北京市人大附中高三数学基础练习题四(含答案)

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北京市中国人民大学附属中学2020届高三数学4月考参考答案及评分标准

人大附中2019~2020 学年度高三4 月质量检测试题
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题 4 分，共40 分．）
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共30 分）
注：①13题其他合理答案也给分，如：从 2 月10 日开始两个省的新增人数都在下降；2 月10 日两个省的新增人数在一周内都达到了最大值；等等。

要求至少有一个数据信息能涉及到平均数或方差，并且给出的两个数据信息都是正确，才给满分5 分；若两个结论都没有涉及到平均数或方差，两个数据信息都正确也要扣2 分。

②14题第一个空 2 分，第二个空3 分
三、解答题（本大题共 6 小题，满分85 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明）
16.
17.。

北京市人大附中高三数学中档题练习四(含答案)

北京市人大附中高三数学中档题练习四1．已知向量=-=+-+=)(),1,(cos),1sin2cos,1cos2(xfxOQxxxOP定义.OQOP⋅（Ⅰ）求函数)(xf的最小正周期；（Ⅱ）若xOQOPx求时当,1),2,0(-<⋅∈π的取值范围.2．编号为1，2，3的三位学生任意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设学生编号与座位编号相同的个数为ξ.（Ⅰ）求ξ=0时的概率；（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列及数学期望。

3．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠A1C1B1=90°，A1C1=1，AA1=2，D是线段A1B1的中点。

（Ⅰ）证明：C1D⊥平面A1B1BA；（Ⅱ）求点A1到平面AB1C1的距离；（Ⅲ）求二面角A1—AB1—C1的大小.4．已知{a n }、{b n }为两个数列，点M （1，2），A n （2，a n ），)2,1(nn n B n -为平面直角坐标系上的点.（Ⅰ）对*,N n ∈若点M 、A n 、B n 在同一直线上，求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足,32212211-=++++++n a a a b a b a b a nnn 求数列{b n }的前n 项和。

北京市人大附中高三数学中档题练习四答案1．（I ）设在这5次种植物种子的发芽实验中，有x 次成功，至少有3次成功的概率为P ，包括3次、4次和5次成功，即：3324455555(3)(4)(5)11111()(1)()(1)()0.522222P P x P x P x C C C ==+=+==-+-+= （II ）依题意有：E ξ=1×21+2×41+3×81+4×161+5×161=16312．证明：（I ）∵NA=NB=NC∴N 是△ABC 外接圆的圆心，可得∠ACB=90°，即BC ⊥AC, ∵CM ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴MC ⊥BC ， ∴BC ⊥面MAC ，∴BC ⊥MA ；（II ）（理）∵CM ⊥面ABC ，MA=MB ，∴CA=CB ，∴∠ANC=∠BNC=90°，∴AB ⊥CN连结MN ，AB ⊥MN ，∴∠MNC 为二面角M —AB —C 的平面角。

北京人大附中2025届高三下学期一模考试数学试题含解析

北京人大附中2025届高三下学期一模考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6π，则它的一条对称轴方程可能是（）A ．6x π=B ．3x π=C ．12x π=D ．512x π=2．若x yi +(,)x y ∈R 与31ii+-互为共轭复数，则x y +=（） A ．0B ．3C ．－1D ．43．执行如图所示的程序框图，若输入2020m =，520n =，则输出的i =（）A ．4B ．5C ．6D ．74．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）． A ．122B ．112C ．102D ．925．已知三棱锥P ABC -中，ABC ∆是等边三角形，43,25,AB PA PC PA BC ===⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（） A ．25πB ．75πC ．80πD ．100π6．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则ST （）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 7．复数432iz i +=-的虚部为（） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-8．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()UB A =( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}69．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（） A ．B ．C ．D ．10．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >”的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起，每一项都等于前面所有项之和(例如:1，3，4，8，16…).则首项为2，某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为（） A ．3B ．4C ．5D ．612．已知0a >，若对任意()0,m ∈+∞，关于x 的不等式()()1e ln 11exaxx m m --<-+-（e 为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．3e e,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．3e ,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭ C ．3e 0,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ D ．3e ,2e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市人大附中2024-2025高三10月月考数学试卷及答案

2024北京人大附中高三10月月考数学命题人：薛坤陈佳杰审题人：杨良庆吴文庆说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．已知集合{}{}2280,A x x x B x y y =−−<==∈Z 则A B =（） A ．()2,4− B ．[)0,4 C ．[]0,1 D ．{}0,12．下列函数中，在定义域上为奇函数，且在[)0,+∞上递减的是（）A ．()1f x x =B ．()cos f x x =C ．()13f x x =− D ．()x x f x e e −=− 3．已知0a b >>，以下四个数中最大的是（）A ．bBC ．2a b +D 4．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点ππsin ,cos 33P ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则角α的一个可能值为（）A ．π6−B ．π6C ．π3− D ．π3 5．已知函数()9lg 1f x x x =−+，则()0f x >的解集为（）A ．()0,10B ．()1,10C ．()()0,110,+∞D ．()(),110,−∞+∞6．已知定义域为R 的函数()f x 满足()2f x −是奇函数，()f x 是偶函数，则下列各数一定是()f x 零点的是（）A ．2019B ．2022C ．2025D ．20287．深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：00G OL L D =，其中，L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18．经过18轮迭代学习时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下所需要的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：lg 20.3010=）A ．71B ．72C ．73D ．748．已知,a b 均为正实数．则“11a b >”是“2256a b ab +>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图所示，某一条葫芦曲线的方程为122sin ,02πx y x x ω⎛⎫⎡⎤=−≥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．若该条曲线还满足()1,3ω∈，经过点33π,42M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．则该条葫芦曲线与直线7π6x =交点的纵坐标为（）A ．12± B．2± C．2± D ．1±10．如图所示，直线y kx m =+与曲线()y f x =相切于()()()()1122,,,x f x x f x 两点，其中12x x <．若当()10,x x ∈时，()f x k '>，则函数()f x kx −的在()00,x 上的极大值点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11．函数()f x =的定义域为______12．函数()121,102,01xx f x x x ⎧⎛⎫−≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≤≤⎪⎩的值域为______．13．已知对任意实数x ，均有()πcos sin ,6x x ωω⎛⎫−=+∈ ⎪⎝⎭R ，写出一组满足条件的(),ωϕ=______． 14．已知函数()()ln 1f x x k =+−有两个零点,()a b a b <，则()21ab ++的取值范围为______．15．已知函数()12(0)f x x ax a =++−>定义域为R ，最小值记为()M a ，给出以下四个结论： ①()M a 的最小值为1；②()M a 的最大值为3；③()f x 在(),1−∞−上单调递减；④a 只有唯一值使得()y f x =的图象有一条垂直于x 轴的对称轴．其中所有正确结论的是：______．三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．）16．（本小题13分）已知数列{}n a 的前n 项和为2*3,n S n n n =+∈N ．（1）求{}n a 的通项公式：（2）若等比数列{}n b 满足1223,b a b a ==，求{}n b 的前n 项和n T ．17．（本小题13分）已知函数()πsin cos cos sin 0,2f x x x ωωωϕ⎛⎫=−><⎪⎝⎭．（1）若()02f =−，求ϕ的值；（2）已知()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，2π13f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，从以下三个条件中选一个作为已知，使得函数()f x 唯一确定，求,ωϕ的值． ①5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭是曲线()y f x =的一个对称中心； ②π132f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭； ③()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； 18．（本小题14分）已知函数()32243f x x x x a =+−+ （1）若0a =，求曲线()y f x =的斜率为4−的切线方程；（2）求函数的单调递增区间；（3）若函数在[]1,2−上恰有1个零点，直接写出a 的取值集合．19．（本小题15分）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）（1）根据以上数据，可以用函数()sin 0,||2y A x b ωϕωϕ⎛⎫=++><⎪⎝⎭来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式；（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长．20．（本小题15分）已知函数()()2x f x e x x =+，记其在点()(),a f a 处的切线方程为：()a y g x =．定义关于x 的函数()()()a a F x f x g x =−．（1）求()1g x 的解析式；（2）当0a >时，判断函数()a F x 的单调性并说明理由；（3）若a 满足当x a ≠时，总有()()0a f x g x x a−>−成立，则称实数a 为函数()f x 的一个“Q 点”，求()f x 的所有Q 点．21．（本小题15分）已知集合(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n n i X X x x x x i n Ω==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，对于任意n X ∈Ω，操作一：选择X 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续k 个1连续k 个0，得到()1n k Y k +∈Ω≥；操作二：删去X 中连续k 个1或连续k 个0，得到()411n Y k n →∈Ω≤≤−；进行一次操作一或者操作二均称为一次“10月变换”，在第n 次()*n ∈N“10月变换”的结果上再进1次“10月变换”称为第1n +次“10月变换”．（1）若对()0,1,0X =进行两次“10月变换”，依次得到42,Y Z ∈Ω∈Ω．直接写出Y 和Z 的所有可能情况．（2）对于()1000,0,,0X =∈Ω和()1000,1,0,1,,0,1Y =⋅⋅⋅∈Ω至少要对X 进行多少次“10月变换”才能得到Y ？说明理由．（3）证明：对任意2,n X Y ∈Ω，总能对X 进行不超过1n +次“10月变换”得到Y ．。

