第二章投影基础知识解析
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第2章正投影的基本理论知识点1.投影法的基本知识2.点的投
2．点在两投影面体系中的投影 (1) 投影 如图2-7所示，空间点A处于第一分角，按正投影法将点A向正面 和水平面投射，即由点A向正面作垂线，得垂足a′，则a′称为空间点A的正 面投影；由点A 向水平面作垂线， 得垂足a ，则a 称为空间点A的水平投影。 画出点A的正面投射线Aa′和水平投射线Aa所确定的平面Aaa′与V、H面的 交线a′ax 和 aax 。
（a）正投影法 图2-2 平行投影法
（b）斜投影法
1.正投影法的投影特点 (1)真实性。当物体上的平面（或直线）与投影面平行时，其投影反映实形（或实长）， 这种投影特性称为真实性。如图2–3（a）所示。 (2)积聚性。当物体上的平面（或直线）与投影面垂直时，则在投影面上的投影积聚为一 条线（或一个点），这种投影特性称为积聚性。如图2–3（b）所示。 (3)类似性。当物体上的平面（或直线）与投影面倾斜时，其投影的面积变小（或长度变 短），但投影的形状仍与原来形状类似，这种投影特性称为类似性。如图2–3（c）所示。
（a）
（b） 图2–4 物体的单面正投影
（c）
图2–5 三面正投影 多面正投影具有良好的度量性，只要物体上的平面或直线ห้องสมุดไป่ตู้某一投影面平行，就 能反映其实形或实长，故在工程中被广泛应用，是绘制工程图样的理论基础。
2.2点的投影 点是组成形体最基本的几何元素。要想正确地画出物体的视图，首先应该掌握点的投影规 律。 2.2.1点在两投影面体系中的投影 1.两投影面体系的建立 两投影面体系由互相垂直相交的两个投影面组成，如图2-6所示，其中一个为水平投 影面（简称水平面），以H表示，另一个为正立投影面（简称正面），以V表示。两投影 面的交线称为投影轴，以OX表示。 水平投影面H与正立投影面V将空间分为四个部分，称为四个分角，即第一分角、 第二分 角、 第三分角、 第四分角。 图 2-6 两 投 影 面 体 系 的 建 立
第二章 投影的基本知识
Z W a'' O b'' Y
a ( b) YH
68
b' X O
b'' YW
X
A在B的正上方
H面重影，被挡 住的投影加( )
结论： ●X、Y分别相等，H面重影(H面投射线上)，Z大可见。 正上（下）方 ●X、Z分别相等，V面重影(V面投射线上)，Y大可见。 正前（后）方 ●Y、Z分别相等，W面重影(W面投射线上)，X大可见。 正左（右）方
间点重合，另两个投影分别在投影轴上。
60
例3、根据点的坐标，作出点的三面投影， 并想像该点的空间位置。 A(15,10,20)
a'
Z aZ
a''
aX
X a
15
a YW
O a YH
YW
YH
61
B(20,15,0)
Z
X
b'
O
b''
YW
b Y
H
62
C(20,0,20)
c'
Z
c''
X
c
b' a' X b
b"
O
YW
a
YH
因此 点A位于点B左、前、下方。
67
两点重影
▲重影点要判别其可见性，不可见的投影用括号括起来，以示 ▲当空间两点的两对坐标相等时，两点处于同一投射线上，在 区别。 该投射线的投影面上的投影重合在一起，称为该投影面的重影 a'' 点。 a'
V
a' b' A B
H a(b)
X a′ A aX H a aZ
《建筑识图与构造》教学课件 第2章 投影的基本知识
平面的投影-平面内的点和直线
根据平面内点和直线的判 定，可以解决下面三类问题。
① 判别已知点、直线是否 属于已知平面。 ② 完成已知平面上的 点和直线的投影。 ③ 完成多边形的投影。
点在平面内的几何 条件：若点属于一直线， 直线属于一平面，则该 点必属于该平面
直线在平面内的几何条 件：若一直线通过平面 上的两点，或通过平面 内的一点，并且平行于 平面上的另一直线，则 此直线必在该平面内。
直线上的点-点在线上
点在直线上，则点的各个投影必在该直线的同面投影上，且点分直线 的两线段长度之比等于其投影长度之比；反之亦然，此即为定比关系。
两直线的相对位置-平行
空间两直线的相对位置有平行、相交和交叉三种。
（a）立体图
（b）投影图
两直线的相对位置-相交
其同面投影必相交，且交点的投影符合点的投影规律，如图所示。
点的投影-两点相对位置的识读
➢ 通过方位的判断，可以确定出两点在空间的相对位置。此外，由于 X轴、Y轴、Z轴的正方向表示空间点左、前、上方，因此也可直接 根据空间点的坐标来确定两点的相对位置。
空间点的六个方位
直线的投影
➢ 作直线投影图时，只需作出直线上任意两点的投影，并连接 该两点在同一投影面上的投影即可，如图所示
三面投影体系
三面投影图-三面投影图的形成与展开
➢ 将物体置于三面投影体系中，并使其主要表面与投影面 平行或垂直，然后按正投影法分别向V面、H面和W面进 行投影，即可得到该物体的三面投影，如图所示。
三面投影图-三面投影图的对应关系
三面投影图的投影对应关系
➢ 如图所示，三面投影图不仅反映了物体的长、宽、高，同时也 反映了物体的上、下、左、右、前、后六个方向的位置关系。
机械制图第2章正投影基础
为比原形状小的类似形。
E
L K
F
M
α
f
e
H
在该面上的投影长度 变短，ef=EFcosα。
l k
m H
在该面上的投影 △klm面积变小。
2.2 三视图的形成及其投影关系
2.2.1 视图的基本概念 2.2.2 三视图的形成 2.2.3 三视图之间的关系 2.2.4 三视图的作图方法与步骤
2.2.1 视图的基本概念
（3）投影面垂直线
投影面垂直线 投影特性:
正垂线 ——与V面垂直的直线
铅垂线 ——与H面垂直的直线
侧垂线 ——与W面垂直的直线
① 在垂直的投影面上的投影，积聚成一点。
② 在另外两个投影面上的投影，平行于投影轴 （与直线相平行的投影轴），且反映实长。
（3）投影面垂直线
正垂线
投影特性: ① a’b’积聚成一点。
(1)两点相对位置的确定
例2-3 如图所示，试判断点B相对于点A的空间位置 。
yA
yB
zB
zA
xA
xB
