1.3.2 直线的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
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1.3.2 直线的极坐标方程 课件 (北师大选修4-4)
解：圆＝4 sin 的化为直角坐标方程是 x 2 y 2 4 y 0即x 2 ( y 2) 2 4 那么一条与此圆相切的 圆的方程为 x 2化为极坐标方程为 cos 2
7、曲线＝0，＝ ( 0)和＝4所围成的 3 面积 _________ .
1 3、极坐标方程 sin ( R)表示的曲线是 3 A、两条相交的直线 B、两条射线
C、一条直线
D、一条射线
1 2 2 解：由已知sin 可得 cos 3 3 2 y 2 所以得 tan 即 4 x 4 两条直线l1 : 2 x 4 y 0, l2 : 2 x 4 y 0 所以是两条相交直线
A
(2, ) 4
M
2
4 O 在Rt OMH中， ＝ OM sin , MH
H
即 sin 2 所以，过点A(2, )平行于极轴的直线方程 4 为 sin 2
2、求过A(2,3)且斜率为 的直线的极坐标方程。 2
解：由题意可知，在直 角坐标系内直线方程为 2x y 7 0 设M ( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin 代入直线方程 2 x y 7 0得 2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方 程
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为
4 ( R)
或
5 ( R) 4
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直 于极轴的直线L的极坐标方程。 解：如图，设点 M ( , ) M 为直线L上除点A外的任 意一点，连接OM ﹚ o A x 在 Rt MOA 中有
1.3.2 直线的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)
x＋y＝1 由 y－x＝1 x＝0， 得 y＝1.
∴两条直线的交点的直角坐标为(0,1)， π 化为极坐标为(1，2)．
直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化及直线与圆的位置 关系的判断是高考模拟的重点内容.2012 年陕西高考以填空题的 形式考查了直线和圆的极坐标方程以及直线与圆的位置关系．
标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后再将 直角坐标方程转化为极坐标方程即可．
[通一类] 3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝1 的交点的极坐标．
解：由 ρ(cos θ＋sin θ)＝1，得 x＋y＝1； 由 ρ(sin θ－cos θ)＝1，得 y－x＝1.
[悟一法]
求直线极坐标方程的步骤： (1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标． (2)写出动点满足的几何条件． (3)把上述条件转化为ρ，θ的等式． (4)化简整理．
[通一类] 1．若将例题中的“平行”改为“垂直”，如何求解？
π 解：如图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ)，∵A(2，4)， π ∴|OH|＝2cos 4＝ 2. 在 Rt△OMH 中， |OH|＝|OM|cos θ， ∴ 2＝ρcos θ，即 ρcos θ＝ 2. π ∴过 A(2，4)且垂直于极轴的直线方程为 ρcos θ＝ 2.
[精讲详析]
本题考查直线的极坐标方程的求法，解题的关
键是通过解直角三角形得到动点 M 的等式．然后转化为关于 ρ， θ 的等式． 如图所示，设 M(ρ，θ)为直线 l 上的任意一点．
过点 M 作 MH⊥x 轴， π ∵A(2，4)， π ∴|MH|＝2sin 4＝ 2. 在 Rt△OMH 中，|MH|＝|OM|sin θ，即 ρsin θ＝ 2. π ∴过点 A(2，4)且平行于极轴的直线的极坐标方程为． ρsin θ＝ 2.
∴两条直线的交点的直角坐标为(0,1)， π 化为极坐标为(1，2)．
直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化及直线与圆的位置 关系的判断是高考模拟的重点内容.2012 年陕西高考以填空题的 形式考查了直线和圆的极坐标方程以及直线与圆的位置关系．
标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后再将 直角坐标方程转化为极坐标方程即可．
[通一类] 3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝1 的交点的极坐标．
解：由 ρ(cos θ＋sin θ)＝1，得 x＋y＝1； 由 ρ(sin θ－cos θ)＝1，得 y－x＝1.
