概率论与数理统计教程习题(第三章多维随机变量及其分布)

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概率论与数理统计(浙大) 习题答案第3章

第三章多维随机变量及其分布1. 在一箱子中装有12只开关, 其中2只是次品, 在其中取两次, 每次任取一只, 考虑两种试验: (1)放回抽样, (2)不放回抽样. 我们定义随机变量X , Y 如下:⎩⎨⎧=若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品10X ,⎩⎨⎧=若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品10Y .试分别就(1), (2)两种情况, 写出X 和Y 的联合分布律.解: (1)(X , Y )所有可能取的值为(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), 按古典概型, 显然有362512101210)0 ,0(=⋅===Y X P ,3651221210)1 ,0(=⋅===Y X P ,3651210122)0 ,1(=⋅===Y X P ,361122122)1 ,1(=⋅===Y X P ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律(2)(X , Y )所有可能取的值为(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), 按古典概型, 显然有66451191210)0 ,0(=⋅===Y X P ,66101121210)1 ,0(=⋅===Y X P ,66101110122)0 ,1(=⋅===Y X P ,661111122)1 ,1(=⋅===Y X P ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律2. 盒子里装有3只黑球, 2只红球, 2只白球, 在其中任取4只球, 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到白球的只数, 求X , Y 的联合分布律.解: (X , Y )的可能取值为(i , j ), i =0, 1, 2, 3, j =0, 1, 2, i +j ≥2, 联合分布律为P (X =0, Y =2)=351472222=C C C ,P (X =1, Y =1)=35647221213=C C C C , P (X =1, Y =2)=35647122213=C C C C , P (X =2, Y =0)=351472222=C C C ,P (X =2, Y =1)=351247121223=C C C C ,P (X =2, Y =2)=353472223=C C C ,P (X =3, Y =0)=352471233=C CC ,P (X =3, Y =1)=352471233=C CC ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律3. 设随机变量(X , Y )概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它042 ,20)6(),(y x y x k y x f . (1)确定常数k ; (2)求P (X <1, Y <3); (3)求P (X <1.5); (4)求P (X +Y ≤4). 解: (1)因为 k dydx y x k dy dx y x f 8)6(),(1242=--==⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-,所以81=k .(2)83)6(81)3 ,1(3210⎰⎰=--=<<dy y x dx Y X P .(3)3227)6(81) ,5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P .(4)32)6(81}4{4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dx Y X P x .4. 将一枚硬币掷3次, 以X 表示前2次中出现H 的次数, 以Y 表示3次中出现H 的次数, 求(X , Y )的联合分布律及边缘分布律.故(X , Y )的联合分布律为(X , Y )关于X 的边缘分布律为即)21 ,2(~b X .(X , Y )关于Y 的边缘分布律为即)21 ,3(~b Y .5. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤-=其它00,10)2(8.4),(xy x x y y x f , 求边缘概率密度. 解: ⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它010)2(8.40x dy x y x⎩⎨⎧≤≤-=其它010)2(4.22x x x ,⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它010)2(8.41y dx x y y⎩⎨⎧≤≤+-=其它010)43(4.22y y y y . 6. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其它00),(y x e y x f y , 求边缘概率密度.解:⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰+∞-000x x dy e x y⎩⎨⎧≤>=-000x x e x . ⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰-000y y dx e y y⎩⎨⎧≤>=-000y y ye y . 7. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它01),(22y x y cx y x f . (1)试确定常数c ; (2)求边缘概率密度. 解: (1)因为l =⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-+-∞+∞-===c dy y c ydx cx dy dxdy y x f yy 21432),(1025210,所以421=c .(2)X 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它011421)(~122x ydy x x f X x X⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它011)1(82142x x x .X 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎰+-其它010421)(~2y ydx d y f Y y y Y⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它0102725y y .8. 将某一医公司9月份和8月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为X 和Y , 据以往积累的资料知X 和Y 联合分布律为:(1)求边缘分布律;(2)求8月份的订单数为51时, 9月份订单数的条件人布律.解: 在表中运算得(2)因为j ijj j i i i p p y Y P y Y x X P y Y x X P ⋅=======)() ,()|(, 并且P (Y =51)=0.28=p ⋅j , 所以28628.006.0)51|51(====Y X P ,28728.007.0)51|52(====Y X P ,28528.005.0)51|53(====Y X P ,28528.005.0)51|54(====Y X P ,28528.005.0)51|55(====Y X P ,故当8月份的订单数为51时, 9月份订单数的条件分布律为9. 以X 记某一医院一天出生的婴儿的个数, Y 记男婴的个数, 记X 和Y 的联合分布律为)!(!)86.6()14.7() ,(14m n m e m Y n X P mn m -===--(m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅, n ;n =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).(1)求边缘分布律; (2)求条件分布律;(3)特别写出当X =20时, Y 的条件分布律. 解: (1)边缘分布律:∑∑=--=-=====nm mn m n m m n m e m Y n X P n X P 0140)!(!)86.6()14.7() ,()(∑=--⋅⋅⋅⋅=nm m n m m ne n C 014)86.6()14.7(!1 ∑=--⋅⋅=n m m n m mn C n e 014)86.6()14.7(! !14)86.614.7(!1414n e n e n n --⋅=+=(n =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ). ∑∑∞=--∞=-=====0140)!(!)86.6()14.7() ,()(n mn m n m n m e m Y n X P m Y P∑∞=---=014)!()86.6(!)14.7(n mn m m n m e m m m e e m e )14.7(!!)14.7(14.786.614--==(m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).(2)条件分布律:m mn m m e m n m e m Y P m Y n X P m Y n X P )14.7(!)!(!)86.6()14.7()() ,()|(14.714----======= )!()86.6(86.6m n e mn -⋅=--(n =m , m +1, ⋅⋅⋅ ).当m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ 时1414!14)!(!)86.6()14.7()() ,()|(----=======e n m n m e n X P m Y n X P n X m Y P nmn m m n m m n m n -⋅⋅-=)1486.6()1414.7()!(!! m m mn C -⋅⋅=20)49.0()51.0((m =0, 1, ⋅⋅⋅ , n ). (3)当X =20时, Y 的条件分布为m m mC X m Y P -⋅===2020)49.0()51.0()20|((m =0, 1, ⋅⋅⋅ , 20).10. 求§1例1中的条件分布律: P (Y =k |X =i )=?解: 由于)(),()|(i X P i X k Y P i X k Y P ======, 而411) ,(⋅===i i X k Y P (i =1, 2, 3, 4, k ≤i ),41)(==i X P ,所以ii X k Y P 1)|(===(i =1, 2, 3, 4, k ≤i ),即11. 在第7题中(1)求条件概率f X |Y (x |y ), 特别, 写出当21=Y 时X 的条件概率密度; (2)求条件概率密度f Y |X (y |x ), 特别, 分别写出当31=X , 21=X 时Y 的条件概率密度; (3)求条件概率P (Y ≥1/4|X =1/2), P (Y ≥3|X =1/2). 解: (1)当0<y ≤1时,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他027421)(),()|(252|y x y y yx y f y x f y x f Y Y X ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-其他023232y x y y x ,特别, ⎪⎩⎪⎨⎧<<-==-其他02121)21(23)21|(232|x x y x f Y X ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他02121232x x .(2)当-1<x ≤1时,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他01)1(821421)(),()|(2422|y x x x y x x f y x f x y f X X Y ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他01)1(222y x x y ,特别, ⎪⎩⎪⎨⎧<<-==其他0191))3/1(1(2)31|(4|y y x y f X Y⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他01914081y y ,⎪⎩⎪⎨⎧<<-==其他0141))2/1(1(2)21|(4|y y x y f X Y⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他01411532y y .(3))21|41()21|1()21|41(=<-=<==≥X Y P X Y P X Y P1153215324141141=-=⎰⎰ydy ydy ,)21|43()21|1()21|43(=<-=<==≥X Y P X Y P X Y P157153214341=-=⎰ydy .12. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<=其他010 ,||1),(x x y y x f , 求条件概率密度f Y |X (y |x ),f X |Y (x |y ). 解: f (x ,y )的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎰-其他0101)(x dy x f x x X ⎩⎨⎧<<=其他0102y x ,⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎰其他0111)(1||y dx x f y Y ⎩⎨⎧<<--=其他011||1y y ,所以当0<x <1时,⎪⎩⎪⎨⎧<==其他0||21)(),()|(|x y xx f y x f x y f X X Y , 当|y |<1时,⎪⎩⎪⎨⎧<-==其他0||||11)(),()|(|x y y x f y x f x y f Y Y X , 13. (1)问第1题中的随机变量X 和Y 是否相互独立？(2)问第12题中的随机变量X 和Y 是否相互独立？(需说明理由) 解: (1)有放回抽样时, 由于ij =p i ⋅⋅p ⋅j , 所以X 和Y 独立. 不放回抽样时, 由于ij =p i ⋅⋅p ⋅j , 所以X 和Y 不独立.(2)由于当|y |<x , 0<x <1时, f X (x )⋅f Y (y )=2x (1-|y |)≠f (x , y )=1, 故X 和Y 不独立.14. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布, Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00021)(2y y e y f y Y .(1)求X 和Y 的联合概率密度;(2)设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0, 试求a 有实根的概率.解: (1)按已知X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他0101)(x x f X .由于X 和Y 相互独立, 故(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧><<=⋅=-其他0,1021)()(),(2y x e y f x f y x f y Y X .(2)要使a 有实根, 必须方程a 2+2Xa +Y =0的判别式∆=X 2-Y ≥0,⎰⎰⎰---==≥-10202102)1(21)0(22dx e dy e dx Y X P x x y⎰⎰⎰∞--∞-----=-=02121022222121[211dx e dx e dx e x x x πππ 1445.0)]0()1([21=Φ-Φ-=π.15. 第1题中的随机变量X 和Y 是否相互独立. 解: 放回抽样的情况P (X =0, Y =0)=P (X =0)⋅P (Y =0)3625=P (X =0, Y =1)=P (X =0)⋅P (Y =1)365=P (X =1, Y =0)=P (X =1)⋅P (Y =0)3651210122=⋅=P (X =1, Y =1)=P (X =1)⋅P (Y =1)361122122=⋅=.在放回抽样的情况下, X 和Y 是独立的. 不放回抽样的情况:P (X =0, Y =0)66451191210=⋅=,P (X =0)651210==,P (X =0)=P (X =0, Y =0)+P (Y =0, X =1) 6511101121191210=⋅+⋅=,P (X =0)⋅P (Y =0)36256565=⨯=,P (X =0, Y =0)≠P (X =0)P (Y =0), 所以X 和Y 不独立.14. 设X , Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布. Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=00021)(2y y e y f y Y .(1)求X 和Y 的联合密度;(2)设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0,试求有实根的概率. 解: (1)X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其它0)1 ,0(1)(x x f X ,Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00021)(2y y e y f y Y ,可见且知X , Y 相互独立, 于是(X , Y )的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其它0,1021)()(),(2y x e y f x f y x f y Y X .(2)由于a 有实根, 从而判别式∆=4X 2-4Y ≥0, 即Y ≤X 2. 记}0,10|),{(2x y x y x D <<<<=, ⎰⎰=≤Ddxdy y x f X Y P ),(}{2⎰⎰⎰⎰⎰----=-==10010102022222121x xx y y dx e de dx dy e dxdx e x ⎰-⋅-=00222121ππ)5.08413.0(21)]2()1([21--=Φ-Φ-=ππ 1445.08555.013413.05066312.21=-=⨯-=.15. 进行打靶, 设弹着眯A (X , Y )的坐标X 和Y 相互独立, 且都服从N (0, 1)分布, 规定点A 落在区域D 1={(x , y )|x 2+y 2≤1}得2分; 点A 落在D 2={(x , y )|1≤x 2+y 2≤4}得1分; 点A 落在D 3={(x , y )|x 2+y 2>4}得0分, 以Z 记打靶的得分, 写出X , Y 的联合概率密度, 并求Z 的分布律.解: (1)因为X ~N (0, 1), Y ~N (0, 1), X 与Y 独立, 故(X , Y )的联合概率密度为22221),(y x e y x f +-=π(-∞<x <+∞, -∞<y <+∞).(2)Z 的可能取值为0, 1, 2.⎰⎰>++-=∈==421222221)),(()0(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π⎰⎰≤++--=422222211x x y x dxdy e π2202022211--=-=⎰⎰e rdr e d r ππθ,⎰⎰≤+≤+-=∈==4122222221)),(()1(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π22120212221----==⎰⎰e e rdr e d r ππθ,⎰⎰≤++-=∈==121222221)),(()2(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π21201021212---==⎰⎰e rdr e d r ππθ,故得Z 的分布律为16. 设X 和Y 是相互独立的随机变量, 其概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-000)(x x e x f x X λλ, ⎩⎨⎧≤>=-000)(y y e y f y Y μμ, 其中λ>0, μ>0是常数, 引入随机变量⎩⎨⎧>≤=Y X YX Z 当当01.(1)求条件概率密度f X |Y (x |y ); (2)求Z 的分布律和分布函数. 解: (1)由X 和Y 相互独立, 故⎩⎨⎧>>=⋅=+-其他00 ,0)()(),()(y x e y f x f y x f y x Y X μλλμ.当y >0时,⎩⎨⎧≤>===-000)()(),()|(|x x e y f y f y x f y x f x X Y Y X λλ. (2)由于⎩⎨⎧>≤=Y X YX Z 当当01,且 μλλλλμμλμλ+===≤⎰⎰⎰+∞+-+∞+∞+-0)(0)()(dx e dydx eY X P x xy x ,μλμμλλ+=+-=≤-=>1)(1)(Y X P Y X P ,故Z 的分布律为Z 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=111000)(z z z z F Z μλμ. 17. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为⎩⎨⎧<≤=其他0101)(x x f X , ⎩⎨⎧>=-其他00)(y e y f y Y , 求随机变量Z =X +Y 的概率密度.解: 由于X 和Y 是相互独立的, 故⎩⎨⎧><≤=⋅=-其他00 ,10)()(),(y x e y f x f y x f y Y X , 于是Z =X +Y 的概率密度为⎰+∞∞--⋅=dx x z f x f z f Y X Z )()()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-=⎰⎰其他01)()(10)()(100z dxx z f x f z dx x z f x f Y X x YX ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤=⎰⎰----其他011010)(0)(z dxe z dx e x z x x z ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-=--其他01)1(101z e e z e zz .18. 设某种商品一周的需要量是一个随机变量, 其概率密度为⎩⎨⎧≤>=-000)(t t te t f t , 设各周的需要量是相互独立的, 试求: (1)两周需要量的概率密度; (2)三周需要量的概率密度.解: (1)设第一周需要量为X , 它是随机变量; 设第二周需要量为Y , 它是随机变量且与X 同分布, 其分布密度为⎩⎨⎧≤>=-000)(t t te t f t . Z =X +Y 表示两周需要的商品量, 由X 和Y 的独立性可知:⎩⎨⎧>>=--其它00,0),(y x ye xe y x f y x .因为z ≥0, 所以当z <0时, f z (z )=0; 当z >0时, 由和的概率公式知 ⎰∞+∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(z yzy z e z dy ye ey z ----=⋅-=⎰6)(30)(, 所以 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0006)(3z z e z z f z Z .(2)设Z 表示前两周需要量, 其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0006)(3z z e z z f z Z ,设ξ表示第三周需要量, 其概率密度为:⎩⎨⎧≤>=-000)(x x xe x f x ξ,Z 与ξ相互独立, η=Z +ξ表示前三周需要量, 则因为η≥0, 所以u <0, f η(u )=0. 当u >0时 ⎰∞+∞--=dy y f y u f u f )()()(ξηdy ye e y u y uy u ---⋅-=⎰0)(3)(61u e u -=1205, 所以η的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00120)(5u u e u u f u η.19. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他00,0)(21),()(y x e y x y x f y x .(1)问X 和Y 是否相互独立？ (2)求Z =X +Y 的概率密度. 解: (1)X 的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>+=⎰∞++-000)(21)(0)(x x dy e y x x f y x X⎪⎩⎪⎨⎧<>+=-000)1(21x x e x x ,同理Y 的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>+=-000)1(21)(y y e y y f y Y .因为当x >0, y >0时,)()()1)(1(41)(21),()()(y f x f e y x e y x y x f Y X y x y x =++≠+=+-+-,所以X 与Y 不独立. (2)Z 的概率密度为z z x Z e z dx e x z x dx x z x f z f --+∞∞-=-+=-=⎰⎰2021)(21),()((z >0).当z <0时, f Z (z )=0, 所以⎪⎩⎪⎨⎧<>=-0021)(2z z e z z f z Z .20. 设X , Y 是相互独立的随机变量, 它们都服从正态分布N (0, σ 2), 试验证随机变量22Y X z +=具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧>≥=-其他0,0)(2222σσσz e z z f z Z ,称Z 服从参数为σ(σ>0)的瑞利(Rayleigh 分布.解: 因为X , Y 相互独立且均服从正态分布N (0, σ 2), 它们的概率密度分别为22221)(σσπx e x f -=, 22221)(σσπy e y f -= , σ>0,故X 和Y 的联合密度为2222221)()(),(σπσy x e y f x f y x f +-=⋅=.22Y X z +=的分布函数为⎰⎰≤+=≤+=≤=222),()()((z)22z y x Z dxdy y x f z Y X P z Z P F⎰⎰-=zd e d 022202221ρρπσθσρπ2222202211σσρρρσz z ed e---==⎰(z >0),当z ≤0时, F Z (z )=0.于是随机变量22Y X z +=的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≥==-其他00 ,0)()(2222σσσz e z dz z dF z f z Z Z .21. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他00 ,10),()(y x be y x f y x . (1)试确定义常数b ;(2)求边缘概率密度f X (x ), f Y (y );(3)求函数U =max(X , Y )的分布函数. 解: (1)由10)(1=⎰⎰+∞+-dy be dx y x , 即1)1(1010=-=⎰⎰+∞--e b dy e dx e b y x ,得1111-=-=-e e e b .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎰∞++-其他0101)(0)(x dy e e e x f y x X⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-其他0101x e e e x ,⎩⎨⎧≤>==-∞+∞-⎰000),()(y y e dx y x f x f y X . 显然X 与Y 独立.(3)⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=-1110)1(100)(x x e e e x x F x X⎩⎨⎧≤>-=-0001)(y y e x F y Y , 故U =max(X , Y )的分布函数为F U (u )=P (U ≤u )=P (max(X , Y )≤u ) =P (X ≤u , Y ≤u )=P (X ≤u )P (Y ≤u )⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<==--1110)1(100)()(2u eu e e e u u F u F uu Y X .22. 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160, 202)分布. 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率.解: 设X 1, X 2, X 3, X 4为4只电子管的寿命, 它们相互独立, 同分布, 其概率密度为:22202)160(2021)(⨯--⋅=t T et f π,⎰∞-⨯-==<18022202)160(20121)180(}180{dt t F X f X π ⎰∞--=-======1220160221du e u ut π令 8413.0)2060180(=-Φ=.设N =min{X 1, X 2, X 3, X 4}, 则P {N >180}=P {X 1>180, X 2>180, X 3>180, X 4>180} =P {X >180}4={1-p [X <180]}4 =(0.1587)4=0.00063.23. 对某种电子装置的输出测量了5次, 得到观察值X 1,X 2, X 3, X 4, X 5, 设它们是相互独立的随机变量且都服从参数σ=2的瑞种分布.(1)求Z =max{X 1, X 2, X 3, X 4, X 5}的分布函数; (2)求P (Z >4).解: 由20题知, X i (i =1, 2, ⋅⋅⋅ , 5)的概率密度均为⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其他004)(82x e x x f x X ,分布函数为821)(x X e x F --=(x >0).(1) Z =max{X 1, X 2, X 3, X 4, X 5}的分布函数为 585m ax )1()]([)(2z e z F z F --== (z ≥0), 当z <0时, F max (z )=0.所以Z 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-000)1()(58m ax 2z z e z F z .(2)P (Z >4)=1-P (Z ≤4)=1-F Z (4)5167.0)1(1)1(1525842=--=--=--e e .24. 设随机变量X , Y 相互独立, 且服从同一分布, 试证明 P (a <min{X , Y }≤b )=[P (X >a )]2-[P (X >b )]2 . 解: 因为X 与Y 相互独立且同分布, 故P (a <min{X , Y }≤b )=P (min{X , Y }≤b )-P (min{X , Y }≤a ) =1-P (min{X , Y }>b )-[1-P (min{X , Y }>a )] =P (min{X , Y }>a )-P (min{X , Y }>b ) =P (X >a , Y >a )-P (X >b , Y >b ) =P (X >a )P (Y >a )-P (X >b )P (Y >b ) =[P (X >a )]2-[P (Y >b )]2 .25. 设X , Y 是相互独立随机变量, 其分布律分别为 P (X =k )=p (k ) (k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), P (Y =r )=q (r ) (r =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ). 证明随机变量Z =X +Y 的分布律为∑=-==ik k i q k p i Z P 0)()()( (i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ),证明: 因为X 与Y 独立, 且X 与Y 的分布律分别为 P (X =k )=p (k ) (k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), P (Y =r )=q (r ) (r =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), 故Z =X +Y 的分布律为∑==+===ik i Y X k X P i Z P 0) ,()( ∑=-===i k k i Y k X P 0) ,( ∑=-===i k k i Y P k X P 0)()( ∑=-=i k k i q k p 0)()( (i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).26. 设X , Y 是相互独立的随机变量, X ~π(λ1), Y ~π(λ2), 证明Z =X +Y ~π(λ1+λ2).证明: 因为X , Y 分别服从参数为λ1, λ2的泊松分布, 故X , Y 的分布律分别为 1!)(1λλ-==e k k X P k (λ1>0),2!)(2λλ-==e r r Y P r (λ2>0),由25题结论知, Z =X +Y 的分布律为 ∑=-====ik k i Y P k X P i Z P 0)()()(∑=----⋅=ik ki k e k i e k 02121)!(!λλλλ∑=-+-⋅-=i k k i k k i k i i e 021)()!(!!!21λλλλ i i e )(!21)(21λλλλ+=+-(i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), 即Z =X +Y 服从参数为λ1+λ2的泊松分布.27. 设X , Y 是相互独立的随机变量, X ~b (n 1, p ), Y ~b (n 2, p ), 证明Z =X +Y ~b (n 1+n 2, p ).证明: Z 的可能取值为0, 1, 2, ⋅⋅⋅ , 2n , 因为 {Z =i }={X +Y =i }={X =0, Y =0}⋃{X =1, Y =i -1}⋃ ⋅⋅⋅ ⋃{X =i , Y =0}, 由于上述并中各事件互不相容, 且X , Y 独立, 则∑=-====ik k i Y k X P i Z P 0) ,()(∑=-===ik k i Y P k X P 0)()(∑=+-----⋅-=ik k i n ki k i n k n k k n p p C p p C 02211)1()1( ∑=--+⋅-=ik ki n k n k n n i C C p p 02121)1( in i i n n p p C -+-=2)1(21(i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ , n 1+n 2), 所以 Z =X +Y ~b (n 1+n 2, p ),即Z =X +Y 服从参数为2n , p 的二项分布.提示:上述计算过程中用到了公式i n n ik k i n k n C C C21210+=-=⋅∑,这可由比较恒等式2121)1()1()1(n n n n x x x ++=++两边x i 的系数得到.28. 设随机变量(X , Y )的分布律为(1)求P {X =2|Y =2), P (Y =3|X =0); (2)求V =max{X , Y }的分布律; (3)求U =min{X , Y }的分布律; (4)求W =V +U 的分布律. 解: (1)由条件概率公式)2()2,2()2|2(======Y P Y X P Y X P08.005.005.005.003.001.005.0+++++=2.025.005.0==.同理 31)0|3(===X Y P .(2)变量V =max{X , Y }.显然V 是一随机变量, 其取值为V : 0, 1, 2, 3, 4, 5. P (V =0)=P (X =0, Y =0)=0,P (V =1)=P (X =1, Y =0)+P (X =1, Y =1)+P (X =0, Y =1) =0.01+0.02+0.01=0.04,P (V =2)=P (X =2, Y =0)+P (X =2, Y =1)+P (X =2, Y =2) +P (Y =2, X =0)+P (Y =2, X =1)=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16, P (V =3)=P (X =3, Y =0)+P (X =3, Y =1) +P (X =3, Y =2)+P (X =3, Y =3)+P (Y =3, X =0)+P (Y =3, X =1)+P (Y =3, X =2), =0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28 P (V =4)=P (X =4, Y =0)+P (X =4, Y =1) +P (X =4, Y =2)+P (X =4, Y =3) =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24, P (V =5)=P (X =5, Y =0)+ ⋅⋅⋅ +P (X =5, Y =3) =0.09+0.08+0.06+0.05=0.28. (3)显然U 的取值为0, 1, 2, 3.P (U =0)=P (X =0, Y =0)+ ⋅⋅⋅ +P (X =0, Y =3)+P (Y =0, X =1)+ ⋅⋅⋅ +P (Y =0, X =5)=0.28. 同理 P (U =1)=0.30, P (U =2)=0.25, P (U =3)=0.17. (4)W =V +U 的取值为0, 1, ⋅⋅⋅ , 8. P (W =0)=P (V =0, U =0)=0,P (W =1)=P (V =0, U =1)+P (V =1, U =0). 因为V =max{X , Y }=0又U =min{X , Y }=1 不可能上式中的P (V =0, U =1)=0,又 P (V =1, U =0)=P (X =1, Y =0)+P (X =0, Y =1)=0.2, 故 P (W =1)=P (V =0, U =1)+P (V =1, U =0)=0.2,P(W=2)=P(V+U=2)=P(V=2, U=0)+P(V=1,U=1) =P(X=2 Y=0)+P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.03+0.01+0.02=0.06,P(W=3)=P(V+U=3)=P(V=3, U=0)+P(V=2,U=1) = P(X=3,Y=0)+P(X=0,Y=3)+P(X=2,Y=1)+P(X=1,Y=2)=0.05+0.01+0.04+0.03=0.13, P(W=4)=P(V=4, U=0)+P(V=3,U=1)+P(V=2,U=2) =P(X=4,Y=0)+ P(X=3,Y=1)+P(X=1,Y=3)+P(X=2,Y=2 =0.19,P(W=5)=P(V+U=5)=P(V=5, U=0)+P(V=5,U=1)+P(V=3,U=2=P(X=5 Y=0)+P(X=5,Y=1)+P(X=3,Y=2)+P(X=2,Y=3) =0.24,P(W=6)=P(V+U=6)=P(V=5, U=1)+P(V=4,U=2) +P(V=3,U=3)=P(X=5,Y=1)+P(X=4,Y=2)+P(X=3,Y=3)=0.19,P(W=7)=P(V+U=7)=P(V=5, U=2)+P(V=4,U=3) =P(V=5,U=2)+P(X=4,Y=3)=0.6+0.6=0.12, P(W=8)=P(V+U=8)=P(V=5, U=3)+P(X=5,Y=3)=0.05.。