2023-2024学年北京市中国人民大学附属中学高三下学期5月热身练习数学试卷(三模)含详解

中国人民大学附属中学高三热身练习数学命题：高三数学组本试卷共7页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}21,{}P x x M a =≤=∣，若P M M = ，则实数a 的取值范围是（）A.(,1]-∞- B.[1,1]- C.[)1,+∞ D.][(),11,-∞-⋃+∞2.若||1,||2,( )a b a b a ==-⊥r r r r r，则向量a 与b 的夹角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒3.已知nx⎫-⎪⎭的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（）A .240- B.240 C.60D.60-4.已知,R x y ∈，且x y >，则（）A.11x y-<0 B.tan tan 0x y ->C.110e e xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.ln ||ln ||0x y ->5.若双曲线221:142x y C -=与22222:1y x C a b-=具有相同的渐近线，则2C 的离心率为（）A.2B.C.D.6.已知函数1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则不等式(1)1xf x -≤的解集为()．A.[1,)-+∞ B.(,1]-∞ C.[1,2]D.[1,1]-7.已知(1,0),(1,0)A B -，若点P 满足PA PB ⊥，则点P 到直线:((1)0l m x n y -+-=的距离的最大值为（）A.1B.2C.3D.48.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .则“,,a b c 成等比数列”是sin 2B ≤的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件9.故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱ABF CDE -和BDG ACH -是两个完全相同的直三棱柱，侧棱EF 与GH 互相垂直平分，,EF GH 交于点I ，AF BF a ==，AF BF ⊥，则点G 到平面ACEF 的距离是（）A.33a B.12a C.2a D.24a 10.2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P 在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距7m 的A ，B 两点各放置一个传感器，分别实时记录A ，B 两点与物体P 的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a ，b 所示.1t 和2t 分别是两个函数的极小值点.曲线a 经过()()0110,,,r t r 和()20,t r ，曲线b 经过()22,t r .已知211212,4m,4s rt r t r t ===，并且从0=t 时刻到2=t t 时刻P 的运动轨迹与线段AB 相交.分析曲线数据可知，P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值以及P 的速度大小分别为（）A.613,m /s 74 B.613,m /s 72 C.235,m /s 74D.235,m /s 72第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若2i1ia +-是纯虚数，则实数a 的值为__________.12.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为A ，点B 在C 上.若||2FB =，则直线AB 的方程为__________.13.使lg lg lg()a b a b +=+成立的一组a ，b 的值为=a __________，b =__________.14.已知函数()sin(π)(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><≤，若()f x 是偶函数，则ϕ=__________；若圆面222x y +≤恰好覆盖()f x 图象的最高点或最低点共3个，则ω的取值范围是__________.15.已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且()2*11,Nn n a S n +=+∈，给出下列四个结论：①长度分别为11,,n n aS +的三条线段可以构成一个直角三角形：②*1N ,2n n n S -∀∈≥；③*21N ,2n n n n a a a ++∀∈+<；④*11πN ,2cos2n n n n a a ++∀∈=.其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，四边形ABCD 为菱形，π,23ABC AB ∠==，把ABC 沿着BC 折起，使A 到1A 位置.（1）证明：1BC AA ⊥；（2）若1AA =，求直线1DA 与平面1ABA 所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，求点D 到平面1ABA 的距离.17.已知函数2()cos 2cos ,(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .c 为()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求a b -的取值范围.条件①：cos cos 2cos a B b A c C +=；条件②：2sin cos sin 2a A B b A +=；条件③：ABC 的面积为S ，且)2224a b c S +-=.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.18.某口罩加工厂加工口罩由A ，B ，C 三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A ，B ，C 三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A ，B ，C 工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为99.97%）；C 工序的加工质量层次为高，A ，B 工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为99%）；其余均为95级（表示最低过滤效率为95%）.现从A ，B ，C 三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A 工序加工质量层次为高的个数为50个，B 工序加工质量层次高的个数为75个，C 工序加工质量层次为高的个数为80个.表①：表示加工一个口罩的利润.口罩等级100等级99等级95等级利润/元210.5（1）用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率；（2）X 表示一个口罩的利润，求X 的分布列和数学期望；（3）用频率估计概率，由于工厂中A 工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A 工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A 工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b .试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b 的值.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆过C 的上下顶点，点()1,e 在C 上，其中e 为C 的离心率.（1）求椭圆C 的方程和短轴长；（2）点,A B 在C 上，且在x 轴的上方，满足1212//,2AF BF AF BF =，直线2AF 与直线1BF 的交点为P ，求12PF F △的面积.20.已知函数()()e ,()x f x x a x a =--∈R .（1）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线为x 轴，求a 的值；（2）在（1）的条件下，判断函数()f x 的单调性；（3）()221()1e 12xg x x ax x x ⎛⎫=-+-++⎪⎝⎭，若1-是()g x 的极大值点，求a 的取值范围.21.给定正整数2n ≥，设数列12,,...,n a a a 是1,2,...,n 的一个排列，对{}1,2,...,i n ∈，i x 表示以i a 为首项的递增子列的最大长度，i y 表示以i a 为首项的递减子列的最大长度.（1）若4n =，11a =，24a =，32a =，43a =，求1x 和2y ；（2）求证：{}1,2,...,1i n ∀∈-，()()22110i i i i x y x y ++-+-≠；（3）求1niii x y=-∑的最小值.中国人民大学附属中学高三热身练习数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}21,{}P x x M a =≤=∣，若P M M = ，则实数a 的取值范围是（）A.(,1]-∞-B.[1,1]- C.[)1,+∞ D.][(),11,-∞-⋃+∞【答案】B【分析】化简集合P ，由P M M = 得出M P ⊆，由子集的定义得出实数a 的取值范围.【详解】集合{}210{11}[1,1]P x x x x =-≤=-≤≤=-∣∣,{},M a P M M =⋂=,[1,1]M P a ∴⊆∴∈-故选：B【点睛】本题主要考查了根据交集的结果求参数的取值范围，属于基础题.2.若||1,||2,( )a b a b a ==-⊥r r r r r，则向量a 与b 的夹角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】B【分析】根据()a b a -⊥ ，得()0a b a -×=，结合数量积得运算律求出a b ⋅ ，再根据向量夹角公式即可得解.【详解】因为()a b a -⊥ ，所以()0a b a -×= ，即20a a b -⋅= ，所以21a b a ⋅== ，所以1cos ,2a b a b a b ⋅==，又0,180a b ︒︒≤≤ ，所以向量a与b的夹角为60︒.故选：B.3.已知nx⎫-⎪⎭的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（）A.240-B.240C.60D.60-【答案】B【分析】根据二项式系数之和可得6n =，结合二项展开式分析求解.【详解】由题意可知：二项式系数之和为264n =，可得6n =，其展开式的通项为()()63362166C 12C ,0,1,2,,6rr rrr rr r T x xr---+=-=-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，令3302r -=，解得2r =，所以其展开式的常数项为()242612C 240-⋅⋅=.故选：B.4.已知,R x y ∈，且x y >，则（）A.11x y-<0 B.tan tan 0x y ->C.110e e xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.ln ||ln ||0x y ->【答案】C【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，正切函数的性质，以及指数函数与对数函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，11y xx y xy--=，其中0y x -<，但xy 的符号不确定，所以A 不正确；对于B 中，例如ππ,4x y ==，此时tan tan 0110x y -=-=-<，所以B 不正确；对于C 中，由函数()1e xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 为单调递减函数，因为x y >，所以11e e xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得110e e xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；对于D 中，例如2,3x y ==-，此时2ln ||ln ||ln 2ln 3ln 03x y -=-=<，所以D 不正确.故选：C.5.若双曲线221:142x y C -=与22222:1y x C a b-=具有相同的渐近线，则2C 的离心率为（）A.2B.C.D.【答案】C【分析】先求出两个双曲线的离心率，根据渐近线相等列式，代入离心率求解即可.【详解】双曲线221:142x y C -=的渐近线为2y x =±，22222:1y x C a b -=的渐近线为a y x b =±，由题可知22a b=，所以2C 的离心率c e a ====故选：C.6.已知函数1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则不等式(1)1xf x -≤的解集为()．A.[1,)-+∞B.(,1]-∞ C.[1,2]D.[1,1]-【答案】D【分析】由题可得()1,111,1x f x x -<⎧-=⎨≥⎩，然后分类讨论解不等式即得.【详解】∵1,0()1,0x f x x -<⎧=⎨≥⎩，∴1,1(1)1,1x f x x -<⎧-=⎨≥⎩，当1x ≥时，(1)11xf x x -≤⇔≤，∴1x =，当1x <时，(1)111xf x x x -≤⇔-≤⇔≥-，∴1<1x ≤-，综上所述，(1)1xf x -≤的解集为[1,1]-．故选:D ．7.已知(1,0),(1,0)A B -，若点P 满足PA PB ⊥，则点P 到直线:((1)0l m x n y -+-=的距离的最大值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】先确定P 的轨迹以及直线l 过的定点，再根据圆的性质特点求最值.【详解】由PA PB ⊥可得点P 的轨迹为以线段AB 为直线的圆，圆心为()0,0，半径为1，又直线:((1)0l m x n y -+-=，其过定点)，13+=.故答案为：C8.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .则“,,a b c 成等比数列”是sin 2B ≤的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【分析】先将2b ac =代入余弦定理，利用基本不等式得到1cos 2B ≥，从而得到3sin 2B ≤，接着根据3sin 2B ≤得到B 可能为钝角，不满足,,a b c 成等比数列，从而得答案.【详解】当,,a b c 成等比数列时，2b ac =，所以22221cos 222a cb ac ac B ac ac +--=≥=，当且仅当a c =时等号成立，又()0,πB ∈，所以π3B ≤，所以3sin 2B ≤，充分性满足；当3sin 2B ≤时，π2π0,,π33B ⎛⎤⎡⎫∈⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，而当2π,π3B ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，b 为最长的边，不满足,,a b c 成等比数列，必要性不满足.则“,,a b c 成等比数列”是sin 2B ≤的充分不必要条件.故选：A.9.故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示.已知三楼柱ABF CDE -和BDG ACH -是两个完全相同的直三棱柱，侧棱EF 与GH 互相垂直平分，,EF GH 交于点I ，AF BF a ==，AF BF ⊥，则点G 到平面ACEF 的距离是（）A.33a B.12a C.2a D.24a 【答案】B【分析】根据已知条件，结合空间总直线与平面的位置关系，先确定点G 到平面ACEF 的垂线段，在根据已知条件得sin 22KGIGθ==h 即可.