现代控制理论第2讲
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《现代控制理论》讲稿
《现代控制理论》讲稿
贺廉云
第1章 控制系统的状态空间模型
要点：
1 理解状态空间表示法概念；
2 掌握状态空间图示法；
3 掌握连续系统的数学模型转换；
4 了解多变量系统的传递函数阵及其求法
难点：
连续系统的数学模型转换
C=[ 0 0 1]
三状态空间模型的图示法
1. 基本元件
(a) (b) (c)
试求其传递函数阵。
解：根据式（1-10），可得
G（s）=
=
=
=
2传递函数阵的状态空间模型的实现
（1） 可控标准形的实现
对于单输入单输出（SISO）系统，传递函数阵退化成传递函数。要把SISO系统式G(s)=的传递函数形式转换成能控标准性的状态空间模型，即
图1-3 状态结构基本元件
a-积分器 b-加法器 c-比例器
2． 一阶标量微分方程 的一阶系统状态结构图
u
图1-4 一阶系统状态结构
1 由状态空间模型转换成传递函数
系统的状态方程
L G（s）=
= (1-10)
是A阵的特征多项式 * 表示伴随矩阵
例2 已知某一单一输入输出系统的状态空间表达式为
（1-11）
A= b= (1-12)
上述A阵是nn方阵，它的维数正好是传递函数的阶数，它的最后一行元素正还是传递函数分母（即系统的特征方程）所对应的稀疏，只不过均相差一个负号,其次对角线的元素均为1，其余为零，而b阵是一个列向量，最后一个元素为1，其余为零。正是b阵中的唯一的1对应友阵A的形式，是的输入信号u能对系统的每一个状态进行控制，因此称其为能控标准行。为了得到A阵和b阵的这种形式，应按下列规律选择状态变量：,于是有
贺廉云
第1章 控制系统的状态空间模型
要点：
1 理解状态空间表示法概念；
2 掌握状态空间图示法；
3 掌握连续系统的数学模型转换；
4 了解多变量系统的传递函数阵及其求法
难点：
连续系统的数学模型转换
C=[ 0 0 1]
三状态空间模型的图示法
1. 基本元件
(a) (b) (c)
试求其传递函数阵。
解：根据式（1-10），可得
G（s）=
=
=
=
2传递函数阵的状态空间模型的实现
（1） 可控标准形的实现
对于单输入单输出（SISO）系统，传递函数阵退化成传递函数。要把SISO系统式G(s)=的传递函数形式转换成能控标准性的状态空间模型，即
图1-3 状态结构基本元件
a-积分器 b-加法器 c-比例器
2． 一阶标量微分方程 的一阶系统状态结构图
u
图1-4 一阶系统状态结构
1 由状态空间模型转换成传递函数
系统的状态方程
L G（s）=
= (1-10)
是A阵的特征多项式 * 表示伴随矩阵
例2 已知某一单一输入输出系统的状态空间表达式为
（1-11）
A= b= (1-12)
上述A阵是nn方阵，它的维数正好是传递函数的阶数，它的最后一行元素正还是传递函数分母（即系统的特征方程）所对应的稀疏，只不过均相差一个负号,其次对角线的元素均为1，其余为零，而b阵是一个列向量，最后一个元素为1，其余为零。正是b阵中的唯一的1对应友阵A的形式，是的输入信号u能对系统的每一个状态进行控制，因此称其为能控标准行。为了得到A阵和b阵的这种形式，应按下列规律选择状态变量：,于是有
《现代控制理论》课件
现代控制理论
目录
• 引言 • 线性系统理论 • 非线性系统理论 • 最优控制理论 • 自适应控制理论 • 鲁棒控制理论
01
引言
什么是现代控制理论
现代控制理论是一门研究动态系统控制的学科，它利用数学模型和优化方法来分析 和设计控制系统的性能。
它涵盖了线性系统、非线性系统、多变量系统、分布参数系统等多种复杂系统的控 制问题。
20世纪60年代
线性系统理论和最优控制理论得到发展，为现代控制理论的建立奠定 了基础。
20世纪70年代
非线性系统理论和自适应控制理论逐渐发展起来，进一步丰富了现代 控制理论的应用范围。
20世纪80年代至今
