高二第二学期数学期末考试试卷含答案(word版)
高二年级下学期期末考试数学试题与答案解析(共三套)
高二年级下学期期末考试数学试题(一)注意事项:1.本试卷共22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
2.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
3.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.记S n为等差数列{a n}的前n项和,若a2=3,a5=9,则S6为()A.36 B.32 C.28 D.242.的展开式中的常数项为()A.﹣60 B.240 C.﹣80 D.1803.设曲线在处的切线与直线y=ax+1平行,则实数a等于()A.﹣1 B.C.﹣2 D.24.在2022年高中学生信息技术测试中,经统计,某校高二学生的测试成绩X~N(86,σ2),若已知P(80<X≤86)=0.36,则从该校高二年级任选一名考生,他的测试成绩大于92分的概率为()A.0.86 B.0.64 C.0.36 D.0.145.设函数,若f(x)在点(3,f(3))的切线与x轴平行,且在区间[m﹣1,m+1]上单调递减,则实数m的取值范围是()A.m≤2 B.m≥4 C.1<m≤2 D.0<m≤36.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与喜好阅读是否有关,通过随机询问120名高中生是否喜好阅读,利用2×2列联表,由计算可得K2=4.236.P(K2≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k0)k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828参照附表,可得正确的结论是()A.有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”B.有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”C.有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”D.有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”7.某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示正方形ABCD(边长为2个单位)的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,如果掷出的点数为i(i=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位,一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有()A.22种B.24种C.25种D.27种8.若两个等差数列{a n},{b n}的前n项和分别为A n、B n,且满足,则的值为()A.B.C.D.二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
高二第二学期期末考试数学试题含答案(word版)
高二年级第二学期期末考试数学试题一、选择题(每小题5分,共50分)1.在用数学归纳法证明:“凸多边形内角和为π)2(-n ”时,第一步验证的n 等于( ) A .1 B .3 C .5 D .7 2.欧拉公式x i x e ix sin cos +=(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天骄”。
根据欧拉公式可知,i e 32π表示的复数位于复平面中的( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.用反证法证明:“实数z y x ,,中至少有一个不大于0”时,反设正确的是( ) A .z y x ,,中有一个大于0 B .z y x ,,都不大于0 C .z y x ,,都大于0 D .z y x ,,中有一个不大于0 4.设随机变量),(~p n B X ,且 1.6Ex =,0.96Dx =,则( )A .0.4p 4,n ==B .0.2p 8,n ==C .0.32p 5,n ==D .0.45p 7,n == 5.曲线)20(sin π≤≤=x x y 与x 轴所围成的封闭图形的面积为 ( ) A .2B .π2C .πD .46.已知函数x e x f x ln )(2⋅=,)(x f '为)(x f 的导函数,则)1(f '的值为( ) A .0 B .1C .eD .2e7.给出定义:设)(x f '是函数)(x f y =的导函数,)(x f ''是函数)(x f '的导函数,若方程0)(=''x f 有实数解0x ,则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”.已知函数x x x x f cos sin 3)(-+=的拐点是))(,(00x f x ,则=0tan x ( ) A .21 B .22C .23 D .18.魏晋时期数学家刘徽首创割圆术,他在《九章算术》中指出:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”.这是一种无限与有限的转化过程,比如在正数Λ++112112中的“…”代表无限次重复,设Λ++=112112x ,则可以利用方程x x +=112求得x ,类似地可得到正数Λ333=( ) A .2 B .3 C .4 D .69.已知6)(x xa -展开式的常数项为15,则=a ( )A .1±B .0C .1D .-110.某地区高考改革,实行“3+2+1”模式,即“3”指语文、数学、外语三门必考科目,“1”指在物理、历史两门科目中必选一门,“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科,则一名学生的不同选科组合有( ) A .8种 B .12种 C .16种 D .20种二、填空题(每小题5分,共20分)11.设随机变量X 的概率分布列如下图,则==-)12(x P __. 12.曲线1)(+=x xe x f 在点))0(,0(f 处的切线方程为_____. 13.复数z 满足12=+-i z ,则z 的最小值是___________.14.椭圆1422=+y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 .三、解答题(每小题10分,共50分)15.已知复数i iaz ++=1,其中i 为虚数单位,R a ∈. (1)若R z ∈,求实数a 的值;(2)若z 在复平面内对应的点位于第一象限,求实数a 的取值范围.16.用数学归纳法证明:当*N n ∈时,21223+++n n 能被7整除.17.近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重. 大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病。
2023-2024学年重庆市高二(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年重庆市高二(下)期末考试数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数,则满足f′(x)=f(x)的函数f(x)是( )A. f(x)=x 2B. f(x)=e xC. f(x)=lnxD. f(x)=tanx2.如图是学校高二1、2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图,如果再从两个班中各随机抽6名学生的中期考试数学成绩统计,那么( )A. 两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等B. 1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班C. 2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的D. “两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确3.对于函数f(x)=x 3+bx 2+cx +d ,若系数b ,c ,d 可以发生改变,则改变后对函数f(x)的单调性没有影响的是( )A. bB. cC. dD. b ,c4.某地根据以往数据,得到当地16岁男性的身高ycm 与其父亲身高xcm 的经验回归方程为y =1417x +29,当地人小王16岁时身高167cm ,他父亲身高170cm ,则小王身高的残差为( )A. −3cmB. −2cmC. 2cmD. 3cm5.若函数f(x)=(x 2+bx +1)e x ,在x =−1时有极大值6e −1,则f(x)的极小值为( )A. 0B. −e −3C. −eD. −2e 36.甲、乙、丙、丁、戊五个人站成一排照相,若甲不站最中间的位置,则不同的排列方式有( )A. 48种B. 96种C. 108种D. 120种7.若王阿姨手工制作的工艺品每一件售出后可以获得纯利润4元,她每天能够售出的工艺品(单位:件)均值为50,方差为1.44,则王阿姨每天能够获得纯利润的标准差为( )A. 1.2B. 2.4C. 2.88D. 4.88.若样本空间Ω中的事件A 1,A 2,A 3满足P(A 1)=P(A 1|A 3)=14,P(A 2)=23,P(−A 2|A 3)=25,P(−A 2|−A 3)=16,则P(A 1−A 3)=( )A. 114B. 17C. 27D. 528二、多选题:本题共3小题,共18分。
福建省福州2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学及答案
福州2023-2024学年第二学期期末考试高二数学(答案在最后)一、单选题1.已知tan22α=,则1cos sin αα+的值是()A.2B.2C.D.122.已知复数2i1iz -=+(其中i 为虚数单位),则z =()A.13i 22- B.13i 22+C.33i 22- D.33i 22+3.若0a b <<,则下列结论正确的是()A.ln ln a b> B.22b a< C.11a b< D.1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4.已知(31)(1)n x x -+的展开式中所有项的系数之和为64,则展开式中含4x 的项的系数为()A.20B.25C.30D.355.已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>的部分图像如图所示,则函数()f x 的一个单调递增区间是()A.75,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭B.7,1212ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.,36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ D.1117,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭6.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过1F 的直线与C 的左、右支分别交于点P 、Q .若1:1:2F P PQ =,且122cos 3F QF ∠=,则C 的离心率为()A.3B.2C.D.7.等差数列()*12,,n a a a n N∈ ,满足121212111222n n n a a a a a a a a a +++=++++=++++++++ 122010333n a a a =+++=+++ ,则()A.n 的最大值是50B.n 的最小值是50C.n 的最大值是51D.n 的最小值是518.对于曲线22:1C x y --+=,给出下列三个命题:①关于坐标原点对称;②曲线C 上任意一点到坐标原点的距离不小于2;③曲线C 与曲线3x y +=有四个交点.其中正确的命题个数是()A.0B.1C.2D.3二、多选题9.已知22()1xf x x =+,则下列说法正确的有()A.()f x 奇函数B.()f x 的值域是[1,1]-C.()f x 的递增区间是[1,1]- D.()f x 的值域是(,1][1,)-∞-+∞ 10.已知抛物线24y x =的焦点为F ,点P 在准线上,过点F 作PF 的垂线且与抛物线交于A ,B 两点,则()A.PF 最小值为2B.若PA PB =,则2AB PF =C.若8AB =,则PF =D.若点P 不在x 轴上,则2FA FB PF⋅>11.已知随机变量X 、Y ,且31,Y X X =+的分布列如下:X 12345Pm11015n310若()10E Y =,则()A.310m =B.15n =C.()3E X =D.7()3D Y =12.已知数列{}n a 满足2122n n n a a a +=-+,则下列说法正确的是()A.当112a =时,()5124n a n <≤≥ B.若数列{}n a 为常数列,则2n a =C.若数列{}n a 为递增数列,则12a > D.当13a =时,1221n n a -=+三、填空题13.函数()()lg 12x f x x +=+的定义域是_________.14.若一个圆的圆心是抛物线24x y =的焦点,且该圆与直线3y x =+相切,则该圆的标准方程是__________.15.已知函数()(),f x g x 的定义域为R ,且()()()()6,24f x f x f x g x -=+-+=,若()1g x +为奇函数,()23f =,则311()k g k ==∑__________.四、解答题16.ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且ABC的面积tan 4S ac B =⋅.(1)求B ;(2)若a 、b 、c 成等差数列,ABC 的面积为32,求b .17.某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表:优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =,设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据,能否认为12.247≈)附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82818.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知2cos a ca B =-.(1)证明:2B A =;(2)若3a =,b =,求c .19.双败淘汰制是一种竞赛形式,与普通的单败淘汰制输掉一场即被淘汰不同,参赛者只有在输掉两场比赛后才丧失争夺冠军的可能.在双败淘汰制的比赛中,参赛者的数量一般是2的次方数,以保证每一轮都有偶数名参赛者.第一轮通过抽签,两人一组进行对阵,胜者进入胜者组,败者进入负者组.之后的每一轮直到最后一轮之前,胜者组的选手两人一组相互对阵,胜者进入下一轮,败者则降到负者组参加本轮负者组的第二阶段对阵;负者组的第一阶段,由之前负者组的选手(不包括本轮胜者组落败的选手)两人一组相互对阵,败者被淘汰(已经败两场),胜者进入第二阶段,分别对阵在本轮由胜者组中降组下来的选手,胜者进入下一轮,败者被淘汰.最后一轮,由胜者组最终获胜的选手(此前从未败过,记为A )对阵负者组最终获胜的选手(败过一场,记为B ),若A 胜则A 获得冠军,若B 胜则双方再次对阵,胜者获得冠军.某围棋赛事采用双败淘汰制,共有甲、乙、丙等8名选手参赛.第一轮对阵双方由随机抽签产生,之后每一场对阵根据赛事规程自动产生对阵双方,每场对阵没有平局.(1)设“在第一轮对阵中,甲、乙、丙都不互为对手”为事件M ,求M 的概率;(2)已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为23,解决以下问题:①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率;②若甲在第一轮获胜,设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量ξ,求ξ的分布列.20.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,cos()1B A C ++=.(1)求角B 的大小;(2)若M 为BC 的中点,且AM AC =,求sin BAC ∠.21.已知函数()()2111()R ,ax x f x x ea a g x e x +-=+-∈=-.(1)求函数()f x 的单调区间;(2)对∀a ∈(0,1),是否存在实数λ,[][]1,,1,n m a a a a ∃∈∀∈--,使()2()0f g n m λ-⎡⎤⎣<⎦成立,若存在,求λ的取值范围;若不存在,请说明理由.福州2023-2024学年第二学期期末考试高二数学一、单选题1.已知tan22α=,则1cos sin αα+的值是()A.2B.2C.D.12【答案】D 【解析】【分析】利用二倍角公式和商公式即可得出答案.【详解】由tan 22α=,则212cos 11cos 2sin 2sin cos 22ααααα+-+=2cos 2sin cos 22ααα=1tan 2α=12=.故选:D 2.已知复数2i1iz -=+(其中i 为虚数单位),则z =()A.13i 22- B.13i 22+C.33i 22- D.33i 22+【答案】B 【解析】【分析】利用复数的除法法则、共轭复数的定义即可得出.【详解】由已知()()()()2i 1i 13i1i 1i 22z --==-+-,则13i 22z =+.故选:B .3.若0a b <<,则下列结论正确的是()A.ln ln a b >B.22b a < C.11a b< D.1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质判断B ,C ,利用对数函数和指数函数的性质判断A ,D.【详解】因为函数ln y x =在()0+∞,上单调递增,0a b <<,所以ln ln b a >,A 错误,因为0a b <<,由不等式性质可得220a b <<,B 错误,因为0a b <<,所以0a b -<,0ab >,所以110a b b a ba --=<,故11b a<,C 错误,因为函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0+∞,上单调递减,0a b <<,所以1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴D 正确,故选:D.4.已知(31)(1)n x x -+的展开式中所有项的系数之和为64,则展开式中含4x 的项的系数为()A.20B.25C.30D.35【答案】B 【解析】【分析】根据所有项的系数之和求解n ,写出(1)n x +的展开式,求3x 与二项式中含3x 的项相乘所得的项,-1与二项式中含4x 的项相乘所得的项,两项相加,即为(31)(1)n x x -+的展开式中含4x 的项.【详解】所有项的系数之和为64,∴(31)(11)64n -+=,∴5n =5(31)(1)(31)(1)n x x x x -+=-+,5(1)x +展开式第1r +项515r r r T C x -+=,2r =时,2333510T C x x ==,3431030x x x ⋅=,1r =时,144255T C x x ==,44(1)55x x -⨯=-,44430525x x x -=,故选:B .5.已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>的部分图像如图所示,则函数()f x 的一个单调递增区间是()A.75,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭B.7,1212ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.,36ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D.1117,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】由图像得出解析式,再由正弦函数的单调性判断即可.【详解】根据函数()()2sin (0)f x x ωϕω=+>的部分图像,可得1122544312T πππω⋅=⋅=-解得2ω=,∴函数()()2sin 2f x x ϕ=+再把5,212π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数的解析式,可得52sin 26ϕπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴5sin 1,2πZ ,63k k ππϕϕ⎛⎫+=∴=-+∈⎪⎝⎭()故函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令222,232k x k k Z πππππ--+∈ ,得51212k x k πππ-π+ ,当1k =时,函数()f x 的一个单调递增区间是1117,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选:D.6.