X坐标值确定两点的左右位置 大者为左，小者为右；XA<XB Y坐标值确定两点的前后位置
大者为前，小者为后；YA<YB
Z坐标值确定两点的上下位置 大者为上，小者为下；ZA>ZB 结论:
B 点在A点的左、前、下方。
直线按与投影面的相对位置不同分为三类： 一般位置直线
不平行于任一投影面的直线。
投影面平行线
与 的一 直个 线投 。影面平行，与特另殊二位个投置影直面线倾斜
投影面垂直线
与一个投影面垂直，与另二个投影面平行 的直线。
直线与H面、V面、W面的倾角，分 别用α、β、γ表示
第2章正投影法基础
W
Y
2.三视图的形成
主视图 左视图 俯视图
⒉ 三个投影面的展开及投影规律
上
主视
上 右
左
主视
后
左视 前
下 后 左
俯视
下 右
俯视
前
基本投影面的展开方法：V面不动，其它各投影面按图 中箭头所指方向转至与V面共面位置。
主视俯视长相等且对正 俯视左视宽相等且对应 主视左视高相等且平齐
长对正 宽相等 高平齐
a k● b a
●
k
b
a k● b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
还可应用定比定理来解答此题
二、 各种位置直线的投影特性
投影面平行线
统称特殊位置直线 平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
投影面垂直线
垂直于某一投影面而 与其余两投影面平行
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
b YH
投影面垂直线
铅垂线
a
b
●
正垂线
c(d)
●
侧垂线
e f e(f)
●
a b
d c
d c e f
a(b)
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性，积聚 为一个点。 ② 另外两个投影，反映线段实长；且垂直于相应的 投影轴。
例5：试过已知点A，作一长度为15mm的侧 垂线。
8
5 a
2.4
直线的投影
一、直线的投影特性 1.直线的投影
a ●
●
a
●
一般情况下，直线的投影仍为 直线。 两点确定一条直线，将两 点的同面投影用直线连接， 就得到直线的投影。
a●
●
第二章 投影的基础知识
两点间的前后相对位置可由Y坐标确定，Y坐标大者在前。 两点间的上下相对位置可由Z坐标确定，Z坐标大者在上。 由两点间的坐标差，可以确定两点间的偏移距离，如以 A点为基准，则B点在A点的右方6 mm ，前方5 mm ，上方11 mm， 如图2-16(b)所示。
第二章 投影的基本知识
图2-16 两点间的相对位置
第二章 投影的基本知识
图2-5 类似性
第二章 投影的基本知识
2.2 物体的三面视图
图2-6 一个视图不能反映物体的形状
第二章 投影的基本知识 2.2.1 三视图的形成 1． 三投影面体系
互相垂直相交的三个投影面，称为三投影面体系，如图27所示。 它们分别是：
正立投影面：直立在观察者正对面的投影面，简称正面， 用字母V表示； 水平投影面：水平位置的投影面，简称水平面，用字母 H 表示； 侧立投影面：直立在右侧面的投影面，简称侧面，用字母 W表示。
上不画投影面的边框线和投影轴，如图2-8(d)所示。
第二章 投影的基本知识
2.2.2 三视图之间的对应关系
将投影面展开到一个平面上后，各视图必须有规则的配置， 并相互之间形成一定的对应关系，如图2-9 所示。
第二章 投影的基本知识 1．位置关系 以主视图为准，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视 图的正右方。 画三视图时必须按以上的投影关系配置。
图2-10 保持宽相等的三种画法
第二章 投影的基本知识
例2-1
以图2-11 所示物体为例，说明画三视图的方法和
步骤， 如图2-12所示。
图2-11 轴测图
第二章 投影的基本知识
图2-12 三视图的画图步骤 (a) 选主视图， 画基准线; (b) 先从主视图画起; (c) 根据尺寸关系， 逐一画全三个视图; (d) 加深、 擦去作图线， 完成三视图
第二章 投影的基本知识
图2-16 两点间的相对位置
第二章 投影的基本知识
图2-5 类似性
第二章 投影的基本知识
2.2 物体的三面视图
图2-6 一个视图不能反映物体的形状
第二章 投影的基本知识 2.2.1 三视图的形成 1． 三投影面体系
互相垂直相交的三个投影面，称为三投影面体系，如图27所示。 它们分别是：
正立投影面：直立在观察者正对面的投影面，简称正面， 用字母V表示； 水平投影面：水平位置的投影面，简称水平面，用字母 H 表示； 侧立投影面：直立在右侧面的投影面，简称侧面，用字母 W表示。
上不画投影面的边框线和投影轴，如图2-8(d)所示。
第二章 投影的基本知识
2.2.2 三视图之间的对应关系
将投影面展开到一个平面上后，各视图必须有规则的配置， 并相互之间形成一定的对应关系，如图2-9 所示。
第二章 投影的基本知识 1．位置关系 以主视图为准，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视 图的正右方。 画三视图时必须按以上的投影关系配置。
图2-10 保持宽相等的三种画法
第二章 投影的基本知识
例2-1
以图2-11 所示物体为例，说明画三视图的方法和
步骤， 如图2-12所示。
图2-11 轴测图
第二章 投影的基本知识
图2-12 三视图的画图步骤 (a) 选主视图， 画基准线; (b) 先从主视图画起; (c) 根据尺寸关系， 逐一画全三个视图; (d) 加深、 擦去作图线， 完成三视图
第二章投影法的基本知识
X
c a
O
b
例 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。
V
b
b
c
B
c
X
a
C
A
O
X
a
b
a
c
c
b
H
a
cb ac
O
五、两直线的相对位置
1.平行两直线
d b
c
D
a
B
a
X A
X CO
b
b
a
c
d b c
O d b c
a
