圆周角内接四边形

10.圆周角和圆内接四边形

1．下列命题是假命题的是( )

A．同弧或等弧所对的圆周角相等

B．平分弦的直径垂直于弦

C．两条平行线间的距离处处相等

D．正方形的两条对角线互相垂直平分

2．如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝20°，那么∠BAD＝( )

A．45°B．60°C．30°D．20°

3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则

∠BAD的度数是( )

A．45° B．85° C．90° D．95°

4．如图，弦AB，CD相交于点O，连接AD，BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是_ _.

5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，连结CA，CB，DC，DB.已知∠D＝30°，BC＝3，则AB的长是__ __．

6．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°.

(1)求∠EBC的度数；

(2)求证：BD＝CD.

7．如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.

(1)求证：△ABC是等边三角形；

(2)求圆心O到BC的距离OD.

【知识点一】圆周角定理

1.圆周角的定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角

2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半

【知识点二】圆周角定理的推论

推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直径；90o的圆周角所对的弦是直径

推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等

典例分析

【题型一】圆周角的识别

【例1】如图，指出图中的圆周角。

【题型二】利用圆周角定理求交的度数

【例1】点A，B，

【变式1】如图，AB

【题型三】利用圆周角定理及其推论判断角之间的数量关系

【例1】如图AB是⊙O的直径,CD 是⊙O的弦AB⊥CD.

(1)P是CAD上一点(不与C,D重合) ,求证: ∠CPD= ∠COB

(2)点P'在劣弧CD上(不与C,D重合)时,∠CP'D与∠COB有怎样的数量关系?请证明你的结论。

【变式1】如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D，使DC=CB,延长DA与⊙O的另一个交点为E,连结AC,CE.则∠B与∠D 的大小关系怎样?请说明理由.

【题型四】利用圆周角定理及其推论证明弧相等

【例1】如图,以ABCD的顶点A为圆心,AB为半径作OA,分别交BC，AO于E,F两点,交BA的延长线于点G，证明: EF FG

=

=

【变式1】如图，AB，CD是⊙O的弦，∠A=∠C，求证：AB CD

【题型五】利用圆周角定理及其推论证明线段相等

【例1】如图,AB是⊙O的直径，D是BC的中点，AC，BD的延长线相交于点E，证明：AE=AB

【变式1】如图,AB是⊙O的直径，AC为弦，P为AC延长线上一点，且AC=PC，PB的延长线交⊙O于点D，求证：AC=DC

【题型六】利用圆周角定理及其推论求线段的长度

【例1】如图，在⊙O中，AD为直径，OB⊥AD交弦AC于点B，∠A=30°，OB=5，求BC的长。

【题型七】利用圆周角定理及其推论在实际生活中的应用

【例1】甲、乙、丙三位同学在“学数学,用数学”的课外活动中, 根据实例畅谈数学知识在生活中的应用. （1）如图(1) ,甲说:把弯曲的河道改直,可以缩短航程,是应用两点之间线段最短；

（2)如图(2) ,乙说:工人师傅要在墙上固定一条横木，他至少要钉两个钉子，是应用过两点有且只有一条直线；

（3)如图(3) ,丙说:工人师傅使用直角曲尺去检验一个圆弧形共建后，说这个工件是一个半圆，是应用90°的圆周角所对的弦式直径。

以上三位同学的说法正确的是（）

A.只有甲

B.只有乙

C.只有丙

D.甲、乙、丙

【变式1】如图,海边有两座灯塔A,B,暗礁分布在经过 A，B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的

一部分)区域内,∠AOB=96°.为了避免触礁,轮船M与 A,B的张角∠AMB的最大值为多少?

【题型八】利用圆周角定理及其推论的综合应用

【例1】如图3-5-19,已知 AB是⊙O的一条弦,点 C为AB的中点,CD是⊙O的直径,过点C的直线l交AB所在直线于点E,交⊙O于点F.

(1)判定图中∠CEB与∠FDC的数量关系,并直接写出结论；

(2)将直线l绕点C旋转(不与CD重合) ,在旋转过程中,点E,点F的位置也随之变化,请你分别画出在不同位置时,使(1)的结论仍然成立的图形标上相应的字母，并选一个图形给予证明。

∆内接于⊙O，∠C=45°，AB=4.则⊙O的半径为______

【变式1】如图，ABC

【变式2】如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，取AC的中点P，连结BP分别交CD，AC于F，G两点，求∆为等腰三角形。

证：CGF

圆内接四边形

1.圆内接四边形的定义：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆

2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补

【题型一】利用圆内接四边形的性质求角的度数

【例1】如图,已知四边形ABCD是⊙O的一个内接四边形, 且∠BCD=100°,求∠BOD和∠BAD的度数.

【变式1】如图,点B,D,C是⊙A上的点,∠BDC=130°,则∠BAC=_____°.

【题型二】利用圆内接四边形的性质证明角相等

【例1】如图,已知四边形ABCD内接于圆,延长AB和DC相交于点 E,EG平分∠E.且与BC,AD分别相交于点F，G求证：∠CFG=∠DGF

【变式1】如图,AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB，垂足为点E，K为AC上一动点，AK，DC的延长线相交于点F.连结CK,KD.求证:∠AKD=∠CKF