圆周角内接四边形

合集下载

第2课时圆周角定理推论2和圆内接四边形的性质

第2课时圆周角定理推论2和圆内接四边形的性质出小II标1•在实际操作中探索圆的性质，进一步探索直径所对的圆周角的特征，并能应用其进行简单的计算与证明；2•掌握圆内接四边形的有关概念及性质；3•在探索过程中，体会观察、猜想的思维方法，在定理的证明过程中，体会化归和分类讨论的数学思想和完全归纳的方法.HUM学自学指导阅读课本P53~55，完成下列问题.知识探究1.直径所对的圆周角是直角，反之，90°的圆周角所对的弦是直径.2•四个顶点都在圆上的四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆；圆内接四边形的对角互补.自学反馈1.如图，在O O的内接四边形ABCD中，若/ BAD=110。

，则/ BCD等于（C ）A.110°B.90°C.70°2•如图所示，AB是O O的直径，弦DC与AB相交于点E，若/ ACD=50 °，则/ DAB= 40°活动1小组讨论例1如图，BD是O O的直径，/ CBD = 30°,则/ A的度数为（C ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°例2如图所示，点C在以AB为直径的O O上，AB = 10cm,/ A = 30°,则BC的长为___________ 5.例3如图所示，已知△ ABC的顶点在O O上，AD是厶ABC的高，AE是O O的直径，求证：/ BAE =Z CAD.V证明：连接BE ,： AE 是O O 的直径,•••/ ABE = 90°•••/ BAE + Z E = 90° .•/ AD 是厶ABC 的高，•••/ ADC = 90°,• / CAD + Z C = 90° .A B =A B ,•••/ E=Z C.•••/ BAE + Z E = 90°,/ CAD + Z C = 90°,•••/ BAE = / CAD .迢鶯悲k 涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题.例4如图，点A ，B ，C ，D 在O O 上，点O 在/ D 的内部，四边形 OABC 为平行四边形，则/ OAD +/ OCD = 60 度.活动2跟踪训练1.如图，O O 的直径 AB=4，点C 在O O 上,/ ABC=30 °，贝U AC 的长是（ D ）A . 1B . YC . . ：；D . 24.如图，在O O 的内接四边形 ABCD 中，/ BCD=110 °，则/ BOD=__140 ________ 度.2.如图，AB 是O O 的直径，C 是O O 上一点，且/ A=45B . BC=AC C . BC v AC ，则下列结论中正确的是（D . BC > AC的长为 433.如图，AB 是O O 的直径，点 OD 丄BC 于点D ，贝UOD5•如图，AB是O O的直径，点D在O O上，/ AOD=130,BC / OD交O O于C,求Z A的度数.解：•••/ AOD=130°, •••/ BOD=50 ° .•/ BC// OD,•••/ B= / BOD =50 °.•/ AB是O O的直径，•••/ ACB=90 ° .•••/ A=90° -Z B=406如图，O O的内接四边形ABCD中，AD // BC, AD=BC .试判断四边形ABCD的形状，并加以证明.解：四边形ABCD为矩形. 理由：••• AD // BC, AD=BC , •四边形ABCD为平行四边形.•Z B= Z D.•••四边形ABCD内接于O O ,•Z B+ Z D=180 °.•Z B= Z D=90 °.•四边形ABCD为矩形.活动3课堂小结1•这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？在学生回答基础上2•教师强调：①半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径;②圆内接四边形定义及性质；③关于圆周角定理运用中，遇到直径，常构造直角三角形•玛堂训练教学至此，敬请使用《名校课堂》相关课时部分。