概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考解答

3．口袋中有 5 个白球、8 个黑球，从中不放回地一个接一个取出 3 个．如果第 i 次取出的是白球，则令 Xi = 1，否则令 Xi = 0，i = 1, 2, 3．求：
1
（1）(X1, X2, X3)的联合分布列；（2）(X1, X2)的联合分布列．解：（1） P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (0, 0, 0)} =
⎛ 50 ⎞⎛ 30 ⎞⎛ 20 ⎜ ⎜ i ⎟ ⎟⎜ ⎜ j⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ 5 − i − 且 P{ X = i, Y = j} = ⎛100 ⎞ ⎜ ⎜ 5 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
故 (X, Y ) 的联合分布列为
⎞ ⎟ j⎟ ⎠ , i = 0, 1, 2, 3, 4, 5; j = 0, L , 5 − i ，
i =1, 2 的分布列如下，且满足 P{X1X2 = 0} = 1，试求 P{X1 = X2}．
4．设随机变量 Xi ,
Xi P
−1 0 1 0.25 0.5 0.25
解：因 P{X1 X2 = 0} = 1，有 P{X1 X2 ≠ 0} = 0，即 P{X1 = −1, X2 = −1} = P{X1 = −1, X2 = 1} = P{X1 = 1, X2 = −1} = P{X1 = 1, X2 = 1} = 0，分布列为
故 (X, Y ) 的联合分布列为
Y X 0 1 2 3 4 5
0 0.00032 0.004 0.02 0.05 0.0625 0.03125
1 0.0024 0.024 0.09
2 0.054 0.135
3 0.054 0.0675 0 0 0
4 0.0081 0.02025 0 0 0 0
5 0.00243 0 0 0 0 0

概率论与数理统计第三章习题及答案

概率论与数理统计习题第三章多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1）确定常数k ；（2）求{}3,1<<Y X P （3）求{}5.1<X P ；（4）求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。

概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题解答

习题3-11、设(,)X Y 的分布律为求a 。

解：由分布律的性质，得1,0iji jp a =>∑∑，即111111691839a +++++=，0a >，解得，29a =。

注：考察分布律的完备性和非负性。

2、设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，试用(,)F x y 表示：（1）{,}P a X b Y c ≤≤<；（2）{0}P Y b <<；（3）{,}P X a Y b ≥<。

解：根据分布函数的定义(,){,}F x y P X x Y y =≤≤，得（1）{,}{,}{,}(,)(,)P a X b Y c P X b Y c P X a Y c F b c F a c ---≤≤<=≤<-<<=-；（2）{0}{,}{,0}(,)(,0)P Y b P X Y b P X Y F b F -<<=≤+∞<-≤+∞≤=+∞-+∞；（3）{,}{,}{,}(,)(,)P X a Y b P X Y b P X a Y b F b F a b ---≥<=≤+∞<-<<=+∞-。

3、设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，分布律如下：试求：（1）13{,04}22P X Y <<<<；（2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤；（3）(2,3)F 。

解：由(,)X Y 的分布律，得（1）1311{,04}{1,1}{1,2}{1,3}002244P X Y P X Y P X Y P X Y <<<<===+==+===++=；（2）{12,34}{1,3}{1,4}{2,3}{2,4}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ≤≤≤≤===+==+==+==1150016416=+++=；（3）(2,3){2,3}{1,1}{1,2}{1,3}F P X Y P X Y P X Y P X Y =≤≤===+==+==1119{2,1}{2,2}{2,3}000416416P X Y P X Y P X Y +==+==+===+++++=。

概率论与数理统计--第三章多维随机变量及其分布习题课

x
0,
x 0, x 0.
xex , x 0,
0, x 0.

fY ( y)
f (x, y)d x

y 0
xe y d x,
y 0,
0,
y 0.
12 y2e y , y 0, 0, y 0.
由于在 0 x y 上, f ( x, y) fX ( x) fY ( y) , 故 X 与 Y 不独立.
42 120
0
63 120
3 35 120 0
0 35 120
Pi
56 120 56 120
8 120
1
(4) 在 X 0 的条件下,Y 的条件概率为
P{Y j X 0} P{ X 0,Y j}, j 0,1,2,3. P{ X 0}
因此 Y 的条件分布律为 Y j X 0 2 3
X 和Y 相互独立 P{X xi ,Y yj } P{X xi }P{Y yj } 即 pij pi p j .
(2) 设连续型随机变量( X ,Y )的联合概率密度为 f ( x, y),边缘概率密度分别为f X ( x), fY ( y),则有
X 和 Y 相互独立 f ( x, y) fX ( x) fY ( y). (3) X 和 Y 相互独立, 则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立.
的
y,
fY ( y) 0, 则称
f ( x, y)
X 的条件概率密度,记为
f (x, y)
f (x y)
.
XY
fY ( y)
随机变量的相互独立性
(1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 P{X i,Y j} pij , i, j 1,2,.