【详解】取AC 中点M ，连接MI ，过G 作MI 的垂线交MI 的延长线于点K，取AB 中点N ，连接FN ，由已知，M 、I 分别为AC 、EF 中点，因为ABF CDE -是直三棱柱，所以AF AC ⊥，//EF AC 且EF AC =，所以//FI AM 其=FI AM ，所以四边形AMIF 为平行四边形，又AF AC ⊥，所以AMIF 为矩形，所以EF MK ⊥，又EF GH ⊥，MK ⊂平面KIG ，GH Ì平面KIG ，MK GH I ⋂=，所以EF ⊥平面KIG ，KG ⊂平面KIG ，所以EF KG ⊥，又因为KG MK ⊥，EF ⊂平面ACEF ，MK ⊂平面ACEF ，EF MK I ⋂=，所以KG ⊥平面ACEF ，所以点G 到平面ACEF 的距离等于线段KG 的长度，设为h ；AF BF ⊥，在Rt ABF 中，AF BF a ==，所以AB ==，设角FAB θ∠=，则有2sin 2θ=，因为四边形AMIF 为平行四边形，所以//MI AF ，又因为因为BDG ACH -是直三棱柱，所以//AB HG ，且HG AB a ==，所以KIG FAB θ∠=∠=，22IG =，又因为KG ⊥平面ACEF ，IK ⊂平面ACEF ，所以KG IK ⊥，所以sin 22KGIGθ==2222=，解得2a h =，所以点G 到平面ACEF 的距离是2a ，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据空间中点、线、面的位置关系，确定点G 到平面ACEF 的垂线段.10.2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P 在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距7m 的A ，B 两点各放置一个传感器，分别实时记录A ，B 两点与物体P 的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a ，b 所示.1t 和2t 分别是两个函数的极小值点.曲线a 经过()()0110,,,r t r 和()20,t r ，曲线b 经过()22,t r .已知211212,4m,4s rt r t r t ===，并且从0=t 时刻到2=t t 时刻P 的运动轨迹与线段AB 相交.分析曲线数据可知，P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值以及P 的速度大小分别为（）A.613,m /s 74 B.613,m /s 72 C.235,m /s 74D.235,m /s 72【答案】B【分析】建系，设点，作相应的辅助线，分析可知6m,2m AC BC v ==，结合7m AB =分析求解即可.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设动点P 的轨迹与y 轴重合，其在120,,t t t =时刻对应的点分别为O （坐标原点），,D E ，P 的速度为m /s,0v v >，因为1122112,4m,2s,4s rt r t r t t ====，可得22m r =，由题意可知：,AD BE 均与y 轴垂直，且4m,2m,2m AD BE OD DE v ====，作BC AD ⊥垂足为C ，则6m,2m AC BC v ==，因为222AC BCAB +=，即236449v +=，解得2v =；又因为BC ∥y 轴，可知P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角即为ABC ∠，所以P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值为6sin 7AC ABC AB∠==.故选：B.【点睛】关键点点睛：建系，设动点P 的轨迹与y 轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长度，进而分析求解.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若2i1ia +-是纯虚数，则实数a 的值为__________.【答案】2【分析】求出复数的代数形式，然后根据纯虚数的定义列方程求解即可.【详解】()()()()()22i 1i 2i 1i 1i 221i1i 1a a a a a a a +++==--+-+++，因为2i1ia +-是纯虚数，所以20210a a -=⎧⎨+≠⎩，得2a =.故答案为：212.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为A ，点B 在C 上.若||2FB =，则直线AB 的方程为__________.【答案】10x y -+=或10x y ++=【分析】先根据焦半径公式求出点B 坐标，进而可得直线方程.【详解】设(),B x y ，则||12FB x =+=，则1x =，此时2y =±，所以()1,2B 或()1,2B -，又由已知()1,0A -，直线AB 的方程为()()20111y x -=+--或()()20111y x --=+--，整理得10x y -+=或10x y ++=.故答案为：10x y -+=或10x y ++=.13.使lg lg lg()a b a b +=+成立的一组a ，b 的值为=a __________，b =__________.【答案】①.2（答案不唯一）②.2（答案不唯一）【分析】根据题意结合对数运算分析可得00ab a b a b =+⎧⎪>⎨⎪>⎩，取特值检验即可.【详解】若lg lg lg()a b a b +=+，则lg lg()ab a b =+，可得00ab a b a b =+⎧⎪>⎨⎪>⎩，例如2a b ==符合上式.故答案为：2；2.（答案不唯一）14.已知函数()sin(π)(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><≤，若()f x 是偶函数，则ϕ=__________；若圆面222x y +≤恰好覆盖()f x 图象的最高点或最低点共3个，则ω的取值范围是__________.【答案】①.π2②.[)1,2【分析】根据偶函数的对称性分析可知ππ,Z 2k k ϕ=+∈，即可得结果；结合对称性可知圆面在y 轴右侧仅覆盖1个()f x 图象的最高点或最低点，结合周期性列式求解.【详解】因为()f x 是偶函数，则ππ,Z 2k k ϕ=+∈，且0πϕ<≤，所以π0,2k ϕ==；可得π()sin πcos π2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，设()f x 的最小正周期为T ，因为()f x 和222x y +≤均关于y 轴对称，可知圆面在y 轴右侧仅覆盖()f x 图象的1个最低点，对于222x y +=，令1y =±，解得1x =（不妨只考虑y 轴右侧，舍负）；可得121TT ⎧≤⎪⎨⎪>⎩，解得12T <≤，且0ω>，则2π12πω<≤，解得12ω≤<，所以ω的取值范围是[)1,2，故答案为：π2；[)1,2.15.已知数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a =且()2*11,N n n a S n +=+∈，给出下列四个结论：①长度分别为11,,n n aS +的三条线段可以构成一个直角三角形：②*1N ,2n n n S -∀∈≥；③*21N ,2n n n n a a a ++∀∈+<；④*11πN ,2cos 2n n n n a a ++∀∈=.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②【分析】①:先确定11,,n n a S +最大的那个，再根据勾股定理列式判断；②通过放缩得到12n n a a +≥，再进一步通过放缩判断；③④求出123,,a a a ，然后举例排除.【详解】对于①：21110,1n n a S a +=+>=，则11,0n n a S +>>，则221131024n n n n n a S S S S +⎛⎫-=+-=-+> ⎪⎝⎭，即1n n a S +>，假设长度分别为11,,n n a S +的三条线段可以构成一个直角三角形，则1n a +为斜边，所以2211n n a S +=+，所以21111n n a a ++=-+，所以10n a +=或11n a +=，与11n a +>矛盾，故①错误；对于②：21122n n n n a S S a +=+≥≥，当且仅当1n =等号成立，所以12n na a +≥，所以111212422n n n n n a a a a ----≥≥≥≥= ，所以1*2N ,n n n S a n -≥≥∀∈，②正确；对于③：由已知1231,2,10a a a ===，此时1322a a a +>，所以*21N ,2n n n n a a a ++∀∈+<不成立，③错误；对于④：由已知1231,2,10a a a ===，此时323π2cos 2a a ≠，所以*11πN ,2cos 2n nn n a a ++∀∈=不成立，④错误.故答案为：②.【点睛】关键点点睛：对于数列命题正误的判断，我们可以通过求出部分项，然后观察是否成立，从而达到排除的目的.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，四边形ABCD 为菱形，π,23ABC AB ∠==，把ABC 沿着BC 折起，使A 到1A 位置.（1）证明：1BC AA ⊥；（2）若16AA =，求直线1DA 与平面1ABA 所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，求点D 到平面1ABA 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）65（3）2155【分析】（1）取线段BC 的中点E ，连接1,AE A E ，通过证明BC ⊥面1A AE 可得结论；（2）先证明出1,,AE A E BC 两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角；（3）斜线段的长度乘以线面角的正弦可得点到面的距离.【小问1详解】取线段BC 的中点E ，连接1,AE A E ，因为四边形ABCD 为菱形，且π3ABC ∠=，所以ABC ，1A BC 为等边三角形，所以1,BC AE BC A E ⊥⊥，又11,,AE A E E AE A E =⊂ 面1A AE ，所以BC ⊥面1A AE ，又1AA ⊂面1A AE ，所以1BC AA ⊥；【小问2详解】由ABC ，1A BC 为边长为2的等边三角形可得13AE A E ==，所以22211AE A E A A +=，结合BC ⊥面1A AE 可得1,,AE A E BC 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，)()()13,2,0,0,0,3,3,0,0,0,1,0DA AB -，(()11,,DA AB A A ===，设面1ABA 的法向量为(),,n x y z =，直线1DA 与平面1ABA 所成角为θ，则10AB n y A A n ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =得()n =，116sin 5n DA n DA θ⋅===⋅ ，即直线1DA 与平面1ABA 所成角的正弦值为65；【小问3详解】由（2）得点D 到平面1ABA的距离为16215sin 55DA θ==.17.已知函数2()cos 2cos ,(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.（1）求ω的值；（2）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .c 为()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求a b -的取值范围.条件①：cos cos 2cos a B b A c C +=；条件②：2sin cos sin 2a A B b A +=；条件③：ABC 的面积为S，且)2224a b c S +-=.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.【答案】（1）1（2）(【分析】利用三角恒等变换整理可得π()2sin 216f x x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合最小正周期分析求解；以π26x +为整体，结合正弦函数最值可得3c =.若选条件①：利用正弦定理结合三角恒等变换可得π3C =，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得π3a b A ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，结合正弦函数分析求解；若选条件②：利用正弦定理结合三角恒等变换可得π3C =，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得π3a b A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合正弦函数分析求解；若选条件③：利用面积公式、余弦定理可得π3C =，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得π3a b A ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合正弦函数分析求解.【小问1详解】由题意可知：2π()cos 2cos 2cos 212sin 216f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2π12πω==.【小问2详解】由（1）可知：π()2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ，则ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可知当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取到最大值3，即3c =.若条件①：因为cos cos 2cos a B b A c C +=，由正弦定理可得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，又因为()sin cos sin cos sin sin A B B A A B C +=+=，可得sin 2sin cos C C C =，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0C ≠，可得1cos 2C =，所以π3C =，由正弦定理可得sin sin sin 32a b c A B C ====，可得,a A b B ==，则π3a b A B A A ⎛⎫-=-=-+⎪⎝⎭1sin cos 22A A A ⎫=-+⎪⎪⎭π3cos 3A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为ABC 锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<，可得πππ636A -<-<，则1π1sin 232A ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得b a <-<所以a b -的取值范围为(；若条件②；因为2sin cos sin 2a A B b A +=，由正弦定理可得：22sin cos sin sin 2A B B A A +=，则22sin cos 2sin sin cos A B B A A A +=，因为π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0A ≠，可得()2sin cos 2sin cos 2sin 2sin A B B A A B C +=+==即3sin 2C =，且π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3C =，由正弦定理可得sin sin sin a b c A B C ====，可得,a A b B ==，则π3a b A B A A ⎛⎫-=-=-+⎪⎝⎭13sin cos 22A A A ⎫=-+⎪⎪⎭π3cos 3A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为ABC 锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<，可得πππ636A -<-<，则1π1sin 232A ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得b a <-<所以a b -的取值范围为(；若选③：因为)2224a b c S +-=，则132cos sin 24ab Cab C =，整理得tan C =π0,2C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3C =，由正弦定理可得sin sin sin 32a b c A B C ====，可得,a A b B ==，则π3a b A B A A ⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭13sin cos 22A A A ⎫=-+⎪⎪⎭π3cos 3A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为ABC 锐角三角形，则π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62A <<，可得πππ636A -<-<，则1π1sin 232A ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，可得b a <-<所以a b -的取值范围为(.18.