能控性能观性

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引言： 人类对自然的认识和改造， 本质上都是使自然界发生的物质过程和自然力受 控于人的控制活动。 人们正是在争取控制自然的斗争中逐渐积累一些有关控制自 然事物和认识自然事物的知识，创造了一些控制自然和认识自然的手段和方法。 随着人类生产活动既其他社会实践的发展， 被控制对象的范围越来越大， 人对被 控制对象系统的控制要求越来越高， 且人直接作为控制过程和关系过程的环节已 经难以有效地对被控制对象系统进行调控和观测。 因此， 被控对象系统的能观性 及人的控制能力与被观对象系统的能观性及人的观测能力问题， 即系统能控性与 能观性问题，就随之被提出来。 能控性与能观性在现代控制理论中是很重要的两个基础性概念。 线性控制系 统的许多重要属性如最优控制、最佳估计等都与这两个概念相关联。20 世纪 60 年代卡尔曼(Ka lman)提出这两个概念。 能控性指的是控制作用对被控系统状态进 行控制的可能性, 能观性指的是由系统测量值确定系统状态的可能性。对于给定 的系统称其完全能控是指对任意初始时刻的任意一个初始状态总可以找到一个 容许控制使得系统在有限时间内达到目标状态。 完全能观性是指对任意初始状态 均可用以后有限时间内的输入与输出来唯一确定。 对于线性系统能控性可等价地 表述成从初始状态到达原点的可能性。 能观性与输入无关。 对于非线性系统无论 是完全能控性还是完全能观性都是非常困难的。 因此对于非线性系统目前只局限 于局部能控性与局部能观性。所以这里我们研究线性控制系统的能控性与能观 性。 在经典控制理论中, 由于所讨论的是单输入单输出系统,它的输入量与输出量 之间的关系可唯一地由系统传递函数所确定, 即只要满足系统稳定条件输出量 就可以按一定的要求进行控制, 同时它也是能观测到的。而在现代控制中我们着 眼于对状态的控制即状态矢量 x 能否通过被 u 所控制。而 x 能否通过输出量 y 的量测来获得, 这完全由被控系统的内部特性所决定。所以存在系统内部状态能 控性与能观性的问题。
ATCT L
( AT )n−1 CT 满秩。对于约旦规范型的线性定常连
续系统， 若 A 为某个特征值有—个或者多个约旦块的约旦矩阵， 系统能观测的充 分必要条件是对于 A 的每一个特征值的所有约旦块的分块的第一列线性无关。 2.3、 线性定常离散系统的能控性 N 阶线性定常离散定常系统状态空间描述为 ， 其中 x(k) 为 n 维离散状态向量， 为 为 r 维离散输入向量， 为 m 维离散输出向量，G
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N 维离散定常系统， 设输人为零时， 其解为
,对于离散系统，
若能依据在有限个采样瞬间上测到的输出序列{y(0)，Y(1)，…y(n)}，唯一地确定 出任意初始状态 x(0)，则称系统是状态完全能观测的。如果 N 维线性定常离散系 统有 m 个输出， 则系统能观测的充分必要条件为 维能观性判别矩阵满秩。
维系统矩阵，H 为 nxr 维输入矩阵，C 为 m×n 维输出矩阵，D 为 m×r
维直接传递矩阵，采样周 期 T 为常数。能控性：为了不失一般性，假设任意给定的—个初始状态 x(0)，如 果在有限的采样周期内，存在容许控制向量序列{u(0)，U(1)，…u(l—1)l≤n}使系 统在第 l 步到达零状态，即 x(l)=0，那么就称此状态是能控的。如果系统的所有 状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的。线性定常离散系统能控 的充分必要条件是 型能控判别矩阵 M 满秩，即 。 定常连续系统与定常离散系统能控性判别条件是一致的， 有内在联系。 如果 离散系统的系统矩阵 G 和控制矩阵 H 与连续系统的矩阵 A 和控制矩阵 B 相同， 则它们的能控性相同。 2.4、 线性定常离散系统的能观性 线性定常离散系统的能观性
L
作用下的基本解矩阵。 1.1.2、 状态转移矩阵的性质 一般情况下，线性时变系统初值问题

uu r v dx = A( t ) x ( t ) + f ( t ) dt r r x ( t0 ) = x0
的解为
φ (t , t ) = It ∈ t0 , t f
其中 φ (t , t0 ) 是状态转移矩阵，状态转移矩阵是下列矩阵的初值问题的解
性连续系统状态空间表达式为
{
x = A( t ) x y = c( t ) x
.