[悟一法]
求直线极坐标方程的步骤： (1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标． (2)写出动点满足的几何条件． (3)把上述条件转化为ρ，θ的等式． (4)化简整理．
[通一类] 1．若将例题中的“平行”改为“垂直”，如何求解？
π 解：如图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ)，∵A(2，4)， π ∴|OH|＝2cos 4＝ 2. 在 Rt△OMH 中， |OH|＝|OM|cos θ， ∴ 2＝ρcos θ，即 ρcos θ＝ 2. π ∴过 A(2，4)且垂直于极轴的直线方程为 ρcos θ＝ 2.
[精讲详析]
本题考查直线的极坐标方程的求法，解题的关
键是通过解直角三角形得到动点 M 的等式．然后转化为关于 ρ， θ 的等式． 如图所示，设 M(ρ，θ)为直线 l 上的任意一点．
过点 M 作 MH⊥x 轴， π ∵A(2，4)， π ∴|MH|＝2sin 4＝ 2. 在 Rt△OMH 中，|MH|＝|OM|sin θ，即 ρsin θ＝ 2. π ∴过点 A(2，4)且平行于极轴的直线的极坐标方程为． ρsin θ＝ 2.
北师大版选修1.3.2直线的极坐标方程(全国优质课一等奖)
N
和 5
4
4
新 课 讲 解一 —过极点的直线方程
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起
来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射
线组合而成。原因在哪？
0
M
O 45° x N
可以考虑允许极径可以取全体实数。
( R) 或 5 ( R )
4
4
变 式 练 习一
1、求过极点，倾角为
5
4
的射线的极坐标方程。
5 ( 0)
4
2、求过极点，倾角为
4
的直线的极坐标方程。
或 5
4
4
新 课 讲 解 二 —过定点且垂直于轴的直线方程
思考2：如图，过点A(a，0)(a≠0)，且垂直于极轴的直线l
的极坐标方程是什么？
ρM
O
θ a
A
a＞0时 设M(ρ,θ)为直线上任意一点，
则有 ρcosθ＝a；
x
总结概括
几种特殊的直线的极坐标方程：
3.在极轴上方与极轴平行且到极轴距离为a的极坐标方程：
M(， )
a
sin a
O
x
4.在极轴下方与极轴平行且到极轴距离为a的极坐标方程：
x
O
a
sin a
M(， )
新 课 讲 解 三 -过定点与极轴成一定角度的直线方程
思考3：设点P的极坐标为A (a, 0) ，直线l 过点P且与极轴
（4）化简：化简并检验所得方程即为所求。
新 课 讲 解一 —过极点的直线方程
思考1：如图，过极点作射线OM，若从极轴到射线OM的最小
正角为450，则射线OM的极坐标方程是什么？
射线OM：
高中数学1.2.3、4、5直线和圆的极坐标方程 名师公开课市级获奖课件(北师大版选修4-4)
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
π π 坐标方程即可．例如对于极坐标方程 ρ＝θ，点 M(4，4)可以表 π π π π π 5π 示为(4，4＋2π)或(4，4－2π)或(－4， 4 )等多种形式，其中，只 π π 有( ， )的极坐标满足方程 ρ＝θ. 4 4
菜 单
课 时 作 业
BS ·数学 选修4-4
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2．3
课 前 自 主 导 学
直线和圆的极坐标方程
当 堂 双 基 达 标
2． 4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 *2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程
课 堂 互 动 探 究
1.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方 程． 2.掌握简单图形的极坐标方程与直角坐标方程的 课标解读 互化． 3.理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的 表示.
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
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当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
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菜
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课 前 自 主 导 学
3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系 xOy 的 x 的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位．
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3．试结合教材 P12－14 例 4－例 8，总结求简单曲线的极 坐标方程的关键是什么？常需用到什么知识？
【提示】 求简单曲线的极坐标方程的关键，就是要找 到极径 ρ 和极角 θ 之间的关系， 这常用到解三角形(正弦定理、
北师大版高中数学选修4-4课件高二理科同步课件：1.2.3.1直线的极坐标方程随堂验收(共14张PPT)
高中学课件（金戈铁骑 整理制作）
2.3 直线和圆的极坐标方程 第一课时 直线的极坐标方程
随堂验收
1.极坐标方程(ρ≥0)表示( )
6 A.点 B.射线 C.直线 D.圆
答案:B
解析:如图所示,故选B.
