-一元二次方程的整数根

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一元二次方程的公共根与整数根(讲义)

一元二次方程的公共根与整数根(讲义)

一元二次方程的公共根与整数根一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法:设公共根,代入原方程(两个或以上),然后通过恒等变形求出参数的值和公共根.二、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况,可以用判别式24b ac ∆=-来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,当然,经常要用到一些整除性的性质.方程有整数根的条件:如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根,那么必然同时满足以下条件:⑴ 24b ac ∆=-为完全平方数;⑵2b ak -=或2b ak -=,其中k 为整数.以上两个条件必须同时满足,缺一不可.另外,如果只满足判别式为完全平方数,则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根,然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围.一、一元二次方程的公共根【例1】 求k 的值,使得一元二次方程210x kx +-=,2(2)0x x k ++-=有相同的根,并求两个方程的根.【例2】 设,,a b c 为ABC ∆的三边,且二次三项式222x ax b ++与222x cx b +-有一次公因式,证明:ABC∆一定是直角三角形.【例3】 三个二次方程20ax bx c ++=,20bx cx a ++=,20cx ax b ++=有公共根.⑴ 求证:0a b c ++=;⑵ 求333a b c abc++的值.【例4】 试求满足方程270x kx --=与26(1)0x x k --+=有公共根的所有的k 值及所有公共根和所有相异根.知识点睛例题精讲【例5】 二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ,b 为正整数)有一个公共根,求b ab a a b a b --++的值.二、一元二次方程的整数根【例6】 k 为什么实数时,关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数?【例7】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数,则符合条件的整数k 的值有_______个.【例8】 已知a 是正整数,如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数,求a 的值及方程的整数根.【例9】 若k 为正整数,且关于k 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个相异正整数根,求k 的值.【例10】 关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数.求满足条件的所有实数k 的值.【例11】 当m 为何整数时,方程222525x mx m -+=有整数解.【例12】 已知关于x 的方程24832x nx n --=和22(3)220x n x n -+-+=,是否存在这样的n 值,使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根?若存在,请求出这样的n 值;若不存在,请说明理由.【例13】 求所有有理数r ,使得方程2(1)(1)0rx r x r +++-=的所有根是整数.【例14】 已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数,求a 的值.【例15】 已知k 为常数,关于x 的一元二次方程22(2)(46)80k k x k x -+-+=的解都是整数,求k 的值.【例16】 已知p 为质数,二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数,请求出p 的所有可能的值.【例17】 已知1240m <<,且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根,求整数m .【例18】 若一直角三角形两直角边的长,a 、b ()a b ≠均为整数,且满足24a b m ab m +=+⎧⎨=⎩.试求这个直角三角形的三边长.【例19】 关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解,且a 是整数,求a 的值.【例20】 已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根,那么a = .【例21】 当m 是什么整数时,关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数.【例22】 设m 为整数,且440m <<,方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根,求m 的值及方程的根.【例23】 当m 为何整数时,方程222525x mx m -+=有整数解.【例24】 已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根,那么a = .【例25】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数,则符合条件的整数k 的值有_______个.【例26】 设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解,试确定整数m 的值,并求出这时方程所有的整数解.【例27】 已知a 是正整数,且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根,求a 的值.【例28】 已知关于x 的方程2222(38)213150a x a a x a a --+-+= (其中a 是非负整数)至少有一个整数根,求a 的值.【例29】 已知b ,c 为整数,方程250x bx c ++=的两根都大于1-且小于0,求b 和c 的值.【例30】 已知a ,b 都是正整数,试问关于x 的方程21()02x abx a b -++=是否有两个整数解?如果有,请求出来;如果没有,请给出证明.【例31】 已知方程20x bx c ++=及20x cx b ++=分别各有两个整数根12,x x 及12,x x '',且120x x >,120x x ''>. ⑴ 求证:10x <,20x <,10x '<,20x '<; ⑵ 求证:11b c b -+≤≤;⑶ 求,b c 所有可能的值.【例32】 设p q 、是两个奇整数,试证方程2220x px q ++=不可能有有理根.【例33】 试证不论n 是什么整数,方程21670s x nx -+=没有整数解,方程中的s 是任何正的奇数.【例34】 求方程33222240a b ab a b -+++=的所有整数解.【例35】 已知a 为整数,关于,x y 的方程组23(2)(1)22x y a x xy a x a +=+⎧⎨=+-+⎩的所有解均为整数解,求a 的值.【例36】 求方程2237x y x xy y +=-+的所有正整数解.【例37】 求所有的整数对(,)x y ,使32232244447x x y xy y x xy y -+-=-++.【例38】 设m 是不为零的整数,关于x 的二次方程2(1)10mx m x --+=有有理根,求m 的值.【例39】 当m 是什么整数时,关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数.【例40】a 是正整数,关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数,求a 的值及方程的整数根.【例41】 已知,a b 是实数,关于,x y 的方程组32y x ax bx y ax b⎧=--⎨=+⎩有整数解(,)x y ,求,a b 满足的关系式.【例42】 已知p 为质数,使二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数,求出所有可能的p 的值.【例43】 设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数,求满足条件的所有实数k 的值.【例44】 b 为何值时,方程 220x bx --=和22(1)0x x b b ---=有相同的整数根?并且求出它们的整数根?【例45】 已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数,那么符合条件的整数a 有___________个.【例46】 求所有正实数a ,使得方程240x ax a -+=仅有整数根.【例47】 方程()(8)10x a x ---=有两个整数根,求a 的值.【例48】 求所有的正整数a ,b ,c 使得关于x 的方程222320,320,320x ax b x bx c x cx a -+=-+=-+=的所有的根都是正整数.【例49】n 为正整数,方程21)60x x -++-=有一个整数根,则n =__________.【例50】 求出所有正整数a ,使方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根.【例51】 已知方程22(1)2(51)240a x a x --++=有两个不等的负整数根,则整数a 的值是__________.【例52】 不解方程,证明方程2199719970x x -+=无整数根【例53】 已知方程219990x x a -+=有两个质数根,则常数a =________.【例54】 已知方程210x mx m +-+=有两个不相等的正整数根,求m 的值.【例55】 当m 是什么整数时,关于x 的方程2(1)10x m x m --++=的两根都是整数?【例56】 设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解,试确定整数m 的值,并求出这时方程所有的整数解.【例57】 已知a 是正整数,如果关于x 的方程()()321738560x a x a x +++--=的根都是整数,求a 的值及方程的整数根.【例58】 若k 为正整数,且关于k 的方程()()221631720k x k x ---+=有两个相异正整数根,求k 的值.【例59】 设a 为质数,b c ,为正整数,且满足()()2922509410225112a b c a b c b c ⎧+-=+-⎪⎨-=⎪⎩ 求()a b c +的值.。

第1讲一元二次方程的根与解法学生版

第1讲一元二次方程的根与解法学生版

初中数学联赛体系第1讲 一元二次方程的根与解法【知识要点与基本方法】 一、一元二次方程基本概念1、概念:只含有一个未知数x 的整式方程,并且都可以化为20ax bx c ++=(,,a b c 为常数,0a ≠)的形式的方程叫做一元二次方程.2、一元二次方程必须满足的三大条件 (1)整式方程(2)含有一个未知数(3)未知数的最高次数为2 3、一元二次方程的一般形式形如关于x 的一元二次方程:)0(02≠=++a c bx ax 的形式,(它的特征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式,方程右边是零,其中2ax 叫二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项.注意b 、c 可以是任何实数,但a 绝对不能为零)二、一元二次方程的根与解法1、一元二次方程的根0x x =是方程20ax bx c ++=(,,a b c 为常数,0a ≠)的根的充要条件是0020=++c bx ax . 2、直接开平方法解一元二次方程:(1)把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式,另一边是非负数的形式,即化成)0()(2≥=±a a b x 的形式(2)直接开平方,解得a b x a b x -=+= 21,3、配方法的定义:通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法.【注】、用配方法解一元二次方程的步骤:(1)利用配方法解一元二次方程时,如果02=++c bx ax 中a 不等于1,必须两边同时除以a ,使得二次项系数为1.(2)移项,方程的一边为二次项和一次项,另一边为常数项。

