导数在研究函数中的应用课件

【互动探究】在本例题(2)②中，若条件不变，讨论函数f(x)
【解析】选A.f′(x)=3ax2+2bx+c,由题意知1,-1是方程 3ax2+2bx+c=0的两根,≨1-1= ,b=0,故选A.
－
2b 3a
3.函数f(x)=x3-3x,x∈(-1,1)( (A)有最大值，但无最小值 (B)有最大值，也有最小值 (C)无最大值，也无最小值 (D)无最大值，但有最小值
②如果在x0附近的左侧________,右侧________,即“________”, 那么f(x0)是极小值. f′(x)<0 f′(x)>0 左负右正
3.求函数f(x)在[a,b]上最值的步骤 (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的_____. 极值 (2)将函数y=f(x)的各_____与端点处的________________比较, 极值 函数值f(a),f(b) 其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值,得出函数f(x) 在[a,b]上的最值.
【解析】(1)错误.f′(x)>0能推出f(x)为增函数,反之不一定. 如函数f(x)=x3在(-≦,+≦)上单调递增,但f′(x)≥0.所以 f′(x)>0是f(x)为增函数的充分条件,但不是必要条件. (2)错误.一个函数在某区间上或定义域内极大值可以不止一个 . (3)正确.一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系 ,极 大值可能比极小值大,也可能比极小值小.
考向 1
源自文库
利用导数研究函数的单调性
【典例1】(1)(2012·辽宁高考)函数y= 1 x2-lnx的单调递减区 间为( ) (B)(0,1] (D)(0,+∞)
2
(A)(-1,1] (C)[1,+∞)
(2)(2012·北京高考改编)已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)= x3+bx. ①若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切 线,求a,b的值;
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.(
)
)
(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.(
(3)函数的极大值不一定比极小值大.(
)
(4)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0点为极值点的充要条 件.( )
(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极 小值.( )
2
x
-1≤x≤1,且x≠0,又函数的定义域为(0,+≦),故单调递减区间
为(0,1].
(2)①f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b,
由已知可得 解得a=b=3.
f 1 a 1 c, g 1 1 b c, 2a 3 b，
②令F(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+
(A)(0, 1 ) (B)( 1 ,+∞)
)
(C)(-∞,
a
1 a A.由f′(x)＝ －a>0，得0<x< ，≨f(x)的单调 【解析】选 1 1 递增区间为(0， ). a x 1 a
)
(D)(-∞,a)
a
2.设f(x)=x(ax2+bx+c)(a≠0)在x=1和x=-1处均有极值,则下列 点中一定在x轴上的是( (A)(a,b) (B)(a,c) ) (C)(b,c) (D)(a+b,c)
②当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间.
【思路点拨】(1)保证函数有意义的前提下,利用y′≤0求解.
(2)①利用交点既在f(x)上,也在g(x)上,在公切点处导数相等,
构造方程组求解;②构造函数F(x)=f(x)+g(x),再利用导数求单 调区间.
【规范解答】(1)选B.由y′=( 1 x2-lnx)′=x- 1 ≤0⇒
)
【解析】选C.f′(x) =3x2-3,≧x∈(-1,1),
≨f′(x)＜0,
≨f(x)在(-1,1)上是减函数，故f(x)无最大值，也无最小值.
4.已知f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,则a的最大值是( (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
)
【解析】选D. f′(x)=3x2-a≥0在[1,+≦)上恒成立,即a≤3x2在 [1,+≦)上恒成立,而(3x2)min=3×12=3. ≨a≤3,故amax=3.
第十一节 导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数的关系
增函数
常量函数
减函数
2.函数的极值与导数
(1)极值的概念
f(x)<f(x0)
极大值点
f(x)>f(x0) 极 小值点
(2)判别f(x0)是极大(小)值的方法
若x0满足f′(x0)=0,且在x0的两侧f(x)的导数_____,则x0是f(x) 异号 的极值点. ①如果在x0附近的左侧________,右侧________,即“________”, 那么f(x0)是极大值; f′(x)>0 f′(x)<0 左正右负
(4)错误.对可导函数f(x),f′(x0)=0只是x0点为极值点的必要 条件,如y=x3在x=0时f′(0)=0,而函数在R上为增函数,所以0不 是极值点. (5)正确.当函数在区间端点处取得最值时,这时的最值不是极 值. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
1.函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调递增区间为(
5.已知y=f(x)是定义在R上的函数,且f(1)=1,f′(x)>1,则 f(x)>x的解集是( (A)(0,1) (C)(1,+∞) ) (B)(-1,0)∪(0,1) (D)(-∞,-1)∪(1,+∞)
【解析】选C.令F(x)=f(x)-x,则F′(x)=f′(x)-1>0,所以F(x) 是增函数,故易得F(x)>F(1)的解集,即f(x)>x的解集是(1,+≦).
F′(x)=3x2+2ax+ a 2 ，令F′(x)=0，得x1= a ， 2 4 x 2=
a 2 +1， x 4
a , ≧a>0,≨x 6 1<x2,
由F′(x)>0得，
a a x 或 x ； 由F′(x)<0得， 2 6 a(-≦, a ),( ≨单调递增区间是 ,+≦)； x . 2 6 单调递减区间为( a). a 2 6 a a , 2 6