第五章留数及其应用52节留数和留数定理精品PPT课件

1 z5
1
z
z2 2!
z3 3!
z4 4!
z5 5!
z6 6!
1
1 z4
1 2! z 3
1 3! z 2
5-2 留数和留数定理
一Δ、留数的定义和计算 二、 留数定理 三*、函数在无穷远点的留数
1
一Δ 、留数的定义和计算
C .z0
设 z0 为 f (z) 的一个孤立奇点; z0 的某去心邻域 0 z z0 R
包含 z0 的任一条正向简单闭曲线C.
定义 如果 z0 为函数 f (z) 的一个孤立奇点,则沿 z0的某个去心邻域 0 z z0 R 内， 包含 z0 的
说明: 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 如 z0为m级极点，当m 较大而导数又难以计算时,
可直接展开Laurent级数求c-1来计算留数。
2. 在应用规则2时, 为了计算方便一般要将m
取得比实际的级数高. 因为有时把m取得比实际的
级数高能够使得计算方便. 如上例取 m 6
Res f (z),0
(0 z z0 )
Laurent级数在其收敛环域内逐项微分得
d n1
dz n1
(z z0 )n
f z
(n 1)!c1 n!c0 (z z0 )
令 z z0，规则2o成立；令n=m=1，规则1o成立。
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规则3
设
f
(z)
P(z), Q(z)
P(z)及
Q(z)
在
z0都解析，
4
即 1
2 i C f (z)dz c1 Res[ f (z), z0 ] (5 2 1)
注 f (z) 在 z0 的留数为 f (z) 在 z0 为中心的圆环 域内的Laurent级数中负幂项 c1(z z0 )1的系数。
5
计算留数的一般公式
（1）若z0为函数f(z)的可去奇点，则它在点z0的留 数为零。
当z0为f(z)=g(z-z0)的孤立奇点时，若g(ζ)为偶函 数，则f(z)在点z0的去心邻域内Laurent级数只含 zz0的偶次幂，其奇次幂系数都为0，从而得知
Re s f (z), z0 0
6
(2)如果 z0为 f (z) 的本性奇点, 则需将 f (z)展开
成Laurent级数求 c1.
(6
1
1)!
lim
z0
d5 dz5
z
6
z
sin z6
z
1 . 5!
16
例3．求下列函数在指定点处的留数
(1) f1(z) (e z , 1) ;z5 z0 0
解：z0 是0 函数 e z的一1 级零点,
又是函数 z的5 五级零点.
于是它是 f1(的z) 四级极点,
可用规则 2计 算其留数,其中m=4,为了计算简便应
任意一条简单闭曲线 C 的积分 f (z)dz 的值除
C
以 2i 后所得的数称为 f (z) 在 z0 的留数(Residue),
记作 Res[ f (z), z0 ].
2
计算留数
1
2 i
C
f (z)dz：
C .z0
f (z) 在 0 z z0 R 内的Laurent级数:
f (z) cn(z z0 )n c1(z z0 )1 c0 c1(z z0 ) cn(z z0 )n
如果 P(z0 ) 0,Q(z0 ) 0,Q(z0 ) 0, 那末 z0为
f (z) 的一级极点, 且有
Res[
f
(
z),
z0
]
P(z0 ) Q(z0 )
.
(5 2 4)
证 因为 Q(z0 ) 0, Q(z0 ) 0
11
所以 z0为 Q(z) 的一级零点, 1
z0 为 Q(z) 的一级极点，P(z0 ) 0
(3)如果 z0为 f (z)的极点, 则有如下计算规则
7
规则1o 若z0为f(z)的一级极点，则有
Re s
f (z), z0
lim ( z
z z0
z0
)
f
(z)
(5 2 2)
8
规则2o 若z0为f(z) 的m级极点，则对任意整数
nm 有
Re s
f (z), z0
1 (n 1)!
lim
z z0
d n1 dz n1
[(z
z0 )n
f
( z )]
(5 2 3)
说明 将函数的零阶导数看作它本身，规则1o可 看作规则2o当n=m=1时的特殊情形，且规则2o可取 m=1.
9
证明 先证明规则2o。 因此可设在0<|z-z0|<ρ内有
nm
(z z0 )n f z cm (z z0 )nm c1(z z0 )n1 c0 (z z0 )n
当取其中n=5,这时有
Res[
f1 ( z ),0]
1 lim
4! z0
d4 dz 4
(e z
1)
1 4!
17
例3．求下列函数在指定点处的留数 (1) f1(z) (e z , 1) ;z5 z0 0
另解： f1(z在) 点 z0的 去0 心邻域
0内 的z Laurent
级数为
ez z5
1
3
积分 f (z)dz
C
cn (z z0 )ndz c1 (z z0 )1dz
C
C
0 (高阶导数公式)
2i
c0dz c1(z z0 )dz cn(z z0 )ndz
C
C
C
2ic1
0 (柯西积分定理)
Laurent级数中负幂项c1(z z0 )1的系数
Res[
f
( z ),0]
(3
1
lim 1)! z0
d2 dz 2
z
3
z
sin z6
z
.
计算较麻烦.
14
解 如果利用Laurent展开式求系数c-1较方便：
z
sin z6
z
1 z6
z
z
z3 3!
z5 5!
z3 z1 , 3! 5!
Res
z
sin z6
z
,0
c1
1 5!
.
15
所以 z0 为 f (z的) 一级极点,
Res[
f
(z),
z0 ]
lim(z
zz0
z0
)
f
(z)
P(z)
lim
z z0
Q(z)
Q(z0 )
P(z0பைடு நூலகம்) . z z0 Q(z0 )
12
典型例题
例1
求 f (z)
ez zn
在
z
0
的留数（n为正整数）。
解 因为 z 0 是 f (z)的n阶极点，
所以
Res
e z
z n
,0
(n
1 lim 1)! z0
dn1 dz n1
zn
ez zn
1. (n 1)!
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例2
求
f
(z)
P(z) Q(z)
z
sin z6
z
在
z
0
的留数.
分析 P(0) P(0) P(0) 0, P(0) 0.
z 0是 z sin z 的三级零点
所以 z 0是 f (z)的三级极点， 由规则2得