第五章留数及其应用52节留数和留数定理精品PPT课件
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高等数学课件-复变函数与积分变换 第五章 留数 §5.1 留数定理及留数的求法
在 z 1的去心邻域
0 z 1 1
内的罗朗展开式，由于
f
z
z
1
12
z
1
1
n0
1n
z
1n
，0
z 1
1
故 z 1只能是二级极点，且 Res f z,1 1 .
留数定理
定理1 设函数 f z在区域D内除有限个
孤立奇点 z1, z2,L ，zn 外处处解析，c为D内 包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那末
的二级极点，于是
Re s
f
z,1
lim z
z1
1
z
z
1 z
12
1 4
；
Re s
f
z , 1
lim z
z1
12
z
z
1 z
12
lim
z1
z
1
12
1 4
例1.6 求函数 f z tan z 在 z k （k
2
为整数）处的留数。
解因为 tan z sin z
cos z
sin
n
Ñc f zdz 2πiRes f z, zk （1.3） k 1
证 把在c内的孤立奇点 zk k 1,2,L ,n
用互不包含的正向简单闭曲线 ck 围绕起来 （如图5－1）
图5－1
蜒c f zdz
c1
f
z
dz
蜒 f c2
zdz L
cn
f
z dz
以 2 i 除等式两边，得
1
式中负一次幂项 z z0 1 的系数 C1 是在逐
项积分过程中唯一留下的系数。
定义1 设 f (z)在孤立奇点z0的去心邻域 0 z z0 R
0 z 1 1
内的罗朗展开式，由于
f
z
z
1
12
z
1
1
n0
1n
z
1n
，0
z 1
1
故 z 1只能是二级极点，且 Res f z,1 1 .
留数定理
定理1 设函数 f z在区域D内除有限个
孤立奇点 z1, z2,L ，zn 外处处解析，c为D内 包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那末
的二级极点，于是
Re s
f
z,1
lim z
z1
1
z
z
1 z
12
1 4
；
Re s
f
z , 1
lim z
z1
12
z
z
1 z
12
lim
z1
z
1
12
1 4
例1.6 求函数 f z tan z 在 z k （k
2
为整数）处的留数。
解因为 tan z sin z
cos z
sin
n
Ñc f zdz 2πiRes f z, zk （1.3） k 1
证 把在c内的孤立奇点 zk k 1,2,L ,n
用互不包含的正向简单闭曲线 ck 围绕起来 （如图5－1）
图5－1
蜒c f zdz
c1
f
z
dz
蜒 f c2
zdz L
cn
f
z dz
以 2 i 除等式两边，得
1
式中负一次幂项 z z0 1 的系数 C1 是在逐
项积分过程中唯一留下的系数。
定义1 设 f (z)在孤立奇点z0的去心邻域 0 z z0 R
留数的概念及留数的求法课件
问题转化为易于处理的形式。
实例三：在物理中的应用
要点一
总结词
留数在物理问题中的应用
要点二
详细描述
在物理问题中，留数也有广泛的应用，如求解某些电磁场 问题、波动问题等。通过计算留数，可以将这些物理问题 转化为数学问题，从而得到更精确的解析解。
THANKS
感谢观看
03
留数的求法
利用Cauchy积分公式求留数
总结词
Cauchy积分公式是计算留数的常用方法之一，通过将积分路径进行变形，使得积分路径包含奇点，从而利用公 式计算留数。
详细描述
Cauchy积分公式指出，对于一个在复平面上有奇点的简单闭曲线上的函数f(z)，其沿该曲线的积分等于2πi乘以 该函数在奇点的留数。因此，通过选择适当的积分路径，使得该路径经过函数的奇点，然后利用Cauchy积分公 式即可求得留数。
利用Residue定理求留数
总结词
Residue定理是一种计算复平面上简单闭合曲线上的积分的方法，通过计算奇点的留数，然后利用定 理计算出整个闭合曲线的积分。