(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

(4)用直接开平方法求出方程的根. 4、公式法解一元二次方程(1)对于一元二次方程02=++c bx ax 其中0≠a ,由配方法有22244)2(aacb a b x -=+, ①当042≥-ac b 时,得aacb b x 242-±-=;②当042<-ac b 时,一元二次方程无实数解.(2)公式法的定义:利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法.(3)运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤:①必须把一元二次方程化成一般式02=++c bx ax ,以明确a 、b 、c 的值; ②再计算ac b 42-的值:当04Δ2≥-=ac b 时,方程有实数解,其解为:aacb b x 242-±-=;当04Δ2<-=ac b 时,方程无实数解. 5、因式分解解一元二次方程(1)分解因式法解一元二次方程:当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的积时,可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解,这种解一元二次方程的方法称为分解因式法.(2)分解因式法的理论依据是:若0=⋅b a ,则0=a 或0=b (3)用分解因式法解一元二次方程的一般步骤: ①将方程的右边化为零;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积; ③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,他们的解就是一元一次方程的解.6、含字母系数一元二次方程的解法解关于含字母系数的方程,要求对每个参数允许值回答:方程是否有解?若有解,写出解集.特别地,当二次项系数含有字母系数时,如果题目本身没有指明时一元二次方程,则必须对二次项系数讨论是否为零.【例1】 1、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零,则m 的值为_________. 2、若方程()112=⋅+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 . 【例2】1、用分解因式法解下列方程(1)01032=--x x (2)01762=+-x x (3)0625412=-+x x (4)021)1(4)1(2=----x x . 2、利用求根公式求解下列方程(1) 0222=--x x (2)010342=+-x x(3)()()()()5211313+-=+-x x x x (4)061054422=--++-p x p px x【对应训练】:1、用公式法解下列方程(1)0232=+-x x (2)2212x x -=- (3)x x 3)1(2-=+(4)1(61)432(2)2x x x x ++-=+ (5)023222=--+-n mn m mx x【例3】解下列方程(1)42200x x --=;(2)06)13(2)32(2=----x x ;(3).02)23()21(2=++-+x x【例4】解下列方程 (1)4122+-=x x(2)112432--=-+x x x【例5】解关于x 的方程 (1);0)(222=++-ab x b a abx(2).)1()1()232(22222b x x ab a x x -=+---【例6】1、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为 .2、设b a 、是整数,方程02=++b ax x 有一个根是347-,则=+b a .3、已知02=++c bx ax )0(≠ac 有一个根是3,则方程02=++a bx cx 一定有一个根是 ,方程02=+-a bx cx 一定有一个根是 .4、已知两数积1≠ab ,且03123456789022=++a a ,02123456789032=++b b ,则=ba【例7】已知方程p x x =--)97)(19(有实根21,r r ,试求方程p r x r x -=--))((21的最小实根.【例8】求k 的值,使得两个一元二次方程0)2(,0122=-++=-+k x x kx x 有公共根,并分别求出这两个方程的解集.【例9】对于任意实数,k 方程04)(2)1(2222=++++-+b k k x k a x k 都有实根1,试求另一个根的最大值与最小值.【例10】已知方程)0(2>=++a x c bx ax 的两根21x x 、满足ax x 1021<<<.当10x x <<时,证明:12x c bx ax x <++<.【例11】已知首项系数不相等的两个一元二次方程0)2()2()1(,0)2()2()1(222222=+++--=+++--b b x b x b a a x a x a 有公共根.(1)求证:.2++=b a ab(2)若b a ,为正整数,求ab ab ba b a --++的值. (3)设0x 为公共根,求证:.048403040>++-x x x【课后强化训练】A 组1、下列方程中,是一元二次方程的序号是①042=-y y ; ②0322=--x x ; ③312=x; ④bx ax =2; ⑤x x 322+=; ⑥043=+-x x ; ⑦22=t ; ⑧0332=-+xx x ; ⑨22=-x x ; ⑩)0(2≠=a bx ax2、已知方程3ax 2-bx -1=0和ax 2+2bx -5=0,有共同的根1-,则a = ,b = .3、已知a 2-5ab +6b 2=0,则abb a +等于 4、在实数范围内分解因式:=--12x x ;=++-223y xy x5、等腰三角形的两边的长是方程091202=+-x x 的两个根,则此三角形周长为 6、已知042=+-b x x 的一根的相反数为042=-+b x x 的根,则042=-+bx x 的根是 7、已知0132=+-a a ,那么=++--2219294a a a ___________. 8、方程019991997199822=⋅++x x 的解是 . 9、若1≠ab ,且07200552=++a a ,05200572=++b b ,则_________=ba. 10、已知方程(2011x)2-2010·2012x -1=0的较大根为a ,方程x2+2010x -2011=0的较小根为b ,则a -b =__________.11、方程0672=+-x x ,各根的和是 .12、若31028-是方程02=++b ax x 的一个根(其中b a 、是有理数),则ab 的值是 . 13、用公式法解下列各方程(1)x 2+6x +9=7 (2)017122=++x x(3)08242=+-x x (4)4)3)(12(=--x x(5)02)82(42=++-y y (6)02322=--x x(7))3)(21()12(5+-=-x x x14、用因式分解法解下列方程:(1)t (2t -1)=3(2t -1); (2)y 2+7y +6=0;(3)y 2-15=2y (4)(2x -1)(x -1)=1.(5))3)(21()12(5+-=-x x x (6)10x 2-x -3=015、解下列方程(1)0)34()45(22=---x x ; (2)06)23(2=++-x x ;(3)0154)35(222=----x x ; (4)02)32()347(2=----x x ;(5)629332+=-+++x x x x .16、已知两个二次方程02=++b ax x ,02=++d cx x 有一个公共根1,求证:二次方程0222=++++db xc a x 也有一个根为1.17、求方程072=--kx x 与()0162=+--k x x 的公共根.B 组1、已知c b 、为方程02=++c bx x 的两个根,且0≠c ,c b ≠.则c b 、的值分别是 、2、已知正实数a b c ,,满足方程组222229217226a b ac b c ab c a bc ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩,则a b c ++的值是3、关于x 的方程1)12(62++-=m x m x 有一根α,满足不等式:19981998≤≤-α,且使得α53为整数,则m 可取 个值.4、已知02=++c bx ax 的两根和为1S ,两根平方和为2S ,两根立方根为3S ,则123cS bS aS ++的值是5、已知1=x 是方程02=++c bx ax 的根,0≠abc .则)111(32333222cb ac b a c b a +++++++的值是 .6、(2012湖北随州)设0122=-+a a ,01224=--b b ,且012≠-ab ,52213⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+a a b ab 的值是 .7、解下列关于x 的方程(1)03222=-+m x m x ; (2)0))()((=+++++++abc b a x a c x c b x ;(3))0(0)(33442≠=++-ab b a x b a abx ;(4)0)3(2)1(2=+--+m x m x m ;(5)02)5(522=--+-x m x m )(.8、已知下面三个方程有公共根.02=++c bx ax ,02=++a cx bx , 02=++b ax cx .求证:abc c b a 3333=++.9、设等腰三角形的一腰与底边长分别是方程062=+-a x x 的两根,当这样的三角形只有一个时,试求a 的取值范围.10、若21q q 、是方程02=++b ax x 的两个实根,且0,21≠≠b q q .又21c c 、是任意两个实数,则n n n q c q c x 2211+=是方程021=++--n n n bx ax x 的解.11、设2121,,,b b a a 都是实数,21a a ≠,且1))(())((22122111=++=++b a b a b a b a ,求证:1))(())((22211211-=++=++b a b a b a b a .初中数学联赛体系第2讲 可化为一元二次方程的方程(组)模块一、特殊高次方程的解法次数超过2的整式方程称为高次方程.一般地高次方程没有统一的求解方法.对于一些特殊的高次方程,可通过降次,转化为一元二次方程或一元一次方程求解.转化的方法有因式分解法、换元法、变换主元法等.【例1】解下列方程(1)13322)132(222+-=+-x x x x(2)222222)143()352()2(+-=+-+-+x x x x x x(3).3123=--x x x(4).022224223=-+++x x x(5)062536506650362562345678=+-+-+-+-x x x x x x x x【例2】解方程.02)65(2)11(2102234=++++---a a x a x a x x 其中a 是常数.【例3】方程02=++b ax x 有两个不同的实数根.求证:方程01)2(234=+--++ax x b ax x 有4个不同的实数根.模块二、特殊分式方程的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程,求解分式方程总的原则是通过去分母或换元,时期转化为整式方程,然后再求解.在这个过程中离不开分式的恒等变形,如通分、约分及降低分子的次数等等,这就有可能使未知数的范围扩大(或缩小),从而使方程产生增根(或遗根),因此,当未知数的范围扩大时,需验根。

第五讲一元二次方程的整数整数解

第五讲一元二次方程的整数整数解

第五讲一元二次方程的整数整数解从求根入手,求出根的有理表达式,利用整除求解;从判别式手,运用判别式求出参数或解的取值范围,或引入参数(设厶= k2),通过穷举,逼近求解;从韦达定理入手,从根与系数的关系式中消去参数,得到关于两根的不定方程,借助因数分解、因式分解求解;从变更主元入人,当方程中参数次数较低时,可考虑以参数为主元求解.注:一元二次方程的整数根问题,既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识,又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关.【例题求解】【例1】若关于x的方程(6_k)(9_k)x2 _(117_15k)x 54=0的解都是整数,则符合条件的整数是的值有__________ 个.注:系数含参数的方程问题,在没有指明是二次方程时,要注意有可能是一次方程,根据问题的题设条件,看是否要分类讨论.【例2】已知a、b为质数且是方程x2 -13x c =0的根,那么- -的值是()a b127 A. -22125B.22C.12322121D.——22【例3】试确定切有理数r ,使得关于x的方程rx2 (r 2)x r 0有根且只有整数根【例4】当m为整数时,关于x的方程(2m-1)x2 -(2m 1)x ^0是否有有理根?如果有,求出m的值;如果没有,请说明理由.注:一元二次方程ax2 bx 0 (a^ 0)而言,方程的根为整数必为有理数,而△=b2-4ac为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件.【例5】若关于x的方程ax2 -2(a -3)x • (a -13) =0至少有一个整数根,求非负整数a的值. 思路点拨因根的表示式复杂,从韦达定理得出的a的两个关系式中消去a也较困难,又因a的次数低于x的次数,故可将原方程变形为关于a的一次方程.学历训练1已知关于X的方程(a_1)x2• 2x_a _1 =0的根都是整数,那么符合条件的整数a有_____ .2.已知方程x2 -1999x • m =0有两个质数解,则m = _____________ .3 .给出四个命题:①整系数方程ax2 bx ^0(a^ 0)中,若△为一个完全平方数,则方程必有有理根;②整系数方程ax2 bx ^0(a^0)中,若方程有有理数根,则△为完全平方数;③无理数系数方程ax2 bx・c =0(a z0)的根只能是无理数;④若a、b、c均为奇数,则方程ax2 bx 0没有有理数根,其中真命题是_____________________________________ .4. 已知关于x的一元二次方程x2(2a-1)x a2=0 (a为整数)的两个实数根是为、x?,则肿1 -肿2 = __________ .5. 设rn为整数,且4<m<40 ,方程x2-2(2m—3)x ■ 4m2-14m ・8=0有两个整数根,求m的值及方程的根.(山西省竞赛题)6. 已知方程ax2 -(3a2 -8a)x 2a2 -13a 1^0 (a丰0)至少有一个整数根,求a的值.7. 求使关于x的方程kx2 (k 1)x k-^0的根都是整数的k直&当n为正整数时,关于x的方程2x2 -8nx,10x-n2• 35n-76=0的两根均为质数,试解此方程.9.设关于x的二次方程(k2 -6k,8)x2 (k2 -6k-4)x,k2 =4的两根都是整数,试求满足条件的所有实数k的值.10•试求所有这样的正整数a,使得方程ax2 2(2a -1)x 4(a _3) =0至少有一个整数解.11 •已知p为质数,使二次方程x2 -2px p2 _5p-1 =0的两根都是整数,求出p的所有可能值.12 .已知方程x2,bx,c=0及x2cx 0分别各有两个整数根X i、X2及x;、X2,且X i x2>0, x1 x2>0.(1)求证:X1<0, X2<0, x;<0, X2< 0; (2)求证:b-1_c_b,1 ; (3)求b、c所有可能的值.13.如果直角三角形的两条直角边都是整数,且是方程mx2 -2x-m V=0的根(m为整数),这样的直角三角形是否存在?若存在,求出满足条件的所有三角形的三边长;若不存在,请说明理由.4 =】+参考答案 E]一元二次方程的整数解 【例题求解】 5 当A = G 时,褐工=触当4=9时,得J--3,当内工6且世H9时•辉得耳《» 吕,斗=諾亍当&一人=±]*±氛工9 时‘比足整数*这时i = 7,5t 3 +15.-3t 当9一*=士1・土2*士3, ±6时.去是整数"这时居■ 10*8,11,7,12*15*3.编上所 述丄=3飞,7,415时酿方程的解为整忆 B a + b=\3.则 口/为 2T inc-a&=22. 门】当r=0时,得a 三寺不見整数; 怡〉当『工0时*设方程的两根为釘•业〈药£比)•则小+立=一宁,4片=弓于 , 2J -|^7Z —(X )JJ )=烈〒)+千 =3,有(2乃一1〉(2忌一】)= 7 丫百凤 为整数•且寸冬工“解得或 r=l f故所求一切有理数$为一专或】.若心・”2伽为l)I +^=n J (n + 2?M —l>(n —2m+ 1) — 4'n+ (2m — 1)=2 f n+ (2wI, n — (2m —1) = 2 i n~ ( Zm~'7 n + (2rn — 1)与n — (2m — 1 )奇偶性相同"故只可能有此与榊为整数矛盾•故心不可惟为完全平方数,方程不可能有有理报.a == ,;+ ;;;尹】①*解得:一2云才疼B 且 —l f j=— 2,0.1,2,3»4T 5»€ 分别代入①*得a=l+13・《的分数值已舍去》 【学力训练】-l-~y z. 3994 3.①②④ 4. ±1 5. A=4(2m +I)为完全平方数.又m 为4<m<40的整数.则m=12或24.当讯=讣时"劝=lh 业=2餉当« = 24时*$ = L 5 当<1=1时+z=l*当口工1时,工1 = 1*壮 38. Xj ="52. 6-显然 a^0t JT\ —2— ,JT E = 1 ——,从而可得 q « a T.当* = 0时山="当AH1时.设两个整数帳为有 1,3 或 5” ①①—②,得 X1 — JTi j r ==2②化(JL -DC JJ —1) = 3=1X3= ( — 1)X(-3),解得曲+壮=6 或巧 + 壮= -2. 即一 1_* = 6或_ 1_+ = _氛解得A=-y 或&="故稠足要或的点值为o>-y*i. 8-设陶顶数根为站申,.则及+找=4“一5为奇數皿曲必一避一偶+不妨设TI =2,代人原方程得M r -19H^18=O,W 得眄 =16 •检=日■当n = 16时.x? = 57$当丹=3时*斗―5. jTTg •消去氏得盘】找+3刁+2 = 0.即.Tn (令+3) = — 2. fjj -21 + 3I E + 3 — 1lw- 4#;廟:!鼻1.解得一4£工翟2,讨论得d=l*3,e 」0.11・6=4, 一4(p'-5p-l〉= 4(5p+l)为完全平方数•从而5/>+1为完全平方散・令5p+l«/i\注意到p>2.故n>4.且n 为赧数•于是5p-<n*l)(n-l).则”+1“一1中至少有一个是5的倍数・刃” =5&土1"为轅数) A5#>+l«25^±10*+l,p=*(5*±2)・由P为质».5*±2>1知*=】"■ 3或7•当p = 3时•原方程变为x:-6x-7 = 0.得小=一1•比=7$当p=7时•原方程变为^-Ux+B-O,得xi-=bx t-13.所以“一3 或7・12・假设Jj>0. lf| xjx:>0 知x,>0.Xi +x:" —6= i•还与已知Xi jfz>O.x\x\>0 矛馬•故Xi <0#x:<0.ffl)理/V0*V0・(2)<~(6-1) = ^^:+^|4-^ + 1 = (^ + 1)(^ + 1)>0»故对于方程”+工+6一0 进行同样讨论■得综上有6-l<c<6+l.(3)①当 *・6+1 时才<・一4 一亠 + 1・从而(T)+ l)(j-r + 1)=2=( —1) K(—2) = 1 X2."+1・一1 fxi +1 = —2故 - 。

