大地主题解算方法综述

响 , 椭 球面 上的 大地 问题 解 算 要 比平 面 上 的 相应 计 算 复 杂 得多 。
从解析意义 上讲, 大 地主 题的正 算和 反算, 就是 研究 大地极坐标和大 地坐 标间的 相互 转换问 题。根 据大地 线的
长度, 主题解算可分 为短 距离 ( 400km 以内 )、中 距离 ( 400 ~ 1000km ) 及长 距离 ( 1000km 以上 ) 三种。
B2 ) ,
计算 P 1 至
P2 的大 地线长
S
及其正、 反方位 角
A
和
12
A 21, 这类问题叫 做大地主题 反算。大 地主题 的正反算 问题
统称为大地主题解算 。其中椭 球面上点的大地经度 L、大地
纬度 B、两点间的大 地线 长度 S 及其 正反 大地 方位 角 A 12、 A 21通称 为大地元素。
求得, 必须进行趋近解算, 为此需要将上 述积分进行变换。
1) 常用的一种 方法是运用勒 让德级 数 ( L eg endre) 将他 们展开为大地线 长度 S 的升 幂级 数, 再逐 项计 算以达 到主 题解算的目 的。但是 这种 级数式 收敛 缓慢, 项 目繁 多, 计 算起来非常 复杂。后 来人们 对勒 让德级 数进 行改化 , 以不 同的改化方法得 出不 同的公 式, 其中 比较 著名 首推史 赖伯
量 m 和 M 。依据白塞尔的 这种解 法, 派生出 许许多 多的公
式, 有的是逐 渐趋近 的解 法, 有的 是直接 解法, 还有 的是
其简化 公 式。 例 如: 导 航 使 用 的 大 地 线 长 近 似 计 算 公 式 [ 10] ; 白 塞尔公式 的 直 接 解法 ) ) ) 陈 俊 勇 公 式 [ 11] ; 保 持 纬度不变的大地投影 ) ) ) 张志新 公式 [ 12] 。还 有白塞 尔微分
1 引言
对天文大地 网的点 位, 除了 要用 某种正 形投 影的 平面 直角坐标来 表示 外, 还要 用经 纬度来 表示。为 此, 可 以从
大地原点出发, 利 用已知 的起 始边和 起始 方位 角以及 各推
算边长, 逐点推 算出 整个大 地网 各点的 经纬 度。在椭 球大
地测量中, 经常 会遇 到这样 两类 问题: 一 类是已 知大 地线
为几步或者 几段计 算。四阶 的龙 格 ) 库塔公 式可 用于 解算
150km 以内的 大 地主 题 正 解。这 种算 法 简 单, 易 于 编 程,
计算量和高斯平均引 数相当。
4) 分段累加 法 [ 6]: 这种方法是把大地线分 为若干相等
而且足够小的线 段直 接用大 地线 微分方 程计 算经 差、纬差
第 32卷第 4期 2007年 7月
测绘科学 Sc ience o f Survey ing and M app ing
V o l132 N o14 Ju l1
大地主题解算方法综述
周振宇, 郭广礼, 贾新果
(中国矿业大学 环测学院, 江苏徐 州 221008)
【摘 要】大地主题解算是大地测量中的 重要问 题, 由于 椭球的 复杂性, 随 之产生 的解算 方法也 是多种 多样。本
文分析了大地主题解算的 一般方法及其公式的适用范围, 指出了它们的 特点和不 足, 讨论了现 今常用解算 方法存 在的问题和进一 步的研究方向。
【关键词】大地主题解算; 大地主题正算; 大地主题反算; 高斯平均引数法; 白塞尔公 式
【中图分类号】 P22
【文献标识码】 A
【文章编号】 1009O2307( 2007) 04O0190O03
( O1 Schreibe r) 公式 [ 1] , 他以勒让德级数为基础, 利 用大地 线终点在起点子午 圈上的 垂足 点提出 了一 种第 一主题 的对
数解法。 1942年, 博尔茨 ( Bo ltz) 对级 数中各 项的系 数作了
改化, 以便计 算和编 程, 使之 成为 实用 公式。 之后, 赫里 斯托夫 ( H ristow )也对级 数各项的 系数进 行了 改化; 索 德包 尔 ( Schodlbauer)把史赖 伯的思 想应 用于 经过 博尔 茨改 化的 勒让德级数中, 从而得出第一主 题的非对数解法。
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有的偶次幂 都消失 了, 可使 项数 减少, 从 而大大 加速 了级
