一元二次方程的解法之公式法
一元二次方程的解法(公式法)
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.由配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)，若 b2-4ac≥0，得求根公式：
x b b2 4ac 2a
2.会熟练应用公式法解一元二次方程．
1、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0).当a，b，c
满足什么条件时，方程的两根互为相反数？
一元二次方程的解法
————公式法
回顾复习：
解法一：直接开平方法：x2+6x+9=0
解法二：因式分解法：
1.x2 (5 2)x 5 2 0
2. 3x2 5x 0
3.x2 12x 27 0
1.x1 5; x 2 2.
15
2.x1 0;x2
. 3
3.x1 3;x2 9.
回顾复习：
解法三：配方法：
2x2 4x 1 0
用配方法解一元二次方程的步骤： （1）二次项系数化为1：x2+px+q=0 （2）移项，整理得 x2+px=-q ；
（3）配方： （4）开平方法解方程.
用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
【解析】把方程两边都除以a, 移项，得 x2 + x= ba
【解析】设方程的两个根为x1,x2，依题意，得
x1 +x2 b
b 2+ 4ac
2a
b
0
a
b b2 4ac 2a
因为a≠0, 所以b=0.
所以当a≠0, b=0， ac≤0时，方程的两根为互为相反数.
2.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广
一元二次方程式解法公式
一元二次方程式解法公式一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知数，且a≠0。
解一元二次方程的一种常用方法是使用解法公式，也称为求根公式。
解法公式可以直接计算出方程的解，进而求解方程。
一元二次方程的解法公式可以分为两种情况讨论：当方程有实数根时，以及当方程有复数根时。
1. 当方程有实数根时：一元二次方程的解法公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)公式中的±表示两个解，一个为加号前面的解，另一个为减号前面的解。
在解法公式中，根号下的部分被称为判别式，用Δ表示，即Δ = b^2 - 4ac。
判别式Δ的值决定了方程的根的性质：- 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，即重根；- 当Δ < 0时，方程没有实数根，但有两个复数根。
2. 当方程有复数根时：一元二次方程的解法公式为：x = (-b ± i√(4ac - b^2)) / (2a)公式中的±表示两个解，一个为加号前面的解，另一个为减号前面的解。
在解法公式中，复数根的虚部用i表示，即i = √(-1)。
与实数根的情况相比，复数根的判别式为4ac - b^2。
当判别式4ac - b^2 > 0时，方程有两个共轭复数根；当判别式4ac - b^2 = 0时，方程有两个相等的复数根，即重根；当判别式4ac - b^2 < 0时，方程没有实数根，但有两个复数根。
通过解法公式，可以直接计算出一元二次方程的解。
根据公式中的系数a、b、c的不同取值，可以得到方程的不同解的情况。
需要注意的是，解法公式只适用于一元二次方程，对于其他类型的方程不适用。
此外，解法公式的使用还需要注意以下几点：1. 在计算解时，需要先计算出判别式的值，然后根据判别式的值来确定方程的根的性质。
2. 当判别式的值为0时，仍然需要进行计算，并且在计算过程中需要注意虚部的表示方式。
第3讲 一元二次方程的解法-公式法
第3讲 一元二次方程的解法(三)----公式法知识要点梳理1.一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0的求根公式：利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.2.根的判别式：ac b 42-=∆① 当b 2－4ac ＞0时，方程有2个不相等的实数根；② 当b 2－4ac ＝0时，方程有2个相等的实数根x 1＝x 2＝ab 2- ③ 当b 2－4ac ＜0时，方程无实数根.经典例题例1.用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0).因为a ≠0，方程两边都除以a ，得_____________________＝0. 移项，得 x 2＋ab x ＝________， 配方，得 x 2＋a b x ＋______＝______－ac , 即 (____________) 2＝___________因为a ≠0，所以4 a 2＞0，当b 2－4 ac ≥0时，直接开平方，得_____________________________.所以x ＝_______________________例2.不解方程，判断方程根的情况。