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过1F 的直线与C 的左、右支分别交于点P 、Q .若1:1:2F P PQ =,且122cos 3F QF ∠=,则C 的离心率为()A.3 B.2C.D.【答案】A 【解析】【分析】由向量的关系求出线段之间的关系,设1||PF x =,则||2PQ x =,1||3QF x =,再由双曲线的定义可得2||2PF a x =+,2||32QF x a =-,再由数量积为可得直线的垂直,分别在两个直角三角形中由余弦定理可得a ,c 的关系,可求出离心率.【详解】1:1:2F P PQ =,设1||PF x =,则||2PQ x =,1||3QF x =,由双曲线的定义可得2||2PF a x =+,2||32QF x a =-,因为122cos 3F QF ∠=,在12QF F 中,由余弦定理有222121212122cos F F QF QF QF QF F QF =+-⋅⋅∠,即22224(3)(32)3(32)32c x x a x x a -⨯=+--⨯,①在2PQF 中,由余弦定理有222222122cos PF PQ QF PQ QF F QF =+-⋅⋅∠,即2222(2)(32)(2)(32)(2)32a x x a x x a x -+=-+-⨯,②由②可得83x a =,代入①可得229c a =,即3c a =.所以C 的离心率为:3ce a==,故选:A.公众号:高中试卷君7.等差数列()*12,,n a a a n N∈ ,满足121212111222n n n a a a a a a a a a +++=++++=++++++++ 122010333n a a a =+++=+++ ,则()A.n 的最大值是50B.n 的最小值是50C.n 的最大值是51D.n 的最小值是51【答案】A 【解析】【分析】不妨设10a >,0d <,由对称性可得:2,*n k k N =∈.可得10k k a a +>⎧⎨<⎩,130k a ++<.解得3d <-.可得()121222010k k k k a a a a a a +++++-+++= ,可得22010k d =-,解出即可得出.【详解】解:不妨设10a >,0d <,由对称性可得:2,*n k k N =∈.则10k k a a +>⎧⎨<⎩,130k a ++<.()110a k d +->,10a kd +<,130a kd ++>∴3d <-∴()121222010k k k k a a a a a a +++++-+++= ,∴22010k d =-,∴220103k-<-,解得:k <,∴2k <,∴250k ≤.∴n 的最大值为50.故选:A .【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质、方程与不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.8.对于曲线22:1C x y --+=,给出下列三个命题:①关于坐标原点对称;②曲线C 上任意一点到坐标原点的距离不小于2;③曲线C 与曲线3x y +=有四个交点.其中正确的命题个数是()A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】分析两个曲线的对称性,并结合函数的图象和性质,利用数形结合,即可判断①③,利用基本不等式,即可判断②.【详解】①将曲线22:1C x y --+=中的x 换成x -,将y 换成y -,方程不变,所以曲线关于原点对称,并且关于x 轴和y 轴对称,故①正确;②设曲线C 上任一点为(),P x y ()222222222211224y x x y x y xy x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭,当2222y x x y=,即222x y ==时,等号成立,2≥,曲线C 上任意一点到坐标原点的距离不小于2,故②正确;③曲线3x y +=中的x 换成x -,将y 换成y -,方程不变,所以曲线关于原点对称,并且关于x 轴和y 轴对称,并且将x 换成y ,y 换成x ,方程不变,所以曲线也关于y x =对称,曲线2211:1C x y +=中,21x ≥且21y ≥,将曲线2211:1C x y+=中的x 换成y ,y 换成x ,方程不变,所以曲线C 也关于y x =对称,当0,0x y >>时,联立22111x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,得x y ==,当0,0x y >>时,y ==1x >时,函数单调递减,3<,所以点在直线3x y +=的下方,如图,在第一象限有2个交点,根据两个曲线的对称性可知,其他象限也是2个交点,则共有8个交点,故③错误;故选:C【点睛】关键点点睛:本题的关键是③的判断,判断的关键是对称性的判断,以及将方程转化为函数,判断函数的单调性,即可判断.二、多选题9.已知22()1xf x x =+,则下列说法正确的有()A.()f x 奇函数B.()f x 的值域是[1,1]-C.()f x 的递增区间是[1,1]- D.()f x 的值域是(,1][1,)-∞-+∞ 【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ,利用奇函数的定义进行判断;对于B ,D ,利用判别式法求其值域;对于C ,利用单调性的定义进行判断【详解】对于A ,()221xf x x =+,其定义域为R ,有()()221x f x f x x -=-=-+,为奇函数,A 正确;对于B ,221xy x =+,变形可得220yx x y -+=,则有2440y ∆=-≥,解可得11y -≤≤,即函数的值域为[]1,1-,B 正确,对于C ,()221xf x x =+,任取12,x x R ∈,且12x x <,则1221121222221212222()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++,当12,[1,1]x x ∈-,所以12())0(f x f x -<,即12()()f x f x <,所以()f x 的递增区间是[1,1]-,所以C 正确,对于D ,由选项B 的结论,D 错误,故选:ABC .10.已知抛物线24y x =的焦点为F ,点P 在准线上,过点F 作PF 的垂线且与抛物线交于A ,B 两点,则()A.PF 最小值为2B.若PA PB =,则2AB PF =C.若8AB =,则PF = D.若点P 不在x 轴上,则2FA FB PF⋅>【答案】ABC 【解析】【分析】根据抛物线的定义,结合两点间距离公式、抛物线的性质逐一判断即可.【详解】点()1,0F ,抛物线的准线方程为=1x -,设()1,P m -,2PF ==≥=,所以点P 在横轴上时PF 有最小值2,所以选项A 正确;若PA PB =,根据抛物线的对称性可知点P 在横轴上,把1x =代入24y x =中,得2y =±,()224AB =--=,此时2PF =,于是有2AB PF =,所以选项B 正确;因为8AB =,显然点P 不在横轴上,则有22PF AB m k k m=⇒=-,所以直线AB 的方程为()21y x m=-代入抛物线方程中,得()2244240x x m -++=,设()()1122,,,A x y B x y ,2122x x m +=+22121182284AB x x m m =+++=⇒++=⇒=,PF ===,所以选项C 正确,点P 不在x 轴上,由上可知:2122x x m +=+,121=x x ,()()22121212111224x x x x x x FA FB m m =++=+++=++=+⋅,而224PFm =+,显然2FA FB PF ⋅=,所以选项D 不正确,故选:ABC11.已知随机变量X 、Y ,且31,Y X X =+的分布列如下:X 12345Pm11015n310若()10E Y =,则()A .310m =B.15n =C.()3E X =D.7()3D Y =【答案】AC 【解析】【分析】由分布列的性质和期望公式求出,m n 可判断ABC ;由方差公式可判断D .【详解】由113110510m n ++++=可得:25m n +=①,又因为()()()313110E Y E X E X =+=+=,解得:()3E X =,故C 正确.所以()1132345310510E X m n =+⨯+⨯++⨯=,则7410m n +=②,所以由①②可得:13,1010n m ==,故A 正确,B 错误;()()()()()2222231113()1323334353101051010D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯3113134114101010105=⨯+⨯+⨯+⨯=,()()13117()319955D Y D X D X =+==⨯=,故D 错误.故选:AC .12.已知数列{}n a 满足2122n n n a a a +=-+,则下列说法正确的是()A.当112a =时,()5124n a n <≤≥ B.若数列{}n a 为常数列,则2n a =C.若数列{}n a 为递增数列,则12a > D.当13a =时,1221n n a -=+【答案】AD 【解析】【分析】令1n n b a =-可得21n n b b +=,据此判断A ,令n a t =,由递推关系222t t t =-+求出即可判断B ,根据B 及条件数列{}n a 为递增数列,分类讨论求出10a <或12a >时判断C ,通过对21n n b b +=取对数,构造等比数列求解即可判断D.【详解】对于A ,当112a =时,254a =,令1n n b a =-,则21n n b b +=,214b =,故()1024n b n <≤≥,即()5124n a n <≤≥,A 正确;对于B ,若数列{}n a 为常数列,令n a t =,则222t t t =-+,解得1t =或2,1n t a =∴=或2n a =,B 不正确;对于C ,令1n n b a =-,则21n n b b +=,若数列{}n a 为递增数列,则数列{}n b 为递增数列,则210n n n n b b b b +-=->,解得0n b <或1n b >.当11b <-时,2211b b =>,且21n n b b +=,2312,n b b b b b ∴<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅<,此时数列{}n b 为递增数列,即数列{}n a 为递增数列;当110b -≤<时,201b <≤,且21n n b b +=,2312,n b b b b b ∴≥≥⋅⋅⋅≥≥⋅⋅⋅<,此时数列{}n b 不为递增数列,即数列{}n a 不为递增数列;当11b >时,21n n b b +=,123n b b b b ∴<<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅,此时数列{}n b 为递增数列,即数列{}n a 为递增数列.综上,当11b <-或11b >,即10a <或12a >时,数列{}n a 为递增数列,C 不正确;对于D ,令1n n b a =-,则21n n b b +=,12b =,两边同时取以2为底的对数,得212log 2log n n b b +=,21log 1b =,∴数列{}2log n b 是首项为1,公比为2的等比数列,12log 2n n b -∴=,即11222,21n n n n b a --=∴=+,D 正确.故选:AD.【点睛】关键点点睛:本题所给数列的递推关系并不常见,对学生的理性思维要求比较高,求解时将已知条件变为()2111n n a a +-=-是非常关键的一步,再根据每个选项所附加的条件逐一进行判断,既有求解数列的项的取值范围的问题,又考查了数列的单调性、数列通项的求解,要求学生具备扎实的逻辑推理能力.本题难度比较大,起到压轴的作用.公众号:高中试卷君三、填空题13.函数()()lg 12x f x x +=+的定义域是_________.【答案】()1,-+∞【解析】【分析】由真数大于0和分母不等于0建立不等式组即可求解.【详解】解:由1020x x +>⎧⎨+≠⎩,可得1x >-,所以函数()()lg 12x f x x +=+的定义域是()1,-+∞,故答案为:()1,-+∞.14.若一个圆的圆心是抛物线24x y =的焦点,且该圆与直线3y x =+相切,则该圆的标准方程是__________.【答案】()2212x y +-=【解析】【分析】求出圆心和半径可得答案.【详解】抛物线的焦点为(0,1),故圆心为(0,1),圆的半径为R ==,故圆的方程为:22(1)2x y +-=.故答案为:22(1)2x y +-=.15.已知函数()(),f x g x 的定义域为R ,且()()()()6,24f x f x f x g x -=+-+=,若()1g x +为奇函数,()23f =,则311()k g k ==∑__________.【答案】1-【解析】【分析】由()f x 的对称性及()()24f x g x -+=得()()2g x g x =--,再由()1g x +为奇函数得()()4g x g x =--,从而得()()8g x g x -=,即()g x 是周期为8的周期函数,再利用周期可得答案.【详解】由()1g x +为奇函数,得()()11g x g x -+=-+,即()()2g x g x -=-,由()()6f x f x -=+,得()()()2422f x f x f x ⎡⎤-=+=---⎣⎦,又()()24f x g x -+=,于是()()442g x g x -=---,即()()2g x g x =--,从而()()22g x g x -=---,即()()4g x g x +=-,因此()()()84g x g x g x -=--=,函数()g x 的周期为8的周期函数,显然(1)(5)(2)(6)(3)(7)(4)(8)0g g g g g g g g +=+=+=+=,又(32)(0)4(2)1g g f ==-=,所以83111()4()(32)4011k k g k g k g ===-=⨯-=-∑∑.故答案为:1-【点睛】结论点睛:函数()f x 关于直线x a =对称,则有()()f a x f a x +=-;函数()f x 关于(,)a b 中心对称,则有()2()2f a x f x b -+=;函数()f x 的周期为2a ,则有()()f x a f x a -=+.四、解答题16.ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且ABC 的面积tan 4S ac B =⋅.(1)求B ;(2)若a 、b 、c 成等差数列,ABC 的面积为32,求b .【答案】(1)6π(2)1+【解析】【分析】(1)由三角形面积公式和同角三角函数的关系化简已知式子可求得B ;(2)由a 、b 、c 成等差数列,可得22242a c b ac +=-,再由ABC 的面积为32,可得6ac =,然后利用余弦定理可求得结果【小问1详解】∵1sin tan 24S ac B ac B ==,∴1sin sin 24cos B B B =⋅,即3cos 2B =,∵0B π<<,∴6B π=.【小问2详解】∵a 、b 、c 成等差数列,∴2b a c =+,两边同时平方得:22242a c b ac +=-,又由(1)可知:6B π=,∴113sin 242S ac B ac ===,∴6ac =,222412a c b +=-,由余弦定理得,22222241243cos 21242a cb b b b B ac +----====,解得24b =+,∴1b =+17.某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表:优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =,设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据,能否认为12.247≈)附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)答案见详解(2)答案见详解【解析】【分析】(1)根据题中数据完善列联表,计算2K ,并与临界值对比分析;(2)用频率估计概率可得0.64p =,根据题意计算p +,结合题意分析判断.【小问1详解】根据题意可得列联表:优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K ⨯-⨯===⨯⨯⨯,因为3.841 4.6875 6.635<<,所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异.【小问2详解】由题意可知:生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品的频率为960.64150=,用频率估计概率可得0.64p =,又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =,则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈,可知p p >+所以可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了.18.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知2cos a c a B =-.(1)证明:2B A =;(2)若3a =,b =,求c .【答案】(1)证明见解析(2)5c =【解析】【分析】(1)由正弦定理结合两角和的正弦公式化简2cos a c a B =-可得sin sin()A B A =-,结合角的范围,可证明结论;(2)由正弦定理可得sin sin 3B A =,结合(1)的结论利用二倍角公式可求出cos 3A =,继而求得cos B ,结合已知条件即可求得答案.【小问1详解】由2cos a c a B =-及正弦定理得sin sin 2sin cos A C A B =-,因为πA B C ++=,所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,所以sin cos sin sin cos sin()A A B A B B A =-=-.因为0πA <<,0πB <<,所以ππB A -<-<,所以B A A -=,或πB A A -+=(即B π=,不合题意,舍去),所以2B A =.【小问2详解】由正弦定理可得sin 26sin 3B b A a ==,由(1)知sin sin22sin cos B A A A ==,代入上式可得6cos 3A =,所以21cos cos22cos 13B A A ==-=,再由条件可得12cos 3653c a a B =+=+⨯=.19.双败淘汰制是一种竞赛形式,与普通的单败淘汰制输掉一场即被淘汰不同,参赛者只有在输掉两场比赛后才丧失争夺冠军的可能.在双败淘汰制的比赛中,参赛者的数量一般是2的次方数,以保证每一轮都有偶数名参赛者.第一轮通过抽签,两人一组进行对阵,胜者进入胜者组,败者进入负者组.之后的每一轮直到最后一轮之前,胜者组的选手两人一组相互对阵,胜者进入下一轮,败者则降到负者组参加本轮负者组的第二阶段对阵;负者组的第一阶段,由之前负者组的选手(不包括本轮胜者组落败的选手)两人一组相互对阵,败者被淘汰(已经败两场),胜者进入第二阶段,分别对阵在本轮由胜者组中降组下来的选手,胜者进入下一轮,败者被淘汰.最后一轮,由胜者组最终获胜的选手(此前从未败过,记为A )对阵负者组最终获胜的选手(败过一场,记为B ),若A 胜则A 获得冠军,若B 胜则双方再次对阵,胜者获得冠军.某围棋赛事采用双败淘汰制,共有甲、乙、丙等8名选手参赛.第一轮对阵双方由随机抽签产生,之后每一场对阵根据赛事规程自动产生对阵双方,每场对阵没有平局.(1)设“在第一轮对阵中,甲、乙、丙都不互为对手”为事件M ,求M 的概率;(2)已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为23,解决以下问题:①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率;②若甲在第一轮获胜,设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量ξ,求ξ的分布列.【答案】(1)47;(2)①427;②答案见解析.【解析】【分析】(1)先求出8人平均分成四组的方法数,再求出甲,乙,丙都不分在同一组的方法数,从而可求得答案;(2)①甲恰在对阵三场后淘汰,有两种情况:“胜,败,败”和“败,胜,败”,然后利用互斥事件的概率公式求解即可②由题意可得{}3,4,5,6,7ξ∈,然后求出各自对应的概率,从而可得ξ的分布列【详解】(1)8人平均分成四组,共有2222864244C C C C A 种方法,其中甲,乙,丙都不分在同一组的方法数为35A ,所以()352222864244A P A C C C C A =47=(2)①甲恰在对阵三场后淘汰,这三场的结果依次是“胜,败,败”或“败,胜,败”,故所求的概率为211121333333⨯⨯+⨯⨯427=②若甲在第一轮获胜,{}3,4,5,6,7ξ∈.