（1）两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。 反之，若两直 线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。
就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。
2.3点的直角坐标表示法
侧面投影反映Y、 Z值。
水平投影反映X、Y值。 正面投影反映X、Z值。
特殊点的投影 投影面上的点
例1 已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
a
Z
a
X
O
YW
a
YH
3.两点相对位置 上
下
后前
左
右
3.1两点的相对位置（续）
V
P B
铅垂面
c a
W
b
c a
b
A
a b
H
C PH c
a c
b 投影特性：1、 水平投影abc积聚为一条直线
2 、正面投影 abc、 侧面投影abc为ABC的类似形
3 、 abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小
V
b
QV
a
A
c
C
正垂面
W a
c a
O
b
例 已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。
V
b
b
c
B
c
X
a
C
A
O
X
a
b
a
c
c
b
H
a
cb ac
O
五、两直线的相对位置
1.平行两直线
d b
c
D
a
B
a
X A
X CO
b
b
a
c
d b c
O d b c
a
（1）两平行直线在同一投影面上的投影仍平行。 反之，若两直 线在同一投影面上的投影相互平行，则该两直线平行。
就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。
2.3点的直角坐标表示法
侧面投影反映Y、 Z值。
水平投影反映X、Y值。 正面投影反映X、Z值。
特殊点的投影 投影面上的点
例1 已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
a
Z
a
X
O
YW
a
YH
3.两点相对位置 上
下
后前
左
右
3.1两点的相对位置（续）
V
P B
铅垂面
c a
W
b
c a
b
A
a b
H
C PH c
a c
b 投影特性：1、 水平投影abc积聚为一条直线
2 、正面投影 abc、 侧面投影abc为ABC的类似形
3 、 abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小
V
b
QV
a
A
c
C
正垂面
W a
第二章投影法基本知识
真实性
积聚性：当一线段与投影面垂直时，其正投影积聚为一
点；当一平面图形与投影面垂直时，其正投影积聚为 一直线。
积聚性
类似性：当一线段与投影面倾斜时，其正投影为缩短
的线段； 当一平面图形与投影面倾斜时，其正投影 为缩小的类似图形。
类似性
§2-2 三视图的形成及其对应关系
根据国标规定，用正投影法绘制出物体的图形称为视图。 下图表示的是三个不同形体，在一个投影面上的视图却是完 全相同的。
1、主视图—从前向后投射，在V 面上所得的视图。
2、俯视图—从上向下投射，在H 面上所得的视图。
3、左视图—从左向右投射，在W 面上所得的视图。
三视图的形成
三投影面的展开
V面保持不动，H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕 OZ轴向右旋转90°，这样V、H和W三个投影面就摊 平在了同一平面上。
水 平 投 影 面 和侧立投影 面旋转后，OY轴被分成两 条，分别用OYh和OYw 表 示 。
注意：
要细心，不要把点对错了。
§2-4 直线的投影
二、各种位置直线的投影
根据直线在三投影面体系中对投影面的相对位置不同，将
直线分为：
投影面平行线 投影面垂直线
特殊位置直线
投影面倾斜线
一般位置直线
1、一般位置直线 定义：与三个投影面均成倾斜的直线
直线与 H、V、W 投影面的倾角分别用 α、β、γ表示，见图 中的标注。
即 ac:cb=a'c':c'b'=a''c'':c''b''=k
例: 判断图中点是否在直线上。
作图分析： ⑴由于AB直线为一般位置。而给出 的C点的两投影分别在AB线的同面投 影上，故可认定C点从属于AB直线。
积聚性：当一线段与投影面垂直时，其正投影积聚为一
点；当一平面图形与投影面垂直时，其正投影积聚为 一直线。
积聚性
类似性：当一线段与投影面倾斜时，其正投影为缩短
的线段； 当一平面图形与投影面倾斜时，其正投影 为缩小的类似图形。
类似性
§2-2 三视图的形成及其对应关系
根据国标规定，用正投影法绘制出物体的图形称为视图。 下图表示的是三个不同形体，在一个投影面上的视图却是完 全相同的。
1、主视图—从前向后投射，在V 面上所得的视图。
2、俯视图—从上向下投射，在H 面上所得的视图。
3、左视图—从左向右投射，在W 面上所得的视图。
三视图的形成
三投影面的展开
V面保持不动，H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕 OZ轴向右旋转90°，这样V、H和W三个投影面就摊 平在了同一平面上。
水 平 投 影 面 和侧立投影 面旋转后，OY轴被分成两 条，分别用OYh和OYw 表 示 。
注意：
要细心，不要把点对错了。
§2-4 直线的投影
二、各种位置直线的投影
根据直线在三投影面体系中对投影面的相对位置不同，将
直线分为：
投影面平行线 投影面垂直线
特殊位置直线
投影面倾斜线
一般位置直线
1、一般位置直线 定义：与三个投影面均成倾斜的直线
直线与 H、V、W 投影面的倾角分别用 α、β、γ表示，见图 中的标注。
即 ac:cb=a'c':c'b'=a''c'':c''b''=k
例: 判断图中点是否在直线上。
作图分析： ⑴由于AB直线为一般位置。而给出 的C点的两投影分别在AB线的同面投 影上，故可认定C点从属于AB直线。