（1）x 2＋2x －8＝0； （2）3x 2＝4x －1；x ＝aac b b 242-±-( b 2－4 ac ≥0)（3）x（3x－2）－6x2-2＝0；（4）x2＋(3＋1)x＝0；（5）x（x＋8）＝-16；（6）（x＋2）（x－5）＝1；例2. m取什么值时，关于x的方程x2-2x＋m－2＝0（1）有两个相等的实数根？（2）没有实数根?例3. 说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.例4. 应用公式法解方程：(1)x2－6x＋1＝0； (2)2x2－x＝6； (3)4x2－3x－1＝x－2；(4)3x(x－3) ＝2(x－1) (x＋1). （5）x2+16x-13=0（6）（x＋1）2＝2（x＋1）.经典练习:1、方程x 2-4x ＋4＝0的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根；B.有两个相等的实数根；C.有一个实数根；D.没有实数根. 2、下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．x 2＋1＝0 B. x 2+x-1＝0 C. x 2+2x ＋3＝0 D. 4x 2-4x ＋1＝03、若关于x 的方程x 2-x ＋k ＝0没有实数根，则（ ）A. k ＜41B. k ＞41C. k ≤41D. k ≥41 4、关于x 的一元二次方程x 2-2x ＋2k ＝0有实数根，则k 的范围是（ ）A. k ＜21B. k ＞21C. k ≤21D. k ≥21 5．一元二次方程x 2-2x-m=0有两个相等的实数根，则m=（ ）． A ．0 B ．1 C ．-1 D ．±16．用公式法解方程4y 2=12y+3，得到（ ）A ．36-±B ．36±C ．323±D ．323-± 7．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且方程a （1+x 2）+2bx-c （1-x 2）=0的两根相等，则△ABC 为（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．任意三角形8．不解方程，判断所给方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．关于x 的一元二次方程x 2+2x+c=0的两根为__________________．（c ≤1）10．用公式法解方程x 2= -8x-15，其中b 2-4ac=___________，x 1=_________，x 2=___________．11．已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为________．12．当x=_______时，代数式13x +与2214x x +-的值互为相反数． 13．若方程042=+-a x x 的两根之差为0，则a 的值为______________．14．应用公式法解下列方程:(1) 2 x 2＋x －6＝0； (2) x 2＋4x ＝2；(3) 5x 2－4x －12＝0； (4) 4x 2＋4x ＋10＝1－8x.15.小明在一块长18m 宽14m 的空地上为班级建造一个花园，所建花园占空地面积的2116，图中阴影部分表示道路，请你求出图中的x ．16．要建一个面积为150m 2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一堵墙，墙长为am ，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m ．（1）求鸡场的长与宽各是多少？ （2）题中墙的长度a 对解题有什么作用．课后巩固:1．解下列方程；（1）2x2-3x-5=0 （2）2t2+3=7t(3) (x+5)(x-2)＝8；（4）x22x+1=0（5）0.4x2-0.8x=1 （6）23y2+13y-2=02.ｋ取什么值时，关于x的方程4x2-(ｋ＋2)x＋ｋ－１＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.3、某农场要建一个矩形的养鸭场，养鸭场的一边靠墙，墙长25m，另三边用篱笆围成，篱笆长为40m. （1）养鸭场的面积能达到150m2吗？（2）能达到200 m2吗？（3）能达到250m2吗？如果能，要怎么围？。
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程的解法公式法
一元二次方程解法公式法：
（一）定义：
一元二次方程是由一个方程组成的形式，其中包含一个独立的变量以
及平方项和恒等于零的常数。
（二）解法：
1. 首先，我们要用一元二次方程解法公式法来求解一元二次方程问题。
公式为：
$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
2. 其次，我们把方程中的变量代入到公式中。
一般来说，方程的形式为：$$ax^2+bx+c=0$$
3. 最后，根据公式，可以得出$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
（三）特殊情况：
1. 一元二次方程的实数根有可能为两个相等的数，此时，解的形式会
变成$$x=\frac{-b}{2a}$$
2. 当$b^2-4ac=0$时，表示方程只有一个实数根，这时，解的形式可以
写作$$x=\frac{-b}{2a}$$
（四）应用：
1. 一元二次方程解法公式法可以用来求解各类一元或多元函数的极值。
例如，可以应用这一方法求解二次曲线的极值点、凸函数的极值点等。
2. 同时，一元二次方程解法公式法也可用于求解数学建模问题，包括
求解市场博弈问题、求解应用各类运筹学问题等等。
（五）益处：
1. 一元二次方程解法公式法比较简单明晰，容易理解，易于使用。
2. 可以让人们轻松地解决一元或多元函数求极值问题，以及市场博弈
问题和应用各类运筹学技术来解决复杂的数学问题。
3. 这种方法可以将复杂的数学问题转换为简单的方程，从而节省时间，提高工作效率。
一元二次方程的解法 公式法
一元二次方程的解法公式法一元二次方程，这可是初中数学里的一个“大明星”！咱们今天就来好好聊聊它的解法——公式法。