详细描述
Residue定理指出，对于复平面上任意简单闭合曲线C，函数f(z)在C上的积分等于2πi乘以函数在C内 部的奇点的留数之和。因此，通过确定函数在内部的奇点，并计算其留数，即可利用Residue定理求 得整个闭合曲线上函数的积分。
利用留定理求留数
总结词
留数定理是复分析中的重要定理之一， 它建立了函数在无穷远点的行为与其在 有限区域内奇点的留数之间的关系。
VS
详细描述
留数定理指出，对于一个在无穷远处有极 点的函数f(z)，其无穷远点的留数等于该 函数在有限区域内奇点的留数之和。因此 ，通过计算函数在有限区域内的奇点留数 ，并利用留数定理，可以求得函数在无穷 远点的留数。
实例三：在物理中的应用
要点一
总结词
留数在物理问题中的应用
要点二
详细描述
在物理问题中，留数也有广泛的应用，如求解某些电磁场 问题、波动问题等。通过计算留数，可以将这些物理问题 转化为数学问题，从而得到更精确的解析解。
THANKS
感谢观看
03
留数的求法
利用Cauchy积分公式求留数
总结词
Cauchy积分公式是计算留数的常用方法之一，通过将积分路径进行变形，使得积分路径包含奇点，从而利用公 式计算留数。
详细描述
Cauchy积分公式指出，对于一个在复平面上有奇点的简单闭曲线上的函数f(z)，其沿该曲线的积分等于2πi乘以 该函数在奇点的留数。因此，通过选择适当的积分路径，使得该路径经过函数的奇点，然后利用Cauchy积分公 式即可求得留数。
利用Residue定理求留数
总结词
Residue定理是一种计算复平面上简单闭合曲线上的积分的方法，通过计算奇点的留数，然后利用定 理计算出整个闭合曲线的积分。
详细描述
Residue定理指出，对于复平面上任意简单闭合曲线C，函数f(z)在C上的积分等于2πi乘以函数在C内 部的奇点的留数之和。因此，通过确定函数在内部的奇点，并计算其留数，即可利用Residue定理求 得整个闭合曲线上函数的积分。
利用留定理求留数
总结词
留数定理是复分析中的重要定理之一， 它建立了函数在无穷远点的行为与其在 有限区域内奇点的留数之间的关系。
VS
详细描述
留数定理指出，对于一个在无穷远处有极 点的函数f(z)，其无穷远点的留数等于该 函数在有限区域内奇点的留数之和。因此 ，通过计算函数在有限区域内的奇点留数 ，并利用留数定理，可以求得函数在无穷 远点的留数。
5 留数
ez 1 f (z) z
1 z2 z3 z z2 1 z 1 1 z 2! 3! 2! 3!
x x0 x x0
[复习 ] “可去”间断： lim f ( x), lim f ( x)存在且相等。 这种间断与连续没什么 本质区别，因此，可去 间断点 可以看作连续点。类似 地，我们将会看到，可 去奇点 可以看作解析点。
f1(z) (z z0)n g1(z) n k g1(z) (z z0) k f2(z) (z z0) g2(z) g2(z)
(n k)
[复习 ] 等价的无穷小：当 x 0时， x～sin x～ln( x 1) ～e x 1 ～tan x～arcsin x～arctan x x2 1 cos x～ 2 1 cos z 1 cos z , 在0 [例 ] 3 z z
(z z0)n g1(z) lim f ( z ) (z z )k g (z) z z0 0 2
n
lim f ( z ) c0不存在
z z0
极点阶数判别： g(z) 1. f (z) m , g(z)在z0解析且g(z0) 0 (z z0) 2. Laurent展开 f (z)
用Laurent级数判断极点阶数比较 复杂，下面提供 一个新的方法：利用倒 数的零点来判断。 [定义] 不恒为 0的解析函数f (z)如果能表示成 f (z) (z z0)m (z), 其中 (z)在z0解析且 (z0) 0，m为某正整数，那么称 z0 为f (z)的m级（m阶）零点。
n n cn z z0
ez 1 f (z) z
1 z2 z3 z z2 1 z 1 1 z 2! 3! 2! 3!
