两个重要极限-重要极限
两个重要极限
两边夹定理可知， lim | sin x | 0 , 从而 lim sin x 0.
图 2.13 例6.2 证明 lim cos x 1.
x 0
2 x x x 证 当 x 在 0 附近，即当 | x | 时, 由半角公式知 0 1 cos x 2 sin 2 2( )2 . 2 2 2 2
36
1 n 重要极限二： lim (1 ) e. n n 1 n 我们可以利用单调有界数列必有极限来证明 lim (1 ) 的存在性。 n n 1 n 证 设 f (n) (1 ) . 先证 f (n) 单调增加。事实上，由二项式展开有 n 1 n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 f ( n) (1 ) 1 2 3 n 1! n 2! n 3! n n( n 1)(n 2)...(n n 1) 1 ﹢ n n! n 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! n 3! n n 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ). 同理有 n! n n n 1 n 1 1 1 1 1 2 1 f (n 1) (1 ) 1 (1 ) (1 )(1 ) n 1 1! 2! n 1 3! n 1 n 1 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ) n! n 1 n 1 n 1
n
例 6.13
求 lim
sin x . sin x sin(x) lim 2 2 x x ( x x)(x)
lim 例 6.14
2 2 sin( x) lim 1 . x x x x 2 2
例 6.8
极限存在准则与两个重要极限
极限存在准则与两个重要极限首先，我们来定义极限存在准则。
设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<，x-a，<δ时，有，f(x)-L，<ε。
左极限：设函数f(x)在x=a的其中一左去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a-δ<x<a时，有，f(x)-L，<ε。
右极限：设函数f(x)在x=a的其中一右去心邻域内有定义，且有极限L，那么对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当a<x<a+δ时，有，f(x)-L，<ε。
接下来，我们来介绍两个重要的极限存在准则。
1.夹逼准则（或夹挤准则）：设函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，且在这个去心邻域中，存在两个函数g(x)和h(x)，满足g(x)≤f(x)≤h(x)。
若当x→a时，g(x)和h(x)的极限都是L，则函数f(x)在x=a处的极限也是L。
夹逼准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近被两个函数“夹住”，而这两个函数的极限是相等的，则原函数在该点也存在极限，并且极限等于夹逼的值。
2.单调有界准则：如果函数f(x)在x=a的其中一去心邻域内有定义，并且在这个去心邻域中是递增或递减的（即f’(x)≥0或f’(x)≤0），那么如果存在一个实数M，使得对于任意的x，都有f(x)≤M（或f(x)≥M），那么函数f(x)在x=a处存在极限。
单调有界准则的直观意义是，如果一个函数在一些点附近是单调递增或递减的，并且在该区间内被一个实数所界定，那么函数在该点存在极限。
这两个极限存在准则在微积分中具有重要的意义和应用。
在求解极限问题时，可以利用夹逼准则来确定极限的存在性。
而在证明一些极限存在的定理时，可以利用单调有界准则来进行证明。
总结起来，极限存在准则是用于确定函数在一些点是否存在极限的基本规则。
夹逼准则和单调有界准则是两个重要的应用极限存在准则，它们在微积分中有着广泛的应用。
第五节 两个重要极限
类型5： 幂指式的极限，先利用幂的有关运 算把式子变换成含有标准式，再用公式
求.
练习
3 x 2x 求 lim( ) . x 2 x
极限的常用计算方法
1.代入法
x 4 3x 8 lim 2 x 2 x x 3
0 2.多项式的 型，分子分母同时分解， 0 约掉同为无穷小的公因
第5节 两个重要极限
sin x 1. lim 1. x 0 x
sin x 观察函数 当 x 0时的变化趋势 . x
y sin x x
sin x 重要极限lim 1的使用要求: x 0 x
1、式中含有三角函数的分式； 2、分母与正玄函数的角变量相同； 3、角变量趋近于0. sin x 重要极限lim 1的推广(类型四) : x 0 x 公式 要求
x
1 2
例5
计算li m 1 x .
