学案—— 23 特殊平行四边形

A
F
D
C．8cm
D．10cm
B
E
C
3．（2018广州）如图3，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别
为 （ 3 ， 0 ） ， （ -2 ， 0 ） ， 点 D 在 y 轴 上 ， 则 点 C 的 坐 标 是
_（__-_5_，__4_）_．
y
C
D
B OA x
图3
4.（2019镇江）如图4，将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时
边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．连接ED、EF.
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？并说明
理由．
（3）当△ABC满足条件 时，四边形ADEF是菱形；当
△ABC满足条件
时，四边形ADEF是正方形． E
F
D A
B
C
（1）∵△ABD，△EBC都是等边三角形．∴AD＝BD＝AB，BC ＝BE＝EC，∠DBA＝∠EBC=60°∴∠DBE+∠EBA＝ ∠ABC+∠EBA．∴∠DBE＝∠ABC．在△DBE和△ABC中， ∵BD＝BA，∠DBE＝∠ABC，BE＝BC， ∴△DBE≌△ABC．∴DE=AC．又∵△ACF是等边三角形， ∴AC=AF．∴DE=AF．同理可证：AD=EF，∴四边形ADEF平行 四边形．
A.
B.
C.
D.
∵∠EFA=90°，
EF=4，∴在Rt△AEF中，
．
∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD=10，∴OE= AB=5，
∵四边形OEFG为矩形，∴FG=OE=5，∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．
（二）能力提升（B组）
7．（2018北京）如图7，在四边形ABCD中，AB//DC，
AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C
四、中考演练
（一）基础训练（A组）
1．连接任意四边形四条边中点的四边形，一定是( A )．
A．平行四边形
B．正方形 C．菱形 D．矩形
2．如图2，是一张矩形纸片ABCD，BC＝10cm，若将纸片沿
DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE＝
6cm，则CD＝( A )．
A．4cm
B．6cm
C．AC⊥BD
D．AD＝BD
3.（2020滨州）下列命题是假命题的是（ D ） A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形
4.（2020襄阳）已知□ABCD，AC，BD相交于点O，下列结
论错误的是（ B ）
第23课时 特殊平行四边形
一、以题点知
1．（2020上海）下列命题中，假命题是( D ) A．矩形的对角线相等 B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等 C．矩形的对角线互相平分 D．矩形对角线交点到四条边的距离相等
2.（2020南通） 下列条件中，能判定□ABCD是菱形的是（C ）
A．AC＝BD
B．AB⊥BC
（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形， ∵∠BAC=150°，∴∠DAF＝360°﹣∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC ＝360°﹣150﹣60°﹣60°＝90°．又四边形ADEF平行四边形， ∴四边形ADEF是矩形．
（3）AB＝AC且∠BAC≠60°时是菱形； AB＝AC，且∠BAC＝ 150°时是正方形．
A．OA＝OC，OB＝OD B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形 C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形 D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
5.（2020贵阳）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的 周长是 20 ；面积是 24 .
二、考点梳理
三、典例解析
例 ：如图1，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别另作三个等
作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． D
C
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
O
（2）若AB= 5 ，BD=2，求OE的长．
A
BE
（1）∵AB//CD ∴∠OAB=∠DCA ∵AC为∠DAB平分线 ∴∠OAB＝∠DAC
即∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB 又∵AB//CD∴四边形
ABCD为平行四
边形 ，∵AD＝AB ∴□ABCD为菱形
（2）四边形ABCD为菱形 ∴OA＝OC，BD⊥AC ∵CE⊥AB
∴OE＝AO＝OC ∵BD=2 ∴OB＝ BD=1， 在Rt△AOB中，
AB＝ ，OB=1 ∴OA＝
，在Rt△ACE中，
∴OE= AC=OA=2．
（三）冲刺名校（C组）
8．（2020广州）如图8，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O， AB ＝ 6 ， BC ＝ 8 ， 过 点 O 作 OE ⊥ AC ， 交 AD 于 点 E ， 过 点 E 作 EF⊥BD，垂足为F，则 OE+EF的值为（ C ）
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．
D
E
O
A
来自百度文库
C
F
GB
（1）∵四边形ABCD为菱形，∴点O为BD的中点，∵点E为AD中 点，∴OE为△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形 OEFG为平行四边形 ∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形．
(2)∵点E为AD的中点，AD=10，∴AE=
针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，EF
与AD相交于点H，则DF＝
．
F AH
D
E
G
B
C
图4
5.（2020广东改编）如图5，在正方形ABCD中，AB＝3，点E， F分别在边AB，CD上，∠BEF＝60°．若将四边形EBCF沿 EF折叠，点B恰好落在AD边上.
（1）30° （2）2
6.（2020北京）如图6，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点 O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形；