2.过点 (2, 6且), 平行于极轴的直线的极坐标方程是( )
A.ρ=sinθB.y=1
6.经过 (1, 平) 行于极轴的直线的极坐标方程为________.
2 答案:ρsinθ=1
7.经过极点,倾斜角是
5
的直线的极坐标方程为________.
答案： ( R)
5
8.求满足下列条件的直线的极坐标方程: (1)过A(2,π),且与极轴垂直;
(2)过B (2, ,)且与极轴平行.
2
解析:(1)设P(ρ,θ)是直线l上的任意一点,如图所示,在△POA 中,
OP·cos(π-θ)=2, ∴ρcosθ=-2. 故所求直线的极坐标方程为 ρcosθ=-2.
(2)设P(ρ,θ)是直线l上的任意一点,如图所示, OP\5sinθ=-2, ∴ρsinθ=-2. 故所求直线l的极坐标方程为ρsinθ=-2.
C.ρsinθ=1
D.ρcosθ=1
答案:C
解析:设M(ρ,θ)为所求直线上任一点, 依题意,可得ρsinθ=1.
3.过(3,π)且与极轴垂直的直线的极坐标方程为( )
A.ρcosθ=3
B.ρcosθ=-3
C.ρsinθ=3
D.ρsinθ=-3
答案:B
4.直线 3 x y 0 的极坐标方程(限定ρ≥0)为________. 3
答案 : 和 7
6
6
解析:由直线
2.3 直线和圆的极坐标方程 第一课时 直线的极坐标方程
随堂验收
1.极坐标方程(ρ≥0)表示( )
6 A.点 B.射线 C.直线 D.圆
答案:B
解析:如图所示,故选B.
2.过点 (2, 6且), 平行于极轴的直线的极坐标方程是( )
A.ρ=sinθB.y=1
6.经过 (1, 平) 行于极轴的直线的极坐标方程为________.
2 答案:ρsinθ=1
7.经过极点,倾斜角是
5
的直线的极坐标方程为________.
答案： ( R)
5
8.求满足下列条件的直线的极坐标方程: (1)过A(2,π),且与极轴垂直;
(2)过B (2, ,)且与极轴平行.
2
解析:(1)设P(ρ,θ)是直线l上的任意一点,如图所示,在△POA 中,
OP·cos(π-θ)=2, ∴ρcosθ=-2. 故所求直线的极坐标方程为 ρcosθ=-2.
(2)设P(ρ,θ)是直线l上的任意一点,如图所示, OP\5sinθ=-2, ∴ρsinθ=-2. 故所求直线l的极坐标方程为ρsinθ=-2.
C.ρsinθ=1
D.ρcosθ=1
答案:C
解析:设M(ρ,θ)为所求直线上任一点, 依题意,可得ρsinθ=1.
3.过(3,π)且与极轴垂直的直线的极坐标方程为( )
A.ρcosθ=3
B.ρcosθ=-3
C.ρsinθ=3
D.ρsinθ=-3
答案:B
4.直线 3 x y 0 的极坐标方程(限定ρ≥0)为________. 3
答案 : 和 7
6
6
解析:由直线
1.3.2 直线的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)
[小问题· 大思维]
1．在直线的极坐标方程中，ρ的取值范围是什么？
提示：ρ的取值范围是全体实数，即ρ∈R. 2．在极坐标系中，点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)之间有什么关 系？ 提示：若ρ<0，则－ρ>0，因此点M(ρ，θ)与点P(－ρ，θ)关 于极点对称．
[研一题]
[例 1] π 求过点 A(2，4)且平行于极轴的直线的极坐标方程．
即(x－1)2＋y2＝1. 直线 l 的直角坐标方程为 x－y－4＝0. 圆心 C(1,0)， 所以过点 C 与 l 垂直的直线方程为 x＋y－1＝0. 化为极坐标方程为 ρcos θ＋ρsin θ－1＝0， π 2 即 ρcos (θ－4)＝ 2 .
