⎛ 1 ⎞2n−1 2n) ! ⎛ 1 ⎞ ( −2 un = − = − = ； ∵ ∑ ⎟ ⎟ 2 ⎜ 2 ⎜ π n (1 + o (1) ) n =1 ( n!) ⎝ 2 ⎠ ( 2π nnne−n (1+ o (1))) ⎝ 2 ⎠
故收敛区间和收敛域均为 (− ∞,+∞ ) . （4） ∑ (−1) n
n =0 ∞
3n n x ； n!
解
收敛半径 R = lim
n →∞
an 3n ( n + 1) ! = lim ⋅ n +1 = ∞ ， an +1 n→∞ n ! 3
故收敛区间和收敛域均为 (− ∞,+∞ ) . （5） ∑ 解
∵ ∑ nx
n =1
∞
n −1
= ∑( x
n =1
∞
n '
)
′ ′ ′ 1 ⎞ 1 ⎛ ∞ n⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ = ⎜∑ x ⎟ = ⎜ ， ⎟ = ⎜ −1 + ⎟ = 1 − x ⎠ (1 − x)2 ⎝ n =1 ⎠ ⎝ 1 − x ⎠ ⎝
∴ ∑ nx n =
n=0
∞
x (1 − x ) 2
（4） ∑ (−1) n
n =0
∞
x 2 n +1 ； 2n + 1
5
解
令 S ( x) =43;1 ( −1 ≤ x ≤ 1) ， 2n + 1
2019-2020年北师大版数学选修2-2课时分层作业16 微积分基本定理+Word版含解析
课时分层作业(十六)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．⎠⎛241x d x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2D ．ln 2D [⎠⎛241x d x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2．] 2．设a ＝⎠⎛01x 13d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c>a >bC ．a >c>bD ．c>b >aA [∵a ＝⎠⎛01x 13d x ＝x 4343⎪⎪⎪1＝34，b ＝⎠⎛01x 2d x ＝x 33⎪⎪⎪10＝13，c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 44⎪⎪⎪1＝14， ∴a >b >c.]3．已知⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝k ，则实数k ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1A [⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x | 10＝12k ＋1＝k ，∴k ＝2．]4．已知f (x )＝2－|x |，则⎠⎛-12f (x )d x ＝( )A ．3B ．4 C.72D.92C [因为f (x )＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ，x ≤0，2－x ，x ≥0，所以⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛0－1(2＋x )d x ＋⎠⎛02(2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋x 22| 0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 22| 20＝32＋2＝72.] 5．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，0≤x ＜1，2－x ，1＜x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.23 B.34 C.45D.56D [⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2 ⎪⎪⎪21 ＝13＋12＝56.] 二、填空题6．若⎠⎛0k(2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于__________．1 [⎠⎛0k(2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)|k 0＝k 2－k 3＝0，∴k ＝0(舍)或k ＝1．] 7．⎠⎜⎜⎛-π2π2(1＋cos x )d x 等于________． π＋2 [∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ，8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝__________.1 [因为f (1)＝lg 1＝0，且⎠⎛0a3t 2dt ＝t 3|a 0＝a 3－03＝a 3， 所以f (0)＝0＋a 3＝1，所以a ＝1．] 三、解答题9．已知f (x )＝⎠⎛x－a (12t ＋4a )dt ，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值． [解] 因为f (x )＝⎠⎛-a x (12t ＋4a )dt ＝(6t 2＋4at )⎪⎪⎪x－a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2， F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )⎪⎪⎪10＝2＋2a ＋a 2＝(a ＋1)2＋1≥1．∴当a ＝－1时，F (a )有最小值1． 10．已知f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝1．(1)如果f (x )的图像经过点(3,4)，求f (x )的解析式； (2)求证：⎠⎛01[f (x )]2d x >1．[解] (1)设f (x )的解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)．因为⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛10(kx ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x 2＋bx | 10＝k 2＋b . 所以k2＋b ＝1．①又因为f (x )的图像经过点(3,4)． 所以3k ＋b ＝4.②由①②解得k ＝65，b ＝25. 所以y ＝65x ＋25.(2)证明：因为⎠⎛01 [f (x )]2d x ＝⎠⎛01(kx ＋b )2d x＝⎠⎛01(k 2x 2＋2kbx ＋b 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2x 3＋kbx 2＋b 2x | 10 ＝13k 2＋kb ＋b 2， 由①可得k ＝2(1－b )． 