圆周角定理的推论及圆内接四边形

1、圆周角定理的推论（1）同圆或等圆中,相等的圆周角所对弧相等.（2）半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 2、圆内接四边形的有关概念: 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． 3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
1.圆周角顶点在圆上 ,并且两边都与圆相交的角. 2.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等, 都等于这条弧所对的圆心角的一半
小练习
图1
图2
图3
1、如图1，点A、B、C、D在⊙O上，若∠BAC=40°，则∠BOC= ____ ,理由是____； 2、如图2，点A、B、C、D在⊙O上，若∠C=60°，则∠D=____，∠AOB=_ ___． 3、如图3，等边△ABC的顶点都在⊙O上，点D是⊙O上一点，则∠BDC=____．
∴∠BCD=180°-∠A=111°， ∴∠DCE=180°-∠BCD=69°．故选A．
3.已知如图，在圆内接四边形ABCD中， ∠B=30°，则∠D=__1_5_0_°．
解析:∵圆内接四边形ABCD中，∠B=30°， ∴∠D=180°-30°=150°．故填150°．
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，
已知：四边形ABCD内接于⊙O. 求证：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.
证明：如图所示，连接OB，OD. ∵∠A所对的弧 BCD
为,
∠C所对的弧为 BAD ,
又∵ BCD 和 BAD 所对的圆心角的和是周角，
∴∠A+∠C= 3600 =180°.
2
同理∠B+∠D=180°.

圆周角二-圆内接四边形

通过圆内接四边形的性质，可以确定四边形的形状。
计算四边形的面积
利用圆内接四边形的面积公式，可以计算出四边形的面积。
3
判断四边形的对角线性质
通过圆内接四边形的对角线性质，可以判断四边形的对角线性质。
圆周角与圆内接四边形在几何图形中的综合应用
利用圆周角和圆内接四边形的关系，可以解决一些复杂的几何问题。通过综合应用圆周角和圆内接四边形的性质，可以推导出一些重要的几何定理。
边与角的关系
在一个圆内接四边形中，相对的两边之和大于另外两边之和，且相对的两边之差小于另外两边之差。
圆周角与圆内接四边形性质的关联
圆周角与圆心角的关系
在一个圆内接四边形中，相对的两条边所对的圆周角等于其相对的两条边所对的圆心角的一半。
圆周角与外角的关系
在一个圆内接四边形中，相对的两条边所对的圆周角等于其相对的外角的补角。
边形。
圆内接四边形的性质
02
其对角互补，即两个对角和为180度。
圆内接四边形的证明方法
03
通过构造辅助线，利用三角形全等或相似性质，以及圆的性质
进行证明。
圆周角与圆内接四边形证明的关联
关联点
在证明过程中，常常需要利用圆周角和圆内接四边形的性质进行相互转化，以简化证明过程。
应用场景
在解决一些涉及圆和四边形的几何问题时，利用圆周角和圆内接四边形的性质可以提供有效的解题思路和方法。
04
圆周角二与圆内接四边形的应用
圆周角在几何图形中的应用
确定圆的位置
通过圆周角的大小和位置关系，可以确定圆的位置。
计算圆心角
利用圆周角和圆心角的关系，可以计算出圆心角的大小。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

第24章圆-圆周角与内接四边形(教案)

