工程数值方法2第二章概论
系统工程导论 第二章系统工程的基础理论与方法论 第一节系统最优化理论
n 。最后，也要考虑到xij
的产品数量属性，即 xij 0,i 1, 2, m, j 1, 2, n ，因此，该运
输方案可由以下模型求解得到：
2.1 系统最优化理论
mn
min
cij xij
i 1 j 1
（2-3）
n
s.t. xij ai ,i 1, 2, m j 1 m xij bj , j 1, 2, n i 1 xij 0,i 1, 2, m, j 1, 2, n
2.1 系统最优化理论
mn
解
首先，在假设运输量为
xij
的条件下其总的运费为 i 1
j 1
cij
xij
。
其次，要考虑到从任意产地运出的量要等于该产地的产量，即
n
xij ai ,i 1, 2,
j 1
m 。第三，还要考虑到运到任意销地的量要等
m
于该销地能销出的量，即 xij bi , j 1, 2, i 1
不同的方案、设计、措施以达到最优目的。（2）目标函数，如例
2-1
中的 max
, 10x1 18x2
例
2-2
中的min
mn
cij xij
。目标函数通常是决策变
i 1 j 1
量的函数，表达了“何为最优”的准则和目标，规定了优化问题
的实际意义。
2.1 系统最优化理论
（3）约束条件，如例 2-1 和例 2-2 中由“s.t”规定的部分。 约束条件指决策变量取值时受到的各种资源和条件的限制，表 达了一种“有条件优化”的概念，通常为决策变量的等式或不 等式方程。如果决策变量的取值是连续的，且目标函数和约束 条件都是决策变量的线性函数，则称为线性规划问题。如果决 策变量的取值为整数点，则称为整数规划问题；如果部分决策 变量取值连续而其余取值为整数，则称为混合整数规划问题； 如果目标函数和约束条件中存在任何的非线性因子，则称为非 线性规划问题。
二级造价工程师第二章工程计量
汇报人： 202X-01-04
目 录
• 工程计量概述 • 建筑工程计量 • 安装工程计量 • 工程量清单编制
01
CATALOGUE
工程计量概述
定义与特点
定义
工程计量是造价工程师对建设工程的 工程量进行计算和评估的过程，是确 定工程造价的基础工作。
特点
工程计量具有准确性、完整性、系统 性、科学性和法规性的特点，要求计 量人员具备扎实的专业知识和丰富的 实践经验。
消防管道安装工程量计算
根据消防管道的类型、规格和使用要求，计算消防管道安 装的工程量，包括管道长度、连接方式和支架数量等。
消防报警系统安装工程量计算
根据消防报警系统的类型、规格和使用要求，确定消防报警系统 安装的工程量，包括探测器数量、控制柜规格和安装位置等。
04
CATALOGUE
工程量清单编制
工程量清单概述
根据管道长度和设计要求，计算管道支架的工程量，包括支架的材 料、规格和数量。
管道试压和吹扫工程量计算
根据管道长度和设计要求，确定管道试压和吹扫的工程量，包括试 压和吹扫所需的材料和设备。
电气安装工程计量
电气设备安装工程量计算
01
根据电气设备类型、规格和使用要求，确定电气设备安装的工
程量，包括设备数量、安装位置和高度等。
03
土石方工程计量的意义
土石方工程量是建筑工程计量中的重要组成部分，其计量结果的准确性
直接影响到建筑工程的总造价。
桩基工程计量
桩基工程量计算
根据施工图纸和工程量清单，计算桩基工程的工程量，包 括桩身长度、桩径、桩身混凝土强度等。
桩基计量规则
根据不同的桩基类型和施工方法，有不同的计量规则，如 预制桩按设计图示尺寸以桩长或根数计算，灌注桩按设计 图示尺寸以桩长或设计直径计算等。
工程数值方法
一、解线性方程组的乔累斯基分解程序程序如下：clear;clc;A=[5 -4 1 0 ;-4 6 -4 1;1 -4 6 -4;0 1 -4 5]; %线性方程组的系数矩阵AB=[1 0;0 1 ; 0 0; 0 0]; %方程组的右端矩阵B[m,n]=size(A); %方程组的系数矩阵A的行数和列数if m~=nerror('A必须是个方阵');end%判断A是否是方阵flag=0;%定义一个标记for o=1:mif det(A(1:o,1:o))<0error('这不是一个正定的矩阵');flag=0;elseflag=1;end %根据矩阵的各阶主子式判定矩阵是否正定endif flag==1disp('A是一个正定的矩阵');endl=[1 0 0 0 ;0 1 0 0;0 0 1 0 ;0 0 0 1];d=[0 0 0 0 ;0 0 0 0;0 0 0 0 ;0 0 0 0]; %矩阵l和ds=0; %中间变量s,tt=0;for i=2:1:n(1) %乔列斯基分解d(1,1)=A(1,1);for j=1:1:i-1t=0;for k=1:1:j-1t=t+d(k,k)*l(i,k)*l(j,k);endl(i,j)=(A(i,j)-t)/d(j,j); %得到矩阵l ends=0;for k=1:1:i-1s=s+d(k,k)*(l(i,k))^2;endd(i,i)=A(i,i)-s; %得到矩阵d end%解方程，其中Y为中间结果：ldY=B;l'X=Ya=l*d;%Y等于B左乘ldY=pinv(a)*B;c=l';%X等于Y左乘l的转置X=pinv(c)*Y;%显示l d X Ydisp('下三角矩阵L为');disp(l);disp('对角阵D为');disp(d)disp('上三角矩阵L’为');disp(l');disp('方程AX=B的解X为');disp(X);disp('方程的中间解y为');disp(Y);运行结果：A是一个正定的矩阵下三角矩阵L为1.0000 0 0 0-0.8000 1.0000 0 00.2000 -1.1429 1.0000 00 0.3571 -1.3333 1.0000对角阵D为5.0000 0 0 00 2.8000 0 00 0 2.1429 00 0 0 0.8333上三角矩阵L’为1.0000 -0.8000 0.2000 00 1.0000 -1.1429 0.35710 0 1.0000 -1.33330 0 0 1.0000方程AX=B的解X为1.2000 1.60001.60002.60001.40002.40000.8000 1.4000方程的中间解y为0.2000 -0.00000.2857 0.35710.3333 0.53330.8000 1.4000二、利用插值法求解点的一、二阶导数和它们的截断误差程序如下：%利用五点四次插值公式求解clc;clear;%已知的插值结点和对应的函数值formaty=[0.4;0.5;0.6;0.7;0.8];f=[1.5836494;1.7974426;2.0442376;2.3275054;2.6510818];syms x l F g[n,m]=size(y);for i=1:nl(i)=1;for k=1:nif k~=il(i)=l(i)*(x-y(k))/(y(i)-y(k)); %求插值基函数endendendF=l*f; %插值函数F(x)f1=diff(F,1); %插值函数求一阶导数f2=diff(F,2); %插值函数求二阶导数a=subs(f1,x,0.6) %当x=0.6时，f1的值b=subs(f2,x,0.6) %当x=0.6时，f2的值g=2*exp(1)^x-x-1; %已知的原函数a1=subs(diff(g,1),x,0.6) %当x=0.6时，原函数一阶导数值b1=subs(diff(g,2),x,0.6) %当x=0.6时，原函数二阶导数值E1=abs(a1-a) %一阶导数的截断误差E2=abs(b1-b) %二阶导数的截断误差运行结果：a =2.644224999999417b =3.644239999998408a1 =2.644237600781018b1 =3.644237600781018E1 =1.260078160125744e-05E2 =2.399217390536279e-06三、辛普森求一重积分1、源代码：①Simpson.m文件（定义Simpson函数和）function [s] = Simpson(a,b,e,m4) %第一个function。
工程数学_概率统计简明教程_第二章_随机事件
成一件事情有n 个步骤，第 i 个
步骤中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 n 共有 m
i 1
i
种不同的方法
选排列 从 n 个不同的元素中，任取 m 个
(不放回地）按一定次序排成一列，不同的 排法共有
Pnm n(n 1)( n 2) (n m 1)
等可能性
每次试验中，每一种可能结果发生的可能性相同， 即
1 P( A1 ) P( A2 ) P( An ) n Ai i , i 1,2,, n 其中
古典概型的计算公式
确定试验的基本事件总数
设试验结果共有n个,即基本事件ω1，ω2，...， ωn ，而且这些事件的发生具有相同的可能性
例
已知P(A)=0.3， P(B)=0.6,试在下列两
种情形下分别求出P(A-B)与P(B-A)
(1) 事件A,B互不相容 (2) 事件A,B有包含关系
解
(1) 由于 AB ,因此 A B A, B A B
P( A B) P( A) 0.3 P( B A) P( B) 0.6
次试验，事件Ａ发 生的频率 m/n，随着试验次
数n的增大而稳定地在某个常数 p附近摆动,那么
称p为事件Ａ的概率
P( A) p
当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频 率近似的代替事件A的概率
排列组合有关知识复习
加法原理：完成一件事情有n 类方法，第 i 类
方法中有 mi 种具体的方法，则完成这件事情 n 共有 m
当人数为 50 时， {生日“无重复”} 的概率为：0.03
古典概率的计算：抽签
10个学生抽签的方式分配3张音乐会入场券，抽取 10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.求 A={第 五个学生抽到入场券}的概率。
数值计算方法及其应用
数值计算方法及其应用第一章引言数值计算方法是一种基于数学分析和计算机技术的计算方法，是概括了现代计算各个领域的一类方法。