因为k ≠0，所以b ≠1． 所以⎠⎛01[f (x )]2d x＝43(1－b )2＋2b (1－b )＋b 2 ＝13(b －1)2＋1>1．[能力提升练]1．已知等比数列{}a n ，且a 4＋a 8＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( )A ．π2B ．4C ．πD ．－9πA [⎠⎛24－x 2d x 表示以原点为圆心，半径r ＝2在第一象限的面积，因此⎠⎛24－x 2d x ＝π，a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6·a 2＋2a 6·a 6＋a 6·a 10＝a 24＋2a 4·a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝π2，故选A .]2．⎠⎛01(x －e x )d x 等于( ) A.32－e B.12－e C.32＋eD.12＋eA [⎠⎛01(x －e x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－e x | 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－e －(－1)＝32－e.] 3．计算：⎠⎛-22(2|x |＋1)d x ＝__________.12 [⎠⎛-22(2|x |＋1)d x ＝⎠⎛-2(－2x ＋1)d x ＋⎠⎛02(2x ＋1)d x ＝(－x 2＋x )|0－2＋(x 2＋x )|20 ＝－(－4－2)＋(4＋2)＝12．]4．已知⎠⎛-11(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6且f (t )＝⎠⎛0t(x 3＋ax ＋3a －b )d x 为偶函数，则a ＝________，b ＝________.－3 －9 [∵f (x )＝x 3＋ax 是奇函数，∴⎠⎛-11(x 3＋ax )d x ＝0，∴⎠⎛-11(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝⎠⎛-11(x 3＋ax )d x ＋⎠⎛-11(3a －b )d x ＝0＋(3a －b )[1－(－1)] ＝6a －2b ，∴6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b ＝3.①又f (t )＝⎠⎛t0(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 44＋ax 22＋(3a －b )x t|0 ＝t 44＋a t 22＋(3a －b )t 为偶函数，∴3a －b ＝0. ②由①②得a ＝－3，b ＝－9.]5．定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，x ，y ∈(0，＋∞)．令函数f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9))的图像为曲线C 1，曲线C 1与y 轴交于点A (0，m )，过坐标原点O 作曲线C 1的切线，切点为B (n ，t )(n >0)，设曲线C 1在点A ，B 之间的曲线段与O A ，O B 所围成图形的面积为S ，求S 的值．[解] ∵F (x ，y )＝(1＋x )y ， ∴f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9)) ＝2log 2(x 2－4x ＋9)＝x 2－4x ＋9， 故A (0,9)，f ′(x )＝2x －4.又∵过O 作C 1的切线， 切点为B (n ，t )(n >0)，∴⎩⎨⎧t ＝n 2－4n ＋9，tn ＝2n －4，解得B (3,6)．∴S ＝⎠⎛03(x 2－4x ＋9－2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－3x 2＋9x ⎪⎪⎪3＝9.。
金优课高中数学北师大选修课时作业： 微积分基本定理 含解析
选修2-2 第四章 §2 课时作业21一、选择题1．⎠⎛02π|sin x |d x 等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－4解析：∫2π0|sin x |d x ＝⎠⎛0πsin x d x ＋∫2ππ(－sin x )d x＝(－cos x )⎪⎪⎪π0＋cos x ⎪⎪⎪2ππ＝1－(－1)＋1－(－1)＝4.故选C.答案：C2． (1－2sin 2θ2)dθ的值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32解析：(1－2sin 2θ2)dθ＝cosθdθ＝sinθ⎪⎪⎪⎪π30＝32，故选D.答案：D3． 下列各式中错误的是( )A ．sinφdφ＝1B ．cosφdφ＝1C ．⎠⎛1e e x d x ＝－1D ．⎠⎛1e 1xd x ＝1解析：sinφdφ＝(－cosφ)⎪⎪⎪⎪π20＝－0－(－1)＝1，cosφdφ＝sinφ⎪⎪⎪⎪π20＝1－0＝1，⎠⎛1e e x d x ＝e x ⎪⎪⎪e 1＝e e －e ， ⎠⎛1e 1xd x ＝ln x ⎪⎪⎪ e 1＝lne －0＝1.故选C. 答案：C4． 已知f (x )是一次函数且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为( )A ．4x ＋3B ．3x ＋4C ．－4x ＋3D ．－3x ＋4解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则xf (x )＝ax 2＋bx ， ⎠⎛01f (x )d x ＝(a 2x 2＋bx )⎪⎪⎪10＝a 2＋b ＝5， ① ⎠⎛01xf (x )d x ＝(a 3x 3＋b 2x 2)⎪⎪⎪10＝a 3＋b 2＝176，②联立①②得⎩⎨⎧a2＋b ＝5a 3＋b 2＝176⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3. ∴f (x )＝4x ＋3. 故选A. 答案：A 二、填空题5．[2013·湖南高考]若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析：∵⎠⎛0T x 2d x ＝13T 3＝9，T >0，∴T ＝3.答案：36．⎠⎛2－1|x 2－x |d x ＝__________.解析：⎠⎛2－1|x 2－x |d x ＝⎠⎛0－1(x 2－x )d x ＋⎠⎛01(x －x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－x )d x＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 220－1＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22－13x 310＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－x 2221＝116. 