现代控制理论在智能控制、鲁棒控制、预测控制等领域取得了重要进 展，为解决复杂系统的控制问题提供了更有效的工具。
01
利用深度学习算法对系统进行建模和学习，实现更高
效和智能的自适应控制。
多变量自适应控制
02 研究多变量系统的自适应控制方法，以提高系统的全
局性能。
非线性自适应控制
03
发展非线性系统的自适应控制方法，以处理更复杂的
控制系统。
06
鲁棒控制理论
鲁棒控制的基本概念
鲁棒控制是一种设计方法，旨在 提高系统的稳定性和性能，使其 在存在不确定性和扰动的情况下
自适应逆控制
一种基于系统逆动态特性的自适应控制方法，通过对系统 逆动态特性的学习和控制，实现系统的自适应控制。
自适应控制系统设计
系统建模
建立被控对象的数学模型，包括线性系统和非线性系统。
控制器设计
根据系统模型和性能指标，设计自适应控制器，包括线性自适应控制器和 非线性自适应控制器。
参数调整
根据系统运行状态和环境变化，调整控制器参数，以实现最优的控制效果 。
目录
• 引言 • 线性系统理论 • 非线性系统理论 • 最优控制理论 • 自适应控制理论 • 鲁棒控制理论
01
引言
什么是现代控制理论
现代控制理论是一门研究动态系统控制的学科，它利用数学模型和优化方法来分析 和设计控制系统的性能。
它涵盖了线性系统、非线性系统、多变量系统、分布参数系统等多种复杂系统的控 制问题。
20世纪60年代
线性系统理论和最优控制理论得到发展，为现代控制理论的建立奠定 了基础。
20世纪70年代
非线性系统理论和自适应控制理论逐渐发展起来，进一步丰富了现代 控制理论的应用范围。
20世纪80年代至今
现代控制理论在智能控制、鲁棒控制、预测控制等领域取得了重要进 展，为解决复杂系统的控制问题提供了更有效的工具。
01
利用深度学习算法对系统进行建模和学习，实现更高
效和智能的自适应控制。
多变量自适应控制
02 研究多变量系统的自适应控制方法，以提高系统的全
局性能。
非线性自适应控制
03
发展非线性系统的自适应控制方法，以处理更复杂的
控制系统。
06
鲁棒控制理论
鲁棒控制的基本概念
鲁棒控制是一种设计方法，旨在 提高系统的稳定性和性能，使其 在存在不确定性和扰动的情况下
自适应逆控制
一种基于系统逆动态特性的自适应控制方法，通过对系统 逆动态特性的学习和控制，实现系统的自适应控制。
自适应控制系统设计
系统建模
建立被控对象的数学模型，包括线性系统和非线性系统。
控制器设计
根据系统模型和性能指标，设计自适应控制器，包括线性自适应控制器和 非线性自适应控制器。
参数调整
根据系统运行状态和环境变化，调整控制器参数，以实现最优的控制效果 。
现代控制理论(II)-讲稿课件ppt
03
通过具体例子说明最小值原理在最优控制问题中的应
用方法。
06 现代控制理论应用案例
倒立摆系统稳定控制
倒立摆系统模型建立
分析倒立摆系统的物理特性，建立数学模型，包括运动方程和状态 空间表达式。
控制器设计
基于现代控制理论，设计状态反馈控制器，使倒立摆系统实现稳定 控制。
系统仿真与实验
利用MATLAB/Simulink等工具进行系统仿真，验证控制器的有效性； 搭建实际实验平台，进行实时控制实验。
最优控制方法分类
根据性能指标的类型和求解方法， 最优控制可分为线性二次型最优控 制、最小时间控制、最小能量控制 等。
最优控制应用举例
介绍最优控制在航空航天、机器人、 经济管理等领域的应用实例。
05 最优控制理论与方法
最优控制问题描述
控制系统的性能指标
定义控制系统的性能评价标准，如时间最短、能量最小等。
随着网络技术的发展，分布式控制系统逐渐 成为现代控制理论的研究热点，如多智能体 系统、协同控制等。
下一步学习建议
01
02
03
04
深入学习现代控制理论相关知 识，掌握更多先进的控制方法
和技术。
关注现代控制理论在实际系统 中的应用，了解不同领域控制
系统的设计和实现方法。
加强实践环节，通过仿真或实 验验证所学理论知识的正确性
机器人运动学建模
分析机器人的运动学特性， 建立机器人运动学模型， 描述机器人末端执行器的 位置和姿态。