《复变函数留数》PPT课件
(3 ) e 1 z 1 z 1 1 z 2 1 z n
2 !
n !
特点：有无穷多个负幂次项
定义 设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内，
若f (z)的洛朗级数
(i)f(z) cn(zz0)n n0 没有负幂次项，称z=z0为可~~去~~奇~~点~~;
( i)if(z )c n (z z 0 ) n ( c m 0 ,m 1 ) n m
将函 f(z)在 数 Rz展 成幂 cnzn,级 由数 此得定 n 可去奇 ---展 点式中不含正幂项； m阶极--点 -展式中含有,且 限 zm为 项最 正高 幂正幂； 本性奇 ---展 点式中含无穷 。项正幂项
§5.2 留数(Residue)
1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算规则 4. 在无穷远点的留数
当m=1时，式(5)即为式(4).
规则III
设 f(z)P(z) Q(z)
P(z),Q(z)在 z0处解 , 析
P(z0)0,Q(z0)0,Q'(z0)0
z0是 f(z)的 一 阶 ,且 极 Rse[点 f(z),z0]Q P'((zz00))(6)
事实上， Q(z0)0及 Q'(z0)0
z0为 Q(z)的 一 阶 ,从z零 而 0为 Q1 点 (z)的 一 阶 ,
只有有限多个负幂次项，称z=z0为m~~~阶~~极~~点~ ;
(ii)if(z) cn(zz0)n n
有无穷多个负幂次项，称z=z0为本~~性~~奇~~点~~。
3. 性质
若z0为f (z)的可去奇点
f ( z ) n 0 c n ( z z 0 ) n l z z 0 if ( m z ) c 0
复变函数留数.ppt
f
z
c1
z 定理5.2 若 f z 在扩充 平面上只有有
限个孤立奇点，设为
a1，a2 an，
则留数总和为0
计算 的残数的方法：
Re s z
f
z
Re s t 0
f
1 t
1 t2
Re s z
f
z
c1
例6.5 计算
I
z15 dz
z 4 z 2 1 2 z 4 2 3
解：共有七个奇点： z i
Re s z 1
f
z
5z
2
z
z 1
2 z2
z1 2
由残数定理，得
z
2
5z
zz
2
12
dz
2i
2
2
0
例5 计算
In
tan zdz
z n
解： tan z sin z 只以 cos z
z k 1 k 0，1，
2
为一级极点，而
Re s
zk 1 2
tan
z
sin
cos
I
|z|1
z2
z 2 2
1 2 p
1 z z 1
2
p2
dz iz
|z|1
2iz
1 z4 2 (1 pz)(z
p)
d
z
f
|z|1
(z)
d
z
在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两 个在圆周|z|=1内, 其中z=0为二级极点, z=p为 一级极点.
Res[
f
( z ),0]
lim
2
I1
iI2
i 2
留数及其应用
注 将 f ( z ) 在 z 0 的去心邻域内的洛朗级数，有 1 1 1 1 z , ( 0 | z | ) . f (z) e 1 2 n z 2! z n! z
(含无穷多个负幂次项)
f ( z ) lim 解 z 1 是 f ( z ) 的奇点， 由 lim z 0 z 0
m (2) 若 f ( z ) ( z z0 ) ( z ) , ( z ) 在 z0 处解析且 ( z0 ) 0 ,
则称 z z0为 f ( z ) 的 m 阶零点。
对于不恒为零的解析函数，其零点是孤立的。
即在零点的一个小邻域内，函数无其它零点。
§5.1 孤立奇点 §5.1.4 零点
sin z 1, 解 z 0 是 f ( z ) 的奇点， 由 lim f ( z ) lim z 0 z 0 z 可知，z 0 是 f ( z ) 的可去奇点。
注 将 f ( z ) 在 z 0 的去心邻域内的洛朗级数，有
sin z 1 1 3 1 5 f (z) ( z z z ) z z 3! 5!
z z0
lim f ( z ) c (常数)；
lim f ( z ) ; (该条件只能判断是极点) zz
0
1 f (z) [ a N a N 1 ( z z0 ) ]; N ( z z0 )
z z0
(3) 本性奇点
lim f ( z ) 不存在且不为 .