水利工程制图(高职)-第2章 投影的基本知识
投影概念
投射线通过物体向选定的平面 投射，来自在该平面获得图形的 方法。在投影法中
光线——投影线 地面——投影面 影子——投影
投影法的分类
中心投影法－投影线从一点发出
投影法的分类
平行投影法－投影线相互平行，分以下2种
– 斜投影－投影线倾斜于投影面 – 正投影－投影线垂直于投影面
投影法小结
投影法
正视图－从前向后看得到的图形 俯视图－从上向下看得到的图形 左视图－从左向右看得到的图形
Tips：先轮廓后平行面、垂直面，最后倾斜面； 先整体后切割。
平面体三视图练习
四棱柱
简单体三视图
简单体三视图
第二章 投影的基本知识
第2章 投影的基本知识
2.1 投影概 念
2.2正投影法 的三个基本
特性
2.3 三视图 的形成
2.4 三视图 的画法
投影法概念
三视图的形 成
三视图的投 影规律
三视图与物 体位置的对
应关系
投影现象
物体在灯光或阳光下会产生影子，这种现象 就是投影。
人们在实践中对影子和物体之间的关系进行 分析并加以科学的抽象，逐步形成了投影的 方法。
三视图形成
将物体置于三投影面中，分别向各投影面 投影得到三视图。
正视图－从前向后投影 俯视图－从上向下投影 左视图－从左向右投影
投影面展开
投影面展开
三视图的投影规律
正视图与俯视图——长对正 正视图与左视图——高平齐 俯视图与左视图——宽相等
三视图画法
实际作三视图时，正对投影面看物体，画出看到的物 体轮廓
多面视图
单面视图不能唯一确定物体的形状。
工程上采用多 面视图来表达 物体，常用三 面视图，简称 三视图。
《机械制图》第二章 正投影法基础
应用定比定理
例题3 V b
已知点C 在线段AB上，求点C 的正面投影。 b c X O a b c b a cb ac
c
a X B C
A
a
c
H
二、两直线的相对位置
平行 相交
平行
相交 垂直相交
交叉
空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉。 投影特性： ⒈ 两直线平行
b
a A a b B c C c d H D d V
b
投影特性：
三个投影都缩短。 即: 都不反映空间线段 的实长及与三个投影面 夹角的实际大小，且与 三根投影轴都倾斜。
2.4 直线与点及两直线的相对位置
一、直线与点的相对位置
点在直线上的判别方法：
◆ 若点在直线上, 则 点的投影必在直线的同 名投影上。并将线段的 同名投影分割成与空间 相同的比例。即： ◆若点的投影有一个不 在直线的同名投影上， 则 该点必不在此直线上。
空间两直线平 行，则其各同名投 影必相互平行，反 之亦然。
例1：判断图中两条直线是否平行。
①
a
b d c c b d
a
对于一般位置直 线，只要有两个同名 投影互相平行，空间 两直线就平行。
AB//CD
例2：判断图中两条直线是否平行。
②
c c
a
d
a b d
b c
b d a 如何判断？
各种位置点的投影 空间点 点的X、Y、Z三个坐标均不为零，其 三个投影都不在投影轴上。 投影面上的点 点的某一个坐标为零，其一个 投影与投影面重合，另外两个投影分别在投影 轴上。 投影轴上的点 点的两个坐标为零，其两个投 影与所在投影轴重合，另一个投影在原点上。 与原点重合的点 点的三个坐标为零，三个投 影都与原点重合。
2 第二章 地图投影
当 l , k 0 为正形圆锥投影的 极限情形。不能再 采用普遍的正形投 影中的关系式来对 之进行讨论，
而是从地图放大系 数的定义入手，来 求有关的表达式。
NIM NUIST
等经纬度网格，没反映麦卡托投影的 放大系数
NIM NUIST
高纬放大系数大
地球表面纬度为处，纬圈的长度为： Ls 2Rs 2a cos
（2.22）
可见，其放大系数是关于赤道成纬向轴对称的。
NIM NUIST
三种地图投影方式总结：
（1）极射赤面投影，在极地和高纬度地区产 生的变形较小，这种投影方式通常用于制作极地 天气图和北半球天气底图。
（2）兰勃托投影，在中纬度地区产生的变 形较小，这种投影方式通常用于制作中纬度地区 的天气图，如亚欧天气底图。
1
cos sin
k
（2.16）
NIM NUIST
可解出
sin
le2/ k le2/ k
l2/k l2/k
（2.17）
根据
m L kl kl
Ls a cos a sin
m
kl
从而有：
a
1
le2 / k le2 / k
l 2/k l 2/k
2
（2.18）
f
2
le2 le2
/ /
k k
l2/k l2/k
（2.19）
NIM NUIST
五、麦卡托投影（Mercator投影）
麦卡托投影，光源位于球心， 映像面是与地球表面相割于南北 纬22.5的圆柱面，标准纬度：
1 22.5 N , 2 22.5 S
NIM NUIST
P70-图2.8
投影后，经线 为等距平行的直线 ，纬线为与经线垂 直的直线。
而是从地图放大系 数的定义入手，来 求有关的表达式。
NIM NUIST
等经纬度网格，没反映麦卡托投影的 放大系数
NIM NUIST
高纬放大系数大
地球表面纬度为处，纬圈的长度为： Ls 2Rs 2a cos
（2.22）
可见，其放大系数是关于赤道成纬向轴对称的。
NIM NUIST
三种地图投影方式总结：
（1）极射赤面投影，在极地和高纬度地区产 生的变形较小，这种投影方式通常用于制作极地 天气图和北半球天气底图。
（2）兰勃托投影，在中纬度地区产生的变 形较小，这种投影方式通常用于制作中纬度地区 的天气图，如亚欧天气底图。
1
cos sin
k
（2.16）
NIM NUIST
可解出
sin
le2/ k le2/ k
l2/k l2/k
（2.17）
根据
m L kl kl
Ls a cos a sin
m
kl
从而有：
a
1
le2 / k le2 / k
l 2/k l 2/k
2
（2.18）
f
2
le2 le2
/ /
k k
l2/k l2/k
（2.19）
NIM NUIST
五、麦卡托投影（Mercator投影）
麦卡托投影，光源位于球心， 映像面是与地球表面相割于南北 纬22.5的圆柱面，标准纬度：