五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了圆周角与内接四边形的性质和应用。回顾整个教学过程，我觉得有几个方面值得反思。
首先，关于课堂导入，我发现通过提问的方式引起学生的兴趣和好奇心非常有效。大多数同学能够积极参与，分享他们在生活中遇到的与圆周角相关的问题。这种导入方式有助于拉近数学与现实生活的距离，让学生感受到学习的实用性。
2.教学难点
-圆周角定理的证明：对于学生来说，理解并掌握圆周角定理的证明过程可能存在困难。教师应通过直观的图形演示和逐步的逻辑推理，帮助学生理解证明的每一步。
-圆内接四边形的判定应用：在实际问题中，学生可能会难以识别哪些四边形是圆内接的，以及如何运用这一性质来解题。
举例：
-对于一个复杂的四边形问题，学生可能需要通过画图、分析角度关系、应用圆内接四边形的性质等多个步骤来解决问题，这要求学生对相关知识有深入的理解和灵活的运用能力。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作使学生能够将理论知识应用于实际情境。学生们的积极参与让我感到欣慰。但同时，我也发现有些小组在讨论过程中过于依赖实验操作，而忽略了理论分析。针对这个问题，我计划在接下来的教学中，加强对学生理论分析的引导，让他们在实践中也能够深化对理论的理解。
此外，学生小组讨论环节，同学们提出了许多有创意的想法，展示了他们对圆周角与内接四边形在实际生活中应用的思考。但在讨论过程中，我也注意到有些学生发言不够积极。为了鼓励更多学生参与到讨论中来，我将在下一节课尝试采用一些激励措施，如设立“最佳发言人”等称号，以提高学生的积极性。
其次，在新课讲授环节，我采用了理论介绍、案例分析和重点难点解析相结合的方式。从学生的反馈来看，这种方法有助于他们更好地理解圆周角与内接四边形的性质。但我也注意到，部分学生在理解圆周角定理的证明过程中还存在困难。在今后的教学中，我需要更加关注这部分学生，通过设计更具针对性的教学活动，帮助他们突破难点。

第2课圆心角与圆周角、圆内接四边形=2021年人教版新九年级数学上册第二十四章圆

C ．圆心角与圆周角、圆内接四边形学生/课程年级学科数学授课教师日期时段核心内容圆心角与圆周角、圆内接四边形课型一对一/一对N教学目标 1．理解并掌握圆心角、弦、弧之间的关系，能够运用他们的关系分析解决相关的几何问题 2．理解并掌握圆周角的概念以及圆周角定理和推论．并熟练运用解决实际问题。

重、难点1、圆心角与圆周角关系的转换，以及圆周角的推论的运用。

课首沟通1．学校的上课进度如何？你在学习这些内容的过程中都遇到什么问题？ 2．上次的作业给我看看，完成了没有？还有不会的题吗？知识导图课首小测1.[单选题] 如图，已知点A （0，1），B （0，﹣1），以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴于点C 和点D ，则DC 的长为（）A ．2B ．4D ．22.[单选题] 已知⊙O的直径AB=10cm ，弦CD=8cm ，AB⊥CD，那么圆心O 到CD 的距离是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 3.如图，将半径为的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为4.如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=5.⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是Cm6.如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8．求⊙O的半径．导学一：圆心角知识点讲解1：弧、弦、圆心角1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角2.定理：（1）在同圆或者等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

（2）在同圆或者等圆中，相等的两条弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等。

（3）在同圆或者等圆中，相等的两条弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等。

特别注意：只有圆心角与弧存在倍数关系。

与弦不存在倍数关系。

例1. [单选题] 在下图中，下列各角是圆心角的是（）A．∠ODC B．∠OCD C．∠AOB D．∠BDC例2. 指出下列哪些是∠AOB所对应的弦和弧？例3. 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A/OB/的位置你能发现哪些等量关系？为什么？完成下面的填空题。

圆内接四边形的性质与判定定理

(2)如果点D在⊙O内部. 延长AD交圆于点E, 连接CE,则
∠B+∠E=180° ∵∠B+∠ADC=180°
A D
E O
B
C
∴∠E=∠ADC
（2）
这同样与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾.
∴点D不可能在⊙O内.
综上所述，点D只能在圆周上，即A、B、C、D四点共圆.
2.【圆内接四边形的判断定理】
∠DGF = ∠A +∠AEG,
A
B
而∠AEG = ∠CEF. ∴∠CFG = ∠DFG.
GF
E
D
C
如果多边形所有顶点都在一个圆上.那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆.
思考:
任意三角形都有外接圆.那么任意正方形有外接圆吗?为什么? 任意矩形有外接圆吗?为什么?
需要具备什么样的条件呢？
等腰梯形呢?为什么?
一般地, 任意四边形都有外接圆吗?为什么?
A
DA
D
A
D
A
D
O
B
C
别是AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE，则
FG ∥ BD,GH ∥ AC.∵AC ⊥ BD,
A
H
∴FG ⊥ GH.同理可证，HE ⊥ EF.
E
D
∴∠HEF +∠FGH = 180o.
G
∴F、G、H、E四点共圆.
B
F
3.如图，∵A、B、C、D四点共圆.∴∠FCE = ∠A.
C
∵∠CFG = ∠FCE +∠CEF,
过D就证明了.
O C
显然，点D与圆有且只有三种位置关系：