x 0 2 x
解 方法1 令 u = -x,因为 x 0 时 u 0，
( 所以 l i m 1 x l i m 1 u)
x 0 2 x u0
2 u
lim
u0
1
(1 u)
1 . 2 2 1 e u
x 0
2 5 x
答案： e
6
有时，所给函数在自变量的某个趋向 下，底的极限为1，指数的极限为无穷，
人们称这类极限为1 ”型未定式. “
1 重要极限lim 1 e的使用要求: x x
(1)幂指式的底是由1与一个接近于0的变量和 (2)底中的变量与指数间互为倒数.
sin x x 0 lim lim 1 ( 型) x 0 x 0 sin x x 0 sin 推广： lim lim 1(上下一致) 0 0 sin
微积分：极限存在准则与两个重要极限
02
两个重要极限
第一个重要极限
总结词
当x趋近于0时，sin(x)/x的极限为1。
详细描述
这个极限描述了正弦函数和x轴在x=0处的交点附近的相对大小关系。具体来说， 当x的值非常接近0时，sin(x)和x的大小关系近似相等。
第二个重要极限
总结词
当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极 限为e。
= 2epsilon$。最后，我们得出结论 $lim_{n to infty} a_n = L$。
极限存在准则的应用
应用场景
极限存在准则在实数序列的收敛性判断中有着广泛的应用。例如，在判断一个数列是否收敛时，我们 可以先找到一个收敛的子序列，然后利用极限存在准则判断原序列是否收敛。
应用方法
首先，我们需要找到一个收敛的子序列。这可以通过选取适当的项或通过数学变换实现。然后，利用 极限存在准则，我们可以判断原序列是否收敛。如果原序列收敛，则极限值等于子序列的极限值；否 则，原序列发散。
详细Байду номын сангаас述
这个极限描述了一个增长速度的问题。 具体来说，当x的值非常大时， (1+1/x)^x的增长速度近似等于e，这 是自然对数的底数，约等于2.71828。
两个重要极限的证明
第一个重要极限的证明
通过使用三角函数的性质和等价无穷 小替换，可以证明当x趋近于0时， sin(x)/x的极限为1。
第二个重要极限的证明
通过使用二项式定理和等价无穷大替 换，可以证明当x趋近于无穷大时， (1+1/x)^x的极限为e。
03
微积分中的其他概念
导数
导数定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在 该点的切线斜率。
两个重要极限-重要极限
两个重要极限-重要极限
1、无穷小
如果f(x)在x→x0时的极限为0，则称f(x)为x→x0时的无穷小。
在x趋于x0的同一变化过程中，f(x)有极限的充要条件为f(x)=A+α（α为无穷小）。
2、无穷大
如果f(x)是无穷小，则1/f(x)为无穷大，反之亦然。
3、极限运算法则
（1）有限个无穷小的和（或乘积）也是无穷小。
（2）有界函数和无穷小的乘积是无穷小。
（3）两个函数的和（或乘积）的极限等于两个函数的极限的和（或乘积），当然，比值也如此，只是需要额外要求分母上的极限不能为0。
（3‘）函数的n次幂的极限等于函数的极限的n次幂（n为正整数）。
（4）如果函数A(x)≥B(x)，则A的极限也大于等于B的极限。
4、极限存在准则
（1）设数列X处于两个数列之间，即Yn≤Xn≤Zn，如果数列Y和Z 都有极限为a，则X也有极限为a。
（1’）设函数f(x)，在x0的某去心邻域内有g(x)≤f(x)≤h(x)，如果g和h都有极限为A，则f(x)也有极限为A。
上述两条准则统称为夹逼准则。
（2）单调有界数列必有极限。
（3）柯西极限存在准则。
函数两个重要极限公式
函数两个重要极限公式函数两个重要极限公式：第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1(x->0)，第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。
极限是微积分中的基础概念,它指的是变量在一定的变化过程中,从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值(极限值)。
极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。
对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的’影响‘趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量；用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
第一个重要极限公式是：lim((sinx)/x)=1(x->0)，第二个重要极限公式是：lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)。
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这结果。
极限思想是微积分的基本思想，数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数以及定积分等等都是借助于极限来定义的。
如果要问：“数学分析是一门什么学科?”那么可以概括地说：“数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科”。
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。
极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”，而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。
2.6两个重要极限
第一个重要极限
sin x lim =1 x→0 x
1. 涉及的基本不等式 sin x , x , tan x的关系） 的关系） （
1 sin x, x, tan x的各自图形如下： ） 的各自图形如下：
2） x与x的比较图如下： x与tan x的比较图如下： sin 的比较图如下： 的比较图如下：
x →0
sin x 2. 现证 lim =1 x →0 x
sin x ≤ x , x ≤ tan x ,
x ∈R x<
π
只需考虑 x → 0的过程 , 故不妨仅在 0 < x < 内讨论 , 2 π x sin x sin x 0< x < , ≤ = 1, ∵ cos x = ≤ 2 x x tan x
1 2 3 1 例如 un = 1 − : 0, , , ,⋯ 2 3 4 n 显然， 单调增， 显然， un单调增，且 0 < un < 1, 故由定理 2.12知 lim un存在
n→∞
且 lim un = 1
n→ ∞
第二个重要极限
1 x lim(1 + ) = e x→∞ x — — Eular常数 e的计算来源
1 x
=e
lim(1 + x) = ?