且 ( z0 ) 0 , 则 z0 为 f ( z ) 的 N 阶极点。
事实上， z0为 f ( z ) 的 N 阶极点的充要条件(即定义)为：
§5.1 孤立奇点 §5.1.5 极点阶数判别方法
【PPT】【复变函数与积分变换】留数及其应用
(法P则11)5 法则Ⅲ
理由
f (z)
am (z z0 )m
a1 z z0
a0 a1(z z0 ) ,
(z z0 )m f (z) am a1(z z0 )m1 a0(z z0 )m ,
dm1 d z m 1
[(
z
z0 )m
f
(z)]
(m 1)!a1
(z
z0 ) (z),
§5.2 留数
一、留数的概念 二、留数的计算方法 三、留数定理 四、函数在无穷远点的留数
2020/8/4
复变函数
1
一、留数的概念
定义 设 z0 为函数 f (z)的孤立奇点，将 f (z) 在 z0 的去心邻域
P112 定义
内展开成洛朗级数：
5.4
f (z) an(z z0 )n
n
a1 z z0
z z0
2020/8/4
复变函数
6
解 (1) z 0 是 f1(z) 的可去奇 点， Res[ f1(z), 0] 0 .
(2) z 0和 z 1均为 f2(z) 的一阶极点，
Res[
f2(z),
0
]
lim[
z0
z
f1(z)
]
lim
z0
1 z1
1,
Res[
f
2
(
z
)
,
1
]
lim[
z1
(
a0 a1(z z0 ) ,
(两边积分)
称 a1 为 f (z) 在 z0 处的留数，记作：
Res[
f (z),
z0 ] a1
1 2πi
f (z)dz ,
C
其中，C 是 z0 的去心邻域内绕 z0 的一条简单闭曲线。
理由
f (z)
am (z z0 )m
a1 z z0
a0 a1(z z0 ) ,
(z z0 )m f (z) am a1(z z0 )m1 a0(z z0 )m ,
dm1 d z m 1
[(
z
z0 )m
f
(z)]
(m 1)!a1
(z
z0 ) (z),
§5.2 留数
一、留数的概念 二、留数的计算方法 三、留数定理 四、函数在无穷远点的留数
2020/8/4
复变函数
1
一、留数的概念
定义 设 z0 为函数 f (z)的孤立奇点，将 f (z) 在 z0 的去心邻域
P112 定义
内展开成洛朗级数：
5.4
f (z) an(z z0 )n
n
a1 z z0
z z0
2020/8/4
复变函数
6
解 (1) z 0 是 f1(z) 的可去奇 点， Res[ f1(z), 0] 0 .
