2017-2018届上海市高考模拟数学试卷及答案

上海市2017-2018学年度高考数学模拟试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.函数)2(log 1)(2-=x x f 的定义域为2.复数z 满足iiz 1=i +1，则i z 31-+= 3.底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为 m 2 4.某工厂生产10个产品，其中有2个次品，从中任取3个产5.若非零向量,a b 满足32a b a b ==+ ,则,a b夹角的余弦值为_______6.已知圆O ：522=+y x ，直线l ：)20(1sin cos πθθθ<<=+y x ，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = 7.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为8.已知{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且2n n S a =+*()n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为9.设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值范围为_____________10.已知F 是抛物线42y x =的焦点，B A ,是抛物线上两点，线段AB 的中点为)2,2(M ，则ABF ∆的面积为 11.如图,已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树 米时，第11题图看A 、B 的视角最大12.将函数()2sin()3f x x πω=-（0ω>）的图象向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]4π上为增函数，则ω的最大值为13.如图，矩形n n n n D C B A 的一边n n B A 在x 轴上，另外两个顶点n n D C 在函数)0(1)(>+=x xx x f 的图象上.若点n B 的坐标),2)(0,(+∈≥N n n n ，记矩形n n n n D C B A 的周长为n a ，数列{}n a 的前m ()+∈N m 项和为m S ，则2lim nmn a S +∞→= 14.已知定义域为R 的偶函数)(x f ，对于任意R x ∈，满足)2()2(x f x f -=+。