x→0
ϕ( x)→0
lim [1 + ϕ( x)]
1 ϕ ( x)
=e
先判断极限类型！ 先判断极限类型！
例1 求极限
1 1） (1 + sin x ) ） lim∞Fra bibliotekx →0
1 sin x
= e
e
2 x
x 2
2 1 lim ） 1 2） 1 + = lim + x →∞ x x →∞
高等数学 第1章 第七节 极限存在准则 两个重要极限
则
lim
n
x n1
lim n
6 xn ,
A
6 A,
解得 A 3或A 2,（舍去）
lim n
xn
3.
14
3.两个重要极限的应用
例6： 求 lim tan x 1
x0 x
可作为公式
lim
x
s
in u x ux
1
lim ux 0
x
解： lim tan x lim sin x 1 lim sin x lim 1 11 1 x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
1 n2 1
n2
1
22
n2
1
n2
n n2 1
,
1
lim 1 0, n 2n
lim n n n2 1
lim n
n
1
1
由夹逼定理知：
n2
0 0, 10
lim n
n
1 2
1
n2
1 22
n2
1 n2
存在, 且
lim n
n
1 2
1
n2
1
22
n2
1
n2
0.
8
例2 用夹逼准则证明：
lim sin x 1.
1yn xn zn n 1,2,3,,
2
lim
n
yn
a,
lim
n
z
n
a,
则数列x
n
的
极
限
存
在,
且
lim
n
xn
a.
准则1 若
1当x
U
x
2.5两个重要极限
= e 时，
条件： ） 条件：1）1∞ 型幂指函数 f ( x ) g ( x ) ( f ( x ) > 0 ); 2）括号里第一项为 ，第二项与括号 ）括号里第一项为1， 外的指数互为倒数关系。 外的指数互为倒数关系。 变形： 变形：
推广： 推广：
1 lim 1+ f ( x)→∞ f (x)
2
( 2 + t )t (4 + t ) ( 2 + t )t (4 + t ) ====== lim = lim t → 0 sin π ( 2 + t ) t →0 sin πt = 8 .
令x − 2 = t
π
1 + x sin x − cos x ex5.计算 lim . x →0 x sin x
小结： 小结： 结论1 结论 sin nx n sin x lim lim =1 = x→0 x → 0 mx x m 结论2 结论
tan x 结论3 结论 tan nx n lim =1 lim = x→0 x x→0 m m
例3 求下列函数的极限
1 − cos x (1) lim x →0 x2
.