某口罩加工厂加工口罩由A ，B ，C 三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A ，B ，C 三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A ，B ，C 工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为99.97%）；C 工序的加工质量层次为高，A ，B 工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为99%）；其余均为95级（表示最低过滤效率为95%）.现从A ，B ，C 三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A 工序加工质量层次为高的个数为50个，B 工序加工质量层次高的个数为75个，C 工序加工质量层次为高的个数为80个.表①：表示加工一个口罩的利润.口罩等级100等级99等级95等级利润/元210.5（1）用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率；（2）X 表示一个口罩的利润，求X 的分布列和数学期望；（3）用频率估计概率，由于工厂中A 工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A 工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A 工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b .试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b 的值.【答案】（1）0.3（2）分布列见详解；() 1.2E X =元（3）25b =（答案不唯一，满足1132b <≤即可）【分析】（1）根据可得A ，B ，C 三道工序加工的质量层次高的概率，结合独立事件概率乘法公式分析求解；（2）由题意可知：X 的可能取值为2，1，0.5，求相应的概率，进而可得分布列和期望；（3）由题意可知：工厂升级方案后A 道工序加工的质量层次高的概率为[]0.5,0,0.5b b +∈，由题意可知：Y 的可能取值为1.8,0.8,0.3，求相应的概率，进而可得期望，令()()E Y E X >运算求解即可.【小问1详解】设A ，B ，C 三道工序加工的质量层次高的概率分别为123,,p p p ，用频率估计概率可得：1235075800.5,0.75,0.8100100100p p p ======，记“该厂生产的口罩过滤等级为100等级”为事件M ，所以()0.50.750.80.3P M =⨯⨯=.【小问2详解】由题意可知：X 的可能取值为2，1，0.5，则有：()()()()31220.3,110.5P X P M P X p p p =====-=，()()()0.51210.2P X P X P X ==-=-==，所以X 的分布列为X 210.5P0.30.50.2X 的期望()20.310.50.50.2 1.2E X =⨯+⨯+⨯=（元）.【小问3详解】由题意可知：工厂升级方案后A 道工序加工的质量层次高的概率为[]0.5,0,0.5b b +∈，设工厂升级方案后一个口罩利润的期望为Y ，由题意可知：Y 的可能取值为1.8,0.8,0.3，则有：()()1.80.50.750.80.60.3P Y b b ==+⨯⨯=+，()()0.80.810.50.750.50.6P Y b b ==-+⨯=-⎡⎤⎣⎦，()()()0.31210.2P Y P Y P Y ==-=-==，所以Y 的期望()()()1.80.60.30.80.50.60.30.20.61E Y b b b =⨯++⨯-+⨯=+（元），令()()E Y E X >，即0.61 1.2b +>，解得1132b <≤，例如25b =符合题意.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，以线段12F F 为直径的圆过C 的上下顶点，点()1,e 在C 上，其中e 为C 的离心率.（1）求椭圆C 的方程和短轴长；（2）点,A B 在C 上，且在x 轴的上方，满足1212//,2AF BF AF BF =，直线2AF 与直线1BF 的交点为P ，求12PF F △的面积.【答案】（1）22:12x C y +=；2（2【分析】（1）线段12F F 为直径的圆过C 的上下顶点，得11OB OF r ==，即b c =，然后计算离心率e ，从而点()1,e 代入C 可得椭圆C 的方程并可求短轴长；（2）由题可知，12PF F △的面积等于1212P F F y ，所以求P y 的值；由1212//,2AF BF AF BF =，得122AF BF =uuu r uuu r ，进而得点,A B 的坐标关系，即1212232x x y y =-⎧⎨=⎩，将点,A B 代入C ，求得2y ，再由12APF F PB △△∽，得12PF BP = ，即223P y y =，从而计算12PF F △的面积即可.【小问1详解】设()()120,,0F c F c -，，上下顶点分别为()()120,,0,B b B b -.由以线段12F F 为直径的圆过C 的上下顶点，得11OB OF r ==，得22b c =，即b c =.因为22222a b c c =+=，即a =，所以22c e a ==，由点2)2在C 上，得22222211a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，2211122b b +=，解得1b =，所以2222a b ==，则22:12x C y +=，短轴长1222B B b ==.【小问2详解】根据题意，画出图象如图所示：因为1212//,2AF BF AF BF =，所以122AF BF =uuu r uuu r ，又12APF F PB △△∽，则1122PF AF BP BF ==，即12PF BP =，12PF BP = .设()()()1122,,,,,P P A x y B x y P x y ，()()121,0,1,0F F -由122AF BF =uuu r uuu r 得()12121212x x y y ⎧--=-⎨-=-⎩，即1212232x x y y =-⎧⎨=⎩，因为点()()1122,,,A x y B x y 在椭圆22:12x C y +=上，所以()()222222222322222x y x y ⎧-+⨯=⎪⎨+=⎪⎩，即22222222241287488x x y x y ⎧-+=-⎨+=⎩，两式相减得，21215x =即254x =，2225224y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又点,A B 在x 轴的上方，所以2148y =.又12PF BP = 得()22P P y y y -=-，即222141433812P y y ==⨯=.于是12121114142221212PF F P S F F y ==⨯⨯= .20.已知函数()()e ,()x f x x a x a =--∈R .（1）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线为x 轴，求a 的值；（2）在（1）的条件下，判断函数()f x 的单调性；（3）()221()1e 12x g x x ax x x ⎛⎫=-+-++ ⎪⎝⎭，若1-是()g x 的极大值点，求a 的取值范围.【答案】（1）0（2）(),0∞-上单调递减，()0,∞+上单调递增（3）()e,∞-+【分析】（1）求导，然后根据(0)0f '=列式计算即可；（2）求导，然后通过二次求导确定导函数的正负，进而确定函数的单调性；（3）求导，然后因式分解，确定导函数的零点，讨论零点大小，进而确定极值点.【小问1详解】由已知()(1)e 1x f x x a '=-+-，则0(0)(1)e 1f a a '=-+-=-，由于曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线为x 轴，所以0a -=，所以0a =；【小问2详解】当0a =时，()(1)e 1x f x x '=+-，令()(1)e 1x h x x =+-，则()(2)e x h x x '=+，当<2x -时，()0h x '<，()f x '单调递减，当2x >-时，()0h x '>，()f x '单调递增，又当<2x -时，()0f x '<恒成立，2(2)e 1f -'-=--，0(0)e 10f '=-=，所以当0x <时()0f x '<，0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增；【小问3详解】由已知()()()2()12e 11(1)e 1x x g x x ax x a x x x a '⎡⎤=-++--+=+-+-⎣⎦，令()(1)e 1x v x x a =-+-，则()(2)e xv x x a '=-+，当2x a <-时，()0v x '<，()v x 单调递减，当2x a >-时，()0v x '>，()v x 单调递增，又当2x a <-时，()0v x <恒成立，且()22e 10a v a --=--<，当x →+∞时，()0v x >，即()v x 在()2,a -+∞上有且只有一个零点，设为0x ，当01x <-，即()11(11)e 10v a --=--+->，解得e a <-，此时若()0g x '<，解得01x x <<-，()g x 在()0,1x -上单调递减，若()0g x '>，解得0x x <或1x >-，()g x 在()()0,,1,x -∞-+∞上单调递增，此时()g x 在=1x -处取极小值，不符合题意，舍去；当01x >-，即()11(11)e 10v a --=--+-<，解得e a >-，此时若()0g x '<，解得01x x -<<，()g x 在()01,x -上单调递减，若()0g x '>，解得1x <-或0x x >，()g x 在()()0,1,,x -∞-+∞上单调递增，此时()g x 在=1x -处取极大值，符合1-是()g x 的极大值点，当01x =-时，即()11(11)e 10v a --=--+-=，解得a e =-，此时()0g x '≥恒成立，()g x 无极值点，综上所述：a 的取值范围为()e,∞-+.【点睛】方法点睛：函数的极值跟导函数的零点有关，当零点不确定的时候，就需要对零点的存在性以及零点的大小进行分类讨论，从而达到确定极值点的目的.21.给定正整数2n ≥，设数列12,,...,n a a a 是1,2,...,n 的一个排列，对{}1,2,...,i n ∈，i x 表示以i a 为首项的递增子列的最大长度，i y 表示以i a 为首项的递减子列的最大长度.（1）若4n =，11a =，24a =，32a =，43a =，求1x 和2y ；（2）求证：{}1,2,...,1i n ∀∈-，()()22110i i i i x y x y ++-+-≠；（3）求1n i i i x y=-∑的最小值.【答案】（1）13x =，22y =（2）证明见解析（3）当n 为偶数时，1n i i i x y =-∑的最小值是2n ；当n 为奇数时，1n i i i x y =-∑的最小值是12n -.【分析】（1）直接根据定义求解；（2）分情况讨论证明11i i i i x y x y ++-≠-，故可推知i i x y -和11i i x y ++-不能同时为零，进而得到结论；（3）对n 的奇偶性分情况讨论，并利用小问2得到的结果即可.【小问1详解】以1a 为首项的最长递增子列是134,,a a a ，以2a 为首项的最长递减子列是23,a a 和24,a a .所以13x =，22y =.【小问2详解】对{}1,2,...,1i n ∈-，由于12,,...,n a a a 是1,2,...,n 的一个排列，故1i i a a +≠.若1i i a a +<，则每个以1i a +为首项的递增子列都可以在前面加一个i a ，得到一个以i a 为首项的更长的递增子列，所以1i i x x +>；而每个以i a 为首项的递减子列都不包含1i a +，且1i i a a +<，故可将i a 替换为1i a +，得到一个长度相同的递减子列，所以1i i y y +≤.这意味着11i i i i x y x y ++->-；若1i i a a +>，同理有1i i y y +>，1i i x x +≤，故11i i i i x y x y ++-<-.总之有11i i i i x y x y ++-≠-，从而i i x y -和11i i x y ++-不能同时为零，故()()22110i i i i x y x y ++-+-≠.【小问3详解】根据小问2的证明过程知i i x y -和11i i x y ++-不能同时为零，故111i i i i x y x y ++-+-≥.情况一：当n 为偶数时，设2n k =，则一方面有()21212211112n k k i i i i i i i i i n x y x y x y k --===-=-+-≥==∑∑∑；另一方面，考虑这样一个数列12,,...,n a a a ：2121i i a k i a k i-=-+⎧⎨=+⎩，1,2,...,i k =.则对1,2,...,i k =，有21221i i x k i x k i -=-+⎧⎨=-+⎩，21211i iy k i y k i -=-+⎧⎨=-+⎩.故此时212111112n k k i i i i i i i n x y x y k --===-=-===∑∑∑.结合以上两方面，知1n i i i x y =-∑的最小值是2n .情况二：当n 为奇数时，设21n m =-，则一方面有()11121212211111112n n m m i i i i i i i i i i i i n x y x y x y x y m -----====--≥-=-+-≥=-=∑∑∑∑；另一方面，考虑这样一个数列12,,...,n a a a ：1221i i a m a m i a m i +=⎧⎪=+⎨⎪=-⎩，1,2,...,1i m =-.则对1,2,...,1i m =-，有1221i i x m x m i x m i +=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，12211i i y m y m i y m i +=⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩.故此时11221111112n m m i i i i i i i n x y x y m --===--=-==-=∑∑∑.结合以上两方面，知1n i i i x y =-∑的最小值是12n -.综上，当n 为偶数时，1n i i i x y =-∑的最小值是2n ；当n 为奇数时，1n i i i x y =-∑的最小值是12n -.【点睛】关键点点睛：求最小（或最大）值的本质在于，先证明所求的表达式一定不小于（或不大于）某个数M ，再说明该表达式在某种情况下能取到M ，就得到了最小（或最大）值是M ，这便是“求最小（或最大）值”的本质.而在这个过程中，“想到M 的具体取值”这个过程并不存在绝对的逻辑性，可以穷尽各种手段，包括直觉、大胆猜测、高观点等，去猜出M 的值，这些内容也无需在证明过程中呈现.只要证明合乎逻辑，“如何想到M 的取值”无需交代，不影响解答的正确性.换言之，所谓“求”，便是“猜出结果，再证明结果正确”，与“算出”、“得出”本就是无关的.在高考范围内，大多数最小值和最大值问题都能够直接化为某个显而易见，容易刻画的模型，然后“直接算出”，但不可将此作为万能法宝，忘记了最小值最大值的原始定义和本质.。