一元二次方程整数解问题

一元二次方程整数解问题

一元二次方程整数解问题
对于“一元二次方程整数解问题”,我们首先一起来理解这个问题。

一元二次方程是数学中一种基础的方程形式,形如ax²+bx+c=0,其中a,b,c为已知数,x为未知数。

而整数解,则是指这个方程的解为整数。

给定一元二次方程ax²+bx+c=0,要求其整数解,我们需要先判断此方程是否有解。

这需要用到判别式Δ=b²-4ac。

如果Δ大于等于0,方程才有解。

得出两个根分别为x1=(-b+sqrt(Δ))/2a和x2=(-b-sqrt(Δ))/2a。

然后我们需要判断这两个根是否为整数。

即判断sqrt(Δ)是否为2a的倍数。

如果是,那么这两个解就为整数解。

例如,对于一元二次方程2x²-3x-2=0,首先计算判别式Δ=(-3)²-(4*2*-2)=25,然后求解得到两个根为x1=(3+sqrt(25))/2*2=5/2和x2=(3-sqrt(25))/2*2=-1/2。

可以看到这两个解都不是整数,所以这个方程没有整数解。

再例如,对于一元二次方程x²-5x+6=0,首先计算判别式Δ=(-5)²-(4*1*6)=1,然后求解得到两个根为x1=(5+sqrt(1))/2=3和x2=(5-sqrt(1))/2=2。

可以看到这两个解都是整数,所以这个方程的整数解为3和2。

通过以上的分析,你应该对一元二次方程整数解问题有所理解了。

若方程有解并且根为整数,则该方程有整数解;若没有解或者虽有解但解不为整数,则该方程没有整数解。

这就是一元二次方程整数解问题的全部内容。

专题培优-一元二次方程的整数根(含答案)

专题培优-一元二次方程的整数根(含答案)

一元二次方程的整数根1.使一元二次方程x2+3x+m=0有整数根的非负整数m的个数为( ).A. 0B. 1C. 2D. 32.满足(n2-n-1)n+2=1的整数n有________个.3.已知关于x的方程(a-1)x2+2x-a-1=0的根都是整数,那么符合条件的整数a有________个.4.方程x2+px+q=0的两个根都是正整数,并且p+q=1992,则方程较大根与较小根的比等于________.5.已知k为整数,且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相同的正整数根,则k=________.6.关于x的一元二方程4x2+4mx+m2+m-10=0(m为正整数)有整数根,则满足条件的m值的个数为________个.7.已知关于x的方程((m2−1)x2−3(3m−1)x+18=0有两个正整数根(m是整数).△ABC的三边a,b,c满足c=2√3,m2+a2m−8a=0,m2+b2m−8b=0.求:(1)m的值;(2)△ABC的面积.8.当k为何整数时,方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0有两个不相等的正整数根?9.当n为何整数时,关于x的一元二次方程x2-3nx+2n2-6=0的两根都为整数?10.求这样的正整数a,使得方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0至少有一个整数解.11.设关于x的一元二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4的两根都是整数,求满足条件的所有实数k的值.12.已知m,n为正整数,关于x的方程x2-mnx+(m+n)=0有正整数解,求m,n的值.13.k为何值时,关于x的方程x2-4mx+4x+3m2-2m+4k=0的根是有理数?14.已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两个根都大1,求a+b+c的值.15.已知一元二次方程x2+ax+b=0,①有两个连续的整数根,一元二次方程x2+bx+a=0,②有整数根,求a,b的值.答案1.C2.43.54.9975.26.47.解:(1)∵关于x 的方程(m 2-1)x 2-3(3m -1)x +18=0有两个正整数根(m 是整数).∵a =m 2-1,b =-9m +3,c =18,∴b 2-4ac =(9m -3)2-72(m 2-1)=9(m -3)2≥0,设x 1,x 2是此方程的两个根,∴x 1•x 2=c a =18m 2−1,∴18m 2−1也是正整数,即m 2-1=1或2或3或6或9或18, 又m 为正整数,∴m =2;(2)把m =2代入两等式,化简得a 2-4a +2=0,b 2-4b +2=0当a =b 时,a =b =2±√当a ≠b 时,a 、b 是方程x 2-4x +2=0的两根,而△>0,由韦达定理得a +b =4>0,ab =2>0,则a >0、b >0.①a ≠b ,c =2√3时,由于a 2+b 2=(a +b )2-2ab =16-4=12=c2 故△ABC 为直角三角形,且∠C =90°,S △ABC =12ab =1.②a =b =2-√2,c =2√3时,因2(2−√2)<2√3,故不能构成三角形,不合题意,舍去. ③a =b =2+√2,c =2√3时,因2(2+√>2√3,故能构成三角形.S △ABC =12×(2√)×√=√综上,△ABC 的面积为1或√. 8.解:∵k 2-1≠0∴k ≠±1∵△=36(k -3)2>0∴km ≠3用求根公式可得:x 1=6k−1,x 2=12k+1∵x 1,x 2是正整数∴k -1=1,2,3,6,k +1=1,2,3,4,6,12,解得k =2.这时x 1=6,x 2=4. 9.解:原方程变形得(x −2n)(x −n)=6,∵x ,n 均为整数,∴原方程化为{x −2n =±2,x −n =±3或{x −2n =±3,x −n =±2或{x −2n =±6,x −n =±1或{x −2n =±1,x −n =±6,解得n =-1或1或-5或5.10.解:原方程变形为(x +2)2a =2x +7(x ≠−2),解得a =2x +7(x +2)2.∵a ≥1,∴2x +7(x +2)2⩾1,∴-3≤x ≤1,∴x 可取值为-3,-1,0,1,分别代入a =2x +7(x +2)2中,解得a =1或a =5或a =74或a =1.又∵a 是正整数,∴当a =1或a =5时,方程至少有一个整数解. 11.解:原方程可化为[(k −4)x +(k −2)][(k −2)x +(k +2)]=0,∵k 2−6k +8=(k −4)(k −2)≠0,∴x 1=−k−2k−4=−1−2k−4,x 2=−k +2k−2=−1−4k−2, ∴k −4=−2x 1+1,k −2=−4x 2+1(x 1≠−1,x 2≠−1),消去k ,得x 1x 2+3x 1+2=0. ∴x 1(x 2+3)=−2.由于x 1,x 2都是整数,∴{x 1=−2,x 2+3=1或{x 1=1,x 2+3=−2或{x 1=2,x 2+3=−1.或{x 1=−2,x 2=−2或{x 1=1,x 2=−5或{x 1=2,x 2=−4. ∴k =6或3或103.经检验均满足题意.12.解:设方程x 2−mnx +(m +n )=0的两根分别为:x 1,x 2,∵m ,n 为正整数,∴x 1+x 2=mn >0,x 1⋅x 2=m +n >0,∴这两个根x 1,x 2均为正数,又∵(x 1−1)(x 2−1)+(m −1)(n −1)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1−[mn −(m +n )+1]=(m +n )−mn +1+[mn −(m +n )+1]=2, 其中(x 1−1)(x 2−1),m −1,n −1均非负,而为两个非负整数和的情况仅有0+2;1+1;2+0.∵(x 1−1)(x 2−1)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1=m +n −mn +1,(m −1)(n −1)=mn −(m +n )+1,∴{m +n −mn +1=0mn −(m +n)+1=2或{m +n −mn +1=1mn −(m +n )+1=1或{m +n −mn +1=2mn −(m +n)+1=0,解得:{m =2n =3或{m =3n =2或{m =2n =2或{m =1n =5或{m =5n =1.13.解:根据题意得:△=(-4m +4)2-4×(3m 2-2m +4k )=4(m 2-6m +4-4k ),∵方程的解为有理数,∴4(m 2-6m +4-4k )是一个完全平方数,即4-4k =9,解得:k =-54. 14.解:设方程x 2+ax +b =0的两个根为α,β,∵方程有整数根,设其中 α,β为整数,且α≤β,则方程x 2+cx +a =0的两根为α+1,β+1,∴α+β=-a ,(α+1)(β+1)=a ,两式相加,得 αβ+2α+2β+1=0,即 (α+2)(β+2)=3,∴{α+2=1β+2=3或{α+2=−3β+2=−1.解得{α=−1β=1或{α=−5β=−3.又 ∵a =-(α+β)=-[(-1)+1]=0,b =αβ=-1×1=-1,c =-[(α+1)+(β+1)]=-[(-1+1)+(1+1)]=-2, 或a =-(α+β)=-[(-5)+(-3)]=8,b =αβ=(-5)×(-3)=15,c =-[(α+1)+(β+1)]=-[(-5+1)+(-3+1)]=6, ∴a =0,b =-1,c =-2;或者a =8,b =15,c =6,∴a +b +c =0+(-1)+(-2)=-3或a +b +c =8+15+6=29,故a +b +c =-3,或29.15.解:设方程①的两个根式n ,n +1,则{n +(n +1)=−a n(n +1)=b∴a =-(2n +1),b =n (n +1),则方程②可变为x 2+n (n +1)x -(2n +1)=0③,∵方程③有整数根,视n 为主元,∴n 2x +n (x -2)+x 2-1=0④有整数解,∴设△=(x -2)2-4x (x 2-1)=x 2+4-4x 3=p 2(p 为正整数),∴x 2(1-4x )=(p +2)(p -2)⑤.∵p +2>p -2,∴{p +2=x 2p −2=1−4x ⑥,{p +2=x p −2=(1−4x)x ⑦,{p +2=1−4x p −2=x2⑧,{p +2=(1−4x)x p −2=x ⑨, 由⑥得:x 2+4x -1=0,解得:x 1=-5,x 2=1,把x 1=-5代入③得:n =-3或n =85(不合题意,舍去),当n =-3时,a =5,b =6, 把x 2=1代入③得:n 1=0,n 2=1,当n =0时,a =-1,b =0,当n =1时,a =-3,b =2, 对⑦,⑧,⑨继续讨论.综上所述,{a =−1b =0或{a =−3b =2或{a =5b =6.。

一元二次方程整数根的条件

一元二次方程整数根的条件

一元二次方程整数根的条件摘要:一、一元二次方程的基本概念二、整数根的定义与性质三、一元二次方程整数根的条件1.判别式的取值范围2.方程系数的关系3.韦达定理的应用四、实例分析与求解五、总结与拓展正文:一、一元二次方程的基本概念一元二次方程是数学中的一种基本方程,其一般形式为:ax + bx + c = 0,其中a、b、c为已知常数,且a ≠ 0。

在一元二次方程中,x为未知数,代表着方程的解。

二、整数根的定义与性质整数根是指一元二次方程的解为整数的情况。

在一元二次方程中,若存在整数根,则该方程的判别式D = b - 4ac需满足整数要求。

此外,整数根具有以下性质:1.两个整数根的和与积分别为-b/a 和c/a。

2.整数根的个数可能为0、1或2。

三、一元二次方程整数根的条件1.判别式的取值范围当D = b - 4ac满足以下条件时,一元二次方程有整数根:(1)D ≥ 0,即判别式非负;(2)当D > 0时,方程有两个不同实数解,其中一个为整数。

2.方程系数的关系在一元二次方程中,当a、b、c满足以下关系时,可能存在整数根:(1)a、b、c为整数;(2)a ≠ 0,且a为平方数;(3)b为偶数,或b为奇数且a、c为互质的奇数。

3.韦达定理的应用韦达定理指出,一元二次方程的两个根之和与两个根之积可以用方程的系数表示。

在求解一元二次方程整数根时,可以利用韦达定理进行计算。

四、实例分析与求解以下为一元二次方程整数根的求解实例:方程:x - 3x + 2 = 0解:首先求判别式D = b - 4ac = 9 - 4×1×2 = 1。

由于D为正,方程有两个不同实数解。

根据韦达定理,可得:x1 + x2 = 3,x1 × x2 = 2根据以上条件,可以求得方程的两个根:x1 = 1,x2 = 2五、总结与拓展本篇文章介绍了一元二次方程整数根的条件,包括判别式的取值范围、方程系数的关系以及韦达定理的应用。

一元二次方程整数根-教师版

一元二次方程整数根-教师版

板块一.元二次方程的整数根问题1.有理数根问题方程20ax bx c ++=(0a ≠,a 、b 、c 均为有理数)的根为有理数的条件是:∆为有理数 2.整数根问题一元二次方程有正(负、非正、非负)整数根,用十字相乘或公式法求出两个根,并将两根化简,分子部分不能有字母,再讨论整数根, 并考虑根为正(负、非正、非负)数。