[悟一法]
解答此类问题应先将已知条件中的极坐标方程化为直角坐
[研一题] [例 3] 已知⊙C：ρ＝2cos θ，直线 l：ρcos θ－ρsin θ＝4，求
过点 C 且与直线 l 垂直的直线的极坐标方程．
[精讲详析]
本题考查极坐标与直角坐标的互化及直线极坐
标方程的求法．解答本题需要先求出直线的一般方程，然后化一 般方程为极坐标方程即可． ⊙C 的直角坐标方程是 x2＋y2－2x＝0，
x＋y＝1 由 y－x＝1 x＝0， 得 y＝1.
∴两条直线的交点的直角坐标为(0,1)， π 化为极坐标为(1，2)．
直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化及直线与圆的位置 关系的判断是高考模拟的重点内容.2012 年陕西高考以填空题的 形式考查了直线和圆的极坐标方程以及直线与圆的位置关系．
[悟一法]
求直线极坐标方程的步骤： (1)设(ρ，θ)为直线上任一点的极坐标． (2)写出动点满足的几何条件． (3)把上述条件转化为ρ，θ的等式． (4)化简整理．
坐标系与参数方程复习 课件(北师大版选修4-4)
则θ =_____. 【解析】直线为y=xtanθ，圆为(x-4)2+y2=4,作出图形, 相切时，易知倾斜角为 或 5 .
6 6
2 0
A(4,0)点， 3
则x+y的最大值等于_____.
x= 3 cosθ
2 解析:设椭圆 x y2 1在第一象限部分上的点P
x 3cos
1 x cos x t t x cos （为参数） （为参数） y 1 sin （t为参数） y 1 cos y t 1 t
【例1】(2011·安徽皖南八校模拟改编)在平面直角坐标系
6
A(4，
) 3
4 【规律方法】点的极坐标是距离和角组成的实数对，求三 O 5 角形的面积常常利用两边和夹角的正弦积的一半计算. 5 B(5，)
6
x
【例3】在以O为极点的极坐标系中，直线l的极坐标方程是
ρ cosθ -2=0,直线l与极轴相交于点M，以OM为直径的圆的极
坐标方程是_____. 【审题指导】先求圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程. 【自主解答】直线l：ρcosθ-2=0的普通方程为x=2, M(2,0),以OM为直径的圆的普通方程是(x-1)2+y2=1,即 x2+y2=2x，化为极坐标方程为ρ=2cosθ.
小结（学习要求）：
作业：
练习册P220-222
谢谢！
(x-2)2+y2=4.圆心(2,0)到直线x+ 3 y-4=0的距离为
d 2 30 4 12
3
2
1,
∵d=1<r=2,∴直线与圆相交.
d<r d=r d>r
高中数学北师大版选修4-4配套课件：1-2.3、4、5《直线和圆的极坐标方程》
2．常见简单曲线的极坐标方程
3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系 xOy 的 x 的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位．
把曲线的两种方程进行相互转化．
4．圆锥曲线统一的极坐标方程 设定点为 F，定直线为 l，过定点 F 作定直线 l 的垂线， 垂足为 K，以 F 为极点，FK 的反向延长线 Fx 为极轴，建立 极坐标系．如图 1－2－6，设定点 F 到直线 l 的距离|FK|＝p， M(ρ ， θ) 为 曲 线 上 任 意 一 点 ， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 ρ ＝ ep . 1－ecos θ
2．3
直线和圆的极坐标方程
2． 4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 *2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程
1.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方 程． 2.掌握简单图形的极坐标方程与直角坐标方程的 课标解读 互化． 3.理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的 表示.
