弹性力学10梁模型法

r
o
解：
o
z
r
r a
a
z
2rM r 2rM p r r 2rq 2 3
m= 2Mp
qr 2 Mr M p 6
Mr
r a
qa2 M p M p M p 6
ql 12
Mp a2
简支圆板：
Mr
r a
0
ql 6
Mp a2
例题2：半径为 a 的简支环板，内半径为 b ，受均布载荷 q 作用，圆板单 位塑性极限弯矩为： Mp ，求塑性极限载荷。 2rq q
M p li i M Pd cota i cot b i
n 多边形，总的内力功Wi ：
Wi M p l i i M Pd cota i cot b i
i 1 i 1
n
n
外力P 做的外力功We ：
We Pd
n
We Wi
正多边形：
Pl M P cota i cot b i
方向与外载荷在梁中产生的弯矩方向相反
梁计算模型上： 2r Mr
3. 求塑性极限载荷
r=a 处简支：M＝0
（梁右端边界条件）
2a Mr ＝0
r=a 处固支：M＝－ Mp
2a Mr ＝ － 2a Mp
例题1：半径为 a 的固支圆板，受均布载荷 q 作用，圆板单位塑性极限弯 矩为： Mp ，求塑性极限载荷。 2rq q
1. 基本假设： 1) 在薄板最大弯矩处形成塑性铰线（直线段）。 2) 沿塑性铰线的单位长度上作用着塑性极限弯矩Mp ，不计扭矩 和剪力的作用。 3) 不计弹性变形。 2. 破坏机构的确定规则： （1）薄板的破坏机构由若干板块组成，板内塑性铰线是相邻两板 块的转动轴。 有塑性铰线的固支边、简支边、过支承板中心的线都是板块的 转动轴。 板块数目等于支承边界的数目。
r
o b
解：
o
b c a
z
a
m= 2Mp
z
2 r b M p brc 2rM r 2 r b M p P r c c r a
Mr
r a
0
Pl
2 a b M p ac
10－7 多边形板的塑性极限载荷（机动法）
一、薄板的破坏机构
r
o b
解：
o
z
r
b r a
z
a
m= 2Mp
2rM r 2 r b M p
2 r b r b 2rq 2bq r b 2bq
b r b r 2b Mr 1 M p q r 6r
2
2
2
3
（2）塑性铰线在板内相交。
（3）终止在自由边界上的塑性铰线，其延长线交于相邻两板块转 动轴的交点上。该交点可能位于无穷远处。 （4）集中力作用下，塑性铰线交于载荷作用点。
二、周边简支的多边形板 在O 处受集中力P 作用
A O C a
ai b i
O
OA=li B b
P
d
d
破坏机构：角锥体
1
dr
梁计算模型
板 x o r
q(r) r
o x
m
Mx Qx
m
q(x) 极限条件：
2rMr 2rQr 2M
2rq(r) Mmax Mp
若梁和圆板的边界条 件在形式上相同，可 通过求解变量转换后 梁的问题得到圆板的 解答。
四、 梁模型计算圆板和环板的塑性极限载荷的步骤
1. 结构转换 o
Wi M Pd cota i cot b i M P ai
i 1
n
n
d
hi
i 1
d
ai cota i cot b i 1 hi
Wi 2 M Pd cota i cot b i
r
r
z
圆板的半径
o
z
r
r
梁计算模型的跨度 （只研究右半部） 梁计算模型的左端为自由端 右端与板的支承形式相同。 梁计算模型上的坐标原点 坐标为 r 的梁截面
外边界支承圆板ห้องสมุดไป่ตู้
圆板的对称轴 距圆板的对称轴为 r 处的圆截面
2. 载荷与内力转换
圆板单位面积上的载荷q(r)
圆板某一半径上的载荷P 圆板中的环向弯矩： M = Mp （极限条件） 圆板中 r 处的弯矩Mr 梁计算模型上的分布载荷 2rq(r) 梁计算模型相应位置处的集中力 P 梁计算模型上的附加均布弯矩 2 Mp
2
i ：相对转角
tan 1 tan 2
i 1 2
d
li
d
a
a li tana i b l i tan b i

d
b
i
cota i cot b i
塑性极限弯矩：MP
在塑性铰线 li 上做的内力功：
M p l i i
i
d
li
cota i cot b i
Mr
r a
0 ql
r a
a b a 2b
6M p
固支环板： Mr
M p q 6 M p 2a b l a b2 a 2b
例题3：半径为 a 的简支环板，内半径为 b ，在半径为 c 的圆周上作用线 分布载荷 p，总值为 P ，单位塑性极限弯矩为： Mp ，求塑性极 限载荷。 P p p c r
i 1
ai bi
( n 2) 2n 2 n
Pl M P cota i cot b i
i 1
n
正多边形（集中力作用在板中心）： a i b i
( n 2) 2n 2 n
Pl M P 2 tan
i 1
n

n
Pl 2nM P tan

n
n 3 : Pl 10.39M P n 4 : Pl 8M P n 5 : Pl 7.27M P n 6 : Pl 6.93M P
三、周边固支的多边形板 在O 处受集中力P 作用
D C AC=ai OD=hi D O A
bi-1
ai
O
bi
固支边上形成塑性铰线 内力功Wi ：
三、板的平衡方程
dQ( x ) q( x ) dx dM( x ) Q( x ) m dx q(x) 梁
d rQr qr dr
d ( rM r ) rQr M dr
d 2rQr 2qr dr d ( 2rM r ) 2rQr 2M