中国精算师《金融数学》过关必做1000题(含历年真题)(金融衍生工具定价理论)【圣才出品】
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第9章金融衍生工具定价理论
1．某股票的当前价格为50美元，已知在6个月后这一股票的价格将变为45美元或55美元，无风险利率为10％（连续复利）。执行价格为50美元，6个月期限的欧式看跌期权的价格为（）美元。
A．1.14
B．1.16
C．1.18
D．1.20
E．1.22
【答案】B
【解析】①考虑下面这个组合：－1：看跌期权，＋△：股票
如果股票价格上升到55美元，组合价值为55△。如果股票价格下降到45美元，组合价值为45△－5。当45△－5=55△，即△=－0.50时，两种情况下组合价值相等，此时6个月后的组合价值为－27.5美元，当前的价值必定等于－27.5美元的现值，即：
（美元）
这意味着：
其中，pp是看跌期权价格。由于△=－0.50，看跌期权价格为1.16美元。
②使用另一种方法，可以计算出风险中性事件中上升概率p，必定有下式成立：
得到：
即p=0.7564。此时期权价值等于按无风险利率折现后的期望收益：
（美元）这与前一种方法计算出的结果相同。
2．某股票的当前价格为100美元，在今后每6个月内，股票价格或者上涨10％或下跌10％，无风险利率为每年8％（连续复利），执行价格为100美元，1年期的看跌期权的价格为（）美元。
A．1.92
B．1.95
C．1.97
D．1.98
E．1.99
【答案】A
【解析】图9-1给出利用二叉树图为看跌期权定价的方法，得到期权价值为1.92美元。期权价值也可直接通过方程式得到：
（美元）
图9-1 二叉树图
3．某股票的当前价格为50美元，已知在2个月后股票价格将变为53美元或48美元，无风险利率为每年10％（连续复利），执行价格为49美元，期限为2个月的欧式看涨期权价格为（）美元。
A．2.29
B．2.25
C．2.23
D．2.13
E．2.07
【答案】C
【解析】①两个月结束的时候，期权的价值或者为4美元（如果股票价格为53美元），或者为0美元（如果股票的价格为48美元）。考虑一份资产组合的构成：＋△：股票，－1：期权。
两个月后组合的价值或者为48Δ或者为53Δ－4。如果：
也即：
资产组合的价值为38.4美元（48×0.8或者53×0.8－4）。因此对于组合来说，Δ的值是无风险的。组合的现值为：
其中f是期权的价值。
因为组合必须以无风险的利率盈利：
也即：
（美元）
因此期权的价值为2.23美元。
②可以直接运用公式：
其中：
由题意知，u=1.06，d=0.96，因此：
（美元）可见，两种方法结果一致。
4．某股票的当前价格为80美元，已知在4个月后股票价格将变为75美元或85美元，无风险利率为每年5％（连续复利），执行价格为80美元，期限为4个月的欧式看跌期权
价格为（）美元。
A．1.65
B．1.71
C．1.73
D．1.75
E．1.80
【答案】E
【解析】①4个月结束时，期权的价值或者为5美元（如果股票价格为75美元），或者为0美元（如果股票的价格为85美元）。考虑一份资产组合的构成：－△：股票，＋1：期权。
参数delta（Δ）在看跌期权中为负值。构建的这份资产组合为＋1份的期权和－Δ份的股票，以此保证初始投资为正。
4个月后组合的价值或者为－85Δ或者为－75Δ＋5。如果：
也即：
资产组合的价值为42.5美元。
对于组合来说，Δ的值是无风险的。组合的现值为：
其中f是期权的价值。
因为组合必须以无风险的利率盈利：
也即：
（美元）
因此期权的价值为1.80美元。
②可以直接运用公式：
其中：
由题意得，u=1.0625，d=0.9375，因此：
（美元）可见，两种方法结果一致。
5．某股票的当前价格为40美元，已知在3个月后股票价格变为45美元或35美元，无风险利率为每年8％（连续复利），则执行价格为40美元，期限为3个月的欧式看跌期权价格为（）美元。
A．2.06
B．2.09
C．2.13
D．2.25
E．2.65
【答案】A