第五章 向量空间

第五章向量空间

向量空间或称线性空间是一个重要的代数系统（定义了代数运算的集合），现代数学所涉及的欧氏空间、U空间、希尔伯特空间等都是建立在向量空间的基础上的.

我们知道,在n元向量集和n

m⨯矩阵集中,都分别定义了加法和数乘运算,并且就这两种运算的基本性质而言,在形式上是完全一样的.向量空间就是对这类集合的共性的抽象.学习向量空间的理论,不仅有助于深化对矩阵理论、线性方程组理论等内容的理解,同时也为后面两章内容的讨论奠定了基础.除此之外,向量空间的理论和方法在自然科学、工程技术等领域都有一定的应用.

本章重点是向量空间的定义、基、内积、正交矩阵等.

5.1 向量空间的概念

定义 1设V是一个非空集,F是一个数域．如果：

1) V中定义了一个加法．α

∀、∈

βV, V中有唯一确定的元与它们对应,这个元称为α与β的和,记为αβ.

2) F到V有一个数量乘法．k∀∈F,∀α∈V,V中有唯一确定的元与它们对应,这个元称为k与α的数量乘积,记为αk.

3) 加法与数量乘法满足以下算律：

∀α、β、γ∈V,∀k、l∈F

1 αβ=βα；

2 (αβ)γ=α(βγ)；

3 ∈V,称为V的零元,有α=α；

4 α-∈V ,称为α的负元,有α(α-)=

；

5 βαβαk k k +=+)(；

6 αααl k l k +=+)(；

7 )()(ααl k kl =；

8 αα=1,

那么称V 是数域F 上的一个向量空间.

向量空间V 的元称为向量.定义1中的条件1)和2)可以合并为:F l k V ∈∀∈∀、、,βα,有V l k ∈+βα.由于运算是线性的,也将向量空间称为线性空间.

例 1 n F 为数域F 上所有n 元向量构成的集,对向量的加法和数乘,n F 是F 上的一个向量空间.

例 2 )(},|){()(F M F a a F M ij n m ij ∈=⨯对矩阵的加法和数量乘法构成F 上的一个向量空间.

例3 在解析几何里,平面或空间中从原点出发的一切向量对向量的加法和实数与向量的乘法都构成实数域上的向量空间.分别记为32,V V .

例4 令],[b a C 为定义在区间],[b a 上的一切连续函数所构成的集.对函数的加法,实数与函数的乘法,],[b a C 是实数域上的向量空间.

例 5 复数域C 是实数域R 上的向量空间.任意数域都是它自身上的向量空间.

由定义1,可以推出向量空间V 的如下几个性质： 1. 在向量空间V 中,零向量是唯一的.

事实上,若10与20都是V 的零向量,便有22110000=+=. 2. V 中每一向量的负向量是唯一的.

事实上,V ∈∀α,若21,αα都是α的负向量,即有0,021=+=+αααα,那么222121110)()(0αααααααααα=+=++=++=+=.

规定α-β=α+ (-β). 3. 在V 中,

(Ⅰ) 00＝α； (Ⅱ) 00=k ；

(Ⅲ) αααk k k -=-=-)()(.

事实上, 0=+αα0=+αα1(0+1)ααα==1.等式两边同时加上(-α),得0α=0.故（i ）式成立.

由0)00(00k k k k =+=+,两边加上0)(k -,得00=k ,即(ii)式成立.

由00)()(==+-=+-k k k k αααα,即)(α-k 是αk 的负元,所以ααk k -=-)(.同样可得ααk k -=-)(.

4. 在V 中,如果0=αk ,则=k 0或0=α.

事实上,若0=αk ,而≠k 0,那么001)(1==k

k k

α.又

αααα===1)1

()(1k k

k k ,故.0=α

此外,由于V 中的加法满足交换律﹑结合律,V 中s 个向量相加,可以任意交换各项的次序,任意添加括号,所得结果都相同.

定义 2 设V 是数域F 上的向量空间,.,φ≠⊆W V W 如果F k W ∈∀∈∀,βα、,有

W

k W ∈∈+αβα,, (1)

那么称W 是V 的一个子空间.

由定义,V 的子空间一定含V 中的零向量(则,W ∈α0W ∈=0α).如果W 是V 的子空间,那么W 也是数域F 上的向量空间.这是因为W 对V 的加法和F 到V 的数量乘法封闭，而定义1中的算律1 至8 在V 中成立,在W 中当然成立.

例 6. 由向量空间V 的零向量构成的集{0}是V 的子空间,称为零空间.V 自身是V 的子空间.这两个子空间都称为V 的平凡子空间.

例7. n F 中一切形如

),0,,,,(121-n a a a F a i ∈

的向量构成的集是n F 的一个子空间.

定义2中的条件（1）可表示为:F l k W ∈∀∈∀、、,βα W l k ∈+βα. （2）

反之,若（2）成立,则W 是V 的一个子空间. 事实上,在（2）中,令1==l k ,得W ∈+βα;令0=l ,得W k ∈α,由定义2,W 是V 的子空间.

在向量空间V 中,我们可以依照 3.2中n 元向量线性相关性的表述来定义诸如向量的线性组合、线性相关等相应的概念,从而得出相应的结论.从形式上说,这些概念、结论的表述是完全一样的.只是在向量空间中涉及这些概念、结论的对象——向量以及线性运算,已经不局限于n 元向量及其运算.在此,不再一一列出.

现设V 是数域F 上的向量空间,V 中的s 个向量s ααα,,,21 的一切线性组合构成的集

},,2,1,|{2211s i F k k k k s i s s =∈+++=ααα

是V 的一个子空间.

事实上,∀α﹑β∈S ,∀k ∈F ,令s s k k k αααα+++= 2211,2211ααβl l += s s l α++ ,那么α+β与αk 仍为s ααα,,,21 的线性组合,即有α+β∈S ,αk ∈S .故S 是V 的子空间,它称为由s ααα,,,21 生成的子空间,记为 L (s ααα,,,21 ), s ααα,,,21 称为生成向量.

下面我们看一个例子.

m 个方程n 个未知量的齐次线性方程组0=AX ,它的所有解向量的集{}元列向量为n A T ααα,0==是n F 的非空子集.

若n

F ∈βα、（βα、为n 元列向量）,有0,0==βαA A ,那么F k ∈∀,

则0)(=+βαA ,0)(=αk A .即F k T ∈∈∀,,βα,有T k T ∈∈+αβα,.因此T 是n F 的一个子空间.由于0=AX 的任一解都可表示为它的基础解系的线性组合,若r n -ηηη,,,21 是0=AX 的一个基础解系,那么α﹑β可表示为r n -ηηη,,,21 的线性组合,于是T 包