在学习公式法之前，咱们先得搞清楚啥是一元二次方程。
比如说，像$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）这样的式子，就是一元二次方程。
这里面$a$、$b$、$c$可都是有讲究的，$a$叫二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
那公式法到底是啥呢？其实就是依靠一个超级厉害的公式来求解一元二次方程的根。
这个公式就是$x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
我记得我之前教过的一个学生，叫小李。
这孩子一开始听到这个公式就头疼，觉得太复杂了，根本记不住。
我就跟他说：“小李啊，你别把它想得那么可怕。
你就把它当成一个能帮你找到宝藏的密码。
”然后我带着他一步一步地推导这个公式，让他明白这个公式是怎么来的。
推导过程其实也不难。
我们先把一元二次方程$ax^2 + bx + c =0$（$a≠0$）移项，变成$ax^2 + bx = -c$，然后两边同时除以$a$，得到$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$。
接下来就是配方啦，在等式两边加上$\left(\frac{b}{2a}\right)^2$，左边就变成了$\left(x +\frac{b}{2a}\right)^2$，右边就是$\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$。
最后开方，就得到了咱们的求解公式$x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
小李跟着我一步一步推导完之后，恍然大悟，说：“老师，原来这个公式是这么来的啊，感觉也没那么难了！”有了这个公式，咱们就可以求解各种各样的一元二次方程啦。
比如说，方程$x^2 + 2x - 3 = 0$，这里$a = 1$，$b = 2$，$c = -3$，代入公式，$x = \frac{-2 ± \sqrt{2^2 - 4×1×(-3)}}{2×1}$，算一算，就能得到$x_1 =1$，$x_2 = -3$。
解一元二次方程公式法
公式法是这样生产的
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解 : a 2 ,b 9 ,c 8 .1.变形:化已知方程为一般形式;
b 2 4 a c 9 2 4 2 8 1 7 0 .
x b b 2 4 ac 2a
9 17
22 9 17 .
4
2.确定系数:用a,b,c写出各项系数;
九年级数学(上)第二章 一 元二次方程
3.公式法(1) 一元二次方程解法
配方法
回顾与复习 1
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元 二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为 配方法(solving by completing the square)
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义:
公式法将从这里诞生
你能用配方法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解:x29x40.
2
x2 9 x 4.
x29x292924.
x
2 9
2417
.
4
4 16
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值 一半的平方;
4.变形:方程左分解因式,右边合并 同类;
8.x1909..xx2714x;3;xx139 .43.273. 16x2+8x=3 ；
1
1 参 考 答 案 ：2 12
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
12
1
2
解:设这三个 一个连 直角续 三角偶 的 形三数 一 边的中 个 长x为间 ,为 根 三个据 连续题 偶 意得
x2 x 数 ,求2 这2 个三x角 形2 的2 .三边长.
公式法解一元二次方程的公式步骤
公式法解一元二次方程的公式步骤在代数学中，一元二次方程是一个常见的方程类型。
解决这种方程可以使用不同的方法，其中一种常见的方法是通过使用公式法。
这个方法基于一元二次方程的通用解法，其基本步骤如下：1. 确定方程的形式首先，我们需要确定方程的标准形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是已知的常数，且a ≠ 0。
2. 计算判别式我们需要计算方程的判别式∆，其公式为∆ = b^2 - 4ac。
判别式描述了实数根的性质，可以帮助我们确定方程的解的类型。
3. 根据判别式确定解的类型根据计算得到的判别式∆，我们可以确定方程的解的类型： - 如果∆ > 0，则方程有两个不相等的实数解。
- 如果∆ = 0，则方程有两个相等的实数解。
- 如果∆< 0，则方程没有实数解，而是有两个共轭复数解。
4. 根据解的类型计算解根据前面确定的解的类型，我们可以使用以下公式计算方程的解： - 如果方程有两个不相等的实数解，则解可以通过以下公式计算：x = (-b ± √∆) / 2a。
-如果方程有两个相等的实数解，则解可以通过以下公式计算：x = -b / 2a。
- 如果方程没有实数解而是有两个共轭复数解，则解可以通过以下公式计算：x = (-b ± i√(-∆)) / 2a，其中i是虚数单位。
5. 求解实际问题理解了如何使用公式法解决一元二次方程后，我们可以应用这个方法来解决实际的问题。