k lim 1 + x→ ∞ x
x
=e
k
例2 求下列极限
x + 1 ( 3) lim x→∞ x − 1
2 x (1)lim(1 − ) x →∞ x −1
x
x2 x (2) lim( 2 ) x →∞ x − 1
( 4 ) lim 1 − x 2
x→ 0
于是有sin x = BD,
x = 弧 AB,
tan x = AC,
极限的两个重要极限公式
极限的两个重要极限公式极限是高等数学中的重要概念，具有广泛的应用。
在研究函数的性质、求导、积分等方面，极限都起着重要的作用。
本文将介绍两个重要的极限公式，它们分别是复合函数的极限公式和级数的比较判别法。
一、复合函数的极限公式复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数，例如f(g(x))。
当我们需要计算复合函数的极限时，可以使用复合函数的极限公式，它的表述如下：设函数f(x)在x0处连续，g(x)在x0处极限存在且等于a，则有：lim f(g(x)) = f(a)x→x0这个公式的意义是，当自变量x趋近于x0时，函数g(x)的值趋近于a，因此f(g(x))的值也趋近于f(a)。
这个公式的证明可以使用ε-δ定义，但在这里我们不再赘述。
这个公式的应用非常广泛，特别是在微积分中，它可以用于求导和积分。
例如，当我们需要求f(g(x))的导数时，可以先求出g(x)的导数，然后将它代入f(x)中，再乘以g'(x)，即可得到f(g(x))的导数。
同样地，当我们需要对f(g(x))求积分时，可以将它转化为f(u)du的形式，其中u=g(x)，du=g'(x)dx，然后再对f(u)进行积分。
二、级数的比较判别法级数是由无穷多个数相加得到的数列，例如1+1/2+1/3+1/4+...。
在研究级数的性质时，我们经常需要判断它是否收敛。
如果一个级数收敛，那么它的和就是一个有限的数；如果一个级数发散，那么它的和就是无穷大或无穷小。
级数的比较判别法是判断级数收敛性的一种方法，它的表述如下：设有两个级数an和bn，如果存在一个正整数N，使得当n>N 时，有an≤bn，则有：若级数bn收敛，则级数an也收敛。
若级数an发散，则级数bn也发散。
这个公式的意义是，如果级数an的每一项都小于等于级数bn 的对应项，那么an的收敛性和bn的收敛性是相同的。
如果bn收敛，那么an也收敛；如果an发散，那么bn也发散。
这个公式的证明也比较简单，可以使用比较原理和收敛级数的性质进行推导。
极限存在准则两个重要极限公式
夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
1. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I 单调有界数列必有极限 单调上升有上界数列必有极限
说 明: 单调下降有下界数列必有极限 (1) 在收敛数列的性质中曾证明：收敛的数列一定 有界，但有界的数列不一定收敛．
1
1 1 n1 n 1
1 yn1
由于数列 yn 是单调增加的，所以数列 zn 是单调减少的.
又
xn
1
1
n
n
1
1
ห้องสมุดไป่ตู้n1
n
zn
z1
4
则 2 xn 4. 综上，根据极限存在准则Ⅰ可知，数列是
收敛的.
2023年12月9日星期六
4
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通常用字母 e 来表示这个极限，即
lim
n
1
1
n
)
( n 1, 2,
), 且
x1 0,
a0,
求
lim
n
xn
.
利用极限存在准则
两个重要极限-重要极限
（第一课时）之阳早格格创做——新浪微专：月牙LHZ 一、教教目标1.复习该章的沉面实量.2.明白要害极限公式.3.使用要害极限公式供解函数的极限. 二、教教沉面战易面 沉面：公式的生记取明白. 易面：多种变形的应用. 三、教教历程 1、复习导进（1）极限存留性定理：Ax f x f A x f x x x x x x ==⇔=-+→→→)(lim )(lim )(lim 0（2）无贫洪量取无贫小量互为倒数，若）（0)(x x x f →∞→，则）（00)(1x x x f →→（3）极限的四则运算：（4）[])(lim )(lim x f c x cf =（加法推论） （5）[][]kkx f x f )(lim )(lim =（乘法推论）（6）[]0lim =⨯有界变量无穷小量（无贫小量的本量）eg:0sin 1lim sin lim=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=∞→∞→x x x x x x那么，？=→x xx sin lim0呢，那是咱们原节课要教的要害极限2、掌握要害极限公式公式的特性：（1）0型极限；（2）分子是正弦函数；（3）sin 后里的变量取分母的变量相共. 3、典型例题 【例1】 供 kx xx sin lim0→()0≠k解：kx x x sin lim0→=k kx x k x 111sin lim 10=⨯=→ 【例2】 供 x xx tan lim→解：x x x tan lim 0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim 000=⨯=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→→x x x x x x x x x（推导公式：1tan lim0=→x xx ）【例3】 供 x xx 5sin lim0→ 解：51555sin lim 555sin 5lim 5sin lim000=⋅=⋅=⋅=→→→x xx x x x x x x4、加强训练（1）x x x 3sin lim0→（2）x kx x sin