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“平而向量”复习的思考与反思

向量及其运算是高中教材的重点内容，向量引入中学数学以后，给中学数学带来无限生机,。向量融形、数于一•体，具有几何形式与代数形式的“双重身份〃，引入后大大拓宽了解题的思路和方法，在研究其它问题时得到了广泛的应用，成为了〃在知识网络交汇处设计试题〃的很好裁体.

对平而向量的考查有以下儿点：（1）考查平而向嗣的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查学生掌握平面向量的和、差、数乘和数量积的运算法则，理解其直观的几何意义, 并能正确地进行运算；（2）考察向量的坐标表示，及坐标形势下的向量的线性运算；（3）和函数、曲线、数列等知识结合，考察综合运用知识能力.

在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用。在复习中要重视教材的基础作用，加强基本知识的复习，做到概念用楚、运算准确,不必追求解难题。热点主要体现在平面向最的数量积及坐标运算以及平面向量在三角，解析几何等方面的应用。

1.考查平面向量的基本概念和运算律

例1 （2010浙江理数）（16）已知平面向量0）满足|/?| = 1,且a与阡a的

夹角为120°,则a的取值范围是

解析：利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解，本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题。

例2. （2008宁夏、海南，8）平面向量Q、片共线的充要条件是（）

A.a,占方向相同

B.a,占两向量中至少有一个为零向量

C. 3 A G /? J =

D.存在不全为零的实数人，％ , +=0

解析：根据向量共线的定理显然选（D）。

评注：本题考查的知识点是平面向景共线的条件,是“平血向量”单元中要求掌握的重

点内容，也是最基本的内容。

例3. （2010天津理数）（15）如图，在ABC中，AD，AB* =币丽,

|AD|= I,则京而=. L ―

【答案】D ~七

【解析】本题主要考杏平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。

AC^AD =IACI*I ADIco =1 ACI

= BCsinB = V3

评注：近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影，旦均属于中等题或难题，应加强平面向量

的基本运算的训练，尤其是与三角形综合的问题。

2.考查向量的坐标运算

例4. (2006 山东,5)设向量& =例―3),5 = (―2,4),3 = (-1,一2),若表示向量48、

4b-2c. 20 —日、』的有向线段首尾相接能够成四边形，则向量0为( )

A. (2,6)

B. (-2,6)

C. (2,-6)

D. (-2,-6)

分析：本题考查平而向量的加法及向量的坐标运算。

解:v 45 + (4^-2?) + 2(5 -c) + J = 0

d =4c-4b-6a= 4(-1,-2) - 4(-2,4) - 6(1, -3) = (-2,6)

故选(B)。

例5.(2008 全国11,18)设向量5 = (1,2) ,5 = (2,3),若向量沏+ 5 与向量c =(-4,-7)

共线，则;I二.

分析：本题考查平面向量的基本定理及向量的坐标运算，只要借助平面向最共线的条件并利用待定系数法即可得解。

解：+ 5 = (4 + 2,24 + 3)

Aa+h//c

A -4(22 + 3) = -7(2 + 2)

/. A = 2

说明：此题是教材第131页复习题12的延改编题，该题为：已知｛ = (1,0),方= (1,1),

刀为何值时，％ + /1片与刀垂直.

3.考查平而向鬲与函数的交汇

例6 . ( 2005 年湖北省高考数学试题)已知向量

—♦—♦—♦—♦

O=(『,x + l),g(l-印),若函^f(x) = a-b在区间(— 1, 1)上是增函数，求t的取值范围.

分析：本小题主要考查平•面向量数录积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用

基本函数的性质分析和解决问题的能力.

解：依定义/(x) = x2(l - x) + r(x +1)= 一尸 + x2 +tx + t,则/''Cr) = 一3/ + 2x + r.

若/⑴在(-1,1)上是增函数，则在(-1,1)上可勘'⑴> 0.

f\x) >0^t> 3/ -2尤,在区间(-1,1)上恒成立，考虑函数g(W = 3X2-2X,由于g (x)的图象是对称轴为工=上,开口向上的抛物线，

故要使t>3x2-2x在区间( — 1, 1)上恒成立<^> r>g(-l),BPr>5.

而当，Z 5时，广⑴在(-1,1)上满足/"⑴> 0,BP/(x)在(-1,1)上是增函数.

故［的取值范围是f > 5 .

评注：利用向量的数量积可以把问题转化为代数表达形式，即而运用代数方法一一高次求导法、二次判别式法、配方法、均值不等式法求解.

4.考查平面向量与不等式的交汇

例7. (2005年浙江省高考试题)已知向量1暮,何| = 1,对任意ER ,恒有a-te\>\a-e\,贝0

( )

A. ale

B. al(a-e)

C. el(a-e)

D. (a+e)l(a-e)

解:对任意re/?,恒有\a-te\>\a-e\,故两边平方得：

ci—2F・QC +广2。一2・QC +1,即：厂一2，・GC +2，・QC — 1Z0 又上式对任意ER,恒成立，

即有：/XMO恒成立.即内4 (a) Z^a-)4 2ai-l =4 c-1 2<0

故当oc' = l时，上式成立，本题应选(C)

5.考查平面向量与三角的交汇

向量与三角的交汇就是当今高考命题的一个热点.它常常包括向量与三角函数化简、求值与证明的交汇、向量与解三角形的交汇、向量与三角函数的图象与性质的交汇等儿个方而.

例8. (2008年山东，15)已知a,b,c为\ABC的三个内角A,fi,C的对边，向量

"2 = (0, -1), w = (cosA,sinA).若m Ln , .H. a cos B 4- Z?cos A = ccos C ,则角