对于给定的实际问题，我们可以将其转化为一元二次方程，然后使用公式法求解。
以下是一个示例：问题：设某物体从离地面100米高的位置自由下落，在空气阻力忽略不计的情况下，求物体落地所需要的时间。
解答： - 在这个问题中，我们可以使用以下公式来描述物体的高度h（单位: 米）与时间t（单位: 秒）之间的关系：h = 100 - 4.9t^2。
这是一个典型的二次方程。
- 我们希望知道物体落地时的高度h为零。
一元二次方程公式大全
一元二次方程公式大全一、因式分解法：设一元二次方程为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
如果方程可以被因式分解为(a_1x+d_1)(a_2x+d_2)=0的形式，则根据零乘性质可得x=-d_1/a_1或x=-d_2/a_2，即方程的根为这两个值。
例如，对于方程x^2+5x+6=0，可以通过因式分解得到(x+2)(x+3)=0，因此方程的根为x=-2和x=-3二、求根公式法：求根公式法适用于任意一元二次方程。
设一元二次方程为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。
根据求根公式，方程的根可以表示为：x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}其中±表示可以取正负两个值。
例如，对于方程x^2+5x+6=0，根据求根公式可得x=\frac{-5±\sqrt{5^2-4×1×6}}{2×1}，计算可得根为x=-2和x=-3三、配方法：配方法适用于一元二次方程中b较大的情况，通过配方将方程转化为一个完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 将一元二次方程写成标准形式：ax^2+bx+c=0。
2.根据方程中的b项，将方程分成两部分，将x^2系数a与x系数c分别进行配方。
3.将分离的两部分进行配方，使其转化为完全平方。
4.将配方后的两部分相加或相减，消去中间项，得到一个完全平方。
5.将方程转化为(x±d)^2=n的形式，其中d为常数，n为已知数。
6.通过求平方根或其他方法求解方程。
例如，对于方程x^2+7x+12=0，可以通过配方法进行解答：1.将方程写成标准形式，即x^2+7x+12=0。
2.将方程分成两部分，即a为x^2的系数1，b为x的系数7，c为常数123.配方后得到(x+4)(x+3)=0。
4.将配方后的两部分相加，得到(x+4)+(x+3)=2x+7=0。
5.将方程转化为(x+7/2)^2=49/4的形式。
一元二次方程的解法之公式法
1 一元二次方程的解法（3）--公式法一．知识回顾：用配方法解一元二次方程a x 2+bx+c=0(a ≠0)二．知识点：1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式：042≥-ac b ） 2．用公式法解一元二次方程的关键是解题步骤：①.先写出a ，b ，c ②.再求出ac b 42- ③.最后代入公式当 042≥-ac b 时，有两个实数根；当 042<-ac b 时，方程无实数根。
3．一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 的根的判别式Δ=b 2-4ac ，当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac -<时，方程没有实数根 。
（反过来也成立）4． 例．用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0； （2）5x+2=3x 2 （3）（x-2）（3x-5）=0 ；（4）4x 2-3x+1=0 ； （5）212308x x -+= （6）x 2-2a x-b 2+a 2=0； ．三．自我训练：1．选择题1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）．A ．B ．C ．D ．22的根是（ ）．A ．x 1x 2B ．x 1=6，x 2C ．x 1x 2D ．x 1=x 23．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）．A ．4 B ．-2 C ．4或-2 D ．-4或24．设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，（1）试推导x 1+x 2=-b a ，x 1·x 2=c a ；（2）•求代数式a （x 13+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值．。
一元二次方程的解法公式法
例1. 解方程:
（1）x +3x+2=0 （2）-7x+2x2=4
2
例2. 解方程:
（1）x 2 2 2x
2
（2）（x -1）（6-x）=6
说一说
利用公式法解一元二次方程 的步骤？
用公式法解一元二次方程的步骤:
(1)把一元二次方程化为一般形式; (2)确定a、b、c的值; 2 (3)求出b -4ac的值; 2 (4)若b -4ac≥0,则把a、b、c及 2 b -4ac代入求根公式,求出x1， 2 x2;若b -4ac＜0,则方程无解.
2
b b 4ac x 2a
2
（b -4ac≥0）
2
利用公式法解一元二次方程时需注意：
(1)利用公式法解方程前，应将方程化为
一般形式，以正确确定a、b、c的值．
(2) 当b -4ac≥0时，方程有实数解; 当b -4ac＜0时，方程无解.
2 2 2
(3)在b -4ac≥0的前提下，将a、b、c的 值代入求根公式求解.