lim 0→()0≠k （3）xxx 35sin lim0→ (4)x xx 2tan lim→解：（1）x x x 3sin lim0→=31131sin lim 310=⨯=→x x x （2） kk kx kxk kx kx k x kx x x x =⋅=⋅=⋅=→→→1sin lim sin lim sin lim000（3）3513555sin lim 353555sin lim 35sin lim000=⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=→→→x x x x x x x x x（4）x x x 2tan lim 0→=11122cos 1lim 22sin lim 22cos 12sin lim 000=⨯⨯=⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→→x x x x x x x x x四、小结:原节课咱们教习了一个要害的极限，并使用那个公式供解一些函数的极限.正在使用那个公式时，要注意二面：一是分子中的三角函数变换为正弦函数，二是分子sin 后里的变量取分母的变量相共. 五、安插做业:（1）x x x 5sin lim0→（2）xxx 3sin lim0→ （3）xxx 25sin lim0→ (4)x x x 3tan lim→（第二课时）————新浪微专：月牙LHZ一、教教目标 1.明白要害极限公式.2.使用要害极限公式供解函数的极限. 二、教教沉面战易面 沉面：公式的生记取明白. 易面：多种变形的应用. 三、教教历程 1、复习导进：原节课咱们教习一个要害的极限公式.最先咱们所有复习一下指数运算.(1)()n n n b a b =a (2)m n m n a a a ⋅=+(3)()mn nm a a =2、掌握要害极限公式3、典型例题 【例1】 xx x )21(lim +∞→解：22222])211(lim [])211[(lim )21(lim e x x xxx xx x x =+=+=+∞→∞→∞→（构制法）【例2】xx x 10)1(lim +→解：e z x z z x z xx =+=+∞→=→)11(lim )1(lim 110（换元法） （推导公式：ex xx =+→10)1(lim ）【例3】 xx x )11(lim -∞→解：e e x x xx x x x x x 1])11(lim [])11[(lim )11(lim 111==-+=-+=----∞→--∞→∞→（构制法） 【例4】 x x x x )1(lim +∞→解：e x x x x x x x x x x 1111lim )111(lim )1(lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+∞→∞→∞→（构制法）4、加强训练（1）x x x )51(lim +∞→（2）x x x 20)1(lim +→（3）x x x )21(lim -∞→ (4)xx x x )12(lim +∞→解：（1）55555])511(lim [])511[(lim )51(lim e x x xxx x x x x =+=+=+∞→∞→∞→（2）2221021020)11(lim )1(lim )1(lim )1(lim e z x x x zz x x x x xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+∞→→→→(3)2222221])211(lim [])211[(lim )21(lim ee x x x xx xx x x ==-+=-+=----∞→--∞→∞→(4)e e e e x e x x x x x x x xx xx x x x x x x x x ==+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++∞→∞→∞→∞→∞→∞→22222])211(lim [])211[(lim 11lim 21lim )1121(lim )12(lim四、小结:原节课咱们教习了另一个要害的极限，并使用那个公式供解一些函数的极限.教会巧妙天使用换元法战构制法把它转移为公式的形式，进而供得极限. 五、安插做业:（1）x x x )31(lim +∞→（2）x x x 10)21(lim +→（3）x x x 2)11(lim -∞→ (4)xx x x )13(lim ++∞→。
两个重要极限
sin x x tan x
2
(x 0 )时 , sin x x tan x
2
时 , sin x 1<
2
x.
证毕 !
(2)
证明 当 0 x
2 sin x 1, sin x x tan x , 即 cos x
1 [ x] 1 x 1 [ x ] 1 (1 ) (1 ) (1 ) , [ x] 1 x [ x]
1 [ x ] 1 1 [ x] 1 而 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x x [ x] [ x] [ x] 1 [ x] lim (1 ) x [ x] 1 1 [ x ] 1 1 1 lim (1 ) lim (1 ) e, x x [ x] 1 [ x] 1
lim n s in
n
n
1 n
首页 ×
导数运算是数学分析中最基本最重要的运算, 而导数运算的 基础是基本初等函数的导数公式. 其中求三角函数 y sinx
sin x 1, 求对数函数 y log a x 的导数公式必须使用极限 lim x 0 x 1 1 x (1 ) lim (1 y ) y e . 的导数公式必须使用极限 lim x y 0 x
因为这两个极限在求这两个初等超越函数的导数时是不 能缺少的,所以通常把这两个极限称为重要极限.