(2) z 0和 z 1均为 f2(z) 的一阶极点，
Res[
f2(z),
0
]
lim[
z0
z
f1(z)
]
lim
z0
1 z1
1,
Res[
f
2
(
z
)
,
1
]
lim[
z1
(
a0 a1(z z0 ) ,
(两边积分)
称 a1 为 f (z) 在 z0 处的留数，记作：
Res[
f (z),
z0 ] a1
1 2πi
f (z)dz ,
C
其中，C 是 z0 的去心邻域内绕 z0 的一条简单闭曲线。
第5章留数定理及其应用
2 1 2 πi 2π = ∫ dz = = 2 2 i | z|=1 2 z + ε ( z + 1) i 1− ε 1− ε 2
例2：
∫
2π
0
1 dθ 3 − 2 cos θ + sin θ
第二节 应用留数定理计算实函数的积分 类型二
∫
+∞
−∞
f (x )dx
其中被积函数在实轴上无奇点；积分区间为(- , ) 无穷积分的收敛性 柯西主值
∫
∞
0
F(x) cos mxdx π i = G(x)sin mxdx =π
∑Re s[F(b )e
k=1 n k k
n
imb k
] Imz>0 ] Imz>0
∫
∞
0
∑Re s[G(b )e
k=1
imb k
证明： 证明： ∞
∫
0
F(x) cos mxdx = ∫ F(x) 0
∞
e
imx
∞ 1 ∞ −imx imx = [∫ F(x)e dx + ∫ F(x)e dx] 0 2 0 1 ∞ imx = ∫ F(x)e dx 2 −∞
−∞
cos x dx 3 cosh x
第二节 应用留数定理计算实函数的积分 类型三
(x )eimx dx ∫−∞ f
其中被积函数 f (x) 在实轴上无奇点； 积分区间为(- , ),m > 0 -R O R
+∞
CR
∫
∞
−∞
f ( x)eimx dx = 2π i × { f ( z )eimz 在上半平面内所有奇点处的留数和}
第二节 应用留数定理计算实函数的积分 类型一
复变函数第五章 留数理论及其应用
由规则3
P( z) z 1 = 3= 2, Q ( z ) 4 z 4z
此法在很多情况下此法更为简单.
z dz , C为正向圆周: z = 2 . 例5 计算积分 4 z 1 C z 在 z = 2 的外部, 除 点外没有 解 函数 4 z 1
其他奇点. 根据定理 5.2与规则4: z z 4 1 dz = 2iRes f ( z ), C 1 1 = 2iRes f 2 ,0 z z z = 0. = 2iRes , 0 4 1 z
k =1
n
C
Res[ f ( z ), zk ] f ( z )dz = 2i k =1
= 2iRes[ f ( z ), ].
n
(留数定理)
计算积分
C
f ( z )dz
计算无穷远点的留数.
优点: 使计算积分进一步得到简化. (避免了计算诸有限点处的留数)
3.在无穷远点处留数的计算 •规则4
z = 0是p( z )的 三 级 零 点 , 是f (z)的三级极点。
1 z sin z z sin z 由规则2 Re s ,0 = lim " 6 3 z (3 1)! z0 z
若将f ( z )作Laurent级数展开 :
z sinz 1 1 3 1 5 = 6 [ z ( z z z )] 6 z z 3! 5! 1 1 11 = 3 3! z 5! z
1 故 Re s[ f ( z ), z0 ] = c1 = f ( z )dz 2i c
( 2)
二、利用留数求积分
1. 留数定理 设函数 f(z)在区域D内除有限个孤立奇点
第五章留数及其应用
f (z) Cn (z z0 )n Cn (z z0 )n
n0
n1
解析部分
主要部分
(1)主部消失 即只有 Cn (z z0 )n，则称z0为函数f (z)的可去奇点 n0
(2)主部仅含有限项(m项), 则称z0为函数f (z)的 m阶极点
(3)主部含有无限多项，则称z0为函数f (z)的 本性奇点
z 1是有理函数的3阶极点.
(2)对于z
i, 有
(z2
z2 1)(z 1)3
1 (z i)
(z
z2 i)(z 1)3
1 (z i)
g2 (z)
(3)对于 i,有
(z2
z2 1)(z 1)3
1 (z i)
(z
z2 i)(z 1)3
1 (z i)
g3 ( z)
z i都是有理函数的1阶极点.
sin 1
z
除此之外，zn
1
n
(n
1, 2,
)也是它的一个奇点，
当n的绝对值逐渐增大时，1 可任意接近z 0，
n
即在z 0不论怎样小的去心邻域，总有函数f (z)的奇点存在，
所以z 0不是函数f (z)的孤立奇点.
2024/8/3
5
孤立奇点分类：
函数f (z)在孤立奇点z0的邻域0 z z0 内展为洛朗级数为：
1)3
的极点.