且当20≤≤x 时x x f =)(。

令)()(1x g x g =，))(()(1x g g x g n n -=，其中*N n ∈，函数⎩⎨⎧≤<-≤≤=2124102)(x x x xx g 则方程2014))((xx f g n =的解的个数为 （结果用n 表示） 二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分. 15. 记max{a ，b }为a 和b 两数中的较大数．设函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，则“()f x 和()g x 都是偶函数”是“函数{}()max ()()F x f x g x =，为偶函数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件.C.充要条件.D.既不充分也不必要条件. 16.将函数)32cos(π-=x y 的图象向左平移6π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的一条对称轴是 A ．3π=x B.6π=x C ．x π= D.2x π=17.如图，偶函数)(x f 的图象形如字母M ，奇函数)(x g 的图象形如字母N ，若方程：(())0,f f x =(())0,f g x =0))((,0))((==x f g x g g 的实数根的个数分别为a 、b 、c 、d ，则d c b a +++=A ．27B ．30C ．33D ．36 18.已知[)x 表示大于x 的最小整数，例如[)[)34, 1.31=-=-．下列命题:①函数[)()f x x x =-的值域是(]0,1；②若{}n a 是等差数列，则[){}n a 也是等差数列； ③若{}n a 是等比数列，则[){}n a 也是等比数列； ④若()1,2014x ∈，则方程[)12x x -=有2013个根. 其中正确的是A.②④B.③④C.①③D.①④ 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点．（1）证明：SO ⊥平面ABC ；OSBC)x（2）求二面角A SC B--的余弦值．20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知A B、分别在射线CM、在ABC∆中，角A、B、C （1）若a、b、c（2）若c=ABC∠=θABC∆值．21.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）给定数列12n a a a ，，，.对1,2,,1i n =- ,该数列前i 项的最大值记为i A ,后n i -项12i i n a a a ++ ，，，的最小值记为i B ,i i i d A B =-.(1)设12n a a a ，，，(4n ≥)是公比大于1的等比数列,且10a >.证明:1d ,2d ,...,1n d -是等比数列(2)设1d ,2d ,...,1n d -是公差大于0的等差数列,且10d >,证明:1a ,2a ,...,1n a -是等差数列22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短半轴长为2，椭圆C1．（1）求椭圆C 的方程（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B π2AOB ∠=． 求证：原点O 到直线AB 的距离为定值 (3)在（2）的条件下，求AB 的最小值23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）对于函数12(),(),()f x f x h x ，如果存在实数,a b 使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅，那么称()h x 为12(),()f x f x 的生成函数.（1）下面给出两组函数，()h x 是否分别为12(),()f x f x 的生成函数？并说明理由； 第一组：12()lg,()lg10,()lg 10xf x f x x h x x ===； 第二组：1)(,1)(,)(22221+-=++=-=x x x h x x x f x x x f ；（2）设12212()log ,()log ,2,1f x x f x x a b ====，生成函数()h x .若不等式23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，求实数t 的取值范围；（3）设121()(0),()(0)f x x x f x x x=>=>，取0,0a b >>，生成函数()h x 图像的最低点坐标为(2,8). 若对于任意正实数21,x x 且121x x +=.试问是否存在最大的常数m ，使m x h x h ≥)()(21恒成立？如果存在，求出这个m 的值；如果不存在，请说明理由.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.()),3(3,2+∞⋃ 2. 5 3. 13- 6. 4 7.()()+∞⋃-,50,5 8.12n n a -=*()n ∈N 9.[2,)+∞ 10. 2 11. 6 12. 2 13.81 14.n 22014⨯二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分. 15. A 16.C 17. B 18.D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）（1）由题设AB AC SB SC ====SA ，连结OA ，ABC △为等腰直角三角形，所以2OA OB OC ===，且AO BC ⊥，又SBC △为等腰三角形，SO BC ⊥，且2SO SA =，从而222OA SO SA +=． 所 以SOA △为直角三角形，SO AO ⊥．又AO BO O = ． 所以SO ⊥平面ABC ．（2）取SC 中点M ，连结AM OM ，，由（1）知SO OC SA AC ==，，得OM SC AM SC ⊥⊥，．OMA ∠∴为二面角A SC B --的平面角． 由AO BC AO SO SO BC O ⊥⊥= ，，得AO ⊥平面SBC ．所以AO OM ⊥，又2AM SA =，故sin 3AO AMO AM ∠===．所以二面角A SC B --20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1） a 、b 、c 成等差，且公差为2，∴4a c =-、2b c =-. 又 23MCN ∠=π，1cos 2C =-， ∴222122a b c ab +-=-， ∴()()()()2224212422c c c c c -+--=---， 恒等变形得 29140c c -+=，解得7c =或2c =.又 4c >，∴7c =. （2）在ABC ∆中，sin sin sin AC BC AB ABC BAC ACB ==∠∠∠，∴22sin sinsin 33ACBC ===ππθ⎛⎫-θ ⎪⎝⎭，2sin AC =θ，2sin 3BC π⎛⎫=-θ ⎪⎝⎭.∴ABC ∆的周长()f θAC BC AB =++2sin 2sin 3π⎛⎫=θ+-θ ⎪⎝⎭12sin 2⎡⎤=θ+θ+⎢⎥⎣⎦2sin 3π⎛⎫=θ++ ⎪⎝⎭又 0,3π⎛⎫θ∈ ⎪⎝⎭，∴2333πππθ<+<, ∴当32ππθ+=即6πθ=时，()f θ取得最大值2．21.（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分） (1)因为10a >,公比1q >,所以12n a a a ，，，是递增数列. 因此,对1,2,,1i n =- ,i i A a =,1i i B a +=.于是对1,2,,1i n =- ,111(1)i i i i i i d A B a a a q q -+=-=-=-.因此0i d ≠且1i id q d +=(1,2,,2i n =- ),即1d ,2d ,,1n d -是等比数列. (2)设d 为1d ,2d ,,1n d -的公差. 对12i n ≤≤-,因为1i i B B +≤,d >,所以111i i i A B d +++=+i i B d d ≥++i i B d >+=i A .又因为{}11max ,i i i A A a ++=,所以11i i i i a A A a ++=>≥.从而121n a a a - ，，，是递增数列,因此i i A a =(1,2,,2i n =- ). 又因为111111B A d a d a =-=-<,所以1121n B a a a -<<<< . 因此1n a B =. 所以121n n B B B a -==== . 所以i i a A ==i i n i B d a d +=+.因此对1,2,,2i n =- 都有11i i i i a a d d d ++-=-=,即1a ,2a ,...,1n a -是等差数列.22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）（1）由题意，可设椭圆C的方程为22221(0)y x a b a b+=>>，2221221a c a b b c a b c ⎧⎧-==⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪==+⎩⎩，，，， 所以椭圆方程为22154x y +=（2）设原点O 到直线AB的距离为h ，则由题设及面积公式知OA OBh AB⋅=．当直线OA 的斜率不存在或斜率为0时，2OA OB ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2OB OA ⎧=⎪⎨=⎪⎩．于是d ==当直线OA 的斜率k 存在且不为0时，则22222115454x y xk x y kx ⎧⎪+=⇒+=⎨⎪=⎩，， 解得22222111A A x k k y k ⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎪⎩，． 同理22221115411154BB x k k y k ⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎪⎩，． 在Rt △OAB中，22222222OA OB OA OB h AB OA OB ⋅⋅==+，则222222222222222111111115544545411111k k k OA OB k h OA OB OA OB k k k k+++++==+=+=+⋅++++()()221111454511945201k k +++==+=+，所以h =．综上，原点O 到直线AB另解：()()()()()()2222222222222222111111111554411111111141114k kk k OA OB k k h OA OB k k k k k kkk ++⋅++++⋅===+++++++++++222212999920201020k k k k ++==++，所以h ．（3）因为h 为定值，于是求AB 的最小值即求OA OB ⋅的最小值．22OA OB ⋅()()()()222222111211*********k k k k k k kk ++++=⋅=++++， 令221t k k =+，则2t ≥，于是22OA OB ⋅=()220401202011412041204120400t t t t t ++=⋅=-+++，因为2t ≥，所以()22116002018181OA OB ⋅⋅-=≥， 当且仅当2t =，即1k =±，OA OB ⋅取得最小值409，因而min 40AB == 所以AB．23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）（1）①lg lg10lg 10x a b x x +={1011,22a b a b a b +=-=∴== 所以()h x 是12(),()f x f x 的生成函数 ② 设222()(1)1a x x b x x x x ++++=-+，即22()()1a b x a b x b x x ++++=-+， 则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+111b b a b a ，该方程组无解.所以()h x 不是12(),()f x f x 的生成函数. （2）122122()2()()2log log log h x f x f x x x x =+=+=若不等式23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，23()2()0h x h x t ++<，即22223()2()3log 2log t h x h x x x <--=--设2log s x =，则[1,2]s ∈，22223log 2log 32y x x s s =--=--，max 5y =-，故，5t <-.（3）由题意，得()(0)b h x ax x x =+>，则()b h x ax x=+≥2828b a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得28a b =⎧⎨=⎩，所以8()2(0)h x x x x =+> 假设存在最大的常数m ，使m x h x h ≥)()(21恒成立.于是设)(16644)4)(4(4)()(12212121221121x x x x x x x x x x x x x h x h u +++=++== =2221212121212121212121212()2646480416416432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-++⋅=++⋅=+-令12t x x =，则41)2(22121=+≤=x x x x t ，即]41,0(∈t 设80432u t t=+-在]41,0(∈t 上单调递减， 289)41(=≥u u ，故存在最大的常数289m =。