1．曲线的极坐标方程 在极坐标系中， 如果曲线 C 上的点与一个二元方程 φ(ρ， θ)＝0 建立了如下的关系： (1)曲线 C 上的 每个点 的极坐标中 至少 有一组(ρ， θ)满足方程 φ(ρ，θ)＝0； (2)极坐标满足方程 φ(ρ，θ)＝0 的点都在曲线C上 ． 那么方程 φ(ρ，θ)＝0 叫作曲线 C 的 极坐标方程 ，曲线 C 叫作极坐标方程 φ(ρ，θ)＝0 的 曲线 ．
【提示】 如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥 曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是 将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线．
π (1)求过点 A(1,0)且倾斜角为 4的直线的极坐标 方程； 3 (2)在极坐标系中，求半径为 r，圆心为 C(r，2π)的圆的 极坐标方程． 【思路探究】
坐标系与参数方程复习 课件(北师大版选修4-4)
则θ =_____. 【解析】直线为y=xtanθ，圆为(x-4)2+y2=4,作出图形, 相切时，易知倾斜角为 或 5 .
6 6
2 0
A(4,0)
x2 【例3】.已知点P为椭圆 y 2 1 在第一象限部分上的点， 3
则x+y的最大值等于_____.
x= 3 cosθ
2 解析:设椭圆 x y2 1在第一象限部分 3 cosθ+sinθ=2sin(θ+ ) 3 当 . ，x+y取得最大值2。
6
练习：
x t 3 1.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 y 3 t (参数t∈R)，圆C的参数方程为 x 2cos (参数θ ∈ y 2sin 2 ［0,2π )),则圆C的圆心到直线l的距离为_____. 2 2 2.已知圆C的参数方程为 x cos (α 为参数)，以原点 y 1 sin
x 3cos
1 x cos x t t x cos （为参数） （为参数） y 1 sin （t为参数） y 1 cos y t 1 t
【例1】(2011·安徽皖南八校模拟改编)在平面直角坐标系
3 6
则△OAB的面积为_____.
解：点B(5，- 5 )即B(5，7 )，且点A(4， ) ， 6 6 3
∴∠AOB= 7 5 ,
6 3 6
所以△OAB的面积为
S= 1·|OA|·|OB|·sin∠AOB= 1 ×4×5×sin 5
2 2
=
1 1 ×4×5× =5. 2 2
x t 1 xOy中，则直线 与圆 x 2 2cos (t为参数) 3 y 2sin t 3 y 3 ( 为参数)的位置关系为______.
1.3.2 直线的极坐标方程 课件(人教A选修4-4)
且记∠OPM＝∠1，∠OMP＝∠2，
则∠1＝α－θ，∠2＝π－(α－θ0)．
在△OMP 中应用正弦定理： ρ ρ0 ＝ ， sin ∠2 sin ∠1 sin π－∠2 即 ρ＝ρ0· sin ∠1 sin α－θ0 ＝ρ0· . sinα－θ 即直线方程为 ρsin (θ－α) ＝ρ0sin (θ0－α)． (2)设 P(ρ，θ)为直线上任意一点(如图)，由△OMP 为直角三 角形，显然有，ρcos (θ－θ0)＝ρ0.这就是所求直线方程．
x＋y＝1 由 y－x＝1 x＝0， 得 y＝1.
∴两条直线的交点的直角坐标为(0,1)， π 化为极坐标为(1，2)．
直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化及直线与圆的位置 关系的判断是高考模拟的重点内容.2012 年陕西高考以填空题的 形式考查了直线和圆的极坐标方程以及直线与圆的位置关系．
[悟一法] 对比直角坐标系中直线的方程， 可将(1)看成是直线方程的点 π 斜式，不难验证当 θ0＝0，α＝2时，直线(1)即 ρcos θ＝ρ0；当 θ0 π ＝2，α＝0 时，即 ρsin θ＝ρ0.
[通一类] 2．(2012· 上海高考)如图，在极坐标系中， π 过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 α＝6.若 将 l 的极坐标方程写成 ρ＝f(θ)的形式，则 f(θ)＝________.
标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后再将 直角坐标方程转化为极坐标方程即可．
[通一类] 3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，求曲线 ρ(cos θ＋sin θ)＝1 与 ρ(sin θ－cos θ)＝1 的交点的极坐标．
解：由 ρ(cos θ＋sin θ)＝1，得 x＋y＝1； 由 ρ(sin θ－cos θ)＝1，得 y－x＝1.
