全概率公式和贝叶斯公式
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k 1
P(AB K ) P(B k )P(A | B K ) k k
1 1
常称公式P(A)为全概率公式（total probability formula）。
从证明过程可以看出，并不一定要 B k ，而 只要成立 B k A,即能使A B k A 就可以了。 这个公式在从已知的一些较简单事件的概率去推算 未知的复杂事件的概率中有着重要作用。常用的做 法就是将一个复杂事件分解成若干个互不相容的较 简单事件之和（如图所示，A被分解成AB1、AB2、… 等若干部分之和），在通过分别计算这些较简单事 件的概率并利用概率的可加性得到所要的结果。
3 3 12 3 1 220
9 3 1 2 27 P (B 1 ) 220 12 3 9 3 2 1 108 P (B 2 ) 220 12 3 9 3 84 P (B 3 ) 220 12 3
代入公式，得
1 84 27 56 108 35 84 20 P(A ) 220 220 220 220 220 220 220 220 0.1458
例25
某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流 水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%和35%。 又知，这四条流水线的产品不合格率依次为0.05, 0.04, 0.03及0.02. 现从该厂的这一产品中任取一件， 问抽到不合格品的概率是多少？
则对任一事件A，有
P(A )
P(B k ) P(A | B k ) k
1
P(A )
P(B k ) P(A | B k ) k
1
证： 因
A A A( B k )
k 1
AB k k
1
由概率的完全可加性及乘法定理（已知P(Bk)>0）得
P(A ) P( AB k )
解：
根据问题与已知条件可设 A=“任取一件这种产品，结果是不合格品” BK=“任取一件这种产品，结果是第k条流水线的产品”， k=1,2,3,4， 可用全概率公式，有
P(A ) P(B k )P(A | B k ) k
1 4
根据已知条件，可得
P(B1 ) 0.15,P(B 2 ) 0.20,P(B 3 ) 0.30,P(B 4 ) 0.35
6.3.3.2 贝叶斯公式
请开启自学模式~
B1 B3
B2
Ω
Bk
…
A
例23
袋中有大小相同的a个黄球，b个白球。 现不放回地摸球两次，问第2次摸得黄 球的概率是多少？
解：
第2次摸球是在第1次摸过以后再进行，但第1次摸球 的结果未知，但只有两种可能的结果： B1=“第1次摸球，得到的是黄球” B2=“第1次摸球，得到的是白球”
现有 B1B 2 ,B1 B 2 若用A表示“第2次摸得黄球”的事件，则用全概率公式， 得 P(A) P(AB 1 ) P(AB 2 )
6.3.3 全概率公式和贝叶斯公式
用条件概率为工具计算事件的概率，主要涉及三个定理：乘法 定理、全概率公式和贝叶斯公式。
6.3.3.1 全概率公式 6.3.3.2 贝叶斯公式
6.3.3.1 全概率公式
定理6
设B1、B2、…为一列（有限或无限个）两两互不相 容的事件，有
Bk k
1
,P(B k ) 0,k 1, 2,...,
9 3 84 P(A | B 0 ) 220 12 3 8 3 56 P(A | B 1 ) 220 12 3 7 3 35 P(A | B 2 ) 220 12 3 6 3 20 P(A | B 3 ) 220 12 3
解：
第二次取球时，盒中有几个新球是未知，这是与第 一次取球的各种可能结果有关，故可设 A=“第二次取出3球全是新球” Bk=“第一次取出3球中有k个新球”k=1,2,3， 按全概率公式，有
P(A )
Leabharlann Baidu
P(B k )P(A | B k ) k
0
3
式中各项可直接计算，有
P(B 0 )
P(A | B 1 ) 0.05 P(A | B 2 ) 0.04 P(A | B 3 ) 0.03 P(A | B 4 ) 0.02
将这些数据代入公式，得
P(A ) 0.15 0.05 0.20 0.04 0.30 0.03 0.35 0.02 0.0315
P(B1 ) P(A | B1 ) P(B 2 ) P(A | B 2 ) a a 1 b a a b a b 1 a b a b 1
a a b
例24
盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的。 第一次比赛时，从中任意地取出了3个来用，用完后 仍放回盒中（新球用后成了旧球）。第二次比赛时 再从盒中取出3个球来用，求第二次取出的3个球均 为新球的概率。
