微积分北京大学出版社课后详解
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习题8.1
1. 写出下列级数的一般项：
（1）2345612345
+++++⋅⋅⋅； 解： 1n n u n
+= （2）135123234345
+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅； 解： ()()2112n n u n n n −=
++ （3）1111tan 2tan 3tan 4tan 24816++++ 解： 1tan 2
n n u n = 2. 用级数收敛的定义判别下列级数的敛散性，若收敛，求其和：
（1）11ln
n n n
∞=+∑ ； 解： ()()()()
()ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln ln 1n S n n n =−+−++−=+∵ ，
则lim n n S →∞=∞，∴级数发散. （2
）1n ∞=； 解：
n u =
=−∵
1n S =++=− ， 则lim n n S →∞=∞，∴级数发散. （3）()()1
12121n n n ∞=−+∑ ；
解： 111111111123352121221n S n n n ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=−+−+−=−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥−++⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎣⎦∵ ， 则1lim 2
n n S S →∞==，级数收敛，和为12. （4）()1212n n n ∞
=+−∑. 解： ()111122n n n n u −=
+−∵是1q <的等比级数的通项之和，故级数收敛
1
1152211331122S −
∴=+=−=−+，即和为53. 3. 判别下列级数的敛散性：
（1）1
21n n n ∞=+∑； 解： 1lim lim
0 212n n n n u n →∞→∞==≠∴+∵ 级数发散. （2）11
(1)
n n ∞−=−∑； 解： 1lim lim(1)n n n n u −→∞→∞
=−=∵不存在 0 ≠∴级数发散. （3）23
23222333
−+− ； 解： ()1213n
n n u −⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∵，是213q =−<的等比级数，∴级数收敛. （4
）12； 解：
n u =
∵，从而
11lim lim 102n n n n n u →∞→∞===≠，∴级数发散. （5）111113691215
+++++ ； 解： 13n u n =∵，而级数11n n
∞=∑发散，∴级数发散. （6）21111111 (23100222)
n +++++++++； 解： 删掉前面100项为2111......222n ++++是12
q =是等比级数，∴级数收敛. （7）22111111232323
n n ++++++ ； 解： 1123n n n u =+∵是公比小于1的等比级数的通项之和，∴级数收敛. （8）231111111152535
5n n ++++++++ . 解： 115n n u n =+∵，其中11n n
∞=∑发散，∴级数发散.