当3ξ=时,表示甲在接下来的两场对阵都败,即()1113339P ξ==⨯=.当4ξ=时,有两种情况:(i )甲在接下来的3场比赛都胜,其概率为222833327⨯⨯=;(ii )甲4场对阵后被淘汰,表示甲在接下来的3场对阵1胜1败,且第4场败,概率为12211433327C ⋅⨯⨯=,所以()844427279P ξ==+=当5ξ=时,有两种情况:(i )甲在接下来的2场对阵都胜,第4场败,概率为221433327⨯⨯=;(ii )甲在接下来的2场对阵1胜1败,第4场胜,第5场败,概率为1221218333381C ⋅⨯⨯⨯=;所以()48205278181P ξ==+=.当6ξ=时,有两种情况:(i )甲第2场胜,在接下来的3场对阵为“败,胜,胜”,其概率为2212833381⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭;(ii )甲第2场败,在接下来的4场对阵为“胜,胜,胜,败”,其概率为31218333243⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭;所以()8832681243243P ξ==+=.当7ξ=时,甲在接下来的5场对阵为“败,胜,胜,胜,胜”,即()41216733243P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.所以ξ的分布列为:ξ34567P 194920813224316243【点睛】关键点点睛:此题考查互斥事件概率的求法,考查离散型随机变量的分布列,解题的关键是正确理解题意,求出3,4,5,6,7ξ=对应的概率,考查分析问题的能力,考查计算能力,属于中档题20.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,cos()1B A C ++=.(1)求角B 的大小;(2)若M 为BC 的中点,且AM AC =,求sin BAC ∠.【答案】(1)3π(2)7【解析】【分析】(1)利用诱导公式及辅助角公式计算可得;(2)利用余弦定理和正弦定理求出结果.【小问1详解】解:在ABC 中,A B C π++=()cos 1B A C ++=,()cos 1B B π+-=cos 1B B -=,∴2sin 16B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,即1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∵0B π<<,∴5666B πππ-<-<,∴66B ππ-=,∴3B π=;【小问2详解】解:在ABC 中,222222cos AC a c ac B a c ac =+-=+-,在ABM 中,2222212cos 2242a a a AM c c B c ⎛⎫=+-⨯=+- ⎪⎝⎭,又AM AC = ,∴2222142a a c ac c ac +-=+-,32a c ∴=,代入上式得2AC =,在ABC 中,sin 21sin 7BC B BAC AC ⋅∠==.21.已知函数()()2111()R ,ax x f x x e a a g x e x +-=+-∈=-.(1)求函数()f x 的单调区间;(2)对∀a ∈(0,1),是否存在实数λ,[][]1,,1,n m a a a a ∃∈∀∈--,使()2()0f g n m λ-⎡⎤⎣<⎦成立,若存在,求λ的取值范围;若不存在,请说明理由.【答案】(1)答案不唯一见解析(2)存在,e λ≥.【解析】【分析】(1)求函数导数,分0,0,0a a a =><三种情况,分析()f x '与0的关系,即可求出函数的单调区间;(2)由题意转化为0λ>且2min min [()]()f n g m λ<,利用导数求出min 22[()](1)f n a =-,min ()(1)0g x g ==,即转化为21(1)a a e a λ-->-,构造函数21(1)(),[0,1)x x h x x e x --=∈-,利用导数可求出21(1)a a e e a--<-,即可求解.【详解】(1)()211ax f x x e a +=+-(R)a ∈的定义域为(,)∞∞-+,1()(2)ax f x x ax e +'=+⋅,①当a =0时,0,()0,0,()0x f x x f x ''>><<,所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞.②当a >0时,22,,()0,,0,()0,(0,)x f x x f x x a a ⎛⎫⎛⎫''∈-∞->∈-<∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()0f x '>,所以函数()f x 的单调递增区间为2,,(0,)a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭,单调递减区间为2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.③当a <0时,22(,0),()0,0,,()0,,x f x x f x x a a '⎛⎫⎛⎫'∈-∞<∈->∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()0f x '<所以函数()f x 的单调递减区间为2(,0),,a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭,单调递增区间为20,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2)由1()xg x e x -=-,得1()1x g x e -'=-,当1x >时,()0, 1 g x x '><时,()0g x '<,故()g x 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,所以min ()(1)0g x g ==,故当[1,]m a a ∈-时,1min ()()0a g m g a e a -==->当(0,1)a ∈时,21a a ->-,由(1)知,当[1,]n a a ∈-时,min ()(0)10f n f a ==->所以min 22[()](1)f n a =-,若对[1,],[1,]m a a n a a ∀∈-∃∈-使2[()]()0f n g m λ-<成立,即2[()]()f ng m λ<则0λ>且2min min [()]()f n g m λ<.所以()21(1)e a a a λ--<-,所以21(1)a a e a λ-->-.设21(1)(),[0,1)x x h x x e x --=∈-,则()()1121(1)31()x x x x e xe x h x e x --'-----=-,令11()3e e 1,[0,1]x x r x x x x --=---∈则1()(2)e 1x r x x -'=--,当[0,1)x ∈时,由1x e x >+,故1e 2x x ->-,所以1(2)1x x e --<,故()0r x '<,所以()r x 在[0,1]上单调递减,所以[0,1)x ∈时,()(1)0r x r >=,即()0r x >,又[0,1)x ∈时,10x -<,所以当[0,1)x ∈时,()0,()h x h x <'单调递减,所以当(0,1)x ∈时,()(0)h x h e <=,即(0,1)a ∈时,21(1)a a e e a--<-,故e λ .所以当e λ 时,对(0.1),[1,],[1,]a m a a n a a ∀∈∀∈-∃∈-使2[()]()0f n g m λ-<成立.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间,利用导数求函数的最值,恒成立问题,转化思想,分类讨论思想,考查了推理能力和运算能力,属于难题.。
高二下学期期末数学考试试卷含答案(共5套)
i A. > B. > 1 C. a 2 > b 2 D. ab < a + b - 18、已知 x > 0 , y > 0 ,若 2 y + > m 2 + 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是()高二年级下学期期末考试数学试卷一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1、不等式 2x - 3 < 5 的解集为()A. (-1,4)B. (1,4)C. (1,-4)D. (-1,-4)2、设复数 z 满足 (1 + i) z = 2 ( i 为虚数单位),则复数 z 的共轭复数在复平面中对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、某市对公共场合禁烟进行网上调查,在参与调查的 2500 名男性市民中有 1000 名持支持态度,2500 名女性市民中有 2000 人持支持态度,在运用数据说明市民对在公共场合禁烟是 否支持与性别有关系时,用什么方法最有说明力( ) A. 平均数与方差 B. 回归直线方程 C. 独立性检验 D. 概率4、若函数 f ( x ) = ax 4 + bx 2 + c 满足 f '(1) = 2 ,则 f '(-1) 等于()A. - 1B. - 2C. 2D. 05 、函数 y = f ( x ) 的图象过原点,且它的导函数y = f '( x ) 的图象是如图所示的一条直线,y = f ( x ) 的图象的顶点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6、在一组样本数据 ( x , y ) , ( x , y ) ,……, ( x , y ) (n ≥ 2, x , x ⋅ ⋅ ⋅ x 不全相等)的散点图中, 1 122nn12n若所有样本点 ( x , y ) (i = 1,2 ⋅ ⋅ ⋅ n) 都在直线 y = i i ( )1 2x + 1上,则这组样本数据的样本相关系数为A. - 1B. 0C. 12D. 17、若 a < 1 , b > 1 那么下列命题正确的是( )1 1 b a b a8xx yA. m ≥ 4 或 m ≤ -2B. m ≥ 2 或 m ≤ -4C. - 4 < m < 2D. - 2 < m < 49、某同学为了了解某家庭人均用电量( y 度)与气温( x o C )的关系,曾由下表数据计算回归直线方程 y = - x + 50 ,现表中有一个数据被污损,则被污损的数据为()+ 的取值范围A. ⎢ ,+∞ ⎪B. - ∞, ⎥C. ⎢ ,+∞ ⎪D. - ∞,- ⎥气温 30 2010 0 人均用电量20 30*50A. 35B. 40C. 45D. 4810、已知函数 f ( x ) 的导函数 f '( x ) = a( x + 1)( x - a) ,若 f ( x ) 在 x = a 处取得极大值,则a 的取值范围是()A. (-∞,1)B. (-1,0)C. (0,1)D. (0,+∞ )11、已知函数 f ( x ) = x 3 - 2ax 2 - bx 在 x = 1 处切线的斜率为 1 ,若 ab > 0 ,则 1 1a b( )⎡ 9 ⎫ ⎛ 9 ⎤ ⎡ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎤ ⎣ 2 ⎭⎝ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎭ ⎝2 ⎦12、已知 a > b > c > 1 ,设 M = a - cN = a - bP = 2( a + b- ab ) 则 M 、 N 、 P 的大小2关系为( )A. P > N > MB. N > M > PC. M > N > P二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、下列的一段推理过程中,推理错误的步骤是_______ ∵ a < b∴ a + a < b + a 即 2a < b + a ……①∴ 2a - 2b < b + a - 2b 即 2(a - b ) < a - b ……②∴ 2(a - b )(a - b ) < (a - b )(a - b ) 即 2(a - b )2 < (a - b )2 ……③∵ (a - b )2 > 0∴ 可证得 2 < 1 ……④D. P > M > N14、已知曲线 y = x 2 4- 3ln x 在点( x , f ( x ) 处的切线与直线 2 x + y - 1 = 0 垂直,则 x 的值为0 0 0________15、 f ( x ) = x +1( x > 2) 在 x = a 年取得最小值,则 a =________x - 216、设 a 、 b ∈ R , a - b > 2 ,则关于实数 x 的不等式 x - a + x - b > 2 的解集是_______三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。
高二下学期期末考试数学试卷(含参考答案)
高中二年级学业水平考试数学(测试时间120分钟,满分150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知i 是虚数单位,若复数))((R a i a i ∈+-的实部与虚部相等,则=a (A )2-(B )1- (C )1 (D )2(2)若集合{}0,1,2A =,{}24,B x x x N =≤∈,则AB =(A ){}20≤≤x x(B ){}22≤≤-x x (C ){0,1,2} (D ){1,2}(3)已知直线a ,b 分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a 和直线b 没有公共点”是“平面α和平面β平行”的(A )充分不必要条件(B )必要不充分条件 (C )充要条件(D )既不充分也不必要条件(4)若()1sin 3πα-=,且2παπ≤≤,则sin 2α的值为(A )9-(B )9-(C )9(D )9(5)在区间[]1,4-上随机选取一个数x ,则1≤x 的概率为 (A )23 (B )15 (C )52 (D )14(6)已知抛物线2y x =的焦点是椭圆22213x y a +=的一个焦点,则椭圆的离心率为(A )37(B )13(C )14 (D )17(7)以下函数,在区间[3,5]内存在零点的是(A )3()35f x x x =--+ (B )()24x f x =-图2俯视图侧视图主视图(C )()2ln(2)3f x x x =-- (D )1()2f x x=-+ (8)已知(2,1),(1,1)a b ==,a 与b 的夹角为θ,则cos θ=(A)10 (B)10 (C)5 (D)5(9)在图1的程序框图中,若输入的x 值为2,则输出的y 值为(A )0 (B )12 (C )1- (D )32- (10)某几何体的三视图如图2所示,则该几何体的侧面积是(A )76 (B )70 (C )64 (D )62 (11)设2()3,()ln(3)xf x eg x x =-=+,则不等式(())(())11f g x g f x -≤的解集为(A )[5,1]- (B )(3,1]- (C )[1,5]- (D )(3,5]-(12) 已知函数()f x =3231ax x -+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x <,则a 的取值范围为(A )∞(-,-2) (B )1∞(-,-) (C )(1,+)∞ (D )(2,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上.(13)函数()cos f x x x =+的最小正周期为 .(14)已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-3322y x y x x y ,则y x -2的最小值为 .(15)已知直线l :0x y a -+=,点()2,0A -,()2,0B . 若直线l 上存在点P 满足AP BP ⊥,则实数a 的取值范围为 .(16)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知2,b =3B π=,且△ABC 的面DC 1B 1CBA积S =a c += .三、解答题:本大题必做题5小题,选做题2小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 满足141,4a a ==;数列{}n b 满足12b a =,25b a =,数列{}n n b a -为等比数列. (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (Ⅱ)求数列{}n b 的前n 项和n S . (18)(本小题满分12分)某地区以“绿色出行”为宗旨开展“共享单车”业务.该地区某高级中学一兴趣小组由9名高二级学生和6名高一级学生组成,现采用分层抽样的方法抽取5人,组成一个体验小组去市场体验“共享单车”的使用.问:(Ⅰ)应从该兴趣小组中抽取高一级和高二级的学生各多少人;(Ⅱ)已知该地区有X ,Y 两种型号的“共享单车”,在市场体验中,该体验小组的高二级学生都租X 型车,高一级学生都租Y 型车.如果从组内随机抽取2人,求抽取的2人中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的概率.(19)(本小题满分12分)如图3,已知四棱锥11A CBB C -的底面为矩形,D 为1AC 的中点,AC ⊥平面BCC 1B 1. (Ⅰ)证明:AB//平面CDB 1; (Ⅱ)若AC=BC=1,BB 1(1)求BD 的长;(2)求三棱锥C-DB 1C 1的体积. 图3 (20)(本小题满分12分)已知过点(0,1)A 的动直线l 与圆C :224230x y x y +---=交于M ,N 两点. (Ⅰ)设线段MN 的中点为P ,求点P 的轨迹方程; (Ⅱ)若2OM ON ⋅=-,求直线l 的方程. (21)(本小题满分12分)已知函数()ln f x x x =.(Ⅰ)求函数()f x 的极值;(Ⅱ)若对任意1,x e e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,都有()213022f x x ax +++≤成立,求实数a 的取值范围. 请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. (22)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的纵坐标不变,横坐标变为原来的14,得曲线C . (Ⅰ)写出C 的参数方程;(Ⅱ)设直线l :410x y ++=与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1 P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. (23)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数()|2|||f x x x a =-+-. (Ⅰ)若2a =-,解不等式5)(≥x f ;(Ⅱ)如果当x R ∈时,()3f x a ≥-,求a 的取值范围.数学参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.一、选择题:部分解析:(10)依题意知,该几何体是底面为直角梯形的直棱柱,故其侧面积为42+44+245=64⨯⨯⨯⨯.(11)(())(())11f g x g f x -≤即22(3)3211450x x x x +--≤⇒+-≤51x ⇒-≤≤,注意到30x +>,即3x >-,故31x -<≤.(12)当0a =时,函数2()31f x x =-+有两个零点,不符合题意,故0a ≠,2'()363(2)f x ax x x ax =-=-,令'()0f x =得0x =或2x a =,由题意知,0a >,且2()0f a>,解得2a >.二、填空题:(15)问题转化为求直线l 与圆2222x y +=有公共点时,a 的取值范围,数形结合易得a -≤.