随着计算机技术的不断进步，数值计算方法已经成为了计算机科学中的一个重要领域，涉及到计算机科学、数学、物理、工程等领域。
本文将从数值计算方法的基本概念、数值计算方法算法的分类、数值计算方法的优缺点以及数值计算方法的应用等方面加以探讨。
第二章数值计算方法的基本概念数值计算方法是使用数学方法和数值技术处理各种数学问题的一种方法。
它是一种解决数学问题的有效工具，不同于传统的数学方法，数值计算方法采用的是数值计算机计算技术，使得计算机可以精确计算、预测和模拟各种数学问题，如数值微积分、连续函数数值解、离散方程数值解等。
数值计算方法的核心概念就是数值算法，数值算法是指实现数值计算方法的算法，包括基于数学分析的算法和基于经验数据的算法。
第三章数值计算方法算法的分类数值计算方法算法可以分为以下几类：1.数值微积分算法2.解线性方程组的数值方法3.常微分方程的数值解法4.偏微分方程的数值解法5.数值优化方法6.数值统计算法7.数学模型的数值计算方法第四章数值计算方法的优缺点数值计算方法的优点：1.数值计算方法可以解决非常复杂和高度非线性的数学问题2.数值计算方法无所不能，可做大量的计算3.数值计算方法具有较高的可重复性和可验证性4.数值计算方法可以通过计算机进行高速计算，节省了人力成本和时间成本数值计算方法的缺点：1.数值计算方法的实现程序错误会导致计算结果失真2.数值计算方法对于计算精度的要求很高3.数值计算方法对于计算机硬件和软件的要求也很高第五章数值计算方法的应用数值计算方法已经被广泛应用于各个领域，如：1.科学研究：能够用计算机进行大规模复杂计算，计算机模拟得出科学研究结论，如气象学模拟，生命科学中的反应动力学分析等。
2.工程设计：例如结构力学分析、电路设计、流体力学分析和控制系统等。
3.数据科学：如数据挖掘、计算机视觉、自然语言处理、人脸识别等。
高等工程数学第二章习题及答案
第2章 线性代数方程组数值解法 研究n 阶线性方程组Ax b =的数值解法.()ij A a =是n n⨯矩阵且非奇异，12(,,,)Tn x x x x = ,12(,,,)Tn b b b b =两类数值方法：(1) 直接法：通过有限次的算术运算，若计算过程中没有舍入误差，可以求出精确解的方法.Ax b Gx d == 等价变换G 通常是对角矩阵、三角矩阵或者是一些结构简单的矩阵的乘积.(2) 迭代法：用某种极限过程去逐次逼近方程组的解的方法.(1)()i i Ax b x Bx k x Bx k +==+−−−−−→=+ 等价变换建立迭代格式，0,1,i =一、向量范数与矩阵范数 1. 向量范数【定义】 若对nK 上任一向量x ，对应一个非负实数x ，对任意,nx y R ∈及K α∈，满足如下条件(向量范数三公理) (1) 非负性：0x ≥，且0x =的充要条件是0x =；(2)齐次性：x xαα=；(3)三角不等式：x y x y+≤+.则称x为向量x的范数.常用的向量范数： (1) 1—范数11nii x x ==∑(2) 2—范数12221()ni i x x ==∑(3) ∞—范数1max ii nxx ∞≤≤=(4) 一般的p —范数11()pnpi pi xx ==∑2. 矩阵范数【定义】 若n nK ⨯上任一矩阵()ij n n A a ⨯=，对应一个非负实数A ，对任意的,n nA B K ⨯∈和K α∈，满足如下条件(矩阵范数公理)：(1) 非负性：0A ≥，且0A =的充要条件是0A =；(2)齐次性：A Aαα=；(3)三角不等式：A B A B +≤+；(4)乘法不等式：AB A B≤.则称A为矩阵A的范数.矩阵范数与向量范数是相容的：Ax A x≤向量范数产生的从属范数或算子范数：10max maxx x AxA Ax x=≠==常见从属范数：(1) 1—范数111max ||nij j ni A a ≤≤==∑(2) ∞—范数11max ||nij i nj A a ∞≤≤==∑(3) 2—范数2A =谱半径1()max ||H i i n A A ρλ≤≤=，iλ为H A A 的特征值.H A 为A 的共轭转置. 注：矩阵A 的谱半径不超过A 的任一范数，即()A A ρ≤范数等价性定理：,s t x x为n R 上向量的任意两种范数，则存在常数12,0c c >，使得12,ns t s c x x c x x R ≤≤ ∀∈.注：矩阵范数有同样的结论. 【定理2.1】是任一向量范数，向量序列()k x 收敛于向量*x 的充要条件是()*0,k x x k -→ →∞二、 Gauss 消去法 1．顺序Gauss 消去法 将方程Ax b =写成如下形式11112211,121122222,11122,1n n n n n n n n nn n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a ++++++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩其中记,1,1,2,,.i n i a b i n +==消元过程：第一次消元：设110a ≠，由第2,3,,n 个方程减去第一个方程乘以1111/(2,3,,)i i m a a i n == ，则将方程组中第一个未知数1x消去，得到同解方程11112211,1(1)(1)(1)22222,1(1)(1)(1)22,1n n n n n n n nn n n n a x a x a x a a x a x a a x a x a ++++++=⎧⎪ ++=⎪⎨⎪⎪ ++=⎩其中， (1)11,2,3,,;2,3,,,1ijij i j a a m a i n j n n =-==+ . 1111/i i m a a =，2,3,,i n = .第二次消元：设(1)220a ≠，.由第2,3,,n 个方程减去方程组中的第2个方程乘以(1)(1)2222/(3,4,,)i i m a a i n == ，则将方程组第2个未知数2x 消去，得到同解方程11112213311,1(1)(1)(1)(1)2222322,1(2)(2)(2)33333,1(2)(2)(2)33,1n n n n n n n n n nnn n n n a x a x a x a x a a x a a x a a x a x a a x a x a ++++++++=⎧⎪ +++=⎪⎪ ++=⎨⎪⎪⎪ ++=⎩其中(2)(1)(1)22, 3,4,,; 3,4,,,1ij ij i j a a m a i n j n n =-==+ . (1)(1)2222/i i m a a =，3,4,,i n = .经过1n -次消元后，原方程组变成等价方程组11112213311,1(1)(1)(1)(1)2222322,1(2)(2)(2)33333,1(1)(1),1n n n n n n n n n n n nn n n n a x a x a x a x a a x a a x a a x a x a a x a +++--+++++=⎧⎪ +++=⎪⎪ ++=⎨⎪⎪⎪ =⎩其中()(1)(1), 1,2,,k k k ij ij ik ij a a m a i k k n --=-=++ ， 1,2,,,1j k k n n =+++ .(1)(1)/k k ik ik kkm a a --=，1,2,,i k k n =++ ；1,2,,1k n =- .回代过程：(1)(1),1(1)(1)(1),1,,1/[]/,1,2,,2,1.n n n n n m n i i i ii n i j j i j j i x a a x a a x a i n n --+---+=+⎧=⎪⎨=-=--⎪⎩∑计算量：按常规把乘除法的计算次数合在一起作为Gauss 消去法总的计算量，而略去加减法的计算次数. 在消去过程中，对固定的消去次数(1,2,,1)k k n =- ，有：除法(1)(1),,/,1,1,,k k ik i k k k m a a i k k n --= =++ 共计n k -次；乘法(1),,1,2,,;1,2,,,1k ik k j m a i k k n j k k n n - =++ =+++ 共计()(1)n k n k --+次.因此，消去过程总的计算量为1311[()(1)]3n k M n k n k n k n-==--++-≈∑ 回代过程的乘除法计算次数为21()2n n +.与消去法计算量相比可以略去不计.所以， Gauss 消去法总的计算量大约为313n .2. Gauss-Jordan 消去法Gauss-Jordan 消去法是Gauss 消去法的一种变形.此方法的第一次消元过程同Gauss 消去法一样，得到(1)(1)(1)(1)11112213311,1(1)(1)(1)(1)22223322,1(1)(1)(1)(1)32233333,1(1)(1)(1)(1)2233,1,,,,n n n n n n n n n nn nn n n n a x a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a ++++⎧++++=⎪ +++=⎪ +++=⎨ +++= ⎪⎪⎪⎪⎩其中，(1)11,2,,,1jj a a j n n ==+ . 第二次消元：设(1)220a ≠，由第1,3,4,,n 个方程减去第2个方程乘以(1)(1)2222/(1,3,4,,)i i m a a i n == ,则得到同解方程组(2)(2)(2)11113311,1(1)(2)(2)(2)22223322,1(2)(2)(2)33333,1(2)(2)33,1,,,n n n n n n n n n nnn n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a a x a x a +++++ +++= +++= ++= ++= (2),⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩继续类似的过程，在第k 次消元时，设(1)k kk a -，将第i 个方程减去第k 个方程乘以(1)(1)/k k ik ik kk m a a --=，这里1,3,4,1,1,,i k k n =-+ .