北京市朝阳区人大附中2024届高三数学试题下学期第四次月考试题

北京市朝阳区人大附中2024届高三数学试题下学期第四次月考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>2．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是： A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④ 3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P在双曲线C 上运动，若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（） A ．()27,8B ．()25,7C ．()25,8D ．()27,74．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA |=|OF |，则双曲线的离心率为（） A ．3 B ．5C ．2D ．3+15．设全集U=R ，集合()2log 41{|}A x x =-≤，()()35{|}0B x x x =-->，则()U B A =（）A ．[2]5，B ．[2]3，C ．[)24，D ．[)34，6．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（）A ．[32]-，B ．[42]-，C ．[0]2，D ．2[3]e -，7．已知平面向量,a b 满足||||a b =，且2)b b -⊥，则,a b 所夹的锐角为（）A ．6πB ．4π C ．3π D ．08．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（） A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 9．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．3210．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．11．己知函数()()1,0,ln ,0,kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()0,∞+D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12．已知集合{}0,1,2,3A =，{|22}B x x =-≤≤，则AB 等于（）A ．{}012,,B ．{2,1,0,1,2}--C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}12, 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四文科数学试题(含答案)

北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四文科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集U =R ,集合{|10}A x x =+<,{|40}B x x =-≤,则()U A B =（A ）{|1x x ≤-或4}x > （B ）{|1x x ≥-或4}x < （C ）{|1}x x ≥-（D ）{|4}x x >2.若0.8331log ,log 9.1,22a b c ===,则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）a c b << （D ）c a b <<3.设,x y ∈R ,则“||1x ≤且||1y ≤”是“222x y +≤”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件4.设不等式组1,3,25x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域为D .若直线0ax y -=上存在区域D 上的点,则实数a 的取值范围是（A ）1[,2]2（B ）1[,3]2（C ）[1,2] （D ）[2,3]5.若直线0x y a ++=是圆2220x y y +-=的一条对称轴,则a 的值为（A ）1 （B ）1- （C ）2 （D ）2-6.执行如图所示的程序框图,输出的k 值为（A ）3 （B ）4 （C ）5（D ）67.某学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下: 小张说:“甲或乙团队获得一等奖”; 小王说:“丁团队获得一等奖”;小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”; 小赵说:“甲团队获得一等奖”.若这四位同学中只有两位预测结果是对的,则获得一等奖的团队是（A ）甲（B ）乙（C ）丙（D ）丁8.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,12AA AB ==,1BC =,点P 在侧面11A ABB 上.满足到直线1AA 和CD 的距离相等的点P（A ）有无数个（B ）恰有1个（C ）恰有2个（D ）不存在二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.将函数π()sin()3f x x =+的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数()sin()g x x ωϕ=+的图象,则___,___.ωϕ==10.已知点(2,0)A ,(0,1)B ,若点(,)P x y 在线段AB 上,则xy 的最大值为______.11某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300,300,400,通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查,高三抽取的人数是______. 12.已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是______13.已知函数2,1,()1,1,2x a x f x x a x ⎧+⎪=⎨+>⎪⎩≤ 其中a ∈R .如果函数()f x 恰有两个零点，那么a 的取值范围是____．14.设AB ，是R 的两个子集，对任意x R ∈，定义：01x A m x A ，，，，∉⎧=⎨∈⎩01.x B n x B ，，，∉⎧=⎨∈⎩①若A B ⊆，则对任意x R ∈，(1)m n -= _____；②若对任意x R ∈，1m n +=，则A B ，的关系为__________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足11a , 2410a a .(Ⅰ) 求{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 若2n a n nb a ,求数列{}n b 的前n 项和.16.（本小题满分13分）已知函数sin 2cos21()2cos x x f x x++=.（Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的定义域；（Ⅲ）求函数()f x 在(0,)2π上的取值范围.17．（本小题满分13分）某日A, B, C 三个城市18个销售点的小麦价格如下表：（Ⅰ）求B 市5个销售点小麦价格的中位数；（Ⅱ）甲从B 市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦，乙从C 市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦，求甲花费的费用比乙高的概率；（Ⅲ）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大.请你对A 、B 、C 三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）.18.（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，E 为棱1AA 的中点，2AB =，13AA =．（Ⅰ）求证：1A C ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：1BD AC ⊥；（Ⅲ）求三棱锥A BDE -的体积．19.（本小题满分13分）B 1已知函数21()2xf x axe x x ，a ∈R ．(Ⅰ) 当1a时，求曲线()yf x 在点(0,(0))f 处的切线方程；(Ⅱ) 求()f x 的单调区间．20．（本小题满分14分）已知点(0,2)B -和椭圆M ：22142x y +=．直线:+1l y kx =与椭圆M 交于不同两点P ，Q.（Ⅰ）求椭圆M 的离心率；（Ⅱ）若12k =，求∆PBQ 的面积；（Ⅲ）设直线PB 与椭圆M 的另一个焦点为C ，当C 为PB 中点时，求k 的值.北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四文科数学试题参考答案及评分标准一．选择题二．填空题 9.1π,23 10 .12 11.16 12.16 13.1[2,)2--14.0；A B R=三．解答题（15）（共13分）解：（I ）设{}n a 的公差为d ,因为243210a a a ，所以35a .所以312514.a a d解得2d.所以1(1)1(1)22 1.n a a n d n n =+-=+-⨯=- ……………………………..7分（Ⅱ）由（I ）知，21212n n b n ，所以{}n b 的前n 项和为132112[13(21)](222)n nb b b n=[1(21)]2(14)214n n n =22(41)3nn . ……………………..13分（16）（本小题13分）（Ⅰ）()sin0cos0111012cos02f +++===……………2分（Ⅱ）由0cos ≠x 得,2x k k π≠+π∈Z所以函数的定义域是 ,2x x k k ⎧⎫π≠+π∈⎨⎬⎩⎭Z ……………5分（Ⅲ）()22sin cos 2cos 112cos x x x f x x ⋅⋅+⋅-+=⋅……………9分()2cos sin cos 2cos x x x x⋅+=⋅sin cos x x =+4x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………11分0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即 02x π<<3sin()144424x x ππππ∴<+<<+≤1)6x π∴<+≤所以函数()f x 在(0,)2π上的取值范围为……………13分17. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）B 市一共有5个销售点，价格分别为：2500，2500，2500，2450，2460按照价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500B 市5个销售点小麦价格的中位数为2500. …………………3分（Ⅱ）记事件“甲的费用比乙高”为AB 市5个销售点按照价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500C 市一共有4个销售点，价格分别为：2580，2470，2540，2400按照价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580 甲乙两个购买小麦分别花费的可能费用有如下组合：（2450，2400），（2460，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2450，2470），（2460，2470），（2500，2470），（2500，2470），（2500，2470），（2450，2540），（2460，2540），（2500，2540），（2500，2540），（2500，2540），（2450，2580），（2460，2580），（2500，2580），（2500，2580），（2500，2580），一共有20组.其中满足甲的费用高于乙的有如下组合：（2450，2400），（2460，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2500，2470），（2500，2470），（2500，2470）一共有8组.所以，甲的费用比乙高的概率为：82()205P A ==. ………………10分（Ⅲ）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C ，A ，B. ………………13分18．（共14分）解：（Ⅰ）设O BD AC = ，连接OE ，因为1ACA ∆中，O ，E 分别为AC ，1AA 的中点，所以OE 为1ACA ∆的中位线，即//OE C A 1， ………………2分因为⊄C A 1平面BDE ，⊂OE 平面BDE ，所以//1C A 平面BDE ． ………………4分1B（Ⅱ）因为侧棱⊥1AA 底面ABCD ，⊂BD 底面ABCD ，所以BD AA ⊥1， ………………5分因为底面ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥， ………………6分因为A AC AA = 1，所以⊥BD 平面11A ACC ， ……………… 8分因为 ⊂C A 1平面11A ACC ，所以C A BD 1⊥． ………………10分（Ⅲ）因为侧棱⊥1AA 底面ABCD 于A ，E 为棱1DD 的中点，所以AE 为三棱锥ABD E -的高. 因为31=AA ，所以23=AE .因为2==AD AB ，所以221=⋅=∆AD AB S ABD . 所以131=⋅==∆--AE S V V ABD ABD E BDE A ， ………………14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R ,'()(1)1(1)(1)x xf x ae x x x ae ．当1a 时，'(0)0f ，(0)0f ，所以曲线()yf x 在点(0,(0))f 处的切线方程为0y ．………………………..7分 (Ⅱ)'()(1)1(1)(1)x x f x ae x x x ae .(1) 当0a 时，10x ae ，所以当1x 时，'()0f x ；当1x 时，'()0f x .所以()f x 的单调递增区间为(–∞，–1)，单调递减区间为(–1，+∞).(2) 当0a 时，令'()0f x ，得11x ，2ln x a .①当ln 1a ，即a e 时，'()0f x ，所以()f x 的单调递增区间为(–∞，+∞)，无单调递减区间；②当ln 1a ，即a e 时，当ln 1a x 时，'()0f x ；当ln 1x a x 或时，'()0f x .所以()f x 的单调递减区间为(ln ,1)a ，单调递增区间为(,ln )a ，(1,)；③当ln 1a ，即0a e 时，当1ln x a 时，'()0f x ；当1ln 或x x a 时，'()0f x .所以()f x 的单调递减区间为(1,ln )a ，单调递增区间为(,1)，(ln ,)a .…………………………………………………………………………………………13分20．解：（Ⅰ）因为,a b ==2242，所以,a b c ===2所以离心率c e a ==（Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y 若k =12，则直线l 的方程为112y x =+ 由x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩22142112，得x x +-=23440解得 ,x x =-=12223设(0,1)A ，则12112||(||||)3(2)4223PBQ S AB x x ∆=+=⨯⨯+= （Ⅲ）法一：设点33(,)C x y ，因为11(,)P x y ，(0,2)B -，所以1313222x x y y ⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩ 又点11(,)P x y ，33(,)C x y 都在椭圆上，所以221122111422()()22142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨-+⎪+=⎪⎩解得1112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以k =或k =法二：设33(,)C x y显然直线PB 有斜率，设直线PB 的方程为y k x =-12 由x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩2211422，得()k x k x +-+=221121840 所以()k k x x k x x k ⎧⎪∆=->⎪⎪⎪+=⎨+⎪⎪=⎪+⎪⎩2111321132116210821421 又x x =3112解得1114x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1114x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1112xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1112xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以k=k=。

