多目标规划及案例

• 以学分最多为目标， 不管课程多少。
最优解显然是选修所 有9门课程 。
多目标规划
• 在课程最少的前提下 以学分最多为目标。
课号
课名
学分
∗1 ∗
微积分
5
∗2 ∗
线性代数
4
∗ 3 ∗ 最优化方法
4
4
数据结构
3
5∗
应用统计
4
∗6
计算机模拟
3
∗ 7 ∗ 计算机编程
2
8
预测理论
2
∗9 ∗
数学实验
3
9
增加约束 ∑ xi = 6 ， i =1
A/(h/件)
22
12
B/(h/件)
40
16
C/(h/件)
05
15
赢利/(元/件) 200 300
问该企业应如何安排生产，使得在计划期内 总利润最大？
1. 线性规划建模
该例是一个线性规划问题，直接考虑它的线性规划模型
设甲、乙产品的产量分别为x1, x2,建立线性规划模型：
Max z = 200 x1 + 300 x 2 ;
s. t. 2x1 + 2x2 ≤12,
4x1 ≤16,
5x2 ≤15,
x1, x2 ≥ 0.
用Lindo或Lingo软件求解,得到最优
解
x1 = 3, x2 = 3, z* = 1500.
2. 目标规划建模
若在上例中，企业的经营目标不仅要考
Max
s. t.
z = 200 x 1 + 300 x 2 ;
⎪⎧min{d −}; ⎪⎩⎨200x1 + 300x2 + d − − d + = 1500.
甲 乙 设备的生产能力/h
A/(h/件)
22
12
B/(h/件)
40
16
C/(h/件)
05
15
赢利/(元/件) 200 300
• 力求使利润指标不低于1500元
• 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2
求解算法
转化为单目标
实例1：投资的收益和风险
市场上有n种资产（如股票、债券、…）Si ( i=1,…n) 供投资者选择，某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用 作一个时期的投资。公司财务分析人员对这n种资产进行了 评估，估算出在这一时期内购买Si的平均收益率，并预测出 购买Si的风险损失率。考虑到投资越分散，总的风险越小， 公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用 所投资的Si中最大的一个风险来度量。 购买Si要付交易费，费率已知，并且当购买额不超过最低限 额时，交易费按购买最低限额计算（不买当然无须付费）。 另外，假定同期银行存款年利率是1%, 且既无交易费又无风 险。试给该公司设计一种投资组合方案 目标一：使净收益尽可能大； 目标二：而总体风险尽可能小。
课程最少
9
Min Z = ∑ xi i =1
学分最多
Max W = 5x1 +4x2 +4x3 +3x4 +4x5 +3x6 +2x7 +2x8 +3x9
两目标(多目标)规划 Min {Z , −W }
多目标优化的处理方法：化成单目标优化。
• 以课程最少为目标， 不管学分多少。
最优解如上，6门课 程，总学分21 。
以学分最多为目标求解。
最优解： x1 = x2 = x3 = x5 = x7 = x9 =1, 其它为0；总 学分由21增至22。
注意：最优解不唯一！
可将x9 =1 易为x6 =1 LINDO无法告诉优化 问题的解是否唯一。
多目标规划
• 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。
Min Y = λ1Z − λ2W = 0.7Z − 0.3W
约束条件 先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
x3 ≤ x1, x3 ≤ x2
2x3 − x1 − x2 ≤ 0 x4 ≤ x7 x4 − x7 ≤ 0
2x5 − x1 − x2 ≤ 0 x6 − x7 ≤ 0
x8 − x5 ≤ 0
2x9 − x1 − x2 ≤ 0
讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？
0-1规划模型
课号
课名
先修课要求
∗1
微积分
∗2
线性代数
∗3
最优化方法 微积分；线性代数
4
数据结构
计算机编程
5
应用统计 微积分；线性代数
∗6
计算机模拟
计算机编程
∗7
计算机编程
8
预测理论
应用统计
∗9
数学实验 微积分；线性代数
模型求解（LINDO）
最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它为0；6门课程，总学分21
7 计算机编程
计算机
8
预测理论
运筹学
9
数学实验 运筹学；计算机
约束条件
最少2门数学课， 3门运筹学课， 2门计算机课。
xi=1 ~选修课号i 的 课程（xi=0 ~不选）
目标函数 选修课程总数最少
9
Min Z = ∑ xi i =1
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 2
x3 + x5 + x6 + x8 + x9 ≥ 3 x4 + x6 + x7 + x9 ≥ 2
每条线路中的景点可以全部参观，也可以参观其中之一。 不仅如此，一起参观景点的人数越多，每人承担的费用也会越 小。车费与车型、乘客人数、路程种类及公里数有关。
