湖北省武汉市2020年华师一附中数学分配生试卷(无答案)
2019-2020华中师大一附中数学中考试题(及答案)
2019-2020华中师大一附中数学中考试题(及答案)一、选择题1．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A．9B．8C．7D．62．小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是（）A．110B．19C．16D．153．如果一组数据6、7、x、9、5的平均数是2x，那么这组数据的方差为（）A．4B．3C．2D．14．某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元.若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下（）元A．8B．16C．24D．325．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+43与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P 在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A．6B．8C．10D．126．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°7．10+1的值应在（）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间8．甲种蔬菜保鲜适宜的温度是1℃~5℃，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃~8℃，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是（）A．1℃~3℃B．3℃~5℃C．5℃~8℃D．1℃~8℃9．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC＝8，BD＝6，则菱形的周长为（）A．40B．30C．28D．2010．下列二次根式中的最简二次根式是（）A．30B．12C．8D．0.511．如图中的几何体是由一个圆柱和个长方体组成的，该几何体的俯视图是( )A．B．C．D．12．下列各式化简后的结果为32的是（）A．6B．12C．18D．36二、填空题13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为_____．14．如图，直线a、b被直线l所截，a∥b，∠1=70°，则∠2= ．15．分解因式：x3﹣4xy2=_____．16．如图：在△ABC 中，AB=13，BC=12，点D ，E 分别是AB ，BC 的中点，连接DE ，CD ，如果DE=2.5，那么△ACD 的周长是_____．17．若a ，b 互为相反数，则22a b ab +=________.18．分式方程32xx 2--+22x-=1的解为________. 19．二元一次方程组627x y x y +=⎧⎨+=⎩的解为_____． 20．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF=4，BC=10，CD=6，则tanC=________．三、解答题21．为响应珠海环保城市建设，我市某污水处理公司不断改进污水处理设备，新设备每小时处理污水量是原系统的1.5倍，原来处理1200m 3污水所用的时间比现在多用10小时． （1）原来每小时处理污水量是多少m 2？（2）若用新设备处理污水960m 3，需要多长时间？22．光明中学全体学生900人参加社会实践活动，从中随机抽取50人的社会实践活动成绩制成如图所示的条形统计图，结合图中所给信息解答下列问题：()1填写下表：中位数 众数随机抽取的50人的社会实践活动成绩(单位：分)()2估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．23．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．24．已知：如图，点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：BC=ED．25．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一座隧道（A、B在同一水平面上），为了测量A、B两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从B地出发，垂直上升100米到达C处，在C处观察A地的俯角为39°，求A、B两地之间的距离．（结果精确到1米）（参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】分析：根据多边形的内角和公式计算即可.详解：.答:这个正多边形的边数是9.故选A.点睛：本题考查了多边形，熟练掌握多边形的内角和公式是解答本题的关键.2．A解析：A【解析】∵密码的末位数字共有10种可能（0、1、 2、 3、4、 5、 6、 7、 8、 9、 0都有可能），∴当他忘记了末位数字时，要一次能打开的概率是1 10.故选A.3．A解析：A【解析】分析：先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案．详解：根据题意，得：67955x++++=2x解得：x=3，则这组数据为6、7、3、9、5，其平均数是6，所以这组数据的方差为15[（6﹣6）2+（7﹣6）2+（3﹣6）2+（9﹣6）2+（5﹣6）2]=4，故选A．点睛：此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．4．D解析：D【解析】【分析】设每块方形巧克力x元，每块圆形巧克力y元，根据小明身上的钱数不变得出方程3x+5y-8=5x+3y+8，化简整理得y-x=8．那么小明最后购买8块方形巧克力后他身上的钱会剩下（5x+3y+8）-8x，化简得3（y-x）+8，将y-x=8代入计算即可．【详解】解：设每块方形巧克力x元，每块圆形巧克力y元，则小明身上的钱有（3x+5y-8）元或（5x+3y+8）元．由题意，可得3x+5y-8=5x+3y+8，，化简整理，得y-x=8．若小明最后购买8块方形巧克力，则他身上的钱会剩下：（5x+3y+8）-8x=3（y-x）+8=3×8+8=32（元）．故选D．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，得出每块方形巧克力与每圆方形巧克力的钱数之间的关系是解决问题的关键．5．A解析：A【解析】试题解析：∵直线l：y=kx+43与x轴、y轴分别交于A、B，∴B（0，43），∴OB=43，在RT△AOB中，∠OAB=30°，∴OA=3OB=3×43=12，∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，∴PM=12 PA，设P（x，0），∴PA=12-x，∴⊙P的半径PM=12PA=6-12x，∵x为整数，PM为整数，∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．故选A．考点：1．切线的性质；2．一次函数图象上点的坐标特征．6．D解析：D【解析】【分析】根据折叠的知识和直线平行判定即可解答.【详解】解：如图可知折叠后的图案∠ABC=∠EBC ，又因为矩形对边平行，根据直线平行内错角相等可得∠2=∠DBC ，又因为∠2+∠ABC=180°，所以∠EBC+∠2=180°，即∠DBC+∠2=2∠2=180°-∠1=140°.可求出∠2=70°.【点睛】掌握折叠图形的过程中有些角度是对称相等的是解答本题的关键.7．B解析：B【解析】 解：∵3104<<，∴41015<<．故选B ． 10 的取值范围是解题关键．8．B解析：B【解析】【分析】根据“1℃～5℃”，“3℃～8℃”组成不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：设温度为x ℃，根据题意可知1538x x x x ≥⎧⎪≤⎪⎨≥⎪⎪≤⎩ 解得35x ≤≤．故选：B ．【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．9．D解析：D【解析】【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO＝OD，AO＝OC，在Rt△AOB中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求出菱形ABCD的周长．【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝OD＝3，AO＝OC＝4，AC⊥BD，∴AB＝＝5，∴菱形的周长为4×5＝20．故选D．【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等和对角线互相垂直且平分的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．10．A解析：A【解析】【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【详解】A30B12=23C8=22，不是最简二次根式；D2 0.5=故选：A．【点睛】此题考查最简二次根式的概念，解题关键在于掌握（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．11．D解析：D【解析】【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】解：从上边看是一个圆形，圆形内部是一个虚线的正方形.故选：D．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．12．C解析：C【解析】A不能化简；B C，故正确；D，故错误；故选C．点睛：本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．二、填空题13．60°【解析】试题解析：∵∠ACB=90°∠ABC=30°∴∠A=90°-30°=60°∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上∴AC=A′C∴△A′AC是等边三角形∴∠ACA解析：60°【解析】试题解析：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠A=90°-30°=60°，∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上，∴AC=A′C，∴△A′AC是等边三角形，∴∠ACA′=60°，∴旋转角为60°．故答案为60°.14．110°【解析】∵a∥b∴∠3=∠1=70°∵∠2+∠3=180°∴∠2=110°解析：110°【解析】∵a∥b，∴∠3=∠1=70°，∵∠2+∠3=180°，∴∠2=110°15．x（x+2y）（x﹣2y）【解析】分析：原式提取x再利用平方差公式分解即可详解：原式=x（x2-4y2）=x（x+2y）（x-2y）故答案为x（x+2y）（x-2y）点睛：此题考查了提公因式法与公式解析：x（x+2y）（x﹣2y）【解析】分析：原式提取x，再利用平方差公式分解即可．详解：原式=x（x2-4y2）=x（x+2y）（x-2y），故答案为x（x+2y）（x-2y）点睛：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．16．18【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5AC∥DE 根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD 根据三角形的周长公式计算即可【详解】∵DE 分别是A解析：18【解析】【分析】根据三角形中位线定理得到AC=2DE=5，AC ∥DE ，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD ，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】∵D ，E 分别是AB ，BC 的中点，∴AC=2DE=5，AC ∥DE ，AC 2+BC 2=52+122=169，AB 2=132=169，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴∠ACB=90°，∵AC ∥DE ，∴∠DEB=90°，又∵E 是BC 的中点，∴直线DE 是线段BC 的垂直平分线，∴DC=BD ，∴△ACD 的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=18，故答案为18．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．17．0【解析】【分析】先提公因式得ab （a+b ）而a+b=0任何数乘以0结果都为0【详解】解：∵=ab（a+b ）而a+b=0∴原式=0故答案为0【点睛】本题考查了因式分解和有理数的乘法运算注意掌握任何数解析：0【解析】【分析】先提公因式得ab （a+b ），而a+b=0，任何数乘以0结果都为0．【详解】解：∵22a b ab = ab （a+b ），而a+b=0，∴原式=0.故答案为0，【点睛】本题考查了因式分解和有理数的乘法运算，注意掌握任何数乘以零结果都为零．18．【解析】【分析】根据解分式方程的步骤即可解答【详解】方程两边都乘以得：解得：检验：当时所以分式方程的解为故答案为【点睛】考查了解分式方程解分式方程的基本思想是转化思想把分式方程转化为整式方程求解解分 解析：x 1=【解析】【分析】根据解分式方程的步骤，即可解答．【详解】方程两边都乘以x 2-，得：32x 2x 2--=-，解得：x 1=，检验：当x 1=时，x 21210-=-=-≠，所以分式方程的解为x 1=，故答案为x 1=．【点睛】考查了解分式方程，()1解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解().2解分式方程一定注意要验根．19．【解析】【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解【详解】②﹣①得③将③代入①得∴故答案为：【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法本题属于基础题比较简单解析：15x y =⎧⎨=⎩【解析】【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解．【详解】627x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， ②﹣①得1x =③将③代入①得5y =∴15x y =⎧⎨=⎩故答案为：15x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单．20．【解析】【分析】连接BD 根据中位线的性质得出EFBD 且EF=BD 进而根据勾股定理的逆定理得到△BDC 是直角三角形求解即可【详解】连接BD 分别是ABAD 的中点EFBD 且EF=BD 又△BDC 是直角三角形 解析：43 【解析】 【分析】连接BD ，根据中位线的性质得出EF //BD ，且EF=12BD ，进而根据勾股定理的逆定理得到△BDC 是直角三角形，求解即可．【详解】连接BD ,E F 分别是AB 、AD 的中点∴EF //BD ，且EF=12BD 4EF =8BD ∴=又8106BD BC CD ===，，∴△BDC 是直角三角形，且=90BDC ∠︒∴tanC=BD DC =86=43. 故答案为：43.三、解答题21．（1）原来每小时处理污水量是40m 2；（2）需要16小时．【解析】试题分析：()1设原来每小时处理污水量是x m 2，新设备每小时处理污水量是1.5x m 2，根据原来处理1200m 3污水所用的时间比现在多用10小时这个等量关系，列出方程求解即可. ()2根据()960 1.54016÷⨯=即可求出.试题解析：()1设原来每小时处理污水量是x m 2，新设备每小时处理污水量是1.5x m 2，根据题意得：1200120010,1.5x x-= 去分母得：1800120015x ，-= 解得：40x =，经检验40x = 是分式方程的解，且符合题意，则原来每小时处理污水量是40m 2；（2）根据题意得：()960 1.54016÷⨯=（小时），则需要16小时．22．()14，4；()2 3150分．【解析】【分析】()1根据抽取的人数可以确定中位数的位置，从而确定中位数，小长方形最高的小组的分数为该组数据的众数；()2算出抽取的50名学生的平均分乘以全校的总人数即可得到光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分．【详解】解：()1由题意，将50人的成绩从小到大排序后，第25和第26个的平均数就是中位数，∵2+9+13=24∴第25和第26个成绩都是4，故本组数据的中位数为4∵成绩在4分的同学人数最多∴本组数据的众数是4故填表如下：2随机抽取的50人的社会实践活动成绩的平均数是：1229313414512x 3.5(50⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==分)． 估计光明中学全体学生社会实践活动成绩的总分是：3.59003150(⨯=分)． 【点睛】考查了条形统计图的知识，题目相对比较简单，解题的关键是正确的识图，并从图形中整理出有关的解题的信息．23．（1）DE=3；（2）ADB S 15∆=.【解析】【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE ，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB 的长，然后计算△ADB 的面积.【详解】（1）∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∠C=90°，∴CD=DE ，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB 10===， ∴△ADB 的面积为ADB 11S AB DE 1031522∆=⋅=⨯⨯=. 24．见解析【解析】【分析】首先由AB ∥CD ，根据平行线的性质可得∠BAC=∠ECD ，再由条件AB=CE ，AC=CD 可证出△BAC 和△ECD 全等，再根据全等三角形对应边相等证出CB=ED.【详解】证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC=∠ECD ，∵在△BAC 和△ECD 中，AB=EC ，∠BAC=∠ECD ，AC=CD ，∴△BAC ≌△ECD （SAS ）.∴CB=ED.【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质.25．123米．【解析】【分析】在Rt △ABC 中，利用tan BC CAB AB∠=即可求解． 【详解】解：∵CD ∥AB ，∴∠CAB=∠DCA=39°．在Rt △ABC 中，∠ABC=90°， tan BC CAB AB ∠=． ∴100123tan 0.81BC AB CAB ==≈∠． 答：A 、B 两地之间的距离约为123米．【点睛】本题考查解直角三角形，选择合适的锐角三角函数是解题的关键．。
2020年湖北省武汉市华中师大一附中分配生数学试卷(附答案详解)
2020年湖北省武汉市华中师大一附中分配生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2−a−2<0；②|a−b|+|b−c|=|a−c|；③(a+b)(b+c)(c+a)>0；④|a|<1−bc.其中正确的结论有()个A. 4B. 3C. 2D. 12.已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C=90°，我们把关于x的形如y=ac x+bc的一次函数称为“勾股一次函数”.若点P(−1,√33)在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是()A. 2√6B. 24C. 2√3D. 123.5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：根据该统计图，下列说法错误的是()A. 2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B. 2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C. 2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D. 2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量4.已知函数y=x2+x−1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是−54，则m的取值范围是()A. m≥−2B. 0≤m≤12C. −2≤m≤−12D. m≤−125.如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=4，BO=8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为()A. 3√5B. 12√55C. 9√55D. 16√556.如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN=y，图2表示的是y与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是()A. 24B. 20C. 12D. 10二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）7.2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为______．8.在△ABC中，AB=AC，若cosA=45，则BCAB=______．9.如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度是______.(结果用m，n表示)10.如图，以正六边形ABCDEF的对角线BD为边，向右作等边三角形BDG，若四边形BCDG(图中阴影部分)的面积为6，则五边形ABDEF的面积为______．11.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B′始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为______．12.如图，点A是反比例函数y=kx的图象上位于第一象限的点，点B在x轴的正半轴上，过点B作BC⊥x轴，与线段OA的延长线交于点C，与反比例函数的图象交于点D.若直线AD垂直OC，且使得AC=2OA，则sinC=______．三、解答题（本大题共4小题，共52.0分）13.(1)已知关于x的方程x2−(2k−1)+k2=0有两个实根x1、x2，且满足x1x2−|x1|−|x2|=2，求实数k的值；(2)已知a<b<0，且ab +ba=6，求(a+bb−a)2的值．14.如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是BD⏜上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．(1)求证：△ADF≌△BDG；(2)取AE⏜的中点H，若四边形OBEH为菱形，求∠EAB的大小；(3)若AB=4，且点E是BD⏜上靠近点B的一个三等分点，求线段DG的长．15.习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：类型占地面积可供使用幢数造价(万元)A1518 1.5B2030 2.1(1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？(2)当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：y={13x3−80x2+5040x,0≤x<14410x+72000,144≤x<300，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？(精确到0.1)16.如图②，已知抛物线y=ax2+2√3x+c(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)，与y轴交3于点C(0,√3)，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x 轴交于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．(1)填空：a=______ ，c=______ ；(2)求线段DE的长度；(3)如图②，点F是线段AE上的点，P是线段DE上的点，且点M为直线PF上方抛物线上的一点当△CPF的周长最小时，求△MPF面积的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据题意得：a <−1<0<b <c <1， 则①a 2−a −2=(a −2)(a +1)>0；②∵|a −b|+|b −c|=−a +b −b +c =−a +c ， |a −c|=−a +c ，∴|a −b|+|b −c|=|a −c|；③∵a +b <0，b +c >0，c +a <0， ∴(a +b)(b +c)(c +a)>0； ④∵|a|>1，1−bc <1， ∴|a|>1−bc ；故正确的结论有②③，一共2个． 故选：C ．根据数轴上各数的位置得出a <−1<0<b <c <1，依此即可得出结论．本题考查了数轴、绝对值和有理数的大小比较；弄清数轴上各数的大小是解决问题的关键．2.【答案】A【解析】解：∵点P(−1,√33)在“勾股一次函数”y =ac x +bc 的图象上，∴√33=−a c +bc ，即a −b =−√33c ， 又∵a ，b ，c 分别是Rt △ABC 的三条边长，∠C =90°，Rt △ABC 的面积是4， ∴12ab =4，即ab =8，又∵a 2+b 2=c 2， ∴(a −b)2+2ab =c 2， 即∴(−√33c)2+2×8=c 2，解得c =2√6， 故选：A ．依据题意得到三个关系式：a −b =−√33c ，ab =8，a 2+b 2=c 2，运用完全平方公式即可得到c 的值．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键．3.【答案】D【解析】解：对于A ，由柱状图可得5月份出货量最高，故A 正确； 对于B ，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B 正确；对于C ，根据曲线上数据可得仅仅4月5月比同比高，其余各月均低于2018，且明显总出货量低于2018年，故C 正确；对于D ，可计算得2018年12月出货量为：3044.4÷(1−14.7%)=3569.05， 8月出货量为：3087.5÷(1−5.3%)=3260.3， 因为3260.3<3569.05， 故12月更高，故D 错误． 故选：D ．根据图象逐一分析即可．本题考查了学生合情推理能力，考查数据分析与图表分析能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵函数y =x 2+x −1的对称轴为直线x =−12， ∴当x =−12时，y 有最小值，此时y =14−12−1=−54， ∵函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最小值是−54， ∴m ≤−12；∵当x =1时，y =1+1−1=1，对称轴为直线x =−12， ∴当x =−12−[1−(−12)]=−2时，y =1，∵函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最大值是1，且m ≤−12； ∴−2≤m ≤−12． 故选：C ．先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是−54，得出m ≤−12；再求得当x =1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m 的下限．本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵∠AOB =90°，AO =4，BO =8， ∴AB =√AO 2+BO 2=√42+82=4√5， ∵△AOB 绕顶点O 逆时针旋转到△A′OB′处， ∴AO =A′O =4，A′B′=AB =4√5， ∵点E 为BO 的中点， ∴OE =12BO =12×8=4，∴OE =A′O =4， 过点O 作OF ⊥A′B′于F ，S △A′OB′=12×4√5⋅OF =12×4×8，解得OF =8√55， 在Rt △EOF 中，EF =√OE 2−OF 2=√42−(8√55)2=4√55，∵OE =A′O ，OF ⊥A′B′， ∴A′E =2EF =2×4√55=8√55， ∴B′E =A′B′−A′E =4√5−8√55=12√55； 故选：B ．由勾股定理求出AB ，由旋转的性质可得AO =A′O ，A′B′=AB ，再求出OE ，从而得到OE =A′O ，过点O 作OF ⊥A′B′于F ，由三角形的面积求出OF ，由勾股定理列式求出EF ，再由等腰三角形三线合一的性质可得A′E =2EF ，然后由B′E =A′B′−A′E 代入数据计算即可得解．本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积等知识；熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：由图2知：AB +BC =10，设AB =m ，则BC =10−m ， 如图所示，当点M 在BC 上时，则AB =m ，BM =x −m ，MC =10−x ，NC =y ， ∵MN ⊥AM ，则∠MAB =∠NMC ， tan∠MAB =tan∠NMC ，即BMAB =CNCM ， 即x−m m=y 10−x，化简得：y =−1m x 2+10+m mx −10，当x =−b2a =12(10+m)时， y =−10+(10+m m )24m=23， 解得：m =6， 则AM =6，BC =4， 故ABCD 的面积=24， 故选：A ．证明∠MAB =∠NMC ，则tan∠MAB =tan∠NMC ，即BMAB =CNCM ，得到y =−1m x 2+10+m mx −10，进而求解．本题考查的是动点问题的函数图象，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．7.【答案】35【解析】解：根据题意画图如下：共有20种等可能的情况数，其中最后确定的主持人是一男一女的有12种，则最后确定的主持人是一男一女的概率为1220=35．故答案为：35．根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8.【答案】√105【解析】解：过B点作BD⊥AC于点D，∵cosA=45，∴ADAB =45，设AD=4x，则AB=5x，∴BD=√AB2−AD2=3x，∵AB=AC，∴AC=5x，∴CD=5x−4x=x，∴BC=√BD2+CD2=√9x2+x2=√10x，∴BCAB =√10x5x=√105，故答案为：√10．5过B点作BD⊥AC于点D，设AD=4x，根据三角函数和勾股定理用x表示AB与BD，BC，然后求结果便可．本题主要考查了解直角三角形和，勾股定理，腰三角形的性质，关键是正确构造直角三角形．9.【答案】m+2019n【解析】解：由图可得，2个这样的图形(图1)拼出来的图形中，重叠部分的长度为m−n，∴用2020个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度=2020m−2019(m−n)=m+ 2019n，故答案为：m+2019n．用2020个这样的图形(图1)的总长减去拼接时的重叠部分2019个(m−n)，即可得到拼出来的图形的总长度．本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．10.【答案】15【解析】解：如图，连接GC并延长交BD于点H，连接AE，∵ABCDEF正六边形，∴AB=BC=CD=DE=EF=AF，∠F=∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=120°，∴∠CBD=∠CDB=30°∵△BDG是等边三角形，∴BG=DG=BD，∠GBD=∠GDB=60°，又CG=CG，{BG=DG BC=DC CG=CG∴△BCG≌△DCG(SSS)，∵∠GBC=∠DBC=60°−30°=30°，{BG=BD∠DBC=∠GBC BC=BC∴△GBC≌△DBC(SAS)，∴S△BCG=S△DCG=S△BCD=3，∴S△AEF=3，设CH=x，则BC=CG=2x，BH=√3x，∴BD=2√3x，∴12CG⋅BH=3，即12×2x×√3x=3，∴√3x2=3，∴S四边形ABDE=AB⋅BD=2x⋅2√3x=4√3x2=12，∴五边形ABDEF的面积为：3+12=15．故答案为：15．连接GC并延长交BD于点H，连接AE，根据正六边形和等边三角形的性质可得，△BCG≌△DCG，△GBC≌△DBC，所以得S△BCG=S△DCG=S△BCD=2，S△AEF=3，进而可得五边形ABDEF的面积．本题考查了正多边形和圆、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握正多边形和圆的性质．11.【答案】4−2√3【解析】解：作AH⊥CD于H，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB//CD，∠D=180°−∠BAD=60°，∵AD=AB=4，∴AH=AD⋅sin60°=2√3，∵B，B′关于EF对称，∴BE=B′E，∴当BE最小时，AE最大，根据垂线段最短可知，当EB′=AH=2√3时，BE的值最小，∴AE的最大值为4−2√3，故答案为：4−2√3．作AH⊥CD于H，由B，B′关于EF对称，推出BE=EB′，当BE最小时，AE最大，根据垂线段最短即可解决问题．本题主要考查图形的翻折，熟练掌握菱形的性质，垂线段最短等知识是解题的关键．12.【答案】12【解析】解：如图，连接OD，∵AD垂直OC，∴AC=2OA，设A(a,b)，则C(3a,3b)，∴BC=3b，OB=3a，∴D(3a,13b)，∴BD=13b，又∵Rt△BOC中，OC=√OB2+BC2=3√a2+b2，∵∠ACD=∠BCO，∠CAD=∠CBO=90°，∴△ACD∽△BCO，∴ADOB =CDOC，∴AD=CD⋅OBOC =83b⋅3a3√a2+b2=8ab3√a2+b2，∵OA2+AD2=OD2=OB2+BD2，∴a2+b2+(8ab3√a2+b2)2=9a2+19b2，整理得，9a4=b4，∴b=√3a，∴OC=√OB2+BC2=3√a2+b2=6a，∴sinC=OBOC =3a6a=12故答案为：12．先连接OD，由AC=2OA，可设A(a,b)，则C(3a,3b)，通过证得△ACD∽△BCO，求得AD=3√a2+b2，再根据OA2+AD2=OD2=OB2+BD2，得出a2+b2+(3√a2+b2)2=9a2+19b2，整理得，9a4=b4，求得b=√3a，根据勾股定理求得OC，即可得到sin C 的值．本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及解直角三角形的运用，解决问题的关键是利用三角形相似和直角三角形的勾股定理，得到a与b之间的关系式．13.【答案】解：(1)∵方程有两个实数根，∴△=(2k−1)2−4k2≥0，解得：k≤14，∴x1+x2=2k−1<0，∵x1x2=k2≥0，∴x1≤0，x2≤0，∴x1x2−|x1|−|x2|=x1x2+(x1+x2)=k2+(2k−1)=2，即k2+2k−3=0，解得：k=1或k=3，∵k≤14，∴k=−3；(2)∵ab +ba=6，∴a2+b2=6ab，即a2+b2−2ab=4ab，a2+b2+2ab=8ab，∴(a+b)2=8ab，(a−b)2=4ab，∵a<b<0，∴a+b=−2√2ab，b−a=2√ab，∴(a+bb−a )3=(√2ab2√ab)3=−2√2．【解析】(1)由方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0，求出k的范围，再利用根与系数的关系判断出x1、x2的正负，将已知等式化简后计算即可求出k的值；(2)已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，整理后代入原式计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，以及根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14.【答案】解：(1)∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=∠AEB=90°，∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°，∴∠DAF=∠DBG，∵∠ABD+∠BAC=90°，∴∠ABD=∠BAC=45°，∴AD=BD，∴△ADF≌△BDG(AAS)；(2)连接OH、EH、OE，∵点H是AE⏜的中点，∴∠AOH=∠EOH，∵四边形OBEH为菱形，∴∠EOB=∠EOH，∴∠EOB=60°，∴∠EAB=1∠EOB=30°；2(3)由(1)知△ABD为等腰直角三角形，AB=4，∴BD=2√2，连接DO、OE，∵点E 是BD⏜上靠近点B 的一个三等分点， ∴∠DOE =23∠DOB =60°，∴∠DBE =30°，在Rt △GBD 中，DG =BDtan30°=√33×2√2=2√63．【解析】(1)证明∠DAF +∠BGD =∠DBG +∠BGD =90°，得到∠ABD =∠BAC =45°，故AD =BD ，进而求解；(2)四边形OBEH 为菱形，则∠EOB =∠EOH ，故∠EOB =60°，即可求解；(3)点E 是BD ⏜上靠近点B 的一个三等分点，则∠DOE =23∠DOB =60°，即∠DBE =30°，在Rt △GBD 中，DG =BDtan30°=√33×2√2=2√63．本题是圆的综合题，主要考查了圆的基本知识、菱形的性质、三角形全等、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．15.【答案】解：(1)设建造A 型处理点x 个，则建造B 型处理点(20−x)个．依题意得：{15x +20(20−x)≤37018x +30(20−x)≥490，解得6≤x ≤9.17， ∵x 为整数，∴x =6，7，8，9有四种方案；设建造A 型处理点x 个时，总费用为y 万元．则：y =1.5x +2.1(20−x)=−0.6x +42， ∵−0.6<0，∴y 随x 增大而减小，当x =9时，y 的值最小，此时y =36.6(万元)， ∴当建造A 型处理点9个，建造B 型处理点11个时最省钱；(2)由题意得：每吨垃圾的处理成本为yx (元/吨)，当0≤x <144时，y x =1x (13x 3−80x 2+5040x)=13x 2−80x +5040， ∵13>0，故yx 有最小值，当x =−b 2a =−−802×13=120(吨)时，yx 的最小值为240(元/吨)，当144≤x <300时，y x =1x (10x +72000)=10+72000x，当x=300(吨)时，yx =250，即yx>250(元/吨)，∵240<250，故当x=120吨时，yx的最小值为240元/吨，∵每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍且A型处理点9个，建造B型处理点11个，∴每个A型处理点每月处理量=9×19×1+11×1.2×120×19≈5.4(吨)，故每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低．【解析】(1)首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积<等于370m2，居民楼的数量大于等于490幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为y与A型处理点的个数x之间的函数关系，进而求解；(2)分0≤x<144、144≤x<300两种情况，分别利用二次函数和反比例函数的性质求出函数的最小值，进而求解．本题考查了二次函数、反比例函数和一元一次不等式组的应用，题目有效地将现实生活中的事件与数学思想联系起来，弄懂题意、列出函数关系式是解题的关键．16.【答案】−√33√3【解析】解：(1)将A(−1,0)，C(0,√3)代入抛物线y=ax2+2√33x+c(a≠0)，{a−2√33+c=0 c=√3，∴a=−√33，c=√3，故答案为：−√33，√3．(2)由(1)得抛物线解析式：y=−√33x2+2√33x+√3，∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C(0,√3)，∴D(2,√3)，∴DH=√3，令y=0，即−√33x2+2√33x+√3=0，得x1=−1，x2=3，∴A(−1,0)，B(3,0)， ∵AE ⊥AC ，EH ⊥AH ， ∴△ACO∽△EAH ， ∴OC AH=OAEH，即√33=1EH，解得：EH =√3， 则DE =2√3；(3)找点C 关于DE 的对称点N(4,√3)，找点C 关于AE 的对称点G(−2,−√3)， 连接GN ，交AE 于点F ，交DE 于点P ，即G 、F 、P 、N 四点共线时，△CPF 周长=CF +PF +CP =GF +PF +PN 最小，∴直线GN 的解析式：y =√33x −√33，由(2)得E(2,−√3)，A(−1,0)， ∴直线AE 的解析式：y =−√33x −√33，联立{y =√33x −√33y =−√33x −√33，解得{x =0y =−√33， ∴F(0,−√33)， ∵DH ⊥x 轴，∴将x =2代入直线GN 的解析式：y =√33x −√33，∴P(2,√33) ∴F(0,−√33)与P(2,√32)的水平距离为2过点M 作y 轴的平行线交FP 于点Q ， 设点M(m,−√33m 2+2√33m +√3)，则Q(m,√33m −√33)(1−√172<m <1+√172)；∴S △MFP =S △MQF +S △MQP =12MQ ×2=MQ =(−√33m 2+2√33m +√3)−(√33m −√33)，S △MFP =−√33m 2+√33m +4√33=−√33(m −12)2+1712√3，∵对称轴为：直线m =12， ∵开口向下，1−√172<m1+√172，∴m =12时，△MPF 面积有最大值为1712√3．(1)将A(−1,0)，C(0,√3)代入抛物线解析式，求出a 、c 的值； (2)由(1)得抛物线解析式：y =−√33x 2+2√33x +√3，点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，C(0,√3)，D(2,√3)，DH =√3，再证明△ACO∽△EAH ，得出比例线段OCAH =OAEH ，求出EH =√3，则可求出答案；(3)得出点C 关于DE 的对称点N(4,√3)，找点C 关于AE 的对称点G(−2,−√3)，连接GN ，交AE 于点F ，交DE 于点P ，即G 、F 、P 、N 四点共线时，△CPF 周长=CF +PF +CP =GF +PF +PN 最小，根据S △MFP =−√33m 2+√33m +4√33，当m =12时，△MPF 面积有最大值1712√3．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．。
2020年湖北省武汉市华中师大一附中自主招生数学试卷-普通用卷