运动规划算法设计
基于现代控制理论，设计 运动规划算法，生成机器 人从起始点到目标点的平 滑运动轨迹。
控制器设计与实现
设计机器人运动控制器， 实现机器人对规划轨迹的 精确跟踪；在实际机器人 平台上进行实验验证。
现代控制理论讲义(1,2.4)
第一章绪言1－1 自动控制发展历史简介自动控制思想及其实践可以说历史悠久。
它是人类在认识世界和改造世界的过程中产生的，并随着社会的发展和科学水平的进步而不断发展。
早在公元前300年，古希腊就运用反馈控制原理设计了浮子调节器，并应用于水钟和油灯中。
在如图1－1所示的水钟原理图中，最上面的蓄水池提供水源，中间蓄水池浮动水塞保证恒定水位，以确保其流出的水滴速度均匀，从而保证最下面水池中的带有指针的浮子均匀上升，并指示出时间信息。
同样早在1000多年前，我国古代先人们也发明了铜壶滴漏计时器、指南车等控制装置。
首次应用于工业的自控器是瓦特（J.Watt）于1769年发明的用来控制蒸汽机转速的飞球控制器，如图1－2所示。
而前苏联则认为1765年珀尔朱诺夫（I.Polzunov）的浮子水位调节器最有历史意义。
图1－1 水钟原理图图图 1－2 飞球转速调节器原理图1868年以前，自控装置和系统的设计还处于直觉阶段，没有系统的理论指导，因此在控制系统的各项性能（如稳、准、快）的协调控制方面经常出现问题。
十九世纪后半叶，许多科学家开始基于数学理论的自控理论的研究，并对控制系统的性能改善产生了积极的影响。
1868年，麦克斯威尔（J.C.Maxwell）建立了飞球控制器的微分方程数学模型，并根据微分方程的解来分析系统的稳定性。
1877年，罗斯（E.J.Routh）提出了不求系统微分方程根的稳定性判据。
1895年，霍尔维茨（A.Hurwitz）也独立提出了类似的霍尔维茨稳定性判据。
第二次世界大战前后，由于自动武器的需要，为控制理论的研究和实践提出了更大的需求，从而大大推动了自控理论的发展。
1948年，数学家维纳(N.Wiener)的<<控制论>>(CYBERNETICS)一书的出版，标志着控制论的正式诞生。
这个“关于在动物和机器中的控制和通讯的科学”(Wiener所下的经典定义)经过了半个多世纪的不断发展，其研究内容及其研究方法都有了很大的变化。
现代控制理论(II)-讲稿-课件-ppt--3
现代控制工程基础 这种输出反馈系统的状态方程为 dX(t)/dt=AX(t)+Bu(t)=(A+BHC)X(t)+BGr(t) or X(k+1)=AX(k)+Bu(k)=(A+BHC)X(k)+BGr(k)
从而，这种输出反馈系统的传递函数矩阵为 从而，这种输出反馈系统的传递函数矩阵为(D=0)
GH ( s ) = C ( sI − ( A + BHC )) −1 BG
现代控制工程基础
例：设系统（A,B,C）为 设系统（ ）
0 1 A= , 1 0 0 B = , 1 C = [0 1]
试分析采用状态反馈K=[k1 k2]后的可控性和可观性。 后的可控性和可观性。 试分析采用状态反馈 后的可控性和可观性 解：容易验证原系统具有可控性和可观性，因为 容易验证原系统具有可控性和可观性，
*证明参见郭雷主编《控制理论导论》p51-55。 证明参见郭雷主编《控制理论导论》 证明参见郭雷主编 。
现代控制工程基础
（2）状态反馈保持系统的输入解耦零点不变 ） 证明：设原系统不完全可控， 是系统的一个不可控振型（ 证明：设原系统不完全可控，so是系统的一个不可控振型（系统的一 个特征值），即它是系统的一个输入解耦零点， 个特征值），即它是系统的一个输入解耦零点，就有 ），即它是系统的一个输入解耦零点 rank[soI-A B]<n 那么，根据状态反馈不改变系统的可控性性质， 那么，根据状态反馈不改变系统的可控性性质，就有 rank[soI- (A+BK) BG]=rank[soI-A B] <n 也是状态反馈系统的一个输入解耦零点，反之也然。 即 so也是状态反馈系统的一个输入解耦零点，反之也然。证毕