主办方在会议开始前对所有参会的100位代表 旅游意向进行了调查，充分考虑这些代表的意愿， 为主办方设计代表们合适的旅游路线，使他们在会 议结束后的10天时间内花最少的钱游尽可能多的地 方。 目标一：宾客参观意愿满意度尽可能高 目标二：宾客所花费用尽可能少 目标三：宾客游尽可能多的景点
d + ---- 超出目标的差值，称为正偏差d变+ 量
d − ---- 未达到目标的差值，称为负偏差变量 其中d + 与 d −至少有一个为0
约定如下： •当实际值超过目标值时，有 d − = 0, d + > 0; •当实际值未达到目标值时，有 d + = 0, d − > 0; •当实际值与目标值一致时，有 d − = 0, d + = 0.
从上述问题可以看出，仅用线性规划方法是不够的，需 要借助于目标规划的方法进行建模求解
目标规划的数学模型
目标规划的基本概念
为了克服线性规划的局限性,目标规划采用如下手段： 1. 设置偏差变量; 2. 统一处理目标与约束; 3. 目标的优先级与权系数。
1. 设置偏差变量
用偏差变量(Deviational variables)来表示实际值与目标值 之间的差异，令
2x1 + 2x2 ≤ 12 , 4x1 ≤ 16, 5x2 ≤ 15, x1, x2 ≥ 0.
虑利润，还需要考虑多个方面，因此增加下列因素(目标)：
• 力求使利润指标不低于1500元 • 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2
• 设备A为贵重设备，严格禁止超时使用
• 设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又 尽可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍
线性多目标规划模型---线性加权和法
例： 一个生产问题，有关数 据如表。问如何安排生产可 使总利润最大，产量之和最
品产
原单料耗 甲
A4
B4
乙 总量
5 80
2 48
小。要求第二种原料用完。
C1
06
单位利润 80 100
解 设 x1, x2为甲，乙的产量 矛
则
min z1 = x1 + x2 max z2 = 80 x1 + 100 x2
F(X) = M
X ≥O
max R( X ) s.t. Q( X ) ≤ b
F(X) = M
X ≥O
min {ρ Q( X ) − (1 − ρ ) R( X )}
Байду номын сангаас
s.t. F ( X ) = M
X ≥O
ρ 为目标权重或偏好系数。
a,b, ρ 均可看成参数，对不同的参数值求出
最优解，然后加以讨论，选出满意解。
求解算法
转化为单目标
实例2：旅游路线设计
今年暑假，我校要召开“××学术会议”，届时来自国内外 的许多著名学者都会相聚成都。在会议结束后，主办方希望能 安排这些远道而来的贵宾参观四川省境内的著名自然和人文景 观，初步设想有如下线路可供选择： 一号线：九寨沟、黄龙； 二号线：乐山、峨嵋； 三号线：四姑娘山、丹巴； 四号线：都江堰、青城山； 五号线：海螺沟、康定；
要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课
为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？
选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？
0-1规划模型
决策变量
课号
课名
所属类别
1
微积分
数学
2
线性代数
数学
3 最优化方法 数学；运筹学
4
数据结构
数学；计算机
5
应用统计
数学；运筹学
6 计算机模拟 计算机；运筹学
盾 的
s.t. 4 x1 + 5x2 ≤ 80
4 x1 + 2 x2 = 48
x1
≤6
x1, x2 ≥ 0
一般形式： min Q( X ) max R( X ) s.t. F ( X ) = M
X ≥O
双目标规划模型
化成单目标规划模型
化法一 化法二
min Q( X ) s.t. R( X ) ≥ a 或
2. 线性加权和法：按照m个目标 fi(x) 的重要
程度，分别乘以一组权系数，然后相加作
为目标函数。
m
m
u( f (x)) = ∑λi fi(x) ∑λi =1
i=1
i=1
转化单目标法
3. 极大极小点法
min
1≤i≤m
u
(
f
(x
))
=
min
x∈X
max{
1≤i≤m
fi
(x
)}
4. 范数理想点法
1
( ) ∑ d p
⎪⎧min{d + + d −};
⎨ ⎪⎩2x1
求解算法之一： 求解算法之二：
转化为单目标 目标规划法
二、多目标优化目标规划法
线性规划通常考虑一个目标函数(问题简单) 目标规划考虑多个目标函数(问题复杂) 。
例 生产安排问题
某企业生产甲、乙两种产品，需要用到A,B,C 三种设备，关于产品的盈利与使用设备的工时及限 制如下表所示。
甲 乙 设备的生产能力/h
2. 统一处理目标与约束
在目标规划中，约束可分两类，一类是对资源有严格限制 的，称为刚性约束(Hard Constraint)；例如在用目标规划 求解生产安排问题中设备A禁止超时使用，则有刚性约束
2 x1 + 2 x2 ≤ 12 .