解：函数的孤立奇点有：z 1，z i.
lim f (z) , lim f (z) ,
z1
zi
z 1, z i都是函数f (z)的极点.
(1)当z
1时，(z2
z2 1)(z 1)3
1 (z 1)3
z2 (z2 1)
《留数及其应》课件
计算留数的常用方法
计算留数的常用方法包括留数定理、洛朗级数展开法和留数计算公式等。这些方法可以帮助我们准确计算复杂 函数在极点处的留数。
数学公式与符号解释
在留数计算中，我们常用到的数学公式和符号包括留数定理、留数公式、洛朗级数展开法以及复数的表示和运 算等。
计算机编程语言中的留数实现
在计算机编程语言中，我们可以使用不同的方法来实现留数计算，例如使用 复数库、数值计算库或自定义函数来计算函数在极点处的留数。
留数在计算机科学中的应用场景包括复数计算、信号处理、图像处理、机器学习和人工智能等领域。
留数在计算机科学中的作用
留数在计算机科学中的作用包括复数计算、信号处理、图像处理、机器学习和人工智能等领域。它可以帮助我 们解决复杂的数学计算问题，并提供更高效的算法和数据处理方法。
留数在数学中的作用
留数是数学中重要的概念之一，它提供了一种计算函数在极点处的积分的方 法。留数理论可以帮助我们解决复杂的积分问题，以及分析函数的性质和行 为。
《留数及其应》
留数是一种数学工具，广泛应用于计算机科学、物理学、电路分析、信号处 理、图像处理等领域。本课件将介绍留数的定义、常用方法、以及在各个领 域中的应用。
什么是留数？
留数是一种数学概念，用于计算在函数解析函数上的积分。它可以用于计算 闭合曲线内的曲线积分，以及求解函数在极点处的留数。
留数的应用场景
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如果 P(z0 ) 0,Q(z0 ) 0,Q(z0 ) 0, 那末 z0为
f (z) 的一级极点, 且有
Res[
f
(
z),
z0
]
P(z0 ) Q(z0 )
.
(5 2 4)
证 因为 Q(z0 ) 0, Q(z0 ) 0
11
所以 z0为 Q(z) 的一级零点, 1
z0 为 Q(z) 的一级极点，P(z0 ) 0
(0 z z0 )
Laurent级数在其收敛环域内逐项微分得
d n1
dz n1
(z z0 )n
f z
(n 1)!c1 n!c0 (z z0 )
令 z z0，规则2o成立；令n=m=1，规则1o成立。
10
规则3
设
f
(z)
P(z), Q(z)
P(z)及
Q(z)
在
z0都解析，
1 z5
1
z
z2 2!
z3 3!
z4 4!
z5 5!
z6 6!
1
1 z4
1 2! z 3
1 3! z 2
4
即 1
2 i C f (z)dz c1 Res[ f (z), z0 ] (5 2 1)
注 f (z) 在 z0 的留数为 f (z) 在 z0 为中心的圆环 域内的Laurent级数中负幂项 c1(z z0 )1的系数。
5
计算留数的一般公式
（1）若z0为函数f(z)的可去奇点，则它在点z0的留 数为零。
3
积分 f (z)dz
C
cn (z z0 )ndz c1 (z z0 )1dz
C
C
0 (高阶导数公式)
2i
c0dz c1(z z0 )dz cn(z z0 )ic1
0 (柯西积分定理)
Laurent级数中负幂项c1(z z0 )1的系数
(6
1
1)!
lim
z0
d5 dz5
z
6
z
sin z6
z
1 . 5!
16
例3．求下列函数在指定点处的留数
(1) f1(z) (e z , 1) ;z5 z0 0
解：z0 是0 函数 e z的一1 级零点,
又是函数 z的5 五级零点.
