小学奥数模块分类及典型例题示范
小学奥数 加法原理之分类枚举(一) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．一、加法原理概念引入 生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．三、加法原理解题三部曲知识要点教学目标7-1-1.加法原理之分类枚举（一）2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．例题精讲模块一、分类枚举——数出来的种类【例1】小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品10种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】小宝买一种礼物有三类方法：第一类，买玩具，有8种方法；第二类，买课外书，有20种方法；第三种，买纪念品，有10种方法．根据加法原理，小宝买一种礼物有8+20+10=38种方法．【答案】38【巩固】有不同的语文书6本，数学书4本，英语书3本，科学书2本，从中任取一本，共有多少种取法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】根据加法原理，共有6+4+3+2=15种取法．【答案】15【巩固】阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人．从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？【考点】加法原理之分类枚举【难度】2星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】解决这个问题有3类办法：从一班、二班、三班男生中任选1人，从一班18名男生中任选1人有18种选法：同理，从二班20名男生中任选1人有20种选法；从三班16名男生中任意选1人有16种选法；根据加法原理，从四年级3个班中任选一名男生当升旗手的方法有：18201654++=种．【答案】54【例2】和为15的两个非零自然数共有对。
小学奥数模块分类及典型例题示范
小学奥数模块分类及典型例题示范小学奥数题型繁多，特对各类知识点进行归纳分类，希望能对孩子的各方面能力的锻炼以及综合能力的提升有所帮助。
这篇文章特别献给适合初入奥数之门的同学和家长。
一．计算模块1、速算与巧算典型例题：73÷36+105÷36+146÷36=()2、分数小数四则混合运算典型例题：5/9X1.8-1.4X2/7=（）3、循环小数运算典型例题：0.6+0.06+0.006+……=2002÷( )4、等差及等比数列典型例题：1+1/2+3+1/4+5+1/8+7+1/16+……求前20项的和。
5、分数裂项、换元、通项归纳求数列an=1/n(n+1) 的前n项和6、比较与估算典型例题：比较下列数的大小：17/172,35/353,46/4647、定义新运算典型例题：已知x、y为自然数，x▽y=x*3+y*y，求（5▽3）8、解方程典型例题：2x+5/6=7x-10/3二：数论模块1、质数与合数典型例题：求20以内所有质数总和与所有合数总和的差。
2、因数与倍数典型例题：求36与63的最小公倍数。
3、数的整除典型例题：五位数2668（）能被15整除，括号里的数字是多少。
4、位值原理典型例题：一个三位数，小数点向左移一位和向右移一位，两个数的差为990，求这个三位数。
5、余数性质典型例题：353和一个三位数的和除以11，余数为4。
求满足条件的最小自然数。
6、同余问题典型例题：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小自然数。
7、中国剩余定理典型例题：三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？（即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
）8、完全平方数典型例题：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
9、奇偶分析典型例题：1*1+2*2+3*3+……+2019*2019是奇数还是偶数？10、不定方程典型例题：已知x，y都是自然数，解方程x*x-y*y=9111、进制问题典型例题：十进制数2019转化为二进制数是（）12、最值问题典型例题：A、B都是正整数，且A+B=86，那么A×B的积最大是多少？三：几何模块1、长度与角度典型例题：用16个周长为16的小正方形拼成一个大正方形，这个大正方形的周长是多少？2、格点与割补典型例题：下图是1个8*12面积单位的图形，求矩形内多边形ABCDEFGH的面积。
小学奥数七大模块详解(超详细结构图)
