与圆有关的计算

8．(2014·丹东)如图，在△ABC 中，CA＝CB，∠ACB
＝90°，AB＝2，点 D 为 AB 的中点，以点 D 为圆心作
圆心角为 90°的扇形 DEF，点 C 恰在弧 EF 上，则图
中阴影部分的面积为(
)
A. π2＋12
B．π－14
C. π4－12
D. π4＋12
解析：如图，连接 CD，作 DM⊥BC 于点 M， DN⊥AC 于点 N. ∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点 D 为
∵l B′B″ ＝90π18×012＝6π，∴点 B 在两次旋转过程 中经过的路径的长是132π＋6π＝252π. 故选 A.
答案： A
10．如图，四边形 ABCD 是菱形，∠A＝60°，AB ＝2，扇形 BEF 的半径为 2，圆心角为 60°，则图中阴 影部分的面积是( )
A.
2π－ 3
3 2
A．π B．1 C．2
D.
2 3π
4．钟面上的分针的长为 1，从 9 点到 9 点 30 分，
分针在钟面上扫过的面积是( A )
1 A. 2π
1 B. 4π
1 C. 8π
D．π
5．(2014·莆田)在半径为 2 的圆中，弦 AB 的长为 2，
则 AB 的长等于( )
A.
π 3
BC.
π 2
C.
2π 3
3．(2014·襄阳)用一个圆心角为 120°，半径为 3 的扇形作一
个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为( B )
1 A. 2
B．1
3 C. 2
D．2
考点三
阴影部分的面积
1．规则图形：按规则图形的面积公式求．
2．不规则图形：采用“转化”的数学思想方法，
把 不 规 则 图 形 的 面 积 采 用 “ 割 补 法 ”“ 等 积 变 形
【点拨】连接 OD，由正六边形的性质可得 BC＝ CD ＝ DE ＝ EF ＝ OD， BD ＝ DF ， ∠BOD＝ ∠DOF＝ ∠BCD＝120°，∴S 弓形 DE＝S 弓形 BC，S△BCD＝S△ODF， ∴S 阴影＝S 扇形 BOD＝1203π6×0 42＝163π.
【答案】 16π 3
温馨提示： 在计算不规则图形的面积时，常常把不规则图形 转化成可求图形面积的和差，如常转化为三角形、四 边形、扇形等. 转化时常用的方法有：①割补法；②拼 揍法；③等积变形法；④构造方程法等.
考点一 弧长与扇形的面积
1．如果弧长为 l，圆心角为 n°，圆的半径为 R，
那么弧长的计算公式为 l＝
nπR 180
.
2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所
围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为 n°，所在圆 的半径为 R，弧长为 l，面积为 S，则 S 扇形＝n3π6R02或
S 扇形＝12lR.
7．(2014·莱芜)如图，AB 为半圆的直径，且 AB＝ 4，半圆绕点 B 顺时针旋转 45°，点 A 旋转到 A′的位置， 则图中阴影部分的面积为( )
A．π
B．2π
C.
π 2
D．4π
解析：由旋转的性质，可得 A′B＝AB＝4，∠ABA′ ＝45°，∴S 阴影＝S 扇形 ABA′＋S 半圆 A′B－S 半圆 AB＝S 扇形 ABA′ ＝453π6×0 42＝2π. 故选 B.
B.
2π－ 3
3
C．π－
3 2
D．π－ 3
解析：如图，连接 BD，设 BE 与 AD 的交点为 G， BF 与 CD 的交点为 H. ∵四边形 ABCD 是菱形，∠A ＝60°，∴△ABD 是等边三角形．∵∠EBF＝60°，可 得∠ABG＝∠DBH.
又∵∠A＝∠BDH＝60°，BD＝BA， ∴△ABG≌△DBH，∴S 阴影＝S 扇形 BEF－S△ABD＝ 603π6×0 22－12×2× 3＝23π－ 3. 故选 B. 答案： B
角三角尺，∠B＝30°，斜边长为 10 cm. 三角尺 A′B′C
绕直角顶点 C 顺时针旋转，当点 A′落在 AB 边上时，
CA′旋转所构成的扇形的弧长为
cm.