经过1n -次消元，得到(2)1111,1(1)(2)2222,1(2)(2)33,1,,,n n n n n a x a a x a a x a +++⎧ =⎪ =⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ =⎩其中()(1)(1),1,2,,1,1,,k k k ij ij ik kj a a m a i k k n --=-=-+ ；1,2,,,1; 1,2,,1j n n k n =+=- .此时，求解回代过程为(1)(1),1/,1,2,,n i i i n iix a a i n --+= = 经统计，总的计算量约为312M n ≈次乘除法. 从表面上看Gauss-Jordan 消去法似乎比Gauss 消去法好，但从计算量上看Gauss －Jordan 消去法明显比Gauss消去法的计算量要大，这说明用Gauss-Jordan 消去法解线性方程组并不可取.但用此方法求矩阵的逆却很方便. 3．列选主元Gauss 消去法在介绍Gauss 消去法时，始终假设(1)0k kk a -≠，称(1)k kka -为主元.若(1)0k kka -=，显然消去过程无法进行.实际上，既使(1)0k kka -≠，但(1)k kka -很小时，用它作除数对实际计算结果也是很不利的.称这样的(1)k kka -为小主元.【例2.2】设计算机可保证10位有效数字，用消元法解方程1112120.3100.7,0.9,x x x x -⎧⨯+=⎪⎨ +=⎪⎩【解】经过第一次消元：第2个方程减去第1个方程乘以212111/m a a =得1112(1)(1)222230.3100.7x x a x a -⎧⨯+=⎪⎨ =⎪⎩其中(1)1222222111/0.333333333310a a a a =-=-⨯，(1)123323211113(/)0.233333333310a a a a a =-⋅=-⨯于是解得(1)(1)223221/0.7000000000,0.0000000000,x a a x ⎧==⎪⎨=⎪⎩而真解为120.2,0.7x x = =注：造成结果失真的主要因素是主元素11a太小，而且在消元过程中作了分母，为避免这个情况发生，应在消元之前，作行交换.【定义】 若 (1)(1)||max ||k k k r k ik k i na a --≤≤=，则称(1)||k k r k a - 为列主元素. k r 行为主元素行，这时可将第 k r行与第k 行进行交换，使(1)||k k r k a - 位于交换后的等价方程组的 (1)k kk a - 位置，然后再施实消去法，这种方法称为列选主元Gauss 消去法或部分主元Gauss 消去法.【例2.3】 应用列选主元Gauss 消去法解上述方程. 【解】 因为2111a a >，所以先交换第1行与第2行，得1211120.9,0.3100.7,x x x x -⎧+=⎪⎨⨯+=⎪⎩ 然后再应用Gauss 消去法，得到消元后的方程组为1220.9,0.7.x x x ⎧+=⎨=⎩回代求解，可以得到正确的结果.即120.2,0.7x x = =.三、三角分解法 设方程组Ax b =的系数矩阵A 的顺序主子式不为零.即1112121222110,1,2,,.kk k k k kka a a a a a k n a a a ∆=≠=在Gauss 消去法中，第一次消元时，相当于用单位下三角阵211131111010010n m L m m -⎡⎤⎢⎥- ⎢⎥⎢⎥=- ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥- ⎢⎥⎣⎦ ，左乘方程组Ax b =，得11A x b =，其中11121(1)(1)122211(1)200n n n nn a a a a a A L a a -(1)⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥==⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ ，1(1)(1)111,11,1,1(,,,)Tn n n n b L b a a a -+++== .第二次消元时，相当于用单位下三角阵1232210101001n L m m - ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= - ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ - ⎢⎥⎣⎦0 ，左乘方程组11A x b =，得22A x b =其中11121(1)(1)22211(2)(2)221333(2)(2)300000n n n n nn a a a a a A L L A a a a a --⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥== ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ，11(1)(2)(2)2211,12,13,1,1(,,,,).Tn n n n n b L L b a a a a --++++==经过1n -次消元，最后得到等价方程组11n n A x b --=其中11121(1)222111111221(1)n n n n n n nn a a a a a A L L L L A a (1)--------⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦1111(1)(1)112221,12,1,1(,,,)n Tn n n n n n n b L L L L b a a a --------+++==注意到1n A -是一个上三角阵，记111111221n n n U A L L L L A -------==则121()n A L L L U LU -==其中，121n L L L L -= . 不难验证21313212_1111n n nn m L m m m m m ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ 1 ⎢⎥⎣⎦是单位下三角阵.于是解线性方程组Ax b =，就转化为解方程 LUx b =，若令Ux y =就得到一个与 Ax b =等价的方程组Ly b Ux y =⎧⎨=⎩【定理2.2】 若 A 为 n 阶方阵，且 A 的所有顺序主子式0k ∆≠，1,2,,k n = .则存在唯一的一个单位下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U ，使A LU =.在上述过程中，若不假设A 的顺序主子式都不为零，只假设A 非奇异，那么Gauss 消去法将不可避免要应用两行对换的初等变换.第一次消元，将第1行与第1r 行交换，相当于将方程组Ax b =左乘矩阵11r P ：1111r r P Ax P b=经第一次消元得11111111r r L P Ax L P b--=即系数矩阵为11111r A L P A-=，其中110111r P ⎡⎢ ⎢ 1= 1 0 1 ⎣0 0 ⎤⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦1 列 1r列 类似地，经1n -次消元，有121111111,22,11n n n n n r n n r r A L P L P L P A----------= .如果预先知道每一个(1,2,,1)iir P i n =- ，则在消元之前就全部作交换，得 1211,2,1,n n n r n r r A P P P A PA----== ，其中，1211,2,1,n n n r n r r P P P P ----= .即原方程变为PAx Pb =然后再消元，相当于对PA 做三角分解PA LU =由以上讨论，可得结论 【定理2.3】 若A 非奇异，则一定存在排列矩阵 P ，使得 PA 被分解为一个单位下三角阵和一个上三角1 行1行r阵的乘积，即PA LU =成立.这时，原方程组Ax b = 等价于 PAx Pb =，即等价于求解LUx Pb =令Ux y =则Ly Pb =实际求解时，先解方程组Ly Pb =,再根据 y 求解 Ux y =,即得原方程组Ax b =的解. 这种求解方法称为三角分解法.常用三角分解方法有以下几种. 1．Doolittle 分解方法 假设系数矩阵A 不需要进行行交换，且三角分解是唯一的. 记21121110n n l L l l ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ , 11121222n n nn u u u u u U u ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥ 0 ⎣⎦ 于是有1112111121222212222112111110n n n n n n n n nn a a a u u u u u a a a l l l a a a ⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ nn u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥0 ⎣⎦从前面讨论A 的LU 分解过程可看出,L 、U 的元素都是用有关的(1)k ij a -来表示的，而它们的计算较麻烦.现在给出直接从系数矩阵A ，通过比较等式的两边逐步把L 和U 构造出来的方法，而不必利用Gauss 消去法的中间结果(1)k ij a -.计算步骤： (1) 由L 阵的第1行分别乘U 阵的各列，先算出U 阵的第1行元素 11,1,2,,j j u a j n = = .然后，由L 阵的各行分别去乘U 阵的第1列，算出L 阵的第1列元素1111/,2,3,,i i l a a i n = = .(2)现假设已经算出U 阵的前1r -行元素，L 阵的前1r -列元素，下面来算U 阵的第r 行元素，L 阵的第r 列元素.由L 阵的第r 行分别乘U 阵的第j 列(,1,,)j r r n =+ ，得11r ij rk kj rjk a l u u -==+∑所以，得U 阵的第r 行元素11,,1,,r rj rj rk kj k u a l u j r r n-==- =+∑ .