圆周角(第二课时圆的内接四边形)

B
2、如图,圆O中,AB是直径,半径CO⊥ AB,D 是CO的中点,DE // AB,求:∠EBA C E D O B
15度
A
自学教材P36页
圆内接多边形
A
１．定义：如果多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.
O B C
多边形的外接圆的圆心叫外心。
B
C
2.圆内接四边形的性质定理
A O.DBFra bibliotekCE
圆内接四边形的性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
例1：如图，AB是⊙O的直径，弧BC=弧BD，点P在⊙O上，∠1=∠C. (1)求证：CB∥PD；
(2)若BC=3，sin∠P=
3 5
，求⊙O的直径.
例2.已知：如图，∠EAD是圆内接四边形 ABCD的一个外角，并且BD=DC. 求证：AD平分∠EAC.
C
D
O B
检测：完成《名师》 P38 1—10题
4.如图,四边形ABCD内接⊙O于,∠B=50°, ∠ACD=25°,∠BAD=65°.求证： (1)AD=CD； (2)AB是⊙O的直径.
转化思想斜三角形转化为直角三角形
5.如图， ABC 内接于⊙O，
B 30 , AC 2cm
A
则⊙O的半径为________ 2cm 解：连AO且延长交 ⊙O于D，连CD，
二定理的应用
1、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°,则∠BAD= 50º ,∠BCD= 130º.
2、如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCE=75º ， 150º 则∠BOD=
A O B C D A O B C D

圆周角圆内接四边形的性质课件

用量角器测量一下对角的度数。
如图,四边形ABCD为圆内接四边形.试证明∠A+∠C=180°
如∵下∠∠图AC所所所示对对，的的弧弧连为为接BB⌒ ⌒OCABDD，. ，OD.
∴ ∠A+∠C = 360 o
2
=180°(圆周角定理)
由四边形内角和定理可知,∠ABC +∠ADC = 180°.
由此得到圆内接四边形的性质：
4.圆周角定理的推论2
直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径.
预习并回答下列问题如图， A,B,C,D是⊙O上的四点，顺次连接A,B,C,D四点，得到四边形ABCD，我们把四边形ABCD称为
圆内接四边形这个圆叫作这个四边形的外接圆.
自己在草稿本上画一个这样的圆和四边形。观察四边形的对角有什么关系？
湘教版九年级下册
2.2.2
1.圆周角的概念：顶点在圆上，且两边都与圆相
交，像这样的角叫作圆周角。如∠BAC。
2.圆周角定理在同圆或等圆中，圆周角的度数等于它所对弧上的圆
心角度数的一半。 3.圆周角定理的推论1 在同圆(或等圆)中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧相等.
作业布置
P56 3、 7
B
D
C
E
O
A
O
A
D
3.如图，四边形ABCD内接于圆OB，若四C边形ABCO是
平行四边形，则∠ADC的大小是 60° 。
∠B+∠D=180° ∠B=∠AOC ∠AOC+∠D=180°
∠AOC=2∠D 2∠D+∠D=180° ∠D=60°
4.圆内接四边形MNPQ中,∠M,∠N,∠P的度数比是

2、圆内接四边形性质定理

2、圆内接四边形性质定理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2、圆内接四边形性质定理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2、圆内接四边形性质定理的全部内容。