(16)由余弦定理得2222cos 4b a c ac B =+-=,即224a c ac +-=,1sin 24S ac B ac ===得4ac =,故2()164a c a c +=⇒+= 三、解答题:(17)解:(Ⅰ)由数列{}n a 是等差数列且141,4a a ==∴公差4113a a d -==, ------------------------------------------------------------------------------1分 ∴1(1)n a a n d n =+-=,------------------------------------------------------------------------------3分 ∵12b a ==2,25b a ==5,∴11221,3,b a b a -=-= ∴数列{}n n b a -的公比22113b a q b a -==-,-----------------------------------------------------------5分∴1111()3n n n n b a b a q ---=-=,∴13n n b n -=+;-------------------------------------------------------------------------------------------7分 (Ⅱ)由13n n b n -=+得21(12)(1333)n n S n -=++++++++--------------------------------------------------------9分(1)31231n n n +-=+- 3(1)12n n n ++-=------------------------------------------------------------------------------------ 12分 (18)解:(Ⅰ)依题意知,应从该兴趣小组中抽取的高一学生人数为56=29+6⨯, ------2分 高二学生的人数为:59=39+6⨯; -------------------------------------------------------------------4分 (Ⅱ)解法1:记抽取的2名高一学生为12,a a ,3名高二的学生为123,,b b b ,------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为:12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ,(a 2,b 1), (a 2,b 2), (a 2,b 3), (b 1,b 2), (b 1,b 3), (b 2,b 3),共10种可能; ----------------------------------------------------------8分 其中至少有1人在市场体验过程中租X 型车的有:111213(,),(,),(,)a b a b a b ,212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共9种,------------------------------------------10分故所求的概率910P =.-----------------------------------------------------------------------------------------12分 【解法:2:记抽取的2名高一学生为12,a a ,3名高二的学生为123,,b b b ,------------------------5分 则从体验小组5人中任取2人的所有可能为:12111213(,),(,),(,),(,)a a a b a b a b ,EABCB 1C 1D212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b b b b b b b 共10种可能;--------------------------------------8分其中所抽的2人都不租X 型车的有:12(,)a a 一种,-------------------------------------------------9分 故所求的概率1911010P =-=. ---------------------------------------------------------------------------12分 (19)解:(Ⅰ)证明:连结1BC 交1B C 于E ,连结DE , ------------------------------------------1分 ∵D 、E 分别为1AC 和1BC 的中点,∴DE//AB,---------------------------------- --------------------2分 又∵DE ⊂平面1CDB ,AB ⊄平面1CDB ,∴AB//平面CDB 1;---------------------------------------------4分 (Ⅱ)(1)∵AC ⊥平面BCC 1B 1,BC ⊂平面11BCC B , ∴BC AC ⊥, 又∵1BC CC ⊥,1ACCC C =,∴BC ⊥平面1ACC , ∵CD ⊂平面1ACC ,∴BC CD ⊥,----------------------------------------------------------------------------------------------------6分 在Rt BCD ∆,∵BC=1,1112CD AC ===, ∴BD =分【注:以上加灰色底纹的条件不写不扣分!】 (2)解法1:∵BC ⊥平面1ACC ,BC//B 1C 1∴11B C ⊥平面1CC A ,-----------------------------------------------------------------------------------------10分 ∴111111113C DB C B CDC CDC V V S B C --∆==⋅111134=⨯⨯=. ---------------------------------12分 【解法2:取1CC 中点F,连结DF ,∵DF 为△1ACC 的中位线,∴DF//AC,-------------------------------------------------------------------9分 ∵AC ⊥平面11CBB C ,从而可得DF ⊥平面11CBB C ,----------------------------------------------10分∴11111113C DB C D CB C CB C V V S DF --∆==⋅1111322=⨯⨯=. --------------------------------12分 (20)解法(Ⅰ)将224230x y x y +---=化为标准方程得:222(2)(1)x y -+-=, ----------------------------------------------------------------------------1分可知圆心C 的坐标为(2,1),半径r =设点P 的坐标为(,)x y ,则(2,1),(,1)CP x y AP x y =--=-,---------------------------------------2分 依题意知CP AP ⊥,∴0CP AP ⋅=(2)(1)(1)0x x y y ⇒-+--=整理得:222210x y x y +--+=, ------------------------------------------------------------------------4分∵点A 在圆C 内部, ∴直线l 始终与圆C 相交,∴点P 的轨迹方程为222210x y x y +--+=.----------------------------------------------------------6分 (Ⅱ)设1122(,),(,)M x y N x y ,若直线l 与x 轴垂直,则l 的方程为0x =,代入224230x y x y +---=得2230y y --=,解得1y =-或3y =,不妨设121,3y y =-=,则3OM ON ⋅=-,不符合题设, ------------------------------------------------7分 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为1y kx =+,由224230,1.x y x y y kx ⎧+---=⎨=+⎩消去y 得:22(1)440k x x +--=, --------------------------------8分 216(2)0k ∆=+>,则12122244,11x x x x k k+==-++,------------------------------------------------------------------------9分 由2OM ON ⋅=-得212121212(1)()12x x y y k x x k x x +=++++=-,∴22244(1)1211kk k k-+++=-++2410k k ⇒-+=,解得:2k =±分∴当2OM ON ⋅=-时,直线l 的方程为(21y x =++或(21y x =-+. --------------12分 (21)解:(Ⅰ)函数()f x 的定义域为(0,)+∞, ∵()ln 1f x x '=+,令'()0f x =得1x e=,-------------------------------------------------------------2分 当10x e <<时'()0f x <,当1x e>时,'()0f x >, ∴函数()f x 在1(0,)e 上单调递减,在1(,)e+∞上单调递增,----------------------------------------4分∴函数()f x 无极大值, 当1x e =时,函数()f x 在(0,)+∞有极小值,11()()f x f e e==-极小,--------------------------5分 (Ⅱ)当1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,由()213022f x x ax +++≤,得3ln 22x a x x ≤---,--------------6分 记()3ln 22x g x x x =---,1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 则()()()2231113222x x g x x x x +-'=--+=-, 当∈x 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时,得'()0g x >,当∈x ()1,e 时, '()0g x <∴()g x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在()1,e 上单调递减,---------------------------------------------------9分又113122e g e e ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,()3122e g e e=---, ∵012)()1(<-+=-e e e g e g ,∴()1g g e e ⎛⎫< ⎪⎝⎭,-------------------------------------------------10分故()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1g e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,故只需1a g e ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,即实数a 的取值范围是13,122e e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦.------------------------------------------------------------12分 选做题:(22)解:(Ⅰ)由坐标变换公式1',4'.x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 得4','x x y y ==-------------------------------------2分 代入221x y +=中得2216''1x y +=,--------------------------------------------------------------------3分故曲线C 的参数方程为1cos ,4sin .x y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩(θ为参数);----------------------------------------------------5分 (Ⅱ)由题知,121(,0),(0,1)4P P --,--------------------------------------------------------------------6分 故线段P 1 P 2中点11(,)82M --,---------------------------------------------------------------------------7分∵直线l 的斜率4k =-∴线段P 1 P 2的中垂线斜率为14,故线段P 1 P 2的中垂线的方程为111()248y x +=+------------------------------------------------------8分即832150x y --=,将cos ,sin x y ρθρθ==代入得其极坐标方程为8cos 32sin 150ρθρθ--=----------------------------------------------------------10分 (23)解:(Ⅰ)当a =-2时,f (x )=|x -2|+|x +2|, ①当2x ≤-时,原不等式化为:25,x -≥解得52x ≤-,从而52x ≤-;-------------------------1分 ②当22x -<≤时,原不等式化为:45≥,无解;---------------------------------------------------2分 ③当2x >时,原不等式化为:25,x ≥解得52x ≥,从而52x ≥;----------------------------------3分 综上得不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2525x x x 或.----------------------------------------------------------------5分(Ⅱ)当x R ∈时,|2||||2()||2|x x a x x a a -+-≥---=- ---------------------------------------7分 所以当x R ∈时,()3f x a ≥-等价于|2|3a a -≥------(*) 当2a ≥时,(*)等价于23,a a -≥-解得52a ≥,从而52a ≥;----------------------------------8分 当2a <时,(*)等价于23,a a -≥-无解;------------------------------------------------------------9分 故所求a 的取值范围为5[,+2∞). --------------------------------------------------------------------------10分。
高二下学期期末考试数学试卷和答案
高二下学期期末考试数学试卷和答案一、 选择题:(每题4分,共48分) 将答案填图在答题卡上.1.复数31ii--等于( ) A .i 21+ B.12i - C.2i + D.2i - 2.=-⎰π20)sin (dx x ( )A .0 C.-23.若复数i i z -=1,则=|z |( )A .21B .22C .1D .24.从0,1,2,…,9这10个数字中,任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标,能够确定不在x 轴上的点的个数是( )A .100 B .90 C .81 D .725.若函数3()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值,则( ) A .01b <<B .1b <C .0b >D .12b <6.在二项式5)1(xx -的展开式中,含x 3的项的系数是( )7.若函数()y f x =的导函数...在区间[,]a b 上是增函数,则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是( ).A .B .C .D .8.若圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x (θ为参数),直线的方程为⎩⎨⎧-=-=1612t y t x (t 为参数),则直线与圆的位置关系是( )。
A. 相交过圆心B.相交而不过圆心C.相切D.相离9.有外形相同的球分装三个盒子,每盒10个.其中,第一个盒子中7个球标有字母A 、3个球标有字母B ;第二个盒子中有红球和白球各5个;第三个盒子中则有红球8个,白球2个.试验按如下规则进行:先在第一号盒子中任取一球,若取得标有字母A 的球,则在第二号盒子中任取一个球;若第一次取得标有字母B 的球,则在第三号盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球,则称试验成功,那么试验成功的概率为( ) A . B . C . D .y y y10.设31(3)n x x+的展开式的各项系数的和为P ,所有二项式系数的和为S ,若P +S =272,则n 为( )A .4B .5C .6D .811.设一随机试验的结果只有A 和A ,()P A p =,令随机变量10A X A =⎧⎨⎩,出现,,不出现,,则X 的方差为( )A.p B.2(1)p p -C.(1)p p -- D.(1)p p -天津市大港一中08—09学年高二下学期期末考试(数学理)12.参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-==1112t t y t x (t 为参数)所表示的曲线是( )。
高二下学期期末数学试卷及答案
高二下学期期末数学试卷一、单项选择1、设,若直线与线段相交,则的取值范围是( )A .B .C .D .2、已知点A (2,-3),B (-3,-2),直线l 方程为kx+y-k-1=0,且与线段AB 相交,求直线l的斜率k 的取值范围为( )A或 B C D 3、直线与曲线有两个不同的交点,则实数的k 的取值范围是( ) A .B .C .D .4、已知圆,直线l :,若圆上恰有4个点到直线l 的距离都等于1,则b 的取值范围为 A .B .C .D .5、若直线被圆截得弦长为,则) A . B . C6、设△ABC 的一个顶点是A (3,-1),∠B,∠C 的平分线方程分别是x=0,y=x ,则直线BC 的方程是( ) A .B .C .D .7、已知圆:,则过点(1,2)作该圆的切线方程为( )A .x+4y-4=0B .2x+y-5=0C .x=2D .x+y-3=0 8、阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A 、B 间4k ≤-220(0,0)ax by a b -+=>>222410x y x y ++-+=494(0,1)k k k >≠的距离为,动点P、A、B不共线时,三角形PAB面积的最大值是()ABD9、若圆上有个点到直线的距离为1,则等于()A.2 B.1 C.4 D.310、圆的一条切线与圆相交于,两点,为坐标原点,则()AB.C.2 D11、已知直线与圆相交,则的取值范围是()A. B. C.D.12、古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义:平面内,到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点、的距离为3,动点满足,则点的轨迹围成区域的面积为().A.B.C.D.13、已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是()A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或214、我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:“有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上面的已知条件可求得该女子第4天所织布的尺数为( )A.B C D15、在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于()A.B.C.D.16、设数列满足,记数列的前项之积为,则2P22:(5)(1)4C x y-++=n4320x y+-=n 221x y+=224x y+=()11,A x y()22,B x y O1212x x y y+=2-:cos sin1()l x yααα+=∈R222:(0)C x y r r+=>r 01r<≤01r<<1r≥1r>)0(>>ba{}na21=a n n S{}1na+nS 122n+-3n2n31n-( ) A .B .C .D .17、已知公比不为的等比数列满足,若,则( )A .9B .10C .11D .12 18、设等差数列的前项和为,已知,,则( )A .B .C .D .19、在等差数列中,若,是方程的两根,则的前11项的和为( )A .22B .-33C .-11D .1120、已知数列满足,数列前项和为,则( )ABCD21、已知数列满足,,是数列的前项和,则( )A .B .C .数列是等差数列 D .数列是等比数列22、已知等数差数列中,是它的前项和,若且,则当最大时的值为( )A .9B .10 C .11 D .1823、已知正项等比数列{a n }满足:a 7=a 6+2a 5,若存在两项a m 、a n ,使得a m a n =16a 12 )1{}n a 15514620a a a a +=210m a =m ={}n a nnS ()()201920212017201720171201912000a a a -++-=()()20192021202020202020-1+201912038a a a +-=4036S =2019202020214036{}n a 2*1222...2()n n a a a n n N +++=∈n nS 12310...S S S S ⋅⋅⋅⋅={}n a n S n 180S >190S <n S nABCD .不存在24、的内角,,所对的边分别是,,.已知,则的最小值为( ) A . B .C .D .25、已知,,为的三个内角,,的对边,向量,,若,且,则角( )A .B .C .D .二、填空题26、点到直线的距离的最大值为________.27、已知点和圆,过点 作圆的切线有两条,则实数的取值范围是______28、已知直线l :x+y-6=0,过直线上一点P 作圆x 2+y 2=4的切线,切点分别为A ,B ,则四边形PAOB 面积的最小值为______,此时四边形PAOB 外接圆的方程为______. 29、已知实数满足,则的取值范围为________.30、已知实数x ,y 满足6x+8y-1=0,则的最小值为______.31、等比数列的前n 项和为32、若等差数列满足,则数列的前项和取得最大值时_________ 33、已知数列满足,则数列的最大值为________.34、已知数列中,,是数列的前项和,且对任意的,都有,则=_____35、已知首项与公比相等的等比数列中,若,,满足,则()1,2P 222:20C x y kx y k ++++=P C k {}n a n S {}n a 7897100,a a a a a ++>+<{}n a n n S =n {}n a 11a =n S {}n a n *,r t N ∈n a的最小值为_____.36、在锐角三角形中,角的对边分别为,若,则的最小值是_______.37、在锐角中,角,,所对应的边分别为,,.则________;若,则的最小值为________. 38、若△ABC 的内角,则的最小值是 . 39、已知分别是的内角的对边,,,则周长的最小值为_____。