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二
函数
y
s in x lim 1的证明 x 0 x
s in x x
的图象如图3-5所示.
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1.4两个重要极限
x
于是
3 x lim (1 + ) = lim(1 + t ) t = lim[(1 + t ) t ]3= [lim(1 + t ) t ]3 = e 3 x →∞ t →0 t →0 t →0 x x 3 x 3 3 3 或 lim(1 + ) = [lim(1 + ) ] = e3 x →∞ x →∞ x x
π
ESC
一. 极限的四则运算法则 二.第一个重要 极限 第一个重要
x 1 2 cos 另一方面， x = 1 − 2 sin > 1 − x ，于是有 另一方面， 2 2 1 2 sin x 1 − x < cos x < <1． 2 x
2
1 2 由准则Ⅰ 因为 lim (1 − x ) = 1 ，由准则Ⅰ可得 x →0 2 sin x =1． lim x →0 x
n →∞
ESC
二.第一个重要 极限 第一个重要
sin x =1 1. lim x→0 x
(1.4.1)
证 因为 sin( − x) = − sin x = sin x ，所以 −x −x x 由正值趋于零的情形． 只讨论 x 由正值趋于零的情形． 作单位园O 作单位园O， 设圆心角 ∠AOB = x ,延长 OB交过 A点的切线于于 D ， 面积＜ 则 ∆AOB 面积＜扇形 AOB 面积＜ 面积． 面积＜ ∆AOD 面积．即 ESC
ESC
一. 极限的四则运算法则 二.第二个重要 极限 第二个重要
lim x 2. x→∞(1+ 1)x = e
表1
(1.4.7)
1 x x → ∞ 时 (1 + ) 之值的变化情况 x
两个重要的极限
1
lim sin x 1 x0 x
例 2 求 lim sin 3x . x0 x
解 lim (sin 3x 3)
x0 (3x )
3.
lim sin x 1 x0 x
例3
求
lim
x0
1
cos x2
x
.
解
2sin2 x
原式 lim x0
2 x2
1 lim
sin 2
x 2
2 x0 ( x)2
,
则
lim
xa
1
1 (x)
(x)
lim
( x)
1
1 (x)
(
x)
Hale Waihona Puke e;或若lim
xa
(
x)
0
a
可以是有限数x0
,
或),
则
1
1
lim[1 (x)](x) lim [1 (x)](x) e.
xa
(x)0
这是两个重要的推广形式.
例6 求 lim(1 2 )x .
x
x
x
解 原式 lim[(1 2)( 2 ) ]( 2 )
x
…
由上表可以看出，当 x 0 时，sin x 1 可以证明
x
这个极限在形式上具有以下特点: (1) 它的极限呈现 0 型, 不能应用求极限商的运算法则;
0
(2) 在分式中同时出现三角函数和 x的幂.