重点小学内部奥数复习材料七大模块详解（七大模块：计算、数论、几何、行程、应用题、计数和杂题）模块一：计算模块1、速算与巧算2、分数小数四则混合运算及繁分数运算3、循环小数化分数与混合运算4、等差及等比数列5、计算公式综合6、分数计算技巧之裂项、换元、通项归纳7、比较与估算8、定义新运算9、解方程模块二：数论模块1、质数与合数2、因数与倍数3、数的整除特征及整除性质4、位值原理5、余数的性质6、同余问题7、中国剩余定理（逐级满足法）8、完全平方数9、奇偶分析10、不定方程11、进制问题12、最值问题模块三：几何模块（一）直线型1、长度与角度2、格点与割补3、三角形等积变换与一半模型4、勾股定理与弦图5、五大模型（二）曲线型1、圆与扇形的周长与面积2、图形旋转扫过的面积问题（三）立体几何1、立体图形的面积与体积2、平面图形旋转成的立体图形问题3、平面展开图4、液体浸物问题模块四：行程模块1、简单相遇与追及问题2、环形跑道问题3、流水行船问题4、火车过桥问题5、电梯问题6、发车间隔问题7、接送问题8、时钟问题9、多人相遇与追及问题10、多次相遇追及问题11、方程与比例法解行程问题模块五：应用题模块1、列方程解应用题2、分数、百分数应用题3、比例应用题4、工程问题5、浓度问题6、经济问题7、牛吃草问题模块六：计数模块1、枚举法之分类枚举、标数法、树形图法2、分类枚举之整体法、对应法、排除法3、加乘原理4、排列组合5、容斥原理6、抽屉原理7、归纳与递推8、几何计数9、数论计数模块七：杂题1、从简单情况入手2、对应与转化思想3、从反面与从特殊情况入手思想4、染色与覆盖5、游戏与对策6、体育比赛问题7、逻辑推理问题8、数字谜9、数独。
小学奥数七大模块详解(超详细结构图)
重点小学内部奥数复习材料七大模块详解（七大模块：计算、数论、几何、行程、应用题、计数和杂题）模块一：计算模块1、速算与巧算2、分数小数四则混合运算及繁分数运算3、循环小数化分数与混合运算4、等差及等比数列5、计算公式综合6、分数计算技巧之裂项、换元、通项归纳7、比较与估算8、定义新运算9、解方程模块二：数论模块1、质数与合数2、因数与倍数3、数的整除特征及整除性质4、位值原理5、余数的性质6、同余问题7、中国剩余定理（逐级满足法）8、完全平方数9、奇偶分析10、不定方程11、进制问题12、最值问题模块三：几何模块（一）直线型1、长度与角度2、格点与割补3、三角形等积变换与一半模型4、勾股定理与弦图5、五大模型（二）曲线型1、圆与扇形的周长与面积2、图形旋转扫过的面积问题（三）立体几何1、立体图形的面积与体积2、平面图形旋转成的立体图形问题3、平面展开图4、液体浸物问题模块四：行程模块1、简单相遇与追及问题2、环形跑道问题3、流水行船问题4、火车过桥问题5、电梯问题6、发车间隔问题7、接送问题8、时钟问题9、多人相遇与追及问题10、多次相遇追及问题11、方程与比例法解行程问题模块五：应用题模块1、列方程解应用题2、分数、百分数应用题3、比例应用题4、工程问题5、浓度问题6、经济问题7、牛吃草问题模块六：计数模块1、枚举法之分类枚举、标数法、树形图法2、分类枚举之整体法、对应法、排除法3、加乘原理4、排列组合5、容斥原理6、抽屉原理7、归纳与递推8、几何计数9、数论计数模块七：杂题1、从简单情况入手2、对应与转化思想3、从反面与从特殊情况入手思想4、染色与覆盖5、游戏与对策6、体育比赛问题7、逻辑推理问题8、数字谜9、数独。
小学奥数十一模块课件
四、应用题模块
1、和差倍问题 2、年龄问题 3、平均数问题 4、鸡兔同笼 5、周期问题 6、盈亏问题 7、工程问题 8、列方程解应用题 9、列方程组解应用题 10、分数应用题 11、比例应用题 12、牛吃草问题 13、经济问题
五、组合模块
1、图形的计算 2、逻辑推理 3、枚举法 4、加乘原理 5、排列组合 6、体育比赛中的问题 7、统筹与优化 8、抽屉原理 9、容斥原理 10、最值原理 11、概率问题 12、数论中的计数
问多少头牛才能在12天吃完第三块牧场的草？第三块牧场够30头牛吃几天？
六、行程模块
1、简单相遇与追及 2、环形跑道 3、流水行船 4、火车过桥 5、电梯与发车 6、方程法解行程问题 7、时钟问题 8、比例法解行程问题 9、多次相遇与追及 10、多人相遇 11、变速问题 12、行程问题综合
七、数列与数表
1、找规律画图 2、找规律填数 3、巧数图形 4、图形规律 5、数列规律 6、等差数列初步 7、等差数列瑾姐 8、日历数表 9、杨辉三角 10、综合选讲
7、数学建模中的问题，如果题目做如下改变，结果会是怎样：
（1）水速变为每小时2英里，其他条件不变，那么他找回草帽是什么时 候？
（2）船夫丢下的是一只鸭子，鸭子在静水中的速度是每小时4英里，那 么他找回鸭子是什么时候？
火车过桥问题
• 火车过电线杆 火车长400m，以20m/s的速度经过站台上的一根电线竿，需要多长时间？ • 火车过桥 火车长400m，以20m/s的速度经过长100m的桥，需要多长时间？ • 火车过人 （A）火车长400m，以20m/s的速度经过站台，站台上的工作人员以5m/s的 速度从车头跑向车尾，需要多长时间？ （B）火车长400m，以20m/s的速度经过站台，站台上的工作人员以4m/s的 速度奔跑，列车从背后经过工作人员需要多长时间？ • 火车过火车 （A）火车甲长400m，以20m/s的速度经过站台，站台旁边火车乙长600m， 正以10m/s的速度启动，请问火车甲从背后经过火车乙需要多长时间？ （B）火车甲长400m，以20m/s的速度经过站台，站台旁边火车乙长600m， 正以5m/s的速度启动，请问火车甲和火车乙面对面交错需要多长时间？
小学奥数 加法原理之分类枚举(一) 精选例题练习习题(含知识点拨)