概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案第三章

01 1/401/41/2习题4设(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)=12πe-x2+y22,Z=X2+Y2,求Z的分布密度.解答：FZ(z)=P{Z≤z}=P{X2+Y2≤z}.当z<0时，FZ(z)=P(∅)=0;当z≥0时，FZ(z)=P{X2+Y2≤z2}=∫∫x2+y2≤z2f(x,y)dxdy=12π∫∫x2+y2≤z2e-x2+y22dxdy=12π∫02πdθ∫0ze-ρ22ρdρ=∫0ze-ρ22ρdρ=1-e-z22.故Z的分布函数为FZ(z)={1-e-z22,z≥00,z<0.Z的分布密度为fZ(z)={ze-z22,z>00,z≤0.习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它,(1)问X和Y是否相互独立？(2)求Z=X+Y的概率密度.解答：(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x≤0\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0,由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0,显然f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0,所以X与Y不独立.(2)用卷积公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx.当{x>0z-x>0 即 {x>0x<z时，f(x,z-x)≠0,所以当z≤0时，fZ(z)=0;当z>0时，fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.于是，Z=X+Y的概率密度为fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.习题6设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度.解答：据题意，X,Y的概率密度分布为fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={e-y,y≥00,y<0,由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy=∫0+∞fX(z-y)e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可见：当z≤0时，有fX(z-y)=0, 故fZ(z)=∫0+∞0⋅e-ydy=0;当z>0时，fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即fZ(z)={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={be-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函数U=max{X,Y}的分布函数. 解答：（1）由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1，确定常数b.∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1，所以b=11-e-1，从而f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（2）由边缘概率密度的定义得fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它，fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0<y<+∞,0,其它（3）因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y独立，故FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u)，其中FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1，所以FX(x)={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1.同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0，因此FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.习题8设系统L是由两个相互独立的子系统L1和L2以串联方式联接而成，L1和L2的寿命分别为X与Y, 其概率密度分别为ϕ1(x)={αe-αx,x>00,x≤0,ϕ2(y)={βe-βy,y>00,y≤0,其中α>0,β>0,α≠β,试求系统L的寿命Z的概率密度.解答：设Z=min{X,Y},则F(z)=P{Z≥z}=P{min(X,Y)≤z}=1-P{min(X,Y)>z}=1-P{X≥z,Y≥z}=1-[1P{X<z}][1-P{Y<z}]=1-[1-F1{z}][1-F2{z}]由于F1(z)={∫0zαe-αxdx=1-e-αz,z≥00,z<0,F2(z)={1-e-βz,z≥00,z<0,故F(z)={1-e-(α+β)z,z≥00,z<0,从而ϕ(z)={(α+β)e-(α+β)z,z>00,z≤0.习题9设随机变量X,Y相互独立，且服从同一分布，试证明：P{a<min{X,Y}≤b}=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.解答：设min{X,Y}=Z,则P{a<min{X,Y}≤b}=FZ(b)-FZ(a),FZ(z)=P{min{X,Y}≤z}=1-P{min{X,Y}>z}=1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z}=1-[P{X>z}]2,代入得P{a<min{X,Y}≤b}=1-[P{X>b}]2-(1-[P{X>a}]2)=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.证毕.复习总结与总习题解答习题1在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：(1)放回抽样；(2)不放回抽样.我们定义随机变量X,Y如下：X={0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品, Y={0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,试分别就(1),(2)两种情况，写出X和Y的联合分布律.解答：(1)有放回抽样，(X,Y)分布律如下：P{X=0,Y=0}=10×1012×12=2536; P{X=1,Y=0}=2×1012×12=536,P{X=0,Y=1}=10×212×12=536, P{X=1,Y=1}=2×212×12=136,(2)不放回抽样，(X,Y)的分布律如下：P{X=0,Y=0}=10×912×11=4566, P{X=0,Y=1}=10×212×11=1066,P{X=1,Y=0}=2×1012×11=1066, P{X=1,Y=1}=2×112×11=166,解答：X可取值为0,1,2,3,Y可取值0,1,2.P{X=0,Y=0}=P{∅}=0,P{X=0,Y=1}=C30C21C33/C84=2/70,P{X=0,Y=2}=C30C22C32/C84=3/70, P{X=1,Y=0}=C31C20C33/C84=3/70,P{X=1,Y=1}=C31C21C32/C84=18/70,P{X=1,Y=2}=C31C22C31/C84=9/70,P{X=2,Y=0}=C32C20C32/C84=9/70,P{X=2,Y=1}=C32C21C31/C84=18/70,P{X=2,Y=2}=C32C22C30/C84=3/70,P{X=3,Y=0}=C33C20C31/C84=3/70,P{X=3,Y=1}=C33C21C30/C84=2/70,P{X=3,Y=2}=P{∅}=0,所以，(X,Y)的联合分布如下：(3)由FX(x)=P{X≤x,Y<+∞}=∑xi<x∑j=1+∞pij, 得(X,Y)关于X的边缘分布函数为：FX(x)={0,x<114+14,1≤x<214+14+16+13,x≥2={0,x<11/2,1≤x<21,x≥2,同理，由FY(y)=P{X<+∞,Y≤y}=∑yi≤y∑i=1+∞Pij, 得(X,Y)关于Y的边缘分布函数为FY(y)={0,y<-12/12,-1≤y<01,y≥0.习题6设随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={c(R-x2+y2),x2+y2<R0,x2+y2≥R,求：(1)常数c; (2)P{X2+Y2≤r2}(r<R).解答：(1)因为1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dydx=∫∫x2+y2<Rc(R-x2+y)d xdy=∫02π∫0Rc(R-ρ)ρdρdθ=cπR33,所以有c=3πR3.(2)P{X2+Y2≤r2}=∫∫x2+y2<r23πR3[R-x2+y2]dxdy=∫02π∫0r3πR3(R-ρ)ρdρdθ=3r2R2(1-2r3R).习题7设f(x,y)={1,0≤x≤2,max(0,x-1)≤y≤min(1,x)0,其它,求fX(x)和fY(y).解答：max(0,x-1)={0,x<1x-1,x≥1, min(1,x)={x,x<11,x≥1,所以，f(x,y)有意义的区域(如图)可分为{0≤x≤1,0≤y≤x},{1≤x≤2,1-x≤y≤1},即f(x,y)={1,0≤x≤1,0≤y≤x1,1≤x≤2,x-1≤y≤1,0,其它所以fX(x)={∫0xdy=x,0≤x<1∫x-11dy=2-x,1≤x≤20,其它,fY(y)={∫yy+1dx=1,0≤y≤10,其它.习题8若(X,Y)的分布律为则α,β应满足的条件是¯, 若X与Y独立，则α=¯,β=¯.解答：应填α+β=13;29;19.由分布律的性质可知∑i⋅jpij=1, 故16+19+118+13+α+β=1,即α+β=13.又因X与Y相互独立，故P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}, 从而α=P{X=2,Y=2}=P{X=i}P{Y=j},=(19+α)(14+α+β)=(19+α)(13+13)=29,β=P{X=3,Y=2}=P{X=3}P{Y=2}=(118+β)(13+α+β)=(118+β)(13+13)，∴β=19.习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)={ce-(2x+y),x>0,y>00,其它,(1)确定常数c; (2)求X,Y的边缘概率密度函数；(3)求联合分布函数F(x,y); (4)求P{Y≤X}; (5)求条件概率密度函数fX∣Y(x∣y); (6)求P{X<2∣Y<1}.解答：(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1求常数c.∫0+∞∫0+∞ce-(2x+y)dxdy=c⋅(-12e-2x)\vline0+∞⋅(-e-y)∣0+∞=c2=1,所以c=2.(2)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞2e-2xe-ydy,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0,fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0+∞2e-2xe-ydx,y>00,其它={e-y,y>00,y≤0.(3)F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dvdu={∫0x∫0y2e-2ue-vdvdu,x>0,y>00,其它={(1-e-2x)(1-e-y),x>0,y>00,其它.(4)P{Y≤X}=∫0+∞dx∫0x2e-2xe-ydy=∫0+∞2e-2x(1-e-x)dx=13.(5)当y>0时，fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)={2e-2xe-ye-y,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0.(6)P{X<2∣Y<1}=P{X<2,Y<1}P{Y<1}=F(2,1)∫01e-ydy=(1-e-1)(1-e-4)1-e-1=1-e-4.习题10设随机变量X以概率1取值为0, 而Y是任意的随机变量，证明X与Y相互独立.解答：因为X的分布函数为F(x)={0,当x<0时1,当x≥0时, 设Y的分布函数为FY(y),(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则当x<0时，对任意y, 有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{∅∩(Y≤y)}=P{∅}=0=FX(x)FY(y);当x≥0时，对任意y, 有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{S∩(Y≤y)}=P{Y≤y}=Fy(y)=FX(x)FY(y),依定义，由F(x,y)=FX(x)FY(y)知，X与Y独立.习题11设连续型随机变量(X,Y)的两个分量X和Y相互独立，且服从同一分布，试证P{X≤Y}=1/2.解答：因为X,Y独立，所以f(x,y)=fX(x)fY(y).P{X≤Y}=∫∫x≤yf(x,y)dxdy=∫∫x≤yfX(x)fY(y)dxdy =∫-∞+∞[fY(y)∫-∞yfX(x)dx]dy=∫-∞+∞[fY(y)FY(y)]dy=∫-∞+∞FY(y)dFY(y)=F2(y)2∣-∞+∞=12,也可以利用对称性来证，因为X,Y独立同分布，所以有P{X≤Y}=P{Y≤X},而P{X≤Y}+P{X≥Y}=1, 故P{X≤Y}=1/12.习题12设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为若X与Y相互独立，求参数a,b,c的值.解答：关于X的边缘分布为由于X和Y的地位平等，同法可得Y的边缘概率密度是：fY(y)={2R2-y2πR2,-R≤y≤R0,其它.(2)fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)注意在y处x值位于∣x∣≤R2-y2这个范围内，f(x,y)才有非零值，故在此范围内，有fX∣Y(x∣y)=1πR22πR2⋅R2-y2=12R2-y2,即Y=y时X的条件概率密度为fX∣Y(x∣y)={12R2-y2,∣x∣≤R2-y20,其它.同法可得X=x时Y的条件概率密度为fY∣X(y∣x)={12R2-x2,∣y∣≤R2-x20,其它.由于条件概率密度与边缘概率密度不相等，所以X与Y不独立.习题15设(X,Y)的分布律如下表所示求：(1)Z=X+Y; (2)Z=max{X,Y}的分布律.解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类似，本质上是利用事件及其概率的运算法则. 注意，Z的相同值的概率要合并.概率(X,Y)X+YXYX/Ymax{X,Y}1/102/103/102/101/101/10 (-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)--1-2-2241-1-1/2-221-于是(1)max{X,Y} -112pi 1/102/107/10习题16设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={1,0<x<1,0<y<2(1-x)0,其他，求Z=X+Y的概率密度.解答：先求Z的分布函数Fz(z)，再求概率密度fz(z)=dFz(z)dz.如右图所示.当z<0时，Fz(z)=P{X+Y≤z}=0;当0≤z<1时，Fz(z)=P{X+Y≤z}=∫∫x+y≤zf(x,y)dxdy=∫0zdx∫0z-x1dy=∫0z(z-x)dx=z2-12x2∣0z=12z2；当1≤z<2时，Fz(z)=∫02-zdx∫0z-xdy+∫2-z1dx∫02(1-x)dy=z(2-z)-12(2-z)2+(z-1)2；当z≥2时，∫∫Df(x,y)dxdy=∫01dx∫02(1-x)dy=1.综上所述Fz(z)={0,z<012z2,0≤z<1z(2-z)-12(2-z)2+(z-1)2,1≤z<21,z≥2，故fz(z)={z,0≤z<12-z,1≤z<20,其它.习题17设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={2e-(x+2y),x>0,y>00,其它,求随机变量Z=X+2Y的分布函数.解答：按定义FZ(Z)=P{x+2y≤z},当z≤0时，FZ(Z)=∫∫x+2y≤zf(x,y)dxdy=∫∫x+2y≤z0dxdy=0.当z>0时，FZ(Z)=∫∫x+2y≤zf(x,y)dxdy=∫0zdx∫0(z-x)/22e-(x+2y)dy=∫0ze-x⋅(1-ex-z)dx=∫0z(e-x-e-z)dx=[-e-x]∣0z-ze-z=1-e-z-ze-z,故分布函数为FZ(Z)={0,z≤01-e-z-ze-z,z>0.习题18设随机变量X与Y相互独立，其概率密度函数分别为fX(x)={1,0≤x≤10,其它, fY(y)={Ae-y,y>00,y≤0,求：(1)常数A; (2)随机变量Z=2X+Y的概率密度函数.解答：(1)1=∫-∞+∞fY(y)dy=∫0+∞A⋅e-ydy=A.(2)因X与Y相互独立，故(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={e-y,0≤x≤1,y>00,其它.于是当z<0时，有F(z)=P{Z≤z}=P{2X+Y≤z}=0;当0≤z≤2时，有F(z)=P{2X+Y≤z}=∫0z/2dx∫0z-2xe-ydy=∫0z/2(1-e2x-z)dx;当z>2时，有F(z)=P{2X+Y≤2}=∫01dx∫0z-2xe-ydy=∫01(1-e2x-z)dx.利用分布函数法求得Z=2X+Y的概率密度函数为fZ(z)={0,z<0(1-e-z)/2,0≤z<2(e2-1)e-z/2,z≥2.习题19设随机变量X,Y相互独立，若X与Y分别服从区间(0,1)与(0,2)上的均匀分布，求U=max{X,Y}与V=min{X,Y}的概率密度.解答：由题设知，X与Y的概率密度分别为fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={1/2,0<y<20,其它,于是，①X与Y的分布函数分别为FX(x)={0,x≤0x,0≤x<11,x≥1, FY(y)={0,y<0y/2,0≤y<21,y≥2,从而U=max{X,Y}的分布函数为FU(u)=FX(u)FY(u)={0,u<0u2/2,0≤u<1u/2,1≤u<21,u≥2,故U=max{X,Y}的概率密度为fU(u)={u,0<u<11/2,1≤u<20,其它.②同理，由FV(v)=1-[1-FX(v)][1-FY)]=FX(v)+FY(v)-FX(v)FY(v)=FX(v)+FY(v)-FU(v),得V=min{X,Y}的分布函数为FV(v)={0,v<0v2(3-v),0≤v<11,v≥1,故V=min{X,Y}的概率密度为fV(v)={32-v,0<v<10,其它.注：(1)用卷积公式，主要的困难在于X与Y的概率密度为分段函数，故卷积需要分段计算；(2)先分别求出X,Y的分布函数FX(x)与FY(y), 然后求出FU(u)，再求导得fU(u); 同理先求出FV(v), 求导即得fV(v).。

茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解-第3章多维随机变量及其分布【圣才

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第 3 章多维随机变量及其分布 3.1 复习笔记
一、多维随机变量联合分布的性质（见表 3-1-1）表 3-1-1 联合分布的性质
二、边际分布与随机变量的独立性 1．边际分布（见表 3-1-2）
表 3-1-2 边际分布
j
5i
j
100
5
用表格形式表示如下表 3-2-1：
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表 3-2-1
行和就是 X 的分布 h（5，100，50）（超几何分布）。
列和就是 Y 的分布 h（5，100，30）（超几何分布）。
P（X≥2，Y≥1）＝0.66158。
i 1
X2，…，Xn 相互独立。
n
连续随机变量：若 p(x1, x2 ,L , xn ) pi (xi ) ，则 X1，X2，…，Xn 相互独立。 i 1
三、多维随机变量函数的分布 1．最大值与最小值的分布（1）最大值分布：
FY ( y) P( maxX1,X 2,L ,X n y)
n
=P(X1 y, X 2 y,L , X n y)= Fi (y)
1Ex4p(4 )*4E4x4p(2)4*L4 *4Ex4p(43) =Ga(m,)
m个
（4）χ2 分布的可加性：m 个χ2 变量相互独立，则
2 (n1)* 2 (n2 )*L * 2 (nm )= 2(n1+n2 +L +nm)
四、多维随机变量的特征数（见表 3-1-3）
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（1）全概率公式：密度函数形式：

概率论与数理统计浙大四版习题答案第三章

第三章多维随机变量及其分布1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。

考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。

我们定义随机变量X ，Y 如下：⎪⎩⎪⎨⎧= 若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品,1,,0X ⎪⎩⎪⎨⎧=若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品,1,,0Y 试分别就（1）（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律。

解：（1）放回抽样情况由于每次取物是独立的。

由独立性定义知。

P (X=i , Y=j )=P (X=i )P (Y=j ) P (X=0, Y=0 )=362512101210=⋅ P (X=0, Y=1 )=3651221210=⋅ P (X=1, Y=0 )=3651210122=⋅ P (X=1, Y=1 )=361122122=⋅ 或写成（2）不放回抽样的情况P {X=0, Y=0 }=66451191210=⋅ P {X=0, Y=1 }=66101121210=⋅P {X=1, Y=0 }=66101110122=⋅ P {X=1, Y=1 }=661111122=⋅ 或写成3.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X 表示Y 的联合分布律。

解：（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C CP {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=05.[三] 设随机变量（X ，Y ）概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它,042,20),6(),(y x y x k y x f（1）确定常数k 。

第三章多维随机变量及其分布答案

《概率论与数理统计》第三单元补充题一、填空题1.设随机变量21,X X 相互独立，分布律分别为2131611011pX -，3231102p X ，则==}{21X X P ，==}0{21X X P ，},max{21X X M =的分布律为，},min{21X X N =的分布律为2．设X 与Y 为两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ，则=≥}0),{max(Y X P ，=<}0),{min(Y X P3．设21,X X 的联合分布律为且满足1}0{21==X X P ，则==}{21X X P ，===}1/0{21X X P4．已知,X Y 的分布律为6113101ab XY 且{0}X =与{1}X Y +=独立，则a =________，b =__________5．随机变量Y X ,服从同分布，X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它02083)(2x xx f ，设}{a X A >= 与}{a Y B >=相互独立，且43)(=⋃B A P ，则a =___________ 6．随机变量Y X ,相互独立且服从N （0，1）分布，Z =X +Y 的概率密度为__________，Z =X -Y 的概率密度为__________7．用二维连续型随机变量),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示下述概率（1）=<≤≤},{c Y b X a P（2）=<<},{b Y b X P（3）=≤≤}0{a Y P（4）=>≥},{b Y a X P二、选择题1.设随机变量X 与Y 相互独立，其分布律分别为212110PX ，212110P Y ，则以下结论正确的是（）Y X A =).( 1}{).(==Y X P B21}{).(==Y X P C ).(D 以上都不正确 2.随机变量X 、Y 独立，且0}1{}1{>====p Y P X P ，01}0{}0{>-====p Y P X P ，令⎩⎨⎧++=为奇数为偶数Y X Y X Z 01，要使X 与Z 独立，则P 值为（）32).(41).(21).(31).(D C B A3.二维随机变量（X ，Y ）具有下述联合概率密度，X 与Y 是相互独立的，为（）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它20,103),().(2y x xyx y x f A⎩⎨⎧<<<<=其它010,106),().(2y x y x y x f B⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<=其它0,1023),().(xy x x x y x f C⎪⎩⎪⎨⎧><<=-其它,2021),().(y x ey x f D y4．设随机变量⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-412141101~i X （i =1，2），且满足1}0{21==X X P ，则)(}{21==X X P1).(41).(21).(0).(D C B A5．随机变量X ，Y 相互独立，)(x F X 和)(y F Y 分别是X ，Y 的分布函数，令),min(Y X Z =，则随机变量Z 的分布函数)(z F Z 为（）)}(),(min{).(z F z F A Y X )](1)][(1[1).(z F z F B Y X ---)()().(z F z F C Y X )()().(z F z F D Y X 或6．随机变量X ，Y 相互独立，且),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，则Y X Z +=仍具正态分布，且有（）),(~).(22211σσμ+N Z A ),(~).(2121σσμμ+N Z B ),(~).(222121σσμμ+N Z C ),(~).(222121σσμμ++N Z D三、问答题1.事件},{y Y x X ≤≤表示事件}{x X ≤与}{y Y ≤的积事件，为什么},{y Y x X P ≤≤不一定等于}{}{y Y P x X P ≤⋅≤？2.二维随机变量（X ，Y ）的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？3.多维随机变量的边缘分布与一维随机变量的分布之间有什么联系与区别？4.两个随机变量相互独立的概念与两个事件相互独立是否相同？为什么？5.两个相互独立的服从正态分布的随机变量1X 与2X 之和仍是正态随机变量，那么它们的线性组合21bX aX ±呢？四、计算题1．设二维随机变量（X ，Y ）在矩形区域}10,20|),{(≤≤≤≤y x y x G 上服从均匀分布，记⎩⎨⎧>≤=YX YX U 10，⎩⎨⎧>≤=Y X Y X V 2120，求U 、V 的联合分布律2．设（X ，Y ）的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧>>=+-其它0)0,0(),()43(y x Ce y x y x ϕ求（1）常数C ，（2）)20,10(≤<≤<Y X P ，（3）(X ,Y )的分布函数 ),(y x F3．设（X 、Y ）的分布函数为)2)(arctan 2(arctan 1),(2πππ++=y x y x F ，),(+∞<<-∞y x求：（1）X ，Y 的边缘分布函数 (,)(y F x F Y X )(,)(y F x F Y X （2）X 、Y 的边缘分布密度函数 (,)(yf x f Y X )(,)(y f x f Y X4．袋中装有编号为-1，1，1，2的4个球，现从中无放回随机取球两次，每次取一个，以 21,X X 分别表示第一次和第二次取到的球的号码，求（1）),(21X X 的联合分布律（2）关于 21,X X 和的边缘分布律，并判别21,X X 和是否相互独立。