2020年湖北省武汉市华中师大一附中自主招生数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2−a−2<0；②|a−b|+|b−c|=|a−c|；③(a+b)(b+c)(c+a)>0；④|a|<1−bc.其中正确的结论有()个A. 4B. 3C. 2D. 12.已知a，b，c分别是Rt△ABC的三条边长，c为斜边长，∠C=90°，我们把关于x的形如y=ac x+bc的一次函数称为“勾股一次函数”.若点P(−1,√33)在“勾股一次函数”的图象上，且Rt△ABC的面积是4，则c的值是()A. 2√6B. 24C. 2√3D. 123.5G时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如图统计图：根据该统计图，下列说法错误的是()A. 2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B. 2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C. 2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D. 2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量4.已知函数y=x2+x−1在m≤x≤1上的最大值是1，最小值是−54，则m的取值范围是()A. m≥−2B. 0≤m≤12C. −2≤m≤−12D. m≤−125.如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=4，BO=8，△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E 的长度为()A. 3√5B. 12√55C. 9√55D. 16√556.如图1，在矩形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C方向运动，当点M到达点C时停止运动，过点M作MN⊥AM交CD于点N，设点M的运动路程为x，CN=y，图2表示的是y 与x的函数关系的大致图象，则矩形ABCD的面积是()A. 20B. 18C. 10D. 9二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）7.2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为______．8.在△ABC中，AB=AC，若cosA=45，则BCAB=______．9.如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度是______.(结果用m，n表示)10.如图，在平面直角坐标系中，矩形MNPQ的顶点M，N分别在x轴，y轴正半轴上滑动，顶点P、Q在第一象限，若MN=8，PN=4，在滑动过程中，点P与坐标原点O的距离的最大值为______．11.如图，已知直线y=kx(k>0)分别交反比例函数y=1x 和y=4x在第一象限的图象于点A，B，过点B作BD⊥x轴于点D，交y=1x的图象于点C，连接AC.若△ABC是等腰三角形，则k 的值是______．12.如图，在正方形ABCD中，AB=4，点M在CD边上，且DM=1，△AEM与△ADM关于AM所在直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为______．三、解答题（本大题共4小题，共52.0分）13.(1)已知关于x的方程x2−(2k−1)x+k2=0有两个实根x1，x2，且满足x1x2−|x1|−|x2|=2，求实数k的值；(2)已知a<b<0，且ab +ba=6，求(a+bb−a)3的值．14.习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：类型占地面积可供使用幢数造价(万元)A1518 1.5B2030 2.1(1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？(2)当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：y={13x3−80x2+5040x,0≤x<14410x+72000,144≤x<300，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？(精确到0.1)15.已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5，点E是AD边上一动点，连接BE、CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H．(1)当直线FH与⊙O相切时，求AE的长；(2)当FH//BE时，求AE的长；(3)若线段FH交⊙O于点G，在点E运动过程中，△OFG能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE的长；如果不能，说明理由．16.如图①，已知抛物线y=ax2+2√3x+c(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与3y轴交于点C，点A坐标为(−1,0)，点C坐标为(0,√3)，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．(1)求a，c的值；(2)求线段DE的长度；(3)如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？答案和解析1.【答案】C【解析】解：根据题意得：a <−1<0<b <c <1， 则①a 2−a −2=(a −2)(a +1)>0；②∵|a −b|+|b −c|=−a +b −b +c =−a +c ， |a −c|=−a +c ，∴|a −b|+|b −c|=|a −c|；③∵a +b <0，b +c >0，c +a <0， ∴(a +b)(b +c)(c +a)>0； ④∵|a|>1，1−bc <1， ∴|a|>1−bc ；故正确的结论有②③，一共2个． 故选：C ．根据数轴上各数的位置得出a <−1<0<b <c <1，依此即可得出结论．本题考查了数轴、绝对值和有理数的大小比较；弄清数轴上各数的大小是解决问题的关键．2.【答案】A【解析】解：∵点P(−1,√33)在“勾股一次函数”y =ac x +bc 的图象上，∴√33=−a c+b c的一次函数，即a −b =−√33c ，又∵a ，b ，c 分别是Rt △ABC 的三条变长，∠C =90°，Rt △ABC 的面积是4， ∴12ab =4，即ab =8， 又∵a 2+b 2=c 2， ∴(a −b)2+2ab =c 2， 即∴(−√33c)2+2×8=c 2，解得c =2√6， 故选：A ．依据题意得到三个关系式：a −b =−√33c ，ab =8，a 2+b 2=c 2，运用完全平方公式即可得到c 的值．考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键．3.【答案】D【解析】解：对于A ，由柱状图可得5月份出货量最高，故A 正确； 对于B ，根据曲线幅度可得下半年波动比上半年波动小，故B 正确；对于C ，根据曲线上数据可得仅仅4月5月比同比高，其余各月均低于2018，且明显总出货量低于2018年，故C 正确；对于D ，可计算得2018年12月出货量为：3044.4÷(1−14.7%)=3569.05， 8月出货量为：3087.5÷(1−5.3%)=3260.3， 因为3260.3<3569.05， 故12月更高，故D 错误． 故选：D ．根据图象逐一分析即可．本题考查了学生合情推理能力，考查数据分析与图表分析能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：∵函数y =x 2+x −1的对称轴为直线x =−12， ∴当x =−12时，y 有最小值，此时y =14−12−1=−54， ∵函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最小值是−54， ∴m ≤−12；∵当x =1时，y =1+1−1=1，对称轴为直线x =−12， ∴当x =−12−[1−(−12)]=−2时，y =1，∵函数y =x 2+x −1在m ≤x ≤1上的最大值是1，且m ≤−12； ∴−2≤m ≤−12． 故选：C ．先求出二次函数的对称轴，再求得函数在顶点处的函数值，根据已知条件最小值是−54，得出m ≤−12；再求得当x =1时的函数值，发现该值等于已知条件中的最大值，根据二次函数的对称性可得m 的下限．本题考查了二次函数在给定范围内的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵∠AOB =90°，AO =4，BO =8， ∴AB =√AO 2+BO 2=√42+82=4√5， ∵△AOB 绕顶点O 逆时针旋转到△A′OB′处， ∴AO =A′O =4，A′B′=AB =4√5， ∵点E 为BO 的中点， ∴OE =12BO =12×8=4， ∴OE =A′O =4， 过点O 作OF ⊥A′B′于F ，S △A′OB′=12×4√5⋅OF =12×4×8，解得OF =8√55， 在Rt △EOF 中，EF =√OE 2−OF 2=(8√55)=4√55，∵OE =A′O ，OF ⊥A′B′， ∴A′E =2EF =2×4√55=8√55， ∴B′E =A′B′−A′E =4√5−8√55=12√55； 故选：B ．由勾股定理求出AB ，由旋转的性质可得AO =A′O ，A′B′=AB ，再求出OE ，从而得到OE =A′O ，过点O 作OF ⊥A′B′于F ，由三角形的面积求出OF ，由勾股定理列式求出EF ，再由等腰三角形三线合一的性质可得A′E =2EF ，然后由B′E =A′B′−A′E 代入数据计算即可得解．本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积等知识；熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：由图2知：AB +BC =9，设AB =m ，则BC =9−m ， 如图所示，当点M 在BC 上时，则AB =m ，BM =x −a ，MC =9−x ，NC =y ，∵MN ⊥AM ，则∠MAB =∠NMC ， tan∠MAB =tan∠NMC ，即BMAB =CNCM ， 即x−m m=y 9−x ，化简得：y =−1mx 2+9+a ax −9，当x =−b2a =9+m 2时，y =−9+(9+m m )24m=45，解得：m =5， 则AM =5，BC =4， 故ABCD 的面积=20， 故选：A ．由图2知：AB +BC =9，设AB =m ，则BC =9−m ，则tan∠MAB =tan∠NMC ，即BMAB =CNCM ，即x−m m=y9−x，化简得：y =−1m x 2+9+a ax −9，当x =−b 2a=9+m 2时，y =−9+(9+m m )24m=45，即可求解．本题考查的是动点的图象问题，涉及到一次函数、二次函数、解直角三角形等知识，从图2中，确定AB +BC =9是本题解题的关键．7.【答案】35【解析】解：根据题意画图如下：共有20种等可能的情况数，其中最后确定的主持人是一男一女的有12种， 则最后确定的主持人是一男一女的概率为1220=35． 故答案为：35．根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8.【答案】√105【解析】解：过B点作BD⊥AC于点D，∵cosA=45，∴ADAB =45，设AD=4x，则AB=5x，∴BD=√AB2−AD2=3x，∵AB=AC，∴AC=5x，∴CD=5x−4x=x，∴BC=√BD2+CD2=√9x2+x2=√10x，∴BCAB =√10x5x=√105，故答案为：√105．过B点作BD⊥AC于点D，设AD=4x，根据三角函数和勾股定理用x表示AB与BD，BC，然后求结果便可．本题主要考查了解直角三角形和，勾股定理，腰三角形的性质，关键是正确构造直角三角形．9.【答案】m+2019n【解析】解：由图可得，2个这样的图形(图1)拼出来的图形中，重叠部分的长度为m−n，∴用2020个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度=2020m−2019(m−n)=m+2019n，故答案为：m+2019n．用2020个这样的图形(图1)的总长减去拼接时的重叠部分2019个(m−n)，即可得到拼出来的图形的总长度．本题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．10.【答案】4+4√2【解析】解：如图，取MN 的中点E ，连接OE ，PE ，OP ，∵∠MON =90°，∴Rt △MON 中，OE =12MN =4，又∵∠MQP =90°，MN =8，PN =4，NE =4， ∴Rt △PNE 中，PE =√PN 2+NE 2=4√2， 又∵OP ≤PE +OE =4+4√2， ∴OP 的最大值为4+4√2，即点P 到原点O 距离的最大值是4+4√2， 故答案为：4+4√2．取MN 的中点E ，连接OE ，PE ，OP ，根据勾股定理和矩形的性质解答即可． 此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和勾股定理解答．11.【答案】2√55或√22【解析】解：∵点B 是y =kx 和y =4x 的交点，y =kx =4x ， ∴点B 坐标为(√k 2√k)，同理可求出点A 的坐标为(k √k)， ∵BD ⊥x 轴，∴点C 横坐标为√k ，纵坐标为12√k ，∴BA =√1k +k ，AC =√1k +k4，BC =32√k ，∴BA 2−AC 2=34k >0， ∴BA ≠AC ，若△ABC 是等腰三角形，①当AB =BC 时，则√1k +k =32√k ， 解得：k =±2√55(舍去负值)；②当AC =BC 时，同理可得：k =√22；故答案为：2√55或√22． 根据一次函数和反比例函数的解析式，即可求得点A 、B 、C 的坐标(用k 表示)，再讨论①AB =BC ，②AC =BC ，即可解题．本题考查了点的坐标的计算，考查了一次函数和反比例函数交点的计算，本题中用k 表示点A 、B 、C 坐标是解题的关键．12.【答案】5【解析】解：如图，连接BM ．∵△AEM 与△ADM 关于AM 所在的直线对称， ∴AE =AD ，∠MAD =∠MAE ．∵△ADM 按照顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABF ， ∴AF =AM ，∠FAB =∠MAD ． ∴∠FAB =∠MAE ，∴∠FAB +∠BAE =∠BAE +∠MAE ． ∴∠FAE =∠MAB ． ∴△FAE≌△MAB(SAS)． ∴EF =BM ．∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC =CD =AB =4． ∵DM =1， ∴CM =3．∴在Rt △BCM 中，BM =√32+42=5， ∴EF =5， 故答案为：5．连接BM.先判定△FAE≌△MAB(SAS)，即可得到EF =BM.再根据BC =CD =AB =4，CM =3，利用勾股定理即可得到，Rt △BCM 中，BM =5，进而得出EF 的长．本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．13.【答案】解：(1)根据题意得△=(2k −1)2−4k 2≥0，解得k ≤14；(2)x1+x2=2k−1，x1x2=k2，∵k≤14，∴x1+x2=2k−1≤0，而x1x2=k2≥0，∴x1≤0，x2≤0，∵x1x2−|x1|−|x2|=2，∴x1⋅x2+x1+x2=2，即k2+(2k−1)=2，整理得k2+2k−3=0，解得k1=−3，k2=1，而k≤14，∴k=−3；(2)∵ab +ba=6，∴a2+b2=6ab，∴(a+b)2=8ab，∴(b−a)2=(a+b)2−4ab=4ab，∴(a+bb−a )2=(a+b)2(b−a)2=2，∴a+bb−a=±√2，∵a<b<0，∴a+b<0，b−a>0，∴a+bb−a<0，∴a+bb−a=−√2∴(a+bb−a)3=−2√2．答：(a+bb−a)3的值为−2√2．【解析】(1)利用判别式的意义得到△=(2k−1)2−4k2≥0，然后解不等式可得k的取值范围，再根据根与系数的关系可得出x1+x2=2k−1、x1x2=k2，结合x1x2−|x1|−|x2|=2，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可求实数k的值；(2)先通分可得a2+b2=6ab，再根据完全平方公式的变形可得a+bb−a 的值，进而可得(a+bb−a)3的值．本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根时，x 1+x 2=−ba，x 1x 2=ca .也考查了判别式的值．14.【答案】解：(1)设建造A 型处理点x 个，则建造B 型处理点(20−x)个．依题意得：{15x +20(20−x)≤37018x +30(20−x)≥490，解得6≤x ≤9.17， ∵x 为整数，∴x =6，7，8，9有四种方案；设建造A 型处理点x 个时，总费用为y 万元．则：y =1.5x +2.1(20−x)=−0.6x +42， ∵−0.6<0，∴y 随x 增大而减小，当x =9时，y 的值最小，此时y =36.6(万元)， ∴当建造A 型处理点9个，建造B 型处理点11个时最省钱；(2)由题意得：每吨垃圾的处理成本为yx (元/吨)，当0≤x <144时，y x =1x (13x 3−80x 2+5040x)=13x 2−80x +5040， ∵13>0，故yx 有最小值，当x =−b 2a =−−802×13=120(吨)时，yx 的最小值为240(元/吨)，当144≤x <300时，y x =1x (10x +72000)=10+72000x，当x =300(吨)时，yx =250，即yx >250(元/吨)， ∵240<250，故当x =120吨时，yx 的最小值为240元/吨，∵每个B 型处理点的垃圾月处理量是A 型处理点的1.2倍且A 型处理点9个，建造B 型处理点11个， ∴每个A 型处理点每月处理量=9×19×1+11×1.2×120×19≈5.4(吨)，故每个A 型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低．【解析】(1)首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积<等于370m 2，居民楼的数量大于等于490幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为y 与A 型处理点的个数x 之间的函数关系，进而求解；(2)分0≤x <144、144≤x <300两种情况，分别利用二次函数和反比例函数的性质求出函数的最小值，进而求解．本题考查了二次函数、反比例函数和一元一次不等式组的应用，题目有效地将现实生活中的事件与数学思想联系起来，弄懂题意、列出函数关系式是解题的关键．15.【答案】解：(1)如图1，连接EF，FA，∵CE为圆的切线且又和EB垂直，∴CE//AF∴∠CEF=∠AFE；又∵∠AFE=∠FEB，∴∠CEF=∠BEF，∴EF为∠BEC的平分线；∵∠EFB=90°，∴EF⊥BC，∴BE=CE∴△BEC为等腰三角形，∴BF为BC的一半；∵EA//CF，∴四边形CEAF为平行四边形，即AE=CF=2.5；(2)解：∵FH//BE，FH⊥CE，∴BE⊥CE，∴∠AEB+∠DEC=90°，∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠ABE=∠DEC，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△CDE，∴ABDE =AECD，∵AB=2，AD=5，∴CD=AB=2，∴25−AE =AE2，∴AE=1或AE=4．(3)连接EF、OF、OG，如图3所示：则∠BFE =90°，设AE =x ，则EF ，=AB =2，BF =AE =x ，CF =DE =5−x ， 若△OFG 是等腰直角三角形，则∠FOG =90°， 连接BG 、EG ，设BG 、EF 交于点K ， ∴△BFK 和△EGK 都是等腰直角三角形，∴BF =KF =x ，BK =√2x ，EK =2−KF =2−x ，在等腰直角△EGK 中，根据勾股定理得：GK =EG =√22(2−x)，BG =GK +BK =√22(2+x)，又∵∠EBG =∠EFG =∠FCH ， ∴△BEG∽△CEF ， ∴BG BE=FCEF，即√22(2+x)√22(2−x)=5−x 2，解得：x =9−√572，或x =9+√572，∴AE 的长度是9−√572或9+√572．【解析】(1)连接EF ，FA ，由CE 为圆的切线且又和EB 垂直，可知CE//FA ，推出∠CEF =∠AFE ，而∠AFE =∠FEB 可得∠CEF =∠BEF ，所以EF 为∠BEC 的平分线．又因为∠EFB 为直角可知EF ⊥BC ，所以△BEC 为等腰三角形，得到BF 为BC 的一半，又因为EA//CF ，可知四边形CEAF 为平行四边形，即AD =BF =2.5；(2)根据平行线的性质得到BE ⊥CE ，由余角的性质得到∠ABE =∠DEC ，证得△ABE∽△CDE ，根据相似三角形的性质即可得到结论；(3)连接EF ，由圆周角定理得出∠BFE =90°，设AE =x ，则EF ，=AB =2，BF =AE =x ，CF =DE =5−x ，由已知条件得出点G 在点F 上方，连接BG 、EG ，设BG 、EF 交于点K ，得出△BFK 和△EGK都是等腰直角三角形，得出BF =KF =x ，BK =√2x ，EK =2−KF =2−x ，GK =EG =√22(2−x)，BG =GK +BK =√22(2+x)，证明△BEG∽△CEF ，得出BG BE =FCEF ，得出方程，解方程即可．本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、切线的判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是(2)、(3)中，需要证明三角形相似才能得出结果．16.【答案】解：(1)将A(−1,0)，C(0,√3)代入抛物线y =ax 2+2√33x +c(a ≠0)， {a −2√33+c =0c =√3，∴a =−√33，c =√3(2)由(1)得抛物线解析式：y =−√33x 2+2√33+√3∵点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，C(0,√3) ∴D(2,√3)， ∴DH =√3， 令y =0，即−√33x 2+2√33x +√3=0，得x 1=−1，x 2=3， ∴A(−1,0)，B(3,0)， ∵AE ⊥AC ，EH ⊥AH ， ∴△ACO∽△EAH ， ∴OC AH=OA EH=即=√33=1EH，解得：EH =2√3， 则DE =2√3；(3)找点C 关于DE 的对称点N(4,√3)，找点C 关于AE 的对称点G(−2,−√3)，连接GN ，交AE 于点F ，交DE 于点P ，即G 、F 、P 、N 四点共线时，△CPF 周长=CF +PF +CP =GF +PF +PN 最小，∴直线GN 的解析式：y =√33x −√33，由(2)得E(2,−√3)，A(−1,0)， ∴直线AE 的解析式：y =−√33x −√33，联立{y = √33x −√33；y =−√33x −√33 ； 解得{x =0y =−√33 ∴F(0,−√33)， ∵DH ⊥x 轴，∴将x =2代入直线AE 的解析式：y =−√33x −√33，∴P(2,√32) ∴F(0,−√33)与P(2,√32)的水平距离为2过点M 作y 轴的平行线交FH 于点Q ， 设点M(m,−√33m 2+2√33m +√3)，则Q(m,√33m −√33)(1−√172<m <1+√172)；∴S △MFP =S △MQF +S △MQP =12MQ ×2=MQ =(−√33m 2+2√33m +√3)−(√33m −√33)， S △MFP =−√3m 2+√3m +4√3=−√3(m −1)2+17√3 ∵对称轴为：直线m =12， ∵开口向下，1−√172<m1+√172，∴m =12时，△MPF 面积有最大值为1712√3..【解析】(1)：(1)将A(−1,0)，C(0,√3)代入抛物线y =ax 2+2√33x +c(a ≠0)，求出a 、c 的值；(2)由(1)得抛物线解析式：y =−√33x 2+2√33+√3，点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，C(0,√3)，所以D(2,√3)，DH =√3，再证明△ACO∽△EAH ，于是 OCAH =OAEH =即=√33=1EH ，解得：EH =2√3，则DE =2√3；(3)找点C 关于DE 的对称点N(4,√3)，找点C 关于AE 的对称点G(−2,−√3)，连接GN ，交AE 于点F ，交DE 于点P ，即G 、F 、P 、N 四点共线时，△CPF 周长=CF +PF +CP =GF +PF +PN 最小，根据S △MFP =−√33m 2+√33m +4√33=−√33(m −12)2+1712√3，m =12时，△MPF 面积有最大值1712√3． 本题考查了二次函数，熟练运用相似三角形的性质与二次函数图象的性质是解题的关键．。
2020年湖北省武汉华师一附中高中招生分配生考试英语语文5.31
2020年湖北省武汉华师一附中高中招生分配生考试英语语文5.31语文、英语试题考试时间：90分钟卷面满分：120分说明：1．本试卷为英语、语文合卷，其中英语50分，语文70分。
2．所有答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
其中，将所有选择题答案用2B铅笔在相应位置涂黑。
英语部分一、完形填空（共15小题；每小题l分，满分15分）阅读下面的短文，从短文后各题所给的A、B、C和D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
I grew up in a small town where the elementary school wasa ten-minute walk from my house and in an age when children could go home for lunch and find their mothers 1 .At that time, I didn’t consid er this a luxury(奢望), 2 today it certainly would be. I never 3 that this smart woman, who had had a job before I was born and would finally 4 a job, would spend almost every 5 hour throughout my elementary school years just with me.I only knew that when the noon bell rang, I would 6 breathlessly home. My mother would be standing at the top of the 7 , smiling down at me with a look that suggested I was the only important thing she had on her mind. For this, I am forever8 .One lunchtime when I was in the third grade will 9 with me always. I had been picked to be the princess in the school 10 , and for weeks my mother had practiced my lines with me. But no matter how 11 I remembered them at home, as soon as I stepped on 12 , every word disappeared from my head.At last, my teacher took me aside. She 13 that she had writtena narrator’s(旁白的) part to the play, and asked me to change roles. Her words, 14 said, still stung(刺痛), especially when I saw my part go to another girl.I didn’t tell my mother what had happ ened when I went home for lunch that day. But she 15 my unease(心神不定), and instead of suggesting we practice my lines, she asked if I wanted to walk in the yard.1. A. working B. waiting C. reading D. shopping2. A. if B. unless C. although D. so3. A. questioned B. expected C. guessed D. decided4. A. take up B. deal with C. care for D. return to5. A. breakfast B. lunch C. supper D. study6. A. race B. walk C. leave D. ride7. A. hill B. tree C. stairs D. table8. A. relaxed B. joyful C. thankful D. sorry9. A. agree B. stay C. argue D. fight10. A. concert B. event C. festival D. play11. A. hopefully B. easily C. hardly D. luckily12. A. boat B. playground C. stage D. top13. A. realized B. understood C. imagined D. explained14. A. publicly B. sadly C. surprisedly D. kindly15. A. sensed B. caused C. forgot D. hid二、阅读理解（共10小题；每小题2分，满分20分）阅读下面的短文，从每题所给的四个选项（A、B、C和D)中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
【初升高】湖北华中师范大学第一附属中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷(9套)附解析
中学自主招生数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）1．（3分）﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3C．±3D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．＝±6C．a2b÷2ab＝a2D．（2ab2）3＝8a3b63．（3分）如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱；现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（）A．B．C．D．4．（3分）一组数据1，2，3，3，4，5．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线P A与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝40°，则∠ABC的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则＝（）A．B．2C．D．7．（3分）已知实数x、y满足：x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0．则﹣y2的值为（）A．0B．C．1D．8．（3分）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0），则函数y＝（kx+b）（mx+n）中，当y＜0时x的取值范围是（）A．x＞2B．0＜x＜4C．﹣1＜x＜4D．x＜﹣1 或x＞4二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）9．（3分）“五一”小长假期间，扬州市区8家主要封闭式景区共接待游客528600人次，同比增长20.56%．用科学记数法表示528600为．10．（3分）若有意义，则x的取值范围是．11．（3分）分解因式：mx2﹣4m＝．12．（3分）若方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，则k＝．13．（3分）一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为cm2．14．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是．15．（3分）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝30°，则∠2的度数为．16．（3分）如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是．17．（3分）如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y＝﹣x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线y＝的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2018，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，则mn＝．18．（3分）如图，⊙O的直径AB＝8，C为弧AB的中点，P为弧BC上一动点，连接AP、CP，过C作CD⊥CP交AP于点D，连接BD，则BD的最小值是．三、解答题（本大题有10小题，共96分．）19．（8分）（1）计算：|﹣3|﹣tan30°+20180﹣（）﹣1；（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．20．（8分）央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为度；（4）若该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．21．（8分）若关于x的分式方程＝1的解是正数，求m的取值范围．22．（8分）小明在上学的路上要经过多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的．（1）如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）（2）如果有n个路口，则小明在每个路口都没有遇到红灯的概率是．23．（10分）如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6m的B处安置高为1.5m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．（结果保留根号）24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且ED⊥DB，FB ⊥BD．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A＝30°，∠DEB＝45°，求证：DA＝DF．25．（10分）观察下表：我们把某一格中所有字母相加得到的多项式称为特征多项式，例如：第1格的“特征多项式”为x+4y．回答下列问题：（1）第4格的“特征多项式”为，第n格的“特征多项式”为；（2）若第1格的“特征多项式”的值为2，第2格的“特征多项式”的值为﹣6．①求x，y的值；②在①的条件下，第n格的“特征多项式的值”随着n的变化而变化，求“特征多项式的值”的最大值及此时n值．26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径为3，ED＝4，延长EO交⊙O于F，连接DF，与OA交于点G，求OG的长．27．（12分）在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣8，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α＝45°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式；（2）如图3，若α为锐角，且tanα＝，当EA⊥x轴时，正方形对角线EG与OF相交于点M，求线段AM的长；（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴正半轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，是否存在△OEP的两边之比为：1？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．28．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△P AD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）1．【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝3．故选：A．2．【分析】直接利用合并同类项法则以及算术平方根、整式的除法运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、2a+3b无法计算，故此选项错误；B、＝6，故此选项错误；C、a2b÷2ab＝a，故此选项错误；D、（2ab2）3＝8a3b6，正确．故选：D．3．【分析】俯视图是从物体上面看到的图形，应把所看到的所有棱都表示在所得图形中．【解答】解：从上面看，图2的俯视图是正方形，有一条对角线．故选：C．4．【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．【解答】解：A、原来数据的平均数是3，添加数字3后平均数仍为3，故A与要求不符；B、原来数据的众数是3，添加数字3后众数仍为3，故B与要求不符；C、原来数据的中位数是3，添加数字3后中位数仍为3，故C与要求不符；D、原来数据的方差＝＝，添加数字3后的方差＝＝，故方差发生了变化．故选：D．5．【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠P AO的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，直线P A与⊙O相切于点A，∴∠P AO＝90°．又∵∠P＝40°，∴∠POA＝50°，∴∠ABC＝∠POA＝25°．故选：B．6．【分析】求出AB＝3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【解答】解：∵AH＝2，HB＝1，∴AB＝AH+BH＝3，∵l1∥l2∥l3，∴＝＝．故选：A．7．【分析】根据x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，可以得到x与y的关系和y2﹣的值，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：∵x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，∴x＝y+3，y2+﹣＝0，∴y2﹣＝﹣∴﹣y2＝＝1+＝1﹣（﹣）＝1+＝，故选：D．8．【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．【解答】解：∵y3＝（kx+b）（mx+n），y＜0，∴（kx+b）（mx+n）＜0，∵y1＝kx+b，y2＝mx+n，即y1•y2＜0，有以下两种情况：（1）当y1＞0，y2＜0时，此时，x＜﹣1；（2）当y1＜0，y2＞0时，此时，x＞4，故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）9．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：528600＝5.286×105，故答案为：5.286×10510．【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．【解答】解：根据题意，得：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案是：x≠2．11．【分析】首先提取公因式m，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：mx2﹣4m＝m（x2﹣4）＝m（x+2）（x﹣2）．故答案为：m（x+2）（x﹣2）．12．【分析】根据根判别式△＝b2﹣4ac的意义得到△＝0，即k2﹣4×1×9＝0，然后解方程即可．【解答】解：∵方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，即k2﹣4•1•9＝0，解得k＝±6．故答案为±6．13．【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求解．【解答】解：∵圆锥的底面半径为5cm，∴圆锥的底面圆的周长＝2π•5＝10π，∴圆锥的侧面积＝•10π•2＝10π（cm2）．故答案为：10π．14．【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．【解答】解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△ABC＝4，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝4，∵k＜0，∴k＝﹣8．故答案为：﹣8．15．【分析】根据平行线的性质可得出∠3＝∠4+∠5，结合对顶角相等可得出∠3＝∠1+∠2，代入∠1＝30°、∠3＝45°，即可求出∠2的度数．【解答】解：给各角标上序号，如图所示．∵∠3＝∠4+∠5，∠1＝∠4，∠2＝∠5，∴∠3＝∠1+∠2．又∵∠1＝30°，∠3＝45°，∴∠2＝15°．故答案为：15°．16．【分析】由在4×4正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有13种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：如图，∵根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有5个情况，∴使图中黑色部诶的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：．故答案为：．17．【分析】依据题意可得，A，C之间的水平距离为6，点Q与点P的水平距离为7，A，B之间的水平距离为2，双曲线解析式为y＝，依据点P'、点B离x轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标m＝6，点Q“、点Q'离x轴的距离相同，都为4，即点Q的纵坐标n＝4，即可得到mn的值．【解答】解：由图可得，A，C之间的水平距离为6，2018÷6＝336…2，由抛物线y＝﹣x2+4x+2可得，顶点B（2，6），即A，B之间的水平距离为2，∴点P'、点B离x轴的距离相同，都为6，即点P的纵坐标m＝6，由抛物线解析式可得AO＝2，即点C的纵坐标为2，∴C（6，2），∴k＝2×6＝12，∴双曲线解析式为y＝，2025﹣2018＝7，故点Q与点P的水平距离为7，∵点P'、Q“之间的水平距离＝（2+7）﹣（2+6）＝1，∴点Q“的横坐标＝2+1＝3，∴在y＝中，令x＝3，则y＝4，∴点Q“、点Q'离x轴的距离相同，都为4，即点Q的纵坐标n＝4，∴mn＝6×4＝24，故答案为：24．18．【分析】以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，依据∠ADC＝135°，可得点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，依据△ACQ中，AQ＝4，【解答】解：如图所示，以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，连接AC，BC，BQ．∵⊙O的直径为AB，C为的中点，∴∠APC＝45°，又∵CD⊥CP，∴∠DCP＝90°，∴∠PDC＝45°，∠ADC＝135°，∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，又∵AB＝8，C为的中点，∴△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝4，∴△ACQ中，AQ＝4，∴BQ＝＝4，∵BD≥BQ﹣DQ，∴BD的最小值为4﹣4．故答案为：4﹣4．三、解答题（本大题有10小题，共96分．）19．【分析】（1）根据实数的混合计算解答即可；（2）根据整式的混合计算解答即可．