例如:3x=m2m-1x=m 2m-3x=m+1a-3+9-4a x=a一元二次方程有整数根,但用十字相乘或公式法求出的两个根含有根号时,如a -39-4ax=a±,要利用换元法,设9-4a =k ,得出29-k a=4,将x 中的a 全部替换,得出两个不含根号的解,再讨论整数根问题,方法同上;若△=4a 2-9且a 为整数,则设4a 2-9=k 2,4a 2- k2=9,可得(2a-k )(2a+k)=9,则讨论整数X 整数=9,讨论出所有满足情况的整数即可,注意k ≥0注意:若方程至少有一实数根,那么通过x1,x2推出的相关字母的值,应该取全部情况;若方程有两个实数根(已经确定方程为一元二次方程),那么通过x1,x2推出的相关字母的值,应该取公共解。

板块二.一元二次方程的应用1.增长率问题2.商品利润问题3.图形面积问题4.传播问题5.动点问题一.元二次方程的整数根问题1.有理数根问题【例1】 已知关于x 的一元二次方程22131(1)0444x mx k m k k +-+--+=有有理根,求k 的值。

【答案】∵原方程的根为有理根221314[(1)]444m k m k k ∆=-⨯⨯-+--+2231(1)44m k m k k =+++++所以∆为完全平方式,因此22131()244k k k +=++,整理得230k k +=一元二次方程整数根与实际应用新知学习基础演练解得0k =或13k =-【练一练】设m 是不为零的整数,关于x 的二次方程2(1)10mx m x --+=有有理根,求m 的值. 【解析】一个整系数的一元二次方程有有理根,那么它的判别式一定是完全平方数.令22(1)4m m n ∆=--=,其中n 是非负整数,于是2261m m n -+=,所以22(3)8m n --=, 由于33m n m n -+--≥,并且(3)(3)8m n m n -+--=是偶数, 所以3m n -+与3m n --同奇偶,所以 3432m n m n -+=⎧⎨--=⎩,或3234m n m n -+=-⎧⎨--=-⎩. 所以61m n =⎧⎨=⎩,或01m n =⎧⎨=⎩(舍去).所以6m =,这时方程的两个根为12,13.点评:一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根,那么它的判别式一定是完全平方数,然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决.【答案】6m =【例2】 对于任意实数x ,二次三项式22134x mx m m ++-+是一个完全平方式,求m 的值 【解析】略【答案】由题意得2231()24m m m =-+,整理得25410m m +-=解得15m =或1m =- 2.整数根问题【例3】 已知方程21404x x n -+=的根都是整数,求正整数n 的值;【答案】根据题意得,16n ∆=-416821612nx n ±-==±-∵原方程的根均为整数,且n 为正整数 ∴7n =或12n =或15n =【例4】 设m 为整数,且440m <<,方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根,求m 的值及方程的根.【解析】4(21)m =+△为完全平方数,又m 为440m <<的整数,则12m =或24.当12m =时,116x =,226x =;当24m =时,338x =,452x =.点评:测及一元二次方程的整数根问题,一般用公式法把根表示出来,再让其为整数即可;或先让24b ac -为完全平方数,再检验.当然测及二次项系数的讨论更容易错.【答案】当12m =时,116x =,226x =;当24m =时,338x =,452x =.【练一练】已知1240m <<,且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根,求整数m .【解析】由原方程由整数解可知,224(1)44(21)m m m ∆=+-=+必然是一个完全平方数.又1240m <<可知,252181m <+<,又21m +为奇数,故214924m m +=⇒=. 此时原方程的两个实数根为:1,22(1)501422m x +±∆±==,不妨设12x x >,则132x =,218x =故24m =.满足∆为完全平方数只是条件之一,另外一个条件也必须同时满足,要引起注意.【答案】24m =【例5】 已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根,那么a = .【解析】∵0a ≠,∴由公式法可得()2212382322a a a a x a a -++==-,()2222382512a a a a x a a --+==-.即135a =,,. 【答案】1、3、5【练一练】b 为何值时,方程 220x bx --=和22(1)0x x b b ---=有相同的整数根?并且求出它们的整数根?【解析】两式相减,整理得(2)(2)(1)b x b b -=-+,当2b ≠时,1x b =+,代入第一个方程,得2(1)(1)20b b b +-+-= 解得1b =,2x =当2b =时,两方程无整数根. ∴1b =,相同的整数根是2 【答案】1b =,相同的整数根是2【例6】 已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数,求a 的值.【解析】本题的难点在于a 并不是整数,如果在采用求根公式,然后讨论∆是否为完全平方数,难度不小,因此本题采用韦达定理来求解【答案】设方程2(6)0x a x a +-+=的两个根为1x 、2x根据题意得12126x x a x x a +=-⎧⎨⋅=⎩①②,将②代入①,整理得12126x x x x +=- ∴212267111x x x x -==-++∵1x 、2x 均为整数 ∴21x +的值为1±或7± 当211x +=时,20x =,16x =,0a = 当211x +=-时,22x =-,18x =-,16a = 当217x +=时,26x =,10x =,0a = 当217x +=-时,28x =-,12x =-,16a = 综上所述,0a =或16a =【例7】 求方程2237x y x xy y+=-+的所有正整数解. 【解析】原方程可化为关于x 的一元二次方程223(37)370x y x y y -++-=.由于x 为实数,则判别式不小于0,即[]22(37)43(37)0y y y ∆=-+-⨯-≥. 化简得227126490y y --≤,解得211439-≤211439y +≤.由于y 是正整数,则y 只能取1,2,3,4,5.分别将1,2,3,4,5y =代入原方程, 得原方程的两组正整数解为1145x y =⎧⎨=⎩,2254x y =⎧⎨=⎩.【答案】1145x y =⎧⎨=⎩,2254x y =⎧⎨=⎩【例8】 当m 是什么整数时,关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数.【解析】由题意可知,方程2440mx x -+=的判别式21(4)1616(1)01m m m ∆=--=-≥⇒≤ 方程2244450x mx m m -+--=的判别式为222(4)4(445)4(45)0m m m m ∆=---=+≥故54m ≥-,又m 为整数,0m ≠,故1m =-或1m =当1m =时,题干中的两个方程分别为2440x x -+=、2450x x --=,满足题意; 当1m =-时,题干中的两个方程分别为2440x x +-=、2430x x ++=,不合题意.故1m =.也可通过方程是否有整数根的条件来判断出1m =,此时两个判别式都要是完全平方数.【答案】1m =【练一练】一直角三角形的两直角边长均为整数,且满足方程2(2)40x m x m -++=,试求m 的值及此直角三角形的三边长【解析】略【答案】由题意得,2124m m ∆=-+,∴2(2)1242m m m x +±-+=,∵该方程的根均为整数∴2124m m -+必为平方数,令22124m m n -+=(n 为正整数) 整理得22(6)32m n --=,∴(6)(6)32m n m n -+--= ∴6m n -+与6m n --同奇同偶 因此61662m n m n -+=⎧⎨--=⎩或6864m n m n -+=⎧⎨--=⎩ 解得157m n =⎧⎨=⎩或144m n =⎧⎨=⎩当157m n =⎧⎨=⎩时,方程2(2)40x m x m -++=为217600x x -+=,解得5x =或12x =∴直角三角形斜边为13当122m n =⎧⎨=⎩时,方程2(2)40x m x m -++=为214480x x -+=,解得6x =或8x =∴直角三角形斜边为10【练一练】已知a 是正整数,如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数,求a 的值及方程的整数根.【解析】观察易知方程有一个整数根11x =,将方程的左边分解因式,得:2(1)(18)560x x a x ⎡⎤-+++=⎣⎦. 因为a 是正整数,所以关于x 的方程:2(18)560x a x +++= ……①的判别式2(18)2240a ∆=+->,它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数,所以方程①的根都是整数,因此它的判别式2(18)224a ∆=+-应该是一个完全平方数. 设22(18)224a k +-=(其中k 为非负整数),则22(18)224a k +-=,即:(18)(18)224a k a k +++-=. 显然18a k ++与18a k +-的奇偶性相同,且1818a k ++≥,1818a k a k +++-≥. 而2241122564288=⨯=⨯=⨯,所以:18112182a k a k ++=⎧⎨+-=⎩,或1856184a k a k ++=⎧⎨+-=⎩,或1828188a k a k ++=⎧⎨+-=⎩ 解得3955a k =⎧⎨=⎩,或1226a k =⎧⎨=⎩,或010a k =⎧⎨=⎩.而a 是正整数,所以只可能3955a k =⎧⎨=⎩,或1226a k =⎧⎨=⎩.当39a =时,方程①即257560x x ++=,它的两根分别为1-和56-.此时原方程的三个根为1,1-和56-.当12a =时,方程①即230560x x ++=,它的两根分别为2-和28-.此时原方程的三个根为1,2-和28-.【答案】当39a =时,原方程的三个根为1,1-和56-;当12a =时,原方程的三个根为1,2-和28-【例9】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数,则符合条件的整数k 的值有_______个.【解析】当6k =时,得2x =;当9k =时,得3x =-,当9k ≠时,解得196x k =-,269x k =-,当6139k -=±±±,,时,1x 是整数,这时753153k =-,,,,;当91236k -=±±±±,,,时,2x 是整数这时10811712153k =,,,,,,综上所述,367915k =,,,,时原方程的解为整数.【答案】367915k =,,,,【练一练】若k 为正整数,且关于k 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个相异正整数根,求k 值.【解析】原方程变形、因式分解为2(1)(1)6(31)720k k x k x +---+=,[(1)12][(1)6]0k x k x +---=.即1121x k =+,261x k =-.由121k +为正整数得1,2,3,5,11k =;由61k -为正整数得2,3,4,7k =.所以2,3k =使得1x ,2x 同时为正整数,但当3k =时,123x x ==,与题目不符,所以,只有2k = 为所求.【答案】2k =【例10】 当m 为何整数时,方程222525x mx m -+=有整数解. 【解析】解法1:将方程222525x mx m -+=左边因式分解可得 (2)(2)5x m x m --=故2521x m x m -=⎧⎨-=⎩,或2125x m x m -=⎧⎨-=⎩,或2521x m x m -=-⎧⎨-=-⎩,或2125x m x m -=-⎧⎨-=-⎩解得31x m =⎧⎨=⎩,13x m =-⎧⎨=-⎩,31x m =-⎧⎨=-⎩,13x m =⎧⎨=⎩解法2:将方程222525x mx m -+=整理成标准形式:2225250x mx m -+-=由原方程有整数解,首先必须满足222(5)42(25)940m m m ∆=-⨯⨯-=+为一个完全平方数, 不妨设2(0)n n ∆=>,则有22940(3)(3)40m n n m n m +=⇒-+=,又3n m -、3n m +的奇偶性相同,故它们必然同为偶数,则有32320n m n m -=⎧⎨+=⎩,32032n m n m -=⎧⎨+=⎩,32320n m n m -=-⎧⎨+=-⎩,32032n m n m -=-⎧⎨+=-⎩, 34310n m n m -=⎧⎨+=⎩,31034n m n m -=⎧⎨+=⎩,31034n m n m -=-⎧⎨+=-⎩,34310n m n m -=-⎧⎨+=-⎩解得311m n =⎧⎨=⎩,311m n =-⎧⎨=⎩,17m n =⎧⎨=⎩,17m n =-⎧⎨=⎩代入552222m m n±∆±=⨯⨯中检验可知,均满足题意,故1m =±或3m =±. 注意,题中要求有整数解即可,没要求所有的根都是整数,要注意区分这一点.点评:解法2看似复杂,但却是一元二次方程的整数根问题的通用解法,“希望杯”等考试中也常考到这种方法,值得引起注意.解法1看似简单,但使用起来有较多的局限性,如果无法进行因式分解,或者所分解的整数的因数过多,使用起来将很复杂.【答案】1m =±或3m =±【练一练】(2009密云)关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解,且a 是整数,求a 的值.【解析】当a=0时,原方程为620x --=,解得13x =-,即原方程无整数解.当0a ≠时,方程为一元二次方程,它至少有一个整数根, 说明判别式24(3)4(2)4(94)a a a a ∆=---=-为完全平方数,从而94a -为完全平方数,设294a n -=,则n 为正奇数,且3n ≠否则(0a =),所以,294n a -=.由求根公式得 22(3)234(3)1129a n n n x a a n --±±±==-+=-+- 所以 12441,1.33x x n n=-+=-++-要使1x 为整数,而n 为正奇数,只能1n =,从而2a =;要使2x 为整数,n 可取1,5,7,从而2,4,10.a =-- 综上所述,a 的值为2,4,10.--【练一练】(2013东城区)已知关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0.(1)求证:无论m 取何值,原方程总有两个不相等的实数根; (2)当m 为何整数时,原方程的根也是整数.【解析】(1)证明: Δ=23)4(1)m m +-+( =26944m m m ++-- =225m m ++ =2(1)4m ++.∵ 2(1)m +≥0, ∴ 2(1)4m ++>0.∴ 无论m 取何实数时,原方程总有两个不相等的实数根. (2) 解关于x 的一元二次方程x 2+(m +3)x +m +1=0,得 23(1)42m m x --±++=.要使原方程的根是整数,必须使得2(1)4m ++是完全平方数.设22(1)4m a ++=,则(1)(1)4a m a m ++--=. ∵ a +1m +和1a m --的奇偶性相同, 可得12,1 2.a m a m ++=⎧⎨--=⎩或12,1 2.a m a m ++=-⎧⎨--=-⎩解得2,1.a m =⎧⎨=-⎩或2,1.a m =-⎧⎨=-⎩.将m=-1代入23(1)42m m x --±++=,得122,0x x =-=符合题意. ∴ 当m=-1 时 ,原方程的根是整数.二.一元二次方程的应用1.增长率问题【例11】某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为12万元,求该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是多少?【解析】注意“累计”等名词【答案】设平均增长率为x ,根据题意得22(1)2(1)12x x +++=整理得2340x x +-=,解这个方程得:11x =,24x =-(舍) 答:该校这两年在实验器材投资上的平均增长率是100%【练一练】某公司成立3年以来,积极向国家上交利税,由第一年的200万元增加到800万元,则平均每年增长的百分数是【解析】略【答案】设平均每年增长的百分数是x根据题意得:2200(1)800x += 解得1x =或3x =-(舍)∴平均每年的增长的百分数是100%【练一练】北京市政府为了迎接2008年奥运会,决定改善城市面貌,绿化环境,计划经过两年时间,绿地面积增加44%,则这两年平均每年绿地面积的增长率是( )A.10%B.20%C.30%D.40%【解析】略【答案】设绿地面积的增长率是x ,原有绿地面积为a ,根据题意得2(1)(144%)a x a +=+ 解得20%x =或220%x =-(舍) 则平均增长率为20% ∴选B【例12】 某个体户以50000元资金经商,在第一年中获得一定的利润,已知这50000元资金加上第一年的利润在第二年共获利润2612.5元,而且第二年的利润率比第一年多0.5%,则第一年的利润是多少元?【解析】略【答案】设第一年的利润为x 元,根据题意得(50000)(0.5%)2612.550000xx +⋅+=解得12250x =,252500x =-(舍) 答:第一年的利润为2250元【练一练】某商品两次价格下调后,单价从5元变成4.05元,则平均每次调价的百分率为( )A.9%B.10%C.11%D.12%【解析】略【答案】设平均每次调价的百分率为x ,根据题意得,25(1) 4.05x -=,解得0.1x =或 1.9x =(舍) 因此选B【练一练】某商场2002年的营业额比2001年上升10%,2003年比2002年又上升10%,而2004年和2005年连续两年比上一年降低10%,那么2005年的营业额比2001年的营业额( )A.降低了2%B. 没有变化C.上升了2%D.降低了1.99%【解析】注意题目要求,还有注意是比较“2005年的营业额与2001年的营业额”【答案】设2001年的营业额为a 元,则2002年的营业额为1.1a 元,2003年的营业额1.21a 元,所以2005年的营业额为21.21(110%)0.9801a a ⨯-= 因此2005年的营业额比2001年的营业额降低了0.9801100% 1.99%a aa -⨯= 所以选择D2.商品利润问题【例13】某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以销售出20件,每件盈利40元,为扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降低多少元?【答案】解:设每件衬衫降价x 元,则每件所获得的利润为(40)x -元,但每天可多售2x 件,每天可卖(202)x +件,根据题意得(40)(202)1200x x -+=,方程化简整理得2302000x x -+=解得120x =,210x = ∵要尽快减少库存,∴20x =答:若商场每天要盈利1200元,每件应降价20元【练一练】吉安国光商场在销售中发现:某品牌衬衫平均每天可售出60件,每件赢利40元.为了迎接“十•一”黄金周,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加赢利,减少库存.经市场调查发现:如果每件衬衫降价1元,那么平均每天就可多售出6件.要想平均每天销售这种衬衫赢利3600元,那么每件衬衫应降价多少元?【解析】本题可设每件衬衫应降价x 元,则每件赢利(40)x -元,平均每天可售出(606)x +件,根据每件的盈利×销售的件数=衬衫的盈利,据此即可可列出方程,求出答案.【答案】设每件衬衫应降价x 元,根据题意得(40)(606)3600x x -+=整理得2302000x x -+=解得110x =,220x = ∵要尽快减少库存 ∴20x =答:每件衬衫应降价20元【例14】商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售,一天可售出100件.后来经过市场调查,发现这种商品单价每降低1元,其销量可增加10件. (1)问商场经营该商品原来一天可获利润多少元?(2)若商场经营该商品一天要获利润2160元,则每件商品售价应为多少元?【答案】(1)若商店经营该商品不降价,则一天可获利润100(10080)2000⨯-=(元).(2)设后来该商品每件降价x 元,依题意,得(10080)(10010)2160x x --+=整理得210160x x -+=解得12x =,28x = 当2x =时,售价为98元 当8x =时,售价为92元答:商店经营该商品一天要获利润2160元时,每件商品应售价为98元或92元【练一练】西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?【解析】设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元.那么每千克的利润为:(32)x --,由于这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.所以降价x 元,则每天售出数量为:402000.1x +千克.本题的等量关系为:每千克的利润×每天售出数量-固定成本=200.【答案】设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元.根据题意,得40(32)(200)242000.1xx --+-=原式可化为:2502530x x -+=解这个方程,得10.2x =,20.3x =答:应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元.【例15】某商店以2400元购进某种盒装茶叶,第一个月按进价增加20%作为售价,售出50盒;第二个月每盒以低于进价5元作为售价,售完余下的茶叶,在整个买卖过程中盈利350元,求每盒茶叶的进价【解析】略【答案】设每盒进价x 元,依题意可列下列方程:24005020%5(50)350x x ⨯--=整理得21012000x x --=,解得130x =、240x =经检验130x =-、240x =都是原方程的解,但进价不能为负数,所以只取40x = 答:每盒茶叶进价为40元【练一练】某玩具厂生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且产出的产品全部售出,已知生产x 只玩具熊猫的成本为R (元),售价为每只P (元),且R 、P 与x 的关系式为50030R x =+,1702P x =-,当日产量为多少时,每日获得的利润为1750元?【解析】略【答案】根据题意得(1702)(50030)1750x x x --+=,解之,得125x =,245x =(舍),即日产量为25只时,每月获得利润为1750元【练一练】宏达汽车出租公司共有出租车120辆,每辆汽车的日租金为160元,出租业务天天供不应求,为适应市场需求,经有关部门批准,公司准备适当提高日租金,经市场调查发现,一辆汽车日租金每增加10元,每天出租的汽车相应地减少6辆。