1 22.5 N , 2 22.5 S
NIM NUIST
P70-图2.8
投影后，经线 为等距平行的直线 ，纬线为与经线垂 直的直线。
建筑构造与识图(第二章投影的基本知识)
三、平面的正投影规律
一.点的正投影及其规律
1、点的三面投影 2、点的投影与直角坐标的关系 3、两点的相对位置 4、识读点的投影图
1.点的三面投影
为了统一制图标准，规定空间点用大写字母表示，如A、 B、C等；水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等；正 面投影用相应的小写字母加撇表示，如a′、b′、c′；侧面 投影用相应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、c″。点的 投影用直径小于1mm 的小圆圈画出，点号写在投影的旁边。
2、工程制图投影的相关假设
（1）假定光线可以穿透物体（物体的面是透明的， 而物体的轮廓线是不透的）； （2）规定在影子当中，光线直接照射到的轮廓线 画成实线，光线不能直接照射到的轮廓线画成虚 线； 则经过上述抽象由不同照射方向的光线照射得到 的“影子”即为工程图投影。如图1-2-1：
图1-2-1
5 . 三面投影图的画法
• 作形体投影图时， 先总体分析形体，选好主 视图的方向，使其主要平面与投影面平行；确 定比例、图幅大小；确定三视图的位置，先画 投影轴（互相垂直的两条线），水平投影面在 下方，正立投影面在水平投影面的正上方，侧 立投影面在正立投影面的正右方，然后画出定 位线、辅助线如图2.18所示。
思考
为什么采用正投 影法绘制工程图 样？
工程图样采用正投 影法绘制，使所绘 制图形既反应物体 的真实形状和大小， 又简单易画。
正投影法是本书讨论的重点，后 面将正投影法简称为投影。
第二节 正投影的基本特征 （一）显示性
当直线和平面垂直于投影面时，它们的投影分 别反映实形。
（二）类似性
当直线和平面垂直于投影面时，直线的投影比 实长短，平面的投影面积比实际面积小，但形状 仍与实形类似。
2 .点的投影与直角坐标的关系
一.点的正投影及其规律
1、点的三面投影 2、点的投影与直角坐标的关系 3、两点的相对位置 4、识读点的投影图
1.点的三面投影
为了统一制图标准，规定空间点用大写字母表示，如A、 B、C等；水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等；正 面投影用相应的小写字母加撇表示，如a′、b′、c′；侧面 投影用相应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、c″。点的 投影用直径小于1mm 的小圆圈画出，点号写在投影的旁边。
2、工程制图投影的相关假设
（1）假定光线可以穿透物体（物体的面是透明的， 而物体的轮廓线是不透的）； （2）规定在影子当中，光线直接照射到的轮廓线 画成实线，光线不能直接照射到的轮廓线画成虚 线； 则经过上述抽象由不同照射方向的光线照射得到 的“影子”即为工程图投影。如图1-2-1：
图1-2-1
5 . 三面投影图的画法
• 作形体投影图时， 先总体分析形体，选好主 视图的方向，使其主要平面与投影面平行；确 定比例、图幅大小；确定三视图的位置，先画 投影轴（互相垂直的两条线），水平投影面在 下方，正立投影面在水平投影面的正上方，侧 立投影面在正立投影面的正右方，然后画出定 位线、辅助线如图2.18所示。
思考
为什么采用正投 影法绘制工程图 样？
工程图样采用正投 影法绘制，使所绘 制图形既反应物体 的真实形状和大小， 又简单易画。
正投影法是本书讨论的重点，后 面将正投影法简称为投影。
第二节 正投影的基本特征 （一）显示性
当直线和平面垂直于投影面时，它们的投影分 别反映实形。
（二）类似性
当直线和平面垂直于投影面时，直线的投影比 实长短，平面的投影面积比实际面积小，但形状 仍与实形类似。
2 .点的投影与直角坐标的关系
第二章正投影法
项目二 投影基础
3、物体与视图的方位关系
主视图反映物体的上、下 和左、右
俯视图反映物体的左、右 和前、后
左视图反映物体的上、下 和前、后
项目二 投影基础
三、画三视图及识读三视图的方法
1.总体分析物体，选好主视图的方 向，使其主要平面与投影面平行。 2.确定比例、图幅大小。 3.确定三视图的位置，画出定位线、 辅助线。 4.先画出主视图，再依据三等规律 依次画出俯、左视图。
项目二 投影基础
3、两点的相对位置
两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置 关系
判断方法
x 坐标大的在左侧 y 坐标大的在前方 z 坐标大的在上方 点A在点B的左、后、下方
项目二 投影基础
重影点的可见性判别
空间两点在某一投影面上的投影重 合为一点时，则称此两点为该投影面的 重影点
判别方法
投影特点
投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离 对投影的大小有影响 度量性较差
项目二 投影基础
2．平行投影法 平行投影法 投射线相互平行的投影法 正投影法 投射线与投影面相垂直的平行投影法 斜投影法 投射线与投影面相倾斜的平行投影法
正投影法
正投影法特点
投影大小与物体和投影面之间的距离无关 度量性较好
点的两面投影连线，必定垂直于相应的投影轴
② aax= aaz = A到V面的距离
aax= aay= A到H面的距离 aaz= aay = A到W面的距离
影轴距=点面距
点的投影到投影轴的 距离，等于空间点到相 应的投影面的距离
项目二 投影基础
【例2-1】 已知点A的两个投影，求作第三投影
a● ax
a●
点A、点C为哪个投影面 的重影点呢？
3、物体与视图的方位关系
主视图反映物体的上、下 和左、右
俯视图反映物体的左、右 和前、后
左视图反映物体的上、下 和前、后
项目二 投影基础
三、画三视图及识读三视图的方法
1.总体分析物体，选好主视图的方 向，使其主要平面与投影面平行。 2.确定比例、图幅大小。 3.确定三视图的位置，画出定位线、 辅助线。 4.先画出主视图，再依据三等规律 依次画出俯、左视图。