现代控制理论(II)-讲稿-课件-ppt-2-2
X (t0 ) e
t0
tf
A(t f )
B U ( ) d
0e
A( t f t0 )
X (t0 ) e
t0
tf
A( t f )
B U ( ) d
X (t0 ) Ak 1 B ( k (t0 ) U ( ) d )
现代控制工程基础 单输入单输出系统的可控标准型的另一种形式（标准II型）
0 0 1 0 A 0 1 0 a0 a1 0 , 0 an 2 0 1 an 1 0 1 0 B , 0
Mc=[B, AB, A2B, …,An-1B]
(2)定常线性系统是单输入时，可控的充分必要条件是det(Mc) ≠0
现代控制工程基础
(3)系统可控的充分必要条件是系统矩阵A为对角线矩 阵，输入矩阵B中没有全零的行；或者系统矩阵A是约 当对角形矩阵，输入矩阵B中与约当块最前一行对应 的行不是全为零
解：
C x1
u x1 R1
电流方程
u 电压方程
C R1
1 R12C 2 R2 2 L
L R2
L x2 u R2 x2
1 1 x1 x1 u R1C R1C x R2 x 1 u 2 2 L L
M c B
X (0) A1 B
A 2 B A( n 1) B
u (0) u (1) n M c U A B u (n 1)
M c U X (0)
此非奇次线性方程组有唯一解的充分必要条件是： rank(Mc)=rank(Mc -X(0))=n
现代控制理论(第二章)讲解
sI
A 1
s 2
s3
1 1 s 3
(s
1)(s 2
2)
(s 1)(s 2)
1
(s
1)(s s
2)
(s 1)(s 2)
s3
e At
L1
(s
1)( s 2
2)
(s 1)(s 2)
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
第二章 控制系统状态空间表达式的解
2.1 线性定常齐次状态方程的解(自由解) 2.2 矩阵指数函数——状态转移矩阵 2.3 线性定常系统非齐次方程的解 2.4 * 线性时变系统的解 2.5 * 离散时间系统状态方程的解 2.6* 连续时间状态空间表达式的离散化
(s
1)( s 2
2)
(s 1)(s 2)
1
(s
1)( s s
2)
(s 1)(s 2)
eAt L1
sI A 1
2et e2t 2et 2e2t
et e2t
et
2e2t
et
2e2t
例2-6，利用凯莱-哈密顿定理— -----------------自学！ 例2-3与例2-7也请注意自学！
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOgy
2.3 线性定常系统非齐次方程的解
现在讨论线性定常系统在控制作用 方程为非齐次矩阵微分方程：
现代控制理论(1-8讲第1-2章知识点)精品PPT课件
dia dt
Ke
I fD Coபைடு நூலகம்st
n f Const
nDJ , f
其中：Kf 为发电机增益常数；Ke 为电动机反电势常数。
(3).电动机力矩平衡方程：J
d
dt
f
Kmia
(Km
-电动机转矩常数)
以上三式可改写为：
d
dt
f J
Km J
ia
dia dt
Ke Ra
La
La
ia
Kf La
if
试写出其状态空间表达式。
解：选择相变量为系统的状态变量，有
•
•
•• •
x1 y x2 y x1 x3 y x2
故
即
•
x1 x2
•
x2 x3
•
x3
a0 a3
x1
a1 a3
x2
a2 a3
x3
1 a3
u
•
0
x 0
a0
a3
1 0 a1 a3
0
0
1 x 0 u
a2
1
a3 a3
a1 y a0 y
bnu (n)
b u (n1) n 1
b0u
(1)
分为两种情况讨论。
一、输入信号不含有导数项：
此时系统的运动方程为：
•
y(n)
a y(n1) n1
a1 y a0 y b u
故选
x1 y
•
x2 y
..
