工程数值方法2第二章概论
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2
高次插值的缺点-龙格现象
考察函数
f (x) 1 ,
1 x2
右图给出了 P5 (x)
和 P10 (x) 的图像,当n
增大时, Pn (x) 在两端
会发出激烈的振荡
,这就是所谓龙格现
象。该现象表明,在
大范围内使用高次
插值,逼近的效果往
往是不理想的
-5
5 x5
y f(x)
P5(x) 0
P10(x)
5x
2次S(x)共有（2 1）（n -1） (n 1) 1个待求系数 3次S(x)共有（3 1）（n -1） (n 1) 2个待求系数
12
样条函数的形成
在区间[a, b]上给出函数值表
x x0 x1 x2 …… xn y y0 y1 y2 …… yn
或 在区间[a, b]上给出导数值表
x x0 x1 x2 …… xn
第2章 样条函数
§2.1 样条函数概念 §2.2 二次样条插值 §2.3 三次样条插值 §2.4 三弯矩插值法
1
§2.1 样条函数概念 样条函数的概念是美国数学家I.J.Schoenberg 在1946年首先提出的，他定义了一种B样条函 数。尽管有10年的时间未受到重视，但从60 年代开始，随着电子计算机技术的飞速发展和 数据拟合以及函数逼近在生产实验中的广泛应 用，样条函数的理论和应用已迅速发展成了一 门成熟的学科。
则 S(x) a1 2a2 x 2c1(x x1)
18
例题
S ( x)
a0
a1x
a2 x2
c1 ( x
x1
)
2
代入xi ，yi( i = 0 ,1 , 2)
y0 a0 a1x0 a2x02 y1 a0 a1x1 a2x12 y2 a0 a1x2 a2x22 c1(x2 x1)2
19
例题
S(x) a1 2a2 x 2c1(x x1) 代入x0 ，y0 y0 a1 2a2 x0
20
例题
y0 a0 a1x0 a2x02 y1 a0 a1x1 a2x12 y2 a0 a1x2 a2x22 c1(x2 x1)2
y0 a1 2a2 x0
21
例题
11
样条函数的形成
k
n 1
S (x) a j x j c j (x x j )k
j0
j 1
S(x)第一部分（k 1）个待… 求系数, a0, a1,, ak S(x)第二部分（n -1）个待求系数, c1, c2,, cn1 S(x)共有（k 1）（n -1） (n 1) (k 1)个待求系数
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
分段低次插值法-光滑性差
鉴于高次插值多项式并不实用，低次插值既具有收敛 性又具有稳定性，因此低次值更具有实用价值，但是 低次插值的光滑性较差，比如分段线性插值多项式在 插值区间中仅具有连续性，在插值节点处有棱角，一 阶导数不存在。
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分段低次插值法-光滑性差
鉴于高次插值多项式并不实用，低次插值既具有收敛 性又具有稳定性，因此低次值更具有实用价值，但是 低次插值的光滑性较差，比如分段线性插值多项式在 插值区间中仅具有连续性，在插值节点处有棱角，一 阶导数不存在。
待定常数为n 2个。
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插值问题的提法
问题1. 给定插值节点xi及相应函数值yi (i 0,1,, n) 和x0 处的导数值y0，求S ( x)，使满足 S(x0 ) y0 , S(xi ) yi , (i 0,1,, n) 问题2. 给定插值节点xi及相应导数值yi(i 0,1,, n) 和x0 处的函数值y0，求S ( x)，使满足 S(x0 ) y0, S(xi ) yi, (i 0,1,, n)
k
n 1
S(x)
ajxj
c
j
(x
x
j
)
k
j0
j 1
S ( x)为k次多项式样条函数。
10
样条函数的形成
S(x)可写为分段 k次多项式形式
k
ajxj
j0
S(x)
k
ajxj
i
cj (x xj )k
j0
j 1
k
N 1
ajxj cj (x xj )k
j0
j 1
当x (x0 , x1) 当x (xi , xi1) 当x (xn-1，xn )
它除了要求给出各个结点处的函数值外,只需提供 两个边界点处导数信息,便可满足对光滑性的不同要 求。
7
半截单项式
定义:
xk
