二次函数的综合运用

二次函数的综合运用

类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值

1. 凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18﹣10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．

（1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？

（2）求写出该文具店一次销售x（x＞10）只时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？

2. 某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）设公司获得的总利润为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？（总利润=总销售额-总成本）

3. 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价

1

y（元）与销售月份x（月）满

足关系式3

36

8

y x

=-+，而其每千克成本

2

y（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所

示．

⑴试确定b、c的值；

⑵求出这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式；

⑶ “五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？

类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题

4. 某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽为4m，顶部距离地面的高度为4.4m，现有一辆满载货物的汽车欲通大门，其装货宽度为2.4m，高度为8.2m，试判断该车能否顺利通过此门。

y2

5. 如图所示，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮筐，已知篮筐中心到地面的距离为3.05 m，若该运动员身高1.8 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?

类型三、利用二次函数解决有关图形及面积问题

6. 如图，矩形纸片ABCD，AD=8，AB=10，点F在AB上，分别以AF、FB为边裁出的两个小正方形纸片面积和S的取值范围是．

7. 已知平面直角坐标系xOy(如图所示)，一次函数

3

3

4

y x

=+的图象与y轴交于点A，

点M在正比例函数

3

2

y x

=的图象上，且MO＝MA，二次函数2

y x bx c

=++的图象经过

点A、M．

(1)求线段AM的长；

(2)求这个二次函数的解析式；

(3)如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次

函数

3

3

4

y x

=+的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．

8. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：

(1)写出方程的两个根；

(2)写出不等式的解集；

(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；

(4)若方程有两个不相等的实数根，求

k的取值范围．

9. 如图，抛物线与x 轴交于(10)A ，,(30)B -，两点，

⑴ 求该抛物线的解析式；

⑵ 设⑴中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.

⑶ 在⑴中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.

c bx x y ++-=

2

类型四、用二次函数解决有关动点问题

10. 如图，已知二次函数y1=﹣x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y

轴的交点为B，过A、B的直线为y2=kx+b．

（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；

（2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；

（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．

11. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)三点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．