答案：1167．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为__________．解析：⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx 10＝13a ＋c ＝ax 20＋c ⇒x 0＝33⎝⎛⎭⎫由0≤x 0≤1，则x 0＝－33舍去. 答案：33三、解答题8．计算下列定积分． (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ； (2)⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ； (3)(sin x －sin2x )d x .解：(1)∵⎝⎛⎭⎫23x 3－ln x ′＝2x 2－1x ， ∴⎠⎛12⎝⎛⎭⎫2x 2－1x d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫23x 3－ln x 21 ＝⎝⎛⎭⎫23×23－ln2－⎝⎛⎭⎫23×13－ln1 ＝143－ln2. (2)∵⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＝x ＋1x ＋2，且⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x ＋2x ′＝x ＋1x ＋2， ∴⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ln x ＋2x 32 ＝⎝⎛⎭⎫322＋ln 3＋6－⎝⎛⎭⎫222＋ln 2＋4 ＝92＋ln 32. (3)∵(－cos x ＋12cos2x )′＝sin x －sin2x ，∴(sin x －sin2x )d x ＝(－cos x ＋⎪⎪12cos2x )π30＝⎝⎛⎭⎫－cos π3＋12cos 2π3－⎝⎛⎭⎫－cos0＋12cos0 ＝－12－14＋1－12＝－14.9．设f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)若直线x ＝－t (0<t <1)把y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 由已知f ′(x )＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又方程f (x )＝0有两个相等的实根， 所以Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意知：⎠⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛0－t (x 2＋2x ＋1)d x ，所以 ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x －t －1＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋x 2＋x 0－t .－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t ，所以2t 3－6t 2＋6t －1＝0， 即2(t －1)3＋1＝0.于是t ＝1－132.。
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习题8.1
1. 写出下列级数的一般项：
（1）2345612345
+++++⋅⋅⋅； 解： 1n n u n
+= （2）135123234345
+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅； 解： ()()2112n n u n n n −=
++ （3）1111tan 2tan 3tan 4tan 24816++++ 解： 1tan 2
n n u n = 2. 用级数收敛的定义判别下列级数的敛散性，若收敛，求其和：
（1）11ln
n n n
∞=+∑ ； 解： ()()()()
()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln ln 1n S n n n =−+−++−=+∵ ，
则lim n n S →∞=∞，∴级数发散. （2
）1n ∞=； 解：
n u =
=−∵
1n S =++=− ， 则lim n n S →∞=∞，∴级数发散. （3）()()1
12121n n n ∞=−+∑ ；
解： 111111111123352121221n S n n n ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−+−+−=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥−++⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎣⎦∵ ， 则1lim 2
n n S S →∞==，级数收敛，和为12. （4）()1212n n n ∞
=+−∑. 解： ()111122n n n n u −=
+−∵是1q <的等比级数的通项之和，故级数收敛
1
1152211331122S −
∴=+=−=−+，即和为53. 3. 判别下列级数的敛散性：
（1）1
21n n n ∞=+∑； 解： 1lim lim
0 212n n n n u n →∞→∞==≠∴+∵ 级数发散. （2）11
(1)
n n ∞−=−∑； 解： 1lim lim(1)n n n n u −→∞→∞
=−=∵不存在 0 ≠∴级数发散. （3）23
23222333
−+− ； 解： ()1213n
n n u −⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∵，是213q =−<的等比级数，∴级数收敛. （4
）12； 解：
n u =
∵，从而
11lim lim 102n n n n n u →∞→∞===≠，∴级数发散. （5）111113691215
+++++ ； 解： 13n u n =∵，而级数11n n
∞=∑发散，∴级数发散. （6）21111111 (23100222)
n +++++++++； 解： 删掉前面100项为2111......222n ++++是12
q =是等比级数，∴级数收敛. （7）22111111232323
n n ++++++ ； 解： 1123n n n u =+∵是公比小于1的等比级数的通项之和，∴级数收敛. （8）231111111152535
5n n ++++++++ . 解： 115n n u n =+∵，其中11n n
∞=∑发散，∴级数发散.。