用配方法解一元二次方程:
(1) -2x2-7x+3=0 (2) (x-1)(x+6)=3
配方法解一元二次方程的步骤：
(1) 把方程化为一般形式; (2) 把方程二次项系数化为1;
(3) 移项:把方程的常数项移到方程的右边;
(4) 配方:方程两边都加上一次项系数一半
的平方. (5) 把方程化成(x+m)2=n(n≥0)的形式,然
随堂练习 1.方程3x2-8=7x化为一般形式
2-7x-8=0ห้องสมุดไป่ตู้3x 是 ，
3 b=_____, -7 c=_____, -8 a=____,
一元二次方程的解法——公式法
一元二次方程的解法——公式法1.公式法：一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的求根公式 ，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
问题：求根公式是怎样得来的呢？如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？？已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，试推导它的两个根x 1x 2=2b a- 解：移项，得：ax 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0直接开平方，得：x+2b a =±即∴x 1=2b a -x 2=2b a- 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子 （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．2．一元二次方程的判别公式：关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）的根的判别式为①240b ac -≥ <﹦> 一元二次方程有两个 的实数根,1x =，2x =； ②240b ac -= <﹦> 一元二次方程有两个 的实数根，122b x x a-==； ③240b ac -< <﹦> 一元二次方程有两个 的实数根；3.一元二次方程跟与系数的关系 一元二次方程的两根与方程中各系数有如下关系：， （也称韦达定理）。
4. 用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a ，b ，c 的值（注意符号）；②求出判别式的值，判断根的情况； ③在的前提下，把a 、b 、c 的值代入公式进行计算，求出方程的根。
一元二次方程的解法：公式法
2a
（2）当 b2 4ac 时，方程无实数解
例 2 解方程：4x2 4x 10 1 8x
解：化为一般式： 4x2 +12x 9 0
a 4,b 12,c 9
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 4ac 122 4 49 0
x 12 0 3
3. 公式法
偃师市大口镇中学 张延峰
温故知新
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
化1:化为一般式，并将二次项系数化为1； 移项：把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 ;开方:左边降次,右边开平方; 求解:解两个一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
用配方法解一般形式的一元二次方程
24
2
3 x1 x2 2
例 3 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化为一般式：
3x2 7x 8 0
a 3,b -7,c 8
b2 4ac （ 7）2 4 3 8 49 96 - 47 0
方程没有实数解。
随堂 练习 用公式法解下列方程：
（1） x2 4x 2
（2）5x2 4x 12 0
（3） 16x2 8x 3
课后小结
同学们，这节课你们都有哪些收获呢？
课后作业
1.课本第30页练习 2.课本第36页习题第二题的3、4
、5、6小题
再
见！
用公式法解方程：
例 1 解方程： 2x2 +x 6 0
例 2 解方程：4x2 4x 10 1 8x
例 3 解方程： x 21 3x 6
例 1 解方程： 2x2 +x 6 0
一元二次方程解法公式法
一元二次方程解法公式法一元二次方程是指形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知实数且a≠0。
解一元二次方程的方法有很多种，其中最常用的方法是解法公式法。
一元二次方程解法公式法是通过使用一元二次方程的解法公式来求解方程的根。
解法公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
根据这个公式，我们可以分别计算出方程的两个根。
我们需要确定一元二次方程的系数a、b、c的值。
然后，代入解法公式中进行计算。
在计算过程中，需要注意判别式的值。
判别式为b^2 - 4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，方程无实根，但有两个共轭复根。
根据判别式的值，我们可以得出方程的根的情况。
如果判别式大于0，则可以直接使用解法公式计算出两个实根。
如果判别式等于0，则可以得到一个实根，另一个实根与之相等。
如果判别式小于0，则可以得到两个虚根，它们是共轭复数。
解法公式法是一种简便而且通用的方法，适用于解任何一元二次方程。
通过解法公式法，我们可以快速求解一元二次方程的根，并得出方程的解的情况。
下面我们通过一个例子来演示一元二次方程解法公式法的具体步骤。
例题：解方程x^2 + 4x + 4 = 0。
根据解法公式法，我们可以得到a=1，b=4，c=4。
计算判别式的值：判别式 = 4^2 - 4*1*4 = 0。
由于判别式等于0，说明方程有两个相等的实根。
然后，代入解法公式计算根的值：x = (-4 ± √(4^2 - 4*1*4)) / 2*1。
化简得：x = (-4 ± √(0)) / 2。
由于根号内的值为0，因此方程的根为x = -2。
经过计算，我们得到方程x^2 + 4x + 4 = 0的解为x = -2。
通过这个例子，我们可以清楚地看到一元二次方程解法公式法的应用过程。
根据方程的系数，确定a、b、c的值，计算判别式，然后代入解法公式进行计算，最后得出方程的根的值。
一元二次方程的解法公式法
解：原方程中 a = 1, b = − 1, c = − 3 b − 4 ac = ( − 1) − 4 × 1 × ( − 3) = 13
2 2
− b ± b − 4 ac − 1 ± 13 x= = 2a 2 − 1 + 13 − 1 − 13 ∴ x1 = , x2 = 2 2
2
辨 析
2、解方程：2 x + x − 2 = 0
2
2
当b − 4ac ≥ 0时，它有两个实数根：
+ bx + c = 0(a ≠ 0)
− b + b2 − 4ac − b − b2 − 4ac x1 = , x2 = 2a 2a
这就是一元二次方程 ax +bx+c = 0(a ≠ 0)
2
的求根公式.