【解答】解：（1）原式＝＝﹣1．（2）原式＝1﹣a2+a2﹣2a＝1﹣2a20．【分析】（1）根据文史类的人数以及文史类所占的百分比即可求出总人数；（2）根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及小说类的人数；（3）根据小说类的百分比即可求出圆心角的度数；（4）利用样本中喜欢社科类书籍的百分比来估计总体中的百分比，从而求出喜欢社科类书籍的学生人数；【解答】解：（1）∵喜欢文史类的人数为76人，占总人数的38%，∴此次调查的总人数为：76÷38%＝200人，故答案为：200；（2）∵喜欢生活类书籍的人数占总人数的15%，∴喜欢生活类书籍的人数为：200×15%＝30人，∴喜欢小说类书籍的人数为：200﹣24﹣76﹣30＝70人，如图所示：（3）∵喜欢社科类书籍的人数为：24人，∴喜欢社科类书籍的人数占了总人数的百分比为：×100%＝12%，∴喜欢小说类书籍的人数占了总分数的百分比为：100%﹣15%﹣38%﹣12%＝35%，∴小说类所在圆心角为：360°×35%＝126°；（4）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，∴该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：2000×12%＝240人．21．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数确定出m的范围即可．【解答】解：去分母得：1+m＝x﹣2，解得：x＝m+3，由分式方程的解为正数，得到m+3＞0，且m+3≠2，解得：m＞﹣3且m≠﹣1．22．【分析】（1）画树状图列出所有等可能结果，从中找到到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数，根据概率公式计算可得．（2）根据在第1个路口没有遇到红灯的概率为，到第2个路口还没有遇到红灯的概率为＝（）2可得答案．【解答】解：（1）画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中到第二个路口时第一次遇到红灯的结果数为2，所以到第二个路口时第一次遇到红灯的概率为；（2）∵在第1个路口没有遇到红灯的概率为，到第2个路口还没有遇到红灯的概率为＝（）2，∴到第n个路口都没有遇到红灯的概率为（）n，故答案为：（）n．23．【分析】由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD＝CH+HD＝CH+AB，再在Rt△CED中，求出CE的长．【解答】解：过点A作AH⊥CD，垂足为H，由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH＝30°，∴AB＝DH＝1.5，BD＝AH＝6，在Rt△ACH中，tan∠CAH＝，∴CH＝AH•tan∠CAH，∴CH＝AH•tan∠CAH＝6tan30°＝6×＝2（米），∵DH＝1.5，∴CD＝2 +1.5，在Rt△CDE中，∵∠CED＝60°，sin∠CED＝，∴CE＝＝（4+）（米），答：拉线CE的长约为（4+）米．24．【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，对角相等，再由垂直的定义得到一对直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用ASA即可得证；（2）过D作DH垂直于AB，在直角三角形ADH中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到AD＝2DH，在直角三角形DEB中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到EB＝2DH，易得四边形EBFD为平行四边形，利用平行四边形的对边相等得到EB＝DF，等量代换即可得证．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，AD∥CB，AB∥CD，∴∠ADB＝∠CBD，∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB＝∠FBD＝90°，∴∠ADE＝∠CBF，在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（ASA）；（2）作DH⊥AB，垂足为H，在Rt△ADH中，∠A＝30°，∴AD＝2DH，在Rt△DEB中，∠DEB＝45°，∴EB＝2DH，∵ED⊥DB，FB⊥BD．∴DE∥BF，∵AB∥CD，∴四边形EBFD为平行四边形，∴FD＝EB，∴DA＝DF．25．【分析】（1）利用已知表格中x，y个数变化规律得出第2格的“特征多项式”以及第n 格的“特征多项式”；（2）①利用（1）中所求得出关于x，y的等式组成方程组求出答案；②利用二次函数最值求法得出答案．【解答】解：（1）由表格中数据可得：第4格的“特征多项式”为：16x+25y，第n格的“特征多项式”为：n2x+（n+1）2y（n为正整数）；故答案为：16x+25y，n2x+（n+1）2y（n为正整数）；（2）①由题意可得：，解得：答：x的值为﹣6，y的值为2．②设W＝n2x+（n+1）2y当x＝﹣6，y＝2时：W＝﹣6n2+2（n+1）2＝，此函数开口向下，对称轴为，∴当时，W随n的增大而减小，又∵n为正整数∴当n＝1时，W有最大值，W最大＝﹣4×（1﹣）2+3＝2，即：第1格的特征多项式的值有最大值，最大值为2．26．【分析】（1）首先连接OD，由BE＝EC，CO＝OA，得出OE∥AB，根据平行线与等腰三角形的性质，易证得△COE≌△DOE，即可得∠ODE＝∠OCE＝90°，则可证得ED 为⊙O的切线；（2）只要证明OE∥AB，推出，由此构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）证明：连接OD，∵E为BC的中点，AC为直径，∴BE＝EC，CO＝OA，∴OE∥AB，∴∠COE＝∠CAD，∠EOD＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠COE＝∠DOE，在△COE和△DOE中，，∴△COE≌△DOE（SAS），∴∠ODE＝∠OCE＝90°，∴ED⊥OD，∴ED是圆O的切线；（2）连接CD；由题意EC、ED是⊙O的切线，∴EC＝ED，∵OC＝OD，∴OE⊥CD，∵AC是直径，∴∠CDA＝90°，∴CD⊥AB，∴OE∥AB，∴，在Rt△ECO中，EO＝＝5，∵∠EOC＝∠CAD，∴cos∠CAD＝cos∠EOC＝，∴AD＝，设OG＝x，则有，∴x＝，∴OG＝．27．【分析】（1）求出E、F两点坐标，利用待定系数法即可解决问题；（2）如图3中，作MH⊥OA于H，MK⊥AE交AE的延长线于K．只要证明四边形AOMK 是正方形，证明AE+OA＝2AH即可解决问题；（3）如图2中，设F（0，2a），则E（﹣a，a）．构建一次函数利用方程组求出交点P 坐标，分三种情形讨论求解即可；【解答】解：（1）∵OE＝OA＝8，α＝45°，∴E（﹣4，4），F（0，8），设直线EF的解析式为y＝kx+b，则有，解得∴直线EF的解析式为y＝x+8．（2）如图3中，作MH⊥OA于H，MK⊥AE交AE的延长线于K．在Rt△AEO中，tan∠AOE＝＝，OA＝8，∴AE＝4，∵四边形EOGF是正方形，∴∠EMO＝90°，∵∠EAO＝∠EMO＝90°，∴E、A、O、M四点共圆，∴∠EAM＝∠EOM＝45°，∴∠MAK＝∠MAH＝45°，∵MK⊥AE，MH⊥OA，∴MK＝MH，四边形KAOM是正方形，∵EM＝OM，∴△MKE≌△MHO，∴EK＝OH，∴AK+AH＝2AH＝AE+EK+OA﹣OH＝12，∴AH＝6，∴AM＝AH＝6．（3）如图2中，设F（0，2a），则E（﹣a，a）．∵A（﹣8，0），E（﹣a，a），∴直线AP的解析式为y＝x+，直线FG的解析式为y＝﹣x+2a，由，解得，∴P（，）．①当PO＝OE时，∴PO2＝2OE2，则有：+＝4a2，解得a＝4或﹣4（舍弃）或0（舍弃），此时P（0，8）．②当PO＝PE时，则有：+＝2[（+a）2+（﹣a）2]，解得：a＝4或12，此时P（0，8）或（﹣24，48），③当PE＝EO时，[（+a）2+（﹣a）2]＝4a2，解得a＝8或0（舍弃），∴P（﹣8，24）综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，8），（﹣8，24），（﹣24，48）．28．【分析】（1）由点C的坐标为（0，3），可知﹣9a＝3，故此可求得a的值，然后令y＝0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO＝60°，依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO＝30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD＝1，则可得到点D的坐标．设点P的坐标为（，a）．依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长，然后分为AD ＝P A、AD＝DP、AP＝DP三种情况列方程求解即可；（3）设直线MN的解析式为y＝kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可．【解答】解：（1）∵C（0，3）．∴﹣9a＝3，解得：a＝﹣．令y＝0得：ax2﹣2 ax﹣9a＝0，∵a≠0，∴x2﹣2 x﹣9＝0，解得：x＝﹣或x＝3．∴点A的坐标为（﹣，0），B（3，0）．∴抛物线的对称轴为x＝．（2）∵OA＝，OC＝3，∴tan∠CAO＝，∴∠CAO＝60°．∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAO＝30°．∴DO＝AO＝1．∴点D的坐标为（0，1）设点P的坐标为（，a）．依据两点间的距离公式可知：AD2＝4，AP2＝12+a2，DP2＝3+（a﹣1）2．当AD＝P A时，4＝12+a2，方程无解．当AD＝DP时，4＝3+（a﹣1）2，解得a＝0或a＝2（舍去），∴点P的坐标为（，0）．当AP＝DP时，12+a2＝3+（a﹣1）2，解得a＝﹣4．∴点P的坐标为（，﹣4）．综上所述，点P的坐标为（，0）或（，﹣4）．（3）设直线AC的解析式为y＝mx+3，将点A的坐标代入得：﹣m+3＝0，解得：m ＝，∴直线AC的解析式为y＝x+3．设直线MN的解析式为y＝kx+1．把y＝0代入y＝kx+1得：kx+1＝0，解得：x＝﹣，∴点N的坐标为（﹣，0）．∴AN＝﹣+＝．将y＝x+3与y＝kx+1联立解得：x＝．∴点M的横坐标为．过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG＝+．∵∠MAG＝60°，∠AGM＝90°，∴AM＝2AG＝+2＝．∴+＝+＝+＝＝＝．中学自主招生数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）1．（3分）﹣3的相反数是（）A．3B．﹣3C．±3D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．＝±6C．a2b÷2ab＝a2D．（2ab2）3＝8a3b63．（3分）如图，图1是一个底面为正方形的直棱柱；现将图1切割成图2的几何体，则图2的俯视图是（）A．B．C．D．4．（3分）一组数据1，2，3，3，4，5．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，直线P A与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝40°，则∠ABC的度数为（）A．20°B．25°C．40°D．50°6．（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则＝（）A．B．2C．D．7．（3分）已知实数x、y满足：x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0．则﹣y2的值为（）A．0B．C．1D．8．（3分）如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0），则函数y＝（kx+b）（mx+n）中，当y＜0时x的取值范围是（）A．x＞2B．0＜x＜4C．﹣1＜x＜4D．x＜﹣1 或x＞4二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）9．（3分）“五一”小长假期间，扬州市区8家主要封闭式景区共接待游客528600人次，同比增长20.56%．用科学记数法表示528600为．10．（3分）若有意义，则x的取值范围是．11．（3分）分解因式：mx2﹣4m＝．12．（3分）若方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，则k＝．13．（3分）一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为cm2．14．（3分）如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是．15．（3分）把一块等腰直角三角尺和直尺如图放置，如果∠1＝30°，则∠2的度数为．16．（3分）如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是．17．（3分）如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y＝﹣x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线y＝的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2018，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，则mn＝．18．（3分）如图，⊙O的直径AB＝8，C为弧AB的中点，P为弧BC上一动点，连接AP、CP，过C作CD⊥CP交AP于点D，连接BD，则BD的最小值是．三、解答题（本大题有10小题，共96分．）19．（8分）（1）计算：|﹣3|﹣tan30°+20180﹣（）﹣1；（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2）．20．（8分）央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：（1）此次共调查了名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为度；（4）若该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．21．（8分）若关于x的分式方程＝1的解是正数，求m的取值范围．22．（8分）小明在上学的路上要经过多个路口，每个路口都设有红、黄、绿三种信号灯，假设在各路口遇到信号灯是相互独立的．（1）如果有2个路口，求小明在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）（2）如果有n个路口，则小明在每个路口都没有遇到红灯的概率是．23．（10分）如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6m的B处安置高为1.5m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．（结果保留根号）24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且ED⊥DB，FB ⊥BD．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A＝30°，∠DEB＝45°，求证：DA＝DF．25．（10分）观察下表：我们把某一格中所有字母相加得到的多项式称为特征多项式，例如：第1格的“特征多项式”为x+4y．回答下列问题：（1）第4格的“特征多项式”为，第n格的“特征多项式”为；（2）若第1格的“特征多项式”的值为2，第2格的“特征多项式”的值为﹣6．①求x，y的值；②在①的条件下，第n格的“特征多项式的值”随着n的变化而变化，求“特征多项式的值”的最大值及此时n值．26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）如果⊙O的半径为3，ED＝4，延长EO交⊙O于F，连接DF，与OA交于点G，求OG的长．27．（12分）在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣8，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．（1）如图2，若α＝45°，OE＝OA，求直线EF的函数表达式；（2）如图3，若α为锐角，且tanα＝，当EA⊥x轴时，正方形对角线EG与OF相交于点M，求线段AM的长；（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴正半轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，是否存在△OEP的两边之比为：1？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．28．如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△P AD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，+均为定值，并求出该定值．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的．）1．【分析】根据相反数的概念解答即可．【解答】解：﹣3的相反数是﹣（﹣3）＝3．故选：A．2．【分析】直接利用合并同类项法则以及算术平方根、整式的除法运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、2a+3b无法计算，故此选项错误；B、＝6，故此选项错误；C、a2b÷2ab＝a，故此选项错误；D、（2ab2）3＝8a3b6，正确．故选：D．3．【分析】俯视图是从物体上面看到的图形，应把所看到的所有棱都表示在所得图形中．【解答】解：从上面看，图2的俯视图是正方形，有一条对角线．故选：C．4．【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．【解答】解：A、原来数据的平均数是3，添加数字3后平均数仍为3，故A与要求不符；B、原来数据的众数是3，添加数字3后众数仍为3，故B与要求不符；C、原来数据的中位数是3，添加数字3后中位数仍为3，故C与要求不符；D、原来数据的方差＝＝，添加数字3后的方差＝＝，故方差发生了变化．故选：D．5．【分析】利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠P AO的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，直线P A与⊙O相切于点A，∴∠P AO＝90°．又∵∠P＝40°，∴∠POA＝50°，∴∠ABC＝∠POA＝25°．故选：B．6．【分析】求出AB＝3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【解答】解：∵AH＝2，HB＝1，∴AB＝AH+BH＝3，∵l1∥l2∥l3，∴＝＝．故选：A．7．【分析】根据x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，可以得到x与y的关系和y2﹣的值，从而可以求得所求式子的值．【解答】解：∵x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，∴x＝y+3，y2+﹣＝0，∴y2﹣＝﹣∴﹣y2＝＝1+＝1﹣（﹣）＝1+＝，故选：D．8．【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．【解答】解：∵y3＝（kx+b）（mx+n），y＜0，∴（kx+b）（mx+n）＜0，∵y1＝kx+b，y2＝mx+n，即y1•y2＜0，有以下两种情况：（1）当y1＞0，y2＜0时，此时，x＜﹣1；（2）当y1＜0，y2＞0时，此时，x＞4，故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）9．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：528600＝5.286×105，故答案为：5.286×10510．【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．【解答】解：根据题意，得：x﹣2≠0，解得：x≠2．故答案是：x≠2．11．【分析】首先提取公因式m，进而利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：mx2﹣4m＝m（x2﹣4）＝m（x+2）（x﹣2）．故答案为：m（x+2）（x﹣2）．12．【分析】根据根判别式△＝b2﹣4ac的意义得到△＝0，即k2﹣4×1×9＝0，然后解方程即可．【解答】解：∵方程x2+kx+9＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，即k2﹣4•1•9＝0，解得k＝±6．故答案为±6．13．【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求解．【解答】解：∵圆锥的底面半径为5cm，∴圆锥的底面圆的周长＝2π•5＝10π，∴圆锥的侧面积＝•10π•2＝10π（cm2）．故答案为：10π．14．【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．【解答】解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△ABC＝4，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝4，∵k＜0，∴k＝﹣8．故答案为：﹣8．15．【分析】根据平行线的性质可得出∠3＝∠4+∠5，结合对顶角相等可得出∠3＝∠1+∠2，代入∠1＝30°、∠3＝45°，即可求出∠2的度数．【解答】解：给各角标上序号，如图所示．∵∠3＝∠4+∠5，∠1＝∠4，∠2＝∠5，∴∠3＝∠1+∠2．又∵∠1＝30°，∠3＝45°，∴∠2＝15°．故答案为：15°．。
2020年湖北省武汉市华师一附中光谷分校中考数学模拟试卷(3月份) 解析版
2020年武汉市华师一附中关谷分校中考数学模拟试卷（3月份）一．选择题（共10小题）1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果水位上升2米记为+2米，则水位下降3米记为（）A．+3米B．﹣3 米C．+2米D．﹣2 米2．要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＝1B．x≠1C．x＝﹣1D．x≠﹣13．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为（）A．B．C．D．4．下列四个图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．如图几何体的俯视图是（）A．B．C．D．6．如图，已知抛物线y＝x2+2x﹣3，把此抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点（﹣2，0），（2，0）且平行于y轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为s，平移的距离为m，则下列图象中，能表示s与m的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．7．某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0﹣9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开．如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（）A．B．C．D．8．如图，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝交于A，B两点，BC⊥x轴于C，连接AC交y 轴于D，下列结论：①A、B关于原点对称；②△ABC的面积为定值；③D是AC的中点；④S△AOD＝．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O 上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．10．将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据图中的排列规律，2020应在（）A．A位B．B位C．C位D．D位二．填空题（共6小题）11．计算的结果是．12．某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间（单位：小时），并绘制了如图的折线统计图，这组数据的中位数是，极差是，平均数是．13．计算：＝．14．E为▱ABCD边AD上一点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，点F在BD上，且EF＝DF．若∠C＝52°，那么∠ABE＝．15．已知a2﹣6a﹣5＝0和b2﹣6b﹣5＝0中，a≠b，则的值是．16．如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点C是优弧AB上的一动点，BD⊥BC交直线AC于点D，当点C从△ABC面积最大时运动到BC最长时，点D所经过的路径长为．三．解答题（共8小题）17．计算：x2•（﹣x3）4．18．如图，点B在DC上，BE平分∠ABD，∠ABE＝∠C，求证：BE∥AC．19．为弘扬中华传统文化，了解学生整体数学阅读能力，某校组次阅读理解大赛的初赛，从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图分组/分频数频率A组50≤x＜6060.12B组60≤x＜70a0.28C组70≤x＜80160.32D组80≤x＜90100.20E组90≤x≤10040.08（1）表中的a＝；抽取部分学生的成绩的中位数在组；（2）把上面的频数分布直方图补充完整；（3）如果成绩达到90及90分以上者为优秀，可推荐参加决赛，那么请你估计该校进入决赛的学生大约有多少人．20．如图，在下列7×7的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（﹣1，2）、B（3，3）都是格点．（1）将线段AB向下平移2个单位长度，得到线段CD，请画出四边形ABDC，并写出该四边形的面积；（2）要求在图中仅用无刻度的直尺作图：作出正方形ABEF，并写出点E，F的坐标；（3）记平行四边形ABDC的面积为S1，平行四边形CDEF的面积为S2，则＝．21．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC＝4，cos C＝时，求⊙O的半径．22．某客商准备采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型品的件数不大于B型商品的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润y与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元（0＜a＜80），若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益是17100元，求的a值．23．如图1，在△ABC中，AC＝n•AB，∠CAB＝α，点E，F分别在AB，AC上且EF∥BC，把△AEF绕点A顺时针旋转到如图2的位置．连接CF，BE．（1）求证：∠ACF＝∠ABE；（2）若点M，N分别是EF，BC的中点，当α＝90°时，求证：BE2+CF2＝4MN2；（3）如图3，点M，N分别在EF，BC上且＝＝，若n＝，α＝135°，BE ＝，直接写出MN的长．24．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b与x轴交于点A（3，0），与y轴相交于点B（0，）（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为抛物线上的点，且在第二象限，若△POA的面积等于△POB的面积的2倍，求点P的坐标；（3）如图2，C为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点D使△DAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的D点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果水位上升2米记为+2米，则水位下降3米记为（）A．+3米B．﹣3 米C．+2米D．﹣2 米【分析】根据题意，可以知道负数表示下降，问题得以解决．【解答】解：∵水位上升2米记为+2米，∴﹣3米表示水位下降3米，故选：B．2．要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＝1B．x≠1C．x＝﹣1D．x≠﹣1【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．【解答】解：∵分式有意义，∴x﹣1≠0．解得；x≠1．故选：B．3．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为（）A．B．C．D．【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两枚硬币全部正面向上的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有4种等可能的结果数，其中两枚硬币全部正面向上的结果数为1，所以两枚硬币全部正面向上的概率＝．故答案为，故选：A．4．下列四个图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；C、是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意．故选：C．5．如图几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从几何体的上面看所得到图形即可．【解答】解：从上面看得到图形为，故选：C．6．如图，已知抛物线y＝x2+2x﹣3，把此抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线与经过点（﹣2，0），（2，0）且平行于y轴的两条直线所围成的阴影部分的面积为s，平移的距离为m，则下列图象中，能表示s与m的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据图形平移后形状不变的性质，可把不规则阴影部分的面积转化为规则图形（矩形）即可判断．【解答】解：如图，我们把抛物线沿y轴向上平移，平移后的抛物线和原抛物线及直线x ＝2，x＝﹣2所围成的阴影部分的面积S可以看做和矩形BB′C′C等积，于是可以看出S与m是正比例函数关系故选：B．7．某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0﹣9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开．如果仅忘记了锁设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码的概率是（）A．B．C．D．【分析】最后一个数字可能是0～9中任一个，总共有十种情况，其中开锁只有一种情况，利用概率公式进行计算即可．【解答】解：∵共有10个数字，∴一共有10种等可能的选择，∵一次能打开密码的只有1种情况，∴一次能打开该密码的概率为．故选：A．8．如图，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝交于A，B两点，BC⊥x轴于C，连接AC交y 轴于D，下列结论：①A、B关于原点对称；②△ABC的面积为定值；③D是AC的中点；④S△AOD＝．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据反比例函数的对称性、函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝|k|及三角形中位线的判定作答．【解答】解：①反比例函数与正比例函数若有交点，一定是两个，且关于原点对称，所以正确；②根据A、B关于原点对称，S△ABC为即A点横纵坐标的乘积，为定值1，所以正确；③因为AO＝BO，OD∥BC，所以OD为△ABC的中位线，即D是AC中点，所以正确；④在△ADO中，因为AD和y轴并不垂直，所以面积不等于k的一半，即不会等于，所以错误．因此正确的是：①②③，故选：C．9．如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（）A．B．C．D．【分析】连接AC，AO，由AB⊥CD，利用垂径定理得到G为AB的中点，由中点的定义确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AO与OG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而确定出AB的长，由CO+GO求出CG的长，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，如图中红线所示，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G 重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在直角三角形ACG中，利用锐角三角函数定义求出∠ACG的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长，即可求出点F所经过的路径长．【解答】解：连接AC，AO，∵AB⊥CD，∴G为AB的中点，即AG＝BG＝AB，∵⊙O的半径为4，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，∴OG＝2，∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AG＝＝2，又∵CG＝CO+GO＝4+2＝6，∴在Rt△AGC中，根据勾股定理得：AC＝＝4，∵CF⊥AE，∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在Rt△ACG中，tan∠ACG＝＝，∴∠ACG＝30°，∴所对圆心角的度数为60°，∵直径AC＝4，∴的长为＝π，则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为π．故选：C．10．将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据图中的排列规律，2020应在（）A．A位B．B位C．C位D．D位【分析】观察数的位置，发现规律：被4除余数是1的排在D位，被4除余数是2的排在A位，被4除余数是3的排在B位，被4正出的排在C位．利用规律即可求解．【解答】解：被4除余数是1的排在D位，被4除余数是2的排在A位，被4除余数是3的排在B位，被4整除的排在C位．2020÷4＝505，所以2020排在C位．故选：C．二．填空题（共6小题）11．计算的结果是2．【分析】根据算术平方根的定义把原式进行化简即可．【解答】解：∵22＝4，∴＝2．故答案为：2．12．某班体育委员统计了全班45名同学一周的体育锻炼时间（单位：小时），并绘制了如图的折线统计图，这组数据的中位数是9，极差是4，平均数是9．【分析】此题根据中位数，极差，平均数的定义解答．【解答】解：由图可知，把45个数据从小到大排列，中位数是第23位数，第23位是9，所以中位数是9．这组数据中最大值是11，最小值是7，所以极差是11﹣7＝4．平均数是（7×5+8×8+9×18+10×10+11×4）÷45＝9，所以平均数是9．故答案为9，4，9．13．计算：＝﹣．【分析】先通分，再根据同分母的分式相加减法则进行计算，再求出即可．【解答】解：原式＝﹣＝＝＝﹣，故答案为：﹣．14．E为▱ABCD边AD上一点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，点F在BD上，且EF＝DF．若∠C＝52°，那么∠ABE＝51°．【分析】由平行四边形的性质和折叠的性质得出∠BFE＝∠A＝52°，∠FBE＝∠ABE，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠EDF＝∠DEF＝∠BFE＝26°，由三角形内角和定理求出∠ABD＝102°，即可得出∠ABE的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C＝52°，由折叠的性质得：∠BFE＝∠A＝52°，∠FBE＝∠ABE，∵EF＝DF，∴∠EDF＝∠DEF＝∠BFE＝26°，∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠EDF＝102°，∴∠ABE＝∠ABD＝51°；故答案为：51°．15．已知a2﹣6a﹣5＝0和b2﹣6b﹣5＝0中，a≠b，则的值是﹣．【分析】由a2﹣6a﹣5＝0和b2﹣6b﹣5＝0中，a≠b，可知a、b为方程x2﹣6x﹣5＝0的两个根，结合根与系数的关系可得出a+b＝6，ab＝﹣5，将变化成只含a+b与ab 的算式，代入数据即可得出结论．【解答】解：由已知可得：a、b为方程x2﹣6x﹣5＝0的两个根，∴a+b＝6，ab＝﹣5．∴＝＝＝﹣，故答案为：﹣．16．如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点C是优弧AB上的一动点，BD⊥BC交直线AC于点D，当点C从△ABC面积最大时运动到BC最长时，点D所经过的路径长为π．【分析】如图，以AB为边向上作等边三角形△ABF，连接OA，OB，OF，DF，OF交AB于H．说明点D的运动轨迹是以F为圆心，F A为半径的圆，再利用弧长公式求解即可．【解答】解：如图，以AB为边向上作等边三角形△ABF，连接OA，OB，OF，DF，OF 交AB于H．∵F A＝FB，OA＝OB，∴OF⊥AB，AH＝BH＝，∴sin∠BOH＝，∴∠BOH＝∠AOH＝60°，∴∠AOB＝120°∴∠C＝∠AOB＝60°，∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°，∴∠CDB＝30°，∵∠AFB＝60°，∴∠ADB＝∠AFB，∴点D的运动轨迹是以F为圆心，F A为半径的圆，∵当点C从△ABC面积最大时运动到BC最长时，BC绕点B顺时针旋转了30°，∴BD绕点B也旋转了30°，∴点D的轨迹所对的圆心角为60°，∴运动路径的长＝＝π，故答案为π．三．解答题（共8小题）17．计算：x2•（﹣x3）4．【分析】原式利用幂的乘方及积的乘方运算法则计算，再利用同底数幂的乘方法则计算即可得到结果．【解答】解：原式＝x2•x12＝x14．18．如图，点B在DC上，BE平分∠ABD，∠ABE＝∠C，求证：BE∥AC．【分析】欲证BE∥AC，在图中发现BE、AC被直线AB所截，且已知BE平分∠ABD，∠ABE＝∠C，故可按同位角相等，两直线平行进行判断．【解答】解：∵BE平分∠ABD，∴∠DBE＝∠ABE；∵∠ABE＝∠C，∴∠DBE＝∠C，∴BE∥AC．19．为弘扬中华传统文化，了解学生整体数学阅读能力，某校组次阅读理解大赛的初赛，从中抽取部分学生的成绩进行统计分析，根据测试成绩绘制出了频数分布表和频数分布直方图分组/分频数频率A组50≤x＜6060.12B组60≤x＜70a0.28C组70≤x＜80160.32D组80≤x＜90100.20E组90≤x≤10040.08（1）表中的a＝14；抽取部分学生的成绩的中位数在C组；（2）把上面的频数分布直方图补充完整；（3）如果成绩达到90及90分以上者为优秀，可推荐参加决赛，那么请你估计该校进入决赛的学生大约有多少人．【分析】（1）由A组频数及其频率可得总人数，总人数乘以B组频率可得a的值，根据中位数的定义可得答案；（2）根据以上所求数据可补全图形；（3）利用样本估计总体思想求解可得．【解答】解：（1）∵样本容量为6÷0.12＝50，∴a＝50×0.28＝14，∵被调查的总人数为50，其中位数为第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据均落在C组，∴这组数据的中位数落在C组，故答案为：14、C；（2）补全频数分布直方图如下：（3）估计该校进入决赛的学生大约有1000×＝80（人）．20．如图，在下列7×7的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（﹣1，2）、B（3，3）都是格点．（1）将线段AB向下平移2个单位长度，得到线段CD，请画出四边形ABDC，并写出该四边形的面积；（2）要求在图中仅用无刻度的直尺作图：作出正方形ABEF，并写出点E，F的坐标；（3）记平行四边形ABDC的面积为S1，平行四边形CDEF的面积为S2，则＝．【分析】（1）直接利用平移的性质得出C，D点坐标进而得出答案；（2）直接利用正方形的性质得出E，F点的位置进而得出答案；（3）分别得出S1和S2的值，进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：四边形ABDC即为所求，该四边形的面积为：2×4＝8；（2）如图所示：正方形ABEF即为所求，点E，F的坐标分别为：（4，﹣1），（0，﹣2）；（3）∵平行四边形ABDC的面积为S1＝8，平行四边形CDEF的面积为S2＝3×5﹣×1×4﹣×1×2﹣×1×4﹣×1×2＝9，∴＝．故答案为：．21．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）当BC＝4，cos C＝时，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OM，证明OM∥BE，再结合等腰三角形的性质说明AE⊥BE，进而证明OM⊥AE；（2）结合已知求出AB，再证明△AOM∽△ABE，利用相似三角形的性质计算．【解答】（1）证明：连接OM，则OM＝OB∴∠1＝∠2∵BM平分∠ABC∴∠1＝∠3∴∠2＝∠3∴OM∥BC∴∠AMO＝∠AEB在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线∴AE⊥BC∴∠AEB＝90°∴∠AMO＝90°∴OM⊥AE∵点M在圆O上，∴AE与⊙O相切；（2）解：在△ABC中，AB＝AC，AE是角平分线∴BE＝BC，∠ABC＝∠C∵BC＝4，cos C＝∴BE＝2，cos∠ABC＝在△ABE中，∠AEB＝90°∴AB＝＝6设⊙O的半径为r，则AO＝6﹣r∵OM∥BC∴△AOM∽△ABE∴∴解得∴⊙O的半径为．22．某客商准备采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？（2）若该客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型品的件数不大于B型商品的件数，且不小于80件，已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出，设购进A型商品m件，求该客商销售这批商品的利润y与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围；（3）在（2）的条件下，客商决定在试销活动中每售出一件A型商品，就从一件A型商品的利润中捐献慈善资金a元（0＜a＜80），若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益是17100元，求的a值．【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．根据16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，列出方程即可解决问题；（2）根据总利润＝两种商品的利润之和，列出式子即可解决问题；（3）设利润为w元．则w＝（80﹣a）m+70（250﹣m）＝（10﹣a）m+17500，分三种情形讨论即可解决问题，把w＝17100代入解答即可．【解答】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元．由题意：＝，解得x＝150，经检验x＝150是分式方程的解，答：一件B型商品的进价为150元，则一件A型商品的进价为160元；（2）因为客商购进A型商品m件，所以客商购进B型商品（250﹣m）件．由题意：y＝80m+70（250﹣m）＝10m+17500，∵80≤m≤250﹣m，∴80≤m≤125；（3）设利润为w元．则w＝（80﹣a）m+70（250﹣m）＝（10﹣a）m+17500，①当10﹣a＞0时，即0＜a＜10时，w随m的增大而增大，所以m＝125时，最大利润为（18750﹣125a）元．②当10﹣a＝0时，最大利润为17500元．③当10﹣a＜0时，即10＜a≤80时，w随m的增大而减小，所以m＝80时，最大利润为（18300﹣80a）元．∴18750﹣125a＝17100或18300﹣80a＝17100，解得a＝13.2（不合题意，舍去）或15．答：若该客商售完所有商品并捐献资金后获得的最大收益是17100元，则a值为15．23．如图1，在△ABC中，AC＝n•AB，∠CAB＝α，点E，F分别在AB，AC上且EF∥BC，把△AEF绕点A顺时针旋转到如图2的位置．连接CF，BE．（1）求证：∠ACF＝∠ABE；（2）若点M，N分别是EF，BC的中点，当α＝90°时，求证：BE2+CF2＝4MN2；（3）如图3，点M，N分别在EF，BC上且＝＝，若n＝，α＝135°，BE ＝，直接写出MN的长．【分析】（1）证明△CAF∽△BAE即可解决问题．（2）延长BE交CF的延长线于H，连接BF，取BF的中点J，连接NJ，JM，设AC交BH于点O．首先证明CF⊥BE，利用三角形的中位线定理证明△NJM是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题．（3）如图3中，延长BE交CF的延长线于H，连接BF，在FB上取一点J，使得FJ：JB＝1：2，连接NJ，JM．证明∠MJN＝45°，NJ＝，MJ＝，如图4中，在△NJM 中，作MK⊥NJ于K，解直角三角形求出MN即可．【解答】（1）证明：由如图1中可知，∵EF∥BC，∴＝，∴＝，如图2中，∵∠CAB＝∠EAF，∴∠CAF＝∠BAE，∵＝，∴△CAF∽△BAE，∴∠ACF＝∠ABE．（2）证明：延长BE交CF的延长线于H，连接BF，取BF的中点J，连接NJ，JM，设AC交BH于点O．∵∠OCH＝∠OBA，∠COH＝∠BOA，∴∠H＝∠OAB＝90°，∴CF⊥BE，∵CN＝BN，FJ＝JB，∴JN∥CF，JN＝CF，∵FM＝ME，FJ＝JB，∴MJ∥BE，MJ＝BE，∵CF⊥BE，∴NJ⊥JM，∴∠NJM＝90°，∴JN2+JM2＝MN2，∴（CF）2+（BE）2＝MN2，∴BE2+CF2＝4MN2．（3）解：如图3中，延长BE交CF的延长线于H，连接BF，在FB上取一点J，使得FJ：JB＝1：2，连接NJ，JM．同法可证∠H＝∠CAB＝135°，∵CN：BN＝FJ：JB＝1：2，∴NJ∥CF，NJ＝CF，∵FM：ME＝FJ：JB＝1：2，∴MJ∥BE，MJ＝BE，∴△MJN中∠MJN的外角为135°，∴∠MJN＝45°，由题意BE＝，CF＝2，∴NJ＝，MJ＝，如图4中，在△NJM中，作MK⊥NJ于K．∵∠J＝∠JMK＝45°，MJ＝，∴MK＝KJ＝，∴NK＝NJ﹣KJ＝1，∴MN＝＝＝．24．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b与x轴交于点A（3，0），与y轴相交于点B（0，）（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为抛物线上的点，且在第二象限，若△POA的面积等于△POB的面积的2倍，求点P的坐标；（3）如图2，C为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点D使△DAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的D点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把已知坐标代入抛物线求出a，b的值后易求抛物线的解析式．（2）求出OA，OB的值后可求出S1，S2．根据题意求出点P的坐标．（3）易求出C点的坐标，过点C作CE⊥y轴于点E，CG⊥x轴于点G，要使△ADC为直角三角形，可分三种情况讨论（以AC为斜边，则D在以AC为直径的圆上，取AC的中点H，OE的中点F，连接HF；以CD为斜边，过点A作AD1⊥AC交y轴于点D1；以AD为斜边，过点C作CD2⊥AC交y轴于点D2），利用相似三角形的判定以及线段比求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+b过A（3，0），B（0，﹣），∴0＝9a﹣6a+b﹣＝b，解得a＝，b＝﹣，∴抛物线解析式为y＝﹣﹣．（2）（x p，y p），△PDA的面积为S1，△POB的面积为S2，∵A（3，0），B（0，﹣），∴OA＝3，OB＝，∴S1＝OA•|y p|＝|y p|，S2＝OB•|x p|＝|x p|，3分∵P点在第二象限，∴S1＝y p，S2＝﹣x p，∵S1＝2s2∴y p＝﹣x p，∵点P在抛物线上，∴y p＝x p2﹣x p﹣，﹣x p＝x p2﹣x p﹣，解得，x p＝（舍去），x p＝﹣，当x p＝﹣时，y P＝，∴点P的坐标为（﹣，）．（3）∵C为抛物线的顶点，∴C点的坐标为（1，﹣3），过点C作CE⊥y轴于点E，CG⊥x轴于点G，则CE＝1，CG＝3，要使△ADC为直角三角形，分三种情况讨论：①以AC为斜边，则D在以AC为直径的圆上，取AC的中点H，OE的中点F，连接HF，则HF为直角梯形OECA的中位线，HF＝（EC+OA）＝2，即圆心H到y轴的距离为2，在Rt△CGA中，∵CG＝3，AG＝2，∴AC＝，AH＝，∵＜2，∴y轴与⊙H相离，∴y轴上不存在符合条件的D点．②以CD为斜边，过点A作AD1⊥AC交y轴于点D1，∵∠D1AO+∠OAC＝90°，∠GCA+∠GAC＝90°，∴∠D1AO＝∠ACG，∵AO＝CG，∴Rt△D1A0≌Rt△ACG，∴D1O＝AG＝2，∴y轴上存在点D1（0，2）使△D1AC为直角三角形．③以AD为斜边，过点C作CD2⊥AC交y轴于点D2，∵∠D2CA＝90°，∠GCE＝90°，∴∠D2GE＝∠ACG，∴Rt△ACG∽Rt△D2CE，∴＝＝，∵CE＝1，∴ED2＝，∵OE＝3，∴OD2＝OE﹣ED2＝，∴y轴上存在点D2（0，﹣）使△D2AC为直角三角形．。
