16.2.1二次根式的乘除课件(2014年沪科版八年级下)

4 2 2 (1) ( 2) 9 3 9 3 16 4 16 4 (3) ( 3) 25 5 25 5 4
根据你发现的规律填空：
2 (1) = 3 3
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2
5 ( 2) = 7 7
5
一般地，对二次根式的除法，有：
a
a （a≥0,b＞0） b b
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( 2) 6 15 10
解： (1)5 12 4 27
(5 4) 12 27
20 4 3 3 9
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20 ( 2 3 3)
2
20 18 360
解： ( 2) 6 15 10


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1 1 ( 4) 27 27 9 3 3 3
分析
二次根式的乘法：根式和根式按公 式相乘。
m a n b mn ab （a≥0，b≥0）
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根号外的系数与系数相乘，积 为结果的系数。
练习
计算：
(1)5 12 4 27
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3
化简二次根式，就要把被开方数 中的平方数（或平方式）从根号里 开出来。
解: (1) 12
43 2 3 2 3
2
( 2) 27 15 9 3 3 5
9 5 9 5
2
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(3) 4a 2 a a
3 2 2
1 3 29 （－ 48 2

＝ 6
1 2 ） 4
3 2 1 计算： 30 2 2 2 2 3 2
3 8 5 解 : 原式 30 2 2 3 2
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3 5 ( 2)( 10 8 ) 2 2
二次根 式的混合 运算，从 左向右依 次计算。
3 1 2 3 ( )( 10 8 ) 4 2 3 2 4 2 2 5
2
(1) 计算：
解（1） 解法一：
2
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2 3
( 2)
2 3 8
(3)
27
3x
3 解法二：
2 3

2 3
23 6 6 6 2 2 3 3 3 3 3
6
2 3
6 2 3 3 3 ( 3)
( 2)
2 3 8 27

2 3 2 2

3 2
（3） a－ 1 （ a－1）＝ a－1
（ 2） 2 5 （ 5 ）＝ 10
（4） 3 2
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3 2.化简下列二次根式，使得分母中不含有根号： 2 2 y 5 a －8 3 3 2 （4） （3） （ 1 ） （2） 4 xy 10 a 8 27
3.计算：
（ 1 ）－ 19 95

3 2
6 2 2 2
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9 x 3 x (3) 3x x 3x 3x 3x
在二次根式的运算中，一般要求 最后结果的分母中不含根式。
27 3 x
最简二次根式
1、被开方数不含分母； 2、被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式。 我们把满足上述两个条件的二次根 式，叫做最简二次根式。
x
3
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b (3)2 ab 3 ( 4) 27 a
解：(1) 3 12 3 12 36 6
1 3
( 2) x x
3
x x
3
x x
4
2
b b 2 (3)2 ab 3 ( 2 3) ab 6 b 6b a a
梳理
a b ab
a
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ab a b（a≥0，b≥0）
a b a
（a≥0，b＞0） b
b

a b
最简二次根式。
巩固练习
1、化简：
(1) 24 ( 2) 9 125 (3) 3 4
2
2
( 4) 29 21 ( 5) 4 a b c
2 2 2 3
a a (a ≥ 0，b 0) b b （2）把除法先写成分式的形式，再化简为最简二次
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根式.
3. 在进行分母有理化之前，可以先把能化简的二次 根式化简，再考虑如何化去分母中的根号.
课堂知识反馈
1.在括号中填写适当的数或式子使等式成立。
（1 ） 8 （ 2 ）＝ 4
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2 2 2 10 20 2 5 5 （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 3 40 6 10 10 3 2 10 60 60 30
注意：要进行根式化简，关键是要搞清楚分式的分子和 分母都乘什么，有时还要先对分母进行化简。
课堂小结
1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式. 2. 二次根式的除法有两种常用方法： （1）利用公式： ；
例题讲解
计算： (1) 解: (1)
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24 24
2 1 ( 2) 3 18 3 82 2
24 3 3
2 1 ( 2) 3 18
2 1 3 18
2 18 3
12 2 3
探究
把
a
a 反过来，就可以得到: b b
a b a b
探究
( 4) ( 9) 4 9成立吗？
不成立！
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4、 9没有意义。
一般情况下，a≥0，b≥0时，
有什么关系？
a 与 b
ab
一般地，对于二次根式的乘法，有：
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a b ab
（a≥0，b≥0）
例题讲解
计算：
(1) 3 12 ( 2) x
2
√
× √
√
练
习
2a －4 2 2 （ 2 ） （ 1 ） 把下列各式化简： ； ； （3） . a＋b 3 7 3 40 解： －4 2 7 －4 2 －4 14 ＝ （ 1 ） ＝ ； 3 7 7 21 3 7
2a （2） ＝ a＋b
2a a＋b 2a a＋b ＝ a＋b a＋b a＋b
复习回顾
二次根式
2
被开方数a≥0；
根指数为2.
（a≥0） ( a) a
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a a
2
a (a≥0)
-a
(a＜0)
1、一个长方形的长为 6cm，宽为 3cm， 这个长方形的面积是多 少？
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解 : 长方形的面积为 6 3
这个结果能否化简？如何化简？
6 15 10
2 3 3 5 5 2
( 2 3 5)
2


30 30
2
探究
把
a b ab
反过来，就可以 得到:
ab a b（a≥0，b≥0）
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利用它可以对二次根式进行化简.
例题讲解
化简:
(1) 12 ( 2) 27 15 (3) 4a
（a≥0，b＞0）
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利用它可以对二次根式进行化简.
3 25 y ( 2) 化简: (1) 2 100 9x 3 3 3 解: (1) 100 100 10
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例题讲解
25 y 5 y 5 y 25 y ( 2) 2 2 2 2 9x 3x 9x 3 x
2a a
化简 25 x y
3
3 4 4
4
解：由二次根式的意义可知：
25 x y 25 y x
Baidu Nhomakorabea3 4
4
25 x y 0, y 0, x 0.
3

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5y x x
2
5 xy
2
x
讨论
计算： 有什么发现？
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讨论
计算: (1) 4 25 10 ( 2) 4 25 10
1 3 1 3 (3) 9 ( 4) 9 4 2 4 2
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你发现了什么？用你发现的规律填空：
(1) 2 3 = ６ ( 2) 5 7 35 =
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4 a b (6) 4 (7) 2 9 8c
2
2、计算：
14 3 1 (1) 7 3 2 15 2 2
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b ( 2) ab ( 3 ) ( 3 2a ) 2a
3
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二次根式的运算中，最后的结果中的二 次根式一般要写成最简二次根式的形式。
探究
下列根式中，哪些是最简二次根式？
12a , 18 , x 9 , 5 x y , 27 abc,
2 3
×
×
√
×
×
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ab 3 xy 2 2 2 x y, , , 5(a b ) 2 5