1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．一、加法原理概念引入 生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．三、加法原理解题三部曲1、完成一件事分N 类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．例题精讲知识要点教学目标7-1-1.加法原理之分类枚举（一）模块一、分类枚举——数出来的种类【例 1】小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品10种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？【巩固】有不同的语文书6本，数学书4本，英语书3本，科学书2本，从中任取一本，共有多少种取法？【巩固】阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人．从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？【例 2】和为15的两个非零自然数共有对。
小学奥数必须掌握的30个知识模块(详解版)
小学奥数必须掌握的30个知识模块1．和差倍问题和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系公式①(和－差)÷2=较小数较小数＋差=较大数和－较小数=较大数②(和＋差)÷2=较大数较大数－差=较小数和－较大数=较小数和÷(倍数＋1)=小数小数×倍数=大数和－小数=大数差÷(倍数-1)=小数小数×倍数=大数小数＋差=大数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数2．年龄问题的三个基本特征：①两个人的年龄差是不变的；②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；③两个人的年龄的倍数是发生变化的；3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；4．植树问题基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封闭曲线上植树基本公式棵数=段数＋1棵距×段数=总长棵数=段数－1棵距×段数=总长棵数=段数棵距×段数=总长关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系5．鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。
小学奥数分类型讲解(60种)
小学奥数分类型讲解(60种)1、最值问题【最小值问题】例1外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。
甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。
为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。
现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警。
（《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题）讲析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。
他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。
现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。
由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。
例2在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图5.92所示，它们爬行的速度相等。
若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？（湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题）讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达，即各自行的路程相等。
我们可将正方体表面展开，如图5.93，则A、B、C三点在同一平面上。
这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。
所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出AO=OC=OB。
故，O点即为三只蚂蚁会面之处。
【最大值问题】例1有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。
判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？（全国第二届“华杯赛”初赛试题）讲析：三个图的面积分别是：三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。