2020年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学押题试卷(理科)(5月份)(含答案解析)
2020年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学押题试卷（理科）（5月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知复数，则复数的虚部为（）A. 1B. -1C. iD. -i2.已知集合，B={x|y=lg（2x-1）}，则A∩B=（）A. （0，1]B. [0，1]C.D.3.设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影为（）A. -B. -C.D.4.已知等差数列{a n}满足4a3=3a2，则{a n}中一定为零的项是（）A. a6B. a8C. a10D. a125.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试（合格考）和选择性考试（选择考）．其中“选择考”，成绩将计入高考总成绩，即“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数，由高到低进行排序，评定为A、B、C、D、E五个等级，某试点高中2018年参加“选择考”总人数是2016年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2016年和2018年“选择考”成绩等级结果，得到：如图表针对该校“选择考”情况，2018年与2016年比较，下列说法正确的是（）A. 获得A等级的人数减少了B. 获得B等级的人数增加了倍C. 获得D等级的人数减少了一半D. 获得E等级的人数相同6.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A. 22019-1B. 22019-2C. 22020-2D. 22020-17.设函数f（x）=cos（2x-）+sin（2x-），将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）为偶函数，则φ的最小值是（）A. B. C. D.8.设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝（﹣1）n a n+，则S1+S3+S5＝（）A. 0B.C.D.9.已知抛物线C：y2=2px（p＞0），过其焦点F的直线与C交于A，B两点，O是坐标原点，记△AOB的面积为S，且满足|AB|=3|FB|=，则p=（）A. B. 1 C. D. 210.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A. πB. πC. πD. π11.已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.12.在△ABC中，A，B、C为其三内角，满足tan A，tan B、tan C都是整数，且A＞B＞C，则下列结论中错误的是（）A. A＞B. B＞C. A＜D. B＜二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知（2+x）5=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+……+a5（1+x）5，则a2=______．14.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆交C的一条渐近线于点P（P在第一象限内），若线段PF1的中点Q在C的另一条渐近线上，则C 的离心率=______．15.中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接面成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作，由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（10000，102），且各个元件能否正常工作相互独立．现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为体对角线BD1上的一点，且BP=λBD1（λ∈（0，1）），现有以下判断，①A1D⊥C1P②若BD1⊥平画PAC，则λ=③△PAC周长的最小值是2+2④若△PAC为钝角三角形，则λ的取值范国为（0，）．其中正确判断的序号为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，∠BAC=90°，AD是∠BAC的内角平分线，点D在线段BC上，且BD=2CD．（1）求sin B的值；（2）若AD=1，求△ABC的面积18.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（Ⅰ）证明：AE⊥PB；（Ⅱ）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角A-PE-C的余弦值．19.已知点M（，）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上，且点M到C的左、右焦点的距离之和为2（1）求C的方程（2）设O为坐标原点，若C的弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，求・的取值范围20.武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城，其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风量区等等（1）为了解“五・一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如下的频率分布直方图：现从年龄在[42，52]内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在[47，52]内的人数为ξ，求P（ξ=3）（2）为了给游客提供更舒适的旅的体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投人至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光，由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量X（单位：万人）都大于1．将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得如表劳动节当日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5频数（年）244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立．该游船中心希望投入的A型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日A型游船最多使用量（单位艘）要受当日客流量X（单位：万人）的影响，其关联关系如表劳动节当日客流量X1＜X＜33≤X≤5X＞5A型游船最多使用量123若某艘A型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘A 型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元记Y（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，Y的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投人多少艘A型游船才能使其当日获得的总利润最大．21.已知函数f（x）=（x+1）e x++2ax，a∈R（1）讨论f（x）极值点的个数;（2）若x0（x0≠-2）是f（x）的一个极值点，且f（-2）＞e-2，证明：f（x0）≤1．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为轴的坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（）=．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）设点P（-1，0），直线l和曲线C交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．23.已知函数f（x）=|x+a|+2|x-1|（a＞0）．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）＞4-2x对任意的x∈[-3，-1]恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：由=，得．则复数的虚部为1．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.答案：C解析：解：∵集合={0＜x≤1}，B={x|y=lg（2x-1）}={x|x＞}，∴A∩B={x|}=（]．故选：C．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：B解析：解：因为，均为单位向量，且，的夹角为，所以在方向上的投影为：=，故选：B．在方向上的投影为，代入数值计算即可．本题考查了平面向量投影的计算，属基础题．4.答案：A解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用通项公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵4a3=3a2，∴4（a1+2d）=3（a1+d），可得：a1+5d=0，∴a6=0，则{a n}中一定为零的项是a6．故选A．5.答案：B解析：【分析】本题考查了频率分布直方图和扇形图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题．根据频率分布直方图扇形图，利用频率与样本容量的关系即可解答．【解答】解：由题可知：设2016年参加选择考的总人数为：a人；则：2018年参加选择考的总人数为：2a 人；2016年评定为A、B、C、D、E五个等级的人数为：A：0.28a、B：0.32a、C：0.30a、D：0.08a、E：0.02a；2018年评定为A、B、C、D、E五个等级的人数为：A：0.48a、B：0.80a、C：0.56a、D：0.12a、E：0.04a；对各个选项进行比较可得B正确．故选：B．6.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=2+22+23+…+22019的值，由于S=2+22+23+…+22019==22020-2．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=2+22+23+…+22019的值，利用等比数列的求和公式即可计算得解．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.答案：A解析：解：函数f（x）=cos（2x-）+sin（2x-），=sin（2x+），将函数f（x）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）=sin（2x+2φ+）的图象，由于g（x）为偶函数，故：2x+2φ+（k∈Z），解得：φ=（k∈Z），当k=0时，φ的最小值为．故选：A．首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用平移变换和伸缩变换的应用和性质求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8.答案：D解析：【分析】直接利用函数的关系式的应用和偶函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的关系式的应用，偶函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=（-1）n a n+，则：当n为偶数时，，所以：．故选：D．9.答案：D解析：解：设直线AB的方程为：x=ty+，将其代入抛物线C的方程得：y2-2pty-p2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=2pt①，y1y2=-p2②，又|AB|=3|BF|，∴|AF|=2|BF|，∴y1=-2y2，③∴s=|OF|×|y1-y2|=××=×=，联立①②③可得t2=，由弦长公式得|AB|=x1+x2+p=ty1++ty2++p=t（y1+y2）+2p=2pt2+2p=，∴=×，解得：p=2．故选：D．联立直线与抛物线，根据韦达定理以及面积公式烈士可得．本题考查了抛物线的性质，属中档题．10.答案：C解析：解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：所以：d=，故：，所以：．故选：C．首先把三视图转换为几何体，进一步求出外接球的半径，进一步求出球的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11.答案：A解析：【分析】由题意可化为函数f（x）图象与y=-kx-1的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可.本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用．【解答】解：∵函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=-1的对称点在y=kx-1的图象上，而函数y=kx-1关于直线y=-1的对称图象为y=-kx-1，∴f（x）=的图象与y=-kx-1的图象有且只有四个不同的交点 .作函数f（x）=的图象与y=-kx-1的图象如下，易知直线y=-kx-1恒过点A（0，-1），设直线AC与y=x lnx-2x相切于点C（x，x lnx-2x），y′=ln x-1，故ln x-1=，解得，x=1；故k AC=-1 .设直线AB与y=x2+x相切于点B（x，x2+x），y′=2x+，故2x+=，解得，x=-1 .故k AB=-2+=-；故-1＜-k＜-，故＜k＜1 .故选A．12.答案：A解析：解：△ABC中，由于A＞B＞C，所以B，C都是锐角，由于tan B，tan C都是整数，由A+B+C=π，得tan A=-tan（B+C）=-=＞0，可得A也为锐角，这时，tan C≥1，tan B≥2，tan A≥3，可得：=tan C≥1，即（tan A-1）（tan B-1）≤2，由于：tan A-1≥2，tan B-1≥1，比较可知只可能tan A=3，tan B=2，tan C=1，由于：tan B，可知B＞，故B正确；由于：tan=2+＞tan A，可知A＜，又＜，故选项C正确；又由于＞A＞B，可得选项D正确；故选：A．由题意易得B，C都是锐角，利用诱导公式，两角和的正切函数公式可求tan A=＞0，可得A也为锐角，由tan C≥1，tan B≥2，tan A≥3，可得（tan A-1）（tan B-1）≤2，结合tan A-1≥2，tan B-1≥1，比较可知只可能tan A=3，tan B=2，tan C=1，逐项分析即可得解．本题主要考查了两角和的正切公式，诱导公式的应用问题，体现了分类讨论的数学思想方法，属中档题．13.答案：10解析：解：（2+x）5=[1+（1+x）]5，则[1+（1+x）]5展开式的通项为T r+1（1+x）r，令r=2得a2==10，故答案为：10．由二项式定理及展开式通项公式得：[1+（1+x）]5展开式的通项为T r+1（1+x）r，令r=2得a2==10，得解．本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属简单题．14.答案：2解析：解：如图：因为Q，O分别是PF1，F！F2的中点，所以OQ∥F2P，∵F1F2为圆的直径，∴OQ⊥PF1，直线PF1的方程为：y=（x+c）与y=-x联立解得Q（-，），根据中点公式得P（，），将其代入y=x得：c2=4a2，∴e2==4，∴e=2．故答案为：2．如图：因为Q，O分别是PF1，F！F2的中点，所以OQ∥F2P，∵F1F2为圆的直径，∴OQ⊥PF1，再根据直线PF1的方程与y=-x联立得Q的坐标，根据中点公式得P 的坐标，将其代入y=x可得c2=4a2，可得离心率．本题考查了双曲线的性质，属中档题．15.答案：375解析：解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（10000，102），得：三个电子元件的使用寿命超过10000小时的概率为P=，设A={超过10000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过10000小时时，元件3正常}，C={该部件的使用寿命超过10000小时}．则P（A）=1-（1-）2=，P（B）=，∵事件A，B为相互独立事件，事件C为A、B同时发生的事件，∴P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=．∴这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为1000×=375．故答案为：375．先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过10000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过10000小时”当且仅当“超过10000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过10000小时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘，最后乘以1000得答案．本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，是中档题．16.答案：①②④解析：解：对于①，A1D⊥面ABC1D1，C1P⊂面ABC1D1，∴A1D⊥C1P，①正确；对于②，若BD1⊥平面PAC，几何体是正方体，∴P在平面AB1C中，则λ=，②正确；对于③，建立空间直角坐标系，如图所示，设P（x，x，2-x），x∈[0，2]，A（2，0，0），C（0，2，0）；|PA|=|PB|===≥=，∴△PAC的周长最小值为2+2×=2+，∴③错误；对于④，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=1，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），∴=（-1，-1，1），=（-λ，-λ，λ），=+=（λ，λ-1，-λ），=+=（λ-1，λ，-λ），显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于cos∠APC=cos＜，＞=＜0，等价于•＜0，即λ（λ-1）+（λ-1）λ+（-λ）（-λ）=λ（3λ-2）＜0，故0＜λ＜，④正确；故答案为：①②④．①根据空间中的垂直关系，即可判断A1D⊥C1P的正误；②利用正方体的特征，判断BD1⊥平面PAC时对应λ的值即可；③建立空间直角坐标系，即可求得△PAC周长的最小值；④通过建立空间直角坐标系，求出△PAC为钝角三角形时λ的取值范围．本题考查空间直角坐标系的应用，夹角与距离的关系，考查空间想象能力以及计算能力．17.答案：解：（1）在△ABD中，由正弦定理可得：，即：，在△ACD中，由正弦定理可得：，即，两式子相除可得：=，即sin B=cos B，可得：sin2B=cos2B=（1-sin2B），即sin2B=，又0＜B＜π，可得：sin B=．（2）由∠BAC=90°，可得B是锐角，于是cos B=，所以sin∠BDA=sin（B+45°）=sin B cos45°+cos B sin45°=，在△ABD中，由正弦定理可得：AB=AD•=，于是AC=AB tanB=，所以S△ABC=AB•AC==．解析：（1）在△ABD中，由正弦定理可得，在△ACD中，由正弦定理可得，两式相除可得sin B=cos B，结合范围0＜B＜π，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值．（2）由同角三角函数基本关系式可求cos B，利用两角和的正弦函数公式可求sin∠BDA，在△ABD中，由正弦定理可得AB的值，可求AC=AB tanB的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.答案：（I）证明：连接BD，设AE的中点为O，∵AB∥CE，AB=CE=CD，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE，∴△ADE，△ABE为等边三角形，∴OD⊥AE，OB⊥AE，又OP∩OB=O，OP，OB⊂平面POB，∴AE⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AE⊥PB．（II）解：在平面POB内作PQ⊥平面ABCE，垂足为Q，则Q在直线OB上，∴直线PB与平面ABCE夹角为∠PBO=，又OP=OB，∴OP⊥OB，∴O、Q两点重合，即PO⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，），E（，0，0），C（1，，0），∴=（，0，-），=（，，0），设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），则，即，令x=得=（，-1，1），又OB⊥平面PAE，∴=（0，1，0）为平面PAE的一个法向量，设二面角A-EP-C为α，则|cosα|=|cos＜＞|===，易知二面角A-EP-C为钝角，所以cosα=-．解析：本题考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档题．（1）连接BD，设AE的中点为O，可证AE⊥PO，AE⊥BO，故而AE⊥平面POB，于是AE⊥PB；（II）证明PO⊥OB，建立空间坐标系，求出两平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．19.答案：解：（1）由题意可得：+=1，2a=2，解得a=，b=1．∴椭圆的标准方程为：+y2=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线OM的方程为：y=x．弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，∴=×，化为：x1+x2=2（y1+y2）．由+=1，+=1，相减可得：+（y1+y2）（y1-y2）=0．∵x1-x2≠0，∴+（y1+y2）=0．∴=-1=k AB．设直线AB的方程为：y=-x+m，代入椭圆方程可得：3x2-4mx+2m2-2=0．△=16m2-24（m2-1）=8（3-m2）＞0．解得m2＜3．又=∈（0，），∴．由根与系数的关系可得：x1+x2=，x1x2=．∴・=x1x2+y1y2=x1x2+（-x1+m）（-x2+m）=2x1x2--m（x1+x2）+m2=2×-+m2=m2-．而．∴・=m2-∈．解析：（1）由题意可得：+=1，2a=2，解得a，b．即可得出椭圆的标准方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线OM的方程为：y=x．弦AB的中点在线段OM（不含端点O，M）上，可得=×．由+=1，+=1，相减可得：=-1=k AB．设直线AB的方程为：y=-x+m，代入椭圆方程可得：3x2-4mx+2m2-2=0．△＞0．解得m2＜3．把根与系数的关系代入・=x1x2+y1y2=x1x2+（-x1+m）（-x2+m）化简即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、不等式的解法、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.答案：解：（1）年龄在[42，47）内的游客人数为150，年龄在[47，52]内的游客人数为100，若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在[42，47）内的人数为6人，年龄在[47，52）内的人数为4人，∴P（ξ=3）==．（2）①当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1，则E（Y）=3（万元），②当投入2艘A型游船时，若1＜X＜3，则Y=3-0.5=2.5，此时P（Y=）=P（1＜X＜3）=，若X≥3，则Y=3×2=6，此时P（Y=6）=P（3≤X≤5）+P（X＞5）=，此时，Y的分布列为：Y 2.5 6P此时E（Y）=（万元）．③当投入3艘A型游船时，若1＜X＜3，则Y=3-1=2，此时P（Y=2）=P（1＜K＜3）=，若3≤X≤5，则Y=3×2-0.5=5.5，此时P（Y=5.5）=P（3≤X≤5）=，若X＞5，则Y=3×3=9，此时P（Y=9）=P（X＞5）=，此时，Y的分布列如下表：Y 2 5.5 9P此时，E（Y）=2×=6.2（万元）．由于6.2＞5.3＞3，则该游艇船中心在2020年劳动节当时应投入3艘A型游船使其当时获得的总利润最大．解析：（1）采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在[42，47）内的人数为6人，由此能求出年龄在[47，52）内的人数为4人，P（ξ=3）的值．（2）当投入1艘A型游船时，因客流量总大于1，则E（Y）=3（万元），当投入2艘A型游船时，求出Y的分布列，从而E（Y）=（万元）．当投入3艘A型游船时，求出Y的分布列，从而E（Y）=2×=6.2（万元），由此能求出该游艇船中心在2020年劳动节当时应投入3艘A型游船使其当时获得的总利润最大．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．21.答案：（1）解：f（x）的定义域为R，f′（x）=（x+2）（e x+a）；若a≥0，则e x+a＞0；∴当x∈（-∞，-2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（-2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴x=-2是f（x）唯一的极小值点，无极大值点，故此时f（x）有1个极值点；若a＜0，令f′（x）=（x+2）（e x+a）=0，则x1=-2，x2=ln（-a）；当a＜-e-2时，x1＜x2，可知当x∈（-∞，x1）∪（x2,+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0；∴x1，x2分别是f（x）的极大值点和极小值点，故此时f（x）有2个极值点；当a=-e-2时，x1=x2，f′（x）≥0，此时f（x）在R上单调递增，无极值点；当-e-2＜a＜0时，x1＞x2，同理可知，f（x）有2个极值点；综上，当a=-e-2时，f（x）无极值点；当a≥0时，f（x）有1个极值点；当a＜-e-2或-e-2＜a＜0时，f （x）有2个极值点;（2）证明：若x0（x0≠-2）是f（x）的一个极值点，由（1）知a∈（-∞，-e-2）∪（-e-2，0）；又f（-2）=-e-2-2a＞e-2；∴a∈（-∞，-e-2）；则x0=ln（-a）；∴；令t=ln（-a）∈（-2，+∞），则a=-e t；∴；∴；又∵t∈（-2，+∞）；∴t+4＞0；令g′（t）=0，得t=0；当t∈（-2，0）时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；当t∈（0，+∞）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减；∴t=0是g（t）唯一得极大值点，也是最大值点，即g（t）≤g（0）=1；∴f[ln（-a）]≤1，即f（x0）≤1．解析：（1）对f（x）求导，对于a的取值进行分类讨论，进而得出f（x）的增减性与极值点的个数；（2）根据题目条件和第（1）问，确定a的范围，得到f（x0）的表达式，再利用换元法令t=ln（-a），求出函数g（t）的最大值，从而得证f（x0）≤1．本题考查了利用导数求函数的单调区间、极值，涉及转化思想，分类讨论，换元法，属难题．22.答案：解：（1）由消去参数α，得+=1，即曲线C的普通方程为：+=1，由ρsin（θ-）=，得ρsinθ-ρcosθ=1，化为直角坐标方程为：x-y+1=0．（2）由（1）知，点P（-1，0）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t为参数），即（t为参数），代入+=1并化简得2t2--8=0，△＞0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，得t1+t2=，t1t2=-1，所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|==，所以|PA|+|PB|=．解析：（1）消去参数α可得曲线C的普通方程；根据互化公式可得直线l的直角坐标方程；（2）根据参数t的几何意义可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．23.答案：解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+2|x-1|，∴f（x）＞4等价于或或，解得x＜-1或，∴不等式的解集为{x|x＜-1或}；（2）当x∈[-3，-1]时，由f（x）＞4-2x得|x+a|+2-2x+2x-4＞0即|x+a|＞2，∴a＞2-x或a＜-2-x对任意的x∈[-3，-1]恒成立，又（2-x）min=5，（-2-x）min=-1，∴a＜-1或a＞5，又a＞0，∴a＞5，∴a的取值范围为：（5，+∞）．解析：（1）将a=1代入f（x）中，去绝对值，然后分别解不等式；（2）由条件可得|x+a|＞2，即a＞2-x或a＜-2-x对任意的x∈[-3，-1]恒成立，然后解出a的范围即可．本题考查了绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题，属基础题．。
湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2020-2021学年高一下学期期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．下列命题正确的是（）A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．两条不平行的直线确定一个平面D．梯形可确定一个平面2．已知向量，且，则m＝（）A．8B．2C．﹣2D．﹣83．某同学对他进入高中以来的数学测验的成绩进行了统计，得到如图所示的茎叶图其中的“茎”指竖线左边的一列数，它表示个数的高位，本茎叶图中的“茎”表示一个三位数的百位、十位数；“叶”指竖线右边的从“茎”旁边生出来的数，它表示一个数的低位，本茎叶图中的“1”表示相应三位数的个位数如第二行：竖线左边为“12”，竖线右边第5个数为“7”，这两个数字结合起来就是该同学某次数学测验的成绩“127”．则这组成绩的中位数、众数、极差分别是（）A．130，122，36B．131.5，122，36C．131，136，29D．131.5，122，294．在三棱锥D﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，AD⊥平面ABC，AD＝1，E是线段AC 的中点，则异面直线AB和DE所成的角等于（）A．135°B．120°C．60°D．45°5．用过圆锥的轴的平面去截圆锥得到的截面，叫做圆锥的轴截面，圆锥的轴截面是以图锥的两条母线为腰的等腰三角形，这个等腰三角形的顶角，叫做圆锥的顶角．已知过圆锥SO的两条母线的截面三角形有无穷多个，这些截面中，面积最大的恰好是圆锥SO的轴截面，则圆锥SO的顶角的取值范围是（）A．（0，π）B．C．D．6．在△ABC巾，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为，则（）A．a2≠bc sin A B．C．的最大值为D．的最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.7．已知复数和θ都是实数，若z1＝z2，则m＝．8．已知直线y＝a（常数a＞0）与曲线的图象有无穷多个公共点，其中有3个相邻的公共点自左至右分别为A，B，C，则点A与点C的距离＝．9．在三棱锥S﹣ABC中，作SO⊥平面ABC，垂足为O．给出下列命题：①若三条侧棱SA，SB，SC与底面ABC所成的角相等，则O是△ABC的外心；②若三个侧面SAB，SBC，SCA与底面ABC所成的二面角相等，则O是△ABC的内心；③若三组对棱SA与BC，SB与CA，SC与AB中有两组互相垂直，则O是△ABC的垂心．则其中真命题的序号是．10．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，△ABD是边长为2的正三角形，P 是平面ABCD内的动点，，设，则λ+μ的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤11．设z，ω∈C，且|z|+＝．（1）求z；（2）在|ω﹣2|＝|z|，求复数ω的模的取值范围．12．已知向量，设函数（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调递减区间和对称中心的坐标；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若关于x 的方程g（x）＝m在区间上有解求实数m的取值范围．13．袋中装有除颜色外完全相同的的4个球，其中有3个黑球和1个白球．现由甲乙两人从袋中轮流取球，取后不放，规定甲先取，乙后取，然后甲可再取，按下来再由乙取到有人取到白球，则马上终止取球，每次取球时，袋中的每个球被取出的概率是相等，记事件A i＝“第i次取到的球是白球”，i＝1，2，3．试将下列件A1，A2，A3表示，并求出相应事件的概率．（1）取球2次即终止；（2）最后一次取球的是甲．14．如图，在△ABC中，B＝60°，点D在边AB上，AD＝CD，BD＝1．（1）若△BCD的面积为，求AB的长：（2）若，求角A的大小．15．从某小区抽100户居民进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50～350（度）之间，在进行适当分组（每组为左闭右开区间），并列出频率分分布表、画频率分布直方图后，将频率分布方图的全部6个矩形上方线段的中点自左右的顺序依次相连，再删掉这6个矩形，就得到了如图所示的“频率分布折线图”．（1）请画出频率分布直方图，并求出频率分布折线图x的值；（2）请结合频率分布直方图，求月用电量落在区间[50，200）（度）内的用户的月用电量的中均数；（3）已知在原始数据中，月用电量落在区间[50，200）（度）内的用户的月用电量的平均数为140（度），方差为1600，所有这100户的月川电量的平均数为188（度），方差为5200，且月用电最落在区间[50，200）（度）内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同，求月用电量在区间[200，350）（度）内的用户用电量的标准差．（参考数据：142＝196，262＝676，722＝5184，482+1600＝3904，1402+1600＝21200，1882+5200＝40544）16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB．点E是PD的中点，作EF⊥PC，交PC于点F．（1）设平面PAB与平面ACE的交线为l，试判断直线PB与直线/的位置关系，并给出证明；（2）求平面PAB与平面ACE所成的较小的二面角的余弦值；（3）求直线PD与平面AEF所成角的正切值．参考答案一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．下列命题正确的是（）A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．两条不平行的直线确定一个平面D．梯形可确定一个平面【分析】根据已知条件，利用平面的基本性质，以及推论，逐一判断即可．【解答】对选项A，当三点共线时，不能确定一个平面，故A错误；对选项B：一条直线和直线外一个点确定一个平面，故B错误；对选项C：如果这两条直线异面，则不可以确定一个平面，故C错误；对选项D，梯形的上底和下底是一对平行线，可以确定一个平面，故D正确．故选：D．2．已知向量，且，则m＝（）A．8B．2C．﹣2D．﹣8【分析】利用向量垂直的性质直接求解．解：∵向量，且，∴＝﹣4+2m＝0．解得m＝2．故选：B．3．某同学对他进入高中以来的数学测验的成绩进行了统计，得到如图所示的茎叶图其中的“茎”指竖线左边的一列数，它表示个数的高位，本茎叶图中的“茎”表示一个三位数的百位、十位数；“叶”指竖线右边的从“茎”旁边生出来的数，它表示一个数的低位，本茎叶图中的“1”表示相应三位数的个位数如第二行：竖线左边为“12”，竖线右边第5个数为“7”，这两个数字结合起来就是该同学某次数学测验的成绩“127”．则这组成绩的中位数、众数、极差分别是（）A．130，122，36B．131.5，122，36C．131，136，29D．131.5，122，29【分析】共有22个数据，第11个数据和第12个数据的平均数为中位数；122出现的次数最多，为众数；找到最大值和最小值，差值为极差．解：共有22个数据，第11个数据为131，第12个数据为132，所以中位数为；数据122出现3次，出现次数最多，所以众数为122；最大值为112，最小值为148，所以极差为148﹣112＝36；故选：B．4．在三棱锥D﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，AD⊥平面ABC，AD＝1，E是线段AC 的中点，则异面直线AB和DE所成的角等于（）A．135°B．120°C．60°D．45°【分析】作BC的中点F，则EF∥AB，所以异面直线AB和DE所成的夹角即直线EF和DE所成的夹角，求出DE，EF，FD，结合余弦定理可求出∠DEF＝120°，进而得到异面直线AB和DE所成的角为60°．