P(AB K ) P(B k )P(A | B K ) k k
1 1
常称公式P(A)为全概率公式（total probability formula）。
从证明过程可以看出，并不一定要 B k ，而 只要成立 B k A,即能使A B k A 就可以了。 这个公式在从已知的一些较简单事件的概率去推算 未知的复杂事件的概率中有着重要作用。常用的做 法就是将一个复杂事件分解成若干个互不相容的较 简单事件之和（如图所示，A被分解成AB1、AB2、… 等若干部分之和），在通过分别计算这些较简单事 件的概率并利用概率的可加性得到所要的结果。
3 3 12 3 1 220
9 3 1 2 27 P (B 1 ) 220 12 3 9 3 2 1 108 P (B 2 ) 220 12 3 9 3 84 P (B 3 ) 220 12 3
代入公式，得
1 84 27 56 108 35 84 20 P(A ) 220 220 220 220 220 220 220 220 0.1458
例25
某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流 水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%和35%。 又知，这四条流水线的产品不合格率依次为0.05, 0.04, 0.03及0.02. 现从该厂的这一产品中任取一件， 问抽到不合格品的概率是多少？
则对任一事件A，有
P(A )
P(B k ) P(A | B k ) k
1
P(A )
P(B k ) P(A | B k ) k
1
证： 因
A A A( B k )
k 1
AB k k
1
由概率的完全可加性及乘法定理（已知P(Bk)>0）得
P(A ) P( AB k )
解：
根据问题与已知条件可设 A=“任取一件这种产品，结果是不合格品” BK=“任取一件这种产品，结果是第k条流水线的产品”， k=1,2,3,4， 可用全概率公式，有
P(A ) P(B k )P(A | B k ) k
1 4
根据已知条件，可得
P(B1 ) 0.15,P(B 2 ) 0.20,P(B 3 ) 0.30,P(B 4 ) 0.35
6.3.3.2 贝叶斯公式
请开启自学模式~
B1 B3
B2
Ω
Bk
…
A
例23
袋中有大小相同的a个黄球，b个白球。 现不放回地摸球两次，问第2次摸得黄 球的概率是多少？
解：
第2次摸球是在第1次摸过以后再进行，但第1次摸球 的结果未知，但只有两种可能的结果： B1=“第1次摸球，得到的是黄球” B2=“第1次摸球，得到的是白球”
现有 B1B 2 ,B1 B 2 若用A表示“第2次摸得黄球”的事件，则用全概率公式， 得 P(A) P(AB 1 ) P(AB 2 )
6.3.3 全概率公式和贝叶斯公式
用条件概率为工具计算事件的概率，主要涉及三个定理：乘法 定理、全概率公式和贝叶斯公式。
6.3.3.1 全概率公式 6.3.3.2 贝叶斯公式
6.3.3.1 全概率公式
定理6
设B1、B2、…为一列（有限或无限个）两两互不相 容的事件，有
Bk k
1
,P(B k ) 0,k 1, 2,...,
9 3 84 P(A | B 0 ) 220 12 3 8 3 56 P(A | B 1 ) 220 12 3 7 3 35 P(A | B 2 ) 220 12 3 6 3 20 P(A | B 3 ) 220 12 3
解：
第二次取球时，盒中有几个新球是未知，这是与第 一次取球的各种可能结果有关，故可设 A=“第二次取出3球全是新球” Bk=“第一次取出3球中有k个新球”k=1,2,3， 按全概率公式，有
P(A )
Leabharlann Baidu
P(B k )P(A | B k ) k
0
3
式中各项可直接计算，有
P(B 0 )
P(A | B 1 ) 0.05 P(A | B 2 ) 0.04 P(A | B 3 ) 0.03 P(A | B 4 ) 0.02
将这些数据代入公式，得
P(A ) 0.15 0.05 0.20 0.04 0.30 0.03 0.35 0.02 0.0315
P(B1 ) P(A | B1 ) P(B 2 ) P(A | B 2 ) a a 1 b a a b a b 1 a b a b 1
a a b
例24
盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的。 第一次比赛时，从中任意地取出了3个来用，用完后 仍放回盒中（新球用后成了旧球）。第二次比赛时 再从盒中取出3个球来用，求第二次取出的3个球均 为新球的概率。