再由L 阵的第i 行(1,2,,)i r r n =++ 分别去乘U 阵的第r 列,得11r ir ik kr ir rrk a l u l u -==+∑,所以，得L 阵的第r 列元素11[]/,1,2,,.r ir ir ik kr rr k l a l u u i r r n -==- =++∑取1,2,,r n = 逐步计算，就可完成三角分解A LU =；(3)解与Ax b = 等价的方程组Ly b Ux y =⎧⎨=⎩逐次用向前代入过程先解Ly b = 得1111,2,3,,.i i i ij j j y b y b l y i n -==⎧⎪⎨=- =⎪⎩∑然后再用逐次向后回代过程解Ux y =得1/,()/,1,2,,2,1.n n nn n i i ij j ii j i x y u x y u x u i n n =+=⎧⎪⎨=- =--⎪⎩∑2．Crout 分解方法仍假设系数矩阵A 不需要进行行交换，且三角分解是唯一的.即ˆA L=ˆU .与Doolittle 分解方法的区别在111212122211n n n n nn a a a a a a a a a ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ 1122ˆˆl l ⎡⎤ 0⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 122ˆ1ˆ10n u u ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ 1 ⎣⎦ 比较两边，则可推导出与Doolittle 分解方法类似的公式，不过Crout 分解方法是先算ˆL 的第r 列，然后再算ˆU的第r 行.3．Cholesky 分解方法若 A 为对称正定矩阵，则有 ˆT U L =，即11()()TT T A LDL LD LD LL ===其中L 为下三角阵. 进一步展开为1121111211112122221222221212n n n n n n nn n n nn a a a l l l l a a a l l l l l l l a a a ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥ 0 ⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0nn l ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ 比较两边对应元素，容易得到12121()r rr rr rk k l a l -==-∑ ，11()/r ir ir ik rk rrk l a l l l -==-∑ 1,2,,;1,2,,.r n i r r n ==++Cholesky 分解的优点：不用选主元. 由21rrr rk k a l ==∑ 可以看出||1,2,,.rk l k r ≤=这表明中间量rk l得以控制，因此不会产生由中间量放大使计算不稳定的现象. Cholesky 分解的缺点：需要作开方运算. 改进的Cholesky 分解： 改为使用分解T A LDL =即11121121121221222121111n n n n n n n n nn a a a d l l l d a a a l l d a a a ⎡⎤ 1 ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ 1 1 ⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 2n l ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ 1⎣⎦其中21ˆl 1ˆn l 2ˆn l ˆnn l 1ˆn u12111()/r r rr rk k k r ir ir ik k rk rk d a l d l a l d l d-=-=⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑，1,2,,;1,2,,.r n i r r n ==++Cholesky 分解方法或平方根法：应用Cholesky 分解可将Ax b =分解为两个三角形方程组T Ly b L x y ⎧= ⎪⎨= ⎪⎩分别可解得111111/,()/.i i i ik k ii k y b l y b l y l i n -=⎧=⎪⎨=-, =2,3,,⎪⎩∑和1/,()/1,.n n nn n i i ki k ii k i x y l x y l x l i n n =+⎧=⎪⎨=-, =--2,,2,1⎪⎩∑改进的Cholesky 分解方法或改进的平方根法：应用改进的Cholesky 分解，将方程组Ax b =分解为下面两个方程组1,,T Ly b L x D y -= ⎧⎨= ⎩同理可解得1111,,2,3,,.i i i ik k k y b y b l y i n ==⎧=⎪⎨=- =⎪⎩∑和1/,/,1,2,,2,1.n n n n i i i ki k k i x y d x y d l x i n n =+⎧=⎪⎨=- =--⎪⎩∑ 4．解三对角方程组的追赶法若()ij n n A a ⨯=满足1||||,1,2,,.nii ij j j ia a i n =≠> =∑则称A 为严格对角占优矩阵.若A 满足1||||,1,2,,.nii ij j j ia a i n =≠≥ =∑且其中至少有一个严格不等式成立，则称A 为弱对角占优矩阵.现在考虑Ax d = 的求解，即11112222211111n n n n n n n n n b c x d a b c x d a b c x d d a b x -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ = ⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 系数矩阵A 满足条件11||||0,||||||,,0,2,3,, 1.||||0,i i i i i n n b c b a c a c i n b a ⎧>>⎪≥+ ≠=-⎨⎪>>⎩采用Crout 分解方法11112222221111n n n n n n n b c a b c a b c a b βαβγαγα---⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥ 1 ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ = ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎣⎦ 1n β-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥1 ⎢⎥⎢⎥ 1 ⎣⎦其中，,,i i i αβγ为待定系数.比较上式两边可得到111111,;,,2,3,,;,2,3,, 1.i i i i i i i i i b c a b i n c i n ααβγγβααβ-= == =+ == =-进而可导出1111111,2,3,,.,/,,2,3,,./(),2,3,, 1.i i i i i i ii i i i a i n b c b b i n c b i n γαβααββαβ--⎧= =⎪= =⎪⎨=- =⎪⎪=- =-⎩由此可看出，真正需要计算的是(1,2,,1)i n β=- ，而i α可由,i i b a 和1i β-产生.因此，实现了A 的Crout 分解后，求解Ax d =就等价于解方程组Ly dUx y =⎧⎨=⎩从而得到解三对角方程组的追赶法公式： (1) 计算i β的递推公式：1111/,/(),2,3,, 1.i i i i i c b c b i n ββαβ-⎧=⎪⎨=- =-⎪⎩(2) 解方程组Ly d =：11111/()/(),2,3,,.i i i i i i i y d b y d a y b a i n β--⎧=⎪⎨=-- =⎪⎩(3) 解方程组Ux y =：1,1,2,,2,1.n n i i i i x y x y x i n n β+⎧=⎪⎨=- =--⎪⎩追赶法的乘除法次数是66n -次.将计算121n βββ-→→→ 及12n y y y →→→ 的过程称之为“追”的过程，将计算方程组Ax d =的解121n n x x x x -→→→→ 的过程称之为“赶”的过程.四、迭代法 将Ax b =改写为一个等价的方程组 x Bx k =+建立迭代公式 (1)(),0,1,2,.i i x Bx k i +=+ =称矩阵B 为迭代矩阵.【定义】 如果对固定的矩阵B及向量k，对任意初始猜值向量(0)x ，迭代公式(1)()i i +()i()*lim i i x x →+∞=成立，其中*x 是一确定的向量，它不依赖于(0)x 的选取.则称此迭代公式是收敛的，否则称为发散的.如果迭代收敛，则应有**,x Bx k =+1. 收敛性()()*,0,1,2,i i x x i ε=- =为第i步迭代的误差向量.则有(1)(1)*()*()(),0,1,2,.x x B x x B i εε++=-=-==所以，容易推出()(0),0,1,2,,i i B i εε= =其中，(0)(0)*xxε=-为初始猜值的误差向量.设n nB K ⨯∈，lim 0i i B →+∞=⇔ ()1B ρ<.迭代法收敛基本定理： 下面三个命题是等价的 (1) 迭代法(1)()i i x Bx k +=+收敛；(2)()1B ρ<；(3) 至少存在一种矩阵的从属范数⋅，使1B <注：当条件()1B ρ<难以检验时，用1B 或B ∞等容易求出的范数，检验11B <或1B∞<来作为收敛的充分条件较为方便.常用迭代法如下. 2．Jacob 迭代 考察线性方程组Ax b =，设A 为非奇异的n 阶方阵，且对角线元素0ii a ≠(1,2,,)i n = .