《概率论与数理统计》习题三参考答案多维随机变量及其分布(熊万民、杨波版)

~
f
Z
z
2ez
1
0
e
z
z0
．
其他
19．5 个相互独立工作的电子元器件，它们的寿命 Xk（k=1，2，3，4，5）服从同一指数分布，其
概率密度为： X k ~ f x 0.0010e0.001x
x x
0 0
，分布函数为
F
x
1
e0.001x 0
x0
．
x0
Z Ma xX1, X 2 , X3, X 4 , X5 的概率密度函数为： Z ~ FZ z F z5 ，
P X 2,Y 2 P X 2,Y 3 P X 3,Y 1 P X 3,Y 2 0 ，
PX
0,Y
3
PX
0
C30
1 2
3
1 8
，
PX
3,Y
3
PX
3
1 8
，
PX
1, Y
1
PX
1
3 8
，
PX
2,Y
1
PX
2
C32
1 2
3
3 8
．
2．盒子里边装有 3 个白球，3 个黑球，2 个红球，从中任取 4 个球， X 为取到的白球个数， Y 为
0
2
e2 ydy 1 ez
z
2
z0
．
z0
（2）因为 X ,Y ~ f x, y e0xy
x 0,
y0
，则
X
~
E 1 ，Y
~
E 1，且
X
、Y
相互
其他
独立，则 Z
Max X ,Y 的概率分布函数为：Z

概率论与数理统计多维随机变量及其分布习题课

概率论与数理统计第3章多维随机变量及其分布习题课Ὅ例1 袋中有1个红球、2个黑球与3个白球. 解（1）因为是有放回的取球, 故（2）求二维随机变量(X ,Y )的概率分布.（1）求 ;别表示两次取球所取得的红球、黑球和白球的个数.回地从袋中取球两次,每次取一个球,以X 、 Y 、 Z 分现有放（2）根据题意, X 、Y 可能的取值为0,1,2,{X =1,Y =0}、{X =1,Y =1}、{X =2,Y =0}.当(X ,Y )的取值为{X =0,Y =0}时, 表示取到了两个白球, 则(X ,Y )可能的取值有{X =0,Y =0}、{X =0,Y =1}、 {X =0,Y =2}、则二维随机变量同理可得，因此，(X,Y)的联合概率分布为X Y0123 11/41/31/91/421/61/901/631/36001/36设随机变量X 与Y 相互独立,且X 服从标准正态分Ὅ例2解布,Y 的概率分为 .机变量Z =XY 的分布函数,则函数的间断点个数为__. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3记为随由于x与y相互独立，故（1）若z<0,则所以z=0为间断点，故有一个间断点，应选B.Ἲ方法归纳本题求间断点的个数，实际上就是要求分布函数的表达式，其中X为连续型随机变量，Y为离散型随机首先将离散型随机变量Y的不同取值分别代入，变量。

写出的表达式, 再对中z的取值进行讨论，进而确定间断点的个数。

Ὅ例3 设随机变量相互独立,其中X 1与X 2的概率分布为均服从标准正态分布, X 3 （1）求二维随机变量的分布函数,结果用标准正态分布函数表示.（2）证明随机变量Y 服从标准正态分布.解（1）由二维随机变量的分布函数的定义，可得因为，则可将离散型随机变量不同取值分情况代入，即又因为X1，X2，X3相互独立,故（2）证明：因此，Y服从标准正态分布.Ἲ方法归纳本题也是一个即含有连续型随机变量，又含有离散型随机变量的混合表达式的随机变量分布函数问题，对于此按照离散型随机变量不同取值代类问题有效的方法是：后展开，利用概率的计算公式，获得仅含有连续型随机变量的表达，再利用连续型随机变量的已知条件求解即可.Ὅ例4解设二维随机变量（X,Y）在区域上服从均匀分布，令求二维随机变量的概率分布.因为（X,Y）为区域D上的均匀分布,如图所示,区域D的面积为 , 故二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为根据的定义,将分以下四种情况讨论:①②③④因此, 的概率分布为Z101Z201/4011/21/4Ὅ例5设随机变量X与Y相互独立, 且分别服从参数为1和4的指数分布,则 ___.A. B. C. D.解又因为X与Y相互独立,故故应选A.Ὅ例6设（X,Y）是二维随机变量,X的边缘概率密度为在给定X=x(0<x<1)的条件下，Y的条件概率密度为（1）求（X,Y）的概率密度；（2）Y的边缘概率密度；（3）求 .解（1）由题意知,（2）Y的边缘概率密度为 .当0<y<1时, .故，Y的边缘概率密度为（3）Ὅ例7设X与Y是两个相互独立的随机变量，且. 如果随机变量Z的定义如下求Z的分布律.解因X与Y两个相互独立，其联合概率密度为由此可得，;.因此, Z 的分布律为Z01Ὅ例8解设二维随机变量(X ,Y )在区域D 上服从均匀分布,令（1）写出(X ,Y )的概率密度函数;.（1）由题意知，(X ,Y )的联合概率密度为（3）求Z =U +X 的分布函数（2）问U 与X 是否相互独立?（2）设t为常数，且0<t<1, 则因为，所以U 与X 不相互独立.（3）当z<0时，；综上所述，Z的分布函数为Ἲ 方法归纳本题是一个综合性的题目,考察了联合概率密度函数、随机变量的独立性以及混合型随机变量分布函数的求解.独立性的讨论中，首先对U 与X 的关系进行初步的判断，因U 与X 有关，显然是不独立的，因此只需要找到一组反例，证明不独立即可.在时，先根据U 与X 的取值在求Ὅ例9 设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为解（1）求条件概率密度（2）求条件概率（1）关于X 的边缘概率密度为故条件概率密度 ,即（2）关于Y的边缘概率密度为所以因此,Ὅ例10解设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布,则 ___.A.与μ无关,与σ2有关B. 与μ有关,与σ2无关C.与μ、σ2都有关D. 与μ、σ2都无关由正态分布的性质可知X-Y服从正态分布，且,则故因此，概率与μ关无,与σ2有关，应选A.Ὅ例11解设X 与Y的联合概率密度函数为求Z =X -Y 的密度函数.的阴影部分,因此有综上所述,Z的概率密度为Ὅ例12解求Z =X +Y 的密度函数.设随机变量X 与Y 相互独立,且 . 由题意知X 和Y 的概率密度函数为因Z =X +Y ，则Z 的取值范围如下图所示:随机变量X与Y相互独立，利用卷积公式,可以求出Z的概率密度函数,即当z<0时, ;当z>1时，综上所述，Z的概率密度为；.Ὅ例13解设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为试求：（1）常数b的值；（2）边缘概率密度；（3）随机变量的分布函数.（1）由概率密度函数的性质可得 .（2）当0<x<1时,因此，关于X的边缘概率密度为当y>0时,因此，关于Y的边缘概率密度为（3）因为，故X与Y相互独立.记X、Y、U的分布函数分别为，根据最大值的分布公式有 .利用(2)中求出的概率密度函数,可以求出 , 即将X、Y的分布函数代入最大值的分布公式，可得学海无涯，祝你成功！概率论与数理统计。