北师大高中数学选修4-4课件：第1讲第2节第3课时直线的极坐标方程
•第三课时直线的极坐标方程i ［学习目标］i 卜1.熟练掌握直线的极坐标方程的求法，并能I I够进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.I > 2.通过比较，体会极坐标在解决个别问题中］［的优越性，提高分析问题、解决问题的灵活I 性.I ［学法指要］］• 1.利用化极坐标方程为直角坐标方程解题（• 2.着殘和身寸经白勺祓巫棕方理.（张皆）预习学案启动思维我国自主研制的“神舟七号”载人航天飞船成功发射，并按预定方案返回地球.它的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点和远地点距离地面分别为n km和加km（常数m>n>0）,且地球半径为£ km.你能写出“神舟七号”运行的椭圆轨道的极坐标方程吗?走进教材自主练习1・极坐标方程0= 1且0=号表示（）A•点C・直线B・射线D・圆JT解析：由P=\，0=2知，其表示圆心在极点，半径为1的圆上的一点儿如图所示.•答案：A7T2.过极点倾斜角为§的直线的极坐标方程可以为（）717TA. 0=〒B. 0=寸，p三04兀7T 4兀C. &=丁，p三0D. 0=寸和0=了, “207T 7?解析：过极点且倾斜角为3的直线的极坐标方程为&= 57T 4或0=亍+兀=尹，卩三0,故选D・•答案：DTT3. ________ 极坐标系中，p$0,过点(1,0)倾斜角为㊁的射线的极坐标方程为 .解析：由题意知，其图形为厂----/ 、7T71故其极坐标为pcos 0=1 0<6><z・答案：pcos 3=714.求：⑴过彳2,刖且平行于极轴的直线;（2）过彳3,申且和极轴成乎的直线.解析：（1）如图所示，在直线/上任意取点M（p，6＞）, / 、VA 2,玄，\ "7-兀••• IMHI = 2sin》=辺・在RtAOMH中，I MH\ = \0M\sin3.即psin3=\[29、刖且平行于极轴的直线方程为ps問卡.( \ rr(2)如图所示，A 3, ,\ 3)7T即 1041 = 3, ZAOB=j.3兀由已知ZMBx=二,乂 ZOMA= ZMBx —0=^—3.在△MQ4中，根据正弦定理，ZOAB= 3兀 兀_ 5兀ZOAM=TI — 571771可 得〃(sin&+cos 〃)=斗^+扌.… 3兀氏且和极轴成才的直线为p(sin0+cos0) =得…sin 〒—0 ・7兀・sin 12 4'7t . 71 …7—si 詐+樂 •sin 12 (3兀 将sin 才一0展开,化简上面的方程,、 711课堂讲义典例导航•(l)psin^=l；•(2)〃(cos0+sin0)—4=O；•［思路点拨］(1)根据极坐标方程形式选择公式•⑵适当变形•［解题过程］利用极坐标和直角坐标互化公式求解：•〃cos0 = x z psin0 = y.•(l)psin0= l^>y= 1 z表示的是一条直线・•(2)〃(cos0 + sin。
北师大版高中数学选修4-4《点的极坐标和直角坐标的互化》课件(共13张PPT)
3.已知A，B两点的极坐标A(2, )，B(4, 5 )，求A, B两点间
3
6
距离和AOB的面积。
4.已知两点的极坐标A(3, )，B(3, )，求A, B两点间
2
6
距离和AB与极轴正方向的夹角.
课时小结
1.点的极坐标的理解，极坐标的不唯一性； 2.点的极坐标与直角坐标的互化； 3.极坐标系下，两点间距离公式及应用。
(1)当极径 0，以OX为始边作角，在角的终边上截取| OM | ; (2)当极径 0,以OX为始边作角，在角的终边的反向延长线上 截取 | OM || |； （3）极点的极坐标为（0，），其中为任意角。
M
O
X
° O
x
(, )
3.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
P
[1]给定（,）,就可以在极坐标平
M (ρ,θ)
面内确定唯一的一点M；
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
（，），(， 2k ), (, 2k )(k Z)表示同一点
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
(ρ,θ)
(ρ,θ +2kπ)
(-ρ,θ +π) (-ρ,θ +（2k+1）π)
[3]对称性：
点（，）关于极轴的对称点为(，2 ); 点(, )关于极点对称点为(, ); 点(， )关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为(, ).