在解一元二次方程时，只要把方程化为一般式
ax + bx + c = 0(a ≠ 0)
辨 析
小马虎在学完用公式法解一元二次方程 觉得非常简单,也非常高兴, 后,觉得非常简单,也非常高兴,很快就做好 了作业,可是他马虎的毛病到底改了没有呢? 了作业,可是他马虎的毛病到底改了没有呢? 1、解方程： x − x − 3 = 0
2
解：原方程中 a = 1, b = − 1, c = − 3 b − 4 ac = ( − 1) − 4 × 1 × ( − 3) = 13
2
b − 4ac = (−4) − 4 ×1× 4 = 0
2 2
− b ± b − 4ac 4 ± 0 x= = =2 2a 2 ∴x = 2
2
辨 析
2 4、解方程： x + x + 2 = 0
2
解：原方程中 a = 2, b = 1, c = 2 b − 4 ac = 1 − 4 × 2 × 2 = −15
解一元二次方程公式法
题目：求解方程 x^2-3x+2=0
解法：使用公式法 将方程转化为(x1)(x-2)=0
解：x=1或x=2
应用：求解一元二 次方程如求解 x^2+2x-3=0等
求根公式法：适用于所有一元二次方程 配方法：适用于二次项系数为1的一元二次方程 公式法：适用于二次项系数为1的一元二次方程 因式分解法：适用于二次项系数为1的一元二次方程
数
根的和：一元 二次方程的两 个根的和等于 一次项的系数 除以二次项的
系数
根的判别式：一 元二次方程的判 别式等于一次项 的系数的平方减 去四次项的系数
的平方
明确方程类型：一元二次 方程
正确使用公式：公式法
注意符号和运算顺序：避 免符号错误和运算错误
检查结果：验证结果是否 满足方程条件
理解一元二次方程的定义和性质 掌握公式法解一元二次方程的步骤 学会利用公式法解一元二次方程的实例 掌握公式法解一元二次方程的注意事项
判断方程是否有 实数根
判断方程是否有 复数根
判断方程是否有 重根
判断方程是否有 虚根
根的符号：一 元二次方程的 根可以是正数、
负数或零
根的乘积：一 元二次方程的 两个根的乘积 等于常数项除 以一次项的系
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01.
02.
03.
04.
05.
公式法：x = [b±sqrt(b^2-4c)] / (2)
一元二次方程： x^2+bx+c=0其中≠0
适用条件：≠0b^2-4c≥0
公式法的优点：简单、快捷 适用于所有一元二次方程
适用于求解一元二 次方程
适用于求解含有未 知数的方程
适用于求解含有二 次项的方程
求一元二次方程解的公式
求一元二次方程解的公式
一元二次方程的解法有开平方法、配方法、因式分解法，求根公式等，接下来看一下具体内容。
一元二次方程的解法公式
（一）开平方法
形如(X-m)²=n (n≥0)一元二次方程可以直接开平方法求得解为X=m±√n。
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
③方法是根据平方根的意义开平方。
（二）配方法
用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为一般形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
（三）因式分解法
是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：
①移项,将方程右边化为（0）；
②再把左边运用因式分解法化为两个（一）次因式的积；
③分别令每个因式等于零,得到（一元一次方程组）；
④分别解这两个（一元一次方程）,得到方程的解。
（四）求根公式法
用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式aX²+bX+c=0，确定a,b,c的值（注意符号）；
②求出判别式△=b²-4ac的值，判断根的情况.