此时，可将矩阵A 写成如下形式A D L U =++,1122(,,,)nn D diag a a a = ，21313212000n n a L a a a a ⎡⎤⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ 0 ⎢⎥⎣⎦ ,12131232000n n a a a a a U ⎡⎤ ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥= 0 ⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎣⎦ ,建立Jacobi 迭代公式(1)1()1(),i i x D L U x D b +--=-++迭代矩阵11()J B D L U I D A --=-+=-J B 的具体元素为112111122122221200n n J n n nn nn a a a a a a B a a a a a a ⎡⎤ - -⎢⎥⎢⎥⎢⎥- - ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥- - 0 ⎢⎥⎣⎦ Jacobi 迭代法的分量形式如下1(1)()()111(),j n i i i jj jm m jm m m m j jj xb a x a x a -+==+=--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =3．Gauss-Seidel 迭代容易看出，在Jacobi 迭代法中，每次迭代用的是前一次迭代的全部分量()(1,2,,)i jx j n = .实际上，在计算(1)i j x +时，最新的分量(1)(1)(1)121,,,i i i j x x x +++- 已经算出，但没有被利用.事实上，如果Jacobi 迭代收敛，最新算出的分量一般都比前一次旧的分量更加逼近精确解，因此，若在求(1)i j x+时，利用刚刚计算出的新分量(1)(1)(1)121,,,i i i j x x x+++- ，对Jacobi 迭代加以修改，可得迭代公式1(1)(1)()111(),j ni i i jj jm m jm m m m j jj xb a x a x a -++==+=--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =矩阵形式(1)1()1()(),0,1,2,.i i x D L Ux D L b i +--=-++-+=1()G B D L U -=--+注：（1）两种迭代法均收敛时，Gauss-Seidt 迭代收敛速度更快一些.（2）但也有这样的方程组，对Jacobi 迭代法收敛，而对Gauss-Seidel 迭代法却是发散的. 【例2.4】 分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下面的方程组121232342,46,4 2.x x x x x x x ⎧- =⎪-+-=⎨⎪-+=⎩初始猜值取0(0,0,0)x =. 【解】 Jacobi 迭代公式为(1)()12(1)()()213(1)()321(2),41(6),0,1,2,41(2),4i i i i i i i x x x x x i x x +++⎧=+⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪=+⎪⎩迭代计算4次的结果如下 (1)(2)(3)(4)(0.5,1.5,0.5),(0.875,1.75,0.875),(0.938,1.938,0.938),(0.984,1.969,0.984).T T T T x x x x ====Gauss-Seidel 迭代公式为(1)()12(1)(1)()213(1)(1)321(2),41(6),0,1,2,41(2),4i i i i i i i x x x x x i x x +++++⎧=+⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪=+⎪⎩迭代计算4次的结果如下(1)(2)(3)(4)(0.5,1.625,0.9063),(0.9063,1.9532,0.9883),(0.9883,2.0,0.9985),(0.9985,1.999,0.9998).T T T T x x x x ====从这个例子可以看到，两种迭代法作出的向量序列(){}i x 逐步逼近方程组的精确解*(1,2,1)T x =,而且Gauss-Seidel 迭代法收敛速度较快.一般情况下，当这两种迭代法均收敛时，Gauss-Seidt 迭代收敛速度更3．超松弛迭代法为了加快迭代的收敛速度，可将Gauss-Seidel 迭代公式改写成1(1)()(1)()11(),j ni i i i jjj jm m jm m m m jjj xx b a x a x a -++===+--∑∑ 1,2,,;0,1,2,.j n i = =并记1(1)(1)()11(),j ni i i jj jm m jm m m m jjj rb a x a x a -++===--∑∑称 (1)i j r + 为 1i + 步迭代的第 j 个分量的误差向量.当迭代收敛时，显然有所有的误差向量(1)0(),1,2,,.i j r i j n +→→∞=为了获得更快的迭代公式，引入因子R ω∈，对误差向量 (1)i j r + 加以修正，得超松弛迭代法（简称SOR 方法）(1)()(1),0,1,2,.i i i j j j x x r i ω++=+ =即1(1)()(1)()1(),j ni i i i jjj jm mjm m m m jjjxx b a xa x a ω-++===+--∑∑1,2,,;0,1,2,.j n i = =适当选取因子ω，可望比Gauss-Seidel 迭代法收敛得更快.称ω为松弛因子.特别当1ω=时，SOR 方法就是Gauss-Seidel 迭代法.写成矩阵向量形式(1)1()1()[(1)](),j i x D L D U x D L b ωωωωω+--=+--++0,1,2,.i =迭代矩阵为1()[(1)].B D L D U ωωωω-=+--实际计算时，大部分是由计算经验或通过试算法来确定opt ω的近似值.所谓试算法就是从同一初始向量出发，取不同的松驰因子ω迭代相同次数(注意：迭代次数不应太少)，然后比较其相应的误差向量()()i i r b Ax =-(或()(1)i i x x --)，并取使其范数最小的松弛因子ω作为最佳松弛因子opt ω的近似值.实践证明，此方法虽然简单，但往往是行之有效的. 4．迭代收敛其它判别方法：用迭代法收敛基本定理来判断收敛性时，当n 较大时，迭代矩阵的谱半径计算比较困难，因此，人们试图建立直接利用矩阵元素的条件来判别迭代法的收敛定理. （1） 若方程组Ax b =中的系数矩阵A 是对称正定阵，则 Gauss-Seidel 迭代法收敛. 对于SOR 方法，当02ω<< 时迭代收敛（2）若A 为严格对角占优阵，则解方程组 Ax b = 的Jacobi 迭代法，Gauss －Seidel 迭代法均收敛. 对于SOR 方法，当01ω<< 时迭代收敛.【例2.5】 设线性方程组为121221,32,x x x x ⎧+=-⎪⎨+=⎪⎩建立收敛的Jacobi 迭代公式和Gauss －Seidel 迭代公式. 【解】 对方程组直接建立迭代公式，其Jacobi 迭代矩阵为0230J B -⎡⎤=⎢⎥- ⎣⎦，显见谱半径()1J B ρ=>，故Jacobi 迭代公式发散.同理Gauss －Seidel 迭代矩阵为0206G B -⎡⎤=⎢⎥ ⎣⎦，谱半径()61G B ρ=>，故Gauss －Seidel 选代公式也发散. 若交换原方程组两个方程的次序，得一等价方程组121232,21,x x x x ⎧+=⎪⎨+=-⎪⎩其系数矩阵显然对角占优，故对这一等价方程组建立的Jacobi 迭代公式，Gauss －Seidel 迭代公式皆收敛. （3）SOR 方法收敛的必要条件是 02ω<<【定理2.5】 如果A 是对称正定阵，且02ω<<，则解Ax b =的SOR 方法收敛.注：当(0,2)ω∈ 时，并不是对任意类型的矩阵A ，解线性方程组Ax b =的SOR 方法都是收敛的.当SOR 方法收敛时，通常希望选择一个最佳的值opt ω使SOR 方法的收敛速度最快.然而遗憾的是，目前尚无确定最佳超松弛因子opt ω的一般理论结果.实际计算时，大部分是由计算经验或通过试算法来确定opt ω的近似值.所谓试算法就是从同一初始向量出发，取不同的松驰因子ω迭代相同次数(注意：迭代次数不应太少)，然后比较其相应的误差向量()()i i r b Ax =-(或()(1)i i x x --)，并取使其范数最小的松弛因子ω作为最佳松弛因子opt ω的近似值.实践证明，此方法虽然简单，但往往是行之有效的.【例2.6】 求解线性方程组Ax b =，其中10.3000900.308980.30009100.4669110.274710.30898A - -- -0.46691 0= - -- 00.274711(5.32088,6.07624,8.80455,2.67600).T b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ - ⎣⎦ =-分别利用Jacobi 迭代法，Gauss －Seidel 迭代法，SOR 迭代法求解. 