解析：∵∠B＝30°，AB＝A′B′＝10 cm，∴∠A＝
60°，AC＝A′C＝5 cm. 当点 A′落在 AB 边上时，△ACA′
是 等 边 三 角 形， ∴CA′旋 转 所 构 成 的 扇形 的 弧 长为
∠DMG＝∠DNH， 中，∠GDM＝∠HDN，
DM＝DN，
∴△DMG≌△DNH(AAS)， ∴S 四边形 DGCH＝S ＝ 正方形 DMCN 22× 22＝12， ∴阴影部分的面积＝S 扇形 FDE－S 正方形 DMCN＝π4－12. 故选 C.
答案： C
15．如图，△ABC 和△A′B′C 是两个完全重合的直
AB
的中点，∴DC＝12AB＝1，AC＝AB·sin
B＝2×
2＝ 2
2，DM＝12AC＝
2 2.
则 S 扇形 FDE＝903π6×0 12＝π4.∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点 D 为 AB 的中点，∴CD 平分∠BCA.又∵DM⊥BC，DN⊥AC， ∴DM＝DN，∴四边形 DMCN 是正方形． ∵∠GDH＝ ∠MDN＝90°，∴∠GDM＝∠HDN.则在△DMG 和△DNH
答案： B
5．(2014·南充)如图，矩形 ABCD 中，AB＝5，AD ＝12，将矩形 ABCD 按如图所示的方式在直线 l 上进 行两次旋转，则点 B 在两次旋转过程中经过的路径的 长是( )
25 A. 2 π
B．13π C．25π D．25 2
解析：如图，连接 BD，B′D，∵AB＝5，AD＝12， ∴BD＝ 52＋122＝13，∴l BB′ ＝90π18×013＝132π.
AB ＝ 2. 将 △ABC 绕 顶 点 A 沿 顺 时 针 方 向 旋 转 至
△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段 BC 扫过
的区域面积为
.
解析：在 Rt△ABC 中，AC＝AB·cos 30°＝2× 23＝ 3.∠BAB′＝∠CAC′＝150°. 把△AB′C′按逆时针旋转 到△ABC 的位置，则阴影部分恰好为一个完整的扇环， 所以 S 阴影＝S 扇形 BAB′－S 扇形 CAC′＝1503π6×0 22－150π3×60 32 ＝152π.
1. (2014·莱芜)一个圆锥的侧面展开图是半径为 R 的半圆，
则该圆锥的高是( D )
A．R
1 B. 2R C. 3R
3 D. 2 R
2.一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为 10 和 16 的矩
形，则该圆柱的底面圆的半径是( C )
5 A. π
8 B. π
C.
5或8 ππ
D.
10或16 ππ
A．200π 米 C．400π 米
B．100π 米 D．300π 米
解析：连接 OD，∵OE⊥CD，∴CF＝DF＝300 米．在 Rt△OCF 中，由勾股定理，可得 OC＝600(米)，∴∠COD ＝60°.∴弯路的长度为60π1×80600＝200π(米)．故选 A.
答案： A
考点三 不规则图形的面积 例 3(2014·烟台)如图，正六边形 ABCDEF 内接于 ⊙O，若⊙O 的半径为 4，则阴影部分的面积等于 ________．
解
析
：
∵S1
＋
S3
＝
1 2
π
AB 2
2
＝
2π①
，
S2
＋
S4
ห้องสมุดไป่ตู้
＝
1 2
π
AC 2
2
＝
π 2
②
，
∴①
－
②
，得
(S1
－
S2)
＋
(S3
－
S4)＝
32π.∵S1－S2＝π4，∴S3－S4＝32π－π4＝54π.故选 D. 答案： D
D.
3π 2
6．(2014·成都)在圆心角为 120°的扇形 AOB 中，
半径 OA＝6 cm，则扇形 AOB 的面积是( )
A．6π cm2
B．8π cm2
C
C．12π cm2
D．24π cm2
考点二 圆柱和圆锥 1．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于 圆柱的底面圆的周长 C，宽是圆柱的母线长(或高)l， 如果圆柱的底面圆的半径是 r，则 S 圆柱侧＝Cl＝2πrl . 2．如果把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，那 么它的侧面展开图是一个扇形．扇形的弧长等于底面 圆的周长 .