于是它是 f1(的z) 四级极点,
可用规则 2计 算其留数,其中m=4,为了计算简便应
所以 z0 为 f (z的) 一级极点,
Res[
f
(z),
z0 ]
lim(z
zz0
z0
)
f
(z)
P(z)
lim
z z0
Q(z)
Q(z0 )
P(z0 ) . z z0 Q(z0 )
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典型例题
例1
求 f (z)
ez zn
在
z
0
的留数（n为正整数）。
解 因为 z 0 是 f (z)的n阶极点，
当取其中n=5,这时有
Res[
f1 ( z ),0]
1 lim
4! z0
d4 dz 4
(e z
1)
1 4!
17
例3．求下列函数在指定点处的留数 (1) f1(z) (e z , 1) ;z5 z0 0
另解： f1(z在) 点 z0的 去0 心邻域
0内 的z Laurent
级数为
ez z5
1
lim
z z0
d n1 dz n1
[(z
z0 )n
f
( z )]
(5 2 3)
说明 将函数的零阶导数看作它本身，规则1o可 看作规则2o当n=m=1时的特殊情形，且规则2o可取 m=1.
9
证明 先证明规则2o。 因此可设在0<|z-z0|<ρ内有
nm
(z z0 )n f z cm (z z0 )nm c1(z z0 )n1 c0 (z z0 )n
5-2 留数和留数定理
一Δ、留数的定义和计算 二、 留数定理 三*、函数在无穷远点的留数
1
一Δ 、留数的定义和计算
C .z0
设 z0 为 f (z) 的一个孤立奇点; z0 的某去心邻域 0 z z0 R
包含 z0 的任一条正向简单闭曲线C.
定义 如果 z0 为函数 f (z) 的一个孤立奇点,则沿 z0的某个去心邻域 0 z z0 R 内， 包含 z0 的
说明: 1. 在实际计算中应灵活运用计算规则. 如 z0为m级极点，当m 较大而导数又难以计算时,
可直接展开Laurent级数求c-1来计算留数。
2. 在应用规则2时, 为了计算方便一般要将m
取得比实际的级数高. 因为有时把m取得比实际的
级数高能够使得计算方便. 如上例取 m 6
Res f (z),0
Res[
f
( z ),0]
(3
1
lim 1)! z0
d2 dz 2
z
3
z
sin z6
z
.
计算较麻烦.
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解 如果利用Laurent展开式求系数c-1较方便：
z
sin z6
z
1 z6
z
z
z3 3!
z5 5!
z3 z1 , 3! 5!
Res
z
sin z6
z
,0
c1
1 5!
.
15
任意一条简单闭曲线 C 的积分 f (z)dz 的值除
C
以 2i 后所得的数称为 f (z) 在 z0 的留数(Residue),
记作 Res[ f (z), z0 ].
2
计算留数
1
2 i
C
f (z)dz：
C .z0
f (z) 在 0 z z0 R 内的Laurent级数:
f (z) cn(z z0 )n c1(z z0 )1 c0 c1(z z0 ) cn(z z0 )n
(3)如果 z0为 f (z)的极点, 则有如下计算规则
7
规则1o 若z0为f(z)的一级极点，则有
Re s
f (z), z0
lim ( z
z z0
z0
)
f
(z)
(5 2 2)
8
规则2o 若z0为f(z) 的m级极点，则对任意整数
nm 有
Re s
f (z), z0
1 (n 1)!
所以
Res
e z
z n
,0
(n
1 lim 1)! z0
dn1 dz n1
zn
ez zn
1. (n 1)!
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例2
求
f
(z)
P(z) Q(z)
z
sin z6
z
在
z
0
的留数.
分析 P(0) P(0) P(0) 0, P(0) 0.
z 0是 z sin z 的三级零点
所以 z 0是 f (z)的三级极点， 由规则2得
当z0为f(z)=g(z-z0)的孤立奇点时，若g(ζ)为偶函 数，则f(z)在点z0的去心邻域内Laurent级数只含 zz0的偶次幂，其奇次幂系数都为0，从而得知
Re s f (z), z0 0
6
(2)如果 z0为 f (z) 的本性奇点, 则需将 f (z)展开
成Laurent级数求 c1.