【解】其结果列入下表中，方程组精确解(五位有效数字)为*(8.4877,6.4275, 4.7028,4.0066).T x =-Jacobi 迭代法计算结果i()1i x()2i x ()3i x ()4i x ()2||||i r0 012.3095 1 5.3209 6.0762 －8.8046 2.6760 5.3609 27.97113.5621 －5.2324 1.90143.631820 8.4872 6.4263 －4.7035 4.0041 0.0041 218.48606.4271 －4.7050 4.0063 0.0028Gauss-Seidel 迭代法计算结果i()1i x()2i x()3i x()4i x()2||||i r0 012.3095 1 5.3209 7.6730 －5.2220 2.8855 3.6202 28.51506.1933 －5.1201 3.90040.49098 8.4832 6.4228 －4.7064 4.0043 0.0078 98.48556.4252－4.70554.00550.0038SOR 迭代法计算结果（1.16ω=）i()1i x()2i x()3i x()4i x()2||||i r0 012.3095 1 6.1722 9.1970 －5.2320 3.6492 3.6659 29.69416.1177 －4.8999 4.43351.33136 8.4842 6.4253 －4.7005 4.4047 0.0051 78.48686.4288－4.70314.00650.0016计算结果表明，若求出精确到小数点后两位的近似解，Jacobi 迭代法需要21次，Gauss －Seidel 迭代法需要9次，而SOR 迭代法(选松弛因子 1.16ω=)仅需要7次，起到加速作用.5．误差分析 【定理2.6】设 *x 是方程 Ax b = 的惟一解，v ⋅ 是某一种向量范数，若对应的迭代矩阵其范数1v B <，则迭代法(1)(),0,1,2,.i i xBx k i +=+ = 收敛，且产生向量序列(){}i x 满足()*()(1)||||||||||||1||||i i i vv vvB x x x x B --≤--()*(1)(0)||||||||||||1||||i i vv vvB x x x x B -≤--【证明】 由迭代收敛基本定理的(3)知，迭代法(1)(),0,1,2,.i i x Bx k i +=+ =收敛到方程的解*x .于是，由迭代公式立即得到(1)*()*(1)()()(1)(),().i i i i i i x x B x x x x B x x ++--=--=-为书写方便把v 范数中v 略去，有估计式(1)*()*||||||||||||,i i x x B x x +-≤⋅-(1)()()(1)||||||||||||.i i i i x x B x x +--≤⋅-再利用向量范数不等式||||||||||||x y x y -≥-于是得第一个不等式()(1)(1)()()*(1)*()*||||||||||||||||||||(1||||)||||,i i i i i i i B x x x x x x x x B x x -++ -≥-≥--- ≥--再反复递推即第二个不等式.注：（1）若事先给出误差精度ε，利用第二个不等式可得到迭代次数的估计(1)(0)(1||||)ln ln ||||||||v v v B i B x x ε⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦ （2）在||||v B 不太接近1的情况下，由第一个不等式，可用()(1)||||i i v x x ε--<作为控制迭代终止的条件，并取 ()i x 作为方程组 Ax b = 的近似解.但是在||||v B 很接近1时，此方法并不可靠.一般可取1,2,v =∞或F .【例2.7】 用Jacobi 迭代法解方程组123123123202324,812,231530.x x x x x x x x x ⎧++=⎪++=⎨⎪-+=⎩问Jacobi 迭代是否收敛?若收敛，取(0)(0,0,0)T x =，需要迭代多少次，才能保证各分量的误差绝对值小于610-?【解】 Jacobi 迭代的分量公式为(1)()()123(1)()()213(1)()()3121(2423)201(12),0,1,2,81(3022),15i i i i i i i i i x x x x x x i x x x +++⎧=--⎪⎪⎪=-- =⎨⎪⎪=-+⎪⎩Jacobi 迭代矩阵J B 为130102011088210155J B ⎡⎤ - -⎢⎥⎢⎥⎢⎥=- -⎢⎥⎢⎥⎢⎥- ⎢⎥⎣⎦，由5251||||max ,,1208153J B ∞⎧⎫==<⎨⎬⎩⎭知，Jacobi 迭代收敛. 因设(0)(0,0,0)Tx =，用迭代公式计算一次得(1)(1)(1)12363,, 2.52x x x = = =而(1)(0)|||| 2.x x ∞-=于是有6110(1)13ln ln 13.23i -⎡⎤⋅-⎢⎥>=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以，要保证各分量误差绝对值小于610-，需要迭代14次.【例2.8】 用Gauss －Seidel 迭代法解例2.11中的方程组，问迭代是否收敛?若收敛，取(0)(0,0,0)Tx =，需要迭代多少次，才能保证各分量误差的绝对值小于610-?【解】 Gauss －Seidel 迭代矩阵G B 为102403601()03025524000G B D L U - - ⎡⎤⎢⎥=-+= -⎢⎥⎢⎥ 38 -3⎣⎦显然1||||14G B =<，所以迭代收敛. Gauss －Seidel 迭代分量公式为(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)3121(2423),201(12),0,1,2,81(3022),15i i i i i i i i i x x x x x x i x x x ++++++⎧=--⎪⎪⎪=-- =⎨⎪⎪=-+⎪⎩因取(0)(0,0,0)T x =，故迭代一次得(1)(1)(1)1231.2, 1.35, 2.11x x x = = =于是有(1)(0)|||| 2.11x x ∞-=，计算得6110(1)14ln ln 10.2.114i -⎡⎤⋅-⎢⎥>=⎢⎥⎢⎥⎣⎦所在，要保证各分量误差绝对值小于610-，需要迭代11次.。
建筑工程计量与计价(第2版)第2章2
第二章 工程计价基础 2.3清单计价方法
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清单计价方法
3、投标报价 1）投标价应由投标人或受其委托具有相应资质的工
程造价咨询人编制。 2）投标报价应根据下列依据编制： ①本规范（指《建设工程工程量清单计价规范
GB50500》）； ②国家或省级、行业建设主管部门颁发的计价办
法； ③企业定额，国家或省级、行业建设主管部门颁
列出的单价计入综合单价； ③暂估价中的专业工程金额应按招标工程量清单中列出的
金额填写； ④计日工应按招标工程量清单中列出的项目根据工程特点
和有关计价依据确定综合单价； ⑤总承包服务费应根据招标工程量清单中列出的内容和要
求估算。 9）规费和税金应按本规范一般规定中第6条的规定计算。
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第二章 工程计价基础 2.3清单计价方法
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清单计价与定额计价并无本质上的不同， 其计价方式是指根据招标文件提供的招标 工程量清单，依据《企业定额》或建设主 管部门发布的《消耗量定额》，结合施工 现场拟定的施工方案，参照建设主管部门 发布的人工工日单价、机械台班单价、材 料和设备价格信息及同期市场价格，计算 出对应于招标工程量清单每一分项工程的 综合单价，进而计算分部分项工程费，措 施项目费以及其他项目费、规费、税金， 最后汇总来确定建筑安装工程造价。
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第二章 工程计价基础 2.3清单计价方法
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第二章 工程计价基础 2.3清单计价方法
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清单计价方法
3、编制依据 1）国家标准《清单计价规范》和相应工程
的《计量规范》； 2）国家或省级、行业建设主管部门颁发的
消耗量定额和计价办法； 3）建设工程设计文件及相关资料； 4) 拟定的招标文件及招标工程量清单；
工程数值方法中文教材
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图书在版编目(CIP)数据实用数值分析/杨大地,谈骏渝编著.—重庆:重庆大学出版社,2002.2工程硕士研究生系列教材ISBN7-5624-2095-5Ⅰ.实...Ⅱ.①杨...②谈...Ⅲ.计算方法-研究生-教材Ⅳ.O241中国版本图书馆CIP数据核字(2000)第12920号工程硕士研究生系列教材实用数值分析杨大地谈骏渝编著责任编辑:肖顺杰版式设计:肖顺杰责任校对:廖应碧责任印制:张立全*重庆大学出版社出版发行出版人:张鸽盛社址:重庆市沙坪坝正街174号重庆大学(A区)内邮编:400030电话:(023)65102378 65105781传真:(023)65103686 65105565网址:http://w 邮箱:fxk@(市场营销部)全国新华书店经销重庆大学建大印刷厂印刷*开本:787×10921/16 印张:12.75 字数:318千2000年2月第1版2004年3月第3次印刷印数:10001—15000ISBN7-5624-2095-5/O・179定价:20.00元本书如有印刷、装订等质量问题,本社负责调换版权所有翻印必究序近年来随着工程硕士专业学位的确立,工程硕士研究生的培养工作如雨后春笋般在全国广泛开展起来。
工程数学理工类教案
