二次函数的综合运用

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二次函数的综合运用

类型一、利用二次函数求实际问题中的最大(小)值

1. 凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元,售价20元,多买优惠,优势方法是:凡是一次买10只以上的,每多买一只,所买的全部计算器每只就降价0.1元,例如:某人买18只计算器,于是每只降价0.1×(18﹣10)=0.8(元),因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买,但是每只计算器的最低售价为16元.

(1)求一次至少购买多少只计算器,才能以最低价购买?

(2)求写出该文具店一次销售x(x>10)只时,所获利润y(元)与x(只)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

(3)一天,甲顾客购买了46只,乙顾客购买了50只,店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多,请你说明发生这一现象的原因;当10<x≤50时,为了获得最大利润,店家一次应卖多少只?这时的售价是多少?

2. 某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫,规定试销时的销售单价不低于成本价,又不高于每件70元,试销中销售量y(件)与销售单价x(元)的关系可以近似的看作一次函数(如图).

(1)求y与x之间的函数关系式;

(2)设公司获得的总利润为P元,求P与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;根据题意判断:当x取何值时,P的值最大?最大值是多少?(总利润=总销售额-总成本)

3. 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售,对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价

1

y(元)与销售月份x(月)满

足关系式3

36

8

y x

=-+,而其每千克成本

2

y(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所

示.

⑴试确定b、c的值;

⑵求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式;

⑶ “五·一”之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?

类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题

4. 某工厂大门是抛物线形水泥建筑,大门地面宽为4m,顶部距离地面的高度为4.4m,现有一辆满载货物的汽车欲通大门,其装货宽度为2.4m,高度为8.2m,试判断该车能否顺利通过此门。

y2

5. 如图所示,一位运动员在距篮下4米处跳起投篮,球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5 m时,达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮筐,已知篮筐中心到地面的距离为3.05 m,若该运动员身高1.8 m,在这次跳投中,球在头顶上方0.25 m处出手,问:球出手时,他跳离地面的高度是多少?

类型三、利用二次函数解决有关图形及面积问题

6. 如图,矩形纸片ABCD,AD=8,AB=10,点F在AB上,分别以AF、FB为边裁出的两个小正方形纸片面积和S的取值范围是.

7. 已知平面直角坐标系xOy(如图所示),一次函数

3

3

4

y x

=+的图象与y轴交于点A,

点M在正比例函数

3

2

y x

=的图象上,且MO=MA,二次函数2

y x bx c

=++的图象经过

点A、M.

(1)求线段AM的长;

(2)求这个二次函数的解析式;

(3)如果点B在y轴上,且位于点A下方,点C在上述二次函数的图象上,点D在一次

函数

3

3

4

y x

=+的图象上,且四边形ABCD是菱形,求点C的坐标.

8. 二次函数的图象如图所示,根据图象解答下列问题:

(1)写出方程的两个根;

(2)写出不等式的解集;

(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围;

(4)若方程有两个不相等的实数根,求

k的取值范围.

9. 如图,抛物线与x 轴交于(10)A ,,(30)B -,两点,

⑴ 求该抛物线的解析式;

⑵ 设⑴中的抛物线交y 轴于C 点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使得△QAC 的周长最小?若存在,求出Q 点的坐标;若不存在,请说明理由.

⑶ 在⑴中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ,使△PBC 的面积最大?若存在,求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有,请说明理由.

c bx x y ++-=

2

类型四、用二次函数解决有关动点问题

10. 如图,已知二次函数y1=﹣x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A(4,0),与y

轴的交点为B,过A、B的直线为y2=kx+b.

(1)求二次函数y1的解析式及点B的坐标;

(2)由图象写出满足y1<y2的自变量x的取值范围;

(3)在两坐标轴上是否存在点P,使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形?若存在,求出P的坐标;若不存在,说明理由.

11. 在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0)、B(0,-4)、C(2,0)三点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值;

(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.

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