圆内接四边形性质定理证明：如右图：圆内接四边形ABCD,圆心为O ，延长BC 至E,AC 、BD 交于P ，则：一、圆内接四边形的对角互补：∠ABC+∠ADC=180°,∠BCD+∠BAD=180° 二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角:∠DCE=∠BAD 三、圆内接四边形对应三角形相似:△BCP∽△ADP 四、相交弦定理：AP×CP=BP×DP五、托勒密定理:AB×CD+AD×CB=AC×BD一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法)【证明】方法一:利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

如图,连接OB 、OD 则∠A=β，∠C=α ∵α+β=360°∴∠A+∠C=×360°=180°同理得∠B+∠D=180°(也可利用四边形内角和等于360°）【证明】方法二：利用直径所对应的圆周角为直角。

设圆内接四边形ABCD证明:∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°连接BO 并延长，交⊙O 于E.连接AE 、CE 。

则BE 为⊙O 的直径 ∴∠BAE=∠BCE=90° ∴∠BAE+∠BCE=180°∴∠BAE+∠BCE -∠DAE+∠DAE=180° 即∠BAE—∠DAE+∠BCE+∠DAE=180°∵∠DAE=∠DCE （同弧所对的圆周角相等） ∴∠BAE—∠DAE+∠BCE+∠DCE=180° 即∠BAD+∠BCD=180° ∠A+∠C=180°∴∠B+∠D=360°—（∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°)【证明】方法三:利用四边形内角和为360°及同弧所对的圆周角均相等连接AC 、BD,将∠A 、∠B 、∠C 、∠D 分为八个角∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8 ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360（四边形内角和为360°）∠4=∠1，∠7=∠2,∠8=∠5,∠3=∠6 （同弧所对的圆周角相等)∴∠1+∠2+∠5+∠6=×360°=180°∵∠1+∠2=∠A ∠5+∠6=∠C ∴∠A+∠C=180°∴∠B+∠D=360°—(∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°）二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角证明如图，求证：∠DCE=∠BAD∠BCD+∠DCE=180°(平角为180°） ∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）∴∠DCE=∠BAD三、圆内接四边形对应三角形相似如上图，求证:△BCP∽△ADP ，△ABP∽△DCP21212121证明：∵∠CBP=∠DAP ，∠BCP=∠ADP（一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

圆周角定理的推论和圆内接四边形

探究三：
圆内接四边形性质
圆内接四边形的对角互补
D
A
O
B
C
你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．
A
B
Hale Waihona Puke CO方法一
D
·
B
A
方法二
O
方法三
O
方法四
例题解析
例如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC 为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，
求BC、AD、BD的长．
C
A
O
B
D
(1)四边形ABCD内接于⊙O，则 ∠A+∠C=__ ，∠B+∠ADC=_____;若 ∠B=800，则∠ADC=______ ∠CDE=______ (2)四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC=1000 则∠B=______∠D=______ (3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3, 则∠A=_____,
复习旧知
顶点在圆上，并且角的两边都与圆相交
A A
A
B
C
B
C
BC
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
A
BAC 1 BOC
O·
2
B
C
探究一：
当球员在B、D、E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC、∠ADC、∠AEC．
这三个角有何特点?它们的大小有什么关系?
A
80
B
D E
C
A
100 D
O
B
C
A
E
O
C
B
D
A
E B
C D