一元二次方程整数根的条件

一元二次方程整数根的条件

一元二次方程整数根的条件1.引言一元二次方程是高中数学中的重要内容之一。

在求解一元二次方程的根时,我们往往希望根是整数。

然而,并不是所有的一元二次方程都有整数根,这就引出了一元二次方程整数根的条件。

本文将详细介绍一元二次方程整数根的条件及其推导过程。

2.一元二次方程一元二次方程的一般形式为:$ax^2+bx+c=0$,其中$a\ne q0$,$a$、$b$、$c$为已知实数,$x$为未知数。

3.整数根的定义对于一元二次方程$a x^2+b x+c=0$,如果存在整数解$x_1$和$x_2$满足方程成立,则称此方程有整数根。

4.整数根的条件推导要求一元二次方程有整数根,就需要满足以下两个条件:4.1条件一:判别式为完全平方数一元二次方程的判别式为$D=b^2-4ac$,其中$b^2-4a c$被称为判别式。

若判别式为完全平方数,则方程有整数根。

推导过程如下:假设一元二次方程$a x^2+b x+c=0$有根$x_1$和$x_2$,我们可以得到方程的求根公式:$$x=\f ra c{-b\p m\s q rt{b^2-4ac}}{2a}$$我们可以观察到,方程的根为整数,等价于判别式的平方根为整数。

即$\s qr t{b^2-4a c}$为整数。

4.2条件二:根的求和和求积为整数对于一元二次方程$a x^2+b x+c=0$,我们可以通过根的求和和求积得到以下结论:-根的求和:$x_1+x_2=-\f ra c{b}{a}$-根的求积:$x_1x_2=\f ra c{c}{a}$要求方程的根为整数,则求和和求积也应为整数。

5.结论综上所述,一元二次方程有整数根的条件为:1.判别式为完全平方数:$b^2-4a c=k^2$,其中$k$为整数。

2.根的求和和求积为整数:$x_1+x_2$和$x_1x_2$为整数。

6.举例说明6.1例题一考虑方程$x^2-5x+6=0$,我们可以计算出判别式$D=(-5)^2-4\ti me s1\t im es6=1$,为完全平方数。

一元二次方程整数根

一元二次方程整数根

一元二次方程整数根
一元二次方程是指形如ax+bx+c=0的方程,其中a、b、c是实数且a≠0。

解一元二次方程的方法有很多,其中最基本的方法就是求
出方程的根。

根据求根公式,一元二次方程的根可以表示为:
x = (-b ±√(b-4ac)) / 2a
如果方程有两个不相等的实数根,那么称这个方程有两个实数根;如果方程只有一个实数根,那么称这个方程有一个实数根;如果方程没有实数根,那么称这个方程没有实数根。

现在考虑一种特殊情况:如果一元二次方程的系数a、b、c都是整数,那么这个方程是否一定有整数根呢?
答案是不一定。

事实上,有些一元二次方程的系数都是整数,但是它们却没有整数根。

比如方程x+2x+1=0就没有整数根。

因为我们
可以发现,如果x是一个整数,那么x和2x也一定都是整数,但是
1却不是x+2x的平方,所以方程没有整数根。

但是,对于一些特殊的一元二次方程来说,它们的确存在整数根。

比如方程x-5x+6=0就有两个整数根,分别是2和3。

因为我们可以
发现,如果x是2或3,那么x-5x+6的值就分别是0,0,所以2和
3就是这个方程的两个整数根。

总的来说,虽然一元二次方程的整数根不一定存在,但是在一些特殊情况下,它们的确存在,并且可以通过适当的方法求解。

- 1 -。

一元二次方程的有理根、整数根

一元二次方程的有理根、整数根

奥赛培训:一元二次方程的有理根、整数根竞赛热点:1. 求一元二次方程的有理根、整数根问题常与一元二次方程根的判别式发生联系,也就是说,常常利用根的判别式为完全平方数来讨论。

2. 求有整数根的二次方程中,参数问题,要根据方程的结构特点,设法将二次方程转化为两个一次式,再根据整数根确定其解。

其转化途径:或直接分解因式;或利用根与系数的关系;或利用求根公式。

3. 求二次方程的整数根常用的数学思想方法是分类讨论,但在运用时,要具体问题具体分析。

例1、 如果()112++-x m x 是完全平方式,则m 的值为______________。

A 、1-B 、1C 、1或1-D 、1或3-例2、 若20052+a 是整数,则所有满足条件的正整数a 的和为( )A 、396B 、1002C 、1200D 、2004例3、 关于x ,y 的方程29222=++y xy x 有整数解()y x ,的组数为( )A 、2B 、3C 、4D 、无穷多例4、 设k 为整数,且0≠k ,方程()0112=+--x k kx 有有理根,求k 的值。

例5、 当q 是什么实数时,对于任意有理数p ,方程()()0431222=+--++q p p x p x 有有理根?例6、 已知关于x 的方程()01212=--+-a x x a 的根都是整数,那么符合条件的整数a 有_________个。