概率论与数理统计教程第二版茆诗松程依明濮晓龙习题三参考答案

第三章多维随机变量及其分布习题3.11． 100件商品中有50件一等品、30件二等品、20件三等品．从中任取5件，以X 、Y 分别表示取出的5件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求 (X , Y ) 的联合分布列．（1）不放回抽取；（2）有放回抽取．解：（1）(X , Y )服从多维超几何分布，X , Y 的全部可能取值分别为0, 1, 2, 3, 4, 5，且i j i j i j i j Y i X P −==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===5,,0;5,4,3,2,1,0,51005203050},{L ，故 (X , Y ) 的联合分布列为0281.0500000918.00612.040001132.01562.00495.03000661.01416.00927.00185.0200182.00539.00549.00227.00032.010019.00073.00102.00066.00019.00002.00543210X Y（2）(X , Y )服从多项分布，X , Y 的全部可能取值分别为0, 1, 2, 3, 4, 5，且i j i j i j i j Y i X P j i j i −==×××−−⋅⋅===−−5,,0;5,4,3,2,1,0,2.03.05.0)!5(!!!5},{5L ，故 (X , Y ) 的联合分布列为03125.05000009375.00625.040001125.015.005.03000675.0135.009.002.02002025.0054.0054.0024.0004.0100243.00081.00108.00072.00024.000032.00543210X Y2．盒子里装有3个黑球、2个红球、2个白球，从中任取4个，以X 表示取到黑球的个数，以Y 表示取到红球的个数，试求P {X = Y }．解：35935335647222347221213}2,2{}1,1{}{=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===+====Y X P Y X P Y X P ．3．口袋中有5个白球、8个黑球，从中不放回地一个接一个取出3个．如果第i 次取出的是白球，则令X i = 1，否则令X i = 0，i = 1, 2, 3．求：（1）(X 1, X 2, X 3)的联合分布列；（2）(X 1, X 2)的联合分布列．解：（1）14328116127138)}0,0,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42970115127138)}1,0,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ， 42970117125138)}0,1,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42970117128135)}0,0,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42940114125138)}1,1,0(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42940114128135)}1,0,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，42940118124135)}0,1,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ，1435113124135)}1,1,1(),,{(321=⋅⋅==X X X P ；（2）3914127138)}0,0(),{(21=⋅==X X P ，3910125138)}1,0(),{(21=⋅==X X P ，3910128135)}0,1(),{(21=⋅==X X P ，395124135)}1,1(),{(21=⋅==X X P ．39/539/10139/1039/1401012X X4．设随机变量X i , i =1, 2的分布列如下，且满足P {X 1X 2 = 0} = 1，试求P {X 1 = X 2}．25.05.025.0101P X i −解：因P {X 1 X 2 = 0} = 1，有P {X 1 X 2 ≠ 0} = 0，即P {X 1 = −1, X 2 = −1} = P {X 1 = −1, X 2 = 1} = P {X 1 = 1, X 2 = −1} = P {X 1 = 1, X 2 = 1} = 0，分布列为故P {X 1 = X 2} = P {X 1 = −1, X 2 = −1} + P {X 1 = 0, X 2 = 0} + P {X 1 = 1, X 2 = 1} = 0． 5．设随机变量 (X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<−−=.,0,42,20),6(),(其他y x y x k y x p试求（1）常数k ；（2）P {X < 1, Y < 3}；（3）P {X < 1.5}；（4）P {X + Y ≤ 4}．解：（1）由正则性：1),(=∫∫+∞∞−+∞∞−dxdy y x p ，得6)6(2242⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−∫∫∫xy y k dx dy y x k dx故81=k ；（2）∫∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−=<<1032210322681)6(81}3,1{y xy y dx dy y x dx Y X P 832278127811210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫x x dx x ；（3）∫∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−=<5.104225.10422681)6(81}5.1{y xy y dx dy y x dx X P 3227)6(81)26(815.1025.10=−=−=∫x x dx x ；（4）∫∫∫−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=−−=<+204222422681)6(81}4{xxy xy y dx dy y x dx Y X P326268124681203222=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=∫x x x dx x x ． 6．设随机变量(X , Y )的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=+−.,0,0,0,e ),()43(其他y x k y x p y x 试求（1）常数k ；（2）(X , Y ) 的联合分布函数F (x , y )；（3）P {0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2}．解：（1）由正则性：1),(=∫∫+∞∞−+∞∞−dxdy y x p ，得e 0)43(⎢⎣⎡⋅=∞+∞+∞++−∫∫∫k dx dy k dx y x 故k = 12；（2）当x ≤ 0或y ≤ 0时，F (x , y ) = P (∅) = 0，当x > 0且y > 0时，∫∫∫∫−−+−+−−=−⋅==xy u x y v u x y v u du du dv du y x F 0430)43(0)43()e 1(e 3]e 3[e 12),()e 1)(e 1()e 1(e 43043y x xy u −−−−−−=−−=故(X , Y )的联合分布函数为⎩⎨⎧>>−−=−−.,0,0,0),e 1)(e 1(),(43其他y x y x F y x （3）P {0 < X ≤ 1, 0 < Y ≤ 2} = P {X ≤ 1, Y ≤ 2} = F (1, 2) = (1 − e −3) (1 − e −8)．7．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,10,4),(其他y x xy y x p 试求（1）P {0 < X < 0.5, 0.25 < Y < 1}；（2）P {X = Y }；（3）P {X < Y }；（4）(X , Y ) 的联合分布函数．解：（1）∫∫∫⋅==<<<<5.00125.025.00125.024}125.0,5.00{xy dx xydy dx Y X P641516158155.0025.00===∫x xdx ；（2）P {X = Y } = 0；（3）∫∫∫∫−=⋅==<1311211)22(24}{dx x x xy dx xydy dx Y X P xx21211042=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=x x ；（4）当x < 0或y < 0时，F (x , y ) = P (∅) = 0，当0 ≤ x < 1且0 ≤ y < 1时，220220202224},{),(y x y u du uy uv du uvdv du y Y x X P y x F x x x y x y ===⋅==≤≤=∫∫∫∫；当0 ≤ x < 1且y ≥ 1时，2020010210224},{),(x u udu uv du uvdv du y Y x X P y x F x xx x ===⋅==≤≤=∫∫∫∫；当x ≥ 1且0 ≤ y < 1时，210221210210224},{),(y y u du uy uv du uvdv du y Y x X P y x F y y ===⋅==≤≤=∫∫∫∫；当x ≥ 1且y ≥ 1时，F (x , y ) = P (Ω) = 1，故(X , Y ) 的联合分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<≤≥≥<≤<≤<≤<<=.1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,,00,0),(2222y x y x y y x x y x y x y x y x F 或 8．设二维随机变量(X , Y ) 在边长为2，中心为(0, 0) 的正方形区域内服从均匀分布，试求P {X 22 解：设D 表示该正方形区域，面积S D = 4，G 表示单位圆区域，面积S G = π，故4π}1{22==≤+D G S S Y X P ．9．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,),(2其他x y x k y x p （1）试求常数k ；（2）求P {X > 0.5}和P {Y < 0.5}．解：（1）由正则性：1),(=∫∫+∞∞−+∞∞−dxdy y x p ，得1632)(10321021122==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−=⋅=∫∫∫∫k x x k dx x x k y k dx kdy dx xx xx，故k = 6；（2）∫∫∫∫−=⋅==>15.0215.015.0)66(66}5.0{22dx x x ydx dy dx X P x xxx5.0)23(15.032=−=x x ；∫∫∫∫−=⋅==<5.005.005.00)66(66}5.0{dy y y xdy dx dy Y P y yyy432)34(5.00223−=−=y y ． 10．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<−=.,0,10),1(6),(其他y x y y x p （1）求P {X > 0.5, Y > 0.5}；（2）求P {X < 0.5}和P {Y < 0.5}；（3）求P {X + Y < 1}．解：（1）81)1()1(3])1(3[)1(6}5.0,5.0{15.0315.0215.01215.01=−−=−=−−⋅=−=>>∫∫∫∫x dx x y dx dy y dx Y X P xx；（2）∫∫∫−−⋅=−=<5.00125.001])1(3[)1(6}5.0{x x y dx dy y dx X P 87)1()1(35.0035.002=−−=−=∫x dx x ； ∫∫∫−−⋅=−=<5.005.025.005.0])1(3[)1(6}5.0{xxy dx dy y dx Y P21)1(43)1(3435.0035.002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−=∫x x dx x ；（3）∫∫∫−−−−⋅=−=<+5.00125.001])1(3[)1(6}1{x xxxy dx dy y dx Y X P43])1([])1(33[5.00335.0022=−−−=−+−=∫x x dx x x ．11．设随机变量Y 服从参数为λ = 1的指数分布，定义随机变量X k 如下：2,1.,1,,0=⎩⎨⎧>≤=k k Y k Y X k ．求X 1和X 2的联合分布列．解：因Y 的密度函数为⎩⎨⎧<≥=−.0,0,0,e )(y y y p y Y且X 1和X 2的全部可能取值为0, 1，则1101021e 1e e }1{}2,1{}0,0{−−−−=−==≤=≤≤===∫yy dy Y P Y Y P X X P ，P {X 1 = 0, X 2 = 1} = P {Y ≤ 1, Y > 2} = P (∅) = 0，21212121e e e e }21{}2,1{}0,1{−−−−−=−==≤<=≤>===∫yy dy Y P Y Y P X X P ，22221e e e }2{}2,1{}1,1{−+∞−+∞−=−==>=>>===∫yy dy Y P Y Y P X X P ，故X 1和X 2的联合分布列为221112e e e 1e 1010−−−−−−X X12．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=.,0,20,10,3),(2其他y x xy x y x p 求P {X + Y ≥ 1}．解：∫∫∫−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=≥+1021221021263}1{x x xy y x dx dy xy x dx Y X P 72652459441653421104321032=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=∫x x x dx x x x ． 13．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<=−.,0,0,e ),(其他y x y x p y 试求P {X + Y ≤ 1}．解：∫∫∫∫−−−−−−+−=−⋅==≤+5.0015.0015.001)e e ()e (e }1{dx dx dy dx Y X P x x x xy x xy5.015.001e 2e 1)e e (−−−−−+=−−=x x ．14．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,20,10,2/1),(其他y x y x p求X 与Y 中至少有一个小于0.5的概率．解：85831431211}5.0,5.0{1}5.0},{min{15.015.025.0=−=−=−=≥≥−=<∫∫∫dx dy dx Y X P Y X P ．15．从(0,1)中随机地取两个数，求其积不小于3/16，且其和不大于1的概率．解：设X 、Y 分别表示“从(0,1)中随机地取到的两个数”，则(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,10,1),(其他y x y x p故所求概率为∫∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−==≤+≥−4341434111631631}1,163{dx x x dy dx Y X XY P x x3ln 16341ln 1632143412−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=x x x ．习题3.21．设二维离散随机变量(X , Y ) 的可能值为(0, 0)，(−1, 1)，(−1, 2)，(1, 0)，且取这些值的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12，试求X 与Y 各自的边际分布列．解：因X 的全部可能值为−1, 0, 1，且12512131}1{=+=−=X P ， 61}0{==X P ， 125}1{==X P ，故X 的边际分布列为12561125101PX − 因Y 的全部可能值为0, 1, 2，且12712561}0{=+==X P ， 31}1{==X P ， 121}2{==X P ，故Y 的边际分布列为12131127210PY2．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>−−−=−−−−−.,0,0,0,e e e 1),(},max{122121其他y x y x F y x y x y x λλλλλ 试求X 与Y 各自的边际分布函数．解：当x ≤ 0时，F (x , y ) = 0，有F X (x ) = F (x , + ∞) = 0，当x > 0时，⎩⎨⎧≤>−−−=−−−−−.0,0,0,e e e 1),(},max{122121y y y x F y x y x y x λλλλλ 有 x y x y x y x y X x F x F 1122121e 1]e e e 1[lim ),()(},max{λλλλλλ−−−−−−+∞→−=−−−=∞+=，故⎩⎨⎧≤>−=−.0,0,0,e 1)(1x x x F x X λ 当y ≤ 0时，F (x , y ) = 0，有F Y ( y ) = F (+ ∞, y ) = 0，当y > 0时，⎩⎨⎧≤>−−−=−−−−−.0,0,0,e e e 1),(},max{122121x x y x F y x y x y x λλλλλ 有 y y x y x y x x Y y F y F 2122121e 1]e e e 1[lim ),()(},max{λλλλλλ−−−−−−+∞→−=−−−=+∞=，故⎩⎨⎧≤>−=−.0,0,0,e 1)(2y y y F y Y λ 3．试求以下二维均匀分布的边际分布：⎪⎩⎪⎨⎧≤+=.,0,1,π1),(22其他y x y x p解：当x < −1或x > 1时，p X (x ) = 0，当−1 ≤ x ≤ 1时，2111π2π1),()(22x dy dy y x p x p x x X −===∫∫−−−∞+∞−，故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−−=.,0,11,1π2)(2其他x x x p X当y < −1或y > 1时，p Y ( y ) = 0，当−1 ≤ y ≤ 1时，2111π2π1),()(22y dx dx y x p y p y y Y −===∫∫−−−∞+∞−，故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−−=.,0,11,1π2)(2其他y y y p Y4．设平面区域D 由曲线y = 1/ x 及直线y = 0，x = 1，x = e 2所围成，二维随机变量(X , Y ) 在区域D 上服从均匀分布，试求X 的边际密度函数．解：因平面区域D 的面积为2ln 122e 1e 1===∫x dx xS D ，则(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧∉∈=.),(,0,),(,21),(D y x D y x y x p 当x < 1或x > e 2时，p X (x ) = 0，当1 ≤ x ≤ e 2时，xdy dy y x p x p x X 2121),()(10===∫∫∞+∞−，故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,e 1,21)(2其他x x x p X5．求以下给出的(X , Y ) 的联合密度函数的边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )：（1）⎩⎨⎧<<=−.,0;0,e ),(1其他y x y x p y （2）⎪⎩⎪⎨⎧−<<+=.,0;10),(45),(222其他x y y x y x p（3）⎪⎩⎪⎨⎧<<<=.,0;10,1),(3其他x y x y x p解：（1）当x ≤ 0时，p X (x ) = 0，当x > 0时，x xyxy X dy dy y x p x p −+∞−+∞−+∞∞−=−===∫∫e e e ),()(1，故⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(x x x p x X 当y ≤ 0时，p Y ( y ) = 0，当y > 0时，y yy Y y dx dx y x p y p −−+∞∞−===∫∫e e ),()(01，故⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(y y y y p y Y （2）当x ≤ −1或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当−1 < x < 1时，)1(85)21(45)(45),()(41022102222x y y x dy y x dy y x p x p x x X −=+=+==−−+∞∞−∫∫，故⎪⎩⎪⎨⎧<<−−=.,0;11),1(85)(4其他x x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0，当0 < y < 1时，y y xy x dx y x dx y x p y p y y yyY −+=+=+==−−−−−−+∞∞−∫∫1)21(65)31(45)(45),()(113112，故⎪⎩⎪⎨⎧<<−+=.,0;10,1)21(65)(其他y y y y p Y （3）当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，111),()(03=⋅===∫∫+∞∞−xx dy x dy y x p x p xX ，故⎩⎨⎧<<=.,0;10,1)(其他x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0，当0 < y < 1时，y y x dx xdx y x p y p y y Y ln ln 1ln ln 1),()(1−=−====∫∫+∞∞−，故⎩⎨⎧<<−=.,0;10,ln )(其他y y y p Y6．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,6),(2其他x y x y x p试求边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )．解：当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，)(66),()(22x x dy dy y x p x p xxX −===∫∫+∞∞−，故⎩⎨⎧<<−=.,0,10),(6)(2其他x x x x p X 当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0，当0 < y < 1时，)(66),()(y y dx dx y x p y p yyY −===∫∫+∞∞−，故⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),(6)(其他y y y y p Y7．试验证：以下给出的两个不同的联合密度函数，它们有相同的边际密度函数．⎩⎨⎧≤≤≤≤+=.,0,10,10,),(其他y x y x y x p ⎩⎨⎧≤≤≤≤++=.,0,10,10),5.0)(5.0(),(其他y x y x y x g 证：当x < 0或x > 1时，p X (x ) = 0，当0 ≤ x ≤ 1时，5.0)21()(),()(1021+=+=+==∫∫+∞∞−x y xy dy y x dy y x p x p X ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他x x x p X当y < 0或y > 1时，p Y ( y ) = 0，当0 ≤ y ≤ 1时，5.0)21()(),()(10210+=+=+==∫∫+∞∞−y xy x dx y x dx y x p y p Y ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他y y y p Y并且当x < 0或x > 1时，g X (x ) = 0，当0 ≤ x ≤ 1时，5.0)5.0(21)5.0()5.0)(5.0(),()(1021+=+⋅+=++==∫∫+∞∞−x y x dy y x dy y x g x g X ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他x x x g X 当y < 0或y > 1时，g Y ( y ) = 0，当0 ≤ y ≤ 1时，5.0)5.0()5.0(21)5.0)(5.0(),()(1021+=+⋅+=++==∫∫+∞∞−y y x dx y x dx y x g y g Y ，则⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,5.0)(其他y y y g Y故它们有相同的边际密度函数．8．设随机变量X 和Y 独立同分布，且P {X = −1} = P {Y = −1} = P {X = 1} = P {Y = 1} = 1/2，试求P {X = Y }．解：因X 和Y 独立同分布，且P {X = −1} = P {Y = −1} = P {X = 1} = P {Y = 1} = 1/2，则(X , Y ) 的联合概率分布21212141411214141111ji p p X Y ⋅⋅−− 故P {X = Y } = P {X = −1, Y = −1} + P {X = 1, Y = 1} = 1/2．9．甲、乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0.2，乙的命中率为0.5，以X 和Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求P {X ≤ Y }．解：因X 的全部可能取值为0, 1, 2，且P {X = 0} = 0.8 2 = 0.64，32.08.02.012}1{=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ，P {X = 2} = 0.2 2= 0.04，又因Y 的全部可能取值为0, 1, 2，且P {Y = 0} = 0.5 2 = 0.25，5.05.05.012}1{=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==Y P ，P {Y = 2} = 0.5 2= 0.25，则(X , Y ) 的联合概率分布25.05.025.004.001.002.001.0232.008.016.008.0164.016.032.016.00210ji p p X Y ⋅⋅故P {X ≤ Y } = 1 − P {X > Y } = 1 − P {X = 1, Y = 0} − P {X = 2, Y = 0} − P {X = 2, Y = 1} = 0.89． 10．设随机变量X 和Y 相互独立，其联合分布列为3/19/19/121321b x c a x y y y X Y试求联合分布列中的a , b , c ．解：因c a p ++=⋅911，9431912+=++=⋅b b p ，911+=⋅a p ，b p +=⋅912，c p +=⋅313，根据独立性，知81495919422222++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⋅==⋅⋅b b b b p p b p ，可得0814942=+−b b ，即0922=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−b ，故92=b ；再根据独立性，知⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⋅==⋅⋅91969194911221a a b p p p ，可得6191=+a ，故181=a ；由正则性，知1953191912131=+++=+++++=∑∑==c b a b c a p i j ij ，可得94=++c b a ，故6118394==−−=b ac ． 11．设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X ~ U (0, 1)，Y ~ Exp (1)．试求（1）X 与Y 的联合密度函数；（2）P {Y ≤ X }；（3）P {X + Y ≤ 1}．解：（1）因X 与Y 相互独立，且边际密度函数分别为⎩⎨⎧<<=.,0,10,1)(其他x x p X ⎩⎨⎧<≥=−.0,0,0,e )(y y y p y Y故X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧≥<<==−.,0,0,10,e )()(),(其他y x y p x p y x p y Y X （2）1111101e 1e 1)e ()e 1()e (e }{−−−−−−=−+=+=−=−⋅==≤∫∫∫∫x x x y xy x dx dx dy dx X Y P ；（3）11110110101010e )e ()e 1()e (e }1{−−−−−−−=−=−=−⋅==≤+∫∫∫∫x x x y xy x dx dx dy dx Y X P ．12．设随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,3),(其他x y x x y x p 试求（1）边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )；（2）X 与Y 是否独立．解：（1）当x ≤ 0或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当0 < x < 1时，2033),()(x xdy dy y x p x p xX ===∫∫+∞∞−，故⎩⎨⎧<<=.,0,10,3)(2其他x x x p X 当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0，当0 < y < 1时，)1(23233),()(2121y x xdx dx y x p y p yyY −====∫∫+∞∞−，故⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),1(23)(2其他y y y p Y （2）因⎪⎩⎪⎨⎧<<<<−=.,0,10,10),1(29)()(22其他y x y x y p x p Y X 即p x (x ) p y ( y ) ≠ p (x , y )，故X 与Y 不独立．13．设随机变量(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<=.,0,10,||,1),(其他y y x y x p 试求（1）边际密度函数p x (x ) 和p y ( y )；（2）X 与Y 是否独立．解：（1）当x ≤ −1或x ≥ 1时，p X (x ) = 0，当−1 < x < 0时，x dy dy y x p x p xX +===∫∫−+∞∞−11),()(1，当0 ≤ x < 1时，x dy dy y x p x p xX −===∫∫+∞∞−11),()(1，故⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<<−+=.,0,10,1,01,1)(其他x x x x x p X当y ≤ 0或y ≥ 1时，p Y ( y ) = 0，当0 < y < 1时，y dx dx y x p y p yyY 21),()(===∫∫−+∞∞−，故⎩⎨⎧<<=.,0,10,2)(其他y y y p Y（2）因⎪⎩⎪⎨⎧<<<≤−<<<<−+=.,0,10,10),1(2,10,01),1(2)()(其他y x x y y x x y y p x p Y X 即p x (x ) p y ( y ) ≠ p (x , y )，故X 与Y 不独立．14．设二维随机变量(X , Y ) 的联合密度函数如下，试问X 与Y 是否相互独立？（1）⎩⎨⎧>>=+−.,0;0,0,e ),()(其他y x x y x p y x （2）+∞<<∞−++=y x y x y x p ,,)1)(1(π1),(222；（3）⎩⎨⎧<<<=.,0;10,2),(其他y x y x p （4）⎩⎨⎧<+<<<<<=.,0;10,10,10,24),(其他y x y x xy y x p（5）⎩⎨⎧<<<<−=.,0;10,10),1(12),(其他y x x xy y x p（6）⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;1,421),(22其他y x y x y x p解：（1）因x e − (x + y ) = x e −x ⋅ e −y 可分离变量，x > 0, y > 0是广义矩形区域，故X 与Y 相互独立；（2）因)1π(1)1π(1)1)(1(π122222y x y x +⋅+=++可分离变量，−∞ < x , y < +∞是广义矩形区域，故X 与Y 相互独立；（3）因0 < x < y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立；（4）因0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立；（5）因12xy (1 − x ) = 12x (1 − x ) ⋅ y 可分离变量，0 < x < 1, 0 < y < 1是矩形区域，故X 与Y 相互独立；（6）因x 2 < y < 1不是矩形区域，故X 与Y 不独立．15．在长为a 的线段的中点的两边随机地各取一点，求两点间的距离小于a / 3的概率．解：设X 和Y 分别表示这两个点与线段中点的距离，有X 和Y 相互独立且都服从[0, a / 2]的均匀分布，则(X , Y ) 的联合密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=.,0,20,20,4),(2其他a y a x a y x pa a故所求概率为922321}3{22=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛×==<+a a S S aY X P DG ． 16．设二维随机变量(X , Y ) 服从区域D = {(x , y ): a ≤ x ≤ b , c ≤ y ≤ d }上的均匀分布，试证X 与Y 相互独立．证：因(X , Y ) 的联合密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤−−=.,0;,,))((1),(其他d y c b x a c d a b y x p当x < a 或x > b 时，p X (x ) = 0，当a ≤ x ≤ b 时，a b dy c d a b dy y x p x p d c X −=−−==∫∫+∞∞−1))((1),()(，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−=.,0;,1)(其他b x a a b x p X当y < c 或y > d 时，p Y ( y ) = 0，当c ≤ y ≤ d 时，cd dx c d a b dx y x p y p baY −=−−==∫∫+∞∞−1))((1),()(，则⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−=.,0;,1)(其他d y c c d y p Y因p x (x ) p y ( y ) = p (x , y )，故X 与Y 相互独立．17．设X 1, X 2, …, X n 是独立同分布的正值随机变量．证明n k n k X X X X E n k ≤=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++,11L L ．证：因X 1, X 2, …, X n 是独立同分布的正值随机变量，则由对称性知),,2,1(1n i X X X niL L =++同分布，且满足101<++<niX X X L ，可得⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n i X X X E L 1存在，且⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n nn n X X X E X X X E X X X E L L L L 11211，因11111211=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++n n n n n n X X X X E X X X E X X X E X X X E L L L L L L ，则n X X X E X X X E X X X E n n n n 111211=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++L L L L ，故n k n k XX X X E n k≤=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++,11L L ．习题3.31．设二维随机变量(X , Y ) 的联合分布列为09.007.004.0222.011.007.0120.015.005.00321X Y 试分布求U = max{X , Y } 和V = min{X , Y } 的分布列．解：因P {U = 1} = P {X = 0, Y = 1} + P {X = 1, Y = 1} = 0.05 + 0.07 = 0.12；P {U = 2} = P {X = 0, Y = 2} + P {X = 1, Y = 2} + P {X = 2, Y = 2} + P {X = 2, Y = 1}= 0.15 + 0.11 + 0.07 + 0.04 = 0.37；P {U = 3} = P {X = 0, Y = 3} + P {X = 1, Y = 3} + P {X = 2, Y = 3} = 0.20 + 0.22 + 0.09 = 0.51；故U 的分布列为51.037.012.0321P U因P {V = 0} = P {X = 0, Y = 1} + P {X = 0, Y = 2} + P {X = 0, Y = 3} = 0.05 + 0.15 + 0.20 = 0.40； P {V = 1} = P {X = 1, Y = 1} + P {X = 1, Y = 2} + P {X = 1, Y = 3} + P {X = 2, Y = 1}= 0.07 + 0.11 + 0.22 + 0.04 = 0.44；P {V = 2} = P {X = 2, Y = 2} + P {X = 2, Y = 3} = 0.07 + 0.09 = 0.16；故V 的分布列为16.044.040.0210P V2．设X 和Y 是相互独立的随机变量，且X ~ Exp (λ )，Y ~ Exp (µ )．如果定义随机变量Z 如下⎩⎨⎧>≤=.,0,,1Y X Y X Z 当当求Z 的分布列．解：因(X , Y ) 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>==+−.,0,0,0,e )()(),()(其他y x y p x p y x p y x Y X µλλµ 则∫∫∫+∞+∞+−+∞+∞+−−⋅==≤==0)(0)(e )(e }{}1{xy x xy x dx dy dx Y X P Z P µλµλλλµµλλµλλλµλµλ+=+−==+∞+−+∞+−∫0)(0)(e e xx dx ，µλµ+==−==}1{1}0{Z P Z P ，故Z 的分布列为µλλµλµ++PZ 13．设随机变量X 和Y 的分布列分别为4/12/14/1101P X − 2/12/110P Y已知P {XY = 0} = 1，试求Z = max{X , Y }的分布列．解：因P {X 1 X 2 = 0} = 1，有P {X 1 X 2 ≠ 0} = 0，即P {X 1 = −1, X 2 = 1} = P {X 1 = 1, X 2 = 1} = 0，可得 (X , Y ) 的联合分布列为因{Z P {Z P 故Z 4．（1）X （2）X 解：（1）(X , 因P {Z = 0} = P {X = 0, Y = 0} = 0.25；P {Z = 1} = 1 − P {Z = 0} = 0.75；故Z 的分布列为75.025.010P Z（2）因P {Z = k } = P {X = k , Y ≤ k } + P {X < k , Y = k } = P {X = k } P {Y ≤ k } + P {X < k } P {Y = k }p p p p p p p p k k i i kj j k 1111111)1()1()1()1(−−=−=−−−⋅−+−⋅−=∑∑p p p p p p p p p p k k k k 111)1()1(1)1(1)1(1)1(1)1(−−−−⋅−−−−+−−−−⋅−= = (1 − p ) k − 1 p ⋅ [2 − (1 − p ) k − 1 − (1 − p ) k ]故Z = max{X , Y }的概率函数为p z (k ) = (1 − p ) k − 1 p ⋅ [2 − (1 − p ) k − 1 − (1 − p ) k ]，k = 1, 2, …．5．设X 和Y 为两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ，试求P {max{X , Y } ≥ 0}．解：设A 表示事件“X ≥ 0”，B 表示事件“Y ≥ 0”，有73)(=AB P ，74)()(==B P A P ，故75737474)()()()(}0},{max{=−+=−+==≥AB P B P A P B A P Y X P U ．6．设X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧>>=+−.,0,0,0,e ),()(其他y x y x p y x 试求以下随机变量的密度函数（1）Z = (X + Y )/2；（2）Z = Y − X ．解：方法一：分布函数法（1）作曲线簇z yx =+2，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，F Z (z ) = 0，当z > 0时，∫∫∫−+−−+−−⋅==z x z y x zx z y x Z dx dy dx z F 2020)(2020)(]e [e )(z z x z z x z z x dx 2202202e )12(1)e e ()e e (−−−−−+−=−−=+−=∫，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = (X + Y )/2为连续随机变量，故Z = (X + Y )/2的密度函数为⎩⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 4)()(2z z z z F z p z Z Z （2）作曲线簇y − x = z ，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，∫∫∫∫+∞−−+−+∞−++−+∞−++−−=−⋅==zx z x zz x y x zzx y x Z dx dy dx z F e []e [e )()2(0)(0)(z z z zx z x e 21e e 21e e 21)2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=+∞−−+−，当z > 0时，∫∫∫∫+∞−+−+∞++−+∞++−+−=−⋅==0)2(0)(0)(]e e []e [e )(dx dx dy dx z F x z x z x y x zx y x Zz z x z x −−+∞−+−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=e 2111e 21e e 210)2(，因分布函数F Z (z )连续，有Z = Y − X 为连续随机变量，故Z = Y − X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=′=−.0,e 21,0,e 21)()(z z z F z p zzZ Z 方法二：增补变量法（1）函数2yx z +=对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,,2y v y x z 有反函数⎩⎨⎧=−=,,2v y v z x 且21012=−=′′′′=vz vzy y x x J ，则∫∫+∞∞−+∞∞−−=⋅−=dv v v z p dv v v z p z p Z ),2(22),2()(，作曲线簇z yx =+2，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，p Z (z ) = 0，当z > 0时，z z z Z z dv z p 2202e 4e 2)(−−==∫，故Z = (X + Y )/2的密度函数为⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 4)(2z z z z p z Z（2）函数z = y − x 对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎩⎨⎧=−=,,y v x y z 有反函数⎩⎨⎧=−=,,v y z v x 且11011−=−=′′′′=v z vzy y x x J ，则∫+∞∞−−=dv v z v p z p Z ),()(，作曲线簇y − x = z ，得z 的分段点为0，当z ≤ 0时，zz v z v Z dv z p e 21e 21e )(0202=−==+∞+−+∞+−∫，当z > 0时，z zzv z z v Z dv z p −+∞+−+∞+−=−==∫e 21e 21e )(22，故Z = Y − X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=−.0,e 21,0,e 21)(z z z p zzZ 7．设X 与Y 的联合密度函数为⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,3),(其他x y x x y x p 试求Z = X − Y 的密度函数．解：方法一：分布函数法作曲线簇x − y = z ，得z 的分段点为0, 1，当z < 0时，F Z (z ) = 0，当0 ≤ z < 1时，31203102102123233333)(z z z x x xzdx dx x xdy dx xdy dx z F z z zz z xzx z x Z −=+=+=+=∫∫∫∫∫∫−，当z ≥ 1时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X − Y 为连续随机变量，故Z = X − Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=′=.,0,10),1(23)()(2其他z z z F z p Z Z方法二：增补变量法函数z = x − y 对任意固定的y 关于x 严格单调增加，增补变量v = y ，可得⎩⎨⎧=−=,,y v y x z 有反函数⎩⎨⎧=+=,,v y v z x 且11011==′′′′=vz vzy y x x J ，则∫+∞∞−+=dv v v z p z p Z ),()(，作曲线簇x − y = z ，得z 的分段点为0, 1，当z ≤ 0或z ≥ 1时，p Z (z ) = 0，当0 < z < 1时，)1(23)(23)(3)(210210z v z dv v z z p z z Z −=+=+=−−∫，故Z = X − Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−=.,0,10),1(23)(2其他z z z p Z 8．某种商品一周的需要量是一个随机变量，其密度函数为⎩⎨⎧≤>=−.0,0,0,e )(1t t t t p t设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周需要量的密度函数p 2 (x )；（2）三周需要量的密度函数p 3 (x )．解：方法一：根据独立伽玛变量之和仍为伽玛变量设T i 表示“该种商品第i 周的需要量”，因T i 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−.0,0,0,e )2(1)(121t t t t p t可知T i 服从伽玛分布Ga (2, 1)，（1）两周需要量为T 1 + T 2，因T 1与T 2相互独立且都服从伽玛分布Ga (2, 1)，故T 1 + T 2服从伽玛分布Ga (4, 1)，密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−−.0,0,0,e 61.0,0,0,e )4(1)(3142x x x x x x x p x x （2）三周需要量为T 1 + T 2 + T 3，因T 1, T 2, T 3相互独立且都服从伽玛分布Ga (2, 1)，故T 1 + T 2 + T 3服从伽玛分布Ga (6, 1)，密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>Γ=−−−.0,0,0,e 1201.0,0,0,e )6(1)(5163x x x x x x x p xx 方法二：分布函数法（1）两周需要量为X 2 = T 1 + T 2，作曲线簇t 1 + t 2 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，F 2 (x ) = 0，当x > 0时，∫∫∫−−−−−−−−−⋅=⋅=xt x t t t xt x t t t t dt dt t t dt x F 02110221121221121)e e (e e e )( ∫−−+−−=xt x dt t t xt t 0111121]e e )[(1xt t x t t x t t 0121213111e e e 212131⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−11)1(e e e 212131233−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−x x x x x x xxx x x x x x −−−−−−−−=e 61e 21e e 132，因分布函数F 2 (x )连续，有X 2 = T 1 + T 2为连续随机变量，故X 2 = T 1 + T 2的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 61)()(322x x x x F x p x（2）三周需要量为X 3 = T 1 + T 2 + T 3 = X 2 + T 3，作曲线簇x 2 + t 3 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，F 3 (x ) = 0，当x > 0时，∫∫∫−−−−−−−−−⋅=⋅=x x x t t x x x x t x t x dx dt t x dx x F 003322003332232332232)e e (e 61e e 61)(∫−−+−−=x x x dx x x x x x 0232323242]e e )[(6`12 xx x x x x x x x x x x x 0222324242522222e 6e 6e 3e e 41415161⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−−− )1(e e e 21e 61e 4141516123455−−−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=−−−−−x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x −−−−−−−−−−−−=e 1201e 241e 61e 21e e 15432，因分布函数F 3 (x ) 连续，有X 3 = T 1 + T 2 + T 3为连续随机变量，故X 3 = T 1 + T 2 + T 3的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=′=−.0,0,0,e 1201)()(533x x x x F x p x 方法三：卷积公式（增补变量法）（1）两周需要量为X 2 = T 1 + T 2，卷积公式∫+∞∞−−=2222)()()(21dt t p t x p x p T T ，作曲线簇t 1 + t 2 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，p 2 (x ) = 0，当x > 0时，xxx xxxt t x x t x t dt t xt dt t t x x p −−−−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=⋅−=∫∫e 61e3121e )(e e )()(30322202222022)(2222，故X 2 = T 1 + T 2的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 61)(32x x x x p x（2）三周需要量为X 3 = T 1 + T 2 + T 3 = X 2 + T 3，卷积公式∫+∞∞−−=3333)()()(32dt t p t x p x p T X ，作曲线簇x 2 + t 3 = x ，得x 的分段点为0，当x ≤ 0时，p 3 (x ) = 0，21当x > 0时，∫∫−−−−−+−=−=x x xt t x dt t xt t x t x dt t t x x p 03433323233033)(333e )33(61e e )(61)(33 x xx x t x t x t x t −−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=e 1201e 51432161505343233323，故X 3 = T 1 + T 2 + T 3的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=−.0,0,0,e 1201)(53x x x x p x9．设随机变量X 与Y 相互独立，试在以下情况下求Z = X + Y 的密度函数：（1）X ~ U (0, 1)，Y ~ U (0, 1)；（2）X ~ U (0, 1)，Y ~ Exp (1)．解：方法一：分布函数法（1）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1, 2，当z < 0时，F Z (z ) = 0，当0 ≤ z < 1时，2020002121)(1)(z x zx dx x z dy dx z F zz zxz Z =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−==∫∫∫−，当1 ≤ z < 2时，1121110110110)(211)(111)(−−−−−−−−−=−+=+=∫∫∫∫∫∫z z z z xz z Zx z z dx x z dx dy dx dy dx z F121221)1(21122−−=+−−−=z z z z ，当z ≥ 2时，F Z (z ) = 1，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X + Y 为连续随机变量，故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<≤=′=.,0,21,2,10,)()(其他z z z z z F z p Z Z（2）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1，当z < 0时，F Z (z ) = 0，当0 ≤ z < 1时，z z x z zx z zx z y z xz y Z z x dx dx dy dx z F −+−+−−−−−+−=−=−=−⋅==∫∫∫∫e 1)e ()e 1()e (e )(0000，当z ≥ 1时，z z x z x z x z y xz y Z x dx dx dy dx z F −−+−+−−−−−+−=−=−=−⋅==∫∫∫∫e e 1)e ()e 1()e (e )(111110，因分布函数F Z (z ) 连续，有Z = X + Y 为连续随机变量，故Z = X + Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥−<≤−=′=−−.0,0,1,e )1(e ,10,e 1)()(z z z z F z p z z Z Z方法二：卷积公式（增补变量法）卷积公式∫+∞∞−−=dy y p y z p z p Y X Z )()()(，（1）作曲线簇x + y = z ，得z 的分段点为0, 1, 2，2。