工程数学理工类教案第一章：线性代数基础1.1 向量及其运算向量的定义及表示方法向量的线性运算：加法、减法、数乘向量的长度和方向：模、单位向量、向量夹角1.2 矩阵及其运算矩阵的定义及表示方法矩阵的线性运算：加法、减法、数乘矩阵的乘法：行列式、转置、共轭转置矩阵的逆矩阵1.3 线性方程组高斯消元法解线性方程组克莱姆法则线性方程组的解的存在性和唯一性第二章：微积分基础2.1 极限与连续极限的定义及性质无穷小和无穷大极限的存在性判定函数的连续性及连续函数的性质2.2 导数与微分基本导数公式导数的应用：单调性、凹凸性、极值、最值2.3 积分与累积量不定积分的定义及基本性质基本积分公式定积分的定义及性质定积分的计算及应用第三章：概率论与数理统计3.1 随机事件及其运算随机事件的定义及表示方法随机事件的运算：并、交、补、独立性条件概率和全概率公式3.2 随机变量及其分布随机变量的定义及分类离散型随机变量的概率分布：伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布连续型随机变量的概率分布：均匀分布、正态分布、指数分布3.3 数理统计的基本方法描述性统计：频数、频率、均值、方差、标准差、图表概率推断：估计理论、假设检验、置信区间、显著性水平第四章：离散数学4.1 集合及其运算集合的运算：并、交、补、幂集集合的性质和公理系统4.2 图论基础图的定义及表示方法图的基本运算：相邻、度、路径、连通性特殊类型的图：树、连通图、网络4.3 逻辑与布尔代数逻辑运算：与、或、非、异或、蕴含、等价布尔代数的定义及基本性质布尔代数的运算规则：分配律、结合律、德摩根律第五章：数值计算方法5.1 误差与近似计算误差的概念及来源近似计算方法：四舍五入、泰勒展开、插值法有效数字的概念及舍入规则5.2 插值法与函数逼近插值法的定义及基本原理线性插值、二次插值、三次插值、样条插值函数逼近的方法：最小二乘法、傅里叶级数5.3 数值微积分数值积分：梯形法则、辛普森法则、龙贝格法则数值微分：有限差分法、中心差分法第六章：复变函数6.1 复数及其运算复数的定义及表示方法复数的线性运算：加法、减法、数乘、除法复数的三角形式和极坐标形式6.2 复变函数的概念复变函数的定义及表示方法复变函数的极限、连续性、可导性、可积性解析函数的性质和例子6.3 复变函数的积分柯西积分定理和柯西积分公式解析函数的积分计算解析函数的保形性质第七章：常微分方程7.1 微分方程的基本概念微分方程的定义及分类微分方程的解的存在性和唯一性微分方程的线性无关解7.2 常微分方程的解法常微分方程的分离变量法、积分因子法常微分方程的常数变易法、线性微分方程组常微分方程的伯努利方程、里卡提方程7.3 常微分方程的应用微分方程在物理、工程、生物学等领域的应用微分方程的稳定性分析微分方程的扰动解法第八章：偏微分方程8.1 偏微分方程的基本概念偏微分方程的定义及分类偏微分方程的解的存在性和唯一性偏微分方程的边界条件和初始条件8.2 偏微分方程的解法偏微分方程的直接解法：分离变量法、格林函数法偏微分方程的变换法：拉普拉斯变换、傅里叶变换偏微分方程的数值解法：有限差分法、有限元法、有限体积法8.3 偏微分方程的应用偏微分方程在电磁学、流体力学、量子力学等领域的应用偏微分方程的线性算子理论偏微分方程的非线性问题和混合问题第九章：数值优化9.1 优化问题的基本概念优化问题的定义及分类优化问题的约束条件和无约束条件优化问题的目标函数和约束函数9.2 数值优化方法梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法共轭梯度法、内点法、单纯形法遗传算法、模拟退火算法、粒子群优化算法9.3 优化问题的应用优化方法在工程、经济学、等领域的应用优化算法的收敛性和稳定性分析优化问题的并行计算和分布式计算第十章：工程数学综合应用10.1 矩阵分析与应用矩阵的谱分解、特征值和特征向量矩阵的奇异值分解和小波变换矩阵在图像处理、信号处理等领域的应用10.2 微分方程组和动力系统微分方程组的解法和结构动力系统的稳定性、混沌现象微分方程组在生物学、生态学、物理学等领域的应用10.3 数值模拟与计算机实验数值模拟的基本概念和方法计算机实验的原理和技巧数值模拟在工程、科学研究等领域的应用案例重点解析第一章：线性代数基础重点：向量、矩阵的运算及其性质，线性方程组的求解。
二级造价工程师第二章工程计量
二级造价工程师第二章工程计量工程计量是工程造价管理的重要环节，对于二级造价工程师而言，掌握这一章节的知识至关重要。
它不仅影响着工程造价的准确性，还关系到工程建设的成本控制和投资效益。
在工程计量中，首先要明确计量的对象和范围。
这包括各种建筑工程、装饰装修工程、安装工程等。
对于不同类型的工程，其计量的规则和方法也有所差异。
就建筑工程来说，建筑面积的计算是基础。
建筑面积的准确计算直接关系到后续工程量的计算和工程造价的确定。
例如，我们要清楚什么是永久性顶盖，什么是围护结构，以及如何区分不同情况下的建筑面积计算规则。
在计算墙体工程量时，要区分不同材质的墙体，如砖墙、混凝土墙等，同时要考虑墙体的厚度、高度以及是否有门窗洞口等因素。
对于柱子，要根据其形状和尺寸进行计量，包括矩形柱、圆形柱等。
装饰装修工程的计量则更加注重细节。
比如地面装饰，要考虑地面的材质、铺设方式以及是否有拼花等。
墙面装饰要区分涂料、壁纸、面砖等不同的装饰材料，并且要计算出它们的面积。
天棚装饰的计量也有其特定的规则，需要考虑吊顶的类型、高度等因素。
安装工程的计量相对较为复杂。
在电气安装工程中，要计算电线、电缆的长度，配电箱、开关柜的数量等。
给排水工程中，管道的长度、管径、阀门的数量等都是计量的重点。
通风空调工程中，风管的面积、风机的数量和型号等都需要准确计量。
在进行工程计量时，我们要依据相关的计量规范和标准。
这些规范和标准是经过长期实践和总结得出的，具有权威性和科学性。
同时，还要结合工程的实际情况，进行合理的调整和计算。
计量的精度也是需要特别关注的一个方面。
精度过高可能会增加不必要的工作量，精度过低则可能导致工程造价的偏差。
因此，要根据工程的规模和要求，选择合适的计量精度。
此外，工程计量还需要有清晰的记录和文档管理。
每一项计量的结果都应该有详细的记录，包括计算过程、依据的规范和标准、以及相关的图纸和说明等。
这样不仅便于日后的查询和核对，也为工程造价的审核和结算提供了有力的依据。
《工程中的数值方法》课程教学大纲
编码：ME06092 Code: ME06092课程名称：工程中的数值方法Course Title: Numerical Methods inEngineering课程类别：专业选修Course category:Elective Courses in Specialty学分：2Credit(s): 2开课单位：机械与运载工程学院Offering College/School: College ofMechanical & Vehicle Engineering课程描述：本课程为机械工程专业学生开设的专业基础课，通过该课程的教学使学生能够掌握现代数值计算的基本方法、基本理论和基本应用能力，为学生后续课程的学习，如有限元分析、机械可靠性设计等奠定基础。
通过课程的学习，使学生能将机械工程中的实际问题与数值计算模型结合起来，并且能够运用一定的计算方法进行编程实现，能够处理常用数值计算工具使用过程中出现的一些问题，并培养通过计算结果指导设计的应用能力。
主要教学内容包括：误差分析、数值插值和逼近、数值积分和微分、方程求根、线性方程组求解等。
Course description：As a basic course for students majoring in Mechanics Engineering, it aims to make the students to grasp the fundamental methods, theories and application ability on the modern numerical computation, and whereby make preparations for the subsequent courses such as the finite element analysis and mechanical reliability etc. Through this course, the students are expected to have the ability to create the relations between the practical problems and the numerical computations, and realize the analysis by programming. Additionally, we hope that the students are able to deal with the possible problems in using some commonly used numerical tools, and furthermore use the numerical results to modify the design. The main contents include numerical error analysis, numerical interpolation and fitting, numerical integration and differentiation, solving nonliear equation and linear equations, etc..课程内容：（一）课程教学目标通过本课程的教学，使学生具备以下能力（毕业要求：1.3、1.4、2.3、4.4、12.1）：1能够合理的选用并开发用于解决复杂机械工程问题所需的工程数值分析方法。
有限单元法基本原理和数值方法第二版教学设计
有限单元法基本原理和数值方法第二版教学设计一、课程简介有限元法是一种经典的数值分析方法，被广泛用于科学和工程领域，涉及多个学科领域，如结构力学、热传导、电磁场和流体力学等。
本课程围绕有限元方法的基本原理及其应用展开，让学生对其有更深入的了解和掌握，提高其应用能力和技能水平。
二、教学目标1.理解有限单元法的基本原理和数值方法。
2.掌握常见结构、热传导、电磁场和流体力学问题的有限元方法。
3.能够使用有限元软件进行简单的工程分析和优化。
4.培养学生的思维能力、分析能力和实际问题解决能力。
三、教学内容第一章有限元方法基础1.1 有限元法的历史和应用 1.2 有限元法的数学基础 1.3 静力学基础 1.4 动力学基础第二章有限元离散化2.1 一维问题的离散化 2.2 二维问题的离散化 2.3 三维问题的离散化 2.4 元素属性和积分第三章有限元求解器3.1 有限元方程的组装 3.2 静态求解 3.3 动态求解第四章结构力学问题4.1 梁和板的有限元方法 4.2 弹性体的有限元方法第五章热传导问题5.1 热传导方程的有限元方法 5.2 对流换热问题的有限元方法第六章电磁场问题6.1 静电场和磁场的有限元方法 6.2 电磁场传输问题的有限元方法第七章流体力学问题7.1 离散化方法 7.2 流体动力学方程的有限元方法第八章有限元软件8.1 常见有限元软件介绍 8.2 有限元软件的使用四、教学方法1.理论课程：老师主讲以及课堂讨论。