圆内接四边形课件

与矩形的关系
特殊的圆内接四边形是矩形，即对角线相等的平行四边形。
与菱形的关系
特殊的圆内接四边形是菱形，即四边相等的平行四边形。
与正方形的关联
正方形是特殊的矩形和菱形的结合体，因此也是特殊的圆内接四边形。
圆内接四边形的历史与发展
古代起源
01
古希腊数学家开始研究圆内接四边形，发现了其与圆的性质之
详细描述
圆内接四边形的定义是四个顶点都在同一个圆周上的四边形。这个圆被称为四边形的外接圆。
性质
总结词
圆内接四边形具有一些特殊的性质，包括对角互补、外角等于内对角等。
详细描述
圆内接四边形的性质包括对角互补，即相对的两个内角之和为180度；外角等于内对角，即外角等于另一个内角所对的弧上的圆周角。此外，圆内接四边形的对角线互相平分，且相对的两边之积等于另外两边之积。
分类
总结词
根据圆心与四边形相对位置的不同，圆内接四边形可以分为四种类型。
详细描述
根据圆心与四边形相对位置的不同，圆内接四边形可以分为四种类型，分别是正圆内接四边形、椭圆内接四边形、抛物线内接四边形和双曲线内接四边形。不同类型的圆内接四边形具有不同的性质和特点。
02
圆内接四边形的判定定理
定理内容
注意作图的精度
在绘制过程中，要注意作图的精度，尽量保证四边形各边的长度相等，角度相等，以提高作图的准确性。
05
圆内接四边形的实际应用
在几何图形中的应用
圆内接四边形是几何学中的基本图形之一，它在证明定理和推导公式等方面具有广泛的应用。例如，利用圆内接四边形的性质可以证明勾股定理、托勒密定理等重要的几何定理。
圆内接四边形也是解析几何和微积分中的基础概念，常用于研究曲线的性质和函数的极值等问题。

3.4 圆周角与圆心角的关系(3)--圆内接四边形性质

9下-§3.4 圆周角与圆心角的关系（3）－圆内接四边形性质课题组一、不能遗忘的记忆（思维混乱源自记忆模糊，遗忘就意味着多用10倍的时间纠错.）1.圆内接四边形的定义：如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫作圆内接四边形. 2.圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角相等，并且任何一个外角都等于它的内对角.二、不能忽视的归纳（深度学习离不开归纳.没有归纳的学习一定是低效的，甚者是无效的.）1.圆内接四边形的判定：内对角互补的四边形是圆内接四边形. 2. 重要结论：（1）同边同侧的三角形，若公共边所对的两个角相等，则这两个三角形有公共的外接圆. （2）如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.三、必须分享的智慧（没有知识的活用，没有方法的迁移，就谈不上智慧.）【典例】已知：如图5，AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，与△ABC 的外接圆交于点D.求证：DB=DC.一读：关键词：A 、B 、C 、D 四点共圆.二联：重要结论：圆内接四边形的对角相等，并且任何一个外角都等于它的内对角.三解：证明：∵ AD 是∠EAC 的平分线，∴∠DAC=∠DAE ∵ 四边形ABCD 内接于圆， ∴∠DCB=∠DAE∵ 圆周角∠DBC 和∠DAC 所对的弧都是CD ，图1E图2图5∴∠DBC=∠DAC ∴∠DBC=∠DCB ∴ DB=DC ．四悟：圆内接四边形重要结论的应用.四、金题核思点拨（学习抓关键，思维抓核心，学必须学的.）1、如图6，⊙O1与⊙O2都经过A,B 两点，经过点A 的直线CD 与⊙O1交于点C,与⊙O2 交于点D ，经过点B 的直线EF 与⊙O1交于点E,与⊙O2交与点F. 求证：CE//DF.核思点拨:A 、B 是两圆的交点，是两个圆内接四边形的公共边，结合圆内接四边形性质可求证. 答案：证明：连接AB∵四边形ABEC 是⊙O1的内接四边形。