例7、 已知a 是正整数,且使得关于x 方程()()0341222=-+-+a x a ax至少有一个整数根。

求a 的值。

例8、 试确定一切有理数r ,使得关于x 的方程()02322=-+++r x r rx有根且只有整数根。

例9、 已知p 为质数,使一元二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数,求出p 的所有可能值。

练习:1. 若()4122++-x k x 是完全平方式,则k 的值为( )A 、1±B 、3±C 、31或-D 、31-或2. 已知方程0152=+-m x x 的两根都为质数,则m =_________。

初中数学 一元二次方程的公共根与整数根

初中数学 一元二次方程的公共根与整数根

内容 基本要求略高要求较高要求一元二次方程了解一元二次方程的概念,会将一元二次方程化为一般形式,并指出各项系数;了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围;会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法 理解配方法,会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程,理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程;会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围;会用配方法对代数式做简单的变形;会应用一元二次方程解决简单的实际问题公共根问题:二次方程的公共根问题的一般解法:设公共根,代入原方程(两个或以上),然后通过恒等变形求出参数的值和公共根. 整数根问题:对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况,可以用判别式24b ac ∆=-来判别,但是对于一个含参数的一元二次方程来说,要判断它是否有整数根或有理根,那么就没有统一的方法了,只能具体问题具体分析求解,当然,经常要用到一些整除性的性质. 方程有整数根的条件:如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根,那么必然同时满足以下条件: ⑴ 24b ac ∆=-为完全平方数;⑵ 242b b ac ak -+-=或242b b ac ak ---=,其中k 为整数. 以上两个条件必须同时满足,缺一不可.另外,如果只满足判别式为完全平方数,则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数) 方程的根的取值范围问题:先使用因式分解法或求根公式法求出两根,然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围.【例 1】 求k 的值,使得一元二次方程210x kx +-=,2(2)0x x k ++-=有相同的根,并求两个方程的根. 中考要求例题精讲一元二次方程的公共根与整数根【例 2】 ⒈ 设,,a b c 为ABC ∆的三边,且二次三项式222x ax b ++与222x cx b +-有一次公因式,证明:ABC ∆一定是直角三角形.(北京数学竞赛试题)⒉ 三个二次方程20ax bx c ++=,20bx cx a ++=,20cx ax b ++=有公共根. ⑴ 求证:0a b c ++=;⑵ 求333a b c abc++的值.【例 3】 试求满足方程270x kx --=与26(1)0x x k --+=有公共根的所有的k 值及所有公共根和所有相异根.【例 4】 三个二次方程20ax bx c ++=,20bx cx a ++=,20cx ax b ++=有公共根.(1)求证:0a b c ++=;(2)求333a b c abc++的值.【例 5】 二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ,b 为正整数)有一个公共根,求b ab aa b a b --++的值.【例 6】 k 为什么实数时,关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数?【巩固】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数,则符合条件的整数k 的值有_______个.【例 7】 (2007年全国初中数学联合竞赛)⒈ 已知a 是正整数,如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数,求a 的值及方程的整数根.⒉ 若k 为正整数,且关于k 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个相异正整数根,求k 的值. (2000年全国联赛试题)⒊ 关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数.求满足条件的所有实数k 的值.⒋ 当m 为何整数时,方程222525x mx m -+=有整数解.⒌ 已知关于x 的方程24832x nx n --=和22(3)220x n x n -+-+=,是否存在这样的n 值,使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根?若存在,请求出这样的n 值;若不存在,请说明理由.【例 8】 求所有有理数r ,使得方程2(1)(1)0rx r x r +++-=的所有根是整数.【例 9】 ⒈已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数,求a 的值.⒉已知k 为常数,关于x 的一元二次方程22(2)(46)80k k x k x -+-+=的解都是整数,求k 的值.【例11】 已知p 为质数,二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数,请求出p 的所有可能的值.【例12】 (2007—2008清华附中初三第一次月考试题)⒈ 已知1240m <<,且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根,求整数m .⒉ 若一直角三角形两直角边的长,a 、b ()a b ≠均为整数,且满足24a b m ab m +=+⎧⎨=⎩. 试求这个直角三角形的三边长.【例13】 关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解,且a 是整数,求a 的值.【巩固】 已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根,那么a = .【例14】 (2008年西城区初三抽样试题)当m 是什么整数时,关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数.【例15】 (2007—2008清华附中初三第一次月考试题)已知1240m <<,且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根,求整数m .【巩固】 设m 为整数,且440m <<,方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根,求m 的值及方程的根.【例16】 当m 为何整数时,方程222525x mx m -+=有整数解.【例17】 已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根,那么a = .【例18】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数,则符合条件的整数k 的值有_______个.【例19】 设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解,试确定整数m 的值,并求出这时方程所有的整数解.【例20】 设m 为整数,且440m <<,方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根,求m 的值及方程的根.【例21】 ①已知a 是正整数,且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根,求a 的值.②已知关于x 的方程2222(38)213150a x a a x a a --+-+= (其中a 是非负整数)至少有一个整数根,求a 的值.【例22】 (1999年全国联赛试题)已知b ,c 为整数,方程250x bx c ++=的两根都大于1-且小于0,求b 和c的值.【例23】 (2007年“数学周报”杯全国数学竞赛试题)⒈ 已知a ,b 都是正整数,试问关于x 的方程21()02x abx a b -++=是否有两个整数解?如果有,请求出来;如果没有,请给出证明.(1993年全国数学联赛试题)⒉ 已知方程20x bx c ++=及20x cx b ++=分别各有两个整数根12,x x 及12,x x '',且120x x >,120x x ''>. ⑴ 求证:10x <,20x <,10x '<,20x '<; ⑵ 求证:11b c b -+≤≤; ⑶ 求,b c 所有可能的值.⒊ 设p q 、是两个奇整数,试证方程2220x px q ++=不可能有有理根.(北京市数学竞赛)⒋ 试证不论n 是什么整数,方程21670s x nx -+=没有整数解,方程中的s 是任何正的奇数.【例24】 求方程33222240a b ab a b -+++=的所有整数解.【例25】 ⒈ 已知a 为整数,关于,x y 的方程组23(2)(1)22x y a xxy a x a +=+⎧⎨=+-+⎩的所有解均为整数解,求a 的值. ⒉ 求方程2237x y x xy y+=-+的所有正整数解. ⒊ 求所有的整数对(,)x y ,使32232244447x x y xy y x xy y -+-=-++.【例26】 设m 是不为零的整数,关于x 的二次方程2(1)10mx m x --+=有有理根,求m 的值.【例27】 (2008年西城区初三抽样试题)当m 是什么整数时,关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数.【例28】 (2007年全国联赛试题)a 是正整数,关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数,求a 的值及方程的整数根.【例29】 (2004年“信利杯”全国初中数学竞赛)已知,a b 是实数,关于,x y 的方程组32y x ax bxy ax b⎧=--⎨=+⎩有整数解(,)x y ,求,a b 满足的关系式.【例30】 (2002年上海市初中数学竞赛)已知p 为质数,使二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数,求出所有可能的p 的值.【例31】 (2000年全国联赛)设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数,求满足条件的所有实数k 的值.【例32】 b 为何值时,方程 220x bx --=和22(1)0x x b b ---=有相同的整数根?并且求出它们的整数根?【例33】 (2000年全国竞赛题)已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数,那么符合条件的整数a 有___________个.【例34】 (1998年全国竞赛题) 求所有正实数a ,使得方程240x ax a -+=仅有整数根.【例35】(1996年全国联赛)方程()(8)10---=有两个整数根,求a的值.x a x【例36】(2000年全国联赛C卷) 求所有的正整数a,b,c使得关于x的方程222-+=-+=-+=的所有的根都是正整数.x ax b x bx c x cx a320,320,320【例37】(1993年安徽竞赛题) n为正整数,方程21)60-+-=有一个整数根,则n=__________.x x【例38】(第三届《祖冲之杯》竞赛题)求出所有正整数a,使方程22(21)4(3)0+-+-=至少有一个整ax a x a数根.【例39】(第三届《祖冲之杯》竞赛题) 已知方程22a x a x--++=有两个不等的负整数根,则整(1)2(51)240数a的值是__________.【例40】不解方程,证明方程2199719970-+=无整数根x x【例41】(1999年江苏第14届竞赛题)已知方程219990-+=有两个质数根,则常数a=________.x x a【例42】 (1996年四川竞赛题)已知方程210x mx m +-+=有两个不相等的正整数根,求m 的值.【例43】 (1994年福州竞赛题) 当m 是什么整数时,关于x 的方程2(1)10x m x m --++=的两根都是整数?【例44】 设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解,试确定整数m 的值,并求出这时方程所有的整数解.【例45】 (2007年全国初中数学联合竞赛)已知a 是正整数,如果关于x 的方程()()321738560x a x a x +++--=的根都是整数,求a 的值及方程的整数根.【例46】 若k 为正整数,且关于k 的方程()()221631720k x k x ---+=有两个相异正整数根,求k 的值.【例47】 (2008年全国初中数学联赛)设a 为质数,b c ,为正整数,且满足()()2922509410225112a b c a b c b c ⎧+-=+-⎪⎨-=⎪⎩ 求()a b c +的值.。

一元二次方程的求根公式及根的判别式

一元二次方程的求根公式及根的判别式

一元二次方程的求根公式及根的判别式主讲:黄冈中学高级教师余国琴一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)进行配方,当b2-4ac≥0时的根为.该式称为一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法,简称公式法.说明:(1)一元二次方程的公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0);(2)由求根公式可知,一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的;(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程,但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式(1)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当b2-4ac<0时,方程没有实数根.二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点,难点是对各种方法的选择,突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上,熟悉各种方法的优缺点。

(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目,如果用“公式法”就显得多余的了。

(2)“因式分解法”是一种常用的方法,一般是首先考虑的方法。

(3) “配方法”是一种非常重要的方法,一般不使用,但若能恰当地使用,往往能起到简化作用,思考于“因式分解法”之后,“公式法”之前。

如方程;用因式分解,则6391这个数太大,不易分解;用公式法,也太繁;若配方,则方程化为,就易解,若一次项系数中有偶因数,一般也应考虑运用。

(4)“公式法”是一般方法,只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项,若方程有实根,就一定可以用求根公式求出根,但因为要代入(≥0)求值,所以对某些特殊方程,解法又显得复杂了。

2、在运用b2-4ac的符号判断方程的根的情况时,应注意以下三点:(1)b2-4ac是一元二次方程的判别式,即只有确认方程为一元二次方程时,才能确定a、b、c,求出b2-4ac;(2)在运用上述结论时,必须先将方程化为一般形式,以便确认a、b、c;(3)根的判别式是指b2-4ac,而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程:(1);(2);(3).分析:用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值,再代入公式计算,解:(1)因为a=1,,c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1,,c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1,,c=-1所以所以;所以.总结:(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式;如果二次项系数为负数,通常将其化为正数;如果方程的系数含有分母,通常先将其化为整数,求出的根要化为最简形式;(2)用求根公式法解方程按步骤进行.例2、用适当方法解下列方程:①②③④⑤⑥⑦分析:要合理地选用适当的方法解一元二次方程,就必须熟悉各种方法的优缺点,处理好特殊方法和一般方法的关系。

初中数学 什么是一元二次方程的无理数解

初中数学  什么是一元二次方程的无理数解

初中数学什么是一元二次方程的无理数解一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程,其一般形式为ax² + bx + c = 0,其中a、b 和c是已知的实数常数,且a ≠ 0。

无理数解是指方程的解为无理数,即不能表示为两个整数的比值的数。

要确定一元二次方程的无理数解,我们可以使用以下方法:1. 判别式法:-一元二次方程的判别式D可以表示为D = b² - 4ac。

-如果判别式D大于0,方程有两个不相等的实数根,无理数解也可能存在。

-如果判别式D小于0,方程没有实数根,也就没有无理数解。

-只有当判别式D大于等于0且不是完全平方数时,方程才有无理数解。

-例如,方程x² - 2x + 1 = 0,判别式D = (-2)² - 4(1)(1) = 0,0是完全平方数,所以方程没有无理数解。

-例如,方程x² - 5x + 6 = 0,判别式D = (-5)² - 4(1)(6) = 1,1不是完全平方数,所以方程有无理数解。

2. 求根公式法:-一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)。

-如果方程的判别式D大于0且不是完全平方数,我们可以通过求根公式计算方程的解。

-如果方程的判别式D是完全平方数,那么方程的解为有理数,而不是无理数。

-只有当判别式D大于等于0且不是完全平方数时,方程才有无理数解。

-例如,方程x² - 7x + 10 = 0,判别式D = (-7)² - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9,9是完全平方数,所以方程没有无理数解。