数的收敛。其解算公 式结 构 比较 简单 , 精度 比 较高, 反算
无需迭代, 可 用于电 算。但是, 正算时 所用 到的 平均 引数
( Bm , Am ), 因 (B 2, A 2 ) 尚 属未知, 因而一时无 法求得, 必 须先取近似 值, 再用 逐次趋 近的 方法来 解算。其 主要 特点
和方位角差。
像这类方法 还有 很多, 就 不再一 一赘 述, 其 基本 原理
大致相同。
21 2 以白塞尔 大地投影为基础
可以近似认 为地球 椭球 的形状 与圆 球区 别不大。 在椭
球面上解算大地主 题问题 时可 借助于 球面 三角 学公式 简单
而严密的进 行。因此, 如 将椭 球面上 的大 地线长 度投 影到
dB cosA dS = M
dL dS
=
s inA N cosA
( 1)
dA dS
=
tanB sinB N
式 中: B) 大 地纬度; L) 大 地经度; A ) 大地 方位 角;
S) 大地线长度。
上述三个方 程通过 将大 地线长 度 S 作为独 立变 量, 将
四个变量 B、 L、 A 和 S 紧 紧 联 系在 一 起。沿 椭 球面 上 P 1
( L1, B1 ) 和 P 2 ( L2, B2 ) 点间的大地线弧长 S 积分得:
Q B2 - B1 =
p2 cosAdS p1 M
Q L2 - L1 =
p2 p1
N
s inA cosB
dS
( 2)
Q A 2 - A 1 ? 180b=
p2 tanB sinA dS
p1
N
在初等函数 中这 些积分 不能 计算, 所 以其 精确值 不能
在于: 解算精 度与距 离有 关, 距离 越长, 收敛 越慢, 因此
只适用于较短的距离。当公式 为四次项时 , 在中纬度 地区,
公式可用于 200km 以下的 大地主 题解算, 经纬 度计算 精度
可达 01 0001", 方位 角计 算精度 达 01001", 计算 边长 可精
确至厘 米。是 短 距离 解 算 的理 想 公式。 当距 离 小于 70km
球面上为大圆弧, 大地线 上每 一点都 与大 圆弧 上的相 应点
一致, 也就是说实现了所谓的 大地投影 [ 7, 8] , 这 将给解算工
作带来方便。如 果已经 找到 了大 地线 上某 点的 数 值 B, L, A, S, 与球面上相 应点 的数 值 U, K, A, R 的 关系 式, 亦 即实现了下面的微分 方程 [ 3, 9] :
作者简 介: 周 振 宇 ( 1982O), 男, 湖 北武穴人, 硕士 生, 主要研 究开采 沉 陷及变形监测。 EOm ai:l cug lz@ yahoo1 com1 cn
收稿日期: 2006O05O30
2 大地主题解算的一般方法及其特征
据不完全 统计, 大地 主 题 解算 的 方法 目 前已 有 70 多
dB dU
=
f1,
dL dK
=
f2,
dA dA
=
f3,
dS dH
=
f4
( 3)
上式积分后就可找到从椭 球面向球面过 渡的必要 公式。
则大地主题解算的步 骤为:
①按椭球面 上的已 知值 计算球 面相 应值, 即 实现 椭球
面向球面的 过渡; ② 在球面 上解 算大地 主题 问题; ③ 按球
面上得到的数值 计算 椭球面 上的 相应数 值, 即 实现圆 球向
21 4 对大地线微 分方程进行数值积分的解法 这种解法既 不采 用勒让 德级 数, 也不 采用 辅助 面, 而
是直接对 ( 2) 式进行数值积分计算以解决大地主题的解算。 常用的 数值 积 分 算 法有 高 斯 法、龙 格O库 塔 法、牛 顿
法、嵌套系数法 以及 切贝 雪夫 法 [ 2, 15] 等。这 种解 法易 于编 写程序, 适 用任 意 长度 距离。 其缺 点 是随 着 距 离的 增 长, 计算工作量 大, 精度 降低; 而 且在 近极地 区, 这 种方 法无 能为力。 21 5 依据大地线 以外的其他线为基础
离投影以及椭球面 对平面 的正形 投影 ( 如高斯 投影 ) , 都可
以用于解算大地 主题。这 类方 法的基 本原 理是 根据不 同的
法则建立椭球面到 球面 (或平 面 )的 一一对 应关系, 然 后在