小学奥数常见的21个模块知识详解
小学奥数最常见的21个模块知识详解，附公式及例题！题型一：归一问题【含义】在解题时先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。
【数量关系】总量÷份数=单一量单一量×所占份数=所求几份的数量或总量A÷（总量B÷份数B）=份数A【解题思路】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
【例】买5支铅笔需要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？解：先求出一支铅笔多少钱——0.6÷5=0.12（元）再求买16支铅笔需要多少钱——0.12×16=1.92（元）综合算式：0.6÷5×16=0.12×16=1.92（元）题型二：归总问题【含义】解题时先找出“总数量”，再根据已知条件解决问题的题型。
所谓“总数量”可以指货物总价、几天的工作量、几亩地的总产量、几小时的总路程等。
【数量关系】1份数量×份数=总量总量÷一份数量=份数【解题思路】先求出总数量，再解决问题。
【例】服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进剪裁方法后，每套衣服用布2.8米。
问原来做791套衣服的布，现在可以做多少套衣服？解：先求这批布总共多少米——3.2×791=2531.2（米）再求现在可以做多少套——2531.2÷2.8=904（套）综合算式：3.2×791÷2.8=904（套）题型三：和差问题【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少。
【数量关系】大数=（和+差）÷2小数=（和－差）÷2【解题思路】简单题目直接套用上述公式，复杂题目变通后再套用公式。
【例】甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？解：直接套用公式——甲班人数=（98+6）÷2=52（人）乙班人数=（98-6）÷2=46（人）【含义】已知两个数的和及“大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几）”，求这两个数各是多少。
小学奥数七大模块详解（超详细结构图）
⼩学奥数七⼤模块详解（超详细结构图）重点⼩学内部奥数复习材料
七⼤模块详解
（七⼤模块：计算、数论、⼏何、⾏程、应⽤题、计数和杂题）
模块⼀：计算模块
1、速算与巧算
2、分数⼩数四则混合运算及繁分数运算
3、循环⼩数化分数与混合运算
4、等差及等⽐数列
5、计算公式综合
6、分数计算技巧之裂项、换元、通项归纳
7、⽐较与估算
8、定义新运算
9、解⽅程
模块⼆：数论模块
1、质数与合数
2、因数与倍数
3、数的整除特征及整除性质
4、位值原理
5、余数的性质
6、同余问题
7、中国剩余定理（逐级满⾜法）
8、完全平⽅数
9、奇偶分析
10、不定⽅程
11、进制问题
12、最值问题。
小学奥数最常见的21个模块知识
小学奥数最常见的21个模块知识题型一：归一问题【含义】在解题时先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。
【数量关系】总量÷份数=单一量单一量×所占份数=所求几份的数量或总量A÷（总量B÷份数B）=份数A【解题思路】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。
【例】买5支铅笔需要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？解：先求出一支铅笔多少钱——0.6÷5=0.12（元）再求买16支铅笔需要多少钱——0.12×16=1.92（元）综合算式：0.6÷5×16=0.12×16=1.92（元）题型二：归总问题【含义】解题时先找出“总数量”，再根据已知条件解决问题的题型。
所谓“总数量”可以指货物总价、几天的工作量、几亩地的总产量、几小时的总路程等。
【数量关系】1份数量×份数=总量总量÷一份数量=份数【解题思路】先求出总数量，再解决问题。
【例】服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进剪裁方法后，每套衣服用布2.8米。
问原来做791套衣服的布，现在可以做多少套衣服？解：先求这批布总共多少米——3.2×791=2531.2（米）再求现在可以做多少套——2531.2÷2.8=904（套）综合算式：3.2×791÷2.8=904（套）题型三：和差问题【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少。
【数量关系】大数=（和+差）÷2小数=（和－差）÷2【解题思路】简单题目直接套用上述公式，复杂题目变通后再套用公式。
【例】甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？解：直接套用公式——甲班人数=（98+6）÷2=52（人）乙班人数=（98-6）÷2=46（人）题型四：和倍问题【含义】已知两个数的和及“大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几）”，求这两个数各是多少。