高二下学期数学期末考试试卷及答案
高二下学期数学期末考试试卷及答案一、选择题(每题5分,共25分)1. 若已知函数$f(x) = x^2 - 4x + 3$,则下列选项中$f(x)$的图像是正确的是:- A. 开口向上的抛物线- B. 开口向下的抛物线- C. 与x轴有两个交点- D. 与x轴有三个交点答案:D2. 已知等差数列的前5项和为25,则第10项是:- A. 5- B. 10- C. 15- D. 20答案:B3. 设函数$g(x) = \sqrt{1+x^2}$,则下列选项中$g(x)$的性质正确的是:- A. 在$x=0$处取得最小值- B. 在$x=0$处取得最大值- C. 为奇函数- D. 为偶函数答案:A4. 若$a$,$b$是方程$x^2 - 2ax + a^2 + 1 = 0$的两个根,则下列选项正确的是:- A. $a=0$- B. $b=0$- C. $a+b=2$- D. $a^2+b^2=2$答案:C5. 已知复数$z=3+4i$,则$|z|$的值是:- A. 5- B. 7- C. 9- D. 25答案:A二、填空题(每题5分,共25分)1. 若函数$h(x) = ax^2 + bx + c$($a \neq 0$)的图像开口向上且顶点在y轴上,则满足的条件是______。
答案:$a > 0$,$b = 0$2. 已知数列$\{a_n\}$是等比数列,且$a_1 = 2$,$a_3 = 8$,则公比$q$是______。
答案:23. 函数$i(x) = \ln(x^2 + 1)$的定义域是______。
答案:$x \in \mathbb{R}$4. 若矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$,则$A$的行列式值是______。
答案:-25. 已知点$P(2, -1)$在直线$y=3x+1$上,则直线的斜率是______。
高二第二学期期末考试数学试卷含答案(共3套,word版)
高二下学期期末考试数学试卷时量:120分钟 满分:150分一选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1若复数)21(i i z +=,则复数z 的共轭复数在复平面上所对应的点在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限2一个年级有10个班级,每个班级学生从1到48号编排,为了交流学习经验.要求每班编号为28的同学留下进行交流,这里运用的是( )A .分层抽样B .抽签法C .系统抽样D .随机数表法3椭圆1162522=+y x 的离心率为( )53A 54B 34C 43D4已知),4(~2σN X ,且p X P =≤)2(,则)()6(=≤X Pp A p B 21- 21pC - PD -15任取实数],8,2[-∈x 则所取x 满足不等式0652≤+-x x 的概率为( ) A81 B 91 C 101 D 1116已知6)(xa x +的展开式中含 2x 项的系数为12,则a 为( )A 1B 2C 3D 47若一组数据54321,,,,x x x x x 的平均数为5,方差为2,则32,32,32321---x x x32,3254--x x 的平均数和方差分别为( )A7,-1 B7,1 C7,2 D7,8 8以下关于独立性检验的说法中, 错误的是( ) A .独立性检验依赖于小概率原理 B .独立性检验得到的结论一定准确 C .样本不同,独立性检验的结论可能有差异 D .独立性检验不是判断两事物是否相关的唯一方法9 “b a 33>”是“b a ln ln >”的( )10已知平面α的一个法向量为)1,2,2(=n ,点)0,3,1(-A 在平面α内,则点)3,1,2(P 到平面α的距离为( )A .35 B . 34 C. 1 D.3211设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两焦点,P 在双曲线上,且ο9021=∠PF F , 则21PF F ∆面积为( ) A 、1 B 、25C 、2D 、5 12在正方体1111ABCD A B C D -中,O 为BD AC ,的交点,则O C 1与D A 1所成角 的余弦值为( ) A.0B.21 C.63D.33 二、填空题(大题共4小题,每小题5分,共20分)13命题“0832,3≤--∈∀x x R x ”的否定是__________________________14学校要从7名男生和3名女生中选出3人作为上海世博会志愿者,若用 随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望______)(=ξE (结果用最简分数表示)15小苏,小龙,小陈,小钟,小欧,小刘六个人从左至右排成一行合影留念,小苏不站最左端,小龙不站最右端,则不同的排法共有__________种16过抛物线x y 162=的焦点F 作倾斜角为ο30的直线交抛物线于B A ,两点,O 为坐标原点,则AOB ∆的面积为______________温馨提示:请把所有试题答案转涂或转写在答案卡上,题号应一一对应三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17(10分)一个袋中装有大小形状相同的标号为1,2,3,4,5,6的6个小球,某人做如下游戏,每次从袋中拿一个球(拿后放回袋中)记下标号,若拿出球的标号是奇数,则得1分,否则得0分. (1)求拿2次得分不小于1分的概率;(2)(2)拿4次所得分数ξ 的分布列和数学期望)(ξE18(12分)湖南省某示范性高中图书馆志愿者协会中,有高一志愿者6人,其中含3名男生,3名女生;有高二志愿者4人,其中含1名男生,3名女生。
2021年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
怀柔区xx~xx学年度第二学期期末考试高二数学(理科) xx.7本试卷分选择题和非选择题两部分..共4页,满分150分.考试时间120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上.用2B铅笔将答题卡试卷类型(B)涂黑。
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用像皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.3.考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.2021年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.若,则等于A. B. C. D.2.复数A.B. C.D.3.函数的极值点为A. B. C. D.4.若=(1,2,-3),=(2,a-1,a2-),则“a=1”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.曲线在点(1,4)处的切线方程为A. B. C. D.6.从名男同学中选出人,名女同学中选出人,并将选出的人排成一排,则不同的排法共有A.2400种B.24400种C.1400种D.14400种7.若函数在区间(2,3)上是减函数,则的取值范围是A. B. C. D.8.如图,用长为90,宽为48的长方形铁皮做一个无盖的长方体容器,先在四角分别截去都是相同的一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成,当长方体容器的容积为最大时,其高为A.10 B.30C.36 D.10或36第二部分非选择题(共100分)二、填空题:本大题共6小题,每题5分,共20分.9..10.函数y=的导数是.11.从已有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是.12.若随机变量的分布列为:则,.13.若二项式的展开式中所有二项式系数的和等于256,则展开式中含的项为.14.在北京举办的第七届中国花博会期间,某展区用同样的花盆摆成了若干如下图所示的图案,其中第①个图案只一个花盆;第②个,第③个,…的图案分别按图所示的方式固定摆放.从第①个图案的第一个花盆开始,以后每一个图案的花盆都自然摆放在它们的周围,若以表示第n个图案的花盆总数,则;(答案用n表示).三解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)如图,在空间直角坐标系xoy中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E1在A1B1上,F1在C1D1上,且B1E1=D1F1=.(Ⅰ)求向量,的坐标;(Ⅱ)求BE1与DF1所成的角的余弦值.16.(本题满分13分)甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为,投中得1分,投不中得0分.(Ⅰ)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求两人都没有投中的概率;(Ⅱ)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求两人得分之和的数学期望.17.(本小题满分13分)已知函数,当时,的极大值为7;当时,有极小值.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求函数的极小值.18.(本小题满分13分)小明家住H小区,他在C区的光华中学上学,从家骑车到学校上学有L1,L2两条路线(如图),L路线上有A1,A2,A3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为;L2路线上有B1,B2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为,.(Ⅰ)若走L1路线,求最多..遇到1次红灯的概率;(Ⅱ)若走L2路线,求遇到红灯次数的数学期望;(Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线,并说明理由.19.(本小题满分14分)如图,已知四棱锥的底面是矩形,,分别是线段的中点.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)若与平面所成的角为,求二面角的余弦值;(Ⅲ)在棱上是否存在点,使得?若存在,请找出点的位置并加以说明;若不存在,请说明理由.20.(本小题满分14分)已知函数,.(Ⅰ)若函数在处取得极小值0,求的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证:对任意,总有;(Ⅲ)求函数的单调递增区间.参考答案及评分标准xx.7一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共40 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B A B D D A二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.105 10. 11. 12. ; 13. 14. 19 ; 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.15.(本小题满分13分)如图,在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,且B 1E 1=D 1F 1=. (Ⅰ)求向量,的坐标;(Ⅱ)求BE 1与DF 1所成的角的余弦值. 解:(Ⅰ)B (1,1,0),E 1(1,,1),D (0,0,0),F 1(0,-----------------------5分(Ⅱ)16711)4343(00,45||,45||1111=⨯+⨯-+⨯=⋅==DF BE DF BE 2574545167||||,cos 111111=⨯=⋅>=<DF BE DF BE -------------------------13分16.(本题满分13分)甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为,投中得1分,投不中得0分. (Ⅰ)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求两人都没有投中的概率; (Ⅱ)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求两人得分之和的数学期望.解:(Ⅰ)依题意,甲、乙两人在罚球线各投球一次,两人都没有投中的概率为.--------------------5分(Ⅱ)的可能取值为. ; ;所以 . -----------------------------------------------------------13分 17.(本小题满分13分)已知函数,当时,的极大值为7;当时,有极小值. (Ⅰ)求的值;HCA 1A 2B 1 B L 1 L 2A 3 (Ⅱ)求函数的极小值. 解:(Ⅰ)由已知得//(1)03203(3)027609(1)7172f a b a f a b b f a b c c ⎧-=-+==-⎧⎧⎪⎪⎪=∴++=∴=-⎨⎨⎨⎪⎪⎪-=-+-+==⎩⎩⎩-------------------------------------------------5分 (Ⅱ)由(Ⅰ),,当时,;当时,故时,取得极小值,极小值为。
辽宁省部分学校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题含答案
高二考试数学试卷注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
4,本试卷主要考试内容:人教B 版选择性必修第三册占30%,必修第一册至必修第二册第四章占70%。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2450,32M x xx N x x =+−<=−<<,则M N = ()A .{}31x x −<<B .{}52x x −<<C .{}12x x <<D .{}53x x −<<−2.已知01a b <<<,则下列不等式一定正确的是( )A .1b a −>B .1ab >C .1ba<D .1a b +>3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且135710,26a a a a +=+=,则7S =( )A .63B .45C .49D .564.函数()3ln exx x f x ⋅=的部分图象大致为()A .B .C .D .5.已知函数()223,2,,2ax x x f x a x x +−<= ≥在R 上单调递增,则a 的取值范围是( )A .(),0−∞B .1,02−C .2,7−∞−D .12,27−−辽宁省部分学校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题含答案6.“14a ≥−”是“方程2x x a +=有实数解”的( )A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件7.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足对任意的()12,0,x x ∈+∞,且12x x ≠,都有()()12120f x f x x x −<−,若()10f =,则()0xf x ≥的解集为()A .[]1,1−B .[1,0][1,)−+∞C .()()1,00,1− D .(,1][0,1]−∞−8.已知过点()0,A b 作的曲线ln xy x=的切线有且仅有两条,则b 的取值范围为( )A .10,eB .20,eC .()0,e D .3220,e二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知0x y >>,则( )A .11x y −−>B>C .22x y>D .ln ln x y>10.若函数()2ln f x x ax bx =++既有极大值又有极小值,则()A .0a >B .bC .280b a −> D .28b a=11.设2log e,ln3ab=,则( )A .3ln2ab =B .3a b +<C .112b a −<D .1b a<12.已知函数()()24,0,ln 13,0,x x x f x x x −+> = −++≤ 函数()()()g x f f x m =−,则下列结论正确的是()A .若0m =,则()g x 有2个零点B .若3m =,则()g x 有6个零点C .若()g x 有5个零点,则m 的取值范围为()0,3D .()g x 一定有零点三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知幂函数()27522m f x m m x=−+是奇函数,则m =_________.14.已知函数()f x 的定义域为()1,3,则函数()g x =_________.15.黄金比又称黄金律,是指事物各部分间一定的数学比例关系,即将整体一分为二,较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比.其中,较大部分与整体之比的比值称为黄金分割数,黄金分割数被公认为最具有审美意义的比例数字.若数列{}n a 是以黄金分割数为公比的等比数列,且202420252023a a +=,则2023a =_________.16.已知函数y x m =−+的图象与函数21xy =+和函数221x y −=+的图象分别交于,A B 两点,若AB =,则m =_________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x >时,()e 1xf x =+.(1)求()f x 的解析式;(2)若()ln 3f t =−,求t 的值.18.(12分) 已知正实数,a b 满足2a b ab +=. (1)求2a b +的最小值;(2)求ab 的最小值.19.(12分)已知大气压强p (帕)随高度h (米)的变化满足关系式00ln ln ,p p kh p −=是海平面大气压强.(1)世界上有14座海拔8000米以上的高峰,喜马拉雅承包了10座,设在海拔4000米处的大气压强为p ′,求在海拔8000米处的大气压强(结果用0p 和p ′表示). (2)我国陆地地势可划分为三级阶梯,其平均海拔如下表:平均海拔(单位:米)第一级阶梯4000≥第二级阶梯10002000∼ 第三级阶梯2001000∼若用平均海拔的范围直接代表海拔的范围,设在第二级阶梯某处的压强为2p ,在第三级阶梯某处的压强为43,10p k −=,证明:0.18232e p p p ≤≤.20.(12分)已知数列{}n a 满足25111,24n n n a a a −+==.(1)求{}n a 的通项公式; (2)若()5nn b n a =−,求数列{}n b 的前n 项和n T .21.(12分)已知函数()()log 1(0xa f x a x a =+−>且1)a ≠.(1)试讨论()f x 的值域;(2)若关于x 的方程()()log xa f x c a c =⋅−有唯一解,求c 的取值范围.22.