概率论及数理统计概率分布

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式中，为总体均数，为总体标准差，为圆周
率，e为自然对数的底，仅x为变量。
当x确定后， f(x)为X相应的纵坐标高度，则X服 从参数为μ和σ2的正态分布(normal distribution)，记 作X~N( , 2)。
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布
一般地，若连续型随机变量，设其概率密度函
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2.正态分布的特征
1. 对称性：正态分布为单峰、对称分布，以均数为中心， 左右对称。
2. 正态分布的图形由均数和标准差两个参数决定。 位置参
数，即集中趋势的位置；变异度参数，表示正态变量
取值的离中程度。
3. 概率密度函数f(x)在x取均值时达到最大，峰值为 1
2
4. 随机变量X的取值从-∞到+∞，相应的概率密度函数对应 的曲线位于x轴上方，并与X轴永不相交；
数为 f (x)，则X取值落在区间（ ，x）内的累积
概率为概率密度曲线下位于（ ，x）的图形面积，
等于其概率密度函数 在f ( x) 到x上的积分，记
作 。F(x)
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布
F( x) P( X x) 1
e d t x
(
t )2 2 2
2 π
称F(x)为正态分布 N (, 2 ) 的概率密度函 数。其值表示变量落在区间 （ ，x）的概率， 对应于从-∞到x概率密度曲线下的阴影的面 积（常称为左侧尾部面积），见图3。
布变换为标准正态分布N(0,1)。U为标准正态 变量或标准正态离差。
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表1 某医院1402例分娩孕妇体重频数分布
体重wk.baidu.com段
频数
频率 (频数/总频数)
累积频率
频率密度 (频率/组距)
48-
6 0.0043
0.0043 0.0011
52-
54 0.0385
0.0428 0.0096
56- 162 0.1155
0.1583 0.0289
离散型变量
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【教学目的】
了解
掌握
正态分布的密度函 正态分布曲线的特
数
征及应用
二项分布的应用 Poisson分布的应用
二项分布的概念与 特征
Poisson分布的概念 与特征
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一、正态分布
1. 概念
频率密度图的绘制
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图6 正态分布曲线下面积分布规律示意图
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3. 标准正态分布
为 了 实 际 应 用 的 方 便 ， 设 U=(x-)/ 或 Z=(x-)/，即将原点移到的位置，横轴尺 度以为单位，使=0，=1，则将原正态分
第二章 概率分布
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引言
由于存在个体差异，即使从同一总体中抽 取的两份样本之间也会有所不同，因此需 要对总体特征做出描述。
随机变量的分布常见的有三种类型：
正态分布（normal distribution）
连续型变量
二项分布（binominal distribution） Poisson 分布（ Poisson distribution）
60- 293 0.2090
0.3673 0.0522
64- 359 0.2561
0.6234 0.0640
68- 298 0.2126
0.8359 0.0531
72- 140 0.0999
0.9358 0.0250
76-
70 0.0499
0.9857 0.0125
80-
17 0.0121
0.9979 0.0030
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图3 正态分布的概率密度函数
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于是，利用概率密度函数 F(x可) 以计算正态分 布变量取值在任意区间（a,b）的概率为
P(a≤X<b)= F(b) F(a)
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5. 正态分布曲线下的面积分布有一定规律：
正态曲线与横轴所夹的面积为1。
位于( μ 1.64σ,μ 1.64σ)
位于( μ 1.96σ,μ 1.96σ)
( 2.58 , 2.58 )
位于
内的面积为0.90； 内的面积为0.95； 内的面积为0.99。
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图4 正态分布位置变换示意图
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f(X)
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
X
图5 正态分布形态变换示意图
84-
3 0.0021
1.0000 0.0005
08.01.2021 合计 1402概率论1及.00数0理0 统计概率分
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布
体重频率密度
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00 48- 56- 64- 72- 80体重（kg）
图1 体重频率密度图
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若将各直条顶端的中点顺次连接起来,得 到一条折线。当样本量n越来越大时，组段越 分越细，此时直方渐进直条，这条折线就越来 越接近于一条光滑的曲线（见图1、2），我们 把这条呈中间高，两边低，左右基本对称的 “钟型”曲线称为正态分布曲线，近似于数学 上的正态分布（高斯分布; Gauss）。
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0.08
0.06
体重频率密度
0.04
0.02
0.00 48- 56- 64- 72- 80-
体重（kg）
图1 体重频率密度图
图2 概率密度曲线示意图
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正态分布的密度函数
f ( X ) 1 e( X )2 / 2 2 , X
例：随机调查某医院1402例待分娩孕妇，测得她们的体重。 体重在各组段的频数分布见表1第2列，并求得体重落在
各组段的频率（表1的第3列）。现以体重测量值为横 轴，以频率与组距的比值为纵轴作出直方图。由于 该直方图的纵轴表示在每个组段内单位长所占有的 频率，相当于频率密度，因此我们将此图称为频率 密度图（见图1）。