-例如,方程x² - 2x - 3 = 0,判别式D = (-2)² - 4(1)(-3) = 16,16不是完全平方数,所以方程有无理数解。

需要注意的是,一元二次方程的解可能是实数也可能是复数。

当方程的解是实数时,我们可以进一步判断是否为无理数解。

论文:浅谈一元二次方程的整数根问题

论文:浅谈一元二次方程的整数根问题

此文发表在《中学数学杂志》2012年第6期(总第272期、教研版)上浅谈一元二次方程的整数根问题在各级各类的初中数学竞赛中,一元二次方程的整数根问题备受命题者的青睐,本文介绍几种求一元二次方程的整数根的方法以及与此有关的问题的解法.1、整系数一元二次方程整数根的求法:➊利用判别式:整系数一元二次方程有整数解时,判别式是完全平方数,利用这条性质可以确定整参数的值,但需验证这些值是否使方程的根为整数。

例1、设m 是整数,4<m<40,方程x 2-2(2m-3)x+4m 2-14m+8=0有两个整数根,求m 的值。

解:已知方程的判别式⊿=4(2m+1),它是一个完全平方数,所以2m+1也是一个完全平方数。

又∵4<m<40,∴9<2m+1<81,从而2m+1=25或49, ∴m=12或者24。

代入已知方程,得:x=16,26或x=38,52.综上所述,所求m 的值为12,24。

➋利用韦达定理:利用韦达定理处理二次方程有两整数根,其思路是由x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a消去其中的参数,得整数根x 1,x 2的一个不定方程,解这个不定方程可求得其整数根,从而可确定方程中参数的值,最后需验证所求的参数值满足⊿≥0。

例2、求一切实数k,使得关于x 的方程:5x 2-5kx+66k-1=0的两根均为正整数。

解:设x 1,x 2是方程的正整数解,则⎩⎨⎧x 1+x 2=kx 1x 2=66k-15消去k,得:5x 1x 2=66(x 1+x 2)-1 ∴(5x 1-66)(5x 2-66)=4351=19×229不妨设x 1≤x 2,则 ⎩⎨⎧5x 1-66=195x 2-66=229∴x 1=17, x 2=59. ∴k=x 1+x 2=76 又⊿=25k 2-20(66k-1)=25×762-20×(66×76-1)=2102>0∴k=76为所求。

一元二次方程的整数解

一元二次方程的整数解

一元二次方程的整数解解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略:1、从求根入手,求出根的有理表达式,利用整数求解,形成12()()0x x x x --=的形式;2、从判别式入手,运用判别式求出参数或解的取值范围,或引入参数(设2k ∆=),通过穷举,逼近求解3、从韦达定理入手,从根与系数的关系式中消去参数,得到关于两根的不定方程,借助因式分解求解。

4、从变换主元入手,当方程中参数次数较低时,可考虑以参数为主元求解。

注:一元二次方程的整数根问题,既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识,又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关。

1、若关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数,求符合条件的整数k 的值。

2、已知a 、b 为质数且是方程2130x x c -+=的根,求a b b a+的值。

3、试确定一切有理数r ,使得关于x 的方程2(2)10rx r x r +++-=有根且只有整数根。

4、当m 为整数时,关于x 的方程2(21)(21)10m x m x --++=是否有有理根?如果有求出m 的值;如果没有,请说明理由。

5、已知a 是正整数,如果关于x 的方程3(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数,求a 的值及方程的整数根。

6、若关于x 的方程222(3)(13)0ax a x a --+-=至少有一个整数根,求非负整数a 的值。

解析:①当0a ≠时,变换主元得到2136(1)x a x -=-,此时1a ≥,则21361(1)x x -≥-,得到 (6)(2)0x x ++≤解得62x -≤≤且1x ≠,因为至少有一个x 的值为整数,则这个整数x 的值可能为6-、5-、4-、3-、2-、1-、0、2,②当0a =时,136x =(舍)课后作业1、已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的跟都是整数,求符合条件的所有整数a 。

专题培优-一元二次方程的整数根(含答案)

专题培优-一元二次方程的整数根(含答案)

专题培优-⼀元⼆次⽅程的整数根(含答案)⼀元⼆次⽅程的整数根1.使⼀元⼆次⽅程x2+3x+m=0有整数根的⾮负整数m的个数为( ).A. 0B. 1C. 2D. 32.满⾜(n2-n-1)n+2=1的整数n有________个.3.已知关于x的⽅程(a-1)x2+2x-a-1=0的根都是整数,那么符合条件的整数a有________个.4.⽅程x2+px+q=0的两个根都是正整数,并且p+q=1992,则⽅程较⼤根与较⼩根的⽐等于________.5.已知k为整数,且关于x的⽅程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相同的正整数根,则k=________.6.关于x的⼀元⼆⽅程4x2+4mx+m2+m-10=0(m为正整数)有整数根,则满⾜条件的m值的个数为________个.7.已知关于x的⽅程((m2?1)x2?3(3m?1)x+18=0有两个正整数根(m是整数).△ABC的三边a,b,c满⾜c=2√3,m2+a2m?8a=0,m2+b2m?8b=0.求:(1)m的值;(2)△ABC的⾯积.8.当k为何整数时,⽅程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0有两个不相等的正整数根?9.当n为何整数时,关于x的⼀元⼆次⽅程x2-3nx+2n2-6=0的两根都为整数?10.求这样的正整数a,使得⽅程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0⾄少有⼀个整数解.11.设关于x的⼀元⼆次⽅程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4的两根都是整数,求满⾜条件的所有实数k的值.12.已知m,n为正整数,关于x的⽅程x2-mnx+(m+n)=0有正整数解,求m,n的值.13.k为何值时,关于x的⽅程x2-4mx+4x+3m2-2m+4k=0的根是有理数?14.已知关于x的⼀元⼆次⽅程x2+cx+a=0的两个整数根恰好⽐⽅程x2+ax+b=0的两个根都⼤1,求a+b+c的值.15.已知⼀元⼆次⽅程x2+ax+b=0,①有两个连续的整数根,⼀元⼆次⽅程x2+bx+a=0,②有整数根,求a,b的值.答案1.C2.43.54.9975.26.47.解:(1)∵关于x 的⽅程(m 2-1)x 2-3(3m -1)x +18=0有两个正整数根(m 是整数).∵a =m 2-1,b =-9m +3,c =18,∴b 2-4ac =(9m -3)2-72(m 2-1)=9(m -3)2≥0,设x 1,x 2是此⽅程的两个根,∴x 1?x 2=c a =18m 2?1,∴18m 2?1也是正整数,即m 2-1=1或2或3或6或9或18,⼜m 为正整数,∴m =2;(2)把m =2代⼊两等式,化简得a 2-4a +2=0,b 2-4b +2=0当a =b 时,a =b =2±√当a ≠b 时,a 、b 是⽅程x 2-4x +2=0的两根,⽽△>0,由韦达定理得a +b =4>0,ab =2>0,则a >0、b >0.①a ≠b ,c =2√3时,由于a 2+b 2=(a +b )2-2ab =16-4=12=c2 故△ABC 为直⾓三⾓形,且∠C =90°,S △ABC =12ab =1.②a =b =2-√2,c =2√3时,因2(2?√2)<2√3,故不能构成三⾓形,不合题意,舍去.③a =b =2+√2,c =2√3时,因2(2+√>2√3,故能构成三⾓形.S △ABC =12×(2√)×√=√综上,△ABC 的⾯积为1或√. 8.解:∵k 2-1≠0∴k ≠±1∵△=36(k -3)2>0∴km ≠3⽤求根公式可得:x 1=6k?1,x 2=12k+1∵x 1,x 2是正整数∴k -1=1,2,3,6,k +1=1,2,3,4,6,12,解得k =2.这时x 1=6,x 2=4. 9.解:原⽅程变形得(x ?2n)(x ?n)=6,∵x ,n 均为整数,∴原⽅程化为{x ?2n =±2,x ?n =±3或{x ?2n =±3,x ?n =±2或{x ?2n =±6,x ?n =±1或{x ?2n =±1,x ?n =±6,解得n =-1或1或-5或5.10.解:原⽅程变形为(x +2)2a =2x +7(x ≠?2),解得a =2x +7(x +2)2.∵a ≥1,∴2x +7(x +2)2?1,∴-3≤x ≤1,∴x 可取值为-3,-1,0,1,分别代⼊a =2x +7(x +2)2中,解得a =1或a =5或a =74或a =1.⼜∵a 是正整数,∴当a =1或a =5时,⽅程⾄少有⼀个整数解. 11.解:原⽅程可化为[(k ?4)x +(k ?2)][(k ?2)x +(k +2)]=0,∵k 2?6k +8=(k ?4)(k ?2)≠0,∴x 1=?k?2k?4=?1?2k?4,x 2=?k +2k?2=?1?4k?2,∴k ?4=?2x 1+1,k ?2=?4x 2+1(x 1≠?1,x 2≠?1),消去k ,得x 1x 2+3x 1+2=0. ∴x 1(x 2+3)=?2.由于x 1,x 2都是整数,∴{x 1=?2,x 2+3=1或{x 1=1,x 2+3=?2或{x 1=2,x 2+3=?1.或{x 1=?2,x 2=?2或{x 1=1,x 2=?5或{x 1=2,x 2=?4.∴k =6或3或103.经检验均满⾜题意.12.解:设⽅程x 2?mnx +(m +n )=0的两根分别为:x 1,x 2,∵m ,n 为正整数,∴x 1+x 2=mn >0,x 1?x 2=m +n >0,∴这两个根x 1,x 2均为正数,⼜∵(x 1?1)(x 2?1)+(m ?1)(n ?1)=x 1x 2?(x 1+x 2)+1?[mn ?(m +n )+1]=(m +n )?mn +1+[mn ?(m +n )+1]=2,其中(x 1?1)(x 2?1),m ?1,n ?1均⾮负,⽽为两个⾮负整数和的情况仅有0+2;1+1;2+0.∵(x 1?1)(x 2?1)=x 1x 2?(x 1+x 2)+1=m +n ?mn +1,(m ?1)(n ?1)=mn ?(m +n )+1,∴{m +n ?mn +1=0mn ?(m +n)+1=2或{m +n ?mn +1=1mn ?(m +n )+1=1或{m +n ?mn +1=2mn ?(m +n)+1=0,解得:{m =2n =3或{m =3n =2或{m =2n =2或{m =1n =5或{m =5n =1.13.解:根据题意得:△=(-4m +4)2-4×(3m 2-2m +4k )=4(m 2-6m +4-4k ),∵⽅程的解为有理数,∴4(m 2-6m +4-4k )是⼀个完全平⽅数,即4-4k =9,解得:k =-54. 14.解:设⽅程x 2+ax +b =0的两个根为α,β,∵⽅程有整数根,设其中α,β为整数,且α≤β,则⽅程x 2+cx +a =0的两根为α+1,β+1,∴α+β=-a ,(α+1)(β+1)=a ,两式相加,得αβ+2α+2β+1=0,即 (α+2)(β+2)=3,∴{α+2=1β+2=3或{α+2=?3β+2=?1.解得{α=?1β=1或{α=?5β=?3.⼜∵a =-(α+β)=-[(-1)+1]=0,b =αβ=-1×1=-1,c =-[(α+1)+(β+1)]=-[(-1+1)+(1+1)]=-2,或a =-(α+β)=-[(-5)+(-3)]=8,b =αβ=(-5)×(-3)=15,c =-[(α+1)+(β+1)]=-[(-5+1)+(-3+1)]=6,∴a =0,b =-1,c =-2;或者a =8,b =15,c =6,∴a +b +c =0+(-1)+(-2)=-3或a +b +c =8+15+6=29,故a +b +c =-3,或29.15.解:设⽅程①的两个根式n ,n +1,则{n +(n +1)=?a n(n +1)=b∴a =-(2n +1),b =n (n +1),则⽅程②可变为x 2+n (n +1)x -(2n +1)=0③,∵⽅程③有整数根,视n 为主元,∴n 2x +n (x -2)+x 2-1=0④有整数解,∴设△=(x -2)2-4x (x 2-1)=x 2+4-4x 3=p 2(p 为正整数),∴x 2(1-4x )=(p +2)(p -2)⑤.∵p +2>p -2,∴{p +2=x 2p ?2=1?4x ⑥,{p +2=x p ?2=(1?4x)x ⑦,{p +2=1?4x p ?2=x2⑧,{p +2=(1?4x)x p ?2=x ⑨,由⑥得:x 2+4x -1=0,解得:x 1=-5,x 2=1,把x 1=-5代⼊③得:n =-3或n =85(不合题意,舍去),当n =-3时,a =5,b =6,把x 2=1代⼊③得:n 1=0,n 2=1,当n =0时,a =-1,b =0,当n =1时,a =-3,b =2,对⑦,⑧,⑨继续讨论.综上所述,{a =?1b =0或{a =?3b =2或{a =5b =6.。