解：如图，作BC的中点F，则EF∥AB，所以异面直线AB和DE所成的夹角即直线EF和DE所成的夹角，即∠DEF或其补角，因为AC⊥BC，CA＝CB＝2，所以，所以，因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC，所以，连接AF，则，因为AD⊥平面ABC，又AF⊂平面ABC，所以AD⊥AF，所以，在△DEF中，由余弦定理可得，又∠DEF∈（0，180°），所以∠DEF＝120°，故直线EF和DE所成的夹角为60°．故选：C．5．用过圆锥的轴的平面去截圆锥得到的截面，叫做圆锥的轴截面，圆锥的轴截面是以图锥的两条母线为腰的等腰三角形，这个等腰三角形的顶角，叫做圆锥的顶角．已知过圆锥SO的两条母线的截面三角形有无穷多个，这些截面中，面积最大的恰好是圆锥SO的轴截面，则圆锥SO的顶角的取值范围是（）A．（0，π）B．C．D．【分析】设圆锥的母线长为l，顶角为θ，求出过圆锥SO的两条母线的截面三角形面积S，求出S取得最大值时θ的值，即可求出θ的取值范围．解：设圆锥的母线长为l，顶角为θ，则过圆锥SO的两条母线的截面三角形面积为S＝l2sinθ，当sinθ＝1时S取得最大值，此时θ＝，所以圆锥的轴截面中，顶角θ的取值范围是（0，]．故选：B．6．在△ABC巾，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为，则（）A．a2≠bc sin A B．C．的最大值为D．的最大值【分析】根据三角形的面积公式可得出，从而得出A错误；根据余弦定理和可得出B错误；可得出，进而得出，从而判断C正确；可得出，从而判断D错误．解：∵△ABC的面积为，∴，∴a2＝bc sin A，∴A错误；根据余弦定理，，且，∴，∴B错误；，∴，∴，且tanφ＝2，∴的最大值为，∴C正确；∵，∴的最大值为1，∴D错误．故选：C．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.7．已知复数和θ都是实数，若z1＝z2，则m＝﹣．【分析】由题意利用两个复数相等的条件，结合同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，计算求得结果．解：∵复数和θ都是实数，若z1＝z2，则2＝tanθ，且m（cos2θ+2sin2θ）＝cos2θ，∴m＝＝＝＝﹣，故答案为：﹣．8．已知直线y＝a（常数a＞0）与曲线的图象有无穷多个公共点，其中有3个相邻的公共点自左至右分别为A，B，C，则点A与点C的距离＝．【分析】根据直线y＝a与曲线的图象交点成周期性出现，利用函数的周期性求出交点间的距离．解：根据直线y＝a与曲线的图象交点成周期性出现，其中3个相邻的交点自左至右分别为A，B，C，则点A与点C的距离恰好是1个周期，且y＝2|tan（3x﹣）|的最小正周期为T＝，所以AC＝．故答案为：．9．在三棱锥S﹣ABC中，作SO⊥平面ABC，垂足为O．给出下列命题：①若三条侧棱SA，SB，SC与底面ABC所成的角相等，则O是△ABC的外心；②若三个侧面SAB，SBC，SCA与底面ABC所成的二面角相等，则O是△ABC的内心；③若三组对棱SA与BC，SB与CA，SC与AB中有两组互相垂直，则O是△ABC的垂心．则其中真命题的序号是①②③．【分析】连接OA，OB，OC，由线面角的定义和三角形的外心的定义，可判断①；过S作SD⊥AC，垂足为D，连接OD，过S作SE⊥BC，垂足为E，连接OE，过S作SF ⊥AB，垂足为F，连接OF，由二面角平面角的定义和三角形的内心的定义，可判断②；连接OA，OB，OC，由三垂线定理的逆定理和三角形的垂心的定义，可判断③．解：对于①，连接OA，OB，OC，见图1．由SO⊥平面ABC，可得∠SAO为SA与平面ABC所成角，∠SBO为SB与平面ABC所成角，∠SCO为SC与平面ABC所成角，且∠SAO＝∠SBO＝∠SCO，所以AO＝BO＝CO，即O为△ABC的外心，故①正确；对于②，过S作SD⊥AC，垂足为D，连接OD，过S作SE⊥BC，垂足为E，连接OE，过S作SF⊥AB，垂足为F，连接OF，见图2．由三垂线定理的逆定理可得OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB，可得∠SFO为侧面SAB与底面ABC所成角的平面角，∠SEO为侧面SCB与底面ABC所成角的平面角，∠SDO为侧面SAC与底面ABC所成角的平面角，且∠SFO＝∠SEO＝∠SDO，所以OD＝OE＝OF，即O为△ABC的内心，故②正确；对于③，连接OA，OB，OC，见图3．若SA⊥BC，SB⊥AC，由三垂线定理的逆定理可得OA⊥BC，OB⊥AC，即为•＝0，•＝0，即有•（﹣）＝0，•（﹣）＝0，所以•＝•＝•，即有•（﹣）＝•＝0，则OC⊥AB，即O为△ABC的垂心，故③正确．故答案为：①②③．10．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，△ABD是边长为2的正三角形，P 是平面ABCD内的动点，，设，则λ+μ的取值范围是[1，2]．【分析】首先根据梯形所在的位置，建立平面直角坐标系，进一步利用||＝，建立单位圆的参数方程，再利用三角函数关系式，求出λ+μ的关系式，最后求出函数的关系式的取值范围即可求解答结论．解：根据题意建立平面直角坐标系：直角梯形ABCD中，CB⊥CD，AD∥BC，△ABD是边长为2的正三角形，解得：BC＝1，CD＝，AB＝BD＝AD＝2，所以A（﹣2，0），B（﹣1，），C（0，），D（0，0），则＝（2，0），＝（1，）由||＝，可得点P在以C为圆心，为半径的圆上运动，该圆方程为x²+（y﹣）²＝，设P（cosα，sinα+），则＝（cosα+2，sinα+），由于，则：（cosα+2，sinα+）＝λ（2，0）+μ（1，），整理得：，所以，所以λ+μ＝sinα+cosα+＝sin（α+）+，因为﹣1≤sin（α+）≤1，所以1≤sin（α+）+≤2，所以λ+μ的取值范围是[1，2]．故答案为：[1，2]．四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤11．设z，ω∈C，且|z|+＝．（1）求z；（2）在|ω﹣2|＝|z|，求复数ω的模的取值范围．【分析】（1）根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数模的计算公式，求解即可．（2）设ω＝x+yi，x，y∈R，由已知，可得（x﹣2）2+y2＝4，求出x的范围，再求出复数ω的模的取值范围即可．解：（1）设z＝a+bi，a，b∈R，∵|z|+＝，∴＝，则，解得，∴z＝﹣2i．（2）设ω＝x+yi，x，y∈R，由|ω﹣2|＝|z|，可得（x﹣2）2+y2＝4，∴y2＝4﹣（x﹣2）2≥0，∴0≤x≤4，∴|ω|＝＝，∴|ω|∈[0，4]．12．已知向量，设函数（x∈R）．（1）求函数f（x）的单调递减区间和对称中心的坐标；（2）将函数y＝f（x）的图象向左平个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若关于x 的方程g（x）＝m在区间上有解求实数m的取值范围．【分析】（1）利用向量坐标运算法则及三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，得出结论．（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）的范围，可得m的范围．解：（1）由题可得f（x）＝＝（2cos x，cos x）（sin x，﹣2cos x）＝2cos x sin x ﹣2cos²x＝sin2x﹣cos2x+1＝2sin（2x﹣）+1，令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，即f（x）的单调递减区间为[+kπ，+kπ]（k∈Z）；令2x﹣＝kπ，k∈Z，解得x＝+（k∈Z），即f（x）的对称中心坐标为（+，0）（k∈Z）；（2）由（1）可知g（x）＝2sin[2（x+）﹣]+1＝2sin（2x+）+1，若关于x的方程g（x）＝m在区间[0，]上有解，在区间[0，]上，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，g（x）∈[0，2]．若方程g（x）＝m在区间[0，]上有解，则m∈[0，2]．13．袋中装有除颜色外完全相同的的4个球，其中有3个黑球和1个白球．现由甲乙两人从袋中轮流取球，取后不放，规定甲先取，乙后取，然后甲可再取，按下来再由乙取到有人取到白球，则马上终止取球，每次取球时，袋中的每个球被取出的概率是相等，记事件A i＝“第i次取到的球是白球”，i＝1，2，3．试将下列件A1，A2，A3表示，并求出相应事件的概率．（1）取球2次即终止；（2）最后一次取球的是甲．【分析】（1）取球2次终止情况为第一次取黑球，第二次取白球，结合概率的乘法公式，即可求解．（2）最后一次取球的是甲，则意味着取到白球的次数为奇数，则包括A1，A3两种情况，分别求出两种情况，并求和，即可求解．解：（1）取球2次终止情况为第一次取黑球，第二次取白球，则P2＝．（2）最后一次取球的是甲，则意味着取到白球的次数为奇数，则包括A1，A3两种情况，A1事件对应的概率P1＝，A3事件对应的概率P3＝，∴最后一次取球的是甲的概率P＝P1+P2＝．14．如图，在△ABC中，B＝60°，点D在边AB上，AD＝CD，BD＝1．（1）若△BCD的面积为，求AB的长：（2）若，求角A的大小．【分析】（1）由三角形面积公式可求得BC，再由余弦定理可求得CD，从而可求得AB 的长；（2）设A＝∠ACD＝θ，在△ACD中，利用正弦定理可求得CD＝，在△BCD中，利用正弦定理可得cosθ＝sin（﹣2θ），利用诱导公式即可求解θ的大小，即角A的大小．解：（1）在△BCD中，B＝60°，BD＝1，若△BCD的面积为，则S△BCD＝BD•BC•sin B＝，所以BC＝，所以BC＝2，则CD＝＝＝，所以AD＝CD＝，所以AB＝AD+BD＝+1．（2）在△ACD中，AD＝CD，可设A＝∠ACD＝θ，则∠ADC＝π﹣2θ，又，由正弦定理，得＝，所以CD＝，在△BCD中，∠BDC＝2θ，∠BCD＝﹣2θ，由正弦定理，得＝，即＝，化简得cosθ＝sin（﹣2θ），于是sin（﹣θ）＝sin（﹣2θ），因为0＜θ＜，所以0＜﹣θ＜，﹣＜﹣2θ＜，所以﹣θ＝﹣2θ或﹣θ+﹣2θ＝π，解得θ＝或θ＝，即角A的大小为或．15．从某小区抽100户居民进行月用电量调查，发现他们的月用电量都在50～350（度）之间，在进行适当分组（每组为左闭右开区间），并列出频率分分布表、画频率分布直方图后，将频率分布方图的全部6个矩形上方线段的中点自左右的顺序依次相连，再删掉这6个矩形，就得到了如图所示的“频率分布折线图”．（1）请画出频率分布直方图，并求出频率分布折线图x的值；（2）请结合频率分布直方图，求月用电量落在区间[50，200）（度）内的用户的月用电量的中均数；（3）已知在原始数据中，月用电量落在区间[50，200）（度）内的用户的月用电量的平均数为140（度），方差为1600，所有这100户的月川电量的平均数为188（度），方差为5200，且月用电最落在区间[50，200）（度）内的用户数的频率恰好与频率分布直方图中的数据相同，求月用电量在区间[200，350）（度）内的用户用电量的标准差．（参考数据：142＝196，262＝676，722＝5184，482+1600＝3904，1402+1600＝21200，1882+5200＝40544）【分析】（1）根据折线图的频率即可作出频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图求出各组电量，可求得平均数；（3）根据方差公式设前60户的月用电分别为x i，（i＝1，2．…，60），平均数为＝140，方差＝1600，后60户的月用电量分别为y i，（i＝1，2．…，60）．平均数为，方差为，进而可依公式求解．解：（1）频率分布直方图：由频率分布折线图或频率分布直方图得（0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012）×50＝1，即x＝0.0044；（2）月用电量落在区间[50，100）（度），[100，150）（度），[150，200）（度）内的用户数分别为0.0024×50×100＝12，0.0036×50×100＝18，0.0060×50×100＝30所平均数＝（25×12+125×18+175×30）÷60＝140（度）；（3）由（2）知，月用电落在（间[50，200）（度）的户数＝12+18+30＝60月用电量在区间[200，350）（度）内的户数＝100﹣60＝40设前60户的月用电分别为x i，（i＝1，2．…，60），平均数为＝140，方差＝1600后60户的月用电量分别为y i，（i＝1，2．…，60）．平均数为，方差为全部100户的月用电量分别为，平均数，方差为s2＝5200060+40＝100，即．故有，有，所以：，故．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB．点E是PD的中点，作EF⊥PC，交PC于点F．（1）设平面PAB与平面ACE的交线为l，试判断直线PB与直线/的位置关系，并给出证明；（2）求平面PAB与平面ACE所成的较小的二面角的余弦值；（3）求直线PD与平面AEF所成角的正切值．【分析】（1）根据线面平行的性质定理进行证明即可．（2）先找出二面角的平面角，然后进行求解即可，（3）根据线面角的定义进行求解即可，【解答】证明：（1）连结BD交AC交于G，∵ABCD是正方形，∴G为BD的中点，又∵E是PD的中点，∴EG//PB，又∵PB⊄平面ACE，EG⊂平面ACE，∴．PB//平面ACE，又PB⊂平面PAB，平面PAB∩平面ACE＝l，∴PB//l．解：（2）∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，设正方形ABCD的边长为4，∵PA＝PB，∴△PAB的中线AH＝2，PB＝4，AH⊥PB，同理AE＝2，PD＝4，AE⊥PD，∵EG＝PB＝2，AG＝AC＝2，∴△AEG为正三角形，中线AI＝，且AI⊥EG，∵AH⊥PB，PB//l，∴AH⊥l，同理AI⊥l，∴∠HAI是二面角CE﹣l﹣PB的一个平面角，又∵在正三角形△PBD中HI＝，∴cos∠HAI＝＝＝，则平面PAB与平面ACE所成的较小的面角的余弦值为．解：（3）同（2）中PA⊥AB，得PA⊥CD，又∵在正方形ABCD中，AD⊥CD，PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，同理AE⊥平面PCD同理PF⊥面AEF∴∠PEF是直线PD与平面AEF所成的角，∵在Rt△PEF和Rt△PCD中得tan∠PEF＝cot∠CPD＝＝＝，∴直线PD与平面AEF所成角的正切值为．。
2020年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学模拟试卷(理科)(2月份)-解析版
2020年湖北省武汉市华中师大一附中高考数学模拟试卷（理科）（2月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 在复平面内，复数z =cos3+isin3(i 是虚数单位)对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 设复数z 满足|z −1|=|z −i|(i 为虚数单位)，z 在复平面内对应的点为(x,y)，则( )A. y =−xB. y =xC. (x −1)2+(y −1)2=1D. (x +1)2+(y +1)2=13. 设m 为正整数，(x +y)2m 展开式的二项式系数最大值为a ，(x +y)2m+1展开式的二项式数的最大值为b ，若13a =7b ，则m =( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 函数y =2x −2−x|x|−cosx 的图象大致为( )A.B.C.D.5. 射线测厚技术原理公式为I =I 0e −ρμt ，其中I 0，I 分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数．工业上通常用镅241(241Am)低能γ射线测量钢板的厚度．若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为( )(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2≈0.6931，结果精确到0.001)A. 0.110B. 0.112C. 0.114D. 0.1166. 设α,β∈(0,π2)且tanα−tanβ=1cosβ，则( )A. 3α+β=π2B. 2α+β=π2C. 3α−β=π2D. 2α−β=π27. 已知双曲线E:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点为A ，抛物线C:y 2=8ax 的焦点为F.若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则E 的离心率的取值范围是( ) A. (1,2)B. (1,3√24]C. [3√24,+∞)D. (2,+∞)8. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，过对角线BD 1作平面α交棱AA 1于点E ，交棱CC 1于点F ，则：①平面α分正方体所得两部分的体积相等； ②四边形BFD 1E 一定是平行四边形； ③平面α与平面DBB 1不可能垂直； ④四边形BFD 1E 的面积有最大值． 其中所有正确结论的序号为( )A. ①④B. ②③C. ①②④D. ①②③④9. 已知函数f(x)={−e −x ,x ≤0xe x −x −1−lnx,x >0，则函数F(x)=f(f(x))−ef(x)的零点个数为( )(e 是自然对数的底数) A. 6 B. 5C. 4D. 310. 设a +b =2，b >0，则当a =( )时，12|α|+|α|b取得最小值．A. a =−4，b =2B. a =−3，b =1C. a =−2，b =4D. a =2，b =511. 在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a,a)，P 是函数y =1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为2√2，则满足条件的实数a 的所有值为( )A. √10B. a =±√10C. a =3或a =−1D. a =√10或a =−112. 已知e =2.71828…，设函数f(x)=12x 2−bx +alnx 存在极大值点x 0，且对于b 的任意可能取值，恒有极大值f(x 0)<0，则下列结论中正确的是( )A. 存在x 0=√a ，使得f(x 0)<−1e B. 存在x 0=√a ，使得f(x 0)>−e C. a 的最大值为e 2D. a 的最大值为e 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 为了解某地区的“微信健步走”活动情况，现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查．已知抽取的样本同时满足以下三个条件： (i)老年人的人数多于中年人的人数； (ii)中年人的人数多于青年人的人数；(ⅲ)青年人的人数的两倍多于老年人的人数．①若青年人的人数为4，则中年人的人数的最大值为______； ②抽取的总人数的最小值为______． 14. 已知数列{a n }的前n 项和S n =(−1)n+112n ，如果存在正整数n ，使得(p −a n )(p −a n+1)<0成立，则实数p 的取值范围是__________．15. 已知三棱锥A −BCD 的棱长均为6，其内有n 个小球，球O 1与三棱锥A −BCD 的四个面都相切，球O 2与三棱锥A −BCD 的三个面和球O 1都相切，如此类推，…，球O n 与三棱锥A −BCD 的三个面和球O n−1都相切(n ≥2，且n ∈N ∗)，则球O 1的体积等于______，球O n 的表面积等于______．16. 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美．定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”.则下列有关说法中：①对于圆O ：x 2+y 2=1的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；②函数f(x)=sinx+1是圆O：x2+(y−1)2=1的一个太极函数；③存在圆O，使得f(x)=e x+1e x−1是圆O的一个太极函数；④直线(m+1)x−(2m+1)y−1=0所对应的函数一定是圆O：(x−2)2+(y−1)2=R2(R>0)的太极函数；⑤若函数f(x)=kx3−kx(k∈R)是圆O：x2+y2=1的太极函数，则k∈(−2,2)．所有正确的是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知f(x)=2sin(x−π3)cos(x−π3)+2√3cos2(x−π3)−√3．(1)求f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的值；(2)若函数y=f(2x)−a在区间[0,π4]上恰有两上零点x1，x2，求tan(x1+x2)的值．18.已知菱形ABCD的边长为4，AC∩BD=O，∠ABC=60°，将菱形ABCD沿对角线BD折起，使AC=a，得到三棱锥A−BCD，如图所示．(1)当a=2√2时，求证：AO⊥平面BCD；(2)当二面角A−BD−C的大小为120°时，求直线AD与平面ABC所成角的正切值．19.半圆O：x2+y2=1(y≥0)的直径两端点为A(−1,0)，B(1,0)，点P在半圆O及直径AB上运动，若将点P的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点Q，记点Q的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的“直径”，求曲线C的“直径”．20. 某地政府为了帮助当地农民脱贫致富，开发了一种新型水果类食品，该食品生产成本为每件8元，当天生产当天销售时，销售价为每件12元，当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂，每件只能卖5元．每天的销售量与当天的气温有关，根据市场调查，若气温不低于30℃，则销售5000件；若气温位于[25℃,30℃)，则销售3500件；若气温低于25℃，则销售2000件，为制定今年8月份的生产计划，统计了前8(1)求今年8月份这种食品一天销售量(单位：件)的分布列和数学期望值；(2)设8月份一天销售这种食品的利润为y(单位：元)，当8月份这种食品一天生产量n(单位：件)为多少时，y 的数学期望值最大，最大值为多少？21. 已知函数f(x)为反比例函数，曲线g(x)=f(x)cosx +b 在x =π2处的切线方程为y =−6πx +2．(1)求g(x)的解析式；(2)判断函数F(x)=g(x)+1−32π在区间(0,2π]内的零点的个数，并证明．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3−√22ty =1+√22t(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为ρ=4cosθ+6sinθ． (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 与直线l 交于点M ，N ，点A 的坐标为(3,1)，求|AM|+|AN|．23.已知函数f(x)=|x−m|−|x+2|(m∈R)，不等式f(x−2)≥0的解集为(−∞,4]．(1)求m的值；(2)若a>0，b>0，c>3，且a+2b+c=2m，求(a+1)(b+1)(c−3)的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵π2<3<π∴sin3>0，cos3<0∴对应的点在第二象限．故选B ．注意到3rad 的范围，再作进一步判断． 本题是基本概念的考查．2.【答案】B【解析】 【分析】本题考查复数模的求法，是基础题．由已知求得z ，代入|z −1|=|z −i|，求模整理得答案． 【解答】解：由z 在复平面内对应的点为(x,y)，且|z −1|=|z −i|， 得|x −1+yi|=|x +(y −1)i|，∴√(x −1)2+y 2=√x 2+(y −1)2， 整理得：y =x ． 故选：B ．3.【答案】B【解析】解：∵m 为正整数，由(x +y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，以及二项式系数的性质可得a =C 2m m，同理，由(x +y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b ，可得b =C 2m+1m+1．再由13a =7b ，可得13C 2m m =7C 2m+1m，即13×(2m)!m!⋅m!=7×(2m+1)!m!⋅(m+1)!，即13=7×2m+1m+1，即13(m +1)=7(2m +1)，解得m =6，故选：B ．根据二项式系数的性质求得a 和b ，再利用组合数的计算公式，解方程13a =7b 求得m 的值．本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：f(−x)=2−x −2x|−x|−cos(−x)=−2x −2−x|x|−cosx =−f(x)，即函数f(x)在定义域上为奇函数，故排除D ；又f(0)=0,f(1)=2−2−11−cos1>0，故排除B 、C ． 故选：A ．由函数为奇函数，排除D ；由f(0)=0，f(1)>0，排除BC ，进而得解．本题考查由函数解析式确定函数图象，旨在考查函数性质的运用，属于常规题目．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查对数的运算性质，是基础的计算题．由题意可得12=1×e−7.6×0.8μ，两边取自然对数，则答案可求．【解答】解：由题意可得，12=1×e−7.6×0.8μ，∴−ln2=−7.6×0.8μ，即6.08μ≈0.6931，则μ≈0.114．∴这种射线的吸收系数为0.114．故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数恒等变换，熟练应用三角函数公式是解决问题的关键，属中档题．由题意和三角函数公式变形可得cosα=cos[π2−(α−β)]，由角的范围和余弦函数的单调性可得．【解答】解：∵tanα−tanβ=1cosβ，∴sinαcosα−sinβcosβ=1cosβ，∴sinαcosα=1cosβ+sinβcosβ=1+sinβcosβ，∴sinαcosβ=cosα(1+sinβ)=cosα+cosαsinβ，∴cosα=sinαcosβ−cosαsinβ=sin(α−β)由诱导公式可得cosα=sin(α−β)=cos[π2−(α−β)]，∵α,β∈(0,π2)，∴[π2−(α−β)]∈(0,π)，∴α=π2−(α−β)，变形可得2α−β=π2，故选：D．7.【答案】B【解析】解：双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A(a,0)，抛物线C：y2=8ax的焦点为F(2a,0)，双曲线的渐近线方程为y=±bax，可设P(m,ba m)，即有AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −a,b a m)，FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m −2a,b a m)， 由AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即为(m −a)(m −2a)+b 2a 2m 2=0，化为(1+b 2a 2)m 2−3ma +2a 2=0，由题意可得△=9a 2−4(1+b 2a 2)⋅2a 2≥0，即有a 2≥8b 2=8(c 2−a 2)， 即8c 2≤9a 2， 则e =c a≤3√24． 由e >1，可得1<e ≤3√24． 故选：B ．求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设P(m,ba m)，以及向量的垂直的条件：数量积为0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围．本题考查双曲线的离心率的范围，考查抛物线的焦点和向量的数量积的性质，注意运用二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，考查运算能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】 【分析】本题考查正方体中有关的线面的位置关系，解题的关键是理解想象出要画出的平面是怎样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面就可以正确解题． 运用正方体的对称性即可判断①； 由平行平面的性质可得②是正确的；当E 、F 为棱中点时，通过线面垂直可得面面垂直，可得③正确；当F 与A 重合，当E 与C 1重合时，BFD 1E 的面积有最大值，当F 与A 重合，当E 与C 1重合时，BFD 1E 的面积有最大值，可得④正确 【解答】解：如图，则：对于①：由正方体的对称性可知，平面α分正方体所得两部分的体积相等，故①正确；对于②：因为平面ABB 1A 1//CC 1D 1D ，平面BFD 1E ∩平面ABB 1A 1=BF ，平面BFD 1E ∩平面CC 1D 1D =D 1E ，∴BF//D 1E ，同理可证：D 1F//BE ，故四边形BFD 1E 一定是平行四边形，故②正确； 对于③：当E 、F 为棱中点时，EF ⊥平面BB 1D ，又因为EF ⊂平面BFD 1E ，所以平面BFD′E ⊥平面BB′D ，故③不正确；对于④：当F 与A 重合，当E 与C 1重合时，BFD 1E的面积有最大值，故④正确．正确的是①②④，故选：C．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数与方程，考查分段函数零点个数的判定，考查利用导数研究函数的零点问题，考查转化思想，换元思想，数形结合思想，分类讨论思想以及数据分析能力，运算求解能力，逻辑推理能力等综合数学素养，属于较难题目．注意到当x≤0时，函数值恒小于0，当x>0时，函数值恒大于等于0，进而考虑换元后，通过分类讨论结合数形结合思想得解．【解答】解：不妨设f1(x)=−e−x(x≤0)，f2(x)=xe x−x−1−lnx(x>0)，易知，f1(x)<0在(−∞,0]上恒成立，且在(−∞,0]单调递增；f2′(x)=e x+xe x−1−1x =(x+1)(e x−1x)，设g(x)=e x−1x(x>0)，由当x趋近于正无穷大时，g(x)趋近于负无穷大，g(1)=e−1>0，且函数g(x)在(0,+∞)上单增，故函数g(x)存在唯一零点x0∈(0,1)，使得g(x0)=0，即e x0−1x=0，则x0e x0=1,lnx0+x0=0，故当x∈(0,x0)时，g(x)<0，f2′(x)<0，f2(x)单调递减；当x∈(x0,+∞)时，g(x)>0，f2′(x)>0，f2(x)单调递增，故f2(x)min=f2(x0)=x0e x0−x0−1−lnx0=0，故f2(x)≥0；令t=f(x)，F(t)=f(t)−et=0，当t≤0时，−e−t−et=0，解得t=−1，此时易知f(x)=t=−1有一个解；当t>0时，te t−t−1−lnt−et=0，即te t−t−1−lnt=et，作函数f2(t)与函数y= et的图象如图所示，由图可知，函数f2(t)与函数y=et有两个交点，设这两个交点为t1，t2，且t1>0，t2>0，而由图观察易知，f(x)=t1，f(x)=t2均有两个交点，故此时共有四个解；综上，函数F(x)=f(f(x))−ef(x)的零点个数为5．故选：B．10.【答案】C【解析】解：因为a+b=2，b>0，要取得最小值，则a<0，则12|α|+|α|b=a+b4|a|+|a|b=a4|a|+b4|a|+|a|b，≥a4|a|+2√b4|a|⋅|a|b=a4|a|+1=−14+1=34，当且仅当b4|a|=|a|b，a<0时取等号，此时b=−2a，因为a+b=2，所以a=−2，b=4，故选：C．要取得最小值，则a<0，12|α|+|α|b=a+b4|a|+|a|b=a4|a|+b4|a|+|a|b，利用基本不等式可求．本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：设P(x,1x )，则d=|PA|=√(x−a)2+(1x−a)2=√(x+1x )2−2a(x+1x)+2a2−2．令t=x+1x≥2∴d=√t2−2at+2a2−2令f(t)=t2−2at+2a2−2，t≥2．该函数对称轴t=a①a≤2时，f(t)递增，f(t)min=f(2)=2a2−4a+2=8解得a=−1或3(舍)②①a>2时，f(t)min=f(a)=a2−2=8解得a=√10或−√10(舍)．综上，a的取值为−1或√10．故选：D．先利用两点间距离公式表示出|PA|，然后利用换元法将|PA|转化为一个二次函数类型的函数求最值问题，取最小值2√2时得到关于a的方程，求解即可．本题主要考查两点间距离公式和代数变换求最值，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：函数的定义域为(0,+∞)，则函数的导数f′(x)=x−b+ax，若函数f(x)存在极大值点x0，则f′(x)=0有解，即x2−bx+a=0有两个不等的正根，则{△=b 2−4a >0x 1+x 2=b >0x 1⋅x 2=a >0，得b >2√a ，(a >0)，由f′(x)=0得x 1=b−√b2−4a2，x 2=b+√b2−4a2，分析易得f(x)的极大值点为x 1=x 0， ∵b >2√a ，(a >0)， ∴x 1=x 0=b−√b 2−4a2=b+√b 2−4a ∈(0,√a)，则f(x)极大值=f(x 0)=12x 02−bx 0+alnx 0=12x 02−x 02−a +alnx 0=−12x 02+alnx 0−a ，设g(x)=alnx −12x 2−a ，x ∈(0,√a)， f(x)的极大值恒小于0等价为g(x)恒小于0， ∵g′(x)=ax −x =a−x 2x >0，∴g(x)在(0,√a)上单调递增， 故g(x)<g(√a)=aln √a −32a ≤0， 得ln √a ≤32，即a ≤e 3，故a 的最大值为是e 3，故选：D ．求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f′(x)=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．本题主要考查函数极值的应用，求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系转化为一元二次方程根的与判别式△之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度极大．13.【答案】6 12【解析】解：①若青年人的人数为4，则老年人数小于2×4=8，故老年人数最多为7， ∵老年人的人数多于中年人的人数， 故中年人的人数对多为6．②由题意，∵青年人的人数最少为3，故中年人的人数最少为4，老年人的人数最少为5， 抽取的总人数的最小值为3+4+5=12， 故答案为：6；12．由题意，求出老年人的最大值、青年人数的最小值，可得结论． 本题主要考查分层抽样，属于基础题．14.【答案】(−34,12)【解析】解：∵数列{a n }的前n 项和S n =(−1)n+112， ∴a 1=S 1=(−1)2⋅12=12，a 2=S 2−S 1=(−1)3122−12=−34，又a 2k =S 2k −S 2k−1=−122k −122k−1=−322k <0， a 2k+1=S 2k+1−S 2k =122k+1+122k =322k+1>0，由题意知数列{a n }的奇数项为递减的等比数列且各项为正， 偶数项为递增的等比数列且各项为负，∴不等式(p −a n )(p −a n+1)<0成立即存在正整数k 使得a 2k <p <a 2k−1成立， 只需要a 2<a 4<⋯<a 2k <p <a 2k−1<⋯<a 3<a 1， 即−34=a 2<P <a 1=12即可，故−34<p <12.即实数p 的取值范围是(−34,12). 故答案为：(−34,12).求出a 2k =S 2k −S 2k−1=−122k −122k−1=−322k <0，a 2k+1=S 2k+1−S 2k =122k+1+122k =322k+1>0，从而数列{a n }的奇数项为递减的等比数列且各项为正，偶数项为递增的等比数列且各项为负，进而不等式(p −a n )(p −a n+1)<0成立即存在正整数k 使得a 2k <p <a 2k−1成立，只需要a 2<a 4<⋯<a 2k <p <a 2k−1<⋯<a 3<a 1，由此能求出实数p 的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查数列不等式的应用，涉及到数列的前n 项和与数列中的项的关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．15.【答案】√6π 6π4n−1【解析】解：如图，设球O 1半径为r 1，…，球O n 的半径为r n ，E 为CD 中点，球O 1与平面ACD 、BCD 切于F 、G ，球O 2与平面ACD 切于H ， 作截面ABE ，设正四面体A −BCD 的棱长为a ，由平面几何知识可得r 1√36a=√63a−r √32a ，解得r 1=√612a ，同时√63a−2r −r √63a−r 1=r 2r 1，解得r 2=√624a ，把a =6代入的r 1=√62，r 2=√64，由平面几何知识可得数列{r n }是以r 1=√62为首项，公比为12的等比数列， 所以r n =√62(12)n−1，故球O 1的体积=43πr 13=43π(√62)3=√6π；球O n 的表面积=4πr n 2=4π×[√62(12)n−1]2=6π4n−1，故答案为√6π；6π4n−1利用平面几何知识，数形结合推出这些球的半径满足数列{r n }是以r 1=√62为首项，公比为12的等比数列，代入计算即可本题考查了正四面体，球体积性质及其表面积，考查信息提取能力，逻辑推理能力，空间想象能力，计算能力，属于中档偏难题．16.【答案】②④⑤【解析】解：对①显然错误，如图对②，点(0,1)均为两曲线的对称中心，且f(x)=sinx +1能把圆一分为二，正对③，函数为奇函数f(x)=e x +1e x −1=1+2e x −1，当x →0(x >0)时，f(x)→+∞，当x →+∞时，f(x)→1，[f(x)>1]，函数递减； 当x →0(x <0)时，f(x)→−∞，当x →−∞时，f(x)→−1，[f(x)<−1]，函数f(x)关于(0,0)中心对称，有三条渐近线y =±1，x =0，可知，函数的对称中心为间断点，故不存在圆使得满足题干条件． 对于④直线(m +1)x −(2m +1)y −1=0恒过定点(2,1)，满足题意． 对于⑤函数f(x)=kx 3−kx 为奇函数，与圆的交点恒坐标为(−1,1)， ∴{y =kx 3−kx x 2+y 2=1， ∴k 2x 6−2k 2x 4+(1+k 2)x 2−1=0，令t =x 2，得k 2t 3−2k 2t 2+(1+k 2)t −1=0， 即(t −1)(k 2t 2−k 2t 2+1)=0 得t =1即x =±1；对k 2t 2−k 2t 2+1，当k =0时显然无解，△<0即0<k 2<4时也无解，即k ∈(−2,2)时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分． 若k =±2时，函数图象与圆有4个交点，若k 2>4时，函数图象与圆有6个交点，均不能把圆一分为二．，故所有正确的是②④⑤故答案为：②④⑤利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可．本题考查函数的奇偶性的应用，命题真假的判断，新定义的应用，考查转化思想以及计算能力．17.【答案】解∴f(x)的最大值为2，此时2x−π3=π2+2kπ,k∈Z，即x=5π12+kπ,k∈Z;(2)f(2x)=2sin(4x−π3)，令t=4x−π3，∵x∈[0,π4]，∴t∈[−π3,2π3]设t1，t2是函数y=2sint−a的两个相应零点，t1=4x1−π3,t2=4x2−π3，由y=2sint图象性质知t1+t2=π，即4x1−π3+4x2−π3=π，∴x1+x2=π4+π6,tan(x1+x2)=2+√3．【解析】本题综合考查了两角和与差的三角公式、二倍角公式、三角函数的最值(最值的求解一般是整体思想)，利用正弦函数的图象求解值的问题，体现了函数中的数形结合的数学思想在解题中的运用，利用三角公式化简函数f(x)=2sin(2x−π3).(1)结合正弦函数的性质，把2x−π3看成y=sinx中的“x“分别求解(2)代入可得y=2sin(4x−π3)，换元t=4x−π3，从而可得y=2sint，t∈[−π3,2π3]，结合正弦函数的图象可求．18.【答案】解：(1)证明：在△AOC中，OA=OC= 2，AC=a=2√2，∴OA2+OC2=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，∵AO⊥BD，且AO∩BD=O，∴AO ⊥平面BCD ；(2)由(1)知，OC ⊥OD ，以O 为坐标原点，OC ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴 建立如图的空间直角坐标系O −xyz ，则O(0,0,0),B(0,−2√3,0),C(2,0,0),D(0,2√3,0)， ∵AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，∴∠AOC 为二面角A −BD −C 的平面角， ∴∠AOC =120°，∴A(−1,0,√3),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2√3,−√3),BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2√3,√3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2√3,0)，设平面ABC 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2√3y =0n ⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2√3y +√3z =0，可取n⃗ =(1,−√33,√3)， 设直线AD 与平面ABC 所成角为θ，则sinθ=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=4√133=√313， ∴cosθ=√1−sin 2θ=√1013,tanθ=sinθcosθ=√3010．【解析】(1)由勾股定理可得AO ⊥OC ，又AO ⊥BD ，即可证得AO ⊥平面BCD ；(2)建立空间直角坐标系，求出直线AD 的方向向量以及平面ABC 的法向量，利用向量公式即可求得正切值．本题考查线面垂直的判定以及利用空间向量求解线面角问题，考查逻辑推理能力，属于常规题目．19.【答案】解：(1)设Q(x,y)，则P(x,y2)，由题意可得当P 在直径AB 上运动时，显然y =0(−1<x <1)；当P 在半圆O 上时，x 2+(y2)2=1(y ≥0)， 所以曲线C 的方程为y =0(−1<x <1)或x 2+y 24=1(y ≥0)；(2)设曲线上两动点G(x,y)，H(x 0,y 0)，显然G ，H 至少有一点在椭圆上时GH 才能取得最大，不妨设y ≥y 0≥0，则|GH|2=(x −x 0)2+(y −y 0)2≤(x −x 0)2+y 2=(x −x 0)2+4(1−x 2)，∵(x −x 0)2+4(1−x 2)=−3x 2−2x 0x +x 02+4=−3(x +x 03)2+4x 023+4≤43+4=163，∴|GH|2≤163，等号成立时，G(4√23,13)，H(−1,0)或G(−4√23,13)，H(1,0)， 由两点的距离公式可得|GH|max =4√33，故曲线C 的“直径”为4√33．【解析】(1)设Q(x,y)，则P(x,y2)，分别讨论P 在直径AB 上时，以及P 在半圆O 上时，代入方程，化简可得所求曲线的方程；(2)设曲线上两动点G(x,y)，H(x0,y0)，显然G，H至少有一点在椭圆上时GH才能取得最大，不妨设y≥y0≥0，运用两点的距离公式和椭圆方程，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值，即曲线C的“直径”．本题考查曲线的方程的求法和运用，考查坐标转移法和转化思想、以及二次函数的最值求法，以及化简运算能力、推理能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)今年8月份，这种食品一天的销售量X的可能取值为2000、3500、5000件，P(X=2000)=4+1490=0.2，P(X=3500)=3690=0.4，P(X=5000)=21+1590=0.4，X的数学期望为E(X)=2000×0.2+3500×0.4+5000×0.4=3800．(2)由题意知，这种食品一天的需求量至多为5000件，至少为2000件，因此只需要考虑2000≤n≤5000，当3500≤n≤5000时，若气温不低于30度，则Y=4n，若气温在[25,30)之间，则Y=3500×4−(n−3500)×3=24500−3n，若气温低于25度，则Y=2000×4−(n−2000)×3=14000−3n，此时E(Y)=25×4n+25×(24500−3n)+15(14000−3n)=12600−15n≤11900，当2000≤n<3500时，若气温不低于25度，则Y=4n，若气温低于25度，则Y=2000×4−(n−2000)×3=14000−3n，此时E (Y)=45×4n+15(14000−3n)=2800+135n<11900，所以n=3500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为11900．【解析】(1)销售量X的可能取值为2000、3500、5000件，求出每个X的取值对应的概率即可得分布列与数学期望；(2)这种食品一天的需求量至多为5000件，至少为2000件，因此只需要考虑2000≤n≤5000，然后分3500≤n≤5000和2000≤n<3500两个类别，分别计算数学期望，再比较两者的大小即可．本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，及期望的实际应用，考查学生的数据分析能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设f(x)=ax (a≠0)，则g(x)=acosxx+b，∴g′(x)=−a(xsinx+cosx)x2又直线y=−6πx+2的斜率为−6π，过点(π2,−1)，∴g′(π2)=−2aπ=−6π，∴a=3，又g(π2)=b=−1，∴g(x)=3cosxx−1．(2)函数F(x)在(0,2π]上有3个零点，证明如下：证明：F(x)=g(x)+1−32π=3cosxx−32π，则F′(x)=−3(xsinx+cosx)x2，又F(π6)=9√3π−32π>0,F(π2)=−32π<0，∴F(x)在(0,π2]上至少有一个零点，∵F(x)在(0,π2]上单调递减，∴F(x)在(0,π2]上有一个零点． 当x ∈(π2,3π2)时，cosx <0，故F (x)<0，∴函数F(x)在(π2,3π2)上无零点；当x ∈[3π2,2π]时，令ℎ(x)=xsinx +cosx ，ℎ′(x)=xcosx >0， ∴ℎ(x)在[3π2,2π]上单调递增，又ℎ(2x)>0,ℎ(3π2)<0， ∴∃x 0∈(3π2,2π)，使得F(x)在[3π2,x 0]上单调递增，在(x 0,2π]上单调递减，∵F(2π)−0,F(3π2)<0，∴F(x)在[3π2,2π]上有2个零点，综上，函数F(x)在(0,2π]上有3个零点．【解析】(1)根据条件，利用待定系数法求出g(x)的解析式；(2)函数F(x)在(0,2π]上有3个零点，然后利用综合法证明函数F(x)存在3个零点即可． 本题考查了函数解析式的求法，利用导数研究函数的单调性和零点存在性定理，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 的方程ρ=4cosθ+6sinθ， ∴ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ，∴x 2+y 2=4x +6y ，即曲线C 的直角坐标方程为：(x −2)2+(y −3)2=13．(2)把直线l ：{x =3−√22t y =1+√22t 代入曲线C 得(1−√22t)2+(−2+√22t)2=13，整理得，t 2−3√2t −8=0． ∵Δ=(−3√2)2+32>0，设t 1，t 2为方程的两个实数根，则t 1+t 2=3√2，t 1t 2=−8，∴t 1，t 2为异号， 又∵点A(3,1)在直线l 上，∴|AM|+|AN|=|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√50=5√2．【解析】(1)由曲线C 的方程的极坐标方程能求出曲线C 的直角坐标方程．(2)把直线l ：{x =3−√22ty =1+√22t代入曲线C 得t 2−3√2t −8=0.由此能求出|AM|+|AN|．本题考查曲线的直角坐标方程、两线段和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(1)∵f(x)=|x −m|−|x +2|， ∴f(x −2)=|x −m −2|−|x|≥0的解集为(−∞,4]，∴|x −m −2|≥|x|，即(x −m −2)2≥x 2的解集为(−∞,4]， 得2(m +2)x ≤(m +2)2的解集为(−∞,4]，故m+2>0且m+2=8，即m=6．(2)∵m=6，∴a+2b+c=12．又∵a>0，b>0，c>3，∴(a+1)(b+1)(c−3)=(a+1)(2b+2)(c−3)≤12[(a+1)+(2b+2)+(c−3)3]3=12(a+2b+c3)3=12×(123)3=32，当且仅当a+1=2b+2=c−3，结合a+2b+c=12解得a=3，b=1，c=7时，等号成立，∴(a+1)(b+1)(c−3)的最大值为32．【解析】(1)通过|x−m−2|−|x|≥0的解集为(−∞,4]，转化为2(m+2)x≤(m+2)2的解集为(−∞,4]，即可得．(2)通过(a+1)(b+1)(c−3)=(a+1)(2b+2)(c−3)2，利用均值不等式转化求解函数的最值即可．本题考查不等式的解法，均值不等式求最值，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。