新课探究
1.点的极坐标与直角坐标的互化：
(
R);
(2)点M的直角坐标(x, y)为极坐标(, )的关系式：
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4、直线 cos 2关于直线＝ 对称的直线 4 方程为 ( B ) A、 cos 2, B、 sin 2 C、 sin 2, D、＝2sin
解：此题可以变成求直 x 2关于y x 线 的对称直线的问题 即y 2化为极坐标方程为 sin 2
§1.3.2直线的极坐标方程
复习引入：
怎样求曲线的极坐标方程？
答：与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动 点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列 出方程(,)=0 ，再化简并讨论。
新课讲授 例题1：求过极点，倾角为 4 的射线 的极坐标方程。 M 分析： 如图，所求的射线 上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其 极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为 ( 0)
A
(2, ) 4
M
2
4 O 在Rt OMH中， ＝ OM sin , MH
H
即 sin 2 所以，过点A(2, )平行于极轴的直线方程 4 为 sin 2
2、求过A(2,3)且斜率为 的直线的极坐标方程。 2
解：由题意可知，在直 角坐标系内直线方程为 2x y 7 0 设M ( , )为直线上的任意一点， 将x cos , y sin 代入直线方程 2 x y 7 0得 2 cos sin 7 0这就是所求的极坐标方 程
sin( ) a sin
显然A点也满 足上方程。
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴
3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
解：在直线l上任意取点M ( , ) Βιβλιοθήκη (2, ) 4 MH 2 sin
练习1、求过点 A(2, )平行于极轴的直线。 4
1 3、极坐标方程 sin ( R)表示的曲线是 3 A、两条相交的直线 B、两条射线
C、一条直线
D、一条射线
1 2 2 解：由已知sin 可得 cos 3 3 2 y 2 所以得 tan 即 4 x 4 两条直线l1 : 2 x 4 y 0, l2 : 2 x 4 y 0 所以是两条相交直线
5、在极坐标系中，已知 一个圆的方程为 6 直线的极坐标方程是( C
＝12 sin( )，则过圆心与极轴垂直 的
)
A、 sin 3 3B、 sin 3 3 C、 cos 3D、 cos 3
6、在极坐标系中，与圆 ＝4 sin 相切的一条 直线的方程是 ( B ) A、 sin 2, B、 cos 2 C、 cos 4, D、 cos 4
4
思考： 5 1、求过极点，倾角为 的射线的极 4 5 坐标方程。 易得 ( 0)
4 2、求过极点，倾角为 的直线的极 4 5 坐标方程。 或
4 4
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形 式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不 方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
练习：设点P的极坐标为A( a , 0) ，直 l 线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直 线l 的极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM， MOA 中有 在
a sin( ) sin( ) 即
0
为了弥补这个不足，可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表示为
4 ( R)
或
5 ( R) 4
( 0)表示极角为的一条射线。 ＝ ( R)表示极角为的一条直线。
例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直 于极轴的直线L的极坐标方程。 解：如图，设点 M ( , ) M 为直线L上除点A外的任 意一点，连接OM ﹚ o A x 在 Rt MOA 中有
OM cos MOA OA 即 cos a 可以验证，点A的坐标也满足上式。
求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图； 2、设点 M ( , ) 是直线上任意一点； 3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于 , 的方 程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
解：由图可知围成的面 积就是扇形AOB 的面积 1 2 8 即S 4 6 3
A
O
B
X
解：圆＝4 sin 的化为直角坐标方程是 x 2 y 2 4 y 0即x 2 ( y 2) 2 4 那么一条与此圆相切的 圆的方程为 x 2化为极坐标方程为 cos 2
7、曲线＝0，＝ ( 0)和＝4所围成的 3 面积 _________ .