∴∠BAD=∠E.∵四边形ADFB 是⊙O2的内接四边形。

3.3圆周角定理3-圆内接四边形定理

新课学习
四边形与圆的位置关系
（1）如图3-32，四边形ABCD 的顶点与⊙O具有怎样的关系？
四边形与圆的位置关系
像这样，所有顶点都在同一个圆上的多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 在图3-32中，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆.
四边形与圆的位置关系
例5：如图3-34，△ABC内接于⊙O，D，F分别是A⌒C 与A⌒B上的点，⌒BF=⌒DA . 连接AF并延长交CB的延长线
于点E，连接AD，CD。
求证：∠CAD =∠E
例5：如图3-34，△ABC内接于⊙O，D，F分别是AC 与AB
上的点，BF=DA . 连接AF并延长交CB的延长线于点E，连
圆内接四边形的对角互补
课堂练习
1.在⊙O中，∠ABD=30°, ∠BDA=20°,求∠DCE
2.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°， ∠B=90°,AB=2，CD=1，求BC的长.
B C
●O
A
D
2.如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A=60°， ∠B=90°,AB=2，CD=1，求BC的长.
年级：九年级学科名称：数学
3.3圆周角（3） ——圆内接四边形的性质
授课学校：授课教师：
学习目标
1.记住并理解圆周角定理的推论4 ——圆内接四边形的对角互补
2.会运用圆周角定理的推论4进行计算和证明
导入新课
圆周角定理的推论2:同弧或等弧上的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。圆周角定理的推论3：直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
提示：连接AC，延长BC、AD交于点E． B

24.3 第2课时圆内接四边形

四边形ABCD是⊙O的内接四边形. AC180°， BD180°. 四边形ABCD没有外接圆
A
B
所有的圆都有内接四边形，但是四边形不一定有外接圆.
什么样的四边形才有外接圆呢？圆内接四边形的对角互补. 猜想：对角互补的四边形有外接圆.
如何证明？
已知：如图，四边形ABCD中，AC180°， BD180°.
求证：四边形ABCD内接于一个圆. (A，B，C，D四点共圆) D
证明：过A，B，D作⊙O ，假设C不在⊙O上，
O C 点C在圆外或圆内，若点C在圆外，设BC交圆O
A
B
D C
O C'
A
B
于C'，连结DC'，根据圆内接四边形的性质得 ADC'B180° ， ∵AC180°， ∴DC'BC. 这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外. 类似地可证C不可能在圆内. ∴C在⊙O上，也即A，B，C，D四点共圆.
练一练
如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠BOD＝
120°，那么∠BCD＝
( A)
A．120°
B．100°
C．80°
D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，
∴∠A＝60°.
∴∠C＝180°－60°＝120°.
例3 如图，已知 A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，延长 DC，AB 相交于点 E. 若 BC＝BE. 求证：△ADE 是等腰三角形．证明：∵ BC＝BE，∴∠BCE＝∠E. ∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形， ∴∠A＋∠DCB＝180°. ∵∠BCE＋∠DCB＝180°， ∴∠A＝∠BCE. ∴∠A＝∠E. ∴ AD＝DE. ∴△ADE 是等腰三角形.

人教版初中九年级上册数学课件《圆周角》圆(第2课时圆内接四边形的性质)

5
基础过关
1．【甘肃兰州中考】如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝( D )
A．110° C．135°
B．120° D．140°
6
2．如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，AD 与 BC 的延长线交于点 E， BA 与 CD 的延长线交于点 F，∠DCE＝80°，∠F＝25°，则∠E 的度数为( C )
证明：∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB．∵
四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠DAE＝
∠DCB，∴∠DAE＝∠DBC∵∠DAC＝
12
能力提升
8．【山东德州中考】如图，O 为线段 BC 的中点，点 A、C、D 到点 O 的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC 的度数是( B )
A．130° C．150°
19
解：(2)∵∠A＝55°，∠E＝30°，∴∠ABE＝180°－∠A－∠E＝95°，∴∠ADF ＝180°－∠ABE＝85°，∴∠F＝180°－∠ADF－∠A＝40°.
(3)∵∠ADC＝180°－∠A－∠F，∠ABC＝180°－∠A－∠E，∠ADC＋∠ABC＝ 180°，∴180°－∠A－∠F＋180°－∠A－∠E＝180°，∴2∠A＋∠E＋∠F＝180°，∴ ∠A＝90°－∠E＋2 ∠F＝90°－α＋2 β.
B．140° D．160°
13
9．如图，已知⊙O 的半径为 2，△ABC 内接于⊙O，∠ACB＝135°，则 AB＝ ___2__2___.
14
︵ 10．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，C 为BD的中点．若∠ A＝40°，则∠B＝____7_0___度．
11．【易错题】在⊙O 中，弦 AB 等于半径，则 AB 所对的圆周角的度数为 ____3_0_°__或__1_5__0_°______.