北京市中国人民大学附属中学朝阳学校高三上学期10月月考数学试题

2024北京人大附中朝阳学校高三10月月考数学2024 年 10 月 5 日出题人：审题人：一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分, 请将答案填涂在答题纸上.在每小题给出的四个选项中，只有一个．．．．选项符合题意） 1．已知集合{}13A x x =−<<，{}24B x x =≥，则AB =（）A ．()1,−+∞B ．(]1,2−C ．(](),21,−∞−⋃−+∞D ．(]()21,3−∞−−，2．若1tan(π)2x −=，则πcos 2x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ． B ． C ．D 3．已知0.327πlog 1.41, 1.7,cos3a b c ===，则（） A ．b a c >> B ．b c a >> C ．c b a >>D ．c a b >>4．如图，在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若E 为AD 的中点，则CE =（）A ．1544AB AC −− B ．1344AB AC −−C ．1544AB AC − D ．1344AB AC − 5．已知数列{}n a 是10a >的无穷等比数列，则“{}n a 为递增数列”是“2k ∀≥且*k ∈N ，1k a a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且515S =，则24a a ⋅的最大值为（）A ．94B ．3C ．9D ．367．函数()()22πsin 23f x x x ωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中0ω>，其最小正周期为π，则下列说法中错误的个数是（） ①1ω=②函数()f x 图象关于点π3⎛ ⎝对称③函数()f x 图象向右移()0ϕϕ>个单位后，图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为5π12④若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 1A ．1B ．2C ．3D ．48．已知正方形ABCD 的边长为2，动点P 在以D 为圆心且与AC 相切的圆上，则BP AC ⋅的取值范围是（）A ．[−B ．[0,C ．[4,4]−D ．[0,4]9．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为32.65g /m ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为32.59g /m ，第n 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量n r 满足函数模型()()0.25*0105R,N n p n r r r r p n +=+−⋅∈∈，其中0r 为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，1r 为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，n 为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过30.25g /m 时符合废水排放标准，若该企业排放废水符合排放标准，则改良工艺次数最少要（参考数据：lg20.301≈）（）次.A ．8B ．9C ．10D ．1110．定义满足方程()()1f x f x '+=的解0x 叫做函数()f x 的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（）A ．()23f x x x =−B ．()1f x x x=+C ．()ln f x x =D ．()e sin 3xf x x =−+第II 卷（非选择题部分共_100__分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上） 11．函数21log 1xy x+=−的定义域是 . 12．在ABC 中，1,90AB AC A ︒==∠=，则AB BC ⋅=13．已知数列{}n a 的通项公式为12n n a −=，{}n b 的通项公式为12n b n =−．记数列{}n n a b +的前n 项和为n S ，则4S = ；n S 的最小值为．14.在Δ642ABC a =,b =,C =B,中，则ΔABC 的面积为15．已知函数()2,,x m x mf x x x m ⎧+≤=⎨>⎩①函数()f x 的零点个数为．②若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则实数m 的取值范围是． 16．在数列{}n a 中，1()n n a f a +=，给出下列四个结论： ①若()2f x x =−，则{}n a 一定是递减数列； ②若()x f x e =，则{}n a 一定是递增数列；③若3()1f x x =+，1(1,0)a ∈−，则对任意0c >，都存在*n ∈N ，使得n a c >； ④ 若2()1(0)f x kx k =+>，11a =，且对任意*n ∈N ，都有2n a <，则k 的最大值是14．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题14分）在ABC 中，已知222a b c +=． (1)求角C 的大小；(2) 若c =ABC 存在且唯一确定，求ABC 的面积．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）条件①：sin 45A =；条件②：2cos cos cos a A c B b C =+；条件③：ABC 的周长是．18. （本小题13分）已知函数()()πsin (0,0)2f x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在,并求函数()f x 在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.条件①：函数5π()12f x +是奇函数；条件②：将函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度后得到sin y x ω=的图象；条件③：()2π0()3f f =. 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．19.（本小题14分）已知函数()sin 2cos 2f x x x x =+.（Ⅰ）求曲线()y f x =在ππ(,())44f −−处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π5π,36⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的极值点个数.20.（本小题15分）已知函数()ln(1)()R f x ax x a =−−∈.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）若()0f x ≥恒成立，求a 的值；（Ⅲ）若()f x 有两个不同的零点12,x x ，且21||e 1x x −>−，求a 的取值范围． 21.（本小题14分）有穷数列12(2)n a a a n >，，，中，令 1()(1)p p q S p q a a a p q n p q *+=+++≤≤≤∈N ，，，，当p q =时规定()p S p q a =，. （Ⅰ）已知数列3213−−，，，，写出所有的有序数对()p q ，，且p q <，使得()0S p q >，；（Ⅱ）已知整数列12n a a a ，，，,n 为偶数. 若(1)S i n i −+，(12)2ni =，，，满足：当i 为奇数时，(1)0S i n i −+>，；当i 为偶数时，(1)0S i n i −+<，. 求12n a a a +++的最小值；（Ⅲ）已知数列12n a a a ，，，满足(1)0S n >，，定义集合{(1)0121}A i S i n i n =+>=−，，，，，.若12{}()k A i i i k *=∈N ，，，且为非空集合，求证：12(1)k i i i S n a a a >+++，.。

精品解析：2020届北京市中国人民大学附属中学高三 4月质量检测数学试题(解析版)

14.函数
f
x
sin
2x
4
的最小正周期为________;若函数
f
x 在区间 0，
上单调递增，则
的
最大值为________.
【答案】 (1).
【解析】
(2).
8
【分析】
直接计算得到答案，根据题意得到
2x
4
4
, 2
4
，
2
4
2
，解得答案.
【详解】
f
x
sin
2x
4
，故 T
10.设函数
f
x
x2 10x lgx ，
1，x 0
若关于
x0
x
的方程
f
x
aaR
有四个实数解
xi
i
1，2，3，4
，
其中 x1 x2 x3 x4 ，则 x1 x2 x3 x4 的取值范围是（）
A. 0，101
B. 0，99
C. 0，100
D. 0，
【答案】B
【解析】
【分析】
画出函数图像，根据图像知：
【答案】D
【解析】【分析】
计算得到
f
x 2k
f
x，
f
2
x
f
2
x
，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，
根据图像知①③错误，得到答案.
【详解】
f
x
sinx 1 2sinx
，
f
x
2k
sin x 2k 1 2sin x 2k
sinx 1 2sinx
f
x，kZ ，
当沿 x 轴正方向平移 2k , k Z 个单位时，重合，故②正确；