湖北省武汉市东西湖区华中师范大学第一附属中学2020届高三数学上学期期中试题理(含解析)
湖北省武汉市东西湖区华中师范大学第一附属中学2020届高三数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{(1)(2)0}B x x x =-+>，则A B 的子集个数为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得AB ，进而求得A B 的子集个数.【详解】由()()120x x -+>得21x -<<，故{}1,0A B ⋂=-，其子集个数为224=. 故选B.【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查集合子集的个数求法，考查一元二次不等式的解法.2.设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（ ） A. 2,2nn N n ∀∈> B. 2,2nn N n ∃∈≤ C. 2,2nn N n ∀∈≤ D. 2,2nn N n ∃∈=【答案】C 【解析】【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.3.若复数z 满足(34)112i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A. 2- B. 2C. 2i -D. 2i【答案】B 【解析】【分析】用复数除法运算求得z ，由此求得z 的虚部. 【详解】依题意()()()()1123411225501234343425i i i iz i i i i ++++====+--+，虚部为2. 故选B.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.4.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？（ ） A. 第2天 B. 第3天C. 第4天D. 第5天【答案】B 【解析】 【分析】用列举法求得前几天挖的尺寸，由此求得第几天相遇.【详解】第一天共挖112+=，前二天共挖220.5 4.5++=，故前3天挖通，故两鼠相遇在第3天. 故选B.【点睛】本小题主要考查中国古代数学问题，考查等比数列的概念，属于基础题.5.已知变量x , y 满足约束条件13230x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】A 【解析】 【分析】画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，由此求得z 的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，平移基准直线20x y +=到可行域边界的点()1,1C -处，此时z 取得最小值为()2111⨯+-=. 故选A.【点睛】本小题主要考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 6.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足12130,0,S S ><且{}n S 的最大项为m S ，12m a +=-，则13S =（ ） A. 20- B. 22-C. 24-D. 26-【答案】D 【解析】 【分析】根据题目所给n S 的不等式，求得m 的值，根据1m a 的值求得13S 的值.【详解】依题意() 112126711313712602131302a aS a aa aS a+⎧=⨯=⨯+>⎪⎪⎨+⎪=⨯=<⎪⎩，所以670,0a a><，故等差数列{}n a 前6项的和最大，即6m=，所以72a=-，所以1131371313262a aS a+=⨯==-.故选D.【点睛】本小题主要考查等差数列前n项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.7.如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论:①AN GC⊥，②CF与EN所成的角为60︒,③BD//MN，④二面角E BC N--的大小为45︒,其中正确的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据题意画出正方体直观图，建立空间直角坐标系，计算0AN GC⋅=，由此判断①正确.根据线线角的知识，判断②正确.根据线线的位置关系，判断③错误.根据二面角的知识，判断④正确.【详解】画出正方体的直观图，如下图所示，设正方体边长为2，以,,DA DC DG分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则()()()()2,0,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0A N G C，所以()()2,2,20,2,20AN GC⋅=-⋅-=，所以AN GC⊥，故①正确.由于//EN AC，所以CF与EN所成的角为FCA∠，而在FAC∆中，AF FC CA==，也即FAC∆是等边三角形，故60FCA∠=，所以②正确.由于//EN AC，而AC与BD相交，故,BD MN不平行，③错误.由于,EB BC FB BC⊥⊥，所以EBF∠即是二面角E BC N--的平面角.EBF∆是等腰直角三角形，所以45EBF∠=，故④正确.综上所述，正确的命题个数为3个.故选C.【点睛】本小题主要考查空间线线、面面的位置关系有关命题的真假性判断，属于中档题. 8.已知ABC ∆中，2AD DC =，E 为BD 中点，若BC AE AB λμ=+，则2λμ-的值为（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10【答案】C 【解析】 【分析】将BC AE AB λμ=+中的向量，都转化为以,AB AC 为基底的向量表示，由此列方程组，解方程组求得,λμ的值，进而求得2λμ-的值. 【详解】由BC AE ABλμ=+得()12AC AB AD AB AB λμ-=⋅++，即1223AC AB AC AB AB λμ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭，即1132AC AB AC AB λλμ⎛⎫-=++ ⎪⎝⎭，故113112λλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩，解得53,2λμ==-，故2358λμ-=+=. 故选C.【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查方程的思想，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 9.若1164log 9a =，33log 2b =，0.20.6c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. c b a >> B. c a b >>C. b a c >>D. a b c >>【答案】A 【解析】 【分析】根据对数运算，结合对数函数的性质、指数函数的性质以及幂函数的性质，比较出三者的大小关系.【详解】依题意22434333log log log 222a b --⎛⎫==<= ⎪⎝⎭，而0.20.2333log log 30.50.50.62b c =<=<<= 故c b a >>. 故选A.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查利用指数、对数和幂函数的性质，比较大小，属于基础题.10.已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，且(,1),(,1)2A B ππ-，则ϕ的值为（ ）A.56π B.6π C. 56π-D. 6π-【答案】C 【解析】 【分析】根据,A B 两点的坐标列方程组，解方程组求得ϕ的值.【详解】由于函数()f x 过,A B 两点，故()()ππ2sin 122π2sin π1ff ωϕωϕ⎧⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪=+=-⎩，由于0,||ωϕπ><，所以方程组解得25π6ωϕ=⎧⎪⎨=-⎪⎩.故选C.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象求三角函数解析式，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.11.已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ）A. (1)(1,)-∞-⋃+∞，B. (1,+)∞C. 1(,)(1,+)3-∞-⋃∞D. (,2)(1,)-∞-+∞【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，由此列不等式组，解不等式组求得x 的取值范围.【详解】由210x ->解得1x <-或1x >，故函数的定义域为{|1x x <-或}1x >，且()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，且当1x >时，令22x x y -=+，'1412ln 2ln 2022x x xx y -⎛⎫=-=⨯> ⎪⎝⎭，所以22x xy -=+在1x >时递增，根据复合函数单调性可知()2ln 1y x =-在1x >时递增，所以函数()f x 在1x >时递增，故在1x <-时递减.由(1)(2)f x f x +<可知121121x x x x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩，解得(,2)(1,)x -∞-∈+∞.故选D.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数不等式的解法，属于中档题.12.已知函数()sin )4f x x x x π=+，若对于任意的1212,[0,),()2x x x x π∈≠，均有1212|()()|||x x f x f x a e e -<-成立，则实数a 的最小值为（ ）A.23B. 1C.32D. 3【答案】B 【解析】 【分析】首先判断()f x 的单调性，假设12x x >，将1212|()()|||x x f x f x a e e -<-去绝对值，化简后构造函数()sin sin cos xF x x x x x ae =++-，利用导数结合()F x 的单调性进行化简，利用分离常数法求得实数a 的最小值. 【详解】依题意()sin sin cos f x x x x x =++，且π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.所以()'cos cos 0f x x x x =+>，故()f x 在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时单调递增.不妨设12x x >，则()()11f x f x >，且12x x e e >.故由1212|()()|||x x f x f x a e e -<-得()()1212x x f x f x ae ae -<-，即()()1212x x f x ae f x ae -<-，构造函数()()x F x f x ae =-，则()F x 在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时单调递减.故()'cos cos 0xF x x x x ae =+-≤在区间π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立，即cos cos x x x x a e +≥在区间π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立.构造函数()cos cos π0,2x x x x g x x e +⎛⎫⎡⎫=∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，()()()'1sin cos 0x x x x g x e ++=-<，故()g x 在区间π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，故()()max 01g x g ==，所以1a ≥.故a 的最小值为1. 故选B.【点睛】本小题主要考查利用导数求解有关不等式恒成立问题，考查构造函数法，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．) 13.曲线xy xe -=在点1(1,)e处的切线方程为_______【答案】1y e= 【解析】 【分析】先求得函数在1x =处切线的斜率，由此求得切线方程.【详解】依题意x x y e =，所以'21x x x xe xe x y e e--==，故当1x =时，导数为0，也即在点11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为0，故切线方程为1y e=. 故答案为1y e=. 【点睛】本小题主要考查过曲线上一点切线方程的求法，考查除法的导数运算，属于基础题. 14.已知3sin()2cos()sin 2παπαα-+-=，则2sin sin cos ααα-=________ 【答案】65【解析】 【分析】利用诱导公式化简已知条件，求得tan α的值，利用“1”的代换的方法将所求表达转化为只含tan α的式子，由此求得表达式的值. 【详解】由3sin()2cos()sin 2παπαα-+-=得sin 3cos αα=-，故tan 3α=-.所以2sin sin cos ααα-=222sin sin cos sin cos ααααα-+，分子分母同时除以2cos α得22tan tan 936tan 1915ααα-+==++. 故答案为65. 【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查“1”的代换以及齐次式的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为2214a b +-，则ABC ∆面积的最大值为_____.【答案】14【解析】 【分析】结合已知条件，结合余弦定理求得π4C =，然后利用基本不等式求得ab 的最大值，进而求得三角形ABC 面积的最大值.【详解】由于三角形面积2211sin 24a b S ab C +-==①，由余弦定理得221cos 2a b C ab +-=②，由①②得sin cos C C =，由于()0,πC ∈，所以π4C =.故221cos 2a b C ab +-==221a b =+-22121a b ab =+-≥-，化简得22ab +≤.所以三角形面积1121sin 22224S ab C +=≤⨯=.故答案为14. 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查基本不等式求最值的方法，属于中档题.16.已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，||6,||8AB AC ==，(,)AO AB AC R αβαβ=+∈，若21sin ()2A t αβ⋅+-（t 为实数）有最小值，则参数t 的取值范围是______.【答案】3315(,)1616- 【解析】 【分析】首先求得,AO AB AO AC ⋅⋅，进而用cos A 表示出,αβ，由此化简21sin ()2A t αβ⋅+-，结合二次函数的性质，列不等式，解不等式求得t 的取值范围. 【详解】先求,AO AB AO AC ⋅⋅： 如图所示，设D 是线段AB的中点，由于O 是三角形ABC 外接圆的圆心，故⊥OD AB ，所以211cos ,1822AO AB AB AO AO AB AB AB AB ⋅=⋅⋅=⋅==，同理可得211cos ,3222AO AC AC AO AO AC AC AC AC ⋅=⋅⋅=⋅==.由于(,)AO AB AC R αβαβ=+∈故221832AO AB AB AB AC AO AC AC AB AC αββα⎧⋅=+⋅=⎪⎨⋅=+⋅=⎪⎩，即43cos 268cos 3A A βααβ+=⎧⎨+=⎩，解得2234cos 6sin 43cos 8sin A AA A αβ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，将上式代入21sin ()2A t αβ⋅+-并化简得2123cos cos 238A t A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由于1cos 1A -<<，依题意2123cos cos 238A t A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭有最小值，结合二次函数的性质可知当233811122t -+-<-<⨯时，2123cos cos 238A t A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭有最小值.由233811122t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-<-<⨯解得33151616t -<<.故答案为3315(,)1616-.【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积的运算，考查圆的几何性质，考查方程的思想，考查二次函数在给定区间上有最小值问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若21cos 222A bc=+. （1）求角C ；（2）BM 平分角B 交AC 于点M ，且1,6BM c ==，求cos ABM ∠. 【答案】（1）2C π=；（2）3cos 4ABM ∠=【解析】 【分析】（1）利用降次公式化简21cos222A b c=+，再用正弦定理、三角形内角和定理、两角和的正弦公式进行化简，由此求得cos C 的值，进而求得C 的大小. （2）设B ABM M C α∠∠==，求得CB ，然后利用cos BCABC AB∠=以及二倍角公式列方程，解方程求得cos ABM ∠的值. 【详解】（1）由题1cos 1cos 222A b bA c c+=+∴= cos sin sin sin()sin cos cos sin A C B A C A C A C ∴==+=+sin cos 0A C ∴=又(0,)sin 0cos 02A A C C ππ∈∴≠∴=∴=（2）记ABM α∠=，则MBC α∠=，在Rt MCB ∆中，cos CB α=，在Rt ACB ∆中，cos BC ABC AB ∠=，即cos cos 26αα= 即2cos 2cos 16αα-=3cos 4α∴=或23-（舍）3cos 4ABM ∴∠=. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查二倍角公式和降次公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，*211,n n S a n N nn =+-∈（1）证明：数列1{}n n S n+为等差数列； （2）若数列{b n }满足12n nn n nb S S +=⋅⋅，求数列{b n }的前n 项和T n .【答案】（1）见解析；（2）11(1)2n nT n =-+【解析】 【分析】（1）当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-，化简已知条件，得到111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-，由此证得数列1{}n n S n+为等差数列. （2）利用（1）的结论求得1n n S n n+=，由此求得n S 的表达式，进而求得n b 的表达式，利用裂项求和法求得{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）2n ≥时，22221()n n n n S n a n n n S S n n -=+-=-+-， 即221(1)(1)n n n S n S n n --=+-(2)n ≥同除以(1)n n -得111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥- 1{}n n S n+∴为等差数列，首项为1，公差为1 （2）由（1）知211n n n n S n S n n +=∴=+，1211(1)22(1)2n n n nn b n n n n -+==-⋅+⋅+⋅1121111111(1)()()12222322(1)2(1)2n n n nT n n n -∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅. 【点睛】本小题主要考查根据递推关系是证明等差数列，考查等差数列通项公式，考查裂项求和法，考查运算求解能力，属于中档题.19.已知函数()(cos sin )(cos sin )cos 222222x x x x x xf x =+-+（1）求函数()f x 的最大值并指出()f x 取最大值时x 的取值集合； （2）若,αβ为锐角，126cos(),()135f αββ+=-=，求()6f πα+的值. 【答案】（1）最大值为2，此时x 的取值集合为{|2,}3x x k k Z ππ=+∈；（2）6665-【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简()f x 解析式，然后根据正弦型函数最大值的求法，求得函数()f x 的最大值，以及此时对应的x 的取值集合. （2）利用同角三角函数的基本关系式求得()πsin ,cos 6αββ⎛⎫++⎪⎝⎭的值，然后利用cos()cos[()()]66ππααββ-=+-+，结合两角差的余弦公式，求得cos()6πα-的值，进而利用诱导公式，求得()6f πα+的值.【详解】（1）22()cos sin cos 2222x x x x f x =-+=cos 2sin()6x x x π+=+ 令262x k πππ+=+ 得2,3x k k Z ππ=+∈所以最大值为2，此时x 的取值集合为{|2,}3x x k k Z ππ=+∈（2）由,αβ为锐角，12cos()13αβ+=-得5sin()13αβ+=2πβ<<2663πππβ∴<+<又31sin()(652πβ+=∈，664πππβ∴<+< 4cos()65πβ∴+=，cos()cos[()()]66ππααββ∴-=+-+33cos()cos()sin()sin()6665ππαββαββ=+++++=-66()2sin()2sin()2cos()6326665f πππππαααα∴+=+=+-=-=-【点睛】本小题主要考查二倍角公式、辅助角公式，考查三角函数最大值的求法，考查三角恒等变换，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题. 20.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ，AB BC ⊥，3,22,AB BC AD ===E 为CD 的中点，PB AE ⊥（1）证明:平面PBD ⊥平面ABCD ；（2）若PB PD =，PC 与平面ABCD 所成的角为4π，试问“在侧面PCD 内是否存在一点N ，使得BN ⊥平面PCD ？”若存在，求出点N 到平面ABCD 的距离；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）存在N 点到平面ABCD 23【解析】 【分析】（1）通过证明BD AE ⊥，结合题目所给已知PB AE ⊥，由此证得AE ⊥平面PBD ，进而证得平面PBD ⊥平面ABCD .（2）存在.通过（1）的结论，利用面面垂直的性质定理建立空间直角坐标系，假设存在符合题意的点N ，使BN ⊥平面PCD ，利用向量线性运算设出N 点坐标，结合00BN PC BN PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩求得N 点坐标，由此证得存在一点N ，使得BN ⊥平面PCD .利用点到平面距离的向量求法，求得点N 到平面ABCD 的距离.【详解】（1）证明:由四边形ABCD 是直角梯形, 3，BC=2AD=2，AB ⊥BC ，可得DC =2,∠BCD =3π，从而△BCD 是等边三角形,BD=2,BD 平分∠ADC. ∵E 为CD 的中点,∴DE=AD=1,∴BD ⊥AE ,又∵PB ⊥AE ,PB ∩BD=B ,∴AE ⊥平面PBD.又∵AE ⊂平面ABCD∴平面PBD ⊥平面ABCD. (2) 存在.在平面PBD 内作PO ⊥BD 于O ,连接OC ,又∵平面PBD ⊥平面ABCD ,平面PBD ∩平面ABCD=BD ,∴PO ⊥平面ABCD ，∴∠PCO 为PC 与平面ABCD 所成的角, 则∠PCO=4π ∴易得OP =OC =3，PB=PD ,PO ⊥BD ,所以O 为BD 的中点，OC ⊥BD.以OB ,OC ,OP 所在的直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则B (1,0,0),C （0,3，0）D (-1,0,0),P （0,0,3）假设在侧面PCD 内存在点N ，使得BN ⊥平面PCD 成立，设(,0,1)PN PD PC λμλμλμ=+≥+≤，易得(,3,3(1))N λμλμ--+- 由00BN PC BN PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩得12,55λμ==，满足题意，所以N 点到平面ABCD 的距离为233(1)λμ-+-=【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查利用空间向量法求点到面的距离，考查存在性命题的向量证法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 21.（1）已知21()ln f x x x =+，证明：当2x ≥时，221ln 1(ln 2)4x x x +≥+； （2）当4211(2,1)a e e ∈----时，33131()ln (2)39a g x x x x x x -=++有最小值，记()g x 最小值为()a ϕ，求()a ϕ的值域.【答案】（1）见解析；（2）63222(,)9393e e e e -+-+【解析】 【分析】 （1）首先利用()'fx 证得()f x在)+∞上单增，然后根据函数()f x 的最小值列不等式，由此证得不等式成立.（2）首先求得()'g x ，结合（1）的结论以及零点存在性定理，证得存在唯一的实数20(,)x e e ∈，使得'0()0g x =，根据()g x 的单调性求得()g x 最小值的表达式()a ϕ，用0x 表示出a ，利用导数求得()a ϕ的值域.【详解】（1）证明：2'33122()0x f x x x x-=-=≥()f x ∴在)+∞上单增， 2x ∴≥时，()(2)f x f ≥即211ln ln 24x x +≥+，∴2x ≥时，221ln 1(ln 2)4x x x +≥+ （2）'222221311()ln 1(ln )33a g x x x x x x x a x-=+++=++ 由()f x在)+∞上单增且22411()1,()2,f e f e e e=+=+4211(2,1)a e e ∈----知存在唯一的实数20(,)x e e ∈，使得'0()0g x =，即0201ln 0x a x ++=，'0),()0,()x x g x g x ∴∈<单减；'0(,),()0,()x x g x g x ∈+∞>单增min 0()()g x g x ∴=，0x 满足0201ln 0x a x ++=，0201ln a x x ∴=-- ∴3300000131()ln 39a g x x x x x -=++320002()93x x e x e =-+<< 记3212()()93h x x x e x e =-+<<，则2'2()033x h x =-<()h x ∴在2(,)e e 上单减，632222()()()9393e e e h e h x h e e ∴-+=<<=-+所以()a ϕ的值域为63222(,)9393e e e e -+-+【点睛】本小题主要考查利用导数证明不等式，考查利用导数求单调区间、最值或值域，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.22.已知函数()|2||24|f x x x =-++ （1）解不等式()34f x x ≥-+；（2）若函数()f x 最小值为a ，且2(0,0)m n a m n +=>>，求21+1m n+的最小值. 【答案】（1）1[,)2-+∞；（2）最小值为32【解析】 【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，由此解不等式()34f x x ≥-+，求得不等式的解集.（2）利用绝对值不等式求得()f x 的最小值，也即求得a 的值.利用配凑法，结合基本不等式，求得21+1m n+的最小值. 【详解】（1）当2x <-时，3234x x --≥-+，无解 当22x -≤≤时，634x x +≥-+，得122x -≤≤ 当2x >时，3234x x +≥-+，得2x > 所以不等式解集为1[,)2-+∞ （2）()|2||24||2||2||2|f x x x x x x =-++=-++++|(2)(2)||2|x x x ≥--+++4|2|4x =++≥当且仅当22x -≤≤时取等 当且仅当2x =-时取等所以当2x =-时，()f x 最小值为4，即4a =，所以24m n += 所以21121[2(1)]()161m n m n m n +=+++++12(1)2(5)61m n n m +=+++13(562≥+= 当且仅当2(1)21m nn m +=+且24m n +=即1,2m n ==时取“=” 所以21+1m n +最小值为32. 【点睛】本小题主要考查含有绝对值不等式的解法，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
2020年湖北省武汉市华师一附中中考数学模拟试卷
中考数学模拟试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10 小题，共分）1. 在 -2，3， 0， -1 中，最小的数是（）A. -2B. 3C. 0D. -12. 假如是二次根式，那么x 的取值范围（）A. x＞-1B. x≥-1C. x≥0D. x＞03. 以下图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.4. 以下说法正确的选项是（）A.为认识一批灯泡的使用寿命，宜采纳普查方式B.掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币都是正面向上这一事件发生的概率为C.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5 点向上是必定事件D. 甲乙两人在同样条件下各射击10 次，他们成绩的均匀数同样，方差分别是S 甲2 2，S 乙，则甲的射击成绩较稳固5. 如图，线段CD 两个端点的坐标分别为C（﹣1，﹣2），D（﹣2，﹣1），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段CD 扩大为本来的 2倍，获取线段AB，则线段AB 的中点 E 的坐标为（）A. （3，3）B. （）C. （2，4）D. （4，2）6.下边两幅图是由几个小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图，则搭成这个几何体的小正方体个数为（）A.3个B.4个C.5个D.6个7.跟着“国家宝藏”的热播，小颖和小梅计划利用假期时间到河南博物院担当“贾湖骨笛”，“妇好鸮尊”，“云纹铜禁”的解说员，因为能力水平的限制，她们一人只好解说此中一个文物，小颖和小梅制作了三张质地大小完整同样的卡片，反面向上洗匀后各自抽取一张（第一人抽取后不放回），则“贾湖骨笛”未被抽到的概率为（）A. B. C. D.8. 关于两个不相等的实数a b，我们规定符号Max{ a，b}表示a b中的较大值，如：、、Max{2 ， 4}=4 ，依照这个规定，方程Max{ x， -x}= 的解为（）A. 1-B. 2-C. 1+ 或 1-D. 1+或-19. 如图，线段AB=6，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC ACD和等为边作等边△边△BCE，⊙O 外接于△CDE ，则⊙ O 半径的最小值为（）A. 6B.C. 2D. 310. 若关于随意非零实数a，抛物线 y=a（ x+2）（ x-1）总不经过点P（ x0-3， x0-5），则切合条件的点P（）A.有1个B.有2个C.有3个D. 有无量多个二、填空题（本大题共 5 小题，共 15.0 分）11.已知小明近来几次数学考试的成绩分别为： 100， 95， 105， 100， 90．则这组数据的中位数是 ______．12.化简-结果是______．13.如图， E 为 ?ABCD 边 AD 上一点，将△ABE 沿 BE 翻折获取△FBE ，点 F 在 BD 上，且 EF=DF ，若∠BDC=81°，则∠C=______ ．14.以下图，经过 B（ 2，0）、C（ 6， 0）两点的⊙ H与 y 轴的负半轴相切于点A，双曲线y= 经过圆心H，则 k= ______ ．15.如图，四边形 ABCD 中， AB=BC=4，∠ABC=60 °，∠ABD +∠BCD =180 °，对角线 AC 、BD 订交于点 E， H为 BD 的中点．若 CE=1，则 CH 长为 ______．三、解答题（本大题共8 小题，共64.0 分）16.计算：（2a2）3-7a6+a2?a417.如图，若∠1+∠MEN +∠2=360°，求证：AB∥CD．18.某校举办“打造安全校园”活动，随机抽取了部分学生进行校园安全知识测试．将这些学生的测试结果分为四个等级： A 级：优异； B 级：优异； C 级：及格； D 级：不及格，并将测试结果绘制成以下统计图．请你依据图中信息，解答以下问题：（1）本次参加校园安全知识测试的学生有多少人？（2）计算 B 级所在扇形圆心角的度数，并补全折线统计图；（3）若该校有学生 1000 名，请依据测试结果，预计该校达到及格和及格以上的学生共有多少人？19.在边长为 1 的小正方形构成的网格中，现已知△ABC的三个极点均在小正方形极点上，依据以下要求，利用网格达成作图．（ 1）以点 B 为中心，将△ABC 逆时针旋转90°，获取△A'B'C'．（ 2）在线段AB 上求作一点P，使得点 P 到直线 AC、 BC 的距离之和等于4．（说明：请将所作的点和线用铅笔描粗，标出相应字母，不写作法．）20.如图， PB 与⊙ O 相切于点 B，过点 B 作连结 PA ，AO， AO 的延伸线交⊙ O 于点OP 的垂线 BA，垂足为 C，交⊙ O 于点 A，E，与 PB 的延伸线交于点 D ．（1）求证： PA 是⊙O 的切线；（2）若 tan∠BAD= ，且 OC=4，求 BD 的长．21. 农经企业以 30 元 / 千克的价钱收买一批农产品进行销售，为了获取日销售量p（千克）与销售价钱x（元 /千克）之间的关系，经过市场检查获取部分数据以下表：x /千克）30 35 40 45 50 销售价钱（元日销售量 p（千克）600 450 300 150 0（1）请你依据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比率函数的知识确立 p 与 x 之间的函数表达式；（2）农经企业应当怎样确立这批农产品的销售价钱，才能使日销售收益最大？（3）若农经企业每销售 1 千克这类农产品需支出 a 元（a＞ 0）的有关花费，当 40≤x≤45时，农经企业的日赢利的最大值为2430 元，求 a 的值．（日赢利=日销售收益 -日支出花费）22.如图1，共直角边AB 的两个直角三角形中，∠ABC=∠BAD =90°，AC交BD于P，且 tan∠C= ．（1）求证： AD=AB ；（2）如图 2，BE⊥CD 于 E 交 AC 于 F．①若 F 为 AC 的中点，求的值；②当∠BDC=75°时，请直接写出的值．23. 如图，点A t 0 B（t-6 0）是x轴负半轴上两点，过A，B两点的抛物线（，）和点，与过点 B 的直线 y=kx+ t（ t-6）交于 y 轴上同一点C．（ 1）直接写出线段 AB 的长度： ______；（ 2）若点 P 是抛物线上 x 轴下方的一个动点，求△PAB 面积的最大值；（ 3）若点 P 是抛物线上 y 轴左边一个动点．当∠ACO=∠CBO 时，设△PBC 面积为m．假如关于每一个 m 的值，都有独一确立的点P 和它对应，求 m 的取值范围．答案和分析1.【答案】A【分析】解：∵-2＜ -1＜ 0＜3，∴在 -2， 3， 0，-1 中，最小的数是-2．应选： A．有理数大小比较的法例：①正数都大于 0；②负数都小于 0；③正数大于全部负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．本题主要考察了有理数大小比较的方法，要娴熟掌握，解答本题的重点是要明确：①正数都大于 0；②负数都小于 0；③正数大于全部负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．2.【答案】B【分析】解：由二次根式存心义的条件可知：x+1≥0，∴x≥-1，应选： B．依据二次根式存心义的条件即可求出当．本题考察二次根式存心义的条件，解题的重点是娴熟运用二次根式存心义的条件，本题属于基础题型．3.【答案】A【分析】解： A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．应选： A．依据轴对称图形与中心对称图形的观点求解．本题考察了中心对称图形与轴对称图形的观点．轴对称图形的重点是找寻对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要找寻对称中心，旋转180 度后两部分重合．4.【答案】D【分析】解： A、为认识一批灯泡的使用寿命，宜采纳抽样检查的方式，因此 A 选项错误；B、利用树状图获取共有正正、正反、反正、反反四种可能的结果数，因此两枚硬币都是正面向上这一事件发生的概率为，因此 B 选项错误；C、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后， 5 点向上是随机事件，因此 C 选项错误；D 、因为 S 甲2， S 乙2，因此甲的方差小于乙的方差，因此甲的射击成绩较稳固，因此 D选项正确．应选： D．依据全面检查与抽样检查的特色对 A 进行判断；利用画树状图求概率可对 B 进行判断；依据必定事件和随机事件的定义对 C 进行判断；依据方差的意义对 D 进行判断．本题考察了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展现全部等可能的结果n，再从中选出切合事件 A或 B 的结果数量 m，而后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率．也考察了统计的有关观点．5.