概率论与数理统计(第三版)课后答案习题3

第三章多维随机变量及其分布1.设二维随机变量(ξ，η)只能取下列数组中的值： (0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，(2，0)。

且取这些组值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12，求表示这二维随机变量的联合分布律的矩形表格。

2.再从袋中任取一球。

设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同。

以ξ，η分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字，求(ξ，η)的联合分布律。

解：(ξ，η)的可能性取值为数对(1，2)、(2，1)、(2，2)，先计算取每一数对的概率： P {(ξ，η)=(1，2)}=(1/3)⨯1=1/3；P {(ξ，η)=(2，1)}=(2/3)⨯(1/2)=1/3； P {(ξ，η)=(2，2)}=(2/3)⨯(1/2)=1/3； 3.一整数n ξ=ξ(n )是能整除n 的正整数的个数，η=η (n )是能整除n 的素数的个数(注意：1不是素数)，试写出ξ和η联合分布律。

解：依题意有：n ：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ξ(n )：1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 η(n )：0 1 1 1 1 2 1 1 1 2因此ξ=1，2，3，44.设随机变量(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-===⎰⎰---∞+∞-.,0,1,121),()(21122其它x x dy dy y x f x f x x ππξ(1)确定常数k ； (2)求}3,1{<<ηξP ； (3)求}5.1{<ξP ； (4)求}4{≤+ηξP 。

解：(1) 由概率密度的性质知：⎰⎰=--20421)6(dy y x k dx ,即 8k =1 ∴ k =1/8;(2) }3,1{<<ηξP 8/38/)6(1032=--=⎰⎰dy y x dx ; (3) }5.1{<ξP 32/278/)6(5.1042=--=⎰⎰dy y x dx ;(4)dxdy y x f P G ⎰⎰=≤+),(}4{ηξ32)6(814220=--=⎰⎰-dy y x dx x。