小学奥数 加法原理之分类枚举(一) 精选例题练习习题(含知识点拨)
1.使学生掌握加法原理的基本内容；2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别；3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则．加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致．一、加法原理概念引入 生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决．例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．二、加法原理的定义一般地，如果完成一件事有k 类方法，第一类方法中有1m 种不同做法，第二类方法中有2m 种不同做法，…，第k 类方法中有k m 种不同做法，则完成这件事共有12 k N m m m =+++……种不同方法，这就是加法原理．加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：① 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；② 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．只有满足这两条基本原则，才可以保证分类计数原理计算正确．运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数．通俗地说，就是“整体等于局部之和”．三、加法原理解题三部曲1、完成一件事分N 类；2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事）；3、类类相加枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数．分类讨论的时候经常会需要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法．枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏．例题精讲知识要点教学目标7-1-1.加法原理之分类枚举（一）模块一、分类枚举——数出来的种类【例 1】小宝去给小贝买生日礼物，商店里卖的东西中，有不同的玩具8种，不同的课外书20本，不同的纪念品10种，那么，小宝买一种礼物可以有多少种不同的选法？【巩固】有不同的语文书6本，数学书4本，英语书3本，科学书2本，从中任取一本，共有多少种取法？【巩固】阳光小学四年级有3个班，各班分别有男生18人、20人、16人．从中任意选一人当升旗手，有多少种选法？【例 2】和为15的两个非零自然数共有对。
小学奥数--几何模型分类总结汇总版(鸟头、燕尾、风筝、一般模型等)
小学奥数--几何模型分类总结汇总版(鸟头、燕尾、风筝、一般模型等)目录模型一——《等积变换》一、知识点梳理二、例题精讲三、自我提升模型一——《等积变换》一、知识点梳理等积变换是指平面图形在平移、旋转、翻折、错位四种变换中，不改变其面积大小的变换。
在等积变换中，图形的各个部分相对位置关系保持不变，因此，等积变换也称为等面积变换或保角变换。
在等积变换中，我们需要掌握以下几个概念：1.平移：指图形沿着某一方向移动一段距离，保持图形大小和形状不变。
2.旋转：指图形绕某一点旋转一定角度，保持图形大小和形状不变。
3.翻折：指图形沿着某一直线对称，保持图形大小和形状不变。
4.错位：指图形中的各个部分按照一定规律移动，保持图形大小和形状不变。
二、例题精讲例1：如图，正方形ABCD经过变换后得到图形A'B'C'D'，则该变换是什么变换？解析：首先，我们可以看出图形A'B'C'D'与正方形ABCD的形状相同，因此，该变换是等积变换。
其次，我们可以发现，图形A'B'C'D'是将正方形ABCD逆时针旋转了90度得到的，因此，该变换是旋转变换。
例2：如图，图形ABCD经过变换得到图形A'B'C'D'，则该变换是什么变换？解析：首先，我们可以看出图形A'B'C'D'与图形ABCD的形状相同，因此，该变换是等积变换。
其次，我们可以发现，图形A'B'C'D'是将图形ABCD沿着直线EF翻折得到的，因此，该变换是翻折变换。
三、自我提升1.如果一个图形经过等积变换后，其面积大小发生了改变，那么这个变换是什么变换？2.如果一个图形经过等积变换后，其形状发生了改变，那么这个变换是什么变换？3.如果一个图形经过等积变换后，其面积大小和形状都没有发生改变，那么这个变换是什么变换？四、答案与解析本部分为题目的答案和解析，帮助读者检验自己的答题情况和巩固知识点。
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小学奥数模块分类及典型例题示范小学奥数题型繁多，特对各类知识点进行归纳分类，希望能对孩子的各方面能力的锻炼以及综合能力的提升有所帮助。
这篇文章特别献给适合初入奥数之门的同学和家长。