项目二 投影基础
3、两点的相对位置
两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置 关系
判断方法
x 坐标大的在左侧 y 坐标大的在前方 z 坐标大的在上方 点A在点B的左、后、下方
项目二 投影基础
重影点的可见性判别
空间两点在某一投影面上的投影重 合为一点时，则称此两点为该投影面的 重影点
判别方法
投影特点
投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离 对投影的大小有影响 度量性较差
项目二 投影基础
2．平行投影法 平行投影法 投射线相互平行的投影法 正投影法 投射线与投影面相垂直的平行投影法 斜投影法 投射线与投影面相倾斜的平行投影法
正投影法
正投影法特点
投影大小与物体和投影面之间的距离无关 度量性较好
点的两面投影连线，必定垂直于相应的投影轴
② aax= aaz = A到V面的距离
aax= aay= A到H面的距离 aaz= aay = A到W面的距离
影轴距=点面距
点的投影到投影轴的 距离，等于空间点到相 应的投影面的距离
项目二 投影基础
【例2-1】 已知点A的两个投影，求作第三投影
a● ax
a●
点A、点C为哪个投影面 的重影点呢？
习题集答案-第二章投影基础
投影的分类
正投影
根据投射线与投影面的关系，正投影可以分为平行投影和中心投 影。平行投影的投射线与投影面平行，而中心投影的投射线则经 过一个固定点（即中心点）。
斜投影
斜投影可以分为一般斜投影和透视斜投影。一般斜投影的投射线 与投影面之间存在一定的角度，而透视斜投影则是模拟人眼观察 物体的方式，投射线与投影面不平行也不垂直。
03
04
保持投影面的平整
确保投影面平整，避免因表面 起伏造成投影失真。
注意阴影和透明度
在绘制具有透明属性的物体时 ，应注意阴影和透明度的处理 ，以保持图形的真实感。
保持线条清晰
在绘制过程中，应保持线条清 晰、整洁，避免交叉和重叠。
符合实际比例
确保绘制的投影图符合实际比 例，以便准确地表示物体的形 状和大小。
绘制投影图的技巧
使用辅助线
在绘制复杂的图形时，可以合理地添加辅助线， 以帮助确定轮廓和结构的形状。
掌握视图转换
熟悉各种视图之间的转换关系，如主视图、俯视 图和左视图之间的转换，有助于更全面地表现物 体的形状。
利用软件工具
利用CAD等绘图软件中的工具，如捕捉、镜像、 阵列等，可以快速、准确地绘制图形。
填空题
简述了两种常见的投影方法，没有提供具体解析。
简答题
略，未给出具体答案和解析。
习题二答案与解析
选择题：B
填空题：1. 正投影法；2. 斜投影法
习题二答案与解析
简答题：略
选择题：B选项正确，正投影法是平行投影法的一种特殊形式，它 把形体投影到一个垂直于地面的假想平面内。
习题二答案与解析
填空题
02
斜投影
斜投影是一种将三维物体投影到二维平面上的方法，但投影线与投影面
第2章 正投影的基本知识
第2章 正投影的基本知识
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 投影法和三视图的形成 点的投影 直线的投影 平面的投影 几何元素间的相对位置
2.1 投影法和三视图的形成
2.1.1 投影法的基本知识
1.投影法 用光线照射物体，便会在墙面产生物体的影子。人们从这一现象得 到启示，经过科学抽象，概括出用物体在平面上的投影表示其物体形状 的投影方法，如图2-1所示。这种现象叫做投影。常用的投影法分为中 心投影法和平行投影法两大类。 中心投影法(如图2-2所示)绘制的投影图具有较强直观性，立体感 好，但不能反映物体表面的真实形状和大小，故工程上只用于土建工程 及大型设备的辅助图样。
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2.1 投影法和三视图的形成
2.三视图之间的对应关系 (1) 度量对应关系。物体有长、宽、高三个方向的尺寸，取X轴方向为 长度尺寸，Y轴方向为宽度尺寸，Z轴方向为高度尺寸。 实际绘图时，一般采用无轴系统，如图2-6 (c)所示。需要时，也 可采用有轴系统。无论采用哪一种系统，绘图时必须保证三视图间的投 影规律。三等规律—主、附视图长对正，主、左视图高平齐，附、左视 图宽相等。 (2)方位对应关系。物体有上、下、左、右、前、后六个方位。 主视图反映物体的上、下和左、右方位; 俯视图反映物体的前、后和左、右方位; 左视图反映物体的上、下和前、后方位。
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2.3 直线的投影
2.3.1 各种位置直线及其投影特征
1.直线的投影 直线的投影仍为直线，特殊情况积聚为一点。如图2-16所示，直 线AB在水平面H上的投影为直线ab;直线CD平行于投影线，投影cd积 聚为一点。 2.直线投影的确定 直线的投影可由直线上任意两点的投影来确定。如已知直线AB上A 和B两点的三面投影，如图2-17 (a)，则用直线连接A, B在同一投影 面上的投影，即得到直线AB的三面投影，如图2-17(b)。
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 投影法和三视图的形成 点的投影 直线的投影 平面的投影 几何元素间的相对位置
2.1 投影法和三视图的形成
2.1.1 投影法的基本知识
1.投影法 用光线照射物体，便会在墙面产生物体的影子。人们从这一现象得 到启示，经过科学抽象，概括出用物体在平面上的投影表示其物体形状 的投影方法，如图2-1所示。这种现象叫做投影。常用的投影法分为中 心投影法和平行投影法两大类。 中心投影法(如图2-2所示)绘制的投影图具有较强直观性，立体感 好，但不能反映物体表面的真实形状和大小，故工程上只用于土建工程 及大型设备的辅助图样。
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2.1 投影法和三视图的形成