(12分)已知函数()f x 满足()()2eln x f x xf x x +=′,且()e 1f =,函数()224g x x ax =−++.(1)求()f x 的图象在e x =处的切线方程;(2)若对任意(]11,e x ∈,存在[]21,2x ∈,使得()()12f x g x >,求a 的取值范围.高二考试数学试卷参考答案1.A 因为{}51M x x =−<<,所以{}31M N x x =−<< .2.D 因为01a b <<<,所以1a b +>.3.A 因为135710,26,a a a a += += 所以112210,21026,a d a d += += 解得13,2,a d = = 故71767632S a d ×=+=. 4.C ()f x 的定义域为()(),00,−∞+∞ .因为()()33()ln ln e e x xx x x xf x f x −−⋅−⋅−==−=−,所以()f x 是奇函数,排除A ,D .当01x <<时,()0f x <,当1x >时,()0f x >,排除B ,故选C .5.D 由题意可得12,0,41,2a a aa −≥ < +≤解得1227a −≤≤−.6.B 因为0x ≥,所以2211024a x x x =+=+−≥.故“14a ≥−”是“方程2x x a +=有实数解”的必要不充分条件.7.A 对任意的()12,0,x x ∈+∞,且12x x ≠,都有()()12120f x f x x x −<−,即()f x 在()0,+∞上是减函数.因为()0xf x ≥,所以0x =或()0,0x f x >≥ 或()0,0,x f x < ≤ 解得11x −≤≤.8.D 设切点为()00,x y ,由题意得21ln x y x −=′,所以00002000ln 1ln x bx y b x k x x x −−−===,整理得002ln 1x b x −=,此方程有两个不等的实根.令函数()2ln 1x f x x −=,则()232ln xf x x −′=.当320e x <<时,()0f x ′>,当32e x >时,()0f x ′<,且()0f x >,所以()f x 在320,e上单调递增,在32e , +∞ 上单调递减.32322()e e f x f == 极大值.故3220,e b ∈.9.BCD 当2,1x y ==时,112<,A 错误.函数y =在()0,+∞上单调递增,B 正确.函数2x y =在()0,+∞上单调递增,C 正确.函数ln y x =在()0,+∞上单调递增,D 正确.10.AC ()f x 的定义域为()()2210,,ax bx f x x +′++∞=.由题意可得方程2210ax bx ++=有两个不等的正根12,x x ,所以21212Δ80,0,210,2b a b x x a x x a=−>+=−>=>故20,0,80a b b a ><−>,A ,C 正确.11.BCD 2log 3ab =,A 错误.因为33322222233log e log 2.8log 2,ln3ln(2.25)lne 22a b =<<==<<=,所以3a b +<,B正确.131ln3ln2ln 22b a −−<,C 正确.2222ln3ln2ln6lne ln3ln21222b a+ =×<=<=,D 正确. 12.ABD 令()4f x =,解得1e x =−或2;令()3f x =,解得0x =或1或3.根据函数图象的平移变换,可画出()f x 的简图,如图所示.令()0g x =,则()()ff x m =.令()f x t =,则()f t m =.当4m >时,()f t m =只有1解,且1e t <−,此时()f x t =只有1解,所以()g x 只有1个零点.当4m =时,()4f t =有2解,即1e t =−或2.()1e f x =−有1解;()2f x =有2解.所以()g x 有3个零点.当()3,4m ∈时,()f t m =有3解()()()123123,,,1e,0,1,2,2,3t t t t t t ∈−∈∈.当()11e,0t ∈−时,()1f x t =只有1解;当()21,2t ∈时,()2f x t =有2解;当()32,3t ∈时,()3f x t =有2解.所以()g x 有5个零点. 当3m =时,()3f t =有3解,即0t =或1或3.()0f x =只有1解;()1f x =有2解;()3f x =有3解.所以()g x 有6个零点.当()0,3m ∈时,()f t m =有2解()()4545,,0,1,3,4t t t t ∈∈.当()40,1t ∈时,()4f x t =有2解;当()53,4t ∈时,()5f x t =有3解.所以()g x 有5个零点.当0m =时,()0f t =只有1解()4,4tf x =有2解,所以()g x 有2个零点.当0m <时,()f t m =只有1解,且4t >,此时()f x t =只有1解,所以()g x 只有1个零点.综上,A ,B ,D 正确. 13.3 由275122m m −+=,解得3m =或12(舍去).14.()1,2 由题意可得113,10,x x <+<−>解得12x <<.15.2023 由题意,设整体为1,较大部分为x ,则较小部分为1x −,则11x x x=−,即210x x +−=,解得x =(x =令q =,则210q q +−=,即()210n a q q +−=,所以210n n n a a a +++−=,故2023202420252023a a a =+=.16.4 设()()1122,,,A x y B x y ,则1212,x x y y ><.由AB =可得()()2212122x x y y −+−=.又因为AB 所在直线的斜率为12121y y x x −=−−,所以21121x x y y −=−=.因为1212221,21,x x y y − =+ =+所以()()1221221211x x y y −−=+−+=,即111221x x −−=,解得11x =.因为11213x y =+=,所以()1,3A ,代入函数y x m =−+,可得4m =.17.解:(1)因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()00f =.当0x <时,()()0,e1xx f x f x −−>−=+=−,则()e 1x f x −=−−.故()e 1,0,0,0,e 1,0.x x x f x x x − +> ==−−<(2)由(1)可得只有当0x <时,()0f x <.因为()ln 3f t =−,所以ln e 13t−−−=−,解得12t =. 故t 的值为12.18.解:(1)因为2a b ab +=,所以121a b+=.()1222221459b a a b a b a b a b+=++=+++≥+=,当且仅当3a b ==时,等号成立. (2)因为,a b 为正实数,所以0ab >.因为2a b ab +≥2()80ab ab −≥,解得8ab ≥,当且仅当2,4a b ==时,等号成立. 19.(1)解:设在海拔8000米处的大气压强为p ′′,00ln ln 4000,ln ln 8000,p p k p p k ′−=−=′′ 所以002ln ln p p p p =′′′,解得20p p p ′′=′.(2)证明:设在第二级阶梯某处的海拔为2h ,在第三级阶梯某处的海拔为3h ,则40224033ln ln 10,ln ln 10,p p h p p h −− −=−=两式相减可得()43232ln 10p h h p −=−.因为[][]231000,2000,200,1000h h ∈∈,所以[]230,1800h h −∈, 则4320ln1018000.18p p −≤≤×=,即0.18321e p p ≤≤,故0.18232e p p p ≤≤.20.解:(1)因为2512n n n a a −+=,所以23122n n n a a −++=,两式相比得24n na a +=.因为31121,24a a a −==,所以212a =. 数列{}21n a −是以14为首项,4为公比的等比数列;数列{}2n a 是以12为首项,4为公比的等比数列.()21311232121142,4242n n n n n n a a −−−−−−=×==×=.综上,{}n a 的通项公式为32n n a −=.(2)()352n n b n −=−×.()()()()132333351252253252n n T n −−−−=−×+−×+−×+⋅⋅⋅+−×, ()()()()2333432251252253252n n T n −−−−=−×+−×+−×+⋅⋅⋅+−×.两式相减得()132122252n n n T n −−−−=−−−⋅⋅⋅−−−×()()()1122212315262122n n n n n −−−−−=−−−×=+−×−,所以()23622n n T n −=−−−×.21.解:(1)()()()11log 1log 1log log log 1x xxxa a a a a x x a f x a x a a a a +=+−=+−==+.因为111x a +>,所以当()0,1a ∈时,()1log 1,0a x a+∈−∞;当()1,a ∈+∞时,()1log 10,a x a+∈+∞.故当()0,1a ∈时,()f x 的值域为(),0−∞;当()1,a ∈+∞时,()f x 的值域为()0,+∞.(2)因为关于x 的方程()1log 1log xa a x c a c a +=⋅−只有一个解,所以()10,11x x xx c a c c a c a c a⋅−=⋅−> +=⋅− 有唯一解.令(),0,xt a t =∈+∞,所以()10,11ct c c t ct c t−=−>+=− 有唯一解.关于t 的方程()2110ct c t −+−=有唯一解,设()()211g t ct c t =−+−.当0c =时,10t −−=,解得1t =−,不符合题意.当0c >时,()1,120t g >=−<,所以一定有一个解,符合题意.当0c <时,()20,1,Δ(1)40t c c ∈=++=,解得3c =−±当31c t =−−−时,符合题意,当31c t =−+=−− 综上,c的取值范围为{()30,−−+∞ .22.解:(1)令e x =,得()()2e e e e elnef f +=′,即()()e e e 1f f +=′.因为()e 1f =,所以()e 0f ′=.故()f x 的图象在e x =处的切线方程为1y =.(2)由题意可得,min min ()()f x g x >.由()()2eln x f x xf x x +=′,得()()2eln x xf x f x x′−=.令函数()()eln t x x xf x =−,则()()()()()()2eln e 1ln ee x xf x x t x f x xf x f x x x xx x−−=−−=−−⋅=′′.因为(]11,e x ∈,所以[)1ln 0,1x −∈,则()()0,t x t x ′≥在(]1,e 上单调递增.()()max ()e elne e e 0t x t f ==−=,即()0t x ≤.所以()()0,f x f x ′≤在(]1,e 上单调递减,()min()e 1f x f ==.()g x 图象的对称轴方程是x a =.当32a ≤时,()min min ()24()1g x g a f x ==<=,解得14a <. 当32a >时,()max min ()123()1g x g a f x ==+<=,无解.综上,a 的取值范围为1,4 −∞.。
高二数学下学期期末考试试卷含答案(共3套)
高二年级下学期期末考试数学试卷(考试时间:120分钟;满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设103iZ i=+,则Z 的共轭复数为( ) A .13i -+ B .13i -- C .13i + D .13i -2.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( ) A .144 B .120 C .72 D .243.已知(1,21,0),(2,,),a t t b t t b a =--=-则的最小值是( )A B C D4.已知正三棱锥P ABC -的外接球O 的半径为1,且满足0,OA OB OC ++=则正三棱锥的体积为( )A .4 B .34C .2D .4 5.已知函数(),1,x xf x a b e=-<<且则( ) A .()()f a f b = B .()()f a f b <C .()()f a f b >D .()()f a f b ,大小关系不能确定 6.若随机变量~(,),X B n p 且()6,()3,(1)E X D X P X ===则的值为( ) A .232-• B .42- C .1032-• D .82-7.已知10件产品有2件是次品.为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6,至少应抽取作检验的产品件数为( )A .6B .7C .8D .98.若2211S x dx =⎰,2211S dx x =⎰,231x S e dx =⎰,则123,,S S S 的大小关系为( )A .123S S S <<B .213S S S <<C .231S S S <<D .321S S S <<9.平面内有n 条直线,最多可将平面分成()f n 个区域,则()f n 的表达式为( )A .1n +B .2nC .222n n ++ D .21n n ++10.设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =,则m =( )A .5B .6C .7D .811.已知一系列样本点(,)i i x y (1,2,3,i =…,)n 的回归直线方程为ˆ2,yx a =+若样本点(,1)(1,)r s 与的残差相同,则有( )A .r s =B .2s r =C .23s r =-+D .21s r =+12.设点P 在曲线12x y e =上,点Q 在曲线(2)y ln x =上,则PQ 的最小值为( )A .12ln - B2)ln - C .12ln + D2)ln + 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知复数5()12iz i i =+是虚数单位,则z =__________;14.直线21cos ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为__________; 15.二项式822x y 的展开式中,的系数为__________; 16.已知11()123f n =+++…*15(),(4)2,(8),(16)32n N f f f n +∈>>>经计算得,7(32),2f >则有__________(填上合情推理得到的式子).三、解答题(本大题共6小题,17小题10分, 18-22题每小题12分,共70分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知曲线C 的极坐标方程是2()3cos πρθ=+,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,且取相等的单位长度,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是1,()2x t t y =--⎧⎪⎨=+⎪⎩是参数,设点(1,2)P -. (Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程,将直线l 的参数方程化为普通方程; (Ⅱ)设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点,求PM PN •的值.18.我校为了解学生喜欢通用技术课程“机器人制作”是否与学生性别有关,采用简单随机抽列联表:已知从该班随机抽取1人为喜欢的概率是3.(Ⅰ)请完成上面的22⨯列联表;(Ⅱ)根据列联表的数据,若按90%的可靠性要求,能否认为“喜欢与否和学生性别有关”?请说明理由.22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++(参考公式:其中)19.在进行一项掷骰子放球游戏中,规定:若掷出1点,甲盒中放一球;若掷出2点或3点,乙盒中放一球;若掷出4点或5点或6点,丙盒中放一球,前后共掷3次,设123,,a a a 分别表示甲,乙,丙3个盒中的球数. (Ⅰ)求1232,1,0a a a ===的概率;(Ⅱ)记12,a a ξ=+求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.20.已知数列1111{},,21n n nx x x x +==+满足 其中n N *∈ . (Ⅰ)写出数列{}n x 的前6项;(Ⅱ)猜想数列2{}n x 的单调性,并证明你的结论.21.如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是梯形,//AD BC ,,AD BC >090BAD ∠=,,,PA ABCD PA AB ⊥=底面点E PB 是的中点. (Ⅰ)证明:PC AE ⊥;(Ⅱ)若1,3,AB AD PA ==且与平面PCD 所成角的大小为045,求二面角A PD C --的正弦值.22.已知函数(),()()ln xg x f x g x ax x==-. (Ⅰ)求函数()g x 的单调区间;(Ⅱ)若函数()f x 在()1,a +∞上是减函数,求实数的最小值;(Ⅲ)若21212,[,],()()(0)x x e e f x f x a a '∃∈≤+>使成立,求实数a 的取值范围.下学期高二年级期末考试数学参考答案一、选择题二、填空题13.14. 15.70 16.*2(2)(2,)2n n f n n N +>≥∈ 三、解答题17.解:(Ⅰ) 曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为:22x y x +=- ,即221()(122xy -++= ;直线l 20y ++= .(Ⅱ) 直线l 的参数方程化为标准形式为11,2()22x m m y m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数,①将①式代入22x y x +=,得:23)60m m +++= ,②由题意得方程②有两个不同的根,设12,m m 是方程②的两个根,由直线参数方程的几何意义知:12PM PN m m •=•=6+. (Ⅱ)根据列联表数据,得到2260(1422618) 3.348 2.706,32282040K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 所以有90%的可靠性认为“喜欢与否和学生性别有关”.19.解:由题意知,每次抛掷骰子,球依次放入甲,乙,丙盒中的概率分别为111,,632.(Ⅰ) 由题意知,满足条件的情况为两次掷出1点,一次掷出2点或3点,121233111(2,1,0)()()6336p p a a a C ====== .(Ⅱ) 由题意知,ξ可能的取值是0,1,2,3 .1231(0)(0,0,3),8p p a a a ξ======12121231233311113(1)(0,1,2)(1,0,2)()()()()32628p p a a a p a a a C C ξ=====+====+=123123123(2)(2,0,1)(1,1,1)(0,2,1)p p a a a p a a a p a a a ξ=====+===+===1231233311111113()()()()()()()62632328C A C =++=123123123(3)(0,3,0)(1,2,0)(2,1,0)p p a a a p a a a p a a a ξ=====+===+===+1231(3,0,0)8p a a a ====.故ξ的分布列为:期望()012388882E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= .20.解:(Ⅰ)由121112,213x x x ===+得; 由232213,315x x x ===+得; 由343315,518x x x ===+得; 由454518,8113x x x ===+得; 由5658113,13121x x x ===+得; (Ⅱ)由(Ⅰ)知246,x x x >>猜想:数列2{}n x 是递减数列. 下面用数学归纳法证明:①当1n =时,已证命题成立;②假设当n k =时命题成立,即222k k x x +>. 易知20k x >,当1n k =+时,2224k k x x ++- 21231111k k x x ++=-++23212123(1)(1)k k k k x x x x ++++-=++22222122230(1)(1)(1)(1)k k k k k k x x x x x x ++++-=>++++即2(1)2(1)2k k x x +++>.也就是说,当1n k =+时命题也成立.根据①②可知,猜想对任何正整数n 都成立.21. 解:解法一(向量法):建立空间直角坐标系A xyz -,如图所示.根据题设,可设(,0,0),(0,,0),(0,0,),(,,0)D a B b P b C c b , (Ⅰ)证明:0,,22b b AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(,,)PC c b b =-, 所以0()022bb AE PCc b b ⋅=⨯+⋅+⋅-=, 所以AE PC ⊥,所以PC AE ⊥.