xn1
y(n2)
xn y(n1)
对左边各式求导一次，即有
18
24
2-3 化系统的频域描述为状态空间描述
现代控制理论理论.ppt
(t) eAt
1
(sI
A)1
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t
et
2e2t
1(t)
(t)
e At
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t
et
2e2t
§2 状态转移矩阵的求解
(m
1
1)
!
t
m1
e At e1t
1t
.
.
(m
1
2)
!
t
m
1
...
.
..
.
.
t
0
1
(2-23)
§2 状态转移矩阵的求解
若矩阵A为一约当矩阵，即
A1
A
J
A2
Aj
其中 A1, A2 , , Aj 为约当块
(t) eAt
(2-9)
t0 0
(t t0 ) e A(tt0 )
(2-10)
§1 自由运动
齐次方程的解，可表示为
x(t) (t)x(0)
或
x(t) (t t0)x(t0)
(2-11) (2-12)
上式表明齐次状态方程的解，在初始状态确定情况下，由状态
转移矩阵唯一确定，即状态转移矩阵 (t)包含了系统自由运动的全
§2 状态转移矩阵的求解
例2-5
考虑如下矩阵
现代控制理论2
0 xe1 0
4.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
一. 系统状态的运动及平衡状态
几点说明:
对于非零平衡状态，总可以经过适当的坐 标变换，把它变换到状态空间的原点。
稳定性是相对具体的平衡状态讨论的,指受到 扰动后,系统具有恢复到原来平衡状态的能力
不同平衡状态的稳定性可能不同
平衡状态与时间无关、可能不存在平衡状态
1. 分析系统稳定性
2. 研究使系统稳定的方法
经典控制理论稳定性判别方法：代数判据， 奈魁斯特判据，根轨迹判据等
李雅普诺夫稳定性理论
1892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定 理采用了状态向量来描述，适用于线性，非线 性，定常，时变，多变量等系统。 李氏第一法（间接法）：根据特征值判断稳定性 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构 造李氏函数, 根据李氏函数的特性判断稳定性
二、李雅普诺夫意义下的稳定性
1.李氏意义下的稳定
x f ( x, t )
xR
n
f ( xe , t ) 0
如果对 0 , 对应存在另一个实数 ( , t0 ) 0
当初态 x0满足:
x0 xe ( , t0 )
时,系统的运动轨迹 x(t; x0 , t0 ) 在t 都满足:
4.2 李雅普诺夫第一法（间接法） 一. 线性定常系统稳定性
x Ax Bu y Cx
系统传递函数:
x(0) x0
t0
W(S)=C(SI-A)-1B n 1 n 2 n1s n2 s ... 1s 0 n n 1 s an1s ... a1s a0 传递函数的极点是A特征值的一部分 仅依据传函极点来判断稳定性是不够全面的!