2.三视图之间的对应关系 (1) 度量对应关系。物体有长、宽、高三个方向的尺寸，取X轴方向为 长度尺寸，Y轴方向为宽度尺寸，Z轴方向为高度尺寸。 实际绘图时，一般采用无轴系统，如图2-6 (c)所示。需要时，也 可采用有轴系统。无论采用哪一种系统，绘图时必须保证三视图间的投 影规律。三等规律—主、附视图长对正，主、左视图高平齐，附、左视 图宽相等。 (2)方位对应关系。物体有上、下、左、右、前、后六个方位。 主视图反映物体的上、下和左、右方位; 俯视图反映物体的前、后和左、右方位; 左视图反映物体的上、下和前、后方位。
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2.3 直线的投影
2.3.1 各种位置直线及其投影特征
1.直线的投影 直线的投影仍为直线，特殊情况积聚为一点。如图2-16所示，直 线AB在水平面H上的投影为直线ab;直线CD平行于投影线，投影cd积 聚为一点。 2.直线投影的确定 直线的投影可由直线上任意两点的投影来确定。如已知直线AB上A 和B两点的三面投影，如图2-17 (a)，则用直线连接A, B在同一投影 面上的投影，即得到直线AB的三面投影，如图2-17(b)。
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e s
1 d
f b
s〞
1
三棱锥表面上取点
棱面上取点
平面立体可看作是由若 干个平面图形所围成的，所以 在平面立体表面上取点或取线 时，应把属于平面立体的棱面 作为单独的平面来考虑。
S
c′ a〞(c〞)
b〞
c
△ABC为一般位置平面, E
它的每个投影都没有积聚。
在该面上取点必须作辅助 A
线。作辅助线常用的方法
第二章 投影的基本知识
§2﹣1 投影概念及投影法分类 §2﹣2 点、直线、平面正投影的基本性质 §2﹣3 三面投影图
§2﹣1 投影方法概述
光源
光线
形体
投影中心
物体
投射线
承影面
投影面
影
形体的影，为形体沿投影线方向 的外轮廓线的影所围成的图形。
投影
形体各轮廓线的影所组成的图
形，叫做该形体的投影图。
一、投影的形成
c′
Aa
(d′)
b B
c″
棱柱表面上取点
(d〞)
a
b
点线属点性点面积求判性某见面点面积求投性的B上于的求C内聚c别的A内聚a′影与可在在在,直投b,性点原,性可可中点见可和铅水铅线影投的则投利利所性,利点b垂平垂的特影可是在相〞影用用的用见﹕表同可
立体表面取点的
步骤﹕
AA先由已知点的投影位
d 置及可见性,分析判断该
y
y
二、棱锥的投影特性
当棱锥
的底面平行 于投影面时， 它在该投影 面上的投影 为多边形， 另外两个投 影轮廓线为 三角形。
三棱锥的投影图
s
s
尤其注意
b
a
c （c）
b
b
c
y
S点的侧面 投影位置,结 果是正三棱 锥的侧面投 影并不是等 a 腰三角形。
y
s
a
三、 平面立体表面上取点
平面立体表面取点的原理就是平面内取点。平 面立体可看作是由若干个平面图形所围成的，所 以在平面立体表面上取点或取线时，应把属于平 面立体的棱面作为单独的平面来考虑。在平面立 体的表面上取点、取直线的方法与在平面上取点、 取线的方法基本相同，即一般为辅助线法。但要 注意可见性的判别，处于不可见棱面上的点是不 可见的点，用括号括起来表示。
点所属的表面;若该面有
Cc
积聚投影,利用它可直接 补出点的另一投影;若该
a
面无积聚投影,则过点在
该面内作一条辅助线,再
b
于此线上定点,并判别可 见性。
s′
e kK
a′
b′
a
k s
Ee
b
s〞 三棱锥表面上取点
e
k
棱线上取点(较 特殊的点）
c′ a〞(c〞) c
S b〞
A
C
B
s′
e 1Ⅰ f
a′ d′ b′ a
立体是即要占据空间又有相互位置的几何要素,与线面有一 定区别。根据表面性质的不同分为平面立体和曲面立体。
平面立体——表面由平面构成，平面与平面的交线为立体 的棱线，侧平面称为棱面，上下平面分别叫顶面或底面。通 常平面立体又分为棱柱体、棱锥体、棱台体等。
面立体的投影特征：由各个棱面、棱线构成投影图，通常 都为一些封闭的多边形组合而成，可见的棱线画成粗实线， 不可见的棱线画成细虚线。
4、透视投影图 在建筑表现图中常用，通常有一点透视、两点透视、三 点透视。
FX h
FY h
三、 点、直线、平面正投影的基本性质
规定：空间点 用大写字母表 示：A、B、
C……
投影点用小写 字母来表示： a、 b、 c……
C
FA
D
cE f
d
a
e
H
A
B
a b
1、显实性
显实性
显实性：
E e
A
F D
FC
有两种﹕1)过已知点作该 面底边的平行线；2)作已 知点与顶点的连线;再于辅
D B
助线上定点。
s′
s〞
2´
( 2″)
(3)
4
a′
b′
3 4
c′ a〞(c〞)
S b〞
a
c
3 s
2
(4) Ⅱ
A
C
B b
a f
d
B C
b c
2．积聚性
积聚性
积聚性：
A
C
B
D
C
D
a (d )
b (c)
c(d)
3．类似性
类似性
类似性：
C
FA
D
cE f
d
a
e
H
A
B
a b
重合性：
A B
A
C
D
C
B
D
a(bcd)
a(c)
b(d)
点、直线、平面的正投影除了具有上述特性外，还 具有从属性、定比性、平行性等等。
4．从属性
从属性
S 投影中心
投射线
A 空间点
投影形成的三 个要素：
• 投影中心 （光源）S
• 空间物体 A
• 投影面（承 影面）P
b B
a 投影
投影面P
投影的分类
投射线相互平行 投射线相交
1、中心投影法
S
A B
a
b
C c
2、平行投影法
（1）正投影法 • 多面正投影 • 单面正投影 （2）斜投影法
（1）正投影
一、棱柱的投影特性
当正棱柱 的侧棱垂 直于投影 面时，它 在该投影 面上的投 影积聚为 多边形， 另外两个 投影轮廓 线为矩形。
注意:我们这
里去掉了轴
线和45°辅
助线,这是由
于通过体上
的棱线的相
对位置来决
y
定三个棱线ຫໍສະໝຸດ 投影的位置,但是要特别
注意在另一
个图上去找
y
相对的坐标
值.
