线性变换的矩阵表示式

0 1 0 0 0 2 A 0 0 0 0 0 0
0 0
n 1
0
例3 在 R3中,T表示将向量投影到xOy平面的线性
变换,即
(1)取基为Ti(,xji,
k,
yj zk) xi 求T的矩阵;
yj ,
(2)取基为
i ,
j,
i
j
k,
求T的矩阵.
解 即
Ti i ,
(1)
TTkj
j, 0,
1
T (i , j , k ) (i , j , k ) 0
0 1
0 0.
0 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
T i ,
(2)
T T
j ,
i j
,
即
1 0 1
T ( , , ) ( , , ) 0 1 1.
0 0 0
此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般 有不同的矩阵．
i 1
i 1
x1
(T ( 1),T (
2),
,T (
n))
x2
xn
x1
( 1 , 2 , , n)A x2 ,
xn
即
T ( 1 , 2 ,
,
n)
x1 x2
( 1 , 2 ,
,
n) A
x1 x2 .
x
n
xn
上式唯一地确定了一个变换T ,并且所确定的 变换T是以A为矩阵的线性变换.
x
n
xn
可知 : 在基 1 , 2 , , n下,
的坐标为
x1
x2 ;
xn
T ( )的坐标为
x1
T ( ) A x2 .
xn
因此按坐标表示, 有
T( ) A .
例1 在 P[ x]3中,取基 p1 x3 , p2 x2 , p3 x, p4 1,
求微分运算D的矩阵.
以A为矩阵的线性变换T由上式唯一确定.
结论
在V n中取定一个基后,由线性变换T可唯一地 确定一个矩阵A,由一个矩阵A也可唯一地确定一 个线性变换T .
在给定一个基的条件下, 线性变换与矩阵是一 一对应的.
从关系式
T ( 1 , 2 ,
,
n)
x x
1 2
( 1 , 2 ,
, n)A
x1 x2
记T 1,2 , ,n T 1 ,T 2 , ,T n , 上式
可表示为
T 1,2 , ,n 1,2 , ,n A
a11 a12 a1n
其中
A
a21
a22
a2n
,
an1 an2 ann
A 那末， 就称为线性变换 在基
矩阵．
T 下的 1 ,2 , , n
显然, 矩阵A由基的象T ( 1), ,T ( n)唯一确定.
解
D p1 3 x2 0 p1 3 p2 0 p3 0 p4 ,
D D
p2 p3
2 1
x
0 0
p1 p1
0 0
p2 p2
2 0
p3 p3
0 1
p4 , p4 ,
D p4 0 0 p1 0 p2 0 p3 0 p4 ,
所以D在这组基下的矩阵为
0 0 0 0
一、线性变换的矩阵表示式
设n阶矩阵
a11 a12
A
a 21
a 22
an1 an2
a1n
a 2n
( 1 , 2 ,
, n),
ann
a1i
其中
i
a2i ,
定义
Rn中的变换y
T
(
x)为
ani
T( x) Ax,( x Rn),则T为线性变换.
设 e1 , e2 , , en为单位坐标向量, 那么
三、线性变换在不同基下的矩阵
上面的例子表明
同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵， 那么这些矩阵之间有什么关系呢？
定理１ 设线性空间 中取定两个V基n
1,2 , ,n; 1, 2 , , n ,
由基 ，
d dx
f
( x),
f
( x) R[ x]n
则由导数性质可以证明:是 R[ x]n 上的一个线性
变换, 这个变换也称为微分变换.
现取 R[ x]n的基为1, x, x2 , , xn1 ,则有
(1) 0, ( x) 1, ( x2) 2x,
,
( xn1) (n 1) xn2
因此,在基1, x, x2 , , xn1下的矩阵为
那么矩阵A应以T (ei)为列向量.
反之,如果一个线性变换T使T (ei) i (i 1,2,
, n),那么
T ( x) T[(e1 , e2 , , en)x]
T(x1e1 x2e2 xn en)
x1T(e1) x2T(e2) xnT(en) (T(e1),T(e2), ,T(en))x
A
3 0
0 2
0 0
00 .
0 0 1 0
例2 实数域R上所有一元多项式的集合,记作R[ x], R[ x]中次数小于n的所有一元多项式(包括零多项 式)组成的集合记作R[ x]n ,它对于多项式的加法和 数与多项式的乘法, 构成R上的一个线性空间.
在线性空间R[ x]n中,定义变换
(
f
( x))
( 1 , 2 , , n)x Ax.
综上所述, 可知
Rn中任何线性变换T , 都可用关系式
T ( x) Ax ( x Rn)
表示,其中 A (T(e1),T(e2), ,T(en))
a11 a12
a 21
a 22
an1 an2
a1n a2n , ann
e1 , e2 , , en为单位坐标向量.
a11 a12
A
e1
a 21
a 22
an1 an2
a1n 1
a 2n
0
1
,
ann 0
,
a11 a12
A
en
a 21
a 22
an1 an2
a1n 0
a 2n
0
n
,
ann 1
即
i Aei T (ei) (i 1,2, , n)
因此,如果一个线性变换T有关系式T ( x) Ax,
现在, 假设A是线性变换T在基 1 , 2 , , n下 的矩阵,也就是说基 1 , 2 , , n 在变换T下的象为
T ( 1 , 2 , , n) ( 1 , 2 , , n)A
那么, 变换T需要满足什么条件呢?
n
V n ,设 xi i ,有
i 1
n
n
T ( ) T ( xi i) xi T ( i)
二、线性变换在给定基下的矩阵
T V 定义１ 设 是线性空间 中的线性变换，在
中取定一个基
，如果这个基在变n 换
Vn
下的象为
1,2 , ,n
T
T 1 a111 a21 2 an1 n ,
T
2
a121
a22
2
an2
n
,
T n a1n1 a2n 2 ann n ,