，在控制矢量
恒为零时，根据在有
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限时间区间量
测到的输出
能够唯一地确定系统在 to 时刻的初始状态
x(to)， 则称该 X(to)在时间区间
内是能观测的。 若系统在 t0 时刻的所有初
始状态都是能观测的， 则称系统的状态是完全能观测的， 该系统称为状态能观测 系统。若系统存在某一初始状态不能观测，则该系统为不能观测系统。能观测性 可以利用 MATLAB 来进行判定。 线性定常连续系统能观测的充分必要条件是其能 控矩阵 Qg = CT
（2） 状态值
的物理意义为，在其作用下，将系统的状态由初始时刻的初始 转移至当前时刻的当前状态 。
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（3 1 0 e1 = M 0
是方程 0 1 e2 = M 0
在 n 个基向量 0 0 en = M 1
2、 主要结论 主要结论： 结论： 对于以状态空间法描述的系统， 其输入和输出构成系统的外部变量， 而其状 态为内部变量。我们可以将控制系统的能控性和能观性问题描述如下： 能控性问题 已知某系统当前的时刻及其状态，试问是否存在一个容许控制，
使得系统在该控制的作用下于有限时间后到达某希望的特定状态？ 能观性问题 已知某系统及其在某时间段上的输入和输出，试问可否依据这 一时间段上的输入和输出决定出系统这一时间段上的状态？ 简单地说， 上述能控性问题即是研究系统的内部状态变量可否由控制输入完影响 的问题。 如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制， 而由任意 的始点达到原点， 那么就称该系统是能控的。 能观性问题是研究系统的输入和输 出是否完全反映系统状态的问题。 如果系统的所有状态变量的任意形式的运动均 可由输出完全反映，则称系统是状态能观的。 2.1、 线性连续系统的能控性
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状态能控性：线性连续系统的状态方程为 x = A ( t ) x + B ( t ) u0 ，若对于 时刻 初始状态 一初态 可以找到—个控制矢量 u，能在有限时间 转移至任意指定状态 ，那么就称此状态 内把把系统从某 是能控的。若
.
系统在态空间中的所有状态都是能控的，那么就称系统在 状态ห้องสมุดไป่ตู้全能控的，简称状态是能控的。
线性控制系统的能控性与能观性
何贵鑫
信计 1001 1301100104
摘要： 摘要 控制系统的能控性与能观性是建立在状态空间描述的基础之上的。能控性与能观性
是利用状态方程、输出方程分析输入 u（t）对状态 x（t）的控制能力和输出 y（t）对状态 的反映能力。 一个系统若具有很好的能控性和能观性, 我们就可以对它实施最优控制。 在详 细讨论能控性能观性的基础上， 了解判别能控性能观性的基本准则以及能控性与能观性之间 的对偶关系。 关键字: 关键字 能控性; 能观性; 输入; 输出; 状态
如果系统矩阵 A(t )的元素在定义区间内绝对可积 唯一解，其解为:
,则方程存在
式中，
是一个变换矩阵，它把初始状态向量
变换到另一状态向量
)，起着状态转移的作用，因些称为线性系统的状态转移矩阵，是满足矩阵方 程：
的解，式中
分别表示初始时刻和终止时刻。
下面就状态转移矩阵进行讨论。 （1）状态转移矩阵 初始时刻 的函数，即 是一个 矩阵，它不仅是时间 t 的函数，也是
性质 2 状态转移矩阵的逆
φ −1 (t , t0 ) = φ (t , t0 )
性质 3 状态转移矩阵的初始阵
φ (t , t ) = It ∈ t 0 , t f
1.2、 线性系统的数学描述 在经典控制理论中， 采用表达系统输入量与输出量之间关系的微分方程或传 递函数作为描述系统动态特征的数学模型， 但这两种数学模型只描述了系统的外
Abstrac： Controllability and observability alebasedon thestate spacedescription． They aleused to analyze control ability of input ON state and reaction ability of output on state by employing state equation and output equation．If a sys-tern has nice eontroUabihty and observability．we Call carry out optimum control Oil it． Keywords：controllability；observability；input；output；state
时间间隔内是
输出能控性： 在分析和设计控制系统的许多情况中， 系统的被控制量往往不 是系统的状态，而是系统的输出。设系统状态空间的表达式为： 如果存在—个控制矢量 u 在有限的时间间隔 出 转移到任一制定的最终输出
{
.