若△<0原方程无实根;若△>0，X=((-b)±√(△))/(2a)。
公式法解一元二次方程
公式法解一元二次方程一元二次方程是数学领域中常见且重要的方程形式。
这种方程可以表示为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b和 c 分别表示常数，而 x表示未知数。
解一元二次方程的方法有很多种，例如因式分解法、配方法等。
本文将重点介绍一种常用的解法，即公式法。
公式法是通过使用一元二次方程的求根公式，来求解该方程的根。
求根公式有两个，分别是负根公式和正根公式。
下面将详细介绍这两个公式以及如何使用它们解一元二次方程。
对于一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0，首先需要计算出判别式Δ，Δ 的计算公式为Δ = b^2 - 4ac。
根据Δ 的值可以得出方程的根的情况：1. 如果Δ > 0，即判别式大于零，方程有两个不相等的实数根。
此时，可以使用正根公式和负根公式进行求解。
正根公式的计算公式为 x_1 = (-b + √Δ) / (2a)；负根公式的计算公式为 x_2 = (-b - √Δ) / (2a)。
通过带入这两个公式，可以得到方程的两个根。
2. 如果Δ = 0，即判别式等于零，方程有两个相等的实数根。
此时只需要使用一种求根公式。
求根公式的计算公式为 x = -b / (2a)。
带入这个公式，可以得到方程的根。
3. 如果Δ < 0，即判别式小于零，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。
此时只需要使用虚数单位 i，其定义为√(-1)。
求根的计算公式为 x_1 = (-b + i√|Δ|) / (2a)；x_2 = (-b - i√|Δ|) / (2a)。
通过带入这两个公式，可以得到方程的根。
下面通过一些实例来说明公式法的应用：例1：求解方程 2x^2 - 3x - 2 = 0。
首先计算判别式Δ = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25。
由于Δ > 0，所以方程有两个实数根。
然后，根据正根公式和负根公式计算根：x_1 = (-(-3) + √25) / (2(2)) = (3 + 5) / 4 = 8 / 4 = 2；x_2 = (-(-3) - √25) / (2(2)) = (3 - 5) / 4 = -2 / 4 = -0.5。
一元二次方程的解法——公式法
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac ;
2a
（2）当 b2 4ac 0 时，有两个相等的实数根。
b
x1
x2
; 2a
（3）当b2 4ac 0 时，没有实数根。
归纳
知1－讲
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ” 表示它，即Δ＝b2－4ac.
A.2 6
B .－2 6
C . 2 6 D . 3 6
（来自《典中点》）
【例】 用公式法解下列方程： （1）x2－4x－7＝0； （2） 2x2－2 2x＋1＝0； （3） 5x2－3x＝x＋1； （4）x2＋17＝8x.
知2－讲
确定a，b， c的值时， 要注意它们 的符号.
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
(1) b2 4ac 0
(2) b2 4ac 0 (3) b2 4ac 0
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax2 bx c 0 (a 0) ∵ a 0,4a2 0 当 b2 4ac 0
即
b
b2 4ac
x
2a
2a
特别提醒
b b2 4ac x
1、把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值。
2、求出 b2 4ac 的值，
注意：当 b2 4ac 0 时，方程无解。 3、代入求根公式: x b b2 4ac
2a
4、写出方程的解： x1、x2
练习：课本30页 练习
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
一元二次方程的解法公式法
求解匀加速直线运动的速度，已知初速度 $v_0$、加速度 $a$ 和时间 $t$，则末速度 $v = v_0 + at$。
04 一元二次方程的解法与其 他方法的比较
配方法与公式法的比较
配方法
通过配方将一元二次方程转化为完全平方的形式，然后求解。
公式法
直接使用一元二次方程的解的公式进行求解。
比较
配方法适用于所有的一元二次方程，而公式法只适用于一般形式的一元二次方程。配方法 在求解过程中需要更多的步骤，但适用范围更广；公式法直接简单，但适用范围有限。
直接开平方法：通过直接开平方的方式求解一元二次方程。
公式法：同上。
比较：直接开平方法适用于可以开平方的一元二次方程，而公式法适用于所有的一般形式的 一元二次方程。直接开平方法在求解过程中需要满足特定的条件，但求解过程简单；公式法 适用范围广，但求解过程相对复杂。
05 一元二次方程解法的扩展 和深化
通过因式分解、配方、使用二项式定 理等方法，将高次方程转化为低次方 程或一元一次方程，然后求解。
二元二次方程组的解法
定义
二元二次方程组是指包含两个未 知数的两个二次方程组成的方程
组。Leabharlann 解法通过消元法、代入法、行列式法 等方法，将二元二次方程组转化 为二元一次方程组或一元一次方
程，然后求解。
例子