《现代控制理论》第三版课件_第1-2章
a1n (t ) a2 n (t ) ann (t ) b1r (t ) b2 r (t ) bnr (t )
系统矩阵
控制矩阵
c11 (t ) c12 (t ) c (t ) c (t ) 22 21 C (t ) = c (t ) c (t ) m1 m2
输出向量
a11 (t ) a12 (t ) a (t ) a (t ) 22 A(t ) = 21 a (t ) a (t ) n1 n2 b11 (t ) b12 (t ) b (t ) b (t ) 22 B (t ) = 21 b (t ) b (t ) n1 n2
3、分形系统仿真 Mandelbrot图
第一章 绪论
1.1 几个基本概念
控制系统（control system）：为了达到预期的 目标而设计出来的系统，它由相互关联的部件组 合而成。 自动控制 (automatic control)：指在无人直接参 与的情况下，通过一定的控制手段，使被控对象 自动地按照预定的规律进行。 状态空间 (state space)
用状态变量描述系统运动的方程式称为 状态方程。
x = A(t ) x(t ) + B(t )u (t ) y = C (t ) x(t ) + D(t )u (t )
x1 (t ) x (t ) x(t ) = 2 状态向量 x (t ) n y1 (t ) y (t ) y= 2 y (t ) m u1 (t ) u (t ) u (t ) = 2 控制向量 u (t ) r
现代控制理论
Modern Control Theory
现代控制理论教学课件
现代控制理论教学课件现代控制理论教学课件切斯特·巴纳德是西方现代管理理论中社会系统学派的创始人。
他在人群组织这一复杂问题上的奉献和影响，可能比管理思想开展过程中的任何人都更为重要。
下面了现代控制理论教学课件，一起去看看吧!(1)强调系统化，运用系统思想和系统分析方法来指导管理实践，解决和处理管理的实际问题。
(2)重视人的因素，就是要注意人的社会性，对人的需要予以研究和探索，在一定的环境条件下，尽最大可能满足人们的需要，以保证组织中全体成员齐心协力地为完成组织目标而自觉作出奉献。
(3)更视“ 非正式组织”的作用。
非正式组织是人们以感情为根底而结成的集体，这个集体有约定俗成的信念，人们彼此感情融洽。
在不违背组织原那么的前提下，发挥非正式群体在组织中的积极作用，从而有助于组织目标的实现。
(4)广泛地运用先进的管理理论与方法。
先进的科学技术和方法在管理中的应用越来越重要，各级主管人员必须利用现代的科学技术与方法，促进管理水平的提高。
(5)加强信息工作。
主管人员必须利用现代技术，建立信息系统，以便有效、及时、准确地传递信息和使用信息，促进管理的现代化。
(6)把“ 效率”( Efficiency)和“效果”(Effectiveness)结合起来。
管理工作不仅仅是追求效率，更重要的是要从整个组织的角度来考虑组织的整体效果以及对社会的奉献。
因此要把效率和效果有机地结合起来，使管理的目的表达在效率和效果之中，也即通常所说的绩效(Pedonnance)。
(7)重视理论联系实际。
(8)强调“预见”能力。
社会是迅速开展的，客观环境在不断变化，这就要求人们运用科学的方法进展预测，进展前馈控制，从而保证管理活动的顺利进展。
(9)强调不断创新。
在保证“惯性运行”的状态下，不满足现状，利用一切可能的时机进展变革，从而使组织更加适应社会条件的变化。
一一哈洛德·孔茨在1961年12月发表的《管理理论的丛林》一文，19年后又开展《再论管理理论的丛林》，他对管理流派进展分类，指出管理已由6个学派开展形成了11个学派。
现代控制理论-第二章+状态空间描述2讲-561
为 (sI-A) 的 伴随矩阵
为 (sI-A) 的 行列式
系统状态空间表达式的特征方程: sI A 0
系统状态空间表达式的特征根或特征值: sI A 0 的根
Page: 3
ys CsI A 1 B D us Gsus
其展开式为
mr
传递函数矩阵
y1s
y2
s
g11s
g
21 s
一系统动态行为的描述。
Page: 29
2.6 系统状态方程的线性变换
状态向量
x x1, x2 , , xn T
非奇异变 换矩阵
x Ax bu y cx
xPx
x Ax b u
y
cx
新状态
向量
A P1AP b P1b c cP
x P1APx P1Bu