x = Ax + Bu y = cx + du
， ，
)内能将任一给定的初始输 ，则此系统是输出完全能控的。利
1、 预备知识
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1.1、 状态转移矩阵 在状态空间分析法中， 状态转移矩阵是一个十分重要的概念， 采用状态转移 矩阵可以对线性系统的运动给出一个清晰地描述。 只有采用状态转移矩阵才能使 时变系统状态方程的解得以写成解析形式， 从而有可能建立一种对定常系统和时 变系统都适用的统一的求解公式。 1.1.1、 基本概念 线性齐次系统的方程为
φ ( t ,t0 ) = A( t )φ ( t ,t0 ) dx dt φ (t0 ,t0 )= I
状态转移矩阵 φ (t , t0 ) 有如下的性质: 性质 1 状态转移矩阵的传递性
φ (t2 , t1 )φ (t1 , t0 ) = φ (t2 , t0 )t ∈ t0 , t f
用 MATIAB 可以对系统进行能控性的判定。线性定常系统状态完全能控的充分必 要条件是其能控性矩阵 QA = [ B
AB L An −1B ] B]满秩， 如果 A 为某个特征值有
一个或者多个约旦矩阵， 则系统能控的充分必要条件是对于 A 的每个特征值的约 旦块的 B 分块的最后一行都不全为零。 线性定常系统的输出的能控性判据为能控 矩阵 [C CB L CAn−1B ] 满秩。 2.2、 线性连续系统的能观性 为了降低参数灵敏度， 抑制干扰构成最优系统， 控制系统通常采用反馈形式。 反馈告息是通过系统的状态变量组合而成的。 由于并非所有的状态变量在物理上 都是可测量的， 于是提出能否通过对输出的测量而获得全部状态变量的信息， 即 系统的可观性。能观性是指系统状态和输出量之间的关系，换言之，我们能否通 过对输出量在有限时间间隔内的量测， 来确定或识别任一时刻系统的状态。 设线
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部特征，不足以揭示系统的全部特征。另外作为参数模型，传递函数仅可以表示 线性定常系统， 不能用于描述线性时变系统或者非线性系统。 在现代控制理论中， 采用状态空间表达式作为系统的数学模型。状态空间表达式为向量微分方程组， 它描述了系统的输入、 输出与系统内部状态之间的关系， 提示了状态的运动关系， 反映了系统动态特性的全部信息。 状态空间表达式除了可以作为线性定常系统的 数学描述外，还可以用于线性时变系统或者非线性系统的数学描述。有关状态、 状态空间及状态空间表达式等线性系统的基本概念是现代控制理论中状态空间 分析的基础。 1.3、矩阵的秩 矩阵的秩是反映矩阵固有特性的一个重要概念。 设 A 是一组向量，定义 A 的极大无关组中向量的个数为 A 的秩。 定义 1. 在 m*n 矩阵 A 中，任意决定 k 行和 k 列交叉点上的元素构成 A 的一个 k 阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为 A 的一个 k 阶子式。 定义 2. A=(aij)m×n 的不为零的子式的最大阶数称为矩阵 A 的秩， 记作 rA， 或 rankA 或 R(A)。