【答案】A【分析】【剖析】依据位似变换的性质、联合图形求出点A、点 B 的坐标，依据线段中点的性质解答．本题考察的是位似变换，在平面直角坐标系中，假如位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或 -k．【解答】解：∵点 C 的坐标为（ -1 ， -2），点 D 的坐标为（ -2， -1），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段CD 扩大为本来的 2 倍，∴点 A 的坐标为（2， 4），点 B 的坐标为（ 4， 2），∵点 E 是线段 AB 的中点，∴点 E 的坐标为（，），即（ 3， 3） .应选： A．6.【答案】C【分析】解：由俯视图可得最基层有 4 个小正方体，依据主视图可得第二层只有右辺一列有 1 个小正方体，则搭成这个几何体的小正方体有4+1=5（个）；应选： C．依据三视图可得这个几何体共有 2 层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图和俯视图可得第二层小正方体的个数，最后相加即可．本题考察了由三视图判断几何体，表现了对空间想象能力方面的考察；掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更简单获取答案．7.【答案】B【分析】解：画树状图为：（用A、B、C 分别表示担当“贾湖骨笛”，“妇好鸮尊”，“云纹铜禁”的解说员）共有 6 种等可能的结果数，此中”贾湖骨笛”未被抽到的结果数为2，因此贾湖骨笛”未被抽到的概率= = ．应选： B．画树状图为（用 A、 B、C 分别表示担当“贾湖骨笛”，“妇好鸮尊”，“云纹铜禁”的解说员）展现全部 6 种等可能的结果数，再找出”贾湖骨笛”未被抽到的结果数，而后依据概率公式求解．本题考察了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展现全部等可能的结果n，再从中选出切合事件 A 或 B 的结果数量m，而后利用概率公式求事件 A 或 B 的概率．8.【答案】D【分析】解：当 x＜- x，即 x＜ 0 时，所求方程变形得： -x= ，2去分母得： x +2x+1=0 ，即 x=-1 ；当 x＞ -x，即 x＞ 0 时，所求方程变形得： x= ，即 x2 -2x=1，解得： x=1+ 或 x=1- （舍去），经查验 x=-1 与 x=1+都为分式方程的解．应选： D．依据 x 与 -x 的大小关系，取x 与 -x 中的最大值化简所求方程，求出解即可．本题考察认识分式方程，解分式方程的基本思想是“转变思想”，把分式方程转变为整式方程求解．解分式方程必定注意要验根．9.【答案】B【分析】解：如图，分别作∠A 与∠B 角均分线，交点为 P．∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，∴AP 与 BP 为 CD、 CE 垂直均分线．又∵圆心 O 在 CD 、CE 垂直均分线上，∴∠OAB=∠OBA=30 °，则交点 P 与圆心 O 重合，即圆心 O 是一个定点．连结 OC．若半径 OC 最短，则 OC⊥AB．又∵∠OAC=∠OBC=30°，AB =6，∴OA=OB，∴AC=BC =3，∴在直角△AOC 中， OC=AC?tan∠OAC=3 ×tan30 =° ．应选： B．分别作∠A 与∠B 角均分线，交点为P．由三线合一可知 AP 与 BP 为 CD 、 CE 垂直均分线；再由垂径定理可知圆心O 在 CD 、CE 垂直均分线上，则交点P 与圆心 O 重合，即圆心 O 是一个定点；连 OC，若半径 OC 最短，则 OC⊥AB ，由△AOB 为底边 4，底角 30°的等腰三角形，可求得 OC= ．本题考察了三角形的外接圆与外心，需要掌握等边三角形的“三线合一”的性质，三角形的外接圆圆心为三角形的垂心，点到直线的距离垂线段最短以及解直角三角形等知识点．难度不大，注意数形联合数学思想的应用．10.【答案】C【分析】解：关于随意非零实数a，抛物线y=a（x+2）（x-1）必定过点（-2，0），（1，0），当 x0-3=-2 时， x0-5=-4 ，当 x0-3=1 时， x0-5=-1 ，即关于随意非零实数a，抛物线 y=a（ x+2）（ x-1）总不经过点（-2， -4），（ 1， -1），当 x0-5=0 时， x0=5 ，此时 x0-3=2 ，当 x=2 时， y=4a，∵a 为非零实数，则 4a≠0，∴关于随意非零实数 a，抛物线 y=a（ x+2 ）（ x-1）总不经过点（ 2， 0），应选： C．依据题目中的函数分析式可知该函数必定过点（ -2， 0），（ 1， 0），再与点 P 中横纵坐标成立关系，即可解答本题．本题考察二次函数图象上点的坐标特色，解答本题的重点是明确题意，利用二次函数的性质解答．11.【答案】100【分析】解：将数据从小到大排序得：90、 95、100、 100、 105，处在中间地点的，即第 3 个数就是中位数，中位数是100．故答案为： 100．依据中位数的意义，将数据从小到大排序后，处在中间地点的数就是中位数，一共 5 个数，排序后找出处在第 3 位的数即可．考察中位数的意义及求法，中位数反应一组数据的集中变化趋向，一组数据在中位数之上的有一半，以下的有一半．12.【答案】【分析】解：原式 =-==，故答案为：依据分式的运算法例即可求出答案．本题考察分式的运算法例，解题的重点是娴熟运用分式的运算法例，本题属于基础题型．13.【答案】66°【分析】解：∵?ABCD，∴∠A=∠C， AD∥BC， AB∥CD ，∴∠ADF =∠FBC ，∠ABD=∠BDC =81 °，∵EF=FD ，∴∠FED =∠FDE ，由折叠得：∠ABD=∠DBF = ∠ABD =40.5 °，∠A=∠DFB ，设∠C=x，则∠DBC =∠ADB= x，在△BDC 中，由内角和定理得：81°+x+ x=180 °，解得： x=66°，故答案为： 66°．折叠就有全等形，就有相等的边和角，平行四边形的性质，和等腰三角形的性质，能够把要求的角转变在一个三角形中，由三角形的内角和列方程解得即可．考察平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和等知识，设适合的未知数，将问题转变到一个三角形中，利用内角和定理列方程解答是常用的方法．14.【答案】-8【分析】解：过 H 作 HE ⊥BC 于点 E，连结 BH ， AH，如图，∵B（ 2， 0）， C（ 6， 0），∴BC=4 ，∴BE= BC =2，∴OE=OB+BE=2+2=4 ，又⊙ H 与 y 轴切于点A，∴AH ⊥y 轴，∴AH =OE=4，∴BH =4，在 Rt△BEH 中， BE=2， BH=4，∴HE =2 ，∴H 点坐标为（ 4， -2 ），∵y= 经过圆心 H ，∴k=-8，故答案为： -8．过 H 作 HE ⊥BC 于点 E，可求得 E 点坐标和圆的半径，连结BH ，在 Rt△BEH 中，可求得 HE 的长，可求得H 点坐标，代入双曲线分析式可求得k．本题主要考察切线的性质和垂径定理，由条件求得圆的半径从而求得 H 点的坐标是解题的重点．15.【答案】【分析】解：∵AB =BC=4，∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=∠BCA =60 °， AB=BC=AC=4，过点 B 作∠ABF=∠CBD ，交 AC 于 F，作 BN⊥AC 于 N，以下图：则 AN=CN=2 ， BN= AB=2 ，在△ABF 和△CBE 中，，∴△ABF ≌△CBE（ASA），∴AF=CE=1，∴CF=3， FE=AC-AF -CE=4-1-1=2 ， FN =EN= EF=1，∴BF=BE，BF===，∴∠BFE=∠BEF ，∵∠ABD+∠BCD =180 °，∴∠ABD=∠CBD +∠CDB ，∵∠ABD=∠ABF +∠FBE=∠CBD +∠FBE，∴∠FBE=∠CDB ，∴BF ∥CD ，∴△FEB ∽△CED，∴===，∴CD = BF=，连结 FD 并延伸交BC 的延伸线于M，则 CD 是△BFM 的中位线，∴DM =DF ，∵H 为 BD 的中点，∴CH 是△BDM 的中位线，∴CH= DM = DF ，∵BF ∥CD ， ∴∠DCE=∠BFE ， ∵∠BEF=∠DEC ， ∴∠DCE=∠DEC ，∴DC =DE = ， 作 DG ⊥AC 于 G ， ∴CG=EG= CE= ，∴FG =EF+EG= ， DG = = = ，∴DF = ==，∴CH= DF= ；故答案为：．证明 △ABC 是等边三角形，得出 ∠BAC=∠BCA=60°， AB=BC=AC=4，过点 B 作 ∠ABF=∠CBD ，交 AC 于 F ，作 BN ⊥AC 于 N ，则 AN=CN=2， BN= AB=2，证明△ABF ≌△CBE （ASA ），得出 AF=CE=1，求出 CF=3，FE=AC-AF -CE=2，FN=EN= EF=1， 得出 BF=BE ，得出 ∠BFE=∠BEF ，证出 BF ∥CD ，得出 △FEB ∽△CED ，得出 ===，求出 CD = BF= ，连结 FD 并延伸交 BC 的延伸线于 M ，则 CD 是 △BFM的中位线，得出 DM =DF ，证明 CH 是△BDM 的中位线，得出 CH = DM = DF ，证明 DC=DE ，作 DG ⊥AC于 G ，的 CG=EG= CE = ，得出 FG =EF+EG= ，由勾股定理得出DG= = ，DF = = ，即可得出答案．本题考察了全等三角形的判断与性质、 等边三角形的判断与性质、 等腰三角形的判断与性质、勾股定理、 三角形中位线定理、 相像三角形的判断与性质等知识； 本题综合性强，证明三角形全等和三角形相像是解题的重点．2 3 6 2 416.【答案】 解：（ 2a ）-7a +a ?a666=8 a -7a +a【分析】 依据积的乘方法例、归并同类项法例计算即可．本题考察的是幂的乘方与积的乘方、归并同类项，积的乘方法例：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．17【.答案】证明：如图，过点 E 作 EF ∥AB ，则 ∠1+ ∠MEF =180 °，∵∠1+∠MEN+∠2=360 °， ∴∠FEN+∠2=180 °，∴EF ∥CD （同旁内角互补，两直线平行），又∵EF ∥AB，∴AB∥CD ．【分析】过点 E 作 EF ∥AB，可得∠1+ ∠MEF =180°，再依据∠1+∠MEN+∠2=360°，可得∠FEN+∠2=180 °，依据同旁内角互补，可得出EF ∥CD ，从而获取AB∥CD．本题主要考察了平行线的判断，重点是掌握：同旁内角互补，两直线平行．18.【答案】解：（1）依据题意得：A级人数为4人，A级所占比率为10%，4÷10%=40（人），答：本次参加校园安全知识测试的学生有40 人，（ 2）依据题意得： B 级人数为14 人，总人数为 40，B 级所占的比率为×100%=35% ，B 级所在的扇形圆心角的度数为360 °×35%=126°，C 级人数为 40×50%=20 （人），D级人数为 40-4-14-20=2 （人），补全折线统计图以以下图所示：（3） A、 B、C 三级人数为 4+14+20=38 ，A、 B、 C 三级人数所占比率为×100%=95% ，该校达到及格和及格以上的学生人数为：1000×95%=950（人），答：该校达到及格和及格以上的学生为950 人．【分析】（ 1）依据总人数 =A 级人数÷A 级所占比率即可；（ 2）B 级所占比率 =B 级人数÷总人数， B 级所在的扇形圆心角的度数=360°×B 级所占的比率，由图象可知， C 级所占的比率为50%，算出 C 级人数，从而算出 D 级人数，补全折线统计图即可；（ 3）依据（ 1）（ 2）的结果计算出A、 B、 C 三级人数及所占比率，1000×A、 B、C 所占比率即为所求答案．本题考察折线统计图，用样本预计整体，扇形统计图，掌握知识点概率=所讨状况数与总状况数之比是解题的重点．19.【答案】解：（1 A'B'C'）如图，△即为所求．（ 2）取 AB 的中点 P 即可．点P 以下图．原因：作PE ⊥AC 于 E，PF ⊥BC 于 F．易证 PE= BC= ， PF= AC= ，∴PE+PF= + =4．【分析】（ 1）分别作出A， C 的对应点 A′， C′即可．（2）取格点 G， H ，连结 GH 交 AB 于点 P，此时 PA=PB，点 P 即为所求．本题考察作图 -旋转变换，点到直线的距离等知识，解题的重点是灵巧运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】解：（1）连结OB，则OA=OB．如图1，∵OP ⊥AB，∴AC=BC ，∴OP 是 AB 的垂直均分线，∴PA=PB．在△PAO 和△PBO 中，∵，∴△PAO≌△PBO（ SSS），∴∠PBO=∠PAO．∵PB 为⊙ O 的切线， B 为切点，∴∠PBO=90 °，∴∠PAO=90 °，即 PA⊥OA ，∴PA 是⊙ O 的切线；（ 2）连结 BE．如图 2，∵在 Rt△AOC 中， tan∠BAD=tan∠CAO= = ，且 OC=4 ，∴AC=6 ，则 BC=6．在 Rt△APO 中，∵AC⊥OP，∴△PAC∽△AOC，∴AC 2=OC?PC，解得 PC=9 ，∴OP=PC+OC=13．在 Rt△PBC 中，由勾股定理，得 PB= =3，∵AC=BC ，OA=OE，即 OC 为△ABE 的中位线．∴OC= BE， OC∥BE ，∴BE=2OC=8．∵BE∥OP，∴△DBE∽△DPO ，∴=，即=，解得 BD=．【分析】（ 1）连结 OB，由 SSS证明△PAO≌△PBO ，得出∠PAO=∠PBO=90°即可；（2）连结 BE，证明△PAC ∽△AOC，证出 OC 是△ABE 的中位线，由三角形中位线定理得出 BE=2 OC，由△DBE ∽△DPO 可求出．本题考察了切线的判断与性质、全等三角形的判断与性质、相像三角形的判断和性质、三角形中位线定理等知识；娴熟掌握切线的判断，能够经过作协助线将所求的角转移到相应的直角三角形中是解答问题（2）的重点．21.【答案】解：（1）假定p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，则，解得： k=-30 ，b=1500，∴p=-30x+1500 ，查验：当x=35 ， p=450；当 x=45， p=150；当 x=50， p=0，切合一次函数分析式，∴所求的函数关系为p=-30x+1500 ；（2）设日销售收益 w=p（ x-30） =（ -30x+1500）（ x-30）即 w=-30x2 +2400x-45000，∴当 x=-=40 时， w 有最大值3000 元，故这批农产品的销售价钱定为40 元，才能使日销售收益最大；（3）日赢利 w=p（ x-30-a） =（ -30x+1500）（ x-30-a），即 w=-30x2 +（2400+30 a） x-（ 1500a+45000 ），对称轴为 x=- =40+ a，①若 a＞ 10，则当 x=45 时， w 有最大值，即 w=2250-150a＜ 2430（不合题意）；②若 0<a＜ 10，则当 x=40+ a 时， w 有最大值，将 x=40+ a 代入，可得 w=30 （ a2-10a+100 ），当 w=2430 时， 2430=30（ a2 -10a+100），解得 a1=2，a2=38（舍去），综上所述， a 的值为 2．【分析】（ 1）第一依据表中的数据，可猜想y 与 x 是一次函数关系，任选两点求表达式，再考证猜想的正确性；（ 2）依据题意列出日销售收益w 与销售价钱 x 之间的函数关系式，依据二次函数的性质确立最大值即可；（ 3）依据题意列出日销售收益w 与销售价钱 x 之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种状况进行议论，依照二次函数的性质求得 a 的值．本题主要考察了二次函数的综合应用，解题时要利用图表中的信息，学会用待定系数法求解函数分析式，并将实质问题转变为求函数最值问题，从而来解决实质问题．22.【答案】解：（1）∵∠DAB +∠ABC=180°，∴AD ∥BC，∴= ，∵tan∠C=，∴，∴AD =AB ．（2）①在图 2 中，过 D 作 DH ⊥BC 于 H ，延伸 BE 交 AD 延伸线于 G，易证 ABHD 为正方形，设其边长为 a， DG=b，∵AG∥BC，∴，∵AF=FC ，∴AG=BC，∴四边形 ABCG 是平行四边形，∵∠ABC=90 °∴四边形 ABCG 是矩形，∴FB=FC ，∠BCG=∠AGC=90 °，∴∠FBC=∠FCB ，∵∠FBC+∠BC， E=90 °，∠BCE+∠ECG =90 °，∴∠ECG=∠FBC ，∴∠DCG=∠ACB，∵∠ABC=∠DGC =90 °∴△ABC∽△DGC ，∴，∴，∴a2-ab- b2 =0，∴a=（或a=舍弃），∵DG ∥BC，∴= ===，②由 1 可知四边形ABHD 是正方形，∵∠BDC=75 °，∠BDH =45 °，∴∠HDC =∠DCG =30 °，∵∠DGC=90 °，∴∠CDG=60 °，∠DGE =30 °，设 CH=m，则 DC=2CH =2m， BH =DH = m∴EC= BC= （m+ m）， DE =DC -CE=2m- （ m+ m），∴==．1）依据AD BC得=，又tan C=故AD =AB．【分析】（∥∠故（2）①在图 2 中，过 D 作 DH ⊥BC 于 H ，延伸 BE 交 AD 延伸线于 G，易证 ABHD 为正方形，设其边长为 a， DG=b，依据△ABC∽△DGC ，获取 a、 b 的关系即可解决问题．②依据条件推出∠HDC =∠DCG =30°即可解决问题．本题考察正方形的判断和性质、相像三角形的判断和性质、勾股定理等知识，增添协助线结构特别图形是解决问题的重点．23.【答案】6【分析】解：（ 1）AB =t-（ t-6） =6 ，故答案为6．（ 2）如图 1 中，由题意 C[0， t（ t-6 ） ] ，设抛物线的分析式为y=a（ x-t）（ x-t+6），把点 C 坐标代入，t（ t-6） =at（ t-6），∵t≠0， t≠6，∴a= ，∴抛物线的分析式为y= （ x-t）（ x-t+6）= x2-（ t- ） x+ t2 - t．∵点 P 是抛物线上 x 轴下方的一个动点，∴当点 P 是极点时，△PAB 的面积最大，作PE×⊥AB 于 E，∵点 P 的纵坐标为=- ，∴PE= ，PAB = ×AB PE=．∴△的面积的最大值?（ 3）如图 3 中，设直线l 与 BC 平行，且和抛物线只有一个交点M ，直线 l 交 y 轴于 F ．∵∠ACO=∠CBO ，∠AOC=∠COB ，∴△OAC∽△OCB，∴CO2=OA?OB，2 2∴t （ t-6） =t （ t-6），∵t≠0， t≠6，∴t（t -6） =16，解得 t=-2 或 8（舍弃），∴A（ -2， 0）， B（-8， 0）， C（ 0， 4），∴直线 BC 的分析式为y= x+4 ，设直线l 的分析式为y= x+b，由，消去 y 获取： x2+8x+16-4b=0，由题意△=0， 64-64+16b=0，解得 b=0，∴直线 l 的分析式为 y= x，此时 F 与原点 O 重合，S△BCM=S△BCO= ×4×8=16 ，在点 C 的上方取一点E，使得 OF =OE=4，过 E 作直线 l′ ∥BC，当点 P 在 y 轴左边直线l ′上方时，关于每一个m 的值，都有独一确立的点P 和它对应，∴m＞ 16．（1）用点 A 的横坐标减去点 B 的横坐标即可；（ 2）当点 P 是极点时，△PAB 的面积最大，作 PE×⊥AB 于 E，求出点 P 的纵坐标即可解决问题；（3）如图 3 中，设直线 l 与 BC 平行，且和抛物线只有一个交点M，直线 l 交 y 轴于 F ．首先求出直线 l 的分析式和点 F 的坐标，求出△BCF 的面积，再依据对称性即可解决问题；本题考察二次函数综合题、一次函数的应用、一元二次方程、相像三角形的判断和性质、待定系数法等知识，解题的重点是灵巧运用所学知识解决问题，学会利用参数建立方程解决问题，本题表现了数形联合的思想，学会利用图象解决问题，属于中考压轴题．。
2024学年湖北武汉市华中师大一附中高三(高补班)下学期第三次月考数学试题试卷
2024学年湖北武汉市华中师大一附中高三（高补班）下学期第三次月考数学试题试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）2．已知函数()f x 是奇函数，且22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，若对11[,]62x ∀∈，(1)(1)f ax f x +<-恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(3,1)--B ．(4,1)--C ．(3,0)-D ．(4,0)-3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）A ．800B ．1000C ．1200D ．16004．已知0a >，若对任意()0,m ∈+∞，关于x 的不等式()()1e ln 11exaxx m m --<-+-（e 为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3e e,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦B ．3e ,2e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭C ．3e 0,2e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦D ．3e ,2e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭5．已知12log 13a =131412,13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 14c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b c a >>D ．a c b >>6．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（ ） ABC．D7．下列说法正确的是（ ）A ．命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀>，2sin x x >”B ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥则//αβC ．随机变量ξ服从正态分布()21,N σ（0σ>），若(01)0.4P ξ<<=，则(0)0.8P ξ>= D ．设x 是实数，“0x <”是“11x<”的充分不必要条件 8．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.9．已知符号函数sgnx 100010x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩，＞，，＜f （x ）是定义在R 上的减函数，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）（a ＞1），则（ ）A ．sgn [g （x ）]＝sgn xB ．sgn [g （x ）]＝﹣sgnxC ．sgn [g （x ）]＝sgn [f （x ）]D ．sgn [g （x ）]＝﹣sgn [f （x ）]10．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40B ．-20C ．20D ．4011．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x ∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ） A ．﹣3∈A B ．3∉B C ．A∩B=B D ．A ∪B=B 12．函数()22xf x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
全网答案解析 重点高中初升高自主招生 湖北省武汉市华师一附中自主招生考试数学试卷
故答案为甲、乙．
【点评】本题考查了加权成绩的计算．平均数等于所有数据的和除以数据的个数．
9．已知点 A 是一次函数 y=x 的图象与反比例函数 y= 的图象在第一象限内的交点，点 B 在 x 轴的负半
3．某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游．甲旅行社告知：父母买全票，女儿按半价优 惠；乙旅行社告知：家庭旅行可按团体票计价，即每人均按八折收费．若这两家旅行社每人的原标价相 同，那么（ ） A．甲比乙更优惠 B．乙比甲更优惠 C．甲与乙相同 D．与原标价有关
4．如图，∠ACB=60°，半径为 2 的⊙O 切 BC 于点 C，若将⊙O 在 CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与 CA 也相切时，圆心 O 移动的水平距离为（ ）
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【解答】解：①实数包括有理数和无理数，故说法正确； ②当 a≤0 时，a+a≤a，故选项错误； ③正数的平方根由两个，且互为相反数，故说法正确； ④实数可分为：正数、负数和 0、非负数即正数和 0，故说法错误； ⑤中，两个互为相反数的无理数和为 0，故说法错误．此题共有①和③正确，故选 B． 【点评】此题主要考查了实数的分类和性质，解答此题应熟知以下概念：（1）实数包括有理数和无理数； 实数可分为正数、负数和 0；（2）正数的平方根由两个，且互为相反数．
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萧绯 初升高自主招生收藏卷
15．（12 分）（2005•河南）某公司为了扩大经营，决定购进 6 台机器用于生产某种活塞．现有甲、乙两
种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机
器所耗资金不能超过 34 万元．
甲
乙
价格（万元/台）7
5
每台日产量 100
2020华一高数学分配生试卷
数学试题考试时间：90分钟 卷面满分：100分说明：所有答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
其中，将所有选择题答案用2B 铅笔在相应位置涂黑。
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．在数轴上和有理数a ，b ，c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论： ①220a a --<； ②||||||a b b c a c -+-=-； ③()()()0a b b c c a +++>； ④||1a bc <-． 其中正确的结论有（ ）个 A ．4B ．3C ．2D ．12．已知a ，b ，c 分别是Rt △ABC 的三条边长，c 为斜边长，90C ∠=︒，我们把关于x 的形如a by x c c=+的一次函数称为“勾股一次函数”．若点(P -在“勾股一次函数”的图象上，且Rt △ABC 的面积是4，则c 的值是 A． B ．24 C． D ．123．5G 时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了2019年手机市场每月出货量以及与2018年当月同比增长的情况，得到如下统计图：根据该统计图，下列说法错误．．的是 A ．2019年全年手机市场出货量中，5月份出货量最多B ．2019年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小C ．2019年全年手机市场总出货量低于2018年全年总出货量D ．2018年12月的手机出货量低于当年8月手机出货量11-a b c-24-12 0 12 24 单位 ： %单 位 ： 万 部3653 3829.4 (万部)当月同比(%)2019年中国手机市场出货量统计及同比增长情况4．已知函数21y x x =+-在1m x ≤≤上的最大值是1，最小值是54-，则m 的取值范围是 A ．2m ≥- B ．102m ≤≤C ．122m -≤≤-D ．12m ≤- 5．如图，△AOB 中，90AOB ∠=︒，4AO =，8BO =，△AOB 绕点O 逆时针旋转到△''A OB 处，此时线段''A B 与BO 的交点E 为BO 的中点，则线段'B E 的长度为 A． BCD6．如图1，在矩形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A B C →→方向运动，当点M 到达点C 时停止运动，过点M 作MN AM ⊥交CD 于点N ，设点M 的运动路程为x ，CN y =，图2表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，则矩形ABCD 的面积是图1A ．24B ．20C ．12D ．10二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）7．2020年某校将迎来70周年校庆，学校安排3位男老师和2位女老师一起筹办大型文艺晚会，并随机地从中抽取2位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为 ． 8．在△ABC 中，AB AC =，若4cos 5A =，则BCAB= ． 9．如图1是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用2020个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 ．（结果用,m n 表示）ABOA 'B 'E图1图210．如图，在平面直角坐标系中，矩形MNPQ 的顶点M ，N 分别在x 轴，y 轴正半轴上滑动，顶点P 、Q 在第一象限，若8MN =，4PN =，在滑动过程中，点P 与坐标原点O 的距离的最大值为 ．第10题图 第11题图第12题图11．如图，已知直线(0)y kx k =>分别交反比例函数1y x =和4y x=在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，交1y x=的图象于点C ，连接AC ．若△ABC 是等腰三角形，则k 的值是__________．12．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点M 在CD 边上，且1DM =，△AEM 与△ADM 关于AM 所在直线对称，将△ADM 按顺时针方向绕点A 旋转90︒得到△ABF ，连接EF ，则线段EF 的长为 ．三、解答题（本大题共4小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程） 13．（本小题满分12分）（1）已知关于x 的方程22(21)0x k x k --+=有两个实根x 1, x 2，且满足1212||||2x x x x --=，求实数k 的值； （2）已知0a b <<，且6a b b a +=，求3()a b b a+-的值．14．（本小题满分12分）习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A 、B （1）已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m 2，如何分配A 、B 两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？（2）当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可以近似的表示为：321805040,014431072000, 144300x x x x y x x ⎧-+≤<⎪=⎨⎪+≤<⎩，若每个B 型处理点的垃圾月处理量是A 型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A 型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨．．垃圾．．的月处理成本最低？（精确到0.1）15．（本小题满分14分）已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝5，点E 是AD 边上一动点，连接BE 、CE ，以BE 为直径作⊙O ，交BC 于点F ，过点F 作FH ⊥CE 于H ． （1）当直线FH 与⊙O 相切时，求AE 的长； （2）当FH ∥BE 时，求的长；（3）若线段FH 交⊙O 于点G ，在点E 运动过程中，△OFG 能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE 的长；如果不能，说明理由．16．（本小题满分14分）如图①，已知抛物线2y ax c =++(0a ≠)与x 轴交于点A (1,0)-，与y 轴交于点C ，点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，连接CD ，过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，过点A 作AE ⊥AC 交DH 的延长线于点E ． （1）填空：a = ，c = ； （2）求线段DE 的长度；（3）如图②，点F 是线段AE 上的点，P 是线段DE 上的点，且点M 为直线PF 上方抛物线上的一点，当△CPF 的周长最小时，求△MPF 面积的最大值．AE图②图①。
2023-2024学年湖北省武汉市华中师大一附中高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年湖北省武汉市华中师大一附中高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足z +zi ＝2，则z +i 的模为（ ） A ．1B ．2C ．5D ．√52．已知集合A ＝{x |2x ＞4}，B ＝{x ∈Z |log 2x ＜3}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．（0，2）B ．（0，2]C ．{1，2}D ．（1，2]3．在△ABC 中，“A ＞π6”是“sinA ＞12”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）的图象的一部分如图1，则图2中的函数图像对应的函数是（ ）A ．y =f(2x −12)B ．y =f(x 2−12)C ．y =f(x2−1)D ．y ＝f （2x ﹣1）5．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，AC →⋅BF →=（ ） A ．﹣6B ．−2√3C ．2√3D ．66．在声学中，音量被定义为：L p =20lgp p 0，其中L p 是音量（单位为dB ），p 0是基准声压为2×10﹣5p a ，p 是实际声音压强．人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值．经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中240Hz 对应的听觉下限阈值为20dB ，1000Hz 对应的听觉下限阈值为0dB ，则下列结论正确的是（ ）A．音量同为20dB的声音，30～100Hz的低频比1000～10000Hz的高频更容易被人们听到B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小C．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002PaD．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍7．若实数a，b，c满足e a+a=lnb+b=√c+c=sin1，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c8．已知函数f(x)=sinωx+√3cosωx(ω＞0)在区间[π6，π2]上恰有两个极值点，且f(π6)+f(π2)=0，则ω的值可以是（）A．6B．7C．8D．9二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数f（x）及其导函数f'（x）的部分图象如图所示，设函数g(x)=f(x)，则g（x）（）e xA．在区间（a，b）上是减函数B．在区间（a，b）上是增函数C．在x＝a时取极小值D．在x＝b时取极小值10．已知a＞0，b＞0，a≠b，且a+b＝2，则（）A．1a+1b＞2B．1a2+1b2＞2C．2a+2b＞2D．log2a+log2b＞211．若函数f（x）＝sin（cos x）+a tan x在区间（0，nπ）有2024个零点，则整数n可以是（）A．2022B．2023C．2024D．202512．已知定义在R上的函数y＝f（x）图像上任意一点（x，y）均满足e y−sinx−e x2023=e sinx−y−e−x2023，且对任意x∈（0，+∞），都有f（x﹣ae2x﹣1）+f（xlnx）＜0恒成立，则下列说法正确的是（）A．f（x）＝sin x﹣x2023B．f（x）是奇函数C．f（x）是增函数D．a＞1e三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分13．若直线y＝x+a与曲线y＝e x﹣1﹣b+1相切，则a+b＝．14．杭州第19届亚洲运动会，于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴．已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的13，内环所在圆的半径为1，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1，则该扇面的面积为．15．一只钟表的时针OA与分针OB长度分别为3和4，设0点为0时刻，则△OAB的面积S关于时间t （单位：时）的函数解析式为，一昼夜内（即t∈[0，24]时），S取得最大值的次数为．16．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，BD＝4，∠ADC＝2∠ABC＝120°，则△ABC面积的最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知f(x)=2sinxsin(x+π3)．（1）求f（x）的单调递增区间与对称中心；（2）当x∈[0，a]时，f（x）的取值范围为[0，32]，求实数a的取值范围．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c=2asin(C+π6)．（1）求A的值；（2）若∠BAC的平分线与BC交于点D，AD＝2√3，求△ABC面积的最小值．19．（12分）已知函数f（x）＝log a x﹣x3（a＞0且a≠1），（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有最大值13loga23−23，求实数a的值．20．（12分）某城市平面示意图为四边形ABCD（如图所示），其中△ACD内的区域为居民区，△ABC内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段AB和线段AD上分别选一处位置，分别记为点E和点F，修建一条贯穿两块区域的直线道路EF，线段EF与线段AC交于点G，EG段和GF段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段AG长2公里，线段AB和线段AD长均为6公里，AB⊥AC，∠CAD=π6，设∠AEG＝θ．（1）求修建道路的总费用y（单位：万元）与θ的关系式（不用求θ的范围）；（2）求修建道路的总费用y的最小值．21．（12分）已知函数f（x）＝e x+sin x﹣x sin x，x∈[﹣π，0]．（1）求f（x）的零点个数；（2）若4k﹣f（x）≤0恒成立，求整数k的最大值．22．（12分）已知函数f(x)=e xx2−k(2x+lnx)有三个极值点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．（1）求实数k的取值范围；（2）若2是f（x）的一个极大值点，证明：f(x3)−f(x1)x3−x1＜k2e−k．2023-2024学年湖北省武汉市华中师大一附中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足z +zi ＝2，则z +i 的模为（ ） A ．1B ．2C ．5D ．√5解：z +zi ＝2，则z （1+i ）＝2，故z =21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i ， z =1+i ，|z +i|=|1+2i|=√12+22=√5． 故选：D ．2．已知集合A ＝{x |2x ＞4}，B ＝{x ∈Z |log 2x ＜3}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．（0，2）B ．（0，2]C ．{1，2}D ．（1，2]解：A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x ∈Z |0＜x ＜8}＝{1，2，3，4，5，6，7}， ∴∁R A ＝{x |x ≤2}，（∁R A ）∩B ＝{1，2}． 故选：C ．3．在△ABC 中，“A ＞π6”是“sinA ＞12”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：在△ABC 中，A ∈（0，π）， 由sinA ＞12，可得π6＜A ＜5π6，因为{A |π6＜A ＜5π6}⫋{A |A ＞π6}，所以“A ＞π6”是“sinA ＞12”的必要不充分条件．故选：B ．4．已知函数f （x ）＝sin ωx （ω＞0）的图象的一部分如图1，则图2中的函数图像对应的函数是（ ）A ．y =f(2x −12)B ．y =f(x 2−12)C ．y =f(x2−1)D ．y ＝f （2x ﹣1）解：图1的横坐标先缩短为原来的12，再向右平移12个单位长度，纵坐标均不改变，可得到图2对应的图象，所以图2对应的函数解析式为y ＝f （2x ﹣1）． 故选：D ．5．在边长为2的正六边形ABCDEF 中，AC →⋅BF →=（ ） A ．﹣6B ．−2√3C ．2√3D ．6解：如图：边长为2的正六边形ABCDEF ， AC →=AB →+BC →，BF →=BA →+AF →，AF →=CD →则AC →⋅BF →=−AB →2+AB →⋅AF →+BC →⋅BA →+BC →•CD →=− 22+2×2×cos120°+2×2×cos120°﹣2×2×cos120°＝﹣6． 故选：A ．6．在声学中，音量被定义为：L p =20lgp p 0，其中L p 是音量（单位为dB ），p 0是基准声压为2×10﹣5p a ，p 是实际声音压强．人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值．经过研究表明，人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值，如图所示，其中240Hz 对应的听觉下限阈值为20dB ，1000Hz 对应的听觉下限阈值为0dB ，则下列结论正确的是（ ）A．音量同为20dB的声音，30～100Hz的低频比1000～10000Hz的高频更容易被人们听到B．听觉下限阈值随声音频率的增大而减小C．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为0.002PaD．240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍解：对于A，30～100Hz的低频对应图像的听觉下限阈值高于20dB，1000～10000Hz的高频对应的听觉下限阈值低于20dB，所以对比高频更容易被听到，故A错误；对于B，从图像上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故B错误；对于C，240Hz对应的听觉下限阈值为20dB，P0=2×10−5Pa，令L p=20lg pp0=20，此时p＝10p0＝0.0002Pa，故C错误；对于D，1000Hz的听觉下限阈值为0dB，令L p=20lg pp0=0，此时p＝p0，所以240Hz的听觉下限阈值的实际声压为1000Hz的听觉下限阈值实际声压的10倍，故D正确．故选：D．7．若实数a，b，c满足e a+a=lnb+b=√c+c=sin1，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜a＜c解：因为0＜sin1＜1，当x＞0时，设f（x）＝e x﹣x﹣1，则f'（x）＝e x﹣1，易知当x＝0时，f'（0）＝e0﹣1＝0，当x＞0时，f（x）单调递增，所以e x≥x+1（x＞0），所以sin1＝e a+a≥a+1+a⇒a＜0，由已知可得b＞0，因为0＜sin1＜1，所以0＜b＜1；lnb＜0，所以b＝sin1﹣lnb，因为√c≥0⇒c≥0，所以c=sin1−√c＜b，故a＜c＜b．