二次函数交点式

第三讲 二次函数交点式

知识要点一.二次函数的三种形式

例题讲解 1.用十字相乘法分解因式：

①322--x x ②1072+-x x ③6822++x x 2.将下列二次函数改写成交点式并求出抛物线与x 轴的交点坐标：

①322--=x x y ②342++=x x y ③6822++=x x y

坐标：

归纳：

(1)若二次函数c bx ax y ++=2与x 轴交点坐标是（01，x ）、（02，x ），则该函数还可以

表示为 的形；

(2)反之若二次函数是()()21x x x x a y --=的形式，则该抛物线与x 轴的交点坐标

是 ，故我们把这种形式的二次函数关系式称为 式.

(3)二次函数的图象与x 轴有2个交点的前提条件是 ，因此这也是 式存在的前提条件.

基础练习

1.把下列二次函数改写成交点式，并写出它与坐标轴的交点坐标.

⑴232+-=x x y ⑵91202---=x x y ⑶4622+-=x x y

与x 轴的交点坐标是： 与y 轴的交点坐标是： 2.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（1,0），且函数的最值是3. (1)求对称轴和顶点坐标； (2)画出它的简图；

(3)求出该二次函数的解析式；

(4)若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（3,0），（-1,0），则对称轴是 ；

若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（1,0），则对称轴

是 ；

若二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-3,0），（-1,0），则对称轴是 .

3.已知一条抛物线的开口大小、方向与2x y -=均相同，且与x 轴的交点坐标是（2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是 .

4.已知一条抛物线与x 轴有两个交点，其中一个交点坐标是（-1,0）、对称轴是直线1=x ，则另一个交点坐标是 .

5.已知一条抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为4，其中一个交点坐标是（0,0）、则另一个交点坐标是 ，该抛物线的对称轴是 .

6.二次函数()()43-+-=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，对称轴是 .

7.请写出一个二次函数，它与x 轴的交点坐标是（-6,0）、（-3,0）： .

知识要点二．求二次函数的解析式

一般地，已知图像上的三点或者三对y x 、的值或已知c b a 、、其中之一，我们通常设一般式 ，已知 ，我们通常设顶点式 ，已知图像与x 轴两个交点的坐标，我们通常设交点式 .

例题讲解

1．求满足下列条件的二次函数解析式： (1)顶点是（2,1），且过点（0,3）； (2)过点（-1,0）（3,0）（2,4）； (3)过点（0,2）（1,3）（2,4）

2.二次函数的图像经过点A （4，-3），当3=x 时，有最大值-1，则二次函数的解析式是 .

3.如果抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是x ＝-2，且开口方向与形状与抛物线

22

3

x y -=相同，又过原点，那么a ＝??? ，b ＝??? ，c ＝???? .

综合提升

1.已知一条抛物线的开口大小、方向与2x y =均相同，且与x 轴的交点坐标是

（-2,0）、（-3,0），则该抛物线的关系式是 . 2.已知一条抛物线的形状与22x y =相同，但开口方向相反，且与x 轴的交点坐标是

（1,0）、（4,0），则该抛物线的关系式是 . 3.已知一条抛物线与x 轴的两个交点之间的距离为3，其中一个交点坐标是（1,0）、则另一个交点坐标是 ，该抛物线的对称轴是 .

4.二次函数()()43---=x x y 与x 轴的交点坐标是 ，对称轴是 .

5.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值是-3.则该抛物线开口向 ，当x 时，y 随的增大而增大.

6.请写出一个开口向下、与x 轴的交点坐标是（1,0）、（-3,0）的二次函数关系式： .

7.已知二次函数的图象与x 轴的交点坐标是（-1,0），（5,0），且函数的最值是 3.求出该二次函数的关系式.

解法1： 解法2：

8.二次函数的图象与x 轴有两个交点，其中一个交点坐标是（0,0），对称轴是直线2=x ，且函数的最值是4. ⑴求另一个交点的坐标.

⑵求出该二次函数的关系式. 9.已知关于x 的一元二次方程2x 2＋4x ＋k －1＝0有实数根，k 为正整数． (1)求k 的值；

(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y ＝2x 2

＋4x ＋k －1的图象向下平移8个单位长度，求平移后的图象的解析式；

(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线b x y +=2

1

(b ＜k )与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．