线性方程组的应用

线性方程组在现实中的应用

线性方程组在现实生活中的应用非常广泛的，不仅可以广泛地应用于工程学，计算机科学，物理学，数学，经济学，统计学，力学，信号与信号处理，通信，航空等学科和领域，同时也应用于理工类的后继课程，如电路、理论力学、计算机图形学、信号与系统、数字信号处理、系统动力学、自动控制原理等课程。

为了更好的运用这种理论，必须在解题过程中有意识地联系各种理论的运用条件，并根据相应的实际问题，通过适当变换所知，学会选择最有效的方法来进行解题，通过熟练地运用理论知识来解决数学得问题.

一、 线性方程组的表示

1.按照线性方程组的形式表示有三种 1）一般形式的表示

11112211

21122222

1122............n n n n n n nn n n

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨

⎪

⎪+++=⎩ 2）向量形式：

1122...n n x x x αααβ

+++=

3）矩阵形式的表示 ：

,AX β=()12,,...,n A ααα=()

12,,...,T

n X x x x =

特别地，当0β=时，AX β=称为齐次线性方程组，而当0β≠时，

AX β

=称为非齐次线性方程组

2.按照次数分类又可分为两类

1）齐次线性方程组 2）非齐次线性方程组 二、线性方程组的应用 1.在经济平衡中的应用

假设一个经济系统由三个行业：五金化工、能源（如燃料、电力等）、机械组成，每个行业的产出在各个行业中的分配见表1-1，每一列中的元素表示占该行业总产出的比例。以第二列为例，能源行业的总产出的分配如下：80%分配到五金化工行业，10%分配到机械行业，余下的供本行业使用。因为考虑了所有的产出，所以每一列的小数加起来必须等于1。把五金化工、能源、机械行业每年总产出的价格（即货币价值）分别用123,,p p p 表示。试求出使得每个行业的投入与产出都相等的平衡价格。

表1-2 经济系统的平衡 产出分配

购买者

五金化工 能源 机械

0.2 0.8 0.4 五金化工 0.3 0.1 0.4 能源 0.5

0.1

0.2

机械

解：从表1-2可以看出，沿列表示每个行业的产出分配到何处，沿行表示每个行业所需的投入。例如，第1行说明五金化工行业购买了80%的能源产出、40%的机械产出以及20%的本行业产出，由于三个行业的总产出价格分别是123,,p p p ，因此五金化工行业

必须分别向三个行业支付1230.2,0.8,0.4p p p 元。五金化工行业的总支出为1230.20.80.4p p p ++。为了使五金化工行业的收入1p 等于它的支出，因此希望

11230.20.80.4p p p p =++。

采用类似的方法处理表 1-2中第2、3行，同上式一起构成齐次线性方程组

1123

21233

1230.20.80.40.30.10.40.50.10.2p p p p p p p p p p p p

=++⎧⎪

=++⎨⎪=++⎩ 该方程组的通解为...1233141709171000⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

p p p p ，此即经济系统的平衡价格向量，

每个3p 的非负取值都确定一个平衡价格的取值。例如，我们取3p 为1.000亿元，则.11417=p 亿元，.20917=p 亿元。即如果五金化工行业产出价格为1.417亿元，则能源行业产出价格为0.917亿元，机械行业的产出价格为1.000亿元，那么每个行业的收入和支出相等。

2.在物理电路中的应用

设各节点的电流如图所示，则由基尔霍夫第一定律（简记为KCL

）

即电路中任一节点处各支路电流之间的关系：在任一节点处，支路电流的代数和在任一瞬时恒为零（通常把流入节点的电流取为负的，流出节点的电流取为正的）。该定律也称为节点电流定律），有

对于节点A ：1460;i i i +-= 对于节点B ：2450;i i i +-= 对于节点C ：3650;i i i +-= 对于节点D ：1320.i i i +-= 于是求各个支路的电流就归结为下面齐次线性方程组的求解

1

46245356123

0,0,0,0.i i i i i i i i i i i i +-=⎧⎪+-=⎪

⎨

-+=⎪

⎪-+=⎩ 解之，得其解为123123456101110011100010001i i i k k k i i i ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

其中: 123,,k k k R ∈

由于i 1,i 2,i 3,i 4,i 5,i 6均为正数，所以通解中的3个任意常数应满足以下条件：

12310,.k k k k <>>-

如果1231,3,2,k k k =-==则：1234561,2,1,1,3, 2.i i i i i i ====== 3.在减肥食谱中的应用

下表是该食谱中的3种食物以及100克每种食物成分含有某些营养素的数量。

如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多少才能全面准确地实现这个营养要求？

以100克为一个单位，为了保证减肥所要求的每日营养量，设每日需食用的脱脂牛奶x 1个单位，大豆面粉x 2个单位，乳清

x 3个单位，则由所给条件得

1231232336511333,52347445,7 1.1 3.x x x x x x x x ++=⎧⎪

++=⎨⎪+=⎩

解上方程组得，解为

1230.2772,

0.3919,

0.2332.x x x ===

即为了保证减肥所要求的每日营养量，每日需食用脱脂牛奶27.72克，大豆面粉39.19克，乳清23.32克。 三、 应用总结

线性方程组的理论应用已经渗透到数学发展的许多分支，很多实际问题的处理最后往往归结为比较容易处理的线性方程组的问题，同时线性方程组在工程技术上、空间几何和国民经济的许多领域都有着广泛的应用, 由于数学软件的优化普及，使线性方程组能够更好地解决我们现实中的问题。