初中考试数学专题讲解：二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax²+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
动点问题题型方法归纳总结
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）
（3）当 为何值时，四边形 的面积 有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形 能否形成矩形？若能，求出此时 的值；若不能，请说明理由．
[解]（1）点 ，点 ，点 关于原点的对称点分别为 ， ， ．
设抛物线 的解析式是
，
则
解得
所以所求抛物线的解析式是 ．
（2）由（1）可计算得点 ．
过点 作 ，垂足为 ．
设点D的坐标为
∴ ，
∴
∴
=
③
7.关于 的二次函数 以 轴为对称轴，且与 轴的交点在 轴上方．
（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；
（2）设 是 轴右侧抛物线上的一个动点，过点 作 垂直于 轴于点 ，再过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ，过点 作 垂直于 轴于点 ，得到矩形 ．设矩形 的周长为 ，点 的横坐标为 ，试求 关于 的函数关系式；
②同理当点 在 边上运动时，可算得 ．
而构成直角时交 轴于 ， ，
所以 ，从而 的点 也有1个．
所以当点 沿这两边运动时， 的点 有2个．
6.（本题满分14分）如图 ，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，已知二次函数的图象经过点 、 和点 .
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为 ，求四边形 的面积；
4.如图①，正方形 的顶点 的坐标分别为 ，顶点 在第一象限．点 从点 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点 从点 出发，沿 轴正方向以相同速度运动．当点 到达点 时， 两点同时停止运动，设运动的时间为 秒．
（1）求正方形 的边长．
（2）当点 在 边上运动时， 的面积 （平方单位）与时间 （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求 两点的运动速度．
（3）①不存在DE∥OC
∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时 ，在 中， ．
设点E的坐标为 ∴ ，∴ ∵ ，
∴ ∴
∵ >2，不满足 ．
∴不存在 ．
②根据题意得D，E两点相遇的时间为
（秒）
现分情况讨论如下：
ⅰ）当 时， ；
ⅱ）当 时，设点E的坐标为
∴ ，∴
∴
ⅲ）当2 < < 时，设点E的坐标为 ，类似ⅱ可得
探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）
共同点：
特殊四边形为背景；
点动带线动得出动三角形；
探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；
求直线、抛物线解析式；
探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
二次函数的动态问题（动点）
1.如图，已知抛物线 与坐标轴的交点依次是 ， ， ．
解:（1） ．
（2）点 的运动速度为2个单位/秒．
（3） （ ）
．
当 时， 有最大值为 ，
此时 ．
（4）当点 沿这两边运动时， 的点 有2个．
①当点 与点 重合时， ，
当点 运动到与点 重合时， 的长是12单位长度，
作 交 轴于点 ，作 轴于点 ，
由 得： ，
所以 ，从而 ．
所以当点 在 边上运动时， 的点 有1个．
第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。
07
08
09
动点个数
两个
一个
两个
问题背景
特殊菱形两边上移动
特殊直角梯形三边上移动
抛物线中特殊直角梯形底边上移动
考查难点
探究相似三角形
探究三角形面积函数关系式
（1）求抛物线 关于原点对称的抛物线 的解析式；
（2）设抛物线 的顶点为 ，抛物线 与 轴分别交于 两点（点 在点 的左侧），顶点为 ，四边形 的面积为 ．若点 ，点 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点 ，点 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点 与点 重合为止．求出四边形 的面积 与运动时间 之间的关系式，并写出自变量 的取值范围；
由（1）可知：
过 作 轴， 为垂足
由 ，得： ，
同理：
设 的解析式为
的垂直平分线的解析式为： ．
（3）若存在点 使 的面积最大，则点 在与直线 平行且和抛物线只有一个交点的直线 上，并设该直线与 轴， 轴交于 两点（如图2）．
抛物线与直线只有一个交点，
，
在直线 中，
设 到 的距离为 ，
到 的距离等于 到 的距离 ．
函数解题思路方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax²+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
，
．
．
（2）由图②可知，点 从点 运动到点 用了10秒．
又 ．
两点的运动速度均为每秒1个单位．
（3）方法一：作 轴于 ，则 ．
，即 ．
．
．
，
．
即 ．
，且 ，
当 时， 有最大值．
此时 ，
点 的坐标为 ．（8分）
方法二：当 时， ．
设所求函数关系式为 ．
抛物线过点 ，
．
，且 ，
当 时， 有最大值．
此时 ，
（1）确定 的值： ；
（2）写出点 的坐标（其中 用含 的式子表示）：
；
（3）依点 的变化，是否存在 的值，使 为等腰三角形？若存在，求出所有 的值；若不存在，说明理由．
[解]（1）
（2）
（3）存在 的值，有以下三种情况
①当 时
，则
②当 时
得
③当 时，如图
解法一：过 作 ，又
则
又
解法二：作 斜边中线
（3）求（2）中面积 （平方单位）与时间 （秒）的函数关系式及面积 取最大值时点 的坐标．
（4）若点 保持（2）中的速度不变，则点 沿着 边运动时， 的大小随着时间 的增大而增大；沿着 边运动时， 的大小随着时间 的增大而减小．当点 沿着这两边运动时，使 的点 有个．
（抛物线 的顶点坐标是 ．
[解]（1）作 轴于 ．
则 ，
此时
解法三：在 中有
（舍去）
又
当 或 或 时， 为等腰三角形．
解法四：数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。
代数讨论：计算出△PQB三边长度，均用t表示，再讨论分析
Rt△PHQ中用勾股定理计算PQ长度，而PB、BQ长度都可以直接直接用t表示，进行分组讨论即可计算。
由（2）知四边形 是平行四边形，对角线是 ，所以当 时四边形 是矩形．
所以 ．所以 ．
所以 ．解之得 （舍）．
所以在运动过程中四边形 可以形成矩形，此时 ．
[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。
2.（06福建龙岩卷）如图，已知抛物线 与坐标轴交于 三点，点 的横坐标为 ，过点 的直线 与 轴交于点 ，点 是线段 上的一个动点， 于点 ．若 ，且 ．
[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t值与题目中的 矛盾，应舍去
3.如图1，已知直线 与抛物线 交于 两点．
（1）求 两点的坐标；
（2）求线段 的垂直平分线的解析式；
点 的坐标为 ．
（4） ．
[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。
．
5.如图①， 中， ， ．它的顶点 的坐标为 ，顶点 的坐标为 ， ，点 从点 出发，沿 的方向匀速运动，同时点 从点 出发，沿 轴正方向以相同速度运动，当点 到达点 时，两点同时停止运动，设运动的时间为 秒．
（3）如图2，取与线段 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在 两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖 在直线 上方的抛物线上移动，动点 将与 构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
[解]（1）解：依题意得 解之得
（2）作 的垂直平分线交 轴， 轴于 两点，交 于 （如图1）
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的对称轴与 轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标---- C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P， M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P， P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。