若
lim
xa
(
x)
0
a
可以是在限数x0
,
或
,
则得到
推广的结果 :
sin[ ( x)]
sin[ ( x)]
极限存在准则两个重要极限公式
判断函数在某一点处是否连续，证明等式的正确性等。
两个重要极限公式
欧拉数公式
将自然对数的底换成无限接近于0的数e，定义e的值 为2.7182818284……，它是数学中的一个重要常数。
皮亚诺公式
它是描述无限次幂和的累加值的公式，用于求解各 种数学问题。
极限存在准则的原理
1
收敛与发散
当自变量趋于某一值时，如果函数的极限存在，则它唯一确定一个函数值，否则 函数在该点不存在极限。
应用2 .1
被广泛应用于代数学、数论以 及工程科学等领域。
应用2 .2
可以帮助证明各种等式和不等 式，求解各种极限问题。
意义2
皮亚诺公式可以被看做是一种 特殊的求和方法，比直接算出 所有项的和更加便捷，对于极 限的计算也提供了重要的思路。
探索极限存在准则与两个 重要极限公式
极限存在准则是数学中一个重要的概念，它帮助我们理解极限的基本性质和 特征。两个重要的极限公式是极限存在准则的基础，通过它们我们可以推导 出许多重要的数学结论。
极限存在准则
1 定义
当自变量趋于某一值时，与之对应的函数值是否收敛于一个确定的值。
2 原理
存在两个重要的极限公式，它们是判断极限存在性的基础。
2
单调有界准则
若函数单调增加或单调减少并有界，那么它的极限一定存在。
3
夹逼准则
如果存在一个函数不动点，它上下夹逼着目标函数，且这两个函数的极限收敛于 同一值，那么目标函数的极限也收敛于该值。
两个重要极限公式的推导
欧拉公式推导
使用泰勒级数展开即可得到欧拉公式，这一公式在微积分、复变函数等领域都有广泛应用。
皮亚诺公式推导
可以使用递推公式或者级数求和的方式来推导皮亚诺公式，它在代数、数论、概率等领域都 有广泛应用。
高数第一章极限存在准则 两个重要极限
准则的适用范围与注意事项
适用范围
夹逼准则适用于被夹逼的数列或函数在某点的极限求解；单调有界准则适用于单调且有界的数列极限求解。
注意事项
在使用夹逼准则时，需要找到合适的夹逼数列，并确保它们的极限相等；在使用单调有界准则时，需要证明数列 的单调性和有界性。同时，两个准则都只能用于求解数列或函数的极限值，不能用于求解其他数学问题。
数列极限存在的条件可以归结为数列 的单调性和有界性。如果数列单调增 加（或减少）且有上界（或有下界） ，则数列收敛，即存在极限。
03
序列极限的求法
可以通过对数列进行变形、放缩、裂 项、分组等方法来求解数列的极限。
其他相关的重要极限
第一个重要极限
lim(x→0)sinx/x=1，这个极限在三角 函数的求导以及某些复杂极限的求解 过程中有重要作用。
第一个重要极限可以用于求解三角函数的极限问题，也可以用于证明一 些三角恒等式和不等式。
第二个重要极限是自然对数的底数e的定义基础，也是求解一些复杂极限 问题的重要工具。同时，它也与指数函数、对数函数等有着密切的联系。
准则一：夹逼准则
01 02
定义
如果数列${x_n}$、${y_n}$和${z_n}$满足条件$y_n leq x_n leq z_n$， 且$lim_{n to infty} y_n = lim_{n to infty} z_n = a$，则数列${x_n}$ 的极限存在且等于$a$。
02 两个重要极限的详解
第一个重要极限：sinx/x的极限
01
02
03
定义与表达式
当x趋近于0时，sinx/x的 极限值为1，即lim(x->0) sinx/x = 1。
几何意义
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2.5.1两个重要极限（第一课时）
——新浪微博：月牙LHZ
一、教学目标
1.复习该章的重点内容。
2.理解重要极限公式。
3.运用重要极限公式求解函数的极限。
二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。
难点：多种变形的应用。
三、教学过程 1、复习导入
（1）极限存在性定理：A x f x f A x f x x x x x
x ==⇔=-
+→→→)(lim )(lim )(lim 000
（2）无穷大量与无穷小量互为倒数，若）（0)(x x x f →∞→，则
）（00)
(1
x x x f →→ （3）极限的四则运算：
[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=± [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ⋅=⋅
)
(lim )
(lim )()(lim
x g x f x g x f = ()()0lim ≠x g （4）[])(lim )(lim x f c x cf =（加法推论） （5）[][]k k x f x f )(lim )(lim =（乘法推论）
（6）[]0lim =⨯有界变量无穷小量（无穷小量的性质）
eg: 0sin 1lim sin lim
=⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅=∞→∞
→x x x x x x
那么，？
=→x
x
x sin lim
0呢，这是我们本节课要学的重要极限 2、掌握重要极限公式 1sin lim
0=→x
x
x 公式的特征：（1）0
型极限；
（2）分子是正弦函数；
（3）sin 后面的变量与分母的变量相同。
3、典型例题
【例1】 求 kx
x
x sin lim
0→()0≠k
解：kx x x sin lim 0→=k
k x x k x 1
