两个重要极限-重要极限

2.5.1两个重要极限（第一课时）

——新浪微博：月牙LHZ

一、教学目标

1.复习该章的重点内容。

2.理解重要极限公式。

3.运用重要极限公式求解函数的极限。 二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。 难点：多种变形的应用。 三、教学过程 1、复习导入

（1）极限存在性定理：A x f x f A x f x x x x x

x ==⇔=-

+→→→)(lim )(lim )(lim 000

（2）无穷大量与无穷小量互为倒数，若）（0)(x x x f →∞→，则

）（00)

(1

x x x f →→ （3）极限的四则运算：

[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=± [])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ⋅=⋅

)

(lim )

(lim )()(lim

x g x f x g x f = ()()0lim ≠x g （4）[])(lim )(lim x f c x cf =（加法推论） （5）[][]k k x f x f )(lim )(lim =（乘法推论）

（6）[]0lim =⨯有界变量无穷小量（无穷小量的性质）

eg: 0sin 1lim sin lim

=⎪⎭

⎫

⎝⎛⋅=∞→∞

→x x x x x x

那么，？

=→x

x

x sin lim

0呢，这是我们本节课要学的重要极限 2、掌握重要极限公式 1sin lim

0=→x

x

x 公式的特征：（1）0

型极限；

（2）分子是正弦函数；

（3）sin 后面的变量与分母的变量相同。 3、典型例题

【例1】 求 kx

x

x sin lim

0→()0≠k

解：kx x x sin lim 0→=k

k x x k x 1

11sin lim 10=⨯=→ 【例2】 求 x

x

x tan lim 0→

解：x x x tan lim

0→=111cos 1lim sin lim cos 1sin lim 000=⨯=⋅=⎪⎭

⎫

⎝⎛→→→x x x x x x x x x （推导公式：1tan lim

0=→x x

x ） 【例3】 求 x

x

x 5sin lim 0→

解：51555sin lim 555sin 5lim 5sin lim 000=⋅=⋅=⋅=→→→x

x

x x x x x x x 4、强化练习

（1）x x x 3sin lim

0→（2）x kx x sin lim 0→()0≠k （3）x x x 35sin lim 0→ (4) x

x

x 2tan lim 0→

解：（1）x x x 3sin lim 0→=3

1

131sin lim 310=⨯=→x x x （2） k k kx

kx

k kx kx k x kx x x x =⋅=⋅=⋅=→→→1sin lim sin lim sin lim

000 （3）3513555sin lim 35

3555sin lim 35sin lim 000=⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=→→→x

x x x x x x x x （4）x x x 2tan lim

→=11122cos 1lim 22sin lim 22cos 12sin lim 000=⨯⨯=⋅⋅=⎪⎭

⎫

⎝⎛→→→x x x x x x x x x 四、小结:

本节课我们学习了一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。在运用这个公式时，要注意两点：一是分子中的三角函数转换为正弦函数，二是分子sin 后面的变量与分母的变量相同。 五、布置作业: （1）x x x 5sin lim 0→（2）x x x 3sin lim 0→ （3）x x x 25sin lim 0→ (4) x

x

x 3tan lim 0→

2.5.2两个重要极限（第二课时）

————新浪微博：月牙LHZ

一、教学目标 1.理解重要极限公式。

2.运用重要极限公式求解函数的极限。 二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。 难点：多种变形的应用。 三、教学过程 1、复习导入：

本节课我们学习一个重要的极限公式。首先我们一起复习一下指数运算。 (1)()n n n b a b =a (2) m n m n a a a ⋅=+ (3) ()m

n nm a a =

2、掌握重要极限公式

e x

x x =+∞→)1

1(lim 3、典型例题

【例1】 x x x

)21(lim

+∞

→ 解：22222])21

1(lim [])211[(lim )21(lim e x x x

x

x x

x x x =+=+=+∞→∞→∞→（构造法） 【例2】x

x x 10

)1(lim

+→

解：e z

x z z x z x

x =+=+∞→=

→)11(lim )1(lim 110（换元法） （推导公式：e x x

x =+→10

)1(lim

） 【例3】 x x x

)1

1(lim -∞→

解：e

e x x x x x x x x x 1])11(lim [])11[(lim )11(lim 111==-+=-+

=----∞→--∞→∞→（构造法） 【例4】 x

x x x )1

(

lim +∞

→ 解：e x x x x x x x x x x 1

111lim )111(lim )1(

lim =⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=+=+∞→∞→∞

→（构造法） 4、强化练习

（1）x x x )51(lim +∞→（2）x x x 2

0)1(lim +→（3）x x x )21(lim -∞→ (4) x

x x x )12(lim +∞→ 解：（1）55555])5

1

1(lim [])511[(lim )51(lim e x x x

x

x x

x x x =+=+=+∞→∞→∞→ （2）222

1

02

102

0)11(lim )1(lim )1(lim )1(lim e z x x x z

z x x x x x

x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+∞→→→→ (3) 2222221])2

11(lim [])211[(lim )21(lim e

e x x x x

x x x x x ==-+=-+=----∞→--∞→∞→ (4)

e e e e x e x x x x x x x x

x x

x x x x x x x x x ==+=+=⎪⎭⎫ ⎝

⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++∞→∞→∞→∞→∞→∞→22

222]

)211(lim [])211[(lim 11lim 21lim )1121(lim )12(lim 四、小结:

本节课我们学习了另一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。学会巧妙地运用换元法和构造法把它转化为公式的形式，从