第9讲 等腰三角形的概念和性质

第9讲等腰三角形的概念和性质

环节1：等腰三角形的概念

环节2：等腰三角形性质探究

活动1、每个同学拿出一张长方形纸，把它对折，请你通过折折、剪剪等活动，制作出一个等腰三角形.

活动2请你仔细观察刚才剪出的等腰三角形，大胆猜想，等腰三角形有哪些性质？

请在你的纸片上标出A、B、C、D. 猜想1：

猜想2：

活动3.证明猜想、得出性质

思考：猜想中的条件和结论分别是什么？证明之！

活动5.学以致用、应用性质

1.如图，在下列等腰三角形中，AB=AC,分别说出它们的另外两个角的度数.

C

B

A

B

A

(2)

(1)

50°

36°

(3)

C

B

A

120°

2.⑴等腰三角形的一个角是70°，它的另外两个角的度数是 .

⑵等腰三角形的一个角是90°，它的另外两个角的度数是 .

⑶等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角的度数是 . <类比联想>：

⑴已知等腰三角形的两边长分别为3和4，则其周长等于 .

⑵已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则其周长等于 .

3.已知等腰三角形的一个底角是顶角的 2 倍，你能求出这个等腰三角形的底角和顶角的度数吗？

请你设计一个有关等腰三角形的顶角和底角计算的题目，考考你的同学.

例1.如图，在△ABC 中，AB=AC,点D 在AC 上，且BD=BC=AD.求△ABC 各角的度数.

<变式练习>：

如图,在△ABC 中,AB=AC,点D 在BC 上,且AD=BD,

AC=CD,求∠B 的度数.

选做题：

1、如图，GF ⊥AF,垂足为点F ，且AB=BC=CD=DE=EF=FG,求∠A 的度数.

2、如图，点D 在AC 上，E 在AB 上，

且AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE,求∠A 的度数

.

性质应用2

1、在△ABC 中，AB = AC ，O 是△ABC 内一点，且OB=OC .判断AO 与BC 的位置关

系，并说明理由．

2、如图，在等腰△ABC 中,AB=AC ，D 、E 在底边BC 上且AD=AE ， 你能说明BD

与CE 相等吗？为什么？

3、如图，△ABE 和△

ACD 都是等边三角形，

B

E

D C

B

A

BD 与CE 相交于点O 。EC ＝BD 吗？为什么？若BD 与CE 交于点O ，你能求出∠BOC 的度数是多少吗？

4、如图，CE 为△ABC 中∠C 的平分线,延长BC 到D 使CD=CA ，F 为AD 中点,连结CF ，求∠ECF 的度数．

5、已知等腰ΔABC 腰AB 上的高CD 与另一

腰AC 的夹角为30°，则其顶角的度数为（ ）．

A ．60°

B ．120°

C ．60°或150°

D ．60°或120°

6．在ΔABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B ＝ ．

7、如图，△ABC 是等边三角形，D 为AC 边上的一点，且∠1=∠2，BD =CE ． （1）证明：△ABD ≌△ACE ． （2）证明：△ADE 是等边三角形．

8、如图2，∠EAC 是△ABC 的外角，AD 平分∠EAC ，AD ∥BC ，AB ＝5，则AC ＝ ．

D

A B

C E

F

D

G

N

M

Q

P

9、如图所示，AC ＝BD ,∠

点O 是AD 、BC 的交点,点E 是AB 的中点．试判断OE 和AB 的关系,并说明理由．

10、如图△MNP 中，∠P ＝60o

，MN ＝MP ，MQ ⊥PN ，垂足为Q ，延长

MN 至G ，取NG ＝NQ ，若△MNP 的周长为12，MQ ＝a ，

问MQ 与QG 的关系，则△MGQ 的周长是 ．

13．如图，△ABC 是等腰三角形，D 是BC 边上任意一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若AB 边上的高是6，则DE + DF = ．

15、学习了等腰三角形的三线合一后，笔者认为，补充“三线合一”的逆命题的教学，因为这种逆命题虽然不能作为定理用，但它在解题中非常常见的。掌握了它，可以为我们解题增加一种重要思路。它有以下几种形式： ①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质）

②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形． ③一边上的中线与这边所对角的平

分线重合的三角形是等腰三角形. 因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中

“两线合一”就能证明它是等腰三角形．

一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命

题三种情形的正确性：

证明①：已知:如图1，△ABC 中，AD

是BC 边上的中线，又是BC 边上的高。

求证：△ABC 是等腰三角形。

分析：AD 就是BC 边上的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，可以推出AB=AC ，所以△ABC 是等腰三角形。具体证明过程略。

证明②：已知:如图1，△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AD 是BC 边上的高。

求证：△ABC 是等腰三角形。

分析：利用ASA 的方法来证明△ABD ≌△ACD ，由此推出AB=AC 得出△ABC 是等腰三角形。具体证明过程略。

证明③：已知:如图2， △ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线， AD 是BC 边上的中线。

求证：△ABC 是等腰三角形。

A B C

D

E

F

E

B C D

A