求解方程组{x^2 + y^2 = 4, x + y = 2}，可以通过代入法得到x
简单实例
01
02
总结词
简单的一元二次方程，可以直 接套用公式求解。
实例1
$x^2 - 2x - 3 = 0$
03
实例2
$x^2 + 4x - 1 = 0$
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一元二次方程的解法之公式法
【知识要点】
1、复习用配方法解一元二次方程的步骤，推导出一元二次方程的求根公式：
对于一元二次方程02
=++c bx ax 其中0≠a ，由配方法有22244)2(a ac b a b x -=+， （1）当042
≥-ac b 时，得a ac b b x 242-±-=； （2）当042
<-ac b 时，一元二次方程无实数解。
2、公式法的定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
3、运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤：
（1）必须把一元二次方程化成一般式02=++c bx ax ，以明确a 、b 、c 的值；
（2）再计算ac b 42-的值： ①当042
≥-ac b 时，方程有实数解，其解为：a ac b b x 242-±-=； ②当042
<-ac b 时，方程无实数解。
【经典例题】
例1、推导求根公式：02
=++c bx ax （0≠a ）
例2、利用公式解方程：
（1） 0222=--x x （2） 4722
=+x x
（3）0142=+--x x （4）010342
=+-x x
例3、已知a ，b ，c 均为实数，且122+-a a ＋｜b ＋1｜＋(c ＋3)2＝0，解方程02=++c bx ax
例4、你能找到适当的x 的值使得多项式A =4x 2+2x －1与B =3x 2－2相等吗？
例5、一元二次方程(m －1)x 2＋3m 2x ＋(m 2
＋3m －4)＝0有一根为零，求m 的值及另一根．
【经典练习】
1、用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是 （ ）
A.x 1、2=24312122⨯-±
B.x 1、2=2
4312122⨯-±- C.x 1、2=2
4312122⨯+± D.x 1、2=32434)12()12(2⨯⨯⨯--±-- 2、方程x 2+3x =14的解是 （ ）
A.x =2653±
B.x =2653±-
C.x =2233±
D.x =2
233±- 3、下列各数中，是方程x 2－(1+5)x +5=0的解的有 ( )
①1+5 ②1－5 ③1 ④－5
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个 4、若代数式x 2－6x ＋5的值等于12，那么x 的值为( )
A ．1或5
B ．7或－1
C ．－1或－5
D ．－7或1 5、关于x 的方程3x 2－2(3m －1)x ＋2m ＝15有一个根为－2，则m 的值等于( )
A ．2
B ．－21
C ．－2
D ．2
1
6、如果a 是一元二次方程x 2–3x+m=0的一个根，-a 是一元二次方程x 2
+3x –m=0的一个根，那么a 的值等于（ ）
A ．1或2
B ．0或-3
C ．-1或-2
D ．0或3
7、当x 为何值时，代数式2x 2＋7x －1与4x ＋1的值相等?
8、用公式法解下列各方程
（1）x 2+6x +9=7
（2）017122=++x x
（3）08242=+-x x
（4）05322=--x x
（5）012=--x x
（6）01532=+-x x
（7）4)3)(12(=--x x
（8）02)82(42=++-y y
（9）02322=--x x
（10）()()()0112=-++-y y y y
（11） 1852-=-x x （12）02332222=+---+n mn m nx mx x
【课后作业】
1、方程(x －5)2＝6的两个根是( )
A ．x 1＝x 2＝5＋6
B ．x 1＝x 2＝－5＋6
C ．x 1＝－5＋6，x 2＝－5－6
D ．x 1＝5＋6，x 2＝5－6 2、利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为__________，确定__________的值，当__________时，把a ,b ,c 的值代入公式，x 1，2=____________求得方程的解.
3、当x 为何值时，代数式2x 2＋7x －1与x 2
－19的值互为相反数?
4、用公式法解下列方程：
（1）0172=+-x x （2）0)8(=+x x
（3）22=-x x （4）3.08.02=+x x
（5）2132=+x （6）x x 72=
5、我们已经知道,一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)在b 2-4ac ≥0的前提下,其求根公式
为: ，则 (1)x 1+x 2= ; x 1·x 2=
(2)设方程x 2+3x -1=0根是α、β，据(1)的结论,计算：
，α2+β2=
6、要设计一座2m 高的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,雕像的下部应设计为多高?
7、已知a ＋b ＋c ＝0．求证：1是关于x 的一元二次方程a x 2＋bx ＋c ＝0的根． a ac b b x a ac b b x 24,242
221---=-+-==+βα11。