概率论与数理统计(理工类第四版)第三章多维随机变量及其分布习题答案

第一章多维随机变量及其分布二维随机变量及其分布设（X打的分布律対1^6 19 1/181'3 M 19求口-解答=由分布律性质工A - L可知I 6+ 1/9^1 "lfi +1/3 +"+ 1/9-1, 解得£戸込I习題2（丄）2.ig {X, F）的分布ill數为Fa. J'）,试用尺工门表示:尸治Gf £仇F g匸}-尺机t）-尺“疋）,,习題2（2）I2.® （尤n的分布函勒为川斗理），试用/-UJ）表示:（2）p;o<y<忙；尸出町yg冇j =鬥+卫』）三尸（+ 00'0）・习題24）］2■设g y）的分布働対珂扎小试用表示;（3）門疋>0, y<^i *尸尸<郴=F（+<K上）—尸他［解答=1P{max|A； n ^0| -P{Y, 少•个夭于J'O}=pgo} + W20} -P{X20. y纫4 4 3 5**7 7 7 7习題5丨（Kn只取下列数值中的值:(0.0), (-1, I), 、(2.0)且相应釈率依次为扌，，缶存请列出（x,r）的畴分布表，并写出关于啲边缘分布・解答^（I ）因为所给的一组槪率实数显然均大于驭且有1 + 1 +补+刍=1,故所给的一组实数必6 3 12 12是某二维随机变蚩（x,r ）的麻合概率分布.因（* D 只取上述四组可能值，故事件：-I, r^Ob <X ・0・ y=-h{X- 0, r-1 H |x= 2・ n {*■ 2. y -1},均为不可能事件，其概率必为®.因而得到下表！0 1/3（2）F{f ・0}«P{X=-i, Y 0} +P{X-o, y=o} +P{%・2, r-0} n I 5 7=0H — + —=—,6 12 12同祥可求得P W >I 3j关于的y 边缘分布见下表^0 1/3 712 1/12 1/3 设随机向量（A ； K ）服从二维正态分布M （）・（h 101101（））,其低率密度为1 "八"2«0n求 PIX^Y].解答=丨由于尸氐W Y] 4 P{x> r} = h 且由正态分布图形的对称性，知円 XS n = P{x> r\,故 P{*S Y} = ；.习題7设®机变*（& D 的概率密度为7（6-Jf-卩），0<1<2,2<v<4'-I 0. Mt则⑴确罡常数灯（2）求P{Xvl 』v3”（3）求PXvlS}; （4）求P{X+y<4}・1/65-42 1/12 0 0 1/3 012 p{y=】r,解答；1如s所示(I)由「J：/(x,y)心a”. I >确定常数人-JJ^Z:(6-X-yydydx = Hj6-Ixydx = 8A = I ,⑵ P{X< l,r<3) = 4寸；1(6 7-刃在u 扌・⑶ P{X<\.5}=£ rfx£i(6-j-y)</v=寻.(4) P{无4人42J施广i(6_x-y)妇扌.［习題8」_____________________________________已知财口y的联合密度为C 、'w.OSMl.O 幻 G f{x. V）= <■ K 0, 氏它试求：（I）常数（2）尢和y的联合分布跚凡2）.解答=1⑴由于TH ：/(x, y)dxdy =41 xytfxdy = ~，E = 4 .⑵当X M 0或y 5 0时,显然Fg y) = 0 J当x2 1,y2l日寸，显然F(x,>■) = H设OSM I、0^> < I 有E(x, y} = P J* /{u, v}duJ\ =4(严也卜也=巧》^;设05x<l , v>l；有F{x,y}= P[X< l,K< vJ = =jr)最后，设xA(b OMpSl,有F(jr,v)= P[X< I, y<v\ =4jjM寸;vdv = r. 函数F（儿y）在平面各区域的表达式0, x<0i^<0F, 0<.v< i.>-> lF(")=巧人0<x< 1、0<y< I .r，x>i,OSySI习題9设二维随机变量伉,D的柢率密度为£[4・8只丨-X）. 0<xS l.JT <y< 1心”0, ft它解答:人仗）■匚/Z）创f 4剛1 -x）a 几0, 其它2.4(l-F)(I-x), OSxSl ~1 0,其它♦_ 们4・8叩-x)dx, O£yW I0, H•它_ 2.4r(2-y), OSvSl0,其它•习a丄0 I设ee在邮刼"所ffl戒的区域仃里服从1祠分布J求联台廿布啻虜和边缘分布密度.E域G的面积月三J：b -论==,由题设知（X n的联合分布密度为6, 0盂』MhrWyW.Y/gm 二①11它”从而八h.v)fA =叮:创=(心rb s哲I,&0：—护h 0 W岸兰1.心卞)=J 3(),JI它同样的/ ") =「：rg处=或：必=6由-.V)，u^v< 1^即# f小刃-1■ '■ 1 0, R L ■条件分布与随机变量的独立性二维随机变量(尤n的分布律为0 17/15 7.307/30 1/15(1)y的边缘分布律J(2)求Pr=o|x=oh P w=iro}；⑶判定兀与y是否独立？解答：1⑴由(XJ)的分布律知b y只取0及1两个值・P{y=0} = P{x = 0j = 0} +Pb= l,j = 0；=«j^ +寺= 0.7,j-(j JO 15(2)P{y=Qx = 0}= P{x"0」"0} = ? ?* P{x = 0} 3⑶已知P{2 0,尸= 由⑴知Ptv=0i=0.7,樂以可得尸仪=0}-0.7.因^鬥20,尸0}*{.20}•氏2(1},所以*与y不独i・将某一医药公司9月份和8份的膏莖素针剂的订货里分别记为X与y.据以往积累的资科知X 和y的联合分布律为51 52 53 54z51 0.06 0.05 0.05 0.01 0.0152 0.07 0,05 0.01 0.01 0.0153 0,05 0.10 0.100.05 0.0554 0.05 0.02 0.01 0,01 0,030.05 QM005 0.01 0-03(1)求边缘分布律；(2)求X月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律.解答=丨X5152 53 54 55 0J8 0.15 035 0.12 0.20 *对应丸的值，将每行的祗率相加b 可得円/"・}•对应y 的值(最上边的一行b 将S 列的柢率相加可得p{y 可：•52 53 54 55~~6^2~0^~0.13 •⑵当y - 51B 寸'X 的条件分布律为鬥Ei,備宵严=粽，"5WK55.列表如口习题3 1 已乳(X n 的分布律如下表所示y-^ -1^LrL •(1) uy=i 的条件下，戈的条件分布律,(2) 在X«2的条件下，y 的条件分布律.f 解答=1由麻合分布律得关于X. y 的两个边缘分布律为故⑴在y-1条件下，尢的条件分布律为_0 1 23/11 8/11 0 ⑵在X=2的条件下.y 的条件分布律为4/7 0 3/7(I)边缘分布律丄 X "719/24 8/24 7/241024 11'24 3/24由尢与y 相互独立知PiX=x,. r=j ；j=P{X=xJP{y=yJ, /=l,2,3.4, 7=1,2.3, 从丽（A ； y ）的K 合祗率分布为P{X+y=\}= P{X«・ P{X«O, y=l}=—+ — = 16 4K 12P{X+ y*0} = I - P{X+ F 二0}= 】-P{X 二-b y=i}-p4x== -二2 2 1 I 32S12 6 4习題5丨丸与y 相互独立，其概率分布如表S ）及表⑹所示，求：（KK ）的联合概率分布, Pj%+r=iH P{*+y*o}・-20 1/2-1/2 1/4 1/3 142 1/31/21/4 1/4表3)解答： (I)由题设易知fk I人(-4—， I a M 尼又y 卜相互独立，故A ■与》的联合槪率密度为L tk 找它⑵因2有实根｝-:判另弑A=-4A^'-4ys()! - ｛用2鬥,I + y-yr舌则图所示得到:、」■尸加有实根｝ =P ｛X-> Y ｝ = H “儿，曲T 町V 讪」/「 rr '%工=l - ； ."dr-r HLclx-二维随机变量函数的分布r?=1 一莎J 壮一丘『厂必■ ■ =]—血他⑴―山⑹，又tl>(IJ-0.MI.3 I 小(冊三2^于杲巾(I)-伽(0)-03413』所以尸旧有实根！ = 1 — 血冲(I)—职仙] -2.51贰0加13 = (1」4工=-t（i ）z=r +y 酚布律为•2 0 A 1/10151/2 110 no-2 1/21/5 1/10 1/10 1/10J/2 1/51'5 3/10 151 10(4)Z.max1Xri 的分布律习那]设二维隨机向S （x, y ）眼从矩形区,或D “（2）IOSM 2・0<八H 的均匀分布，且 ■ , fo.xsy “ 3*s2yU=1 ； v=）J, x>2r解答：I依题(U 耳的概率分布为P{CZ=O, V^Q}^P{X^KX<Y\=P{X^Y}咖:扑w ，p{(7=o,I j = P{XM}；x>2r}M(bp {c/=i,r=o}=p {x>y,x<2y}=p<y<xs2Y}=例：5心，p{u-1, r-1}=1 -p{r=o, r=o|-P|c/=o, r= i }-p {u= i, r=o} = iz2,（3） Z 二*"的分布律-2 1/101/57/10[\.X> y求0与A 的联合概率分布.I习題4 I设（x,r）的联合分布密度为I E —e " 2n求2的分布密度.解答：依翹意，由_____当xO时，FX Z)=P(0)=O J当沦0时，F^z).P{X'+r'^z^)- JJ /{x.yydxdy・« ・1 ■p・5 =-j；x^ 曲» [g ,dp■ 1 - e •故2的分布函数为FQ・0, 2<02的分布密度为ze \ 2>0L 0, 2<0习題5〕颇机变量（X "师率密度为・a + v)<? A”, x>0.y>0r(x 丿” \ 2I 0,煤它（I ）冋;V 和y 是否相互独立？（2）求7«* †+ y 的概率密度• 解答=1（|）/7力=厂/（"曲依题童，x,y 的柢率密度分布为fl, Owl心0.其它'由卷积公式得Z«x+ y 的概率密度为//2)=匸：/(xteG ~x)dx,于是当 0<x<l, z-x>O01,广(x)j?U-x)*O,故兰 Ovx<Nv I 日寸，有 /'/z)=£t* '• m 办=1-t? r ；当沦I 时，有//z>=£e» *■ **rfr=e*即2的駅率密度为x> 0 一时，/(X. z-.v)*O,所 X<2-xe ^dx = —z^e :. ? 2习题6 1设随机变S* y相互独i,若刘艮从(0, I)上那咖布，｝服从参数I的指数分布，求随机变量z=x+y的率密度.解答=IQp八0鮒)0. «它■-e—e0＜二＜I习題7 I0. VMO01lt0, M<0 (1-C 于丁〒OS“vl ・设随机变量(X y)的槪率密度为bgWj 0<xvl,0<y<+80,具它(1)试确定常数切⑵求边缘概率密度/e), ⑶求函数U= max数.⑴由J 工 J{x,y}dxdy = 1 ,确定常数 b.J ；厶J ；仏 'e Py-W-e *)/(x.y} =-—e Ovx< 1,0vyV+8 e~'0, 其它(2)由边缘概率密度的定义得--- e 0,-e(叫几Ovxvl 淇它0. «它~e0•氏它I0,氏它⑶因为/(x,j)=/,Xx)/,<v),所以龙与y 独立，故F(W) = Pfmax {兀 Y] W i/} =P{X^ u, r<H J =fyw)FK■ f ] ■ JI其中 Fv(X)-£-j-^<// Ovxvl,所以0, H SO-eI -a-,Q<x< 1 •"1同理£c ⑷,0<y<+ « 1—严；0vy<4oo0, y<0习題7 I1 -<?',习題B设系统丄是由两个相互独立的子系统丄和E 职串联方式联接而成，人和丄，的寿命分另I 伪A 与 b 其概奉密度分另怙，隹(h ・)i(K .Y<0解答：设 Z-inin{y, V\ 则F(d = FM>二}-你miti{*= }= l-r|niiii(-\； }-r{X^2. } S J} =1-IIP""川 1 —珥 ^二}|= }-[}-F,[=]][}=由于* z>0认 z<nf I -r 巴 z>0 尺㈡* I 0, Z<n0, z<(l从而3>()习题9设随机变童疋湘互独立』且服从.同一分布』试证明；P {(t < niiniX 卄"2 ［鬥出］丄—［PiX> * 口»ff 答：设血i^F}二乙则尸旧wruMfJ ； F)"} =£//>) = ◎(&)』/7二尸尸{min f A ；打"} — 1 —鬥min |兀冷“} -l-nX>z r>r^- I -F{#dz}P{FHz} 二丨TFfvr 门代入得/^{u<imii{A ； n 5； = I - If {人、忧F-(l -f汗}打""耐证毕.复习总结与总习题解答0. v<()苴中,』>{)，“〉(b 回，试束系?盍丄的寿命Z 的柢率密Rr) = *1 —严+吒£>0习題1丨在一箱子中装有12只开关，其中2只罡次品，在其中取两次，毎次任取一只，考虑两种试殓;（I ）放回抽样八2）不放回披样•我们走义随机变量X. y 如下:-0若第一次取出的是止品""：1■芳® —次取卅的走次品' 解答：（I ）有放回抽样,（X, n 分布律如下：p.v=o,r=o, = ^ = g,P{x=.,x=o, = ^ = l（2）不放回抽祥，（尤n 的分布律如下：P{X=（）. y=（）} =竺11 =竺，P{x=o,y=i} =史11 =凹12x11 66 12x11 66 P {灼，—“^二黑砒"—2二=£ 12x 11 66I2x II 66假设随机变量y 服从聲数为1的指数分布，随机变量母屮仟仏3求（兀冷的联合分布率与边缘分布率.0■若第二次取Hi 的是lE 品 1,若箔一次取出的是次跖砂别就（I ），（2）两种谢兄，写出/和 > 的联合分布律•Y=<劭y服从劳数为啲指数分布，血=『电"|,所以有11,若 1= I} = P| y> I} = J* % ^dy = c ',f{y, = 0} = l-eP{X=I}= P{y>2}=J；l 'dy = e 2,P{Xj = O} =1 -e 2,= l)=P{y>2)=e SrjA^,= l,Yj = O( = f{X,= l}-r{X, = UXj = l} =e '-e P{X, = O,A；=O}=P{r^t!= !-<?*',p {/=o,& = H = Ptv,=o}-PM>o,y=o}=(), 故e，Ay联合分布率与边壕分布率如下表所示:在元旦茶话会上，每人发给一袋水果，内装3只橘子，2只苹果，3只香嵐今从袋中随机抽出4只，以乂记橘子数，y记苹果数，求gn的联合分布•解答=IX可取值为0,1,23 y可取值0, 1,2,则Ptv=o, r=o3=p{0( = o, P{Y=o, y=i}=c：c；c"c；=2/7o, 門X=o, y=2} =C；GC：/C：= 3/7O, = 1, r= GJ = CjC^Cj/C'； = 3/70,P{X= I, Y=\}= C；C；G/G = I 8/70, P {%= I, r=2} = C；C；C；/C = 9/70,P{X=2, r=<)}=qc^c5/C； = 9/7O, P{X = 2, r=|>=c^cjc；/q= 18/70, 門X=2,r=2}=C；C；C；/C； = 3/7(b P{X=3, r=()! =C；C；rl/C；=3/7O,P{X=3, r=l5=C；CX7C'； = 2/7O, P|Y=3, X=21=PJ0} = O,所以，(X, 合芬布如下：设斑机变量兀与y相互独立，下勵tt 了二维随机变量（x, n的联合分布律及关于尢与y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值《入表中的空a处：解答=]由题设X与y相互独立》即有"厂几几0- 1.2; R 1,2,3），又由独立性，有故化笃从而円产5・方-§，又由几产几P"即从而P产才类似的育I 1 3卩严亍如蔦'卩2蔦将上述数值填入衰中有(2)(x(一=呼Array n s鎗當墨(2)因窗賞J: 2X0-r叭工 <dsxa 一灶yAI-B 「FumnoJ◎脏一八 2yI -讥弋A o 畀-F(XQ )H P C SH一・y H—二 H -、4J 显X22、—-^ycoBq》 F (X ・S H 2X »一•y" — 二4P亠尢》2・y »— 二H5二2j显一人xa2;>0尹F (x・0»^x»-・ T—二*史XH 厂◎肛X W2;W O 尹/%R・Y )H P K H一・n H —二+2X H2・ PH I 二 + p 亠X H 厂〉+解答：I 2应彳，£.由分布律的性质可知I 九=丨，故习題9 I _________________________ 设H 随机变量(尤naw 率密度函数为Ct?0,儿它⑴确定常数门(2) 求X"的边缘概率密度函数J (3) 羽联合分伟国数尸(X 』)； (4) 求 P{ysx}； (5) 求条件槪率密度函数 (6) 求P{X<2\Y<\} •I 解答=1⑴由匚工 /(X, y](ix(iy^ 1 求常数 f - i ：r-即0+0=■•3又因九与y 相互独立，故pjx=A r=ZJ = P^x=/iP{X=7b 从而 «・P{*・2, K-2}«P{r -i|P{r-/!r 1 VI 、V9 A4J2 *6，0 = P{X=3、X=2}=PJT=3JP{Y=2} fl I -+ -U 31+#]转1+0A3*3. 〔訂⑵A(x)=J y(x,v)Jv =■「2宀“ x>020・hx>O/Q) ■匸/(xj)必= J 「2eW 血y>00, «它严y>0 10, ySO(3)f J 〉■ r r /(“• v}dvdu< ■«! .rXJJ ：2° 叫'dvdu. x>0,r>0 0,氏它J(1-宀)(iy)・ x>0,y>0 "I 0.其它•(4) 門卩£卫=厂叫2€ % 7/1 =j^ 2e -'(I-e ")必=\(5) 当八0时，，2r — ♦<-x>0 J2e, x>0 0. x<Q to ，"0(6) P{X< 2|r<I} = P'Xu 2,F(2, 1) (\-e-■ --------- : --- = 1 — e?0. xSO二/（"）二J：e M 设随机变置以槪率I取值为(b而y是任—e意的随机变量，iiP加与丫相互独立.解答=I因为必的分布函数为0, %r<offfF(x)=< . 7〔1,畑側设y的分布因数为几0), (x, n的分布国数为Fgy),则兰工"时，对任意厂有F{x,y} = P{X<x, Y^y} = P{{X<x}r>(y<y}}= F{0C(F)}=F{0}=O= F3F3当20时，对任意F，有川儿卩)-PiX<x, Y<y} - P {(XS)c(FQ，)}- 勺刘-/>{〉<，} = FQ)=F/MO).依罡义,由Fg y) = F#r)厲仞知,北与V独立.设连续型随机变S(x,y)的两个弁S尢和*相互独立，且服从同一分布，试证P{X<Y\ = \fl.解答：I因为A； y独立，所咲/(X」)=//x)/)0).P伫r：=『心刃艸 =口/的/QMS•cSy jrSr■ {二［/0龙8^0皿皿・「：［/\0)尸0)］妙=J /^XvWv)=—L：=-.J" 2 2注：也可以利用对称性来证，因为X」独立同分布，所以有P\X<Y}=P\y<X\,而p{xs rj \ P{X2 Y} = \,故F{/Vsr}-I/I2.习題121设二维随机变量(A ； D 的联合分布律为“2 X 、 a 1/9 c? "9A13若久与y 相互独立,求参数a,人C 的值• 解答：］关于*的边缘分布为a + - A+ - C —9 93关于y 的边缘分布为,4 fl + c+ • b+ • 99 由于X 与y 独立，则有几2=P 、Pa 得 ( ./>= b4- /)+V 9八由P\2訴P"得由式①得"二彳，代入式②得"右，由分布律的性质,rt + />4c + — + - -1—9 9 3代入"IV g?得心•易验证，所求绒也C 的值，对任倉的j 和/坷荐足甘化XPj.因此,所求依处的值为"丄，』，c=l18 96P K/ f9.习題14 I设(工K)的联合密度I 邂故为P ，『打匕用f(x,y)=< H R ・ ,0, K 它⑴求北与^的边缘概率密度；(2)求条件概率密度，并问龙与y 是否独立？⑴当 *<-/?或^>/?时，f/x) = J ^/(x, y)</v=J *0命=0；当一RS T WRE 寸,AW 叮并』如爲几4 =务戸• 于是'乍■尺"/Q) = 1宛斤V 0,兀它由于X 和y 具有对称性，同法可得y 的边缘#［率密度为/爲光厂,*曲0,其它值位于IM W J R ' -}2这个范围内,/'(儿y)才有非零JlR1/ 灿)=-7 —= / . 2 '即件1R 率密JS 为—r===, 1X |M JP ■“ /WMy)= 2j 用-尸0, 它同法可得X= X 时y 的条件祗率密度为f« 2{疋-£ .(),It 它由于条fMR 率密度与边編R 率密度不相等，所以尢与y 不独立.⑵/>0卜)=少亠，注意到在y 处X ・/心)值，敌在此范團内，有霞一5H H-心鼻働奮吐長o r n +y 叭Z)MOJ肛0览八一孚- Es«pbv+yn 一—=n (n d oe+r*r;令«z{2lz)l5(2lzr+ (hl-)2J吐ZW2鼻』=/'(XG)4zva ・nfuYfyxan一 • 3 0.2(21^13(21* I VN A O22搭AS H 一 2 I P匚P一从0人2・t 习題IT I设H 随机娈量(X X)的概率密度为2g52.q 2()j>00,其它求随机变Sx-乂+2y 的分布佛.按定义/7Z) = P{x 千即当 ZM0时，F/Z)= JJ f{x,y}dx<iy = JJ 0厶妙=0.J( *2*" X * 2> S J 当-A O 时，F/Z)= JJ /(斗划厶亦I 叫幼 J *2yS ：=£e '(I - e" 9iZv=[(e “-e •)<Zx = [-e"*^|^-ze'* =l-g7-二 g7,0, 注0习題W 1设随机变MX 与y 相互独立，其概率密度函数分别为Ae^\y>010. yso驰(I)常数‘4; (2)随机变量Z-2X+ >的概率密度(酬•(1) 1 «「：/0)心《」「才吆 3" •(2) 因^与F 相互独立，故(A ；y)的联合概率密度为e"\ OS N M I, v>0 •， 0,氏它于是当zwO 时，有F ⑵二P{2W Z }M P{2X+ r^r}=Oj当OS 注2时，有F(z) = P{2X +ysz}=['住% VvJ 如当A 2时，有F(z) = P{2X+ ys2}=f ：次匸 \ Vv =j^(l 仙.利用分布1跚法求^寻7亠2X+ y 删率密度a 数为0,匸<0(M -1)0 ¥2.沦 2{//*)= (l-e 9/2, O<2<2・/g)=故分布酗为F") M \1 ^-se •, z> 0 一、I.OSxSl 八、朋£・其它，如十习ai9 I is 阴机变量K.y 相互独立，若尤与y 分别服从区间（0, I ）与（仇2）上的均匀分布，求U= max{X 幷与 r-minM ； Y\«答=I由题设知，尢与F 的概率密度分别为1, 0<x<1 .0, It 它'于是，①尢与啲分布函数分另|］为0, xMO X. 0 M X V 1， I 1, 21从而U= max{A ； Y ］的分布为K w22故n 的柢率密度为W, 0<u<l/tO/) =②龍，由r,b')=i-[I -F A X 呱 1-®] =人何 + F") -FXv)F,{v) =尸3)+ 厲3)-耳3)，得y=niin{X n 踽布瀏为f 0,OSv< I,故心min W}的概率密度为'3I - - V, 0<v< I.A （v ）=b ^,0, K 它注；（I ）用卷积公式，主S 的困难在于店丫的《?率密度为分段函数，故卷积需®分段计亀 ⑵先分别求出X 」的分布函数FQ ）与FQ ）,然后求出片何，再求导得/沖）；同理先求出FQ ）,求导即得/a.ri/2.0<>-<2M 0.其它 0. > <0 y/2, OSy V2,F,4w) = FJw)F|-(w) =0, M<0ir/2, 0<«< 1w/2, 1 S w V 2vvO* — Xt习題IT I"如x>00, ,<0 r畔I-/e Wx>0-20. je<o-(X+ l)e \ x>0(),丫<0-（V + I）e \ y> 0由対称+蜘,显然I 0, pMO.Z'g"A（x）/Q），JC>0.y>0, 所以龙与y不独立.（2）用卷积公式求= 当｛即•当时，//r） = Oj 当"0吋，/血）=帛于是，z="+y的积率密度为12>0 zMO。