一．计算模块1、速算与巧算典型例题：73÷36+105÷36+146÷36=( )2、分数小数四则混合运算典型例题：5/9X1.8-1.4X2/7=（）3、循环小数运算典型例题：0.6+0.06+0.006+……=2002÷( )4、等差及等比数列典型例题：1+1/2+3+1/4+5+1/8+7+1/16+……求前20项的和。
5、分数裂项、换元、通项归纳求数列an=1/n(n+1) 的前n项和6、比较与估算典型例题：比较下列数的大小：17/172,35/353,46/4647、定义新运算典型例题：已知x、y为自然数，x▽y=x*3+y*y，求（5▽3）8、解方程典型例题：2x+5/6=7x-10/3二：数论模块1、质数与合数典型例题：求20以内所有质数总和与所有合数总和的差。
2、因数与倍数典型例题：求36与63的最小公倍数。
3、数的整除典型例题：五位数2668（）能被15整除，括号里的数字是多少。
4、位值原理典型例题：一个三位数，小数点向左移一位和向右移一位，两个数的差为990，求这个三位数。
5、余数性质典型例题：353和一个三位数的和除以11，余数为4。
求满足条件的最小自然数。
6、同余问题典型例题：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小自然数。
7、中国剩余定理典型例题：三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？（即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
）8、完全平方数典型例题：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
9、奇偶分析典型例题：1*1+2*2+3*3+……+2019*2019是奇数还是偶数？10、不定方程典型例题：已知x，y都是自然数，解方程x*x-y*y=9111、进制问题典型例题：十进制数2019转化为二进制数是（）12、最值问题典型例题：A、B都是正整数，且A+B=86，那么A×B的积最大是多少？三：几何模块1、长度与角度典型例题：用16个周长为16的小正方形拼成一个大正方形，这个大正方形的周长是多少？2、格点与割补典型例题：下图是1个8*12面积单位的图形，求矩形内多边形ABCDEFGH的面积。
3、三角形等积变换典型例题：已知正方形ABCD和DEFG，正方形ABCD的边长为8厘米。
求图中阴影部分面积。
4、勾股定理典型例题：一个直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，求斜边长度。
5、五大模型典型例题：点O为梯形ABCD两对角线的交点，三角形AOD的面积S1=1，DOC面积S4=4，求BOC 的面积S3。
6、圆与扇形典型例题：200米赛跑的起点和终点都位于直跑道上，中间要跑过一个半圆形的弯道，已知每条跑道宽度1.22米，那么外道的起点应该设置在内道起点前面多少米处？7、图形旋转扫过面积典型例题：在Rt△ABC中，∠C=90度，AC=3，将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA、BC为半径的圆形成一圆环，则该圆环的面积是多少？8、立体图形面积与体积典型例题：一个圆柱体体积为80，它的高是底面半径的1.5倍，求高多少？9、平面图形旋转成立体图形典型例题：边长为9的等边三角形沿着其中一边旋转一周，所经过的空间是一个什么形状？体积有多大？10、立体平面展开典型例题：冷饮蛋筒（含包装纸）的高是12cm，把包装纸切开后的扇形半径为13cm，求这个扇形的角度是多少（精确到整数）11、液体浸物问题典型例题：底面积为100平方厘米的容器中装有水，水面漂浮有一个长度为5厘米的正方体木块，木块浮出水面2厘米，如果将木块拿出，水面将下降多少厘米？模块四：行程模块1、简单相遇与追及问题典型例题：从城市甲到城市乙，火车A需要开10小时，火车B需要开15小时，如果两辆火车分别从甲乙两个城市同时出发，需要几小时相遇？2、环形跑道问题典型例题：佳佳和乐乐在边长为400米的跑道上跑步，两人速度分别为40米/分钟和50米/分钟，如果两人反向跑，几分钟后第二次相遇？3、流水行船问题典型例题：水流速度0.5米/秒，船速3米/秒，如果完全顺流而下，从A点出发开往2公里外的B 点，需要多少时间到达？4、火车过桥问题典型例题：甲火车长180米，每秒行16米；乙火车长120米，每秒行12米。
乙火车在前，两火车在双轨车道上行驶。
甲火车从后面追上乙火车到完全超过乙火车要用多少秒？5、电梯问题典型例题：商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40 级到达楼上，男孩走了80 级到达楼下．如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的3 倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？6、发车间隔问题典型例题：某人以匀速行走在一条公路上,公路的前后两端每隔相同的时间发一辆公共汽车。
他发现每隔15分钟有一辆公共汽车追上他；每隔10分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过。