北京市人大附中2024届高三10月质量检测练习数学试题及答案

北京市人大附中2024届高三10月质量检测练习数学试题一、单选题1．已知集合{}[]2,0,3A x x B =≤=，则A B = （）A ．{3}B ．{0}C ．[]0,2D ．{0，3}2．下列函数既是偶函数且又在()0,∞+上是单调递减函数的是（）A ．()cos 2f x x=B ．()exf x =C ．()lg f x x=D ．()23f x x-=3．已知角θ的终边过点()12,5P -，则tan θ=（）A ．512-B ．125-C ．125D ．5124．若0.32131,0.3,log 32a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 大小关系为（）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．c b a>>D ．a c b>>5．设,a b ∈R ，且0a b <<，则（）A ．11a b<B ．2b ab>C ．2a bab +>D ．2b a a b+>6．某物体做直线运动，若它所经过的位移s 与时间t 的函数关系为()212s t t t =+，则这个物体在时间段1,2内的平均速度为（）A ．2B ．32C ．3D ．527．已知{}12|2,0,log 1xA y y xB x x ⎧⎫==<=>⎨⎬⎩⎭，则“x A ∈”是“x B ∈”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，下列结论正确的是（）A ．()y f x =在=1x -处取得极大值B ．1x =是函数()y f x =的极值点C ．2x =-是函数()y f x =的极小值点D ．函数()y f x =在区间()1,1-上单调递减9．已知0a >且1a ≠，函数(),1,1x a x f x x a x ⎧≤=⎨-+>⎩，若函数()f x 在区间[]0,2上的最大值比最小值大52，则a 的值为（）A ．12或2B ．23或2C ．2或72D ．12或7210．已知函数()11sin cos f x x x=+，在下列结论中：①2π是()f x 的一个周期；②()f x 的图象关于直线π4x =对称；③()f x 在区间π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上无最大值正确结论的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11．函数()()22ln 1xf x x x =++-的定义域为．12．已知函数()πsin 0,02y x ωϕωϕ⎛⎫=+><≤ ⎪⎝⎭，且此函数的一段图象如图所示，则ω=；ϕ=．13．在ABC V 中，60,2,3A AC BC ︒===则ABC V 的面积等于．14．扶贫小组帮助某农户建造一个面积为100㎡的矩形养殖区，有一面利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，则最低造价需要准备元．15．对函数(),f x 若存在区间[,](),M a b a b =<使得{|(),},y y f x x M M =∈=则称区间M 为函数()f x 的一个“稳定区间”,给出下列四个函数:（1）(),x f x e =（2）3(),f x x =（3）π()cos ,2f x x =（4）()ln 1,f x x =+其中存在“稳定区间”的函数有.（把所有可能的函数的序号都填上）三、解答题16．已知函数()321233f x x x =+-(1)求曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间和极值．17．已知函数()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭(1)求()f x 的最小正周期；(2)当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，求()f x 的最大值和最小值．18．某同学用“五点法”画函数()()||πsin 0,2f x A x k ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxm π3n 5π6p ()sin A x kωϕ++1614-1(1)求出实数m ，n ，p 的值；(2)求出函数()f x 的解析式；(3)将()y f x =图象向左平移()0t t >个单位，得到()y g x =的图象．若()y g x =为偶函数，求t 的最小值．19．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足222sin sin sin sin sin 0A CB AC +-+=(1)求角B 的大小；(2)给出以下三个条件：条件①：22230a b c c -+-=：条件②：3a =；条件③：4ABC S =△从这三个条件中选择两个条件，使得ABC V 存在且唯一确定，请写出你选择的两个条件并回答下面的问题：（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）点M 为线段AB 中点，点N 为线段BC 中点，点P 为线段MN 上一个动点，记PA PC λ=⋅ ，直接写出λ的最大值．20．已知函数()()32111,e ln 32x f x x x ax g x x x x -=++=+(1)判断函数()y g x =零点的个数，并说明理由；(2)对任意的(]10,1x ∈，存在(]20,1x ∈，使()()122f x g x '≤'-求实数a 的取值范围；(3)在（2）的条件下，证明：0x ∀>，有()()g x f x ≥'．21．如图，T 是3行3列的数表，用(),1,2,3ij a i j =表示位于第i 行第j 列的数，且满足{}0,1ij a ∈．11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33a 数表中有公共边的两项称为相邻项，例如上表中11a 的相邻项仅有12a 和21a ．对于数表T ，定义操作ij ϕ为将该数表中的ij a 以及ij a 的相邻项从x 变为1x -，其他项不变，并将操作的结果记为()ij T ϕ．已知数表0T 满足{}0,,1,2,3ij a i j =∈．记变换ψ为n 个连续的上述操作，即1122:,,,n n i j i j i j ϕϕϕψ ，使得()()()112210211,,,n n i j i j n i j n T T T T T T ϕϕϕ-=== ，并记()0n T T =ψ(1)给定变换112233:,,ϕϕϕψ，直接写出()30T T =ψ．(2)若T '满足122122231a a a a ====，其他项均为0．ψ是含n 次操作的变换且有()0T T '=ψ，求n 的最小值．(3)若变换ψ中每个操作ij ϕ至多只出现一次，则称变换ψ是一个“优变换”，证明：任给一个数表(){}{}:,0,1,,1,2,3ij ij T a a i j ∈∈，存在唯一的一个“优变换”ψ，使得()0T T =ψ．参考答案：题号12345678910答案CDABDBBCDB1．C【分析】按照交集的运算法则直接计算即可.【详解】因为集合{}[]{}2,0,303A x x B x x =≤==≤≤，所以{}[]020,2A B x x ⋂=≤≤=.故选：C.2．D【分析】根据余弦函数，指数函数，对数函数及幂函数的奇偶性和单调性逐一判断即可.【详解】对于A ，因为π3π044f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()cos 2f x x =在()0,∞+上不是单调递减函数，A 不符题意；对于B ，函数()e xf x =在()0,∞+上是单调递增函数，故B 不符题意；对于C ，当()0,x ∈+∞时，()lg lg f x x x ==在()0,∞+上单调递增，故C 不符题意；对于D ，()()()()21233,0,,0f x xxx ∞∞--==∈+⋃-，因为203-<，所以函数()23f x x -=在()0,∞+上单调递减，因为()()()123f x x f x --==，所以()23f x x -=是偶函数，故D 符合题意.故选：D.3．A【分析】根据正切函数的定义计算．【详解】由题意，55tan 1212α==--．故选：A ．【点睛】本题考查三角函数的定义，属于简单题．4．B【分析】由指数函数和对数函数的性质即可得出答案.【详解】因为0.3110122a ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，200.30.31b -=>=，1133log 3log 31c -===-，所以b a c >>.故选：B.5．D【分析】ABC 选项，可举出反例；D 选项，利用基本不等式进行求解.【详解】A 选项，当2,1a b =-=-时，111,12a b=-=-，故11a b >，A 错误；B 选项，当2,1a b =-=-时，21,2b ab ==，2b ab <，B 错误；C 选项，当2,1a b =-=-时，322a b +=-=，2a b+<，C 错误；D 选项，当0a b <<时，0,0b a a b >>，由基本不等式可得2b a a b +≥=，当且仅当ba ab=，即a b =时，等号成立，但a b ≠，故等号取不到，故2b aa b+>，D 正确.故选：D 6．B【分析】根据平均速度的公式计算.【详解】211211322212s v t ⎛⎫⨯+-+ ⎪∆⎝⎭===∆-.故选：B.7．B【分析】根据题意，化简集合,A B ，再由充分条件以及必要条件的定义判断即可.【详解】因为{}()2,00,1x A y y x ==<=，121log 10,2B x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则B 是A 的真子集，所以“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件.故选：B 8．C【分析】根据导函数的正负即可求解()y f x =的单调性，即可结合选项逐一求解.【详解】由图象可知：当2x <-时，()()0,f x f x '<单调递减，当2x ≥-时，()()0,f x f x '≥单调递增，故2x =-是函数()y f x =的极小值点，()y f x =无极大值.故选：C 9．D【分析】按照a 与1的大小进行分类讨论，求出函数()f x 在[]0,2上的最值，从而可得a 的值.【详解】①当01a <<时，函数()f x 在[]0,1上是减函数，在(]1,2上也是减函数.∵()0011f a a ==>-+，∴函数的最大值为()01f =，而()()221f a a f =-+<=，∴函数()f x 的最小值为()22f a =-+，∴5212a -++=，解得()10,12a =∈，符合题意.②当1a >时，函数()f x 在[]0,1上是增函数，在(]1,2上是减函数.∵()11f a a =>-+，∴函数()f x 的最大值为()1f a =，而()22f a =-+，()001f a ==，当()1,3a ∈时，21a -+<，此时函数()f x 的最小值为()22f a =-+，因此有522a a -++=，无解；当[)3,a ∈+∞时，21a -+≥，此时函数()f x 的最小值为()01f =，因此有512a +=，解得()73,2a =∈+∞，符合题意.综上所述，实数a 的值为12或72.故选：D 10．B【分析】①②根据周期性和对称性满足的关系式判断；③利用换元法求函数()f x 在π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭的最值情况.【详解】因为π11π112π07πππ7π44sin cos sin4444f f ⎛⎫⎛⎫-=+=-+=+= ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭，所以2π不是()f x 的一个周期，故①错误；()11π,π11cos sin 2ππ11π2sin cos ,22cos sin 2x x x f x f x x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎛⎫-=+=≠⎨ ⎪⎛⎫⎝⎭⎪---+< ⎪⎪⎩⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π4x =对称，故②错；()()()()222sin cos 11sin cos sin cos 1sin cos 1sin cos 2x x x x f x x x x x x x --=-+==----，π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则3,444x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭πππ，)1t ⎡∈-⎣，22211t y t t t ==--，在)1t ⎡∈-⎣上单调递增，所以无最大值，即函数()f x 在π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上无最大值，故③正确.故选：B.11．[2,1)-【分析】根据函数特征直接求定义域即可.【详解】由函数()()2ln 1x f x x =+-可知，202,,21101x x x x x +≥≥-⎧⎧∴-≤<⎨⎨-><⎩⎩，所以定义域为[2,1)-.故答案为：[2,1)-12．2π4【分析】由图知7π3ππ2882T =-=，2πT ω=可得ω的值，再由()3π2πZ 8k k ϕ⨯+=∈以及π02ϕ<≤求得ϕ的值.【详解】由7π3ππ2882T =-=，可得πT =，所以2π2π=2πT ω==，此时解析式为()sin 2y x ϕ=+，由()3π2πZ 8k k ϕ⨯+=∈，可得()3ππZ 4k k ϕ=-+∈，又因为π02ϕ<≤，所以1k =，π4ϕ=，故答案为：2；π4.13【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B ，C ，再利用三角形的面积公式求出△ABC 的面积．【详解】因为60,2,A AC BC ︒===2,,sin sin sin 60sin BC AC A B B︒=∴=sin 1,90,30,B BC ︒︒∴=∴==12sin 302ABC S ︒=⨯⨯=!14．3200【分析】假设正面铁栅和两侧墙长，可构造等式100xy =；列出造价409020z x y xy =++，利用基本不等式求得最小值.