六棱柱的投影图
虚线和实线重 合的时候，只 画可见的实线。
5．平行性
6．定比性 （1）从属定比 （2）平行定比
定比性
点的单面投影的不可逆性
A Ａ Ａ
a
§2﹣2 三面投影图
V
X
O
H
V H
V H
V X
Z
W O
H Y
V
W
H
长对正 高平齐 宽相等
高
方位对应
长
宽
宽
要点
•投影的形成 •投影的分类 •正投影法的投影特征
§2-3 平面立体投影图的画法
90°
（2）斜投影法 ≠90°
三、工程中常用的投影图
1、多面正投影图 2、轴测投影图 3、标高投影图 4、透视投影图
为什么要用多面正投影? 根据一个投影不能确定空间形体的形状和位置
两个不同形状物体的H面投影相同
1、多面正投影图
2、轴测投影图
P
Z1
O1 X1
Y1
Z S
O
X
Y
3、标高投影图 通常用在表达地形的图中。
1 d
f b
s〞
1
三棱锥表面上取点
棱面上取点
平面立体可看作是由若 干个平面图形所围成的，所以 在平面立体表面上取点或取线 时，应把属于平面立体的棱面 作为单独的平面来考虑。
S
c′ a〞(c〞)
b〞
c
△ABC为一般位置平面, E
它的每个投影都没有积聚。
在该面上取点必须作辅助 A
线。作辅助线常用的方法
第二章 投影的基本知识
§2﹣1 投影概念及投影法分类 §2﹣2 点、直线、平面正投影的基本性质 §2﹣3 三面投影图
§2﹣1 投影方法概述
光源
光线
形体
投影中心
物体
投射线
承影面
投影面
影
形体的影，为形体沿投影线方向 的外轮廓线的影所围成的图形。
投影
形体各轮廓线的影所组成的图
形，叫做该形体的投影图。
一、投影的形成
c′
Aa
(d′)
b B
c″
棱柱表面上取点
(d〞)
a
b
点线属点性点面积求判性某见面点面积求投性的B上于的求C内聚c别的A内聚a′影与可在在在,直投b,性点原,性可可中点见可和铅水铅线影投的则投利利所性,利点b垂平垂的特影可是在相〞影用用的用见﹕表同可
立体表面取点的
步骤﹕
AA先由已知点的投影位
d 置及可见性,分析判断该
y
y
二、棱锥的投影特性
当棱锥
的底面平行 于投影面时， 它在该投影 面上的投影 为多边形， 另外两个投 影轮廓线为 三角形。
三棱锥的投影图
s
s
尤其注意
b
a
c （c）
b
b
c
y
S点的侧面 投影位置,结 果是正三棱 锥的侧面投 影并不是等 a 腰三角形。
y
s
a
三、 平面立体表面上取点
平面立体表面取点的原理就是平面内取点。平 面立体可看作是由若干个平面图形所围成的，所 以在平面立体表面上取点或取线时，应把属于平 面立体的棱面作为单独的平面来考虑。在平面立 体的表面上取点、取直线的方法与在平面上取点、 取线的方法基本相同，即一般为辅助线法。但要 注意可见性的判别，处于不可见棱面上的点是不 可见的点，用括号括起来表示。
点所属的表面;若该面有
Cc
积聚投影,利用它可直接 补出点的另一投影;若该
a
面无积聚投影,则过点在
该面内作一条辅助线,再
b
于此线上定点,并判别可 见性。
s′
e kK
a′
b′
a
k s
Ee
b
s〞 三棱锥表面上取点
e
k
棱线上取点(较 特殊的点）
c′ a〞(c〞) c
S b〞
A
C
B
s′
e 1Ⅰ f
a′ d′ b′ a
立体是即要占据空间又有相互位置的几何要素,与线面有一 定区别。根据表面性质的不同分为平面立体和曲面立体。
平面立体——表面由平面构成，平面与平面的交线为立体 的棱线，侧平面称为棱面，上下平面分别叫顶面或底面。通 常平面立体又分为棱柱体、棱锥体、棱台体等。
面立体的投影特征：由各个棱面、棱线构成投影图，通常 都为一些封闭的多边形组合而成，可见的棱线画成粗实线， 不可见的棱线画成细虚线。
4、透视投影图 在建筑表现图中常用，通常有一点透视、两点透视、三 点透视。
FX h
FY h
三、 点、直线、平面正投影的基本性质
规定：空间点 用大写字母表 示：A、B、
C……
投影点用小写 字母来表示： a、 b、 c……
C
FA
D
cE f
d
a
e
H
A
B
a b
1、显实性
显实性
显实性：
E e
A
F D
FC
有两种﹕1)过已知点作该 面底边的平行线；2)作已 知点与顶点的连线;再于辅
D B
助线上定点。
s′
s〞
2´
( 2″)
(3)
4
a′
b′
3 4
c′ a〞(c〞)
S b〞
a
c
3 s
2
(4) Ⅱ
A
C
B b
a f
d
B C
b c
2．积聚性
积聚性
积聚性：
A
C
B
D
C
D
a (d )
b (c)
c(d)
3．类似性
类似性
类似性：
C
FA
D
cE f
d
a
e
H
A
B
a b
重合性：
A B
A
C
D
C
B
D
a(bcd)
a(c)
b(d)
点、直线、平面的正投影除了具有上述特性外，还 具有从属性、定比性、平行性等等。
4．从属性
从属性
S 投影中心
投射线
A 空间点
投影形成的三 个要素：
• 投影中心 （光源）S
• 空间物体 A
• 投影面（承 影面）P
b B
a 投影
投影面P
投影的分类
投射线相互平行 投射线相交
1、中心投影法
S
A B
a
b
C c
2、平行投影法
（1）正投影法 • 多面正投影 • 单面正投影 （2）斜投影法
（1）正投影
一、棱柱的投影特性
当正棱柱 的侧棱垂 直于投影 面时，它 在该投影 面上的投 影积聚为 多边形， 另外两个 投影轮廓 线为矩形。
注意:我们这
里去掉了轴
线和45°辅
助线,这是由
于通过体上
的棱线的相
对位置来决
y
定三个棱线ຫໍສະໝຸດ 投影的位置,但是要特别
注意在另一
个图上去找
y
相对的坐标
值.
六棱柱的投影图
虚线和实线重 合的时候，只 画可见的实线。
5．平行性
6．定比性 （1）从属定比 （2）平行定比
定比性
点的单面投影的不可逆性
A Ａ Ａ
a
§2﹣2 三面投影图
V
X
O
H
V H
V H
V X
Z
W O
H Y
V
W
H
长对正 高平齐 宽相等
高
方位对应
长
宽
宽
要点
•投影的形成 •投影的分类 •正投影法的投影特征
§2-3 平面立体投影图的画法
90°
（2）斜投影法 ≠90°
三、工程中常用的投影图
1、多面正投影图 2、轴测投影图 3、标高投影图 4、透视投影图
为什么要用多面正投影? 根据一个投影不能确定空间形体的形状和位置
两个不同形状物体的H面投影相同
1、多面正投影图
2、轴测投影图
P
Z1
O1 X1
Y1
Z S
O
X
Y
3、标高投影图 通常用在表达地形的图中。