11sin lim 10=⨯=→ 【例2】 求 x
x
x tan lim 0→
解：x x x tan lim
0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim 000=⨯=⋅=⎪⎭
⎫
⎝⎛→→→x x x x x x x x x （推导公式：1tan lim
0=→x x
x ） 【例3】 求 x
x
x 5sin lim 0→
解：51555sin lim 555sin 5lim 5sin lim 000=⋅=⋅=⋅=→→→x
x
x x x x x x x 4、强化练习
（1）x x x 3sin lim
0→（2）x kx x sin lim 0→()0≠k （3）x x x 35sin lim 0→ (4) x
x
x 2tan lim 0→
解：（1）x x x 3sin lim 0→=3
1
131sin lim 310=⨯=→x x x （2） k k kx
kx
k kx kx k x kx x x x =⋅=⋅=⋅=→→→1sin lim sin lim sin lim
000 （3）3513555sin lim 35
3555sin lim 35sin lim 000=⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=→→→x
x x x x x x x x （4）x x x 2tan lim
→=11122cos 1lim 22sin lim 22cos 12sin lim 000=⨯⨯=⋅⋅=⎪⎭
⎫
⎝⎛→→→x x x x x x x x x 四、小结:
本节课我们学习了一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。
在运用这个公式时，要注意两点：一是分子中的三角函数转换为正弦函数，二是分子sin 后面的变量与分母的变量相同。
五、布置作业: （1）x x x 5sin lim 0→（2）x x x 3sin lim 0→ （3）x x x 25sin lim 0→ (4) x
x
x 3tan lim 0→
2.5.2两个重要极限（第二课时）
————新浪微博：月牙LHZ
一、教学目标 1.理解重要极限公式。
2.运用重要极限公式求解函数的极限。
二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。
难点：多种变形的应用。
三、教学过程 1、复习导入：
本节课我们学习一个重要的极限公式。
首先我们一起复习一下指数运算。
(1)()n n n b a b =a (2) m n m n a a a ⋅=+ (3) ()m
n nm a a =
2、掌握重要极限公式
e x
x x =+∞→)1
1(lim 3、典型例题
【例1】 x x x
)21(lim
+∞
→ 解：22222])21
1(lim [])211[(lim )21(lim e x x x
x
x x
x x x =+=+=+∞→∞→∞→（构造法） 【例2】x
x x 10
)1(lim
+→
解：e z
x z z x z x
x =+=+∞→=
→)11(lim )1(lim 110（换元法） （推导公式：e x x
x =+→10
)1(lim
） 【例3】 x x x
)1
1(lim -∞→
解：e
e x x x x x x x x x 1])11(lim [])11[(lim )11(lim 111==-+=-+
=----∞→--∞→∞→（构造法） 【例4】 x
x x x )1
(
lim +∞
→ 解：e x x x x x x x x x x 1
111lim )111(lim )1(
lim =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=+∞→∞→∞
→（构造法） 4、强化练习
（1）x x x )51(lim +∞→（2）x x x 2
0)1(lim +→（3）x x x )21(lim -∞→ (4) x
x x x )12(lim +∞→ 解：（1）55555])5
1
1(lim [])511[(lim )51(lim e x x x
x
x x
x x x =+=+=+∞→∞→∞→ （2）222
1
02
102
0)11(lim )1(lim )1(lim )1(lim e z x x x z
z x x x x x
x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+∞→→→→ (3) 2222221])2
11(lim [])211[(lim )21(lim e
e x x x x
x x x x x ==-+=-+=----∞→--∞→∞→ (4)
e e e e x e x x x x x x x x
x x
x x x x x x x x x ==+=+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++∞→∞→∞→∞→∞→∞→22
222]
)211(lim [])211[(lim 11lim 21lim )1121(lim )12(lim 四、小结:
本节课我们学习了另一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。
学会巧妙地运用换元法和构造法把它转化为公式的形式，从
而求得极限。
五、布置作业:
（1）x x x )31(lim +∞→（2）x x x 1
0)21(lim +→（3）x x x 2)11(lim -∞→ (4) x
x x x )1
3(lim ++∞→。