【详解】设正面铁栅长为x ，两侧墙长为y ，则100xy =于是造价为409020z x y xy=++则：4090202020120020003200z x y xy xy xy =++≥==+=，当且仅当4090 100x y xy ==，即20153x y ，==时取等号本题正确结果：3200【点睛】本题考查利用基本不等式解决实际问题，主要采用基本不等式求解和的最小值的方法.15．②③【详解】因为()x f x e =单调递增，所以若存在“稳定区间”则x e x =至少有两个解，而x e x >恒成立，所以()x f x e =不存在“稳定区间”；因为()3f x x =单调递增，所以若存在“稳定区间”则3x x =至少有两个解，显然成立，所以()3f x x =存在“稳定区间”；（3）因为[0,1],cos [0,1]2x x π∈∈,所以f(x)=π cos 2x 存在“稳定区间”；（4）因为()ln 1f x x =+单调递增，所以若存在“稳定区间”则ln 1x x +=至少有两个解，而ln 1x x +=只有一解x=1，所以()ln 1f x x =+不存在“稳定区间”；点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．16．(1)8100x y --=(2)递增区间为(),2-∞-和()0,∞+，递减区间为()2,0-，极大值为23，极小值为23-.【分析】（1）根据题意，求导得()f x '，由导数的几何意义即可得到结果.（2）根据题意，求导得()f x '，令()0f x '=即可得到极值点，从而得到结果.【详解】（1）因为()3212222633f =⨯+-=，且()22f x x x '=+，则()222228f '=+⨯=，所以曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为()682y x -=-，即8100x y --=.（2）因为()22f x x x '=+，令()0f x '=，解得2x =-或0x =，当(),2x ∞∈--时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增；当()2,0x ∈-时，()0f x '<，则函数()f x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0f x '>，则函数()f x 单调递增；所以()f x 的单调递增区间为(),2-∞-和()0,∞+，单调递减区间为()2,0-，当2x =-时，()f x 有极大值为()()3122224333f -=⨯-+-=，当0x =时，()f x 有极小值为()203f =-.综上所述，递增区间为(),2-∞-和()0,∞+，递减区间为()2,0-，极大值为23，极小值为23-.17．(1)()f x 的最小正周期为π.(2)最大值为2，最小值为1.【分析】（1）先化简()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭求出π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后由最小正周期公式求解即可.（2）求()f x 在闭区间上的最大值和最小值即可.【详解】（1）()()2π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭)22sin cos cos 2sin 2x x x x x =+--+-，πsin 222sin 23x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为：2ππ2T ==.（2）由（1）可知，π()2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π2,363⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦x .所以当ππ232x -=时，max ()2f x =，当ππ236x -=时，min ()1f x =.所以当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的最大值为2，最小值为1.18．(1)π12m =，712n =π，1312p =π(2)()5sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π(3)π3【分析】（1）根据表格列方程，解方程得到m ，n ，p ；（2）根据表格得到sin 01πsin 62A k A k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解方程得到51A k =⎧⎨=⎩，然后结合（1）中结论即可得到()f x 的解析式；（3）根据图象的平移变换得到()g x ，根据()g x 为偶函数得到()0g 为最值，然后解方程求t 即可.【详解】（1）由题意得0ππ32π5π3π622πm n p ωϕωϕωϕωϕωϕ+=⎧⎪⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎪+=⎩，解得2π6π127π1213π12m n p ωϕ=⎧⎪⎪=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪=⎪⎩，所以π12m =，712n =π，1312p =π.（2）由题意得sin 01πsin 62A k A k +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得51A k =⎧⎨=⎩，所以()5sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭π.（3）由题意得()5sin 2216g x x t ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭π，因为()g x 为偶函数，所以()05sin 2166g t ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭π或()04g =-，即sin 216t ⎛⎫-=± ⎪⎝⎭π，即2,62t k k -=+∈πππZ ，解得,32k t k =+∈ππZ ，因为0t >，所以当0k =时，t 最小，最小为π3.19．(1)2π3B =(2)（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）6-【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到1cos 2B =-，得到2π3B =；（2）（Ⅰ）选择①②和①③求出边长均不合要求，选择②③，得到ABC V 存在且唯一，并求出5c =，7b =，得到sin A （Ⅱ）取AC 的中点H ，推出22PA PC PH CH ⋅=- ，并得到点P 与N 重合时，PH 最大值为52，并求出λ的最大值.【详解】（1）222sin sin sin sin sin 0A C B A C +-+=，由正弦定理得2220a c b ac +-+=，故2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，因为()0,πB ∈，所以2π3B =，（2）（Ⅰ）选择①②，222222030a c b ac a b c c ⎧+-+=⎨-+-=⎩，解得30ac c +=，又3a =，所以60c =，解得0c =，此时ABC V 不存在，选择①③，222222030a c b ac a b c c ⎧+-+=⎨-+-=⎩，解得30ac c +=，又0c >，故3a =-，不合要求，此时ABC V 不存在，选择②③，1sin 2ABC S ac B == 21π3n 23si c ⨯=5c =，又3a =，2220a c b ac +-+=，故2925150b +-+=，解得7b =，由于357+>，故满足ABC V 存在且唯一，由正弦定理得sin sin a b A B =，即372πsin sin 3A =，解得sin A ，（Ⅱ）取AC 的中点H ，连接PH ，则2PA PC PH += ，2PA PC CH -= ，两式平方后相减得22PA PC PH CH ⋅=- ，其中72CH = ，当点P 与M 重合或与N 重合时，PH 最大，当点P 与M 重合时，1322PH a == ，当点P 与N 重合时，1522PH c == ，故PH 最大值为52PH = ，故22PA PC PH CH λ=⋅=- 最大值为2549644-=-.20．(1)1个(2)(],1-∞-(3)证明见解析【分析】（1）先求定义域，转变为求1()e ln x k x x -=+的零点个数，求导，根据单调性与零点的存在性定理即可求；（2）任意的(]10,1x ∈，存在(]20,1x ∈，使()()122f x g x ''≤-，可转化为()()12max max 2f x g x ''≤-，则求出()1max f x '，()2max g x '即可求出实数a 的取值范围；（3）指对缩放不等式可知()1e 11x x x -≥-+=，1ln 1x x≥-(需证明)，则可得12e ln 1x x x x x x -+≥+-，则不等式可证.【详解】（1）由()1e ln x g x x x x -=+，定义域为0+∞(,)，()y g x =的零点等价于1()e ln x k x x -=+的零点，11()e 0x k x x -'=+>，所以()y k x =在(0,)+∞上单调递增，又11e 1(1)10,()e 10ek k -=>=-<，所以()y k x =在1(,1)e上只有一个零点，所以()y k x =的零点个数为1个，则()y g x =的零点个数也为1个.（2）因为()321132f x x x ax =++，所以()221124f x x x a x a ⎛⎫'=++=++- ⎪⎝⎭，所以()f x '在区间(]0,1上单调递增，故()()max 12f x f a ''==+．因为()1eln x g x x x x -=+，所以()()111e e ln 11e ln 1x x x g x x x x x ---'=+++=+++．令()()11e ln 1x h x x x -=+++，则()()112e x h x x x-'=++，又(]0,1x ∈，所以()0h x '>，故()g x '在区间(]0,1上单调递增，所以()()max 13g x g ''==．又对任意的(]10,1x ∈，存在(]20,1x ∈，使()()122f x g x ''≤-，所以()()max max 2f x g x ''≤-，即232a +≤-，解得1a ≤-，故实数a 的取值范围为(],1-∞-．（3）令()1e -=-x s x x ，0x >，则()1e 1-'=-x s x ．令()0s x '=，解得1x =，则当()0,1x ∈时，()0s x '<，()s x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0s x '>，()s x 单调递增，所以()()10s x s ≥=，即1e x x -≥（当且仅当1x =时，等号成立）．令()1ln 1F x x x =+-，则()22111x F x x x x-'=-=．令()0F x '=，解得1x =，则当()0,1x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，所以()()10F x F ≥=，即1ln 1x x≥-+（当且仅当1x =时，等号成立），故11e ln 1x x x x-+≥-+（当且仅当1x =时，等号成立）．又0x >，所以12e ln 1x x x x x x -+≥+-．因为1a ≤-，所以221x x x x a +-≥++，故12e ln x x x x x x a -+≥++，即()()'≥g x f x ．21．(1)100010001(2)n 的最小值为3(3)证明过程见解析【分析】（1）按照题意进行求解即可；（2）先得到T '，分析得到T '的对称性和奇偶性质，当1n =，2n =时，不满足要求，3n =时，取变换111213:,,ϕϕϕψ，得到答案；（3）设A 是所有优变换的集合，B 是所有数表的集合，构造:f A B →，证明A 中的优变换和B 中数表为一一对应关系，证明出数表中的数据都可通过变换单独被改变，从而证明出结论.【详解】（1）0T 为000000000()1110T T ϕ=，故1T 为110100000()2221T T ϕ=，故2T 为100011010()3332T T ϕ=，故()30T T =ψ为100010001（2）T '为010111000由题意得，1113223133,,,,ϕϕϕϕϕ均改变了表格中的奇数个数据，定义为奇操作，12212332,,,ϕϕϕϕ均改变了表格中的偶数个数据，定义为偶操作，两次同样的操作，表格中数据不变，例如1111:,ϕϕψ不改变表格中数据，故n 的最大值为9，且变换满足交换律，例如1112:,ϕϕψ和1211:,ϕϕψ，结果相同，观察到T '是关于122232,,ϕϕϕ变换所在直线对称的，故变换也要关于这条直线轴对称，T '中有4个1，故相对于0T 改变了4个数，若1n =，通过验证，发现不能得到T '，若2n =，结合对称性和奇偶性，有1113:,ϕϕψ，2123:,ϕϕψ，3133:,ϕϕψ，1232:,ϕϕψ四种变换，经过验证，均不满足，若3n =，结合对称性和奇偶性，不妨取变换111213:,,ϕϕϕψ，()1110T T ϕ=，故1T 为110100000()2121T T ϕ=，故2T 为001110000()3132T T ϕ=，故()30T T =ψ为10111故n 的最小值为3；（3）设A 是所有优变换的集合，则A 中的优变换的个数为92，B 是所有数表的集合，则B 中的数表的个数为92，构造:f A B →，下面证明A 中的优变换和B 中数表为一一对应关系，由于,A B 中元素个数相同，要证每种变换都能等价变换为唯一的优变换，只需证每个数表都能通过变换得到，由（2）可知，11121322:,,,ϕϕϕϕψ可以得到以下数表，000000010由对称性可知，12212332,,,a a a a 可以单独被改变，又经过11:ϕψ变换得到110100000又1221,a a 可单独被改变，故可得到100000000即11a 可单独被改变，同理经过变换133133,,a a a 可单独被改变，经过22:ϕψ变换得到：111010又经过变换，12212332,,,a a a a 可单独被改变，可得到000010000故任给一个数表(){}{}:,0,1,,1,2,3ij ij T a a i j ∈∈，存在唯一的一个“优变换”ψ，使得()0T T =ψ.【点睛】新定义问题，要充分发掘题目中信息，将复杂问题抽丝剥茧，化难为简.（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。