【解析】整个图形的面积可以看成由一个半径为 6，圆心角为 60°的扇形和直径为 6 的半 圆组成，而阴影部分的面积可以看成整个图形的面积减去以 AB 为直径的半圆的面积，即 S 阴影＝S 扇形 BAB′＝603π6×0 62＝6π，故选 A.
【答案】A
6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，
温馨提示： 扇形面积公式 S 扇形＝12lR 与三角形面积公式十分 类似，可把扇形想象为曲边三角形，把弧长 l 看作底， R 看作底边上的高.
1. (2014·岳阳)已知扇形的圆心角为 60°，半径为 1，则扇形
的弧长为( )
π A.2
D B．π
π C. 6
π D. 3
2．一个扇形的圆心角为 120°，半径为 3，则这个
答案： 152π
二、填空题(每小题 4 分，共 20 分) 13．点 A，B，C 是半径为 15 cm 的圆上三点，∠BAC ＝36°，则 BC 的长为 6πcm. 解析：在⊙O 中，∠BAC＝36°，∴∠BOC＝72°， ∴ BC 的长为72π18×015＝6π(cm)．
14．(2014·常州)已知扇形的半径为 3 cm，此扇形的 弧长是 2π cm，则此扇形的圆心角等于 120 度，扇形的 面积是 3π cm2(结果保留 π)．
10．(2010·聊城)将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分(阴影)的量角
器圆弧( AB )对应的圆心角(∠AOB)为 120°，AO 的长为 4 cm，OC 的长为 2 cm，则图中阴影
部分的面积为( ) A．(163π＋ 2)cm2 B．(83π＋ 2)cm2 C．(163π＋2 3)cm2 D．(83π＋2 3)cm2
25 B. 4 π
C．24－54π
D．24－265π
【解析】在 Rt△ABC 中，∠A＋∠C＝90°，S 阴影＝SRt△ABC－14S⊙A＝12×6×8－14×π×(120)2
＝24－245π.
【答案】A
5．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，CA＝CB ＝4，分别以 A，B，C 为圆心，以12AC 为半径画弧， 三条弧与边 AB 所围成的阴影部分的面积是 8－2π .
601π8×0 5＝53π(cm)．
答案：
5π 3
12．(2013·温州)在△ABC 中，∠C 为锐角，分别
以 AB，AC 为直径作半圆，过点 B，A，C 作 BAC ，
如图所示，若 AB＝4，AC＝2，S1－S2＝π4，则 S3－S4
的值是( )
29π A. 4
23π B. 4
11π C. 4
5π D. 4
扇形的面积是( C )
A．π BC．2π C．3π D．4π
2．如图，AB 切⊙O 于点 B，OA＝2 3，AB＝3， 弦 BC∥OA，则劣弧 BC 的弧长为( A )
A. 33π
B. 23π
C．π
D. 32π
3．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇 形称为“等边扇形”．则半径为 2 的“等边扇形”的 面积为( C)
法”“平移法”“旋转法”等转化为规则图形的面积．
7．(2009 中考变式题)如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，分
别以 A、C 为圆心，以A2C的长为半径作圆，将 Rt△ABC 截去两个扇形，则剩余(阴影)部分的
面积为________ cm2.( )
A．24－245π
第31讲 与圆有关的计算
第31讲┃ 考点聚焦
正多边形的 有关计算
(1)边长：an＝2Rn·sin18n0° (2)周长：Pn＝n·an
(3)边心距：rn＝Rn·cos18n0° (4)面积：Sn＝12an·rn·n
(5)内角度数为：（n－2n）×180° (6)外角度数为：36n0°
(7)中心角度数为：36n0°
解析：设扇形的圆心角为 n°，∴n1π8×03＝2π，解得 n＝120，即扇形的圆心角为 120°.扇形的面积为1203π6×0 32 ＝3π(cm2)．
11．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心)，其中 CD＝600 米，E 为弧 CD 上一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，OF＝300 3 米，则这段弯路的长度为( )
【解析】BC＝2 3 cm.图中阴影部分的面积＝扇形 AOB 的面积＋三角形 BOC 的面积＝ (163π＋2 3)cm2.
【答案】C
11．(2010·临沂)如图，直径 AB 为 6 的半圆，绕 A 点逆时针旋转 60°，此时点 B 旋转到 了点 B′，则图中阴影部分的面积是( )
A．6π B．5π C．4π D．3π