2.实验课程：配备有限元软件进行实验操作。
五、成绩评定成绩评定依据平时评分和期末考试。
其中平时评分分为作业成绩和实验成绩，期末考试占总成绩权重较大，平时评分占比较小。
六、参考教材1.《有限元法基础及其应用》，陈华生著，高等教育出版社出版。
2.《有限元方法的理论基础和实践》，朱步青著，科学出版社出版。
有限单元法基本原理和数值方法 (2)
有限单元法基本原理和数值方法1. 引言有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种用于求解工程问题的数值计算方法。
它的基本原理是将连续体分割为离散的有限单元，通过建立有限单元间的关系，近似求解连续体的行为。
本文将介绍有限单元法的基本原理和数值方法。
2. 有限单元法基本原理有限单元法基于两个基本假设：一是一个连续物体可以用小的有限单元来近似表示；二是连续物体在每个有限单元内有近似均匀的力和位移。
有限单元法的基本原理可以概括为以下几个步骤：2.1 离散化将连续物体划分为有限个离散的单元，每个单元都有自己的性质和参数。
通常采用三角形、四边形、四面体等简单形状的单元。
2.2 建立单元间的关系通过节点和单元之间的连接关系来构建整个有限元模型。
每个单元都与相邻的单元共享一些节点，通过共享的节点建立单元间的关系。
2.3 定义单元的属性为每个单元定义材料性质、几何属性和荷载条件等参数，这些参数将用于描述单元的行为。
2.4 定义求解问题的边界条件为有限元模型定义相应的边界条件，如位移边界条件、力边界条件等。
2.5 利用单元间的关系建立方程通过应变能最小原理，利用单元间的关系建立求解整个结构的方程。
2.6 求解方程将建立的方程离散化，采用数值方法求解得到解。
3. 有限单元法数值方法有限单元法中常用的数值方法有直接法和迭代法。
3.1 直接法直接法是指直接求解线性方程组的方法，通常使用高斯消元法、LU分解法等。
直接法的优点是计算简单，稳定性好。
但是当方程组规模较大时，计算量会很大。
3.2 迭代法迭代法是指通过迭代逼近求解方程组的方法，常用的迭代法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法等。
迭代法的优点是计算量相对较小，适用于大规模方程组。
但是迭代法的收敛性需要保证，且需要选择合适的迭代停止准则。
4. 有限单元法应用有限单元法广泛应用于工程领域的结构分析、流体力学、电磁场分析等。
{教育管理}工程数学二
{教育管理}工程数学二
※教 材
書名：工程數學
作者：施勝雄、陳長仁 、陳寶祺等人編著
出版社：高立圖書有限
※課程簡介
學習矩陣及行列式之性質及相關運算方法、Fouier級數及偏微分方程式解法，以建立往後研究及學習專業課程之基礎與
課程大綱
一、矩陣及行列式運算
1.矩陣的加減與乘法運算
2.高斯消去法
3.行列式柯拉瑪法則
4.反矩陣
二、矩陣特徵值問題
1.特徵值與特徵向量
三、Fouier級數
1.週期函數
2.Fouier級數基本型式
3.函數之Fouier級數展開
4.Fouier積分
四、偏微分方程式
1.基本概念
2.以分離變數法解偏微分
課程計畫
第一週：課程大綱及內容介紹
第二週：矩陣的加減與乘法運算第三週：高斯消去法
第四週：行列式柯拉瑪法則
第五週：反矩陣
第六週：矩陣的特徵值與特徵向量第七週：矩陣特徵值的應用
第八週：矩陣之對角化
第九週：期中考試
第十週：週期函數的基本性質
第十一週：Fouier級數基本型式
第十二週：三角級數的正交性
第十三週：函數之Fouier級數全幅展開
第十四週：Fouier級數之半幅展開
第十五週：偏微分方程式之基本概念
第十六週：以分離變數法解偏微分方程式(一)第十七週：以分離變數法解偏微分方程式(二)第十八週：期末考試
◎學習目標。
1.了解數學運算之原理
2.學習數學計算方法，以解決工程領域中之數學問題。
3.培養數學基礎建立解決問題之信心與能力。
4.建立未來應用課程之基礎
學。
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18
例题
S ( x)
a0
a1x
a2 x2
c1 ( x
x1
)
2
代入xi ，yi( ia1x0 a2x02 y1 a0 a1x1 a2x12 y2 a0 a1x2 a2x22 c1(x2 x1)2
待定常数为n 2个。
14
插值问题的提法
问题1. 给定插值节点xi及相应函数值yi (i 0,1,, n) 和x0 处的导数值y0，求S ( x)，使满足 S(x0 ) y0 , S(xi ) yi , (i 0,1,, n) 问题2. 给定插值节点xi及相应导数值yi(i 0,1,, n) 和x0 处的函数值y0，求S ( x)，使满足 S(x0 ) y0, S(xi ) yi, (i 0,1,, n)
19
例题
S(x) a1 2a2 x 2c1(x x1) 代入x0 ，y0 y0 a1 2a2 x0
20
例题
y0 a0 a1x0 a2x02 y1 a0 a1x1 a2x12 y2 a0 a1x2 a2x22 c1(x2 x1)2
y0 a1 2a2 x0
21
例题
5
光滑性需要
某些实际应用比如汽车、轮船、飞机等的外形中流线 形设计，不但要求一阶导数连续,而且要求二阶导数 连续。所以一般插值往往不能满足实际需要。
6
样条
所谓“样条”(Spline)是工程绘图中的一种工具,它是 有弹性的细长木条,绘图时,用细木条连接相近的几个 结点,然后再进行拼接,连接全部结点,使之成为一条 光滑曲线,且在结点处具有连续的曲率。样条函数就 是对这样的曲线进行数学模拟得到的。
2
高次插值的缺点-龙格现象
考察函数
f (x) 1 ,
1 x2
右图给出了 P5 (x)
和 P10 (x) 的图像,当n
增大时, Pn (x) 在两端
会发出激烈的振荡
,这就是所谓龙格现
象。该现象表明,在
大范围内使用高次
插值,逼近的效果往
往是不理想的
-5
5 x5
y f(x)
P5(x) 0
P10(x)
5x
x1,
x2
,
xn
称为内节点，
1
x0 ,
xn称为边界节点。
对于内节点 x1, x2 , xn1，构造函数
(x xj )k j 1, 2, , n 1
做线性组合，得
n1
c j (x x j )k
j 1
（1）
9
样条函数的形成
对于边界节点 x0, xn，构造k次多项式
k
ajxj
j0
（2）
（1）（2），得
1 1 1 0
x0 x1 x2 1
x02 x12 x22
它除了要求给出各个结点处的函数值外,只需提供 两个边界点处导数信息,便可满足对光滑性的不同要 求。
7
半截单项式
定义:
xk
xk , 0,
x 0, k 0,1, 2, x0
当k=0，1时， xk 在x=0处无导数。
8
样条函数的形成
a x0 x1 xn1 xn b为区间[a, b]的一个分割
11
样条函数的形成
k
n 1
S (x) a j x j c j (x x j )k
j0
j 1
S(x)第一部分（k 1）个待… 求系数, a0, a1,, ak S(x)第二部分（n -1）个待求系数, c1, c2,, cn1 S(x)共有（k 1）（n -1） (n 1) (k 1)个待求系数
y
y0
y1
y2 …… yn
则得到n+1个插值条件，还缺k-1个条件。需在边界节点
上增加插值条件。
13
§2.2 二次样条插值
插值问题的提法
设给定[a, b]区间的一个分割 a x0 x1 xn b 相应的二次样条函数为
n1
S (x) a0 a1x a2 x2 c j (x x j )2 j 1
3
分段低次插值法-光滑性差
鉴于高次插值多项式并不实用，低次插值既具有收敛 性又具有稳定性，因此低次值更具有实用价值，但是 低次插值的光滑性较差，比如分段线性插值多项式在 插值区间中仅具有连续性，在插值节点处有棱角，一 阶导数不存在。
4
分段低次插值法-光滑性差
鉴于高次插值多项式并不实用，低次插值既具有收敛 性又具有稳定性，因此低次值更具有实用价值，但是 低次插值的光滑性较差，比如分段线性插值多项式在 插值区间中仅具有连续性，在插值节点处有棱角，一 阶导数不存在。
k
n 1
S(x)
ajxj
c
j
(x
x
j
)
k
j0
j 1
S ( x)为k次多项式样条函数。
10
样条函数的形成
S(x)可写为分段 k次多项式形式
k
ajxj
j0
S(x)
k
ajxj
i
cj (x xj )k
j0
j 1
k
N 1
ajxj cj (x xj )k
j0
j 1
当x (x0 , x1) 当x (xi , xi1) 当x (xn-1，xn )
15
存在和唯一性
定理:二次样条插值问题1和2的解，都存在且唯一。
16
例题
例1:选取
x0 14，x1 85，x2 1，
对函数 f (x) x 做第一问题的样条插值。
x x0=1/4 x1=5/8
x2=1
y y0=1/2 y1= 10 / 4 y2=1
S(1/ 4) y0 1
17
例题
解:设二次样条插值函数为 S (x) a0 a1x a2 x2 c1(x x1)2
2次S(x)共有（2 1）（n -1） (n 1) 1个待求系数 3次S(x)共有（3 1）（n -1） (n 1) 2个待求系数
12
样条函数的形成
在区间[a, b]上给出函数值表
x x0 x1 x2 …… xn y y0 y1 y2 …… yn
或 在区间[a, b]上给出导数值表
x x0 x1 x2 …… xn
第2章 样条函数
§2.1 样条函数概念 §2.2 二次样条插值 §2.3 三次样条插值 §2.4 三弯矩插值法
1
§2.1 样条函数概念 样条函数的概念是美国数学家I.J.Schoenberg 在1946年首先提出的，他定义了一种B样条函 数。尽管有10年的时间未受到重视，但从60 年代开始，随着电子计算机技术的飞速发展和 数据拟合以及函数逼近在生产实验中的广泛应 用，样条函数的理论和应用已迅速发展成了一 门成熟的学科。