概率论与数理统计自测题3

概率论与数理统计⾃测题3习题三多维随机变量及其分布⼀、填空题1.设随机变量（X,Y ）的联合分布函数为2()(arctan ),0,(,)0,xA eBC y x y F x y +?>?∞<<+∞?=?其它,则A= ,B= ,C= .2.已知随机变量(X,Y)的联合分布律为则，a+b= ;当a = ,b= 时，随机变量X 与Y 相互独⽴。

3.设（X,Y ）的联合分布律为则（X,Y ）关于X 的边缘分布为，关于Y 的边缘分布为 .4*.设⼆维随机变量(X,Y)的联合密度函数为,02,02(,)0Ax By x y f x y +<<<，其它，已知X 服从均匀分布，则A= ,B= .1,0,0(,)0x y x y e e e x y F x y +>>=?，其它 5. 设⼆维随机变量(X,Y)的联合分布函数为则(X,Y)关于X 的边缘分布函数为，关于Y 的边缘分布函数为，随机变量X 与Y 是相互。

23,1,0(,)0yA e x y f x y x ??>>?=，其它6*.设⼆维随机变量(X,Y)的联合密度函数为，则A = ,边缘密度f X (x )= , f Y (y )= , 随机变量X 与Y 是相互。

7．设相互独⽴的两随机变量X,Y 具有同⼀分布律，且X 的分布律为P(X=0)=P(X=1)=0.5,则随机变量Z=max{X,Y}的分布律为。

⼆、选择题1．设随机变量X 与Y 相互独⽴，其概率分布为 X -1 1 Y -1 1 P{X=m}0.5 0.5P{Y=m}0.5 0.5则下列式⼦正确的是【】（A ）X=Y; (B) P{X=Y}=0; (C) P{X=Y}=0.5; (D)P{X=Y}=1 2.设随机变量12101(1,2),{0}111424iX i P X X1===～且满⾜则P{X 1=X 2}等于【】（A）0; (B)14; (C) 12; (D) 1 3．设X 1和X 2是任意两个相互独⽴的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x )，分布函数分别为F 1(x )和F 2(x )，则【】 (A) f 1(x )+f 2(x )必为某⼀随机变量的概率密度； (B) F 1(x )F 2(x ) 必为某⼀随机变量的分布函数； (C) F 1(x )+F 2(x ) 必为某⼀随机变量的分布函数； (D) f 1(x )f 2(x )必为某⼀随机变量的概率密度函数；4.已知⼆维随机变量(ξ , η)的联合分布函数 F(x,y )=P{ξ≤x,η≤y }则事件{ ξ>1,η>0}的概率是【】。

茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解(多维随机变量及其分布)【圣才出品】

Y＝y 条件下 X 的条件分布函数为
F x y j P X xi Y y j pi j
xi x
xi x
X＝x 条件下 Y 的条件分布函数为
F y xi P Y y j X xi p j i
yjy
yjy
2．连续随机变量的条件分布
Y＝y 条件下 X 的条件分布函数和条件密度函数： F
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表 3-1-2 边际分布
2．随机变量间的独立性
n
对任意 n 个实数 X1，X2，…，Xn：若 F ( x1, x2,, xn )= Fi ( xi ) ，则 X1，X2，…，
i =1
Xn 相互独立。
n
离散随机变量：若 P( X1=x1, X 2 =x2,, X n xn ) P( Xi xi ) ，则 X1， i 1
xy
x p u, y pY y
du ；
px
y
p x, y pY y
。
F X＝x 条件下 Y 的条件分布函数和条件密度函数：
yx
y p x,v pX x
dv ；
py
x
px, y pX x
。
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Exp()*Exp()**Exp() =Ga(m,) m个
（4）χ2 分布的可加性：m 个χ2 变量相互独立，则
2 (n1)* 2 (n2 )** 2 (nm )= 2 (n1 +n2 + +nm )
四、多维随机变量的特征数（见表 3-1-3）
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概率论与数理统计(茆诗松)第二版第三章课后习题3.1参考答案

⎧0, ⎪ 2 2 x y , ⎪ ⎪ 2 F ( x, y ) = ⎨ x , ⎪y2, ⎪ ⎪ ⎩1,
x < 0 或 y < 0, 0 ≤ x < 1, 0 ≤ y < 1, 0 ≤ x < 1, y ≥ 1, x ≥ 1, 0 ≤ y < 1, x ≥ 1, y ≥ 1.
8．设二维随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为
1.5 2
x
（4） P{ X + Y < 4} = ∫ dx ∫
0 2
y 4 2 0 2 x
2
=∫
0
x2 ⎞ x3 ⎞ 1⎛ 1⎛ 2 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x dx x x = ． 6 4 6 2 = − + − + ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 8⎝ 2 ⎠ 8⎝ 6 ⎠0 3
2
6．设随机变量(X, Y ) 的联合密度函数为
0.5 x 0.5
1
x
= ∫ (6 x − 6 x 2 )dx
0.5
1
= (3x 2 − 2 x 3 )
0.5
1 0.5
= 0.5 ；
y
P{Y < 0.5} = ∫ dy ∫
0
y
6dx = ∫ dy ⋅ 6 x
0
0.5
y y
= ∫ (6 y − 6 y ) dy
0
0.5
0 y 1 0.5
0.5
1
x
= (4 y − 3 y )
试求（1）P{0 < X < 0.5, 0.25 < Y < 1}；（2）P{X = Y }；（3）P{X < Y }；（4）(X, Y ) 的联合分布函数．解：（1） P{0 < X < 0.5, 0.25 < Y < 1} = ∫ dx ∫

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习题6（多维随机变量及联合分布）
一．填空题
1. 设随机变量X 在1，2，3，4中随机取值，随机变量Y 在1到X 中随机取整数值，则二维随机变量),(Y X 的联合概率分布列与两个边缘分布列分别为
；； .
概率==)(Y X P .
2. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为
18
.012.012.008.01
11
01b a X Y
--，且X 与Y 相互独立，
则=a ；=b .
3. 设区域1,1≤≤y x D ：，二维随机变量),(Y X 在D 上服从均匀分布，则它的联合密度函数
=),(y x f ；=≤+)1(Y X P .
4. 设),(Y X 是二维相互独立的随机变量，且)4,0(~U X ，)5(~e Y ，则概率
=≤≥)1,2(Y X P .
二．解答题
1. 若随机变量X 服从6.0=p 的10-分布，)5.0,2(~B Y ，且X 与Y 相互独立，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及概率).(Y X P <
2. 设X 与Y 是相互独立的随机变量，)1,0(~U X ，)2(~e Y .写出二维随机变量),(Y X 的联合密度函数),(y x f ，并求t 的二次方程022
2
=++Y Xt t 有实根的概率。

3. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩
⎨
⎧=,0,),(kx y x f .,
,10其它x y x ≤≤≤（1）求k 值；（2）求两个边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ；（3）讨论随机变量X 与Y 的相互独立性；（4）求概率)5.0(≤X P 及).1(≥+Y X P
习题7（多维随机变量函数的分布）
一．填空题
1. 若随机变量X 的概率分布为
1
.04.03.02.02
101p X -，记12+=X Y ，12-=X Z ，则随
机变量Y 与Z 的概率分布列分别为：
； .
2. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为
2.02.031.001.021.02.01.011
01-X
Y ，则随机变量Y
X +的概率分布列为.
3. 若随机变量X 的概率函数为
6
.04.01
1P
X -，随机变量)5.0,2(~B Y ，且X 与Y 相互独立，
则随机变量X Y -与XY 的概率函数分别为：
； .
二．解答题
1. 若随机变量X 的概率密度为⎪⎩
⎪
⎨⎧
+=,0,)1(2)(2x x f X π .0,0≤>x x 求随机变量X Y ln = 概率密
度函数).(y f Y
2. 若随机变量)1,0(~U X ，记X
e Y =，求Y 的概率密度函数).(y
f Y
3. 若随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧=,
0,2)(x x f X .,
10其它<<x 求随机变量X Y -=1及2
X Z =的概率密度函数)(y f Y 及)(z f Z .
4. 设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为
⎩⎨⎧=,
0(),(21y x f ,)y
x e y x --+ .,0,0其它>>y x
求随机变量Y X Z +=的概率密度函数).(z f Z
习题8（随机变量的数字特征）
一．填空题
1. 若随机变量X 的概率分布为
1
.03.03.01.02.04
2101P X -，则=)(X E ；
=-)13(X E ；=)(X D .
2. 若X 的概率密度为)(,2
1)(+∞<=
-x e x f x
，则=)(X D . 3. 若随机变量X 的分布函数为⎪⎩
⎪
⎨⎧=,1,4/,
0)(x x F ,440,0>≤<≤x x x 则数学期望
=)(X E ；方差=)(X D .
4. 若随机变量X 与Y 相互独立，且)1,1(~-U X ，)4(~e Y ，则
=+)(Y X E ；=)(XY E ；=+)(Y X D .
5. 若相互独立的随机变量X 与Y 满足1)()(==Y E X E ，2)(=X D ，4)(=Y D ，则
=+])[(2Y X E .
二．选择题
1. 若随机变量X 服从二项分布),(p n B 则下列式子中正确的是（）.
① np X E 2)12(=-； ② 14)12(+=+np X E ； ③ 1)1(4)12(--=-p np X D ； ④ )1(4)12(p np X D -=-.
2. 若随机变量X 与Y 相互独立，且1)()(==Y D X D ，则=-)24(Y X D （）.
① 20； ② 12； ③ 6； ④ 2.
3. 若随机变量X 服从区间)4,0(上的均匀分布，则=)(X
e E （）.
① 2e ； ② 4
e ； ③ )1(44-e ； ④ )1(441-e
三．解答题
1. 若随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧+=,
0)(a x f ,
2cx bx + .,10其它≤≤x
且21)(=X E ，20
1)(=X D ，求常数.,,c b a
2. 若二维随机变量),(Y X .在圆域122≤+y x D ：上服从均匀分布，求
).(),(),(XY D XY E X E
3. 在国际市场上，每年对我国某种产品出口的需求量X （单位：t ）是一个随机变量，且
)4000,2000(~U X .若每出口1（t ）可得外汇3万元，如果销售不出去，每吨需要保养费1
万元。

问应组织多少货源，才能使得平均收益最大？
习题9（协方差，相关系数）
一．填空题
1. 若随机变量X 服从区间)1,1(-上的均匀分布)1,1(-U ，则X 的k 阶中心矩
=
)(X k μ.
2. 若随机变量X 与Y 满足3)()(==Y D X D ，相关系数2
1
),(-
=Y X R ，则=-)(Y X D ；=+)23(Y X D .
3. 若随机变量X 与Y 满足)()(Y X D Y X D -=+，则协方差=),cov(Y X .
二．选择题
1. 若随机变量X 与Y 满足2
1X
Y -
=，则相关系数=),(Y X R （） ① 1； ② -1； ③ 0.5； ④ -0.5.
2. 随机变量X 与Y 的协方差0),cov(=Y X 是X 与Y 相互独立的（）条件.
① 充要； ② 充分； ③ 必要； ④ 即非充分又非必要.
三．解答题
1. 设二维随机变量),(Y X 的联合分布列为 8
/18/18/11
8/108/108/18/18/11
1
01--X
Y
，证明X 与Y 不相关，
但X 与Y 不相互独立。

2. 盒子中装有标号为1，2，2的三只球，不放回随机取两次，每次取一球。

用X 与Y 分别表示第一、二两次取到球的号数，求相关系数).,(Y X R
3. 若二维随机变量),(Y X 服从区域1≤+y x .上的均匀分布，求).,(Y X R
4. 若二维随机变量),(Y X 的概率密度⎩
⎨⎧=,0,8),(xy y x f .,
0,10其它x y x ≤≤≤≤
求相关系数).,(Y X R。