(Ⅱ)解:由已知,平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)AB =. 设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =, 由0,0,m PC m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,00,cx y z y z +-=⎧⎪+⋅-=令1z =,得11m ⎫=⎪⎭.而(0,0,1)AP =,依题意PA 与平面PCD 所成角的大小为45︒,所以||sin 45||||m AP m AP ⋅︒==,即=,解得32BC c =(32BC c ==去),所以2133m ⎛⎫=⎪⎪⎭. 设二面角A PD C --的大小为θ,则233cos ||||12133m ABm AB θ⋅===++, 所以6sin θ,所以二面角A PD C --的正弦值为6. 解法二(几何法):(Ⅰ)证明:因为PA ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC PA ⊥. 又由ABCD 是梯形,AD BC ∥,90BAD ∠=︒,知BC AB ⊥,而AB AP A =,AB ⊂平面PAB ,AP ⊂平面PAB ,所以BC ⊥平面PAB . 因为AE ⊂平面PAB ,所以AE BC ⊥.又PA AB =,点E 是PB 的中点,所以AE PB ⊥.因为PB BC B =,PB ⊂平面PBC ,BC ⊂平面PBC ,所以AE ⊥平面PBC . 因为PC ⊂平面PBC ,所以AE PC ⊥. (Ⅱ)解:如图4所示,过A 作AF CD ⊥于F ,连接PF , 因为PA ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ,所以CD PA ⊥,则CD ⊥平面PAF ,于是平面PAF ⊥平面PCD ,它们的交线是PF . 过A 作AG PF ⊥于G ,则AG ⊥平面PCD , 即PA 在平面PCD 上的射影是PG ,所以PA 与平面PCD 所成的角是APF ∠.由题意,45APF ∠=︒. 在直角三角形APF 中,1PA AF ==,于是2AG PG FG ===. 在直角三角形ADF 中,3AD ,所以2DF = 方法一:设二面角A PD C --的大小为θ, 则2232cos 13PDG APDS PG DF S PA AD θ⋅===⋅⨯△△,所以sin θ,所以二面角A PD C --方法二:过G 作GH PD ⊥于H ,连接AH ,由三垂线定理,得AH PD ⊥,所以AHG ∠为二面角A PD C --的平面角, 在直角三角形APD中,2PD =,PA AD AH PD ⋅===. 在直角三角形AGH中,sin AG AHG AH ∠===, 所以二面角A PD C --22.解:由已知,函数()g x ,()f x 的定义域为(0,1)(1,),+∞ 且()ln xf x ax x=-. (Ⅰ)函数221ln ln 1()(ln )(ln )x x x x g x x x -⋅-'==, 当01()0x e x g x '<<≠<且时,;当()0x e g x '>>时,.所以函数()g x 的单调减区间是(0,1),(1,),()e e +∞增区间是,. (Ⅱ)因()f x 在(1,)+∞上为减函数,故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立. 所以当(1,)x ∈+∞时,max ()0f x '≤. 又222ln 111111()()(),(ln )ln ln ln 24x f x a a a x x x x -'=-=-+-=--+- 故当11,ln 2x =即2x e =时,max 1()4f x a '=-. 所以1110,,444a a a -≤≥于是故的最小值为.(Ⅲ)命题“若21212,[,],()()x x e e f x f x a '∃∈≤+使成立”等价于 “当2min max [,],()()x e e f x f x a '∈≤+时有” . 由(Ⅱ)知,当2max max 11[,],(),()44x e e f x a f x a ''∈=-∴+=时有.问题等价于:“2min 1[,],()4x e e f x ∈≤当时有” .① 当14a ≥时,由(Ⅱ)知,2()[,]f x e e 在上为减函数,则222min2111()(),2424e f x f e ae a e==-≤≥-故 .②当104a <<时,由于2111()()ln 24f x a x '=--+-在2[,]e e 上为增函数,故21()(),(),4f x f e f e a a '''的值域为[],即[--] .由()f x '的单调性和值域知,200,,()0x e e f x '∃∈=唯一()使,且满足:当0,,()0,()x e x f x f x '∈<()时为减函数; 当20,,()0,()x x e f x f x '∈>()时为增函数; 所以,20min 00001()(),(,)ln 4x f x f x ax x e e x ==-≤∈ . 所以,2001111111,ln 4ln 4244a x x e e ≥->->-= 与104a <<矛盾,不合题意. 综上,得21124a e ≥-.高二年级第二学期期末考试数学试题一、选择题(每小题5分,共50分)1.已知集合{}322+<=x x x M ,{}2<=x x N ,则=⋂N M ( )A .(-1,2)B .(-3,2)C .(-3,1)D .(1,2)2.欧拉公式x i x e ix sin cos +=(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天骄”。
高二下学期数学期末考试试卷含答案(共3套)
第二学期期末考试试卷高二数学试题注意事项:1.本试题满分150分,考试时间为120分钟。
2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上。
3.使用答题纸时,必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写,要字迹工整,笔迹清晰。
超出答题区书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本大题共13小题,每小题4分,共52分.在每小题给出的四个选项中,第1~10题只有一项符合题目要求;第11~13题有多项符合题目要求,全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分. 1.设集合{}0,1,2,3,4,5U =,{}2,3,4A =,{3,4,5}B =,则U A B =U ð A .{}2 B .{}0,1 C .{}0,1,2,3,4 D .{}0,1,3,4,52.命题“320,0x x x ∀>+>”的否定是A .320000,0x x x ∃>+≤B .320000,0x x x ∃≤+≤C.320,0x x x ∀>+≤ D .320,0x x x ∀≤+≤3.已知,a b ∈R ,则“a b >”是“2()0a a b ->”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4.若函数2log 3,0()20xx x x f x x -+->⎧=⎨<⎩,,则((3))f f = A .13B .32C .52D .35.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.在一次考古挖掘中,考古学家发现一批鱼化石,经检测其碳14含量约为原始含量的3.1%,则该生物生存的年代距今约A .1.7万年B .2.3万年C .2.9万年D .3.5万年6.若幂函数的图象经过点1(2,)4,则其解析式为A .1()2xy = B .2x y = C .2y x -= D .2y x =7.已知偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减,则不等式(21)(3)f x f ->的解集为 A .()2,1-B .()1,2-C .(,2)(1,)U -∞-+∞D .(,1)(2,)-∞-+∞U8.若直线1=y 是曲线x x ay ln +=的一条切线,则实数a 的值为 A .1B .2C .3D .49.已知定义在R 上的函数()f x 在(2,)+∞上单调递增且(0)0f =,若(2)f x +为奇函数,则不等式()0f x <的解集为A .(,2)(0,4)-∞-UB .0,4()C .(,2(02-∞-U ),)D .(,0)(2,4)-∞U 10.若函数()ln f x x =与2()(4)24()g x x a x a a R =-+-+-∈图象上存在关于点(1,0)M 对称的点,则实数a 的取值范围是A .[0,.[1,)+∞ D .[e,)+∞11.1)2+(0a >且1a ≠)的图象可能是12.A .函数f B .函数()f x 既存在极大值又存在极小值C .当e 0k -<<时,方程()f x k =有且只有两个实根D .若[,)x t ∈+∞时,max 25()ef x =,则t 的最小值为2 13. 对于定义域为D 的函数()f x ,若存在区间[,]m n D ⊆,同时满足下列条件:①()f x 在[,]m n 上是单调的;②当定义域是[,]m n 时,()f x 的值域也是[,]m n ,则称[,]m n 为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的是A .3()f x x = B .2()3f x x=-C .()e 1xf x =- D .()ln 2f x x =+ 二、填空题:本大题共有4个小题,每小题4分,共16分.14.函数21()log (1)f x x =+的定义域为(结果用区间表示)15.已知函数()|lg |f x x =,实数,a b ()a b ≠满足()()f a f b =,则ab 的值为 16.若“[2,8]x $?,2log 4log 2x m x?”为真命题,则实数m 的最大值为17.设函数()f x 的定义域为R ,满足(1)3()f x f x +=,且当(0,1]x ∈时,32()f x x x =-.(1)当(0,1]x ∈时,()f x 的最小值为 ;(2)若对任意(,]x m ∈-∞,都有 27()8f x ≥-成立,则实数m 的取值范围是 .三、解答题:本大题共6个小题,共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(13分)已知二次函数()f x 的图象过原点,满足(2)()()f x f x x R -=-∈,其导函数的图象经过点(0,2)-.(1)求函数)(x f 的解析式;(2)设函数()5(01)xg x a a a a =+->≠且,若存在1[3,0]x ∈-,使得对任意2[1,2]x ∈,都有12()()f x g x ≥,求实数a 的取值范围.19.(13分)已知函数2()log ()+1nf x m x =+为奇函数,其中,,0m n m ?R .(1)求,m n 的值;(2)求使不等式()1f x ³成立的x 的取值范围.20.(13分)已知:p 实数m 使得函数21()ln (2)2f x x m x x =---在定义域内为增函数;:q 实数m 使得函数2()(1)5g x mx m x =++-在R 上存在两个零点12,x x ,且121x x <<. (1)分别求出条件,p q 中的实数m 的取值范围;(2)甲同学认为“p 是q 的充分条件”,乙同学认为“p 是q 的必要条件”,请判断两位同学的说法是否正确,并说明理由.21.(13分)已知函数()(1)e xf x x a =--()a ∈R .(1)当0a =时,求函数()f x 在1x =处的切线方程; (2)当[0,1]x Î时,求函数()f x 的最大值.22.(15分)中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利,极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔t (单位:分钟)满足525t #,t *∈N .经测算,高铁的载客量与发车时间间隔t 相关:当2025t#时高铁为满载状态,载客量为1000人;当520t?时,载客量会在满载基础上减少,减少的人数与2(20)t -成正比,且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车间隔为t 分钟时,高铁载客量为()P t . (1)求()P t 的表达式;(2)若该线路发车时间间隔为t 分钟时的净收益2()()4065020004tQ t P t t t =-+-(元),当发车时间间隔为多少时,单位时间的净收益tt Q )(最大? 23.(15分)已知函数()ln (2)e xf x a x x =--,a ∈R .(1)当0a ³时,讨论)(x f 的导函数)(x f '在区间),1(+∞上零点的个数;(2)当1-=a ,(0,1]x ∈时,函数()f x 的图象恒在y x m =-+图象上方,求正整数m 的最大值.第二学期期末学业水平诊断高二数学试题参考答案一、选择题1.C2.A3.B4.A5.C6.C7.B8.A9.D 10.C 11.AC 12.ABC 13.ABD 二、填空题14.(1,0)- 15.1 16.517.427- , 7(,]2-∞(可写为72m ≤)三、解答题18.解:(1)设2()f x ax bx =+,∵(2)()f x f x -=-,所以()f x 的对称轴方程为12bx a=-=-, ……………………………………2分 又()2f x ax b ¢=+,则(0)2f b ¢==-, ……………………………………4分两式联立,解得1-=a ,2b =-.所以2()2f x x x =--. ……………………………………5分 (2)由已知max max ()()f x g x ≥. ……………………………………6分因为2()2f x x x =--,[]3,0x ∈-所以()f x 在(3,1)--单增,(1,0)-单减,当1x =-时,max ()1f x =…………8分 法一:当01a <<时, ()5xg x a a =+-在[]2,1上为减函数,max ()(1)25g x g a ==-,此时125a ?,解得01a <<. ………………10分当1a >时, ()5xg x a a =+-在[]2,1上为增函数,2max ()(2)5g x g a a ==+-,此时215aa ?-,解得12a <?. ……………………………………12分综上,实数a 的取值范围是{|01a a <<或}12a <?.……………………………13分(法二:因为0a >且1a ≠,所以()5xg x a a =+-为单调函数,所以{}max ()max (1),(2)g x g g =,又(1)25g a =-,2(2)5g a a =+-, ……………10分于是由212515a a a ≥-⎧⎨≥+-⎩,解得32a -≤≤. ……………………………………12分又0a >且1a ≠,所以实数a 的取值范围是{|01a a <<或}12a <?.………13分) 19. 解:(1)因为()f x 为奇函数,所以()()0f x f x -+=对定义域内任意的x 恒成立.即22log ()log ()0+1+1n nm m x x +++=-, ……………………………………2分 化简得 2222()1m x m n x -+=-, ……………………………………4分 故21m =,2()1m n +=,解得1m =-,2n =. ……………………………7分 (2)由(1)知,21()log 1xf x x-=+,……………………………………………………9分 由21()log 11x f x x -=?+,得121xx-³+, ………………………………………11分 解得113x -<?, 综上,满足题意的x 的取值范围是 1(1,]3--. …………………………………13分20.解:(1)()f x 的定义域为(0,)+?,1()(2)1f x m x x '=---,…………………2分因为()f x 在定义域内为增函数,所以对0x ∀>,恒有()0f x '≥,整理得 22111172()24m x x x ≤-+=-+恒成立,于是74m ≤. 因此满足条件p 的实数m 的取值范围是7(,]4-?. ………………………6分因为()g x 的存在两个零点且121x x <<,所以(1)0m g ?. ………………………8分即(24)0m m -<,解得02m <<.因此满足条件q 的实数m 的取值范围是(0,2). ………………………10分 (2)甲、乙两同学的判断均不正确, ………………………………………………11分因为p q ⇒/,所以p 不是q 的充分条件, ………………………………………12分 因为q p ⇒/,所以p 不是q 的必要条件. ………………………………………13分21.解:(1)当0a =时,(1)0f =,(1)e f ¢=, ……………………………………2分 所以切线方程为0e(1)y x -=-,即e e 0x y --=.……………………………4分(2)()()e x f x x a ¢=-, 当0a £时,当[0,1]x Î,()0f x ¢³,()f x 单调递增,此时max ()(1)e f x f a ==-,………………………………………………………6分当01a <<时,当(0,)x a Î,()0f x ¢<,()f x 单调递减,当(,1)x a Î,()0f x ¢>,()f x 单调递增,此时{}max ()max (0),(1)f x f f =, ………………………8分 又(1)(0)(e 1)+1f f a -=--,所以当10e 1a <?-时,max ()(1)e f x f a ==- 当11e 1a <<-时,max ()(0)1f x f a ==--. ………………………10分 当1a ³时,当[0,1]x Î,()0f x ¢£,()f x 单调递减, 此时max ()(0)1f x f a ==--………………………………………………………12分 综上,当1e 1a £-时,max ()(1)e f x f a ==-, 当1e 1a >-时,max ()(0)1f x f a ==--. ………………………………13分 22.解:(1)当520t?时,不妨设2()1000(20)P t k t =--,因为(5)100P =,所以解得4k =. ………………………………3分因此 2**10004(20),520,,()1000,2025,t t t P t t t ìï--??ï=íï#?ïîN N . ……………………5分 (2)① 当520t?时,23()()40650200050020004tQ t P t t t t t =-+-=-+- 因此2()2000()500Q t y t t t t==--+,520t ?. ……………………7分因为()y t ¢=32220002(1000)2t t t t ---+=,当510t?时,()0y t ¢>,()y t 单增; 当1020t <<时,()0y t ¢<,()y t 单减.所以max ()(10)200y t y ==.…………10分 ② 当2025t#时,2()409002000Q t t t =-+-因此()50()90040()Q t y t t t t==-+,2025t #. ……………………12分因为()y t ¢=2240(50)0t t --<,此时()y t 单减.所以max ()(20)0y t y ==,…14分 综上,发车时间间隔为10分钟时,tt Q )(最大. ……………………15分 23.解:(1)()()e (1)e (1)e x x x a af x x x x x¢=-+-=--. ……………………1分令()(1)e xa g x x x=--,[1,)x ∈+∞,则322e ()e x x a a x g x x x x +¢=--=-,…2分 ①当0a =时,当(1,)x ∈+∞,()0g x ¢<, ()g x 单调递减,又(1)0g a ==,所以对"1x >时,()(1)0g x g <=,此时()g x 在(1,)+?不存在零点. ………………4分②当0a >时,当(1,)x ∈+∞,()0g x ¢<, ()g x 单调递减. 又因为(1)0g a =>,取}0max x a =,则02000000()(1)e (1)(1)20x a ag x x x x x x a=--<--+=-?,即0()0g x <. 根据零点存在定理,此时()g x 在(1,+∞)存在唯一零点. ………………6分综上,当0a >时,()f x ¢在(1,)+∞存在唯一零点;当0a =时, ()f x ¢在(1,)+∞没有零点. ………………………………………………7分 (2)由已知得ln (2)e xm x x x <---在(]1,0上恒成立. ………………………………8分设()ln (2)e xh x x x x =---,(0,1]x ∈,则1()(1)(e )xh x x x'=--……………9分因为01x <<时,所以10x ->, 设1()e xu x x =-,21()e 0x u x x¢=+>,所以)(x u 在(0,1) 上单调递增,………10分又1()202u =<,(1)e 10u =->,由零点存在定理)1,21(0∈∃x ,使得0)(0=x u ,即001e x x =, 00ln x x =-, ………………………………………………12分且当),0(0x x ∈时,()0u x <,()0h x '<,()h x 单调递减;当(]1,0x x ∈时,()0u x >,()0h x '>,)(x h 单调递增.