球面 ( 或平面 )上 解算 大地 问 题, 最后 再转 化到 椭 球面 上;
其计算步骤和白 塞尔 大地主 题解 算方法 类似。 由上述 几种 投影方 式 可 以 推 出 博 林 公 式、 巴 乌 曼 公 式、 许 厚 泽 公 式 [ 5, 13, 14]等等。但是, 这 类 解法 受 距 离的 限 制, 只 有在 某 些特定情况下才比较有 利。
一个端点 P1 的 大地 坐标 ( L1, B1 ), P1 至 P 2 的大 地线 长 S
及大地方位角 A 12, 计算 P 2 点的大地坐标 ( L2, B2 ) 和大地
线 S 在 P2 点的反方位角 A 21, 这 类问题叫做 大地主题 正算;
另一 类 是 已 知 P1 和 P2 点 的 大 地 坐 标 ( L1, B 1 ) 和 ( L2,
2) 以勒让德级 数为基础的公式中, 最典型的代 表应该
是高斯平均 引数 公式 [2O4] 。高斯 ( G auss)提 出把 勒让德 级数 式改化成以 P1、P2 ( P1, P 2 为 大地椭 球面上 的两点 ) 两点 的平均纬度和平 均方 位角为 根据。这 样勒 让德 级数式 中所
第 4期
周振宇等 大地主题解算方法综述
由 此可 见, 椭球 面 上 两控 制 点 的 大 地 坐 标、 大 地 线
长 度及 方位 角的 正算 和反 算 问 题 同平 面 直 角 坐标 系 中 两
控 制点 坐标 、距 离及 方位 角 的正 反 算 是 相 似 的, 只 不 过 大 地主 题解 算是 在椭 球 面 上进 行 的, 由 于 椭 球扁 率 的 影
椭球的过渡。
白塞尔 ( Besse l) 首先提出并解决了投影条件, 使这一解
法得以实现。
这类公式的特点是计算 公式展 开 e2 或 的幂级 数, 解算
精度与距离 长短无 关。因此 它既 适用于 短距 离解 算, 也适 用于长距离 解算 [ 5] 。其主 要缺 点在 于: 由 S 求 R、由 L 求 K, 或相反的运算, 需要进行迭代。同时还要预先 计算辅助
连接椭球面 两点的 媒介 除大地 线之 外, 当然 还有 其他 一些有意义的 线, 比如弦 线, 法截 线 [ 16, 17] 等。 利用弦 线解 算大地主题的实 质是 三维大 地测 量问题, 通过 电磁波 测距 得到法截线 弧长。所 以对三 边测 量的大 地主 题而言 , 运用 法截弧进行解算有其优 点。
种, 其中大部 分适用 于短 距离, 一 部分适 用于 中距 离, 只 有几种适用 于长距 离。这几 十种 方法虽 然形 形色色 , 各有 不同, 但 就 其推 导 的 理 论 基 础来 说, 大 致 可 归纳 为 以 下 五类。
21 1 以大地线在 大地坐标系中的微分方程为基础
这类方法 是利 用 大地 线在 大 地坐 标系 中 的 微分 方 程, 直接在地球椭球面上进 行积分运算。大地微分方程为:
方程的其他 解法, 像 维罗 维茨 方法、安德 列也 夫方 法, 赫 尔默特法 [ 5] 等 等。此外, 还有白 塞尔 正、反算 无迭代 的精
密解法, 这些公式大都可适用 于 20000km 或更长的距离。
21 3 利用地图 投影理论解算大地问题
在地图投影 中, 采用 椭球面 对球 面的正 形投 影和 等距
时, 公式还可以得到简化。 3) 用龙格 ) 库塔 ( R ungeOK utta) 法 [ 5] 解 大地 线微 分方
程。它的实质是 用若 干点的 函数 值的线 性组 合, 代替 泰勒
级数展开中 的导数 计算, 又 可保 持必要 的精 度。对于 短距
离大地主题 解算, 可 以只 取一 步; 如果距 离较 长, 可 以分
由于大地主 题解 算的 复杂性, 一 百多 年来, 许多 数学 家和测量学者提出了种类繁多 的大地主题解 算公式和 方法。
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面对这么多 公式和 方法, 在 实际 情况下 该如 何选 用呢? 选 用不当则可能产 生较 大的系 统偏 差。结合 近几 年来大 地椭
球测量和计算技 术的 发展, 本 文重点 分析 了大 地主题 解算 的一般方法及其 适用 范围, 简 要探讨 了存 在的 问题和 进一 步的研究方向。