xk , 0,
x 0, k 0,1, 2, x0
当k=0，1时， xk 在x=0处无导数。
8
样条函数的形成
a x0 x1 xn1 xn b为区间[a, b]的一个分割
y
y0
y1
y2 …… yn
则得到n+1个插值条件，还缺k-1个条件。需在边界节点
上增加插值条件。
13
§2.2 二次样条插值
插值问题的提法
设给定[a, b]区间的一个分割 a x0 x1 xn b 相应的二次样条函数为
n1
S (x) a0 a1x a2 x2 c j (x x j )2 j 1
x1,
x2
,
xn
称为内节点，
1
x0 ,
xn称为边界节点。
对于内节点 x1, x2 , xn1，构造函数
(x xj )k j 1, 2, , n 1
做线性组合，得
n1
c j (x x j )k
j 1
（1）
9
样条函数的形成
对于边界节点 x0, xn，构造k次多项式
k
ajxj
j0
（2）
（1）（2），得
5
光滑性需要
某些实际应用比如汽车、轮船、飞机等的外形中流线 形设计，不但要求一阶导数连续,而且要求二阶导数 连续。所以一般插值往往不能满足实际需要。
6
样条
所谓“样条”(Spline)是工程绘图中的一种工具,它是 有弹性的细长木条,绘图时,用细木条连接相近的几个 结点,然后再进行拼接,连接全部结点,使之成为一条 光滑曲线,且在结点处具有连续的曲率。样条函数就 是对这样的曲线进行数学模拟得到的。
15
存在和唯一性
定理:二次样条插值问题1和2的解，都存在且唯一。
16
例题
例1:选取
x0 14，x1 85，x2 1，
对函数 f (x) x 做第一问题的样条插值。
x x0=1/4 x1=5/8
x2=1
y y0=1/2 y1= 10 / 4 y2=1
S(1/ 4) y0 1
17
例题
解:设二次样条插值函数为 S (x) a0 a1x a2 x2 c1(x x1)2
1 1 1 0
x0 x1 x2 1
x02 x12 x22
高次插值的缺点-龙格现象
考察函数
f (x) 1 ,
1 x2
右图给出了 P5 (x)
和 P10 (x) 的图像,当n
增大时, Pn (x) 在两端
会发出激烈的振荡
,这就是所谓龙格现
象。该现象表明,在
大范围内使用高次
插值,逼近的效果往
往是不理想的
-5
5 x5
y f(x)
P5(x) 0
P10(x)
5x
2次S(x)共有（2 1）（n -1） (n 1) 1个待求系数 3次S(x)共有（3 1）（n -1） (n 1) 2个待求系数
12
样条函数的形成
在区间[a, b]上给出函数值表
x x0 x1 x2 …… xn y y0 y1 y2 …… yn
或 在区间[a, b]上给出导数值表
x x0 x1 x2 …… xn
第2章 样条函数
§2.1 样条函数概念 §2.2 二次样条插值 §2.3 三次样条插值 §2.4 三弯矩插值法
1
§2.1 样条函数概念 样条函数的概念是美国数学家I.J.Schoenberg 在1946年首先提出的，他定义了一种B样条函 数。尽管有10年的时间未受到重视，但从60 年代开始，随着电子计算机技术的飞速发展和 数据拟合以及函数逼近在生产实验中的广泛应 用，样条函数的理论和应用已迅速发展成了一 门成熟的学科。
则 S(x) a1 2a2 x 2c1(x x1)
18
例题
S ( x)
a0
a1x
a2 x2
c1 ( x
x1
)
2
代入xi ，yi( i = 0 ,1 , 2)
y0 a0 a1x0 a2x02 y1 a0 a1x1 a2x12 y2 a0 a1x2 a2x22 c1(x2 x1)2
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例题
S(x) a1 2a2 x 2c1(x x1) 代入x0 ，y0 y0 a1 2a2 x0
20
例题
y0 a0 a1x0 a2x02 y1 a0 a1x1 a2x12 y2 a0 a1x2 a2x22 c1(x2 x1)2
y0 a1 2a2 x0
21
例题
11
样条函数的形成
k
n 1
S (x) a j x j c j (x x j )k
j0
j 1
S(x)第一部分（k 1）个待… 求系数, a0, a1,, ak S(x)第二部分（n -1）个待求系数, c1, c2,, cn1 S(x)共有（k 1）（n -1） (n 1) (k 1)个待求系数
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