若含有D阵的话， 易知有：
0
0 b
0
1
C 0 , 1 n1
注意：A阵仍为友矩阵；
若状态方程中的A，b具有这种形式，则称为能控
标准型。
Page: 21
2）当
G(s)
bn
N(s) D(s)
即bn 0时
有A，b不变，只是
y Cx b u n
系统{A，b，C，D}称为G（s）的能控标准形 实现。
Page: 22
u
n1
Ts 1
s2 2 s 2
1 b1 a1b2
而b2 0, b1 T , b0 1
a11 2T
0 1 a0 2
Page: 24
y 2 y 2 y Tu u
GS
ys us
s2
Ts 1
2 s
2
x Ax bu y Cx
637-现代控制理论Modern Control Theory II共18页文档
李亚普诺夫方程求解
李亚普诺夫方程
验证：
是否
4.5.李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用
克拉索夫斯基方法
且
例题
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
4.2.李亚普诺夫第一法
1.线性系统的稳定性判据
状态稳定性
输出稳定性
例 注意：
2.非线性系统的稳定性判据
2.非线性系统的稳定性判据 例
不稳定！
临界状态！ 用李亚普诺夫第二方法判别！
4.3.李亚普诺夫第二法
直接法
能量观点
李亚普诺夫函数
要 素
充分条件，非充要条件！来自4.4.李亚普诺夫方法在线性系统中的应用
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2020/4/16
31
[例1-7] y 28y196 y 740 y 360u 440u
解:
a2 28 a1 196 a0 740
b3 0 b2 0 b1 360
方法一: 0
1
0 0
x
0
0
1
x
0
u
740 196 28 1
y 440 360 0 x
b0 440
方法二:
2020/4/16
28
W
(s)
3(s3
a2s2
a1s
a0 s3
) 2(s2 a2s
a2s2 a1s a0
a1)
1(s
a2 )
0
3s3
(a23
2)s2
(a13 a22 1)s (a03
s3 a2s2 a1s a0
a12
a21
0)
3 b3
12
b2 a23 b1 a13
a2
2
0 b0 a03 a12 a21
y2
a3 y2
a4 y1
b4u2
y1 a1y a2 y2 b1u1 b2u1 b3u2
y2
a3 y2
a4 y1
b4u2
2020/4/16
33
y1 a1y a2 y2 b1u1 b2u1 b3u2 dt2 ( a1y b1u1) dt2 (b2u1 b3u2 a2 y2 ) dt2 (a1y b1u1) dt (b2u1 b3u2 a2 y2) dt2
2020/4/16
14
4、消去非独立变量
x1 R1c2
1 c1
x2
x3
1 c1
L1x3
x4 x1
R1x3
R1i
R2c2x2 L2x4 x1 R2x4
L2x3 L2x4 x2
2020/4/16
15
5、解出状态变量的一阶导数写出状态空间表达式
0
x1
x2
x3 x3
a1
x
0
a4
1 0 0
0 b1
a2
x
b2
a3 0
0
b3 b4
u1 u2
y1 y2
1 0
0 0
0 1
x
2020/4/16
36
作业
1、P48 2、P48 3、P49
1-1（方框图—状态空间表达） 1-2（系统机理—状态空间表达） 1-5 （微分方程—状态空间表达）
n bn n1 bn1 an1n n2 bn2 an2n an1n1
n1
0 b0 a0n a1n1 an11 b0 aini
i0
1 0 0 0 n bn
an1
1
0
0
n1
bn1
an2
an1
1
0
n2
bn2
a0 a1 a2 1 0 b0
一、由系统方框图来建立状态空间表达式 把系统框图变换成模拟结构图； 积分器输出选作状态变量； 由模拟图写出系统的状态方程和输出方程。
2020/4/16
7
例1-1 u
K1 T1s 1
K2 T2 s 1
y
K3 T3 s
u
K4
y K1
T1
x3
x3
K1 T1
x2
x2
K1 T1
x1
x1
1
1
T1
T1
1 0 0 0 3 b3
a2
1
0
0
2
b2
aa10
a2 a1
1 a2
0 1
10
bb10
x1 x2 2u
x2
x3