另一类是可以不严格限制的，连同原线性规划的目标,构 成柔性约束(Soft Constraint).例如在求解生产安排中，我 们希望利润不低于1500元，则目标可表示为
课号
课名
学分
9
Z = ∑ xi i =1
1∗
微积分
2∗
线性代数
5 4
W = 5x1 +4x2 +4x3 +3x4 +4x5
3 ∗ 最优化方法
4
4∗
数据结构
3
+3x6 +2x7 +2x8 +3x9
5∗
应用统计
4
6 ∗ 计算机模拟
3
7 ∗ 计算机编程
2
8
预测理论
2
9∗
数学实验
3
最优解： x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = x7 = x9 =1， 其它为0；总学分28。
f (x), f ;ω
=
⎡ ⎢⎣
m i =1
ωi
fi (x)−
fi
p⎤ p ⎥⎦
转化单目标法
5. 评价函数法 以上的各种方法都是由 fi (x)归结成一
个目标其可看作是 fi ( x) 的函数 U( x) = u( f ( x))
我们可统一称其为评价函数，显然其 具有很大的概括性，它不仅包括以上的 一些方法，还可以构造新的方法。当然 这种构造也不是随意的，一般要根据问 题的具体背景和几何意义来构造
转化为单目标的具体方法介绍：
1. 主要目标法 在多目标优化问题中，根据问题的实际
情况，确定一个目标为主要目标，而把其余目 标作为次要目标，并且根据决策者的经验，选 取一定的界限值。这样就可以把次要目标也作 为约束来处理，于是就将原多目标问题转化为 在新的约束下，求主要目标的单目标优化问 题。
转化单目标法
例 选课策略
课号
课名
学分
所属类别
先修课要求
1
微积分
5
数学
2
线性代数
4
数学
3
最优化方法
4
数学；运筹学 微积分；线性代数
4
数据结构
3
数学；计算机
计算机编程
5
应用统计
4
数学；运筹学 微积分；线性代数
6
计算机模拟
3
计算机；运筹学
计算机编程
7
计算机编程
2
计算机
8
预测理论
2
运筹学
应用统计
9
数学实验
3
运筹学；计算机 微积分；线性代数
• 设备A为贵重设备，严格禁止超时使用
• 设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又 尽可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍
设甲、乙产品的产量分别为x1, x2,建立模型：
设备C可以适当加班，但要控制， ⎪⎧min{d +};
则目标可表示为
⎨ ⎪⎩5x2
+
d−
−
d+
= 15.
甲、乙两种产品的产量尽量保 持1:2的比例，则目标可表示为
多目标优化模型
一、多 目 标 优 化 简 介
• 优化(Optimization) : 从若干可能的方案中寻求某 种意义下的最优方案
•多目标规划（Multiple Objectives Programming） 是数学规划的一个分支，研究多于一个目标函数在给 定区域上的最优化，又称多目标最优化，通常记为 VMP。