分段低次插值法-光滑性差
鉴于高次插值多项式并不实用，低次插值既具有收敛 性又具有稳定性，因此低次值更具有实用价值，但是 低次插值的光滑性较差，比如分段线性插值多项式在 插值区间中仅具有连续性，在插值节点处有棱角，一 阶导数不存在。
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分段低次插值法-光滑性差
鉴于高次插值多项式并不实用，低次插值既具有收敛 性又具有稳定性，因此低次值更具有实用价值，但是 低次插值的光滑性较差，比如分段线性插值多项式在 插值区间中仅具有连续性，在插值节点处有棱角，一 阶导数不存在。
待定常数为n 2个。
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插值问题的提法
问题1. 给定插值节点xi及相应函数值yi (i 0,1,, n) 和x0 处的导数值y0，求S ( x)，使满足 S(x0 ) y0 , S(xi ) yi , (i 0,1,, n) 问题2. 给定插值节点xi及相应导数值yi(i 0,1,, n) 和x0 处的函数值y0，求S ( x)，使满足 S(x0 ) y0, S(xi ) yi, (i 0,1,, n)
k
n 1
S(x)
ajxj
c
j
(x
x
j
)
k
j0
j 1
S ( x)为k次多项式样条函数。
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样条函数的形成
S(x)可写为分段 k次多项式形式
k
ajxj
j0
S(x)
k
ajxj
i
cj (x xj )k
j0
j 1
k
N 1
ajxj cj (x xj )k
j0
j 1
当x (x0 , x1) 当x (xi , xi1) 当x (xn-1，xn )
它除了要求给出各个结点处的函数值外,只需提供 两个边界点处导数信息,便可满足对光滑性的不同要 求。
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半截单项式
定义:
xk
xk , 0,
x 0, k 0,1, 2, x0
当k=0，1时， xk 在x=0处无导数。
8
样条函数的形成
a x0 x1 xn1 xn b为区间[a, b]的一个分割
y
y0
y1
y2 …… yn
则得到n+1个插值条件，还缺k-1个条件。需在边界节点
上增加插值条件。
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§2.2 二次样条插值
插值问题的提法
设给定[a, b]区间的一个分割 a x0 x1 xn b 相应的二次样条函数为
n1
S (x) a0 a1x a2 x2 c j (x x j )2 j 1
x1,
x2
,
xn
称为内节点，
1
x0 ,
xn称为边界节点。
对于内节点 x1, x2 , xn1，构造函数
(x xj )k j 1, 2, , n 1
做线性组合，得
n1
c j (x x j )k
j 1
（1）
9
样条函数的形成
对于边界节点 x0, xn，构造k次多项式
k
ajxj
j0
（2）
（1）（2），得
5
光滑性需要
某些实际应用比如汽车、轮船、飞机等的外形中流线 形设计，不但要求一阶导数连续,而且要求二阶导数 连续。所以一般插值往往不能满足实际需要。
6
样条
所谓“样条”(Spline)是工程绘图中的一种工具,它是 有弹性的细长木条,绘图时,用细木条连接相近的几个 结点,然后再进行拼接,连接全部结点,使之成为一条 光滑曲线,且在结点处具有连续的曲率。样条函数就 是对这样的曲线进行数学模拟得到的。
15
存在和唯一性
定理:二次样条插值问题1和2的解，都存在且唯一。
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例题
例1:选取
x0 14，x1 85，x2 1，
对函数 f (x) x 做第一问题的样条插值。
x x0=1/4 x1=5/8
x2=1
y y0=1/2 y1= 10 / 4 y2=1
S(1/ 4) y0 1
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例题
解:设二次样条插值函数为 S (x) a0 a1x a2 x2 c1(x x1)2
1 1 1 0
x0 x1 x2 1
x02 x12 x22