故选：A．8．已知函数f(x)=sinωx+√3cosωx(ω＞0)在区间[π6，π2]上恰有两个极值点，且f(π6)+f(π2)=0，则ω的值可以是（）A．6B．7C．8D．9解：f(x)=sinωx+√3cosωx=2sin(ωx+π3 )，当ω＝6时，f(x)=2sin(6x+π3)f(π6)+f(π2)=2sin(π+π3)+2sin(3π+π3)=−√3+(−√3)≠0，A选项错误；当ω＝7时，f(x)=2sin(7x +π3)f(π6)+f(π2)=2sin(7π6+π3)+2sin(7π2+π3)=−2+(−1)≠0，B 选项错误；当ω＝8时，f(x)=2sin(8x +π3)f(π6)+f(π2)=2sin(8π6+π3)+2sin(8π2+π3)=−√3+√3=0，x ∈[π6，π2]，8x +π3∈[5π3，13π3]，f(x)=2sin(8x +π3)恰有两个极值点，C 选项正确；当ω＝9时，f(x)=2sin(9x +π3)f(π6)+f(π2)=2sin(9π6+π3)+2sin(9π2+π3)=−1+1=0，x ∈[π6，π2]，9x +π3∈[11π6，29π6]，f(x)=2sin(9x +π3)恰有三个极值点，D 选项错误．故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数f （x ）及其导函数f '（x ）的部分图象如图所示，设函数g(x)=f(x)e x，则g （x ）（ ）A ．在区间（a ，b ）上是减函数B ．在区间（a ，b ）上是增函数C ．在x ＝a 时取极小值D ．在x ＝b 时取极小值解：由图象知，当x ＜a 时，f （x ）﹣f ′（x ）＞0；当a ＜x ＜b 时，f （x ）﹣f ′（x ）＜0； 当x ＞b 时，f （x ）﹣f ′（x ）＞0， 已知g(x)=f(x)e x，函数定义域为R ， 可得g ′(x)=f′(x)−f(x)e x， 因为e x ＞0，所以当x ＜a 时，g ′(x)=f′(x)−f(x)e x＜0，g （x ）单调递减； 当a ＜x ＜b 时，g ′(x)=f′(x)−f(x)e x＞0，g （x ）单调递增； 当x ＞b 时，g ′(x)=f′(x)−f(x)e x＜0，g （x ）单调递减， 所以函数g （x ）在x ＝a 处取得极小值，在x ＝b 处取得极大值， 故选：BC ．10．已知a＞0，b＞0，a≠b，且a+b＝2，则（）A．1a+1b＞2B．1a2+1b2＞2C．2a+2b＞2D．log2a+log2b＞2解：因为a＞0，b＞0，a≠b，且a+b＝2，所以1a+1b=（a+ba+a+bb）×12=12（2+ba+ab）≥12(2+2√ba⋅ab)=2，当且仅当a＝b＝1时取等号，显然等号无法取得，A正确；因为ab≤(a+b2)2=1，显然等号无法取得，故1a2+1b2＞2√1a2b2=2ab＞2，B正确；2a+2b＞2√2a⋅2b=2√2a+b=4，C正确；log2a+log2b＝log2（ab）＜log21＝0，D错误．故选：ABC．11．若函数f（x）＝sin（cos x）+a tan x在区间（0，nπ）有2024个零点，则整数n可以是（）A．2022B．2023C．2024D．2025解：令f（x）＝sin（cos x）+a tan x＝0，则sin（cos x）＝﹣a tan x，对于函数g（x）＝sin（cos x），由cos x∈[﹣1，1]，可知g（x）＝sin（cos x）∈[﹣sin1，sin1]，因为g（x+2π）＝sin[cos（x+2π）]＝sin（cos x）＝g（x），且g（2π﹣x）＝sin[cos（2π﹣x）]＝sin（cos x）＝g（x），g（x）的周期为2π，且关于直线x＝π对称，又因为g'（x）＝﹣cos（cos x）sin x，当x∈[0，π]，则cos x∈[﹣1，1]，sin x∈[0，1]，且cos（cos x）＞0，可知g′（x）＝﹣cos（cos x）sin x≤0，则g（x）在[0，π]上单调递减，可知g（x）在[π，2π]上单调递增，若a＝0时，因为y＝tax的定义域为{x|x≠kπ+π2，k∈Z}，则cos x≠0，可知f（x）＝sin（cos x）≠0，无零点，不合题意，若a＜0时，﹣a＞0，结合图象可知：y＝g（x）与y＝﹣a tan x在[0，π2)，(π2，π)内各有一个交点，在(π，3π2)，(3π2，2π]没有交点，所以f（x）＝sin（cos x）+a tan x在（0，π）内有2个零点，在（π，2π）内没有零点（区间端点均不是零点），因为y＝g（x）与y＝﹣a tan x的周期均为2π，则f（x）周期为2π，结合周期可知：若数f（x）＝sin（cos x）+a tan x在区间（0，nπ）（n∈Z），有2024个零点，则整数n可以是2023或2024，若a＞0时，﹣a＜0，结合图像可和：y＝g（x）＝y﹣a tan x在[0.π2)，(π2，π)内没有交点，在(π，3π2)，(3π2，2π]内各有一个交点，所以f（x）＝sin（cos x）+a tan x在（0，π）内没有零点，在（π，2π）内有2个零点（区间端点均不是零点），结合周期可知：若数f（x）＝sin（cos x）+a tan x在区间（0，nπ）有2024个零点，则整数n可以是2024或2025，综上所述：整数n可以是2023或2024或2025．故选：BCD．12．已知定义在R上的函数y＝f（x）图像上任意一点（x，y）均满足e y−sinx−e x2023=e sinx−y−e−x2023，且对任意x∈（0，+∞），都有f（x﹣ae2x﹣1）+f（xlnx）＜0恒成立，则下列说法正确的是（）A．f（x）＝sin x﹣x2023B．f（x）是奇函数C．f（x）是增函数D．a＞1e解：因为e y−sinx−e x2023=e sinx−y−e−x2023，所以e y−sinx−e−(y−sinx)=e x2023−e−x2023，不妨设g（x）＝e x﹣e﹣x，函数定义域为R，可得g′（x）＝e x+e﹣x＞0，所以函数g（x）在R上单调递增，此时y﹣sin x＝x2023，所以f（x）＝sin x+x2023，故选项A错误；因为f（﹣x）＝sin（﹣x）+（﹣x）2023＝﹣（sin x+x2023）＝﹣f（x），且定义域R关于原点对称，所以f（x）是奇函数，故选项B正确；不妨设h（x）＝f′（x）＝cos x+2023x2022，函数定义域为[0，+∞），可得h′（x）＝﹣sin x+2023×2022x2021，因为当x≥0时，y＝sin x﹣x，可得y′＝cos x﹣1≤0，所以函数y＝sin x﹣x在[0，+∞）单调递减，当x＝0时，y＝0，则sin x﹣x＜0，即sin x＜x，易知2023×2022x2021＞x，所以h′（x）＝﹣sin x+2023×2022x2021＞x﹣sin x≥0，可得函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，此时f′（x）≥f′（0）＝1＞0，所以函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，因为函数f（x）为奇函数，所以函数f（x）是增函数，故选项C正确；因为对任意x∈（0，+∞），都有f（x﹣ae2x﹣1）+f（xlnx）＜0恒成立，所以f（x﹣ae2x﹣1）＜﹣f（xlnx）＝f（﹣xlnx）在（0，+∞）上恒成立，即a＞x+xlnxe2x−1在（0，+∞）上恒成立，不妨设k（x）＝x﹣1﹣lnx，函数定义域为（0，+∞），可得k′（x）＝1−1x=x−1x，当0＜x＜1时，k′（x）＜0，k（x）单调递减；当x＞1时，k′（x）＞0，k（x）单调递增，所以k（x）≥k（1）＝0，即x≥1+lnx，所以x+xlnxe2x−1≤x2e2x−1在（0，+∞）上恒成立，不妨设m（x）=x2e2x−1，函数定义域为（0，+∞），可得m′（x）=2x(1−x) e2x−1，当0＜x＜1时，m′（x）＞0，m（x）单调递增；当x＞1时，m′（x）＜0，m（x）单调递减，所以m（x）≤m（1）=1 e ，则x+xlnxe2x−1≤1，当且仅当x＝1时，等号成立，所以a＞1e，故选项D正确．故选：ABCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分13．若直线y＝x+a与曲线y＝e x﹣1﹣b+1相切，则a+b＝1．解：设切点为(x0，e x0−1−b+1)，y′＝e x﹣1，所以切线方程为y−(e x0−1−b+1)=e x0−1（x﹣x0），即y=e x0−1⋅x+e x0−1−b+1−e x0−1⋅x0，与y＝x+a是同一条直线，所以e x0−1=1①，e x0−1⋅(1−x0)−b+1=a②，由①得x0＝1，代入②式得a+b＝1．故答案为：1．14．杭州第19届亚洲运动会，于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成（如图），其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴．已知该扇面呈扇环的形状，内环和外环均为圆周的一部分，若内环弧长是所在圆周长的13，内环所在圆的半径为1，径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1，则该扇面的面积为π．解：设内环圆弧所对的圆心角为α，因为内环弧长是所在圆周长的13，且内环所在圆的半径为1，所以α×1=13×2π×1，可得α=2π3， 因为径长（内环和外环所在圆的半径之差）为1， 所以外环圆弧所在圆的半径为1+1＝2， 因此该扇面的面积为12×2π3×(22−12)=π．故答案为：π．15．一只钟表的时针OA 与分针OB 长度分别为3和4，设0点为0时刻，则△OAB 的面积S 关于时间t （单位：时）的函数解析式为 S ＝6|sin 11π6t | ，一昼夜内（即t ∈[0，24]时），S 取得最大值的次数为44 ．解：OA 旋转的角速度为−π6rad /h ，OB 旋转的角速度为﹣2πrad /h ；所以∠AOB =11π6t +2k π，k ∈Z ， 所以△OAB 的面积为S =12×3×4×|sin ∠AOB |＝6|sin 11π6t |，三角函数的周期为π11π6=611，且每个周期出现1次最大值，所以最大值取得的次数为1×24611=44．故答案为：S ＝6|sin 11π6t |，44．16．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝CD ，BD ＝4，∠ADC ＝2∠ABC ＝120°，则△ABC 面积的最大值为 3√3 ．解：设AD ＝CD ＝x ，因为∠ADC ＝120°，所以AC =√3x ，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由余弦定理知，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos∠ABC，所以3x2＝c2+a2﹣2ac×12≥2ac﹣ac＝ac，当且仅当c＝a（即BC＝AB）时，等号成立，此时ac的最大值为3x2，又AD＝CD，BD＝BD，所以△ABD≌△CBD，所以∠ABD＝∠CBD，∠ADB＝∠CDB，所以∠ABD=12∠ABC＝30°，∠ADB=12∠ADC＝60°，所以△ABD为直角三角形，所以x＝AD＝4cos60°＝2，所以△ABC面积S=12ac sin∠ABC=√34ac≤√34•3x2=√34•3•4＝3√3，即△ABC面积的最大值为3√3．故答案为：3√3．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知f(x)=2sinxsin(x+π3)．（1）求f（x）的单调递增区间与对称中心；（2）当x∈[0，a]时，f（x）的取值范围为[0，32]，求实数a的取值范围．解：（1）f(x)=2sinx⋅sin(x+π3)=2sinx(12sinx+√32cosx)．=sin2x+√3sinx⋅cosx=√32sin2x−12cos2x+12=sin(2x−π6)+12，令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2(k∈Z)，解得kπ−π6≤x≤kπ+π3(k∈Z)，令2x−π6=kπ(k∈Z)，解得x=kπ2+π12(k∈Z)，所以f（x）的单调递增区间与对称中心分别为[kπ−π6，kπ+π3](k∈Z)，(kπ2+π12，12)（k∈Z）；（2）f(x)=sin(2x−π6)+12的函如图所示：由题意当x＝[0，a]时，f（x）的取值范围为[0：32 ]，故当且仅当x1≤a≤x2，中x1=min{x＞0|f(x)=32}，x2＝min{x＞0|f（x）＝0}，令f(x)=sin(2x−π6)+12=32，得sin(2x−π6)=1，即2x−π6=π2+2kπ(k∈Z)，解得x=π3+kπ(k∈Z)，所以x1=min{x＞0|f(x)=32}=min{x＞0|x=π3+kπ，k∈Z}=π3，令f(x)=sin(2x−π6)+12=0，得sin(2x−π6)=−12，即2x−π6=−π6+2kπ(k∈Z)或2x−π6=7π6+2kπ(k∈Z)，解得x＝kx（k∈Z）或x=2π3+kπ(k∈Z)，所以x1=min{x＞0|f(x)=32}=min{x＞0|x=kπ或x=2π3+kπ，k∈Z}=2π3，综上所述；满足题意的实数a的取值范围为[π3：2π3]．18．（12分）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c=2asin(C+π6)．（1）求A的值；（2）若∠BAC的平分线与BC交于点D，AD＝2√3，求△ABC面积的最小值．解：（1）∵b+c=2asin(C+π6 )，∴由正弦定理得：sinB+sinC=2sinAsin(C+π6 )，则sinB+sinC=2sinA(√32sinC+12cosC)=√3sinAsinC+sinAcosC，∴sin(A+C)+sinC=√3sinAsinC+sinAcosC，∴cosAsinC+sinC=√3sinAsinC，又∵C∈（0，π），∴sin C≠0，∴cosA+1=√3sinA，∴√3sinA−cosA=1，即sin(A−π6)=12，∵A∈（0，π），A−π6∈(−π6，5π6)，∴A−π6=π6，解得A=π3；（2）∵AD平分∠BAC且AD=2√3，∴∠BAD=∠CAD=π6，由S△ABC＝S△ABD+S△ACD，可得12bcsin∠BAC=12c⋅ADsin∠BAD+12b⋅ADsin∠CAD，整理得bc=2(b+c)≥4√bc，则bc≥16，当且仅当b＝c时，等号成立，故△ABC面积的最小值为4√3．19．（12分）已知函数f（x）＝log a x﹣x3（a＞0且a≠1），（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有最大值13loga23−23，求实数a的值．解：（1）已知f（x）＝log a x﹣x3（a＞0且a≠1），可得f′(x)=1xlna−3x2，(x＞0)，当0＜a＜1时，lna＜0，此时f′(x)=1xlna−3x2＜0，(x＞0)，所以f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；当a＞1时，令f′(x)=1xlna−3x2=1−3x3lnaxlna=0，解得x=√1 3lna3＞0，当0＜x＜√1 3lna3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞√1 3lna3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）的单调递增区间为（0，√1 3lna3），单调递减区间为(√1 3lna3，+∞)，综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；当a＞1时，f（x）的单调递增区间为（0，√1 3lna3），单调递减区间为(√1 3lna3，+∞)；（2）若函数f（x）有最大值13loga23−23，由（1）可知当且仅当a＞1时，f（x）有最大值，最大值f（√1 3lna3）＝log a（√1 3lna3）﹣（√1 3lna3）3=13log a（13lna）−13lna=13log a23−23，不妨设g(x)=13log a x−x，（x＞0，a＞1），可得g′(x)=13xlna−1=1−3xlna3xlna，(x＞0，a＞1)，不妨令g′（x）＝0，解得x=13lna＞0，当x∈(0，13lna)时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈(13lna，+∞)时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以[g(x)]max=13log a(13lna)−13lna=13log a23−23，此时13lna=23，解得a=√e，又√e＞1符合题意，综上，满足条件的实数a的值为√e．20．（12分）某城市平面示意图为四边形ABCD（如图所示），其中△ACD内的区域为居民区，△ABC内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段AB和线段AD上分别选一处位置，分别记为点E和点F，修建一条贯穿两块区域的直线道路EF，线段EF与线段AC交于点G，EG段和GF段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段AG长2公里，线段AB和线段AD长均为6公里，AB⊥AC，∠CAD=π6，设∠AEG＝θ．（1）求修建道路的总费用y（单位：万元）与θ的关系式（不用求θ的范围）；（2）求修建道路的总费用y的最小值．解：（1）在Rt△AEG中，AG＝2，∠AEG＝θ，∴EG=2sinθ，在△AGF中，∠GAF=π6，∴∠AFG=π3−θ，由正弦定理可得AGsin∠AFG=GFsin∠GAF，即2sin(π3−θ)=GFsinπ6，∴GF=1sin(π3−θ)，∴y=20sin(π3−θ)+20sinθ；（2）由（1）可得y=20sin(π3−θ)+20sinθ=20[sin(π3−θ)+sinθ]sin(π3−θ)⋅sinθ=20(√32cosθ−12sinθ+sinθ)(√32cosθ−12sinθ)⋅sinθ=20(√32cosθ+12sinθ)34sin2θ−12sin=20sin(θ+π3)34sin2θ−14+14cos2θ=20sin(θ+π3)12sin(2θ+π6)−14=80sin(θ+π3)2sin[2(θ+π3)−π2]−1=80sin(θ+π3)−2cos2(θ+π3)−1=80sin(θ+π3)4sin2(θ+π3)−3=804sin(θ+π3)−3sin(θ+π3)，令t=sin(θ+π3)，∵θ∈(0，π3)，∴t∈(√32，1]，∵u=4t−3t在区间(√32，1]上单调递增，所以当t＝1，即θ=π6时u取最大值1，∴y取最小值80，此时AE=AF=2√3＜6，所以修道路总费用的最小值为80万元．21．（12分）已知函数f（x）＝e x+sin x﹣x sin x，x∈[﹣π，0]．（1）求f（x）的零点个数；（2）若4k﹣f（x）≤0恒成立，求整数k的最大值．解：（1）已知f（x）＝e x+sin x﹣x sin x，x∈[﹣π，0]，令f（x）＝0，可得e xx−1=sinx，不妨设g(x)=e xx−1，x∈[−π，0]，可得g′(x)=e x(x−1)−e x(x−1)2=e x(x−2)(x−1)2，当x∈[﹣π，0]时，g′(x)=e x(x−2)(x−1)2＜0恒成立，所以函数g（x）在[﹣π，0]上单调递减，且g（x）在x∈[﹣π，0]上恒成立，易知函数y＝sin x在[−π，−π2]上单调递减，在[−π2，0]上单调递增，又sin(−π)=0＞g(−π)=−e−ππ+1，sin(−π2)=−1，sin0=0＞g(0)=−1，作出函数y＝g（x）和y＝sin x在区间[﹣π，0]上的图象：易知函数g（x）与y＝sin x在区间[﹣π，0]上有两个交点，所以函数f（x）＝e x+sin x﹣x sin x，x∈[﹣π，0]有两个零点；（2）若4k﹣f（x）≤0恒成立，此时k≤f(x) 4，不妨设h（x）＝x﹣sin x，x∈[﹣π，0]，可得h′（x）＝1﹣cos x≥0恒成立，所以函数h（x）在[﹣π，0]上单调递增，此时h（x）≤h（0）＝0，即sin x≥x在[﹣π，0]上恒成立，不妨设k（x）＝e x﹣（x+1），x∈[﹣π，0]，可得k′（x）＝e x﹣1≤0恒成立，所以函数k（x）在[﹣π，0]上单调递减，此时k（x）≥k（0）＝0，即e x≥（x+1）在[﹣π，0]上恒成立，则f（x）＝e x+sin x﹣x sin x＝e x+（1﹣x）sin x≥x+1+（1﹣x）x＝﹣x2+2x+1；易知函数y＝﹣x2+2x+1是开口向下的二次函数，对称轴x＝1，所以该函数在[﹣π，0]上单调递增，此时y min=−π2−2π+1，要使4k﹣f（x）≤0恒成立，需满足y min≥4k，即k≤−π2−2π+14，易知−π2−2π+14∈（﹣4，﹣3），所以k≤﹣4，由（1）可知，若函数f（x）有两个零点，此时存在点x0∈[﹣π，0]，使得f（x0）＜0，所以当k≥0时，4k﹣f（x0）≥﹣f（x0）＞0，则4k﹣f（x）≤0不恒成立，综上，满足条件的整数k的最大值为﹣4．22．（12分）已知函数f(x)=e xx2−k(2x+lnx)有三个极值点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3．（1）求实数k的取值范围；（2）若2是f（x）的一个极大值点，证明：f(x3)−f(x1)x3−x1＜k2e−k．解：（1）根据题意可知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），则f′(x)=e x⋅x2−e x⋅2xx4−k(−2x2+1x)=e x(x−2)x3−k⋅x−2x2=(x−2)⋅e x−kxx3，由函数f（x）有三个极值点x1，x2，x3可知，f′(x)=(x−2)⋅e x−kxx3=0在（0，+∞）上至少有三个实数根．显然f′（2）＝0，则需方程e x−kxx3=0，也即e x﹣kx＝0有两个不等于2的不相等的实数根．由e x﹣kx＝0，可得k=e xx，x∈(0，+∞)，令g(x)=e xx，x∈(0，+∞)，则g′(x)=ex(x−1)x2，x∈(0，+∞)，显然当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，即g（x）在（0，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，即g（x）在（1，+∞）上单调递增；所以g（x）≥g（1）＝e，画出函数g(x)=e xx，x∈(0，+∞)与函数y＝k在同一坐标系下的图象，如下图所示：由图，可得k＞e且k≠e22时，k=e xx在（0，+∞）上有两个不等于2的相异的实数根，经检验可知，当k∈(e，e22)∪(e22，+∞)时，导函数f′(x)=(x−2)⋅e x−kxx3在x1，x2，x3左右符号不同，即x1，x2，x3均是f′（x）＝0的变号零点，满足题意；因此实数k的取值范围时(e，e22)∪(e22，+∞)．（2）证明：根据题意结合（1）中的图象，由x1＜x2＜x3可知，x1≠2，若2是f（x）的一个极大值点，易知函数f（x）在（0，x1）上单调递减，则x2＝2，因此x1，x3是方程e x＝kx的两个不相等的实数根，即e x1=kx1，e x3=kx3，所以f(x3)=e x3x32−k(2x3+lnx3)=kx3−2kx3−klnx3=−k(1x3+lnx3)，同理，可得f(x1)=−k(1x1+lnx1)，所以f(x3)−f(x1)x3−x1=−k(1x3+lnx3)+k(1x1+lnx1)x3−x1=−k(1x3+lnx3−1x1−lnx1)x3−x1=−k(x1−x3x1x3+ln x3x1)x3−x1，由e x1=kx1，e x3=kx3可知，ln x3x1=lne x3ke x1k=lne x3e x1=lne x3−x1=x3−x1，所以f(x3)−f(x1)x3−x1=−k(x1−x3x1x3+ln x3x1)x3−x1=−k(x1−x3x1x3+x3−x1)x3−x1=k(1x1x3−1)，又k∈(e，e22)∪(e22，+∞)，要证f(x3)−f(x1)x3−x1＜k2e−k，即证k(1x1x3−1)＜k2e−k，也即1x1x3−1＜ke−1，所以1x1x3＜ke．由（1），可得0＜x1＜1，x3＞1，所以0＜e1−x3＜1，且根据（1）中结论可知，函数g(x)=e xx在（0，1）上单调递减．所以要证证e1−x3＜x1，即证g(x1)＜g(e1−x3)，又k=e x3x3=e x1x1，即g（x1）＝g（x3），即证g(x3)＜g(e1−x3)，即e x3x3＜e1−x3e1−x3，所以ex3＜e1−x3，即1−lnx3＜e1−x3，所以1−lnx3−e1−x3＜0，令h（x）＝1﹣lnx﹣e1﹣x，x＞1，则ℎ′(x)=−1x+e1−x=xe1−x−1x，令u（x）＝xe1﹣x﹣1，x＞1，则u′（x）＝（1﹣x）e1﹣x＜0，所以u（x）在（1，+∞）上单调递减，即u（x）＜u（1）＝0，所以h′（x）＜0，即h（x）在（1，+∞）上单调递减；因此h（x）＜h（1）＝0，所以f(x3)−f(x1)x3−x1＜k2e−k．第21页（共21页）。
2020届湖北省华师一附中、黄冈中学等八校高三第一次联考数学(文)试题(解析版)
2020届湖北省华师一附中、黄冈中学等八校高三第一次联考数学（文）试题一、单选题1．设i 是虚数单位，若复数()512ia a R i+∈+是纯虚数，则a =（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】C【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a 值． 【详解】 ∵a 512ii +=+a ()()()51221212i i a i i i -+=+++-是纯虚数， ∴a +2＝0，即a ＝﹣2． 故选：C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．已知集合2560,{|}M x x x =--≤1,16xN y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==≥-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则（ ）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．M N =D ．()R M C N ⊆【答案】B【解析】求出集合M ，N ，然后判断M ，N 的关系即可． 【详解】∵M ＝{x |﹣1≤x ≤6}，N ＝{y |0＜y ≤6}， ∴N ⊆M ． 故选：B ． 【点睛】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的值域和单调性，考查了计算能力，属于基础题．3．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形与-一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果小正方形的边长为2，大正方形的边长为10，直角三角形中较小的锐角为θ，则c 26os sin πθθπ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎭⎝+⎪⎝⎭（ ）A ．510+ B ．510-C ．510-+ D ．510-- 【答案】D【解析】设出直角三角形中较短的直角边，利用勾股定理求出x 的值，从而求出sinθ，cosθ的值，再利用两角和与差的三角函数公式即可算出结果． 【详解】直角三角形中较短的直角边为x ，则：x 2+（x +2）2＝102，解得：x ＝6， ∴sinθ35=，cosθ45=，∴sin （2πθ-）﹣cos （6πθ+）＝﹣cosθ﹣（cosθcos66sin sinππθ-）12=sinθ﹣（12+）cosθ510-=， 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题． 4．定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，1()03f =.则满足18f log x ⎛⎫⎪⎭>⎝的x 取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．()10,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．110,,282⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】由已知结合奇函数的对称性可得，log 18x 13＞或13-＜log 18x ＜0，解对数不等式即可求解． 【详解】∵在R 上的奇函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增． 故函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，∵f （13）＝0， ∴f （13-）＝0，则由f （log 18x ）＞0可得f （log 18x ）＞f （13）， ∴log 18x 13＞或13-＜log 18x ＜0，解可得，012x ＜＜或1＜x ＜2．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用奇函数的对称性求解不等式，解题的关键是灵活利用对称． 5．设1331411()11lo 34g ,,4a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】B【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 【详解】∵a ＝log 1314=log 34＞1， 11040311,1311()(143)4b c ⎛⎫⎛⎫==<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<= ∴a 最大， 又∵b ＝（14）14=（164）112，c ＝（13）13=（181）112，且幂函数y ＝x 112在（0，+∞）上单调递增， ∴c ＜b ， ∴c ＜b ＜a 故选：B ． 【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6．已知平面向量()()1,3,4,2a b =-=-，若a b λ-与b 垂直，则λ=（ ） A ．1- B ．1C ．2-D ．2【答案】D【解析】利用向量的运算法则和向量垂直与数量积的关系即可得出． 【详解】∵a b λ-=λ（1，﹣3）﹣（4，﹣2）＝（λ﹣4，﹣3λ+2），a b λ-与b 垂直，∴()4λ4a b b λ-⋅=-（）﹣2（﹣3λ+2）＝0，解得λ＝2．故选：D ． 【点睛】本题考查向量坐标运算，熟练掌握向量的运算法则和向量垂直与数量积的关系是解题关键．7．圆2244100x y x y +---=上的点到直线140x y +-=的最大距离与最小距离的差是（ ）A．36 B ．18 C ．D ．【答案】C【解析】判断直线与圆的位置关系，如果相切或相离最大距离与最小距离的差是直径； 相交时，圆心到直线的距离加上半径为所求． 【详解】圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10＝0的圆心为（2，2），半径为，圆心到到直线x +y ﹣14＝0=，故圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R ＝ 故选：C ． 【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，点到直线的距离，是基础题．8．如图茎叶图表示的是甲.乙两人在5次综合测评中的成绩，其中乙中的两个数字被污损，且已知甲，乙两人在5次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的概率为（ ）A ．29B ．15C ．310D ．13【答案】A【解析】根据茎叶图分别求出甲、乙的中位数，平均数，得到模糊成绩的值，利用古典概型求解即可 【详解】由题意可得：甲的成绩为：84、86、91、98、98；中位数为91，平均数为4575； 乙的成绩为：86，88，90+x ，90+y ，99 （x ≤y ）； ∵甲，乙中位数相同；∴90+x ＝91⇒x ＝1； 乙的平均数为4545y+； ∵乙的平均成绩低于甲； ∴1≤y ＜3；⇒y ＝1或2． ∴乙的平均成绩低于甲的概率p 29=； 故选：A ． 【点睛】本题考查了茎叶图，以及中位数、平均数的性质及古典概型，考查了学生的计算能力，属于基础题．9． ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()0sinB sinA sinC cosC -+=，2,a c ==则角C =（ ）A ．56π B ．6π C ．4π D ．3π 【答案】B【解析】利用三角恒等变换求出A ，再利用正弦定理求出C ． 【详解】sin B ﹣sin A （sin C +cos C ）＝0，sin A cos C +cos A sin C ﹣sin A sin C ﹣sin A cos C ＝0，得cos A sin C ＝sin A sin C ， 因为()0,,sin 0C C π∈≠ 所以sin A ＝cos A ，则tan A ＝1，A 4π=，又a sinA =，则sin C 12=，故C 6π=或者56π， 因为c ＜a ，C ＜A ，故C 6π=，故选：B ． 【点睛】考查三角形的恒等变换，正弦定理、和内角和定理的运用，考查运算能力，注意大边对大角的应用，属于基础题．10．在 ABC 中，,A B 分别是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上若0BA BC =，()0BA BC AC +=，则双曲线E 的离心率为（ ）A 1B 1C D 【答案】B【解析】由（BA BC +）AC ⋅=0，得AB ＝BC ，结合BA BC ⋅=0，得△ABC 是一个等腰直角三角形，求出AC 的长，再利用双曲线的定义建立a 与c 的关系式，即可求出离心率． 【详解】∵（BA BC +）AC ⋅=0，又AC BC BA =-， ∴（BA BC +）•（BC BA -）220BC BA =-=， 则|BC |＝|BA |，即BA ＝BC ，又BA BC ⋅=0，∴△ABC 是一个等腰直角三角形， 由题意得：C 点在双曲线的右支上，∴AB ＝BC ＝2c ，AC ＝，又AC ﹣BC ＝2a ，即c ﹣2c ＝2a ，解得离心率e 1=， 故选：B ．【点睛】本题考查了平面向量的数量积的性质，考查了双曲线的定义和性质，考查运算能力，属于中档题．11．《九章算术》给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”，其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长，“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离，“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离，用现代语言描述：在羡除111ABC A B C -中，111AA //BB //CC ，1AA a =，1BB b =，1CC c =，两条平行线1AA 与1BB 间的距离为h ，直线1CC 到平面11AA B B 的距离为h'，则该羡除的体积为()hh'V a b c .6=++已知某羡除的三视图如图所示，则该羡除的体积为( )A ．B ．53C ．43D ．【答案】B【解析】根据三视图求出羡除的体积()hh'V a b c 6=++中所需数据，代入得答案． 【详解】由三视图还原原几何体知，羡除111ABC A B C -中，AB//EF ，底面ABCD 是矩形，AB CD 2==，EF 1=，平面ADE ⊥平面ABCD ，AB ，CD 间的距离h AD 2==， 如图，取AD 中点G ，连接EG ，则EG ⊥平面ABCD ， 由侧视图知，直线EF 到平面ABCD 的距离为h'1=，∴该羡除的体积为()()hh'125V a b c 221663⨯=++=++=． 故选：B ．【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。
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数学试题
考试时间：90 分钟
卷面满分：100 分
说明：所有答案一律书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
其中，将所有选择题答案用
2B 铅笔在相应位置涂黑。
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有
一个是正确的） 1．在数轴上和有理数 a ，b ，c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论： ① a 2 - a - 2 < 0 ；
②| a - b | + | b - c |=| a - c | ；
③
(a + b )(b + c )(c + a ) > 0 ； ④| a |< 1- bc ． 其中正确的结论有（ ）个 a
b c -1
1
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
2．已知 a ，b ，c 分别是 Rt △ABC 的三条边长，c 为斜边长， ∠C = 90︒ ，我们把关于 x 的形如
y = a x + b 的一次函数称为“勾股一次函数”．若点 P (-1, c c 且 Rt △ABC 的面积是 4，则 c 的值是 3
) 在“勾股一次函数”的图象上，
3
A ． 2
B ．24
C ． 2
D ．12
3．5G 时代悄然来临，为了研究中国手机市场现状，中国信通院统计了 2019 年手机市场每月出
货量以及与 2018 年当月同比增长的情况，得到如下统计图：
单 位
： 万
部
24
12
单
位 0 ： %
-12
-24
中国手机市场出货量当月值(万部)
当月同比(%)
2019 年中国手机市场出货量统计及同比增长情况
根据该统计图，下列说法错．误．
的是 A ．2019 年全年手机市场出货量中，5 月份出货量最多
B ．2019 年下半年手机市场各月份出货量相对于上半年各月份波动小
C ．2019 年全年手机市场总出货量低于 2018 年全年总出货量
D ．2018 年 12 月的手机出货量低于当年 8 月手机出货量
6
3
1.2
6.7 -6.3 -
7.1 -6.7
12.8
-7.5 -1.5 -5.3
-14.
19.9 - 3404.8 3653 3829.4 3531
3419 3623.6 3596.9 3484.4 2837.3 3087.5 3044.4 1451.1 -6 - 7
y
2 3
O
10
x
4．已知函数 y = x 2 + x -1 在 m ≤ x ≤ 1上的最大值是 1，最小值是- 5
，则 m 的取值范围是 4
A ． m ≥ -2
B ． 0 ≤ m ≤ 1
2 C ． -2 ≤ m ≤ - 1
2
D ． m ≤- 1
2
5．如图，△AOB 中， ∠AOB = 90︒ ， AO = 4 ， BO = 8 ，△AOB 绕点
O 逆时针旋转到△ A 'OB ' 处，此时线段 A ' B ' 与 BO 的交点 E 为 BO 的中点，则线段 B ' E 的长度为
6．如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 M 从点 A 出发，沿 A → B → C 方向运动，当点 M 到达点 C
时停止运动，过点 M 作 MN ⊥ AM 交 CD 于点 N ，设点 M 的运动路程为 x ， CN = y ，图 2 表示的是 y 与 x 的函数关系的大致图象，则矩形 ABCD 的面积是
D
N
C
A
M
B
图 1
图 2 A ．24
B ．20
C ．12
D ．10
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
7．2020 年某校将迎来 70 周年校庆，学校安排 3 位男老师和 2 位女老师一起筹办大型文艺晚会，
并随机地从中抽取 2 位老师主持晚会，则最后确定的主持人是一男一女的概率为 ．
8．在△ABC 中， AB = AC ，若cos A = 4
，则 BC =
．
5 AB
9．如图 1 是个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小王按照如图 2 所示的方法玩
拼图游戏，两两相扣，相互不留空隙，那么小王用 2020 个这样的图形（图 1）拼出来的图形的总长度是
．（结果用m , n 表示）
图 1
图 2
n m
A ' A
B
E O
B '
E
1 2 1 2
10．如图，在平面直角坐标系中，矩形 MNPQ 的顶点 M ，N 分别在 x 轴，y 轴正半轴上滑动，顶点
P 、Q 在第一象限，若MN = 8 ， PN = 4 ，在滑动过程中，点 P 与坐标原点 O 的距离的最大值为
．
A
D M
F
C
第 10 题图 第 12 题图
11．如图，已知直线 y = kx (k > 0) 分别交反比例函数 y =
1 和 y = 4 在第一象限的图象于点 A ，B ，
x
x
过点 B 作 BD ⊥ x 轴于点 D ，交 y = 1 的图象于点 C ，连接 AC ．若△ABC 是等腰三角形，则 x
k 的值是
．
12．如图，在正方形 ABCD 中， AB = 4 ，点 M 在 CD 边上，且 DM = 1，△AEM 与△ADM 关于
AM 所在直线对称，将△ADM 按顺时针方向绕点 A 旋转90︒ 得到△ABF ，连接 EF ，则线段 EF 的长为
．
三、解答题（本大题共 4 小题，共 52 分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算过程） 13．（本小题满分 12 分）
（1）已知关于 x 的方程 x 2 - (2k -1)x + k 2 = 0 有两个实根 x 1, x 2，且满足 x x - | x | - | x |= 2 ，
求实数 k 的值；
（2）已知a < b < 0 ，且a + b = 6 ，求(
a + b
)3 的值．
b a
b - a
14．（本小题满分 12 分）
习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从 6 月 1 日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点 20 个，解决垃圾投放问题．有 A 、B 两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见下表：
（1）已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过 370m 2，如何分配 A 、B 两种类
A
E
B
F C
O H
型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道 490 幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？
（2）当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本 y (元)与月处理量 x (吨)之间的函
数关系可以近似的表示为：
若每个 B 型处理点的
垃圾月处理量是A 型处理点的 1.2 倍，该街道建造的每个 A 型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每．吨．垃．圾．
的月处理成本最低？（精确到 0.1）
15．（本小题满分 14 分）已知矩形 ABCD 中，AB ＝2，AD ＝5，点 E 是 AD 边上一动点，连接 BE 、
CE ，以 BE 为直径作⊙O ，交 BC 于点 F ，过点 F 作 FH ⊥CE 于 H ． （1）当直线 FH 与⊙O 相切时，求 AE 的长； （2）当 FH ∥BE 时，求 AE 的长；
（3）若线段 FH 交⊙O 于点 G ，在点 E 运动过程中，△OFG 能否成为等腰直角三角形？如
果能，求出此时 AE 的长；如果不能，说明理由．
16．（本小题满分 14 分）如图①，已知抛物线 y = ax 2 +
2 3 x + c ( a ≠ 0 )与 x 轴交于点 A (-1, 0) ，
3
与 y 轴交于点 C (0, 3) ，点 D 是点 C 关于抛物线对称轴的对称点，连接 CD ，过点 D 作 DH ⊥x 轴于点 H ，过点 A 作 AE ⊥AC 交 DH 的延长线于点 E ． （1）填空： a =
， c =
；
（2）求线段 DE 的长度；
（3）如图②，点 F 是线段 AE 上的点，P 是线段 DE 上的点，且点 M 为直线 PF 上方抛物线
上的一点，当△CPF 的周长最小时，求△MPF 面积的最大值．
图①
图②
y
C D A
H B
O
x
E
y M
C
D A O H B
P
E
x
F。