25.4圆周角(3)--圆内接四边形

A
O D
B C E
五、小结本节课你有什么收获？还有什么不明白的地方？到现在,我们学习的与圆有关的辅助线有哪些? 六、作业 1,必做题:书本上第32页第9题 2,选做题:书本上第32页第11题
பைடு நூலகம்
l
已知P为⊙O外一点,PB,PD分别交⊙O于A、B、C、D,
AC AP 求证： BD DP
B A P C D
一、复习引入 1、圆周角定义 2、圆周角定理的内容是什么? 2、圆周角定理的推论1和推论2的内容是什么？ 4、圆周角度数与它所对的弧的度数有什么关系? 5、什么叫圆内接三角形?什么叫做圆内接四边形? 圆内接四边形有什么性质呢?
24.3圆周角（2）
——圆内接四边形
D A
O
B
C
E
二、学习目标 1、了解圆内接多边形和多边形的外接圆定义 2、掌握圆内接四边形的性质定理 3、会运用圆内接四边形的性质解决相关问题
7,已知:如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A的直线与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D.过B的直线与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F．求证：CE∥DF．
A E
C
B F D
已知:四边形ABCD内接于⊙O,点P在CD的延长线上,且AP∥DB,求证：PD BC AB AD
B A O P D C
（课本32页第10题）已知:如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点经过A的直线与⊙O1交于点C,与⊙O2交于点D.过B的直线与⊙O1交于点E,与⊙O2交于点F．求证：CE∥DF．
C
O1
A
D
O2
E
B
F
注意:相交两圆的公共弦是常用的辅助线.
巩固练习

九年级数学圆周角及圆内接四边形

初三数学圆周角及圆内接四边形知识精讲一. 本周教学内容：圆周角及圆内接四边形［学习目标］ 1. 圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角必须具备两个特征：（1）顶点在圆上；（2）角的两边都和圆相交，二者缺一不可。

2. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

定理的证明要分类，因为一条弧所对的圆心角唯一，而它所对的圆周角却有无数个，这无数个圆周角与圆心位置有三种：（1）圆心在圆周角的一边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角外部。

3. 圆内角角的顶点在圆内的角叫圆内角。

圆内角的度数等于它所对弧与它对顶角所对弧的度数之和的一半。

如下图圆内角∠3的度数为∠1＋∠2，∠1的度数是AB的一半，∠2的度数是CD ⋂的一半。

4. 圆外角角的顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角，叫圆外角。

圆外角的度数等于它所截两条弧度数之差的一半。

如下图，圆外角∠3的度数为∠2－∠1，∠2的度数是AB ⋂的一半，∠1的度数是CD ⋂的一半。

5. 四边形的外角，四边形的对角四边形一边延长线与相邻一边组成的角叫四边形的外角。

四边形中不相邻的两个角互称为对角。

所有顶点都在同一个圆上的多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆。

6. 圆内接四边形的性质定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

例1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝110°，则∠BCD＝_________。

解：∵∠BOD＝110°，∴∠BAD＝55°又∠BAD＋∠BCD＝180°∴∠BCD＝180°－55°＝125°例2. 已知：如图，∠APC＝∠BPC＝60°，则∠BAC＝__________。

解：∵∠APC＝∠BPC＝60°∴∠APB＝120°，BC＝AC∵四边形APBC内接于⊙O∴∠ACB＝60°∴△ABC是等边三角形∴∠BCA＝60°，故填60°点拨：本题较综合，考察：①相等的圆周角所对弦相等，②圆内接四边形对角互补，③一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。