一元二次方程的整数根和有理根

一元二次方程的整数根和有理根

一元二次方程的整数根和有理根
【知识要点】
对于整系数一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a
1.方程有有理根的充要条件是△=ac b 42-为一有理数的平方;
2.若c b a ,,为奇数,则方程无整数根。

【例题】
例1设a 为任意的有理数,b 为何值时有理系数方程0)43()1(222=+--++b a a x a x 的根是有理数?
例2 如果n k p ,,为有理数,求证:方程0)()(2)(2=-+++-++n k p x k p x n k p 的根总是有理数。

例3 若12<m<60(m 为整数),且方程0)1(222=++-m x m x 的两根都为整数,求方程的根。

例4 k 是什么整数值时,方程018)13(3)1(22=+---x k x k 有两个不相等的正整数根。

例5 求所有实数k ,使二次方程0)1()1(2=-+++k x k kx 的两根都是整数。

例6 若k 为正整数,一元二次方程0)1(2=+--k px x k 有两个正整数根,求)(k p kp k p k +的值。

例7 一直角三角形的两直角边均为整数,且满足方程04)2(2=++-m x m x 。

试求m 的值及此直角三角形的边长。

例8 设方程012=-+qx x 的二根分别是方程012=-+px x 的两个根的五次方,其中p 和q 都是整数,试证明:p 、q 决不可能是质数。

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第6讲 一元二次方程的整数根精巧的论证常常不是一蹴而就的,而是人们长期切磋积累的成果。

我也是慢慢学来的,而且还要继续不断的学习。

-----阿贝尔知识方法扫描1.当含有某个参数k 的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时,我们可以先利用因式分解直接求方程的解,通常它们是关于k 的分式形式的解。

然后利用其根是整数的要求来解不定方程。

此时因参数k 的条件不同,常有两种处理方法。

其一是k 为整数,这时只需注意分式形式的解中,分子是分母的倍数即可;其二是k 为实数,此时应该消去参数k ,得到关于两根的关系式,也就是关于两根的不定方程,再解此不定方程即可。

2.我们知道一元二次方程ax 2+bx +c =0在△=b 2-4ac ≥0时有实数根x =ab 2∆±-。

所以要使整系数的一元二次方程方程有整数根,必须△=b 2-4ac 为完全平方数,并且-b ±∆为2a 的整数倍.故处理此类问题,常可用判别式来解决。

又可细分为两类:(1)先求参数范围。

可利用题设参数的范围,直接求解;也可由不等式△≥0求出参数的范围.再求解。

(2)再设参数法,即设△=k 2(k 是整数)。

当△=k 2为关于原参数的一次式时,用代入法来解;当△=k 2为关于原参数的二次式时,用分解因式法来解.此外,对有理系数的二次方程有有理根的问题,上述解法也是适用的。

3.韦达定理即根与系数的关系是一元二次方程的重要性质,我们也常用它来处理含参数的一元二次方程的整数解得问题,常用的方法有:(1) 从根与系数的关系式中消去参数,得到关于两根的不定方程.(2) 利用“当两根为整数时,其和、积必为整数”来解。

4.在含有参数的一元二次方程中,参数和未知数都是用字母表示的,通常是将未知数看作是主元必要时也可反过来将参数看成是主元,即将方程看成是以参数为未知数的方程,这种方法就是变更主元法。

(1)当方程中参数的次数为一次时,可将参数直接用未知数表示出来,再利用已知参数的范围或性质来求解。

(2)当方程中参数的次数为二次时,可考虑以参数为主元构造一个二次方程,再运用前述的方法(如利用判别式,韦达定理)来处理。

经典例题解析例1.(1995年山东省初中数学竞赛试题)k 为什么整数时,方程(6-k )(9-k )x 2-(117-15k )x +54=0的解都是整数?分析 此方程的系数均为整数,而且方程的左边可以直接分解成两个整系数的一次因式,故可考虑直接求根来解答此题。

另外此题的条件中并未说明方程是一元二次方程,故还应考虑二次项系数为0,原方程是一次方程的情况。

解 若k=6, 则x=-2; 若k=9, 则x=3;若k ≠6且k ≠9,原方程可化为 [(k-6)x-9][(k-9)x-6] = 0 ,故方程的二根为 x 1=69-k ,x 2=96-k .为使x 1 和x 2都是整数,则应有k -6 = ±1,±3,±9 , k=-3,3,5,7,9,15;还应有k -9 = ±1,±2, ±3,±6, k=3,6,7,8,10,11,12,15. 所以k=3,7,15时,x 1 和x 2都是整数,综上所述,当k 值为3,6,7,9,15时方程的解都是整数。

例2 (2000年全国初中数学联赛试题)设关于x 的二次方程(k 2-6k +8)﹒x 2+(2k 2-6k -4)x +k 2=4的两根都是整数.求满足条件的所有实数k 的值.分析 此题也可通过直接求根法求出二根,但是它的条件与例1不同,例1中的参数k 是整数,而本题中的参数k 是实数。

因此求得二根后不能像例1那样讨论,因为使x 1(或x 2)为整数的实数k 有无穷多个,所以要先消去k ,得到关于x 1,x 2的不定方程,先求出这个不定方程的整数解,然后再反过来求k 的值。

解 将原方程变形得 (k -2)(k -4)x 2+(2k 2-6k -4)x +(k -2)(k +2)=0. 分解因式得 [(k -2)x +k +2][(k -4)x +k -2]=0.显然,k ≠2,k ≠4.解得x 1=-42--k k = 421---k ; x 2=-22-+k k =241---k . 于是有 1241+-=-x k , 1422+-=-x k (x 1≠-1, x 2≠-1) 两式相减消去k 整理得 x 1x 2+3x 1+2=0即 x 1(x 2+3)=-2.于是有 ⎩⎨⎧=+-=;13,221x x 或⎩⎨⎧-=+=;13,221x x 或⎩⎨⎧-=+=.23,121x x 或⎩⎨⎧=+-=.23,121x x 解得⎩⎨⎧-=-=;2,221x x 或⎩⎨⎧-==;4,221x x 或⎩⎨⎧-==;5,121x x 或⎩⎨⎧-=-=.1,121x x (舍去) 因为 1241+-=-x k ,当 x 1 = -2 时, k=6; 当 x 1 = 2 时, k=310;当 x 1 = 1 时, k=3. 经检验,k =6,3,310 都满足题意。

. 例3.(2000年广东奥林匹克学校高中入学考试数学试题)求当m 为何整数时,关于x 的一元二次方程mx 2-6x+9=0与x 2-4mx+4m 2-4m-5=0的根都是整数。

分析 从此题的两个方程无法得到用有理式形式表示的二根,但方程有整数根的前提是有实数根,我们可以先求出两个方程有实根的条件,从而求出参数m的取值范围,再由m 是整数的条件,确定其值。

不过最后还得代入验证此时的方程是否根都是整数。

解 依题意有⎪⎩⎪⎨⎧≥----≥--≠0)544(4)4(036)6(0222m m m m m 解得145≤≤-m ,且m ≠0.又m 为整数,故m = ±1。

当m =1时,方程mx 2-6x+9=0的二根均为1,方程x 2-4mx+4m 2-4m-5=0的二根为-1和5,符合要求。

当m =-1时,方程mx 2-6x+9=0的二根均不是整数,不符合要求.所以仅当m=1时,方程的两根都是整数。

例4. (1996年上海市初中数学竞赛试题)若关于x 的方程ax 2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数根,且a 为整数,求a.分析 此题和上题不同在于:若利用判别式求出参数a 的取值范围,计算后会发现,满足此范围的整数a 有无数多个,无法一一验证。

注意到要使整系数的一元二次方程方程有整数根,必须判别式为完全平方数。

本题的判别式是关于参数a 的一次式,一般可以设其为t 2(t 为非负整数),再将方程的根用t 表示出来从而求得其整数解。

解 当a = 0时,方程为-6x-2=0,无整数解。

当a≠0时,方程为一元二次方程,要使方程至少有一个整数根,必须判别式为完全平方数。

∵△=4(a-3)2-4a(a-2)=4(9-4a), ∴9-4a 为完全平方数。

设9-4a = t 2(t 为正奇数,且t≠3), 则 a=492t -. 此时,方程的二根为 x 1,2=a t a 2262±+- = -1+ a t ±3= -1 + 4932t t -± = -1+29)3(4tt -± x 1= -1+t +34 , x 2= -1+t-34 要使x 1为整数,而t 为正奇数,只能t=1,此时a=2;要使x 2为整数,t 只能为1,5,7,此时a = 2,-4,-10.综上所述,a 的值为2,-4,-10.例5 (2004年全国初中数学联赛试题)已知方程x 2-6x-4n 2-32n=0的根都是整数,求整数n 的值。

分析1 此题与上题的差别在于其判别式是关于参数的一次式,而是二次式,就不能用代入法了。

此类问题一般采用因式分解的方法求解。

解法1 因二次方程的根都是整数, 故△=4n 2+32n+9应为完全平方数。

设 4n 2+32n+9=k 2(k>0,k 为整数),即(2n+8)2-k 2=55,所以 (2n+8+k)(2n+8-k)=55因2n+8+k> 2n+8-k, 故可得如下4个方程组⎩⎨⎧=-+=++1825582k n k n ,⎩⎨⎧=-+=++5821182k n k n ,⎩⎨⎧-=-+-=++5582182k n k n ,⎩⎨⎧-=-+-=++1182582k n k n 分别解得n=10,n=0,n=-18,n=-8.分析2 因4n 2+32n+9=k 2又可以看作是关于n 的一元二次方程,本题也可以再用判别式来求解。

解法2 因二次方程的根都是整数,故△1=4n 2+32n+9应为完全平方数。

设 4n 2+32n+9=k 2(k>0,k 为整数),即4n 2+32n+9-k 2=0。

将其看作关于n 的一元二次方程,其判别式也应为完全平方数,即△2=322-4×4×(9-k 2)=16(k 2+55) 为完全平方数设k 2+55=t 2, (t>0,t 为整数), 即 (t + k)( t - k)=55因t+k>t-k 故可得如下4个方程组⎩⎨⎧=-=+155k t k t ,⎩⎨⎧=-=+511k t k t ,⎩⎨⎧-=--=+551k t k t , ⎩⎨⎧-=--=+115k t k t , 分别解得k=27, 3, -27或-3,于是 4n 2+32n+9=272,或4n 2+32n+9=33,分别解得n=10, n=-18,n=-8, n=0. 所以整数n 的值为-18,-8,0,10.例6(1996年湖北省黄冈地区初中数学竞赛试题)求使关于x 的方程 (a+1)x 2-(a 2+1)x+2a 3-6=0有整数根的所有整数a解 当a=-1时,方程为 -2x-8=0,x=-4 为整数根;当a≠-1时,Δ=-7a 4-8a 3+2a 2+24a+25若a≥2,由于-a 4+2a 2<0,-6a 4+24a<0,-8a 3+25<0,所以Δ<0,原方程无实根; 若a≤-2,由于-4a 4-8a 3<0,-2a 4+25<0,-a 4+2a 2<0,24a<0,所以Δ<0,原方程无实根; 当a=0时,原方程变为x 2-x-6=0 ,二根为-2,3;当a=1时,原方程变为2x 2-2x-4=0 ,二根为 -1,2。

综上所述,仅当a=-1,0,1,原方程才有可能有整数根评注1 本题条件中的有整数根,应该理解成至少有一个整数根。

2 本题中的判别式是一个四次式,不易求出其取值范围。

上面的解法是先对判别式的取值用分类讨论结合放缩的方法求出其范围来,再对这个范围中的整数逐一讨论。

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