1u
x3 a0 x1 a1x2 a2 x3 0u
2020/4/16 y x1 3u
29
0
x
0
a0
y 1 0
1 0 2
0
1
x
1
u
a1 a2 0
0 x 3u
x1 0
1
0
x2
0
0
1
xn 1
0
0
0
xn a0 a1 a2
0 x1 n1
0
x2
n
2
u
1
xn
1
1
an1 xn 0
x1
x2
y 1 0 0
0
xn
1
nu
2020/4/16
xn
30
0
x2
0
u
1
xn1
0
an1 xn 1
y b0 0 0 0x
2020/4/16
19
[例1-6]
y 6y 41y 7 y 6u
解:
选择状态变量:
x1
y 6
,
x2
y 6
,
x3
y 6
x1
y 6
x2
x2
y 6
x3
x3
y 6
7
x1
41x2
6
x3
u
y 6x1
2020/4/16
a1
a0
根据状态空间表达式画模拟结构图
x1 x2
x2 x3
x3 6x1 3x2 2x3 u
y x x 2020/4/16
12
4
u
b
x3
x3 x2
x2 x1
x1
y
2
3
6
多输入输出系统的模拟结构图
x1 a11x1 a12x2 b11u1 b12u2
x2 a21x1 a22x2 b21u1 b22u2
建立状态空间表达式的方法
– 了解系统工作原理； – 选取状态变量； – 应用定律列写方程； – 消去非独立变量； – 解出独立变量的一阶导数； – 写出状态空间表达式。
2020/4/16
12
例1-2
1、工作原理分析 2、选取独立变量
x1 uc1 x2 uc2
3、根据定律例写方程
2020/4/16
y1 c11x1 c12x2
y2 2020/4/16 c21x1 c22x2
5
模拟结构图表示的缺点： 当系统复杂时，其信息传递关系非常烦琐，宜用矢
量结构图的形式表示。
2020/4/16
6
§1-3 状态空间表达式的建立（一）
建立状态空间表达式的途径： 由系统方框图来建立； 从系统的物理或化学机理出发进行推导； 由高阶微分方程或传递函数演化得到。
y2 (a3 y2 a4 y1 b4u2 ) dt
2020/4/16
34
b1
u1
b2
b3
u2
b4
2020/4/16
x2
x1
y1
a2
a1
a4
x3
y2
a3
35
xx12
a1x1 x2 b1u1 a2 x3 b2u1 b3u2
x3 a4 x1 a3x3 b4u2
y1 x1
y2 x3
b1s a1s
b0 a0
2020/4/16
21
W (s)
Y (S) U (S)
b3s3 b2s2 b1s b0 s3 a2s2 a1s a0
nm3
W
(s)
b3
(b2
a2b3)s2 (b1 a1b3)s s3 a2s2 a1s
(b0 a0
a0b3 )
Y1(s)
s3
1 a2s2
3 b3 0
12
b2 a23 0 b1 a13 a22
360
0 b0 a03 a12 a21 9640 32
0 1
x
0
0
740 196
y 1 0 0 x
0 0
1
x
360
u
28 9640
三、多输入—输出系统微分方程的实现
y1 a1y a2 y2 b1u1 b2u1 b3u2
§1-4 状态空间表达式的建立（二）
系统实现问题 系统运动方程或传递函数---状态空间表达式
y(n) an1y(n1) a1 y a0 y bmu(m) bm1u(m1) b1u b0u
W (s)
Y (s) U (s)
bmsm bm1sm1 sn an1sn1
b1s b0 a1s a0
现代控制理论第二讲
2020/4/16
王 凯明
长安大学信息工程学院自动控制系
1
1-2 状态空间表达式的模拟结构
模拟结构图的特点：
是一个模拟实现；
反映系统各状态变量之间信息传递关系；
帮助建立系统状态空间表达式。
绘制模拟结构图的主要步骤：
画出积分器，积分器的数目等于状态变量数；
积分器的输出对应某个状态变量；
R1R2 L2 (R1 R2 )
x1
x2
x3 x4
0
R1
c2
(R1 R2 R1R2
)
L1(
R1 R2 R1R2
)
L2 (R1 R2 )
i
x1
y1
y2
uc1
uc
2
1 0
0 1
0 0
0 0
x2
x3
x4
2020/4/16
16
0 1 0 0
x
0
0
1
x
0
u
a0 a1 a2 1
y b0 a0b3 b1 a1b3 b2 a2b3 x b3u
2020/4/16
24
0 1 0 0 0