所以0min 0000002()()ln (2)e 21xh x h x x x x x x ==---=-+,…………………14分 又x x y 221++-=在)1,0(上单调递减,而)1,21(0∈x ,所以)4,3()(0∈x h , 因此,正整数m 的最大值为3.………………………………………………………15分高二第二学期期末考试数学试题试卷说明:(1)命题范围:人教版选修1-2,必修1 (2)试卷共两卷(3)时间:120分钟 总分:150分第Ⅰ卷一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如果{}5,4,3,2,1=S ,{}3,2,1=M ,{}5,3,2=N ,那么()()N C M C S S I 等于( ). A.φ B.{}3,1 C.{}4 D.{}5,2 2.下列函数中,是奇函数,又在定义域内为减函数的是( ).A.xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21 B.x y 1= C.)(log 3x y -= D.3x y -=3. 若函数)1,0)((log ≠>+=a a b x y a 的图象过两点(-1,0)和(0,1),则A .a=2,b=2B .a = 2 ,b=2C .a=2,b=1D .a= 2 ,b= 2 4. 对于10<<a ,给出下列四个不等式 ①)11(log )1(log aa a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③aaaa111++<④aaaa111++>其中成立的是A .①与③B .①与④C .②与③D .②与④5、若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x、三、四象限,则一定有 A .010><<b a 且 B .01>>b a 且C .010<<<b a 且D .01<>b a 且6、已知函数=-=+-=)(,21)(,11lg )(a f a f x x x f 则若A .21 B .-21 C .2D .-27.若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍,则a=A.42 B.22 C.41 D.218、函数11(1)y x x =-+≥的反函数是A .)1(222<+-=x x x y B .)1(222≥+-=x x x yC .)1(22<-=x x x yD .)1(22≥-=x x x y9.在映射:f A B →中,(){},|,A B x y x y R ==∈,且()():,,f x y x y x y →-+,则与A 中的元素()1,2-对应的B 中的元素为()A .()3.1-B .()1,3C .()1,3--D .()3,110.设复数2121),(2,1z z R b bi z i z 若∈+=+=为实数,则b = ( )A.2B.1C.-1D.-211.函数34x y =的图象是( )A .B .C .D .12、在复平面内,复数1i i++(1+3i )2对应的点位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题纸中对应横线上. 13.已知复数122,13z i z i =-=-,则复数215z i z + =14.lg25+32lg8+lg5·lg20+lg 22= 15.若关于x 的方程04)73(32=+-+x t tx 的两实根21,x x ,满足21021<<<<x x ,则实数t 的取值范围是 16.函数2()ln()f x x x =-的单调递增区间为三、解答题:本大题共6小题,共74分.前五题各12分,最后一题14分. 17.(本小题12分)计算 ()20251002i 1i 1i 1i i 21⎪⎭⎫⎝⎛+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++18.(本小题12分) 在数列{a n }中,)(22,111++∈+==N n a a a a nnn ,试猜想这个数列的通项公式。
2023-2024学年上海中学高二下学期数学期末试卷及答案(2024.06)
1上海中学2023-2024学年第二学期高二年级数学期末2024.06一、填空题(每题3分,共36分)1.已知事件A 满足()0.3P A =,则()P A =___________.2.将4封不同的信投入3个不同的信箱,则不同的投递方式共有___________种.3.已知3223n n C P =,则n =___________.4.在()101x +的展开式中,3x 的系数为.___________(以数字作答)5.函数()242f x lnx x x =−−的驻点为___________.6.若随机变量X 服从正态分布()1,3,21N Y X =+,则[]D Y =___________.7.集合A 是{}12,3,4,5,6,7,8,9,10,的子集,且A 中的元素有完全平方数,则满足条件的集合A 共有___________个.8.从正方体的12条棱中选择两条,这两条棱所在直线异面直线的概率为___________. 9.若不等式x e ax ≥对任意1x ≥−成立,则a 的取值范围是___________.10.对于在定义域上恒大于0的函数()f x ,令()()g x lnf x =.已知()f x 与()g x 的导函数满足关系式()()()f x f x g x ′=′.由此可知,函数()2x f x x =在1x =处的切线方程为___________.11.甲、乙、丙、丁、戊乘坐高铁结伴出行并购买了位于同一排座位的五张车票,因此他们决定自行安排这些座位.高铁列车的座位安排如图,甲希望坐在靠窗的座位上,乙不希望坐在B 座,丙和丁希望坐在相邻的座位上(中间不能隔着过道),则满足要求的座位安排方式共有___________种.12.将1,2,3,4,5,6的所有排列按如下方式排序:首先比较从左至右第一个数的大小,较大的排列在后;若第一个数相同,则比较第二个数的大小,较大的排列在后,依此类推.按这种排序2方式,排列2,3,4,5,6,1的后一个排列是___________. 二、选择题(每题4分,共16分) 13.设()2f x sin x =,则()f x ′=( )(A)2cos x (B)2cos x − (C)22cos x (D)22cos x −14.某班级共有40名同学,其中15人是团员.现从该班级通过抽签选择10名同学参加活动,定义随机变量X 为其中团员的人数,则X 服从( )(A)二项分布 (B)超几何分布 (C)正态分布 (D)伯努利分布 15.将一枚硬币连续抛掷三次,每次得到正面或反面的概率均为12,且三次抛掷的结果互相独立.记事件A 为“至少两次结果为正面”,事件B 为“第三次结果为正面”,则()P B A =∣( ) (A)12 (B)23 (C)34 (D)7816.现有编号分别为()1,2,,*n n N …∈的小球各两个,每个球的大小与质地均相同.将这2n 个球排成一列,使得任意编号相同的球均不相邻,记满足条件的排列个数为n a ,则( ) ①对任意,*n n N a ∈都是偶数;②()()()11212n n a n n a n −>−−≥.(A)①②都是真命题 (B)①是真命题,②是假命题 (C)①是假命题,②是真命题 (D)①②都是假命题 三、解答题(本大题共5题,共48分,解答各题须写出必要的步骤) 17.(本题8分)求函数()()231x f x e x x =⋅−+的单调区间.18.(本题8分)某公司对购买其产品的消费者进行了调研,已知这些消费者在一年内再次购买产品的概率为33%,且这些消费者可以分为A B C、、三类.其中A类消费者占30%,其在一年内再次购买产品的概率为60%;B类消费者占40%,其在一年内再次购买产品的概率为30%;C类消费者占比x%,其在一年内再次购买产品的概率为y%.(1)求x与y的值.(2)若一名消费者在一年内再次购买了产品,求其是B类消费者的概率.19.(本题10分)某学校举办知识竞赛,该竞赛共有三道问题,参赛同学须回答这些问题,以其答对的问题的得分之和作为最终得分.每个问题的得分与参赛同学答对的概率如下表(每次回答是否正确相互独立).定义随机变量X为最终得分.(1)求()50P X=.(2)求[]D X.E X与[]3420.(本题10分)设函数()()()1f x x x x a =−−,其中1a >.且()f x 在0x =与x a =处的切线分别为12,l l .(1)若1l 与2l 平行,求a 的值.(2)记(1)中a 的值为0a .当0a a >时,记12,l l 与x 轴围成的三角形面积为S .当S 取到最小值时,求a 的值.21.(本题12分)仿照二项式系数,可以定义“三项式系数”k n T 为()21nx x ++的展开式中kx 的系数()02k n ≤≤,即()201122221.nn n n n n n x x T T x T x T x ++++++其中0122,,,,n n n n n T T T T Z …∈. (1)求234333,,T T T 的值:(2)对于给定的*n N ∈,计算以下两式的值:20n knk T =∑与20nk n k k T =∑(3)对于*n N ∈,记0122,,,,n n n n n T T T T …中偶数的个数为n a ,奇数的个数为n b .是否存在n 使得2024n n a b −≥?若存在,请给出一个满足要求的n 并说明理由;若不存在,请给出证明.5参考答案一、填空题1.0.7;2.81;3.11;4.120;5.1;6.12;7.896;8.411;9.1,e e−; 10.210x y −−=; 11.11 12.2,3,4,6,1,5二、选择题13.C 14.B 15.C 16.A 三.解答题17.(1)增区间为()(),1,2,−∞−+∞,减区间为[]1,2− 18.(1)30,10x y == (2)123319.(1)0.36 (2)[]57E X =,[]853D X = 20.(1)2 (221.(1)234333676,,T T T ===(2)203nnk nk T ==∑,203n nk n k k T n ==⋅∑ (3)1024n =。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
高二第二学期期末考试数学试卷试卷说明:1、本试卷命题范围:人教B 版高中数学选修2-2和2-3全部内容;所占比例为40%和60%2、试卷分两卷,第Ⅰ卷为单项选择题,请将正确答案用2B 铅笔涂在答题卡上,第Ⅱ卷为主观题,请将答案按照题序用黑色水性签字笔写在答题纸上;3、考试时间120分钟,满分150分。
第Ⅰ卷一、选择题(每题只有一个正确答案,每题5分,共12小题,共60分)1. 112-+⎛⎝ ⎫⎭⎪i i 的值等于( )A .1B .-1C .iD .-i2.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是( ) A.4 B. 52C.3D.23.在4次独立试验中,事件A 发生的概率相同,若事件A 至少发生1次的概率为8165,则 事件A 在1次独立试验中发生的概率为( )A .31 B .52 C .65 D .以上全不对4.若曲线32:22C y x ax ax =-+上任一点处的切线的倾斜角都是锐角,那么整数a 的( )A .-2B .0C .1D .-15..设随机变量ζ服从正态分布N (2,9) ,若P (ζ>c+1)=P (ζ<c -)1,则c =( ) A.1 B.2 C.3D.46.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是( ) A .假设三内角都不大于60度 B .假设三内角都大于60度C .假设三内角至多有一个大于60度D .假设三内角至多有两个大于60度7..如图,一环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种 一种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法种数为 ( )(A)96(B) 84(C) 60(D) 488.以下结论不正确...的是 ( )A .根据2×2列联表中的数据计算得出K 2≥6.635, 而P (K 2≥6.635)≈0.01,则有99%的把握认为两个分类变量有关系B .在线性回归分析中,相关系数为r ,|r|越接近于1,相关程度越大;|r|越小,相关程度越小 C .在回归分析中,相关指数R 2越大,说明残差平方和越小,回归效果越好D .在回归直线855.0-=x y 中,变量x =200时,变量y 的值一定是159.在8)1()1(+⋅-x x 的展开式中,含x 5项的系数为 ( )A .-14B .14C .-28D .2810.用数学归纳法证明“))(12(5312)()2)(1(*N n n n n n n n∈-⋅⋅⋅=+++ΛΛ”时,从n k = 到1n k =+,等式的左边需要增乘的代数式是 ( )A .21k +B .211k k ++ C .231k k ++ D .)12(2+k 11.如果袋中有六个红球,四个白球,从中任取一个球,记住颜色后放回,连续摸取4次,设X 为取得红球的次数,则X 的期望()X E = ( ) (A )43 (B)512 (C )719 (D )3112.某气象台统计,该地区下雨的概率为154,刮风的概率是152,既刮风又下雨的概率为101,设A为下雨,B为刮风,则()B A P = ( ) (A )41 (B)21 (C )43 (D )52二、(本大题共4小题,每小题4分,共16分)。
13、设复数z 满足条件,1=z 那么i z ++22的最大值是 . 14.设随机变量ξ~),2(p B ,η~),3(p B ,且95)1(=≥ξP ,则=≥)1(ηP . 15.下列说法正确的是 .(填入所有正确序号)①若7722107)1(x a x a x a a x ++++=-Λ,则64642=++a a a ;②7)1(x -展开式中系数最小项是第5项;③若令100=x ,则7)1(x -被1000除,余数是301;④)1(x -+2)1(x -+7)1(x -+Λ的展开式中含5x 项的系数是28-.16.若由一个2*2列联表中的数据计算得χ2=3.902,那么有 把握认为两个变量有关系.第Ⅱ卷三、解答题(共74分,17-21题各12分,22题14分,要写出必要的解题步骤,书写规范。
):17. (本小题满分12分)已知复数ai z +=3,且22<-z ,求实数a 的取值范围. 18.(本题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球.(1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取4个球,使总分不少于7分的取法有多少种? 19.(本小题满分12分)已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x -2。
(1)求)(x f y =的解析式;(2)求)(x f y =的单调递增区间。
20.(本小题满分12分) 若),,3,2,1(0n i x i ⋅⋅⋅=>,观察下列不等式:,,9)111)((,4)11)((3213212121⋅⋅⋅≥++++≥++x x x x x x x x x x 请你猜测)111)((2121n n x x x x x x ⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++满足的不等式,并用数学归纳法加以证明.21.(本小题满分12分)从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数。
(1)求ξ的分布列;(2)求ξ的数学期望;(3)求“所选3人中男生人数ξ≦1”的概率.22(本题14分)某突发事件,在不采取任何预防措施的情况下,发生的概率为0.3,一旦发生,将造成400万元的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用,单独采用甲、乙预防措施的费用分别为45万元和30万元,采用相应措施后突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85,若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用,请你确定预防方案,并使总费用最少.(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值数学试题答案一 选择题二填空题13、 4 14、2719 15、 ③④ 16、95% 三、解答题 17. 解法一:利用模的定义,从两个已知条件中消去.ai z +=3Θ(R a ∈),由22<-z ,得223<-+ai即21<+ai , --------------6 解得33<<-a 解法二:利用复数的几何意义,由条件22<-z 可知,在复平面内对应的点Z 在以(2,0)为圆心,2为半径的圆内(不包括边界),由ai z +=3可知对应的点Z 在直线3=x 上,所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合.由图可知33<<-a .18. .解:(1)将取出4个球分成三类情况:1)取4个红球,没有白球,有44C 种;2)取3个红球1个白球,有1634C C 种; 3)取2个红球2个白球,有2624C C 种,1152624163444=++∴C C C C C 种.------------------6(2)设取x 个红球,y 个白球,则⎩⎨⎧≤≤≥+≤≤=+)60(72)40(4y y x x y x ,---------931x y =⎧⎨=⎩解得或⎩⎨⎧==04y x . -------------11 ∴符合题意的取法种数为2506441634=+C C C C 种.----------1219. 解:(1)由题1)1(,1)0(='=f f ,得c=1①; 又∵bx ax x f 24)(3+='∴124)1(=+='b a f ②;∵x =1处的切线方程为y =x -2有y =1-2=-1,切点坐标为(1,-1),---------------4分 ∴1)1(-=++=c b a f ③;由①②③得1,29,25=-==c b a ; ∴12925)(24+-=x x x f 。
----------------------------------------------6分(2)∵)910(910)(23-=-='x x x x x f ; 当0)(>'x f 时有10103010103><<-x x 或 ∴)(x f y =的增区间为),10103()0,10103(+∞-Y -----------------------------------------12分 20.解:满足的不等式为)2()111)((22121≥≥⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++n n x x x x x x nn ,-------2分 证明如下:(1)当n=2时,猜想成立; 4分 (2)假设当n=k 时,猜想成立,即22121)111)((k x x x x x x kk ≥⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++, ------6分那么n=k+1时12112112121121122221111()()1111111()()()()1121(1)k k k k k k k k k kx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k k k k ++++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅++⋅⋅⋅+≥+≥++=+ 则当n=k+1时猜想也成立,----------------------------10分 根据(1)(2)可得猜想对任意的n(n 2,≥∈n N 且)都成立.----------12分21. .解:(Ⅰ)ξ的取值有0,1,2,… ------------------------------------------------1分.2,1,0,)(37352===-k C C C k P k k ξΘ ξ∴的分布列为- -------------------5分∴ ξ的数学期望为 76712741720=⨯+⨯+⨯=ξE 。
-------------------8分 (Ⅱ) “所选3人中男生人数ξ≦ 1”的概率是767472)1()0(=+==+=ξξP P ------------ ------------12分22. 、解:(1)若不采取任何预防措施,则总费用为400×0.3=120万元--------3分(2)单独采用甲方案,则总费用为45+400×0.1=85万元----------6分 (3)单独采用乙方案,则总费用为30+400×0.15=90万元------------9分 (4)若甲、乙方案同时采用,则总费用为45+30+400×0.1×0.15=75.6万元 --------------------------------------------------12分因此,当联合采用甲、乙两种方案时,总费用最少为75.6万元-------14分。