问公共汽车每隔多少分钟发车一辆?7、接送问题典型例题：甲乙两辆汽车分别从A.B两成出发，相向而行，甲车和乙车的速度比是5：4，到两车相遇时距离中点48千米，两城之间的路程是多少千米？甲乙两辆汽车分别从A.B两成出发，相向而行，甲车和乙车的速度比是5：4，到两车相遇时距离中点48千米，两城之间的路程是多少千米？8、时钟问题典型例题：在10点与11点之间，时针和分针在什么时刻垂直？9、多人相遇与追及典型例题：快、中、慢三个不同的超人同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。
这三个超人分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。
快超人每分钟飞24千米，中超人每分钟飞20千米，慢超人每分钟飞多少千米？10、多次相遇追及典型例题：环形跑道长400米，老张、小王、小刘从同一地点出发，围绕跑道分别慢走、跑步和骑自行车。
已知三人速度分别为1米/秒，3米/秒和6米/秒。
问小王第3次超越老张时，小刘已超越小王多少次？11、方程法解行程问题典型例题：老李从家里去图书馆还书，如果每分钟走70米，能在闭馆前2分钟到达，如果每分钟走50米，就要超过闭馆时间2分钟。
求老李家到图书馆的距离。
12、比例法解行程问题典型例题：甲、乙两地间的公路，汽车行全程需1.4小时，步行全程需14小时。
一个人由甲地出发，步行3.5小时后改乘汽车，他到达乙地总共用多少小时?模块五：应用题模块1、列方程解应用题典型例题：已知足球、篮球、排球三种球平均每个35元，篮球比排球每个贵10元，足球比排球每个贵8元，每个篮球多少元？2、分数应用题典型例题：有两桶水，第一桶水的重量是第二桶水的6倍，从第一桶取出12千克水加入第二桶，这时第一桶水的重量是第二桶的4倍，问第一桶原来有水多少千克？3、比例应用题典型例题：在一幅地图上，用3厘米的线段表示实际距离600千米。
量得甲、乙两地的距离是4.5厘米，甲、乙两地的实际距离是多少千米?4、工程问题典型例题：一项工程，如果甲单独做，需要3天完成，乙单独做，需要6天完成。
如果两队合作，请问需要多少天完成?5、浓度问题典型例题：一容器内有浓度为25％的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15％，问这个容器内原来含有糖__________千克。
6、经济问题典型例题：某商店进了一批笔记本，按30%的利润定价。
当售出这批笔记本的80%后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售。
问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？7、牛吃草问题典型例题：有一片草场，草每天生长速度不变。
如果14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完。
那么17头牛和20只羊多少天可将草吃完？模块六：计数模块1、枚举法（分类法、标数法、树形图法）典型例题：下图中有多少个正方形？2、加乘原理典型例题：麦当劳套餐包含一个汉堡、一杯饮料和一份小吃，共有3种汉堡，4种饮料，5种小吃，请问有多少种搭配方法。
3、排列组合典型例题：用0、1、2、5组成一个数字不重复的四位数，如果这个四位数必须被5整除，请问有多少种可能？4、容斥原理典型例题：中秋前期，食监局对52种月饼产品进行质量抽检，其中有8种产品的添加剂不合格，10种产品的微生物超标不合格，9种产品的过氧化值超标不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。
则三项全部合格的月饼有多少种？5、抽屉原理典型例题：六（2）班有学生39人，我们可以肯定，在这39人中，至少有几人的生日在同一个月？6、归纳与递推典型例题：甲乙丙丁四个人玩传球游戏，规定甲不能传给乙，乙不能传给丙，丙不能传给丁，丁不能传给甲，请问从甲开始传六次球后又回到甲，有多少种传法？7、几何计数典型例题：下面图形中有多少个三角形？8、数论计数典型例题：4名男生，5名女生，全体排成一行，如果要求甲不在中间也不在两端，有多少种排法？模块七：杂题1、从简单情况入手典型例题：12345678987654321是多少的平方？2、对应与转化思想典型例题：有多少个四位数，满足个位数字比千位数字大，千位数字比百位数字大，百位数字比十位数字大？3、反面与从特殊情况典型例题：有4张卡片，每张卡片两面各有一个数字，第一张0和1，第二张2和3，第三张4和5，第四张6和7。
从4张卡片中选两张，那么一共可以组成多少个不同的数字？4、染色与覆盖典型例题：某个展览大厅是一个6*6的棋盘状，每个棋盘格子是一个展览室，相邻展览室之间有门相通。
现在有人想从入口开始，不重复不遗漏地走完所有的展览室。
已知该展览室的入口在左上角，出口在右下角，问，有无这种行走路径？5、游戏与对策典型例题：甲、乙两人轮流报数，每次报的数都是不超过8的自然数。
把两人报的数逐次相加，谁正好使和达到88，谁就获胜。
甲欲取胜有何策略？6、体育比赛问题典型例题：20名羽毛球运动员参加单打比赛，实行淘汰赛，那么冠军一共需要参加多少场比赛？7、逻辑推理问题典型例题：甲乙丙丁四个人，已知乙不是最高的，但他比A、D高，而A不比D高，请按高矮排列